automatización de procesos industriales

Automatizacion de ProcesosIndustriales

Ingeniero de Organizacion. Curso 1o

Jose Mara Gonzalez deDurana

Dpto. I.S.A. EUIUPV/EHUVitoria-Gasteiz

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Copyright c 2005Ultima Revision: Febrero 2004

Indice

1. OBJETIVOS

2. METODO

3. EVALUACION

4. CONTENIDOS

5. Libros recomendados

. Tema 1. Introduccion

1. Perspectiva historica

2. La empresa productiva

2.1. El proceso productivo

2.2. Operaciones basicas de fabricacion

Procesado de un elemento Montaje Movimiento de material Almacenamiento Inspeccion y control

2.3. Tipos de procesos

Job Shops Produccion por lotes Lneas de produccion Produc-cion continua

2.4. Ubicacion de los procesos

Producto en posicion fija Por clases de procesos En flujo deproducto Por tecnologa de grupo

3. El proceso en feedback

3.1. Esquema de regulacion en feedback

3.2. El significado del control

3.3. El control en la empresa

4. La automatizacion industrial

Tecnicas analogicas Tecnicas digitales4.1. Estructuras de automatizacion

4.2. Ventajas e inconvenientes de la automatizacion

4.3. Elementos de la automatizacion

5. Modelos matematicos de sistemas

3

6. Modelado y simulacion de sistemas complejos

6.1. Importancia del modelado

Lenguaje Unificado de Modelizacion (UML)7. Estructura del curso

Parte I. Control de procesos de eventos discretos

. Tema 2. Sistemas booleanos

1. Dispositivos logicos

2. Algebra de Boole

2.1. Funciones booleanas

Formas canonicas2.2. Simplificacion de funciones booleanas

Metodo de Karnaugh Metodo de Quine-McCluskey Algoritmo deQuine

3. Sistemas combinacionales

3.1. Funciones logicas elementales4

Funcion NOT Funcion AND Funcion OR Funcion NAND Funcion NOR Funcion XOR

4. Sistemas secuenciales

4.1. Automata de Mealy

4.2. Automata de Moore

4.3. Tablas de estado

4.4. Diagrama de estado

4.5. Dispositivos biestables

Biestable R-S. Tema 3. Modelos computacionales

1. Grafcet

1.1. Elementos basicos

Etapas Transiciones Segmentos paralelos1.2. Estructuras basicas

Secuencia simple Divergencia OR Convergencia OR Divergencia5

AND Convergencia AND Saltos Posibilidades avanzadas2. Cartas de estado

2.1. Stateflow

2.2. Elementos de una carta de estado

Estados Transiciones Uniones2.3. Elementos de texto especiales

Datos Eventos3. Creacion de un modelo con StateflowSimulink

Observaciones Ejemplo. Control de barrera de ferrocarrilParte II. Control de procesos continuos

. Tema 4. Modelos de sistemas continuos

1. Ecuacion diferencial

1.1. Sistemas lineales - parametros constantes

Modelo externo Modelo interno1.2. Modelo externo

6

1.3. Modelo interno

1.4. Calculo de la respuesta temporal

Calculo de la respuesta con Matlab2. Simulink

Ejemplo. Modelo simple Ejemplo, Circuito electrico Calculo conMatlab para c. alterna

3. Sistemas no lineales pendulo

3.1. Respuesta modelo externo

Resolucion simbolica3.2. Respuesta modelo interno

4. Sistema de primer orden

5. Sistema de segundo orden

6. Linealizacion

Ejemplo. Deposito7. Respuesta de frecuencia

7

7.1. Diagrama de Nyquist

7.2. Criterio de Nyquist

Principio del argumento Criterio de estabilidad de Nyquist Ejem-plo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4

7.3. Diagramas de Bode

8. El lugar de las races

8.1. Reglas para el trazado

8.2. Trazado por computador

. Tema 5. Realizacion del control

1. Realizacion fsica

2. Sensores

2.1. Tipos de sensores

2.2. Clasificacion

2.3. Calibracion

2.4. Tipos de transductores

8

2.5. El potenciometro como sensor de posicion

3. Actuadores

3.1. Tipos de actuadores

3.2. Otros actuadores

3.3. Accesorios mecanicos

3.4. El motor de c.c.

3.5. Ecuaciones diferenciales

3.6. Modelo externo

3.7. Funcion de transferencia del motor

3.8. Reductor de velocidad

3.9. Funcion de transferencia del reductor

3.10.Reductor con poleas elasticas

3.11.Aplicacion practica: sistema de control de posicion

4. Especificaciones de funcionamiento

4.1. Especificaciones en tiempo

9

Valores para el sistema de 2o orden Otros valores4.2. Especificaciones en frecuencia

