calculo vectorial: examen parcial y solucionario 2008-2
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Universidad Nacional de Ingeniería P.A 2008 II Facultad de Ingeniería Mecánica 21/10/2008 Dpto. de Ciencias Básicas y Humanidades MB148
Los Profesores 1
(4;1) C1
C2
EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO VECTORIAL
_________ ___________________________ ______ _____ CODIGO APELLIDOS Y NOMBRES SECC FIRMA ***************************************************************************************************
PREGUNTA 1
Una autopista tiene una rampa de salida que empieza en el origen de un sistema coordenado y sigue la curva 25
1 321: xyC = hasta el punto (4; 1). como
se indica en la figura adjunta. Después sigue una trayectoria circular C2 cuya curvatura igual a la curvatura C1 en el punto (4;1).
a. Calcule el radio de la trayectoria circular. b. Determine el centro de la trayectoria circular.
SOLUCION
Parte A
( )
=γ
32;
2/5ttt
( )
=γ
645;1
2/3` t
t ,
=γ
21``
12815;0 t
,
==γγ
21
21
23
12815;0;0
0128150
06451``` t
t
tkji
x
4
2
2 4 6
x
y
Arco circular
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Los Profesores 2
centro
(4;8)
N→
T
En t =4, ( )332
3`
``
89
120
851
6415`)4( =
+
=γ
γγ=
xK
1208989)4(
)4(1)4( =ρ⇒=ρ
K
Caso B:
( )( )( ) 89
5844
4);(
``
T ==→
γγ
89)8;5()4( −
=N
( ) )4()4(1;4 Nρ+=C
( ) ( ) ( )8;5120891;4
898;5
1208989)1;4( −+=
−+=C
=
15104;
247C
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Los Profesores 3
PREGUNTA 2
Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto ( )12 , de una placa metálica cuya temperatura en (x, y) es yxyxT −= 2),( . Determine la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más rápido crecimiento de la temperatura. SOLUCION
( )1,2),( −= xyxTdgra Representamos la trayectoria por la función posición
( ))(,)()( tytxt =r Un vector tangente en cada punto ( ))(),( tytx viene dado por
=′
tdyd
tdxdt ,)(r
Puesto que la partícula busca el crecimiento más rápido de temperatura, la dirección de )(tr ′ y ),( yxTdgra son las mismas en cada punto de la trayectoria. Luego
1y2 −==tdydx
tdxd
Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para t = 0 y tyx −== 1,2 se tiene la trayectoria
( )tet t −= 1,2)( 2r
−=
= −
2ln
211)(
2)( )1(2
xxy
eyx y
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Los Profesores 4
PREGUNTA 3 Para un fabricante de cámaras y rollos fotográficos, el costo total C (en dólares), de producir cq cámaras y, fq rollos fotográficos está definida por:
9000015030 +++= ffcc qqq,qC Las funciones de demanda para las cámaras y los rollos fotográficos están
dadas por fc
cpp
q 9000= y fcf ppq 4002000 −−= respectivamente.
Siendo cp es el precio por cámara y fp es el precio por rollo fotográfico. a) Determine la tasa de cambio del costo total con respecto al precio de la cámara cuando 50=cp y 2=fp SOLUCION
Primero se debe determinar cpC ∂∂ por la regla de la cadena,
c
f
fc
c
cc pq
qc
pq
qc
pc
∂
∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
)1(1015.0(9000)015.030( −++
−+=
∂∂
cfc
fc
qPP
qpc
Cuando Pc =50 y Pf =2 entonces qc = 290 y qf = 1150. Después de
sustituir eso valores en 207,123
2
50−≈
∂∂
=
=
f
c
pPcp
C
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Los Profesores 5
PREGUNTA 4
Considera la función definida por
=
≠+
−=
);();(;
);();(;)():(
000
0022
22
yx
yxyxyxxy
yxf
a) Calcule D1 f(0;0) y D2f(0;0)
b) Calcule D12 f(0:0) y D21f(0:0)
SOLUCION a)
( )
=
≠+
−+=
),(),(;
),(),(;(),(
000
004
222
4224
1
yx
yxyx
yyxxyyxfD
( )
=
≠+
−−=
),(),(;
),(),(;)(
),(000
004
222
4224
2
yx
yxyx
yyxxxyxfD
b)
10)0;0()0;()0;0(
10)0;0()0;0(lim)0;0(12
limlim
lim
0
22
0
21
0
110
=
−
=
−
==
−=
−−
−+
=
→→
→→
hh
hfDhfDfD
hh
hfDhfD
fD
hh
hh
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Los Profesores 6
PREGUNTA 5
Jorge acaba de recibir S/.300 como regalo de cumpleaños y ha decidido gastarlos en discos DVD y juegos de video de computadora. El ha determinado que la utilidad (satisfacción) obtenida por la compra de “x” discos DVD e “y” juegos de video es
( )yxln)y,x(U 2= Si cada DVD cuesta S/.20 y cada juego de video cuesta S/.30, ¿cuántos DVD y juegos de video debe comprar para maximizar la utilidad? SOLUCION
)()();;( 30030202 −+−= yxyxyxF λλ
Usando el Método de Multiplicadores de Lagrange.
=−+
=
=
)(
)(
)(
303003020
23021
1202
yxy
x
λ
λ
De las ecuaciones (1), y (2) se tiene
λλ 601
101
== yx , , luego
reemplazamos estos valores en la ecuación (3) obtenemos
030060
10310
120 =−
+
λλ
resolviendo se tiene
1201
=λ .
Por lo tanto Jorge debe comprar x = 12 discos DVD y = 2 juegos de video de computadora.
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