cálculo diferencial e integral de una variable 1 cálculo de volumen

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Cálculo de volumen

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Cálculo diferencial e integral de una variable

INTRODUCCIÓN

Al tratar de calcular el volumen de un sólido enfrentamos el mismo problema que al tratar de calcular un área.Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a una definición exacta.

Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidos sencillos como cilindros y prismas.

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ah

Cilindro RectoV = Ah

rh

Cilindro circularV = r2h

ab

c

ParalelepípedoRectangular

V = abc

El volumen de un sólido cualquiera podrá descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos elementales como los anteriores

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Cálculo diferencial e integral de una variable

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una región del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución.

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Diferencial de volumen

∆xi

f(xi)

2[ ( ) ]i i iV f x x 2[ ( ) ]i i iV f x x

a xi b

xi

y=f(x)

f(xi)

MÉTODO DEL DISCO

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Cálculo diferencial e integral de una variable

TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:

2

1

2

lim [ ( )]

[ ( )]

n

i ini

b

a

V f x x

f x dx

77

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 1:Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

88

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 2:Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1.

y

99

Cálculo diferencial e integral de una variable

3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R, alrededor del eje y.

y

xyyxR2

0412 ;/,

1010

Cálculo diferencial e integral de una variable

Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:

El volumen obtenido al girar la región limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c<d), alrededor del eje Y será igual a:

2[ ( )]d

cV g y dy

1111

Cálculo diferencial e integral de una variable

MÉTODO DE LA ARANDELA

Cuando la región a girar está limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.

a bx

y

x

(*)

Diferencial de volumen

f(xi)g(xi)

xi

i22

i x))]x(g[)]x(f[(V

1212

Cálculo diferencial e integral de una variable

TEOREMA

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:

2 2

1

2 2

lim ([ ( )] [ ( )] )

([ ( )] [ ( )] )

n

i i ini

b

a

V f x g x x

f x g x dx

1313

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 4:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.

1414

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 5

1515

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 6:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

1616

Cálculo diferencial e integral de una variable

x

xi

A(b)A(a)

ba xi

A(xi)

El diferencial de volumen

A(xi)

xi

Vi = A(xi) xi

Cálculo de volúmenes de sólidos que no son de revolución

1717

Cálculo diferencial e integral de una variable

El volumen del sólido será aproximadamente:

Se define el volumen V como el límite de la suma de Riemann

1818

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 7: Calcular el volumen de una esfera de radio R.

x

y

x

Ry

1919

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 8: Utilice la definición anterior para calcular el volumen de una pirámide de altura h y base cuadrada de lado b.

h

b

yi

2020

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 9:Halle el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3, alrededor del eje y.

MÉTODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS

2121

Cálculo diferencial e integral de una variable

MÉTODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS

En algunos casos se desea calcular el volumen de una región limitada por una función y = f(x) al girar alrededor del eje y, para lo cual se deben hallar los extremos locales de f(x) y despejar x en términos de y (x=g(y)). Esto muchas veces es muy complicado por lo que se usará otro método: los cascarones cilíndricos.

¿Cómo escogería el elemento diferencial

de volumen?

2222

Cálculo diferencial e integral de una variable

xixi

f(xi)

Diferencial de volumen

xixi

f(xi)

Para espesores lo suficientemente pequeños, el volumen será igual a:

iiii xxfxV )(2

2323

Cálculo diferencial e integral de una variable

2424

Cálculo diferencial e integral de una variable

TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, el volumen obtenido será:

1

lim 2 ( )

2 ( )

n

i i ini

b

a

V x f x x

x f x dx

2525

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 10:Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la recta y = 2.

2626

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 11:La región limitada por la curva y = x2, las rectas y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3. Calcule el volumen generado.

y = -3