5. Estabilidad, controlabilidad y observabilidad, sistemas lineales

. Tema 6. Diseno de Sistemas de Control continuos

1. Introduccion

2. Tipos de controladores

Realizacion de los controladores Controlador PID Controladoresde adelanto y de retraso de fase Controlador de adelanto-retraso conred pasiva Controlador de adelanto-retraso con amp. operacional

3. Diseno en el lugar de las races

Efecto de anadir un cero Efecto de anadir un polo3.1. Diseno de un controlador de adelanto de fase

3.2. Diseno de un controlador PID

Parte III. Automatizacion local

. Tema 7. Automatas programables

10

1. Descripcion de un PLC

2. Programacion de PLCs

2.1. Ladder Diagram (LD)

3. Celula flexible SMC

3.1. Automata programable Omron CPM2A-30CDR-A

3.2. Ejemplos

. Tema 8. Sensores

1. Tipos de sensores

1.1. Clasificacion

1.2. Caractersticas

2. Calibracion

3. Tipos de transductores

. Tema 9. Actuadores

1. Tipos de actuadores

11

1.1. Otros actuadores

1.2. Accesorios mecanicos

2. Neumatica

2.1. Valvulas

3. Automatismos electricos

3.1. El rele

3.2. Funciones logicas con reles

Parte IV. Automatizacion global

. Tema 10. Niveles de Automatizacion

1. Fabricacion inteligente

Parte V. APENDICES

. TemaA. Ecuaciones diferenciales

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1. Problema de condiciones iniciales (PCI)

12

2. Estudio cualitativo

3. Orden de una ecuacion diferencial

4. Interpretacion geometrica

5. Sistemas de 2o orden

Interpretacion geometrica6. Solucion numerica

7. Solucion numerica con Matlab

Interpretacion geometrica7.1. Metodo de Kelvin

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1. OBJETIVOS

Formar personas con capacidad para el planeamiento, gestion, diseno y desa-rrollo de proyectos de automatizacion.

Utilizar para ello las tecnologas y metodos de actualidad. Inculcar un marco teorico en el que tengan cabida los complejos procesosproductivos.

Analisis, diseno y realizacion. Visualizar los metodos y tecnologas existentes.

2. METODO

Clases teoricas: proyector (a completar), pizarra, ejercicios. Clases practicas: ordenador, ejercicios, montajes. Trabajos tutorizados. Tutoras: cuestiones, ejercicios, trabajos.

horario 2-cuatr: lunes de 10 a 12, miercoles y jueves de 17 a 19

14

3. EVALUACION

Trabajos: ejercicios, problemas, temas teoricos, programas, montajes.Calificacion: 2. Han de ser concertados con el profesor.

Practicas: ejercicios resueltos por computador, montajes.Calificacion: la nota ( 4) se pondera por el no de asistencias.

Nota: los trabajos y las practicas se hacen durante el curso, no en verano.

Examen: teora y problemas.

Calificaciones maximas:

Trabajos 2Practicas 4Examen 4Total 10

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4. CONTENIDOS

Tema 1. IntroduccionParte I. Control de procesos de eventos discretosTema 2. Sistemas booleanosTema 3. Modelos computacionalesParte II. Control de procesos continuosTema 4. Modelos de sistemas continuosTema 5. Realizacion del controlTema 6. Diseno de sistemas de control continuosParte III. Automatizacion localTema 7. Automatas programablesTema 8. SensoresTema 9. ActuadoresParte IV. Automatizacion globalTema 10. La piramide de automatizacion

Fases. Analisis obtencion de modelos computacionales, matematicos.

. Diseno diseno y programacion de controladores, simulacion.

. Realizacion matematica, computacional, fsica.

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Herramientas

. Programacion en lenguajes estandar: C, C++, Java.

. Programas especficos para control: Matlab, Scilab, Octave, Maple.

Prerrequisitos

. Algebra Lineal: espacios vectoriales, matrices.

. Analisis Matematico: analisis real y complejo (basico), ecuaciones dife-renciales ordinarias.

. Informatica: manejo del ordenador, windows, nociones de programacion(C, C++, Java).

. Fsica: nociones de mecanica, electricidad, calor, fluidos.

