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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

Curvas notables del sistema

Integrales

2Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Habilidades

1. Representa puntos del plano en coordenadas polares.

2. Reconoce las diferentes formas de expresar un punto en coordenadas polares.

3. Deduce la relación entre el sistema cartesiano y el sistema polar.

4. Reconoce y grafica ciertas curvas notables en coordenadas polares.


Sistema de coordenadas Polares

22

222

2 1 ;4

9

2

3

yx

yyxyx

Imaginemos que se quiere determinar el área de un placa delgada limitad por las ecuaciones:


Problema

Una piscina tiene una sección que sigue el perfil de la región interior a la cardioide y exterior a la curva . Si “ r ” está dado en metros, calcule la cantidad de agua necesaria para llenar la piscina hasta una profundidad de 1,5m.

cos22r cos2r


Polo Eje Polar

r

θ

P (r, θ)

Coordenadas Polares (r; θ) de un Punto P

0

Emplea distancias y direcciones.

r es la distancia de O a P.

θ es el ángulo entre el eje polar y el segmento OP.θ es positivo si se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj.θ en radianes.


Cuando medimos en la dirección dada por θ, contraria al segmento OP, podemos escribir -r, luego Q(-r; θ) = Q(r; θ + Π) se define como el punto que se encuentra a r unidades del polo en la dirección opuesta a la que da θ.

Q(-r,θ)

Coordenadas Polares (r; θ) de un Punto P

0

θ

P(r,θ)

r


En coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones

3

.0

2

2n3

2n

3;2

x

y

31;P3

1

En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene sólo una representación.

Es decir, el punto en coordenadas polares (r; θ), se representa también por

)2;( nθr

))12(;( nθr

3;2P


Conexión entre el sistema Polar y el sistema cartesiano

De la grafica observe que:

sencos ryrx

Estas ecuaciones permiten hallar las coordenadas cartesianas de un punto cuando se conocen lascoordenadas polares.

Para hallar las coordenadas r y θ cuando se conocen x e y, se usan las ecuaciones

2θ

2,tanθ 1222

xy

yxr

Si P es un punto cuyas coordenadas polares son (r; θ) entonces, las coordenadas rectangulares (x; y) de P serán:

y

x

r

P(x; y)P(r; θ)

x

y

θ

Si x=0, el ángulo es Π/2 ó - Π/2, según sea y>0 ó y<0


Gráficas de Ecuaciones Polares

Ejemplo: Trace la gráfica de la ecuación r = 3

1 2 3 4 5 60x2 + y2 = 9

La grafica de una ecuación polar r = f(θ), o de manera más general F(r; θ), consta de los puntos P que tienen al menos una representación polar (r; θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.


Identificar y hacer la gráfica de la ecuación: = /4

tan tan

= 0

= /4

= /2

= 3/4

=

= 5/4

= 3/2

= 7/4

y

x

Ejemplo:

1xy

xy


1. Resuelve: f() = 0.

2. Si existe al menos un valor para el ángulo , la gráfica sí pasa por el polo (0; ).

¿La gráfica pasa por el polo?

¿Cuales de las siguientes gráficas cuyas ecuaciones polares se dan, pasan por el polo?

a) r = 2 sen

b) r = 2 + sen


Simetría1. Si una ecuación no cambia al

sustituir θ por –θ, la gráfica es simétrica respecto al eje polar

(r ; )

(r ; -)

o

2. Si una ecuación no cambia al sustituir r por –r, la gráfica es simétrica respecto al polo. o(-r ; )

(r ; )

3. Si una ecuación no cambia al sustituir θ por Π – θ, la gráfica es simétrica respecto a la recta vertical q = Π/2 (eje y)

(r ; ) (r ; )


Algunas curvas polares comunesCírculos

CardiodesEn general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma

)cos1( ar ) sen1( ar

)cos1(2 r

) sen1(2 r


cos6r2cos2 r

. Encontrar el área de la región R que se encuentra fuera de la curva y dentro de la curva

.


sen23r .2r

x

y

Calcula el área de la región interna a las curvas

y


Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Sexta ediciónJames Stewart

Ejercicios 10.3 Pág. 647 – 648: 2, 4, 6, 8, 16, 18, 24, 30 y 32.

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