calculo vectorial: examen final y solucionario 2009-2
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. 2009II FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Ma. 15/12/2009
EXAMEN FINAL CALCULO VECTORIAL
PROBLEMA 1
Use un cambio de variables para evaluar la siguiente integral
∫∫ −+D
xy dAeyx 2)( , en donde D es el paralelogramo de vértices (-1,1),
(0, 0), (2,1), y (1,2).
Solución
3,3,
3,0,2
==+=
==−=
vvyxv
uuxyu
31
),(),(,3
),(),(
−=∂∂
−=∂∂
vuyx
yxvu
( )123
31)( 3
3
0
3
0
2 −=−=+ ∫ ∫∫∫ − edvduevdAeyx u
D
xy
PROBLEMA 2
Evalúe la integral ( )dyyxdxxy
C
221 lntan ++
∫ − , donde C es la frontera de
la región definida por las desigualdades en coordenadas polares 1≤ r ≤ 4; 0≤ θ ≤ π/2.
Solución
( )221 ln),(,tan),( yxyxQxyyxP +=
= −
− = +
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( ) dAyx
xdyyxdxxy
RC∫∫∫ +
=++
−
22221 lntan
( ) ∫ ∫∫ =++
−
2/
0
4
1
221 coslntanπ
θθ ddrdyyxdxxy
C
( ) 3lntan 221 =++
∫ − dyyxdx
xy
C
PROBLEMA 3
Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas
kjiF )()()(),,( yzxyzxzyx −+−+−=
al mover una partícula a lo largo de la curva C descrita por.
( ) 21;,,)( 2 ≤≤−= tttttr
Solución
rot F = (-1, -1, -1); F es un campo vectorial no conservativo.
F(r(t)) = (0, - t2 - t, t + t2 )
( )dttttdttt ++=′⋅ 23 32)())(( rrF
( )∫∫∫ ++=′⋅=⋅=2
1
232
1
32)())(( dttttdtttdWC
rrFrF
W = 16.
PROBLEMA 4
Evalúe la integral ( )∫ ++−C
dzxdyzdxy 2 donde C es el triángulo con
vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 3).
Solución
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rot F = (-1, -1, 2y); F es un campo vectorial no conservativo, y la curva C es cerrada.
usamos el Teorema de Stokes
( ) ∫∫∫ =++−SC
dSrotdzxdyzdxy NF .2
donde S es el plano 3x + 3y + z – 3 = 0 que pasa por los vértices del triángulo.
( ) ∫∫ ∫∫∫ −==++−S RC
dAydSrotdzxdyzdxy )62(.2 NF
( )38)62(
1
0
1
0
2 −=−=++− ∫ ∫∫− y
C
dydxydzxdyzdxy
PROBLEMA 5
Calcular el flujo del campo vectorial
kjiF )(tan)cos())((),,( 2 yxzxxzysenzyx ++++−+=
sobre la superficie S que es la frontera del sólido Q acotado por el elipsoide
( )1
16941 222
=++− zyx
Solución
Teorema de la divergencia
div F = -2x
Coordenadas esféricas modificadas
φρθφρθφρ
cos43
cos21
===−
zsenseny
senx
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dVdivdSQS
FNF ∫∫∫∫∫ =⋅
dVxdSQS∫∫∫∫∫ −=⋅ )2(NF
( ) θφρφρθφρπ π
dddsensendSS
22
0 0
1
0
cos2148 ∫ ∫ ∫∫∫ +−=⋅ NF
π64−=⋅∫∫S
dSNF
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