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Sistemas continuos en el tiempo

Son sistemas de control cuyo modelo es una ecuacion diferencial (ordinaria)

dx

dt(t) = f(t, x, u), t R, x(t) Rn, u(t) Rq

f : R Rn Rq Rn continua, u : R Rq (entrada, dada)Las soluciones x(t) representan el movimiento del sistema.

Ecuacion de salida y(t) = g(x, u), y(t) Rp.

u1(t)

u2(t)

x(t)

y(t)

18

Sistemas discretos en el tiempo

El modelo es una ecuacion en diferencias finitas. t = k T T Zx((k + 1)T ) = f(kT, x(kT ), u((k + 1)T )), x(t) Rn, u(t) Rq

f : R Rn Rq Rn; u(t) : R Rq (entrada, dada).T R : periodo de discretizacion o de muestreo.Ecuacion de salida y(kT ) = g(x(kT ), u(kT )), y(t) Rp.

Acelerador de iones Tandetron. IBeAM, Arizona State University

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Sistemas de eventos discretos sistemas hbridos

a) Producen eventos: sistemas continuos o discretos.b) Reaccionan ante eventos que reciben (sistemas reactivos).a b) Sistemas hbridos.Modelos matematicos: ecuacion diferencial (ordinaria)

dx

dt(t) = f(t, x, u), t R, x(t) Rn, u(t) Rq

f : R Rn Rq Rn discontinua; u : R Rq (entrada, dada)Modelos computacionales: Matlab + Simulink + Stateflow

u(t)

x(t)

y(t)

s1

s2

s3

20

Ejercicios

Sistemas continuos

. Buscar ejemplos de sistemas de control continuos en t.

. Identificar en ellos las entradas y salidas.

. Si es posible, hallar n, p, q en cada uno de ellos.

Sistemas discretos

. Buscar ejemplos de sistemas de control discretos en t.

Sistemas reactivos

. Buscar ejemplos de sistemas reactivos.

. Identificar los procesos que emiten eventos y los que los reciben.

. Iniciar el estudio de MATLAB, Simulink y Stateflow.

21

5. Libros recomendados

Bibliografa

[1] Paul H. Lewis, Hang YangSistemas de Control en IngenieraPrencice Hall Inc., 1999

[2] Benjamin C. KuoSistemas Automaticos de ControlEditorial Prentice-Hall - 1996

[3] Emilio Garca MorenoAutomatizacion de procesos industrialesEditorial U.P.V. (Universidad Politecnica de Valencia). 1999

[4] M.P. Groover. Automation, Production Systems and Computer Aided Manufacturing.Prentice Hall. 1980.

[5] David HarelStatecharts: A Visual formalism for Complex SystemsScience of Computer Programming 8, (1987) pp. 231-274.

[6] The International Electrotechnical Comision. The International Standard IEC-61631http://www.plcopen.org

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Captulo 1. Introduccion

Automatizacion: teoras y tecnologas para sustituir el trabajo del hombre porel de la maquina. Mecanismo de feedback

Relacionada con las Teoras de Control y de Sistemas.

Adopta los mas recientes avances.

Para automatizar procesos: saber como funcionan esos procesos.

. Procesos continuos

. Procesos comandados por eventos

. Procesos de fabricacion

Estudio Visitas a empresas.

Procesos conectados entre si gestion marco jerarquico

Estructura de la empresa redes locales buses de comunicacion

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1. Perspectiva historica

Fuego:

. Homo sapiens calefaccion alimentos

. Edad Bronce metales ceramica procesos fabricacionEnerga eolica:

. 2000 A.C: embarcaciones a vela

. 1000 A.C.: Fenicios Mediterraneo

. Edad Media: Europa molinos de vientoEnerga hidraulica: 50 A.C: Romanos noriaMaquina de vapor

. James Watt, 1750 Revolucion Industrial

. Maquina de vapor bombas agua (minas de Gales)

. Automatizacion telares (Manchester)

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Teoras, tecnologas y areas

. Teoras

Teoras de Control, Sistemas y Senal Sistemas de eventos discretos Maquinas de estado, Redes de Petri, Grafcet, Statechart

. Tecnologas

Neumatica, Hidraulica Electronica Microprocesadores, Ordenadores, Automatas programables Robotica Comunicaciones Desarrollo del software

. Areas tecnologicas

Automatizacion de las maquinas-herramienta Control por computador, CAD, CAM, CIM Control de procesos distribuido Celulas flexibles

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2. La empresa productiva

Ente socioeconomico adecuacion parcial de flujos: produccion y consumo

Dos subsistemas: uno para medir las necesidades de los consumidores y de tras-ferirles los productos que las satisfagan y otro que se encarga de la produccion.

Elemento productivo Elemento consumidor (de materias primas)

Departamentos o secciones:

. Finanzas

. Gestion

. Compras

. Almacen de materias primas

. Produccion

. Almacen de productos terminados

. Ventas

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Actividad de la empresa

Gestin

Almacn de Almacn deproductos terminadosProduccinmaterias primas

Finanzas

MERCADO

Compras Ventas

Gestion: controla a todos los demas

. parte superior: generacion del producto (gestion de produccion)

. parte inferior: ventas comparas = beneficio (mercadotecnia)Objetivo: maximizar el beneficio.

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2.1. El proceso productivo

Sistema dinamico de control:

(Flujo de producto)-Materia primas Proceso

productivo (Flujo de producto)-Producto terminado

Internamente: diferentes subprocesos conectados entre s.

. bloque o funcion: complejo sistema movido por eventos

. interconexion + naturaleza estocastica = complejidad

. conocer modelos matematicos de los procesos mas simples

.proceso productoproceso 6 producto

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2.2. Operaciones basicas de fabricacion

Procesado de un elemento-Materia prima Mecanizado -Pieza

Montaje

-Mat. prima 1 Mecanizado 1 -Pieza 1

-Mat. prima 2 Mecanizado 2 -Pieza 2

Montaje -Producto

Movimiento de material Almacenamiento Inspeccion y control

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2.3. Tipos de procesos

Job Shops- amplia gama, alta tecnologa, series medianaspequenas

- mano de obra y maquinaria especializadas elevados costes

Produccion por lotes- muy extendida lotes tamano medio, cada lote de una tirada

- maquinaria y el personal preparados cambio lote

Lneas de produccion- cadena grandes series - pocos productos automoviles

- cintas trasportadoras estaciones (proceso o montaje) almacenes

Produccion continua- productos simples grandes cantidades petroqumica

- flujo continuo de producto

30

2.4. Ubicacion de los procesos

Importancia: procesos, comodidad del personal, cableados, buses etc.Programas simulacion (estocastica)

Producto en posicion fijaEl producto no debe moverse obras naval y aeronautica

Por clases de procesosMaquinas en locales por clases de procesos mecanizado flexible

En flujo de productoMaquinas a lo largo del flujo

Por tecnologa de grupoPor clases + en flujo de producto

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3. El proceso en feedback

( )t

B

C

Actuador

x

vlvulaA

xC : consigna de velocidad ref (fija)

Si aumenta

aumenta fuerza centrfuga bolas B se separan A sube x cierra valvula vapor de la caldera baja la presion disminuye

Feedback: artificio basico del control.

Governor de Watt

32

3.1. Esquema de regulacion en feedback

Basico en muchos procesos de la Naturaleza, incluso en los seres vivos.

-yref m+ym(t)

-(t) C -x(t)

A -u(t) m+ -v(t) P r -y(t)

M

6

?

d(t)

yref Entrada de referencia C Controladord(t) Entrada perturbadora A Actuadory(t) Salida P Planta o Proceso(t) Error M Medidor

33

3.2. El significado del control

Controlar: conducir, dirigir, gobernar, comardar, ...trayectoria prefijada controles

chofer volanteaceleradorfrenoscambio de marchas

vehculoTeora de Control

sistema de control = entidad

terminales de entrada (controles) estmulos terminales de salida respuesta

Caja negra o bloque planta o proceso

Entrada Salida- Bloque -

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3.3. El control en la empresa

El esquema de feedback es aplicable los procesos de la empresa.

. Control de produccion

. Control de calidad

. Control de presupuestos

. Control de procesos

Elementos esenciales:

. medida de variables del proceso a controlar

. realimentacion de las variables medidas

. comparacion con una consigna

. actuacion sobre el proceso

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4. La automatizacion industrial

Aplicar feedback procesos continuos procesos movidos por eventos

Tecnicas analogicasControlador: mecanico, neumatico, hidraulico, electrico, electronico, optico

Procesos Continuos controlador PID

x(t) = C((t)) = Kp

(1 + Td

dx(t)dt

+1Ti

t0x()d

)

Tecnicas digitalesOrdenador microprocesadores microcontroladores ordenador personal comuni-caciones software ...

? Controladores para procesos continuos PID

? Control de procesos de eventos discretos automata programable

? Estructuras de control Automatizacion Global

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4.1. Estructuras de automatizacion

Proceso 1 Proceso 3 Proceso 4Proceso 2

. Automatizacion fija produccion muy alta automoviles

. Automatizacion programable produccion baja diversidad de productos

. Automatizacion flexible produccion media pocos productos

. Automatizacion total

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4.2. Ventajas e inconvenientes de la automatizacion

Ventajas:

? Permite aumentar la produccion y adaptarla a la demanda? Disminuye el coste del producto? Consigue mejorar la calidad del producto y mantenerla constante? Mejora la gestion de la empresa? Disminuye de la mano de obra necesaria? Hace mas flexible el uso de la herramienta

Inconvenientes:

Incremento del paro en la sociedad Incremento de la energa consumida por producto Repercusion de la inversion en el coste del producto Exigencia de mayor nivel de conocimientos de los operarios

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4.3. Elementos de la automatizacion

. Mecanica: herramientas, mecanismos, maquinas, elementos de transporte

. Electrica: automatismos electricos, motores electricos de c.c. y c.a., cableados fuerza mando, aparillajes electricos

. Tecnologa Electronica: controladores analogicos, sensores, pre-accionadores,drivers accionamientos, communicaciones, telemando-telemetra, comunica-cion inalambrica

. Neumatica electro-neumatica: cilindros neumaticos, valvulas neumaticas yelectro-neumaticas, automatismos neumaticos

. Hidraulica y electro-hidraulica: cilindros hidraulicos, valvulas hidraulocas yelectro-hidraulicas, automatismos hidraulicos

. Control e Informatica Industrial: controladores de procesos, control por compu-tador, embedded control, automatas programables, vision artificial, robotica,mecatronica, celulas fabricacion flexible mecanizado montaje, controlnumerico, CAD-CAM, CIM, redes y buses comunicaciones

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5. Modelos matematicos de sistemas

Modelo matematico: ecuacion o sistema de ecuaciones que lo representa y cuya evo-lucion en el tiempo se corresponde con la del sistema.

Permite hacer calculos, predicciones, simulaciones y disenar.

Clasificacion:

. Sistemas de tiempo continuo

. Sistemas de tiempo discreto

. Sistemas de eventos discretos

Sistemas de eventos discretos =sistemas reactivos = sistemas comandados por eventos (event-driven systems)

Modelos complejos procesos estocasticos procesos de colas modelos no ma-tematicos basados en computador.

Lenguaje Unificado de Modelado (UML).

6. Modelado y simulacion de sistemas complejos

Dinamica de fluidos sistemas energeticos gestion de negocios40

Teora de Sistemas Teora de Control Analisis Numerico Ciencias de la Computacion Inteligencia Artificial Investigacion Operativa

Mayor importancia cuanto mayor es la complejidad del sistema.

Paradigma de computacion del futuro: metodo para representar los problemas, ana-lizarlos y obtener soluciones

Lenguaje de modelizacion universal:comunicacion equipos empresa miembros de la comunidad cientfica

Un buen lenguaje de modelizacion ha de tener

. Elementos del modelo conceptos fundamentales y semantica

. Notacion representacion visual de los elementos del modelo

. Directivas lenguajes a utilizar para el modelado

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6.1. Importancia del modelado

Mundo Realdel

Entidad

Experimentoobservados de

Datos

en contextoexperimental

dentro de contexto

Resultados

Modelo M

Simulacin

bsicoModelo

Validacin

dentro del contexto

anlisis slo

experimento

deProceso deModelado y Simulacin

Conocimientoa priori del

modelo bsico

Experimento virtualSimulacin =

Sistema S

MODELOREALIDAD

OBJETIVOS

42

Lenguaje Unificado de Modelizacion (UML)Booch, Rumbaugh y JacobsonObjtivos:

1. Otorgar al modelado de sistemas (y no solo al software) la capacidad de utilizarconceptos orientados a objetos.

2. Establecer un acoplamiento explcito con los artefactos tanto conceptual comoejecutable.

3. Tratar los temas inherentes a la escala en los sistemas complejos y de misioncrtica.

4. Crear un lenguaje de modelado entendible tanto por las maquinas como porlos seres humanos.

Versiones 0.9 y 0.91 de UML en Junio y en Octubre de 1996.Version UML 1.3 en Junio de 1999.

43

Objetivos actuales:

. Ofrecer a los usuarios un lenguaje de modelado de uso inmediato, expresivo yvisual, para desarrollar e intercambiar modelos significativos.

. Suministrar mecanismos de extension y especializacion que permitan extenderlos conceptos del nucleo del lenguaje.

. Soportar especificaciones que sean independientes de los lenguajes de progra-macion particulares y de los procesos de desarrollo.

. Dar una base formal para el aprendizaje del lenguaje.

. Animar el crecimiento del mercado de herramientas para objetos.

. Soportar conceptos de desarrollo de alto nivel: components, collaborations, fra-meworks, patterns.

. Integrar las mejores practicas de programacion.

Caractersticas de UML

Consistente lenguaje sin propietario y abierto a todos. Permite especificar, visualizar,construir y documentar los artefactos de software. Vale tambien para el modelado denegocios y otros sistemas. Esta estructurado en 9 paquetes:

44

. Data Types

. Core

. Extension Mechanisms

. Common Behavior

. State Machines

. Activity Graphs

. Collaborations

. Use Cases

. Model Management

45

Consideraciones

Estudio de sistema complejo secuencia de visiones distintas del modeloUn modelo: diferentes niveles de fidelidadLos mejores modelos conectados realidad

Graficos (a modo de vistas) de un modelo

. use case diagram

. class diagram

. behavior diagrams:

statechart diagram activity diagram interaction diagrams

sequence diagram collaboration diagram

implementation diagrams: component diagram deployment diagram

UML no soporta diagramas de flujo de datos

46

7. Estructura del curso

Control de procesos continuos? Diseno controladores procesos t continuo PID

Control de procesos de eventos discretos? Diagramas de estado? Redes de Petri? Grafcet? Statecharts

Automatizacion local? Captadores? Pre-actuadores y actuadores? Automatismos electricos, neumaticos e hidraulicos? Automatas programables Controladores industriales

Automatizacion global? Simulacion de procesos productivos? Redes locales Buses industriales? GEMMA SCADA Control jerarquico

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Bibliografa

[1] Paul H. Lewis Sistemas de Control en Ingeniera. Prentice Hall, Madrid, 1999.

[2] Emilio Garca Moreno Automatizacion de procesos industriales. Editorial U.P.V.(Universidad Politecnica de Valencia), 1999.

[3] K.Lockyer La produccion industrial, su administracion. Representaciones y Ser-vicios de Ingeniera S.A., Mexico, 1988.

[4] M.P. Groover Automation, Production Systems and Computer Aided Manufac-turing. Prentice Hall. 1980.

[5] David Harel Statecharts: A Visual formalism for Complex Systems, Scienceof Computer Programming 8, (1987), pp. 231-274.

[6] Object Modeling Group OMG Unified Modeeling Language Specification. ObjectModeling Group, Inc., Version 1.3, June 1999.

[7] Hans Vangheluwe Modeling and Simulation Concepts. McGill, CA, CS 522 FallTerm 2001.

48

Parte I. Control de procesos de eventos discretos

49

Captulo 2. Sistemas booleanos

1. Dispositivos logicos

Dispositivos fsicos con solo dos estados: mecanicos, interruptor, valvula, transistor automatismos.

0 1

. Sistemas combinacionales

. Sistemas secuenciales

50

Dispositivos biestables: basicos para las memorias RAM

1

2

2

1

sistemas con memoria.

1

2

Figura 2.1: Pulsador

sistemas sin memoria

2. Algebra de Boole

Conjunto U dos operaciones + , tales que a, b, c U :51

1. Idempotentes: a+ a = a a = a2. Conmutativas: a+ b = b+ a, a b = b a3. Asociativas: a+ (b+ c) = (a+ b) + c,

a (b c) = (a b) c4. Absorciones: a (a+ b) = a+ (a b) = a (U,+, ) es un retculo. Si ademas

5. Distributivas: a+ (b c) = (a+ b) (a+ c),a (b+ c) = (a b) + (a c)

(U,+, ) retculo distributivo. Si6. Cotas universales: 0, 1 U tales que

0 a = 0, 0 + a = a, 1 a = a, 1 + a = 17. Complemento: a U a U | a+ a = 1, a a = 0 (U,+, , , 0, 1) es un algebra de Boole.

Z2 := ({0, 1} , OR , AND) es un algebra de Boole.

52

2.1. Funciones booleanas

f : Zn2 Z2(x1, . . . , xn) 7 f(x1, . . . , xn)

Tabla de verdad

f(x1, . . . , xn), g(x1, . . . , xn) equivalentes tablas de verdad coincidenP. ej., f(x1, x2, x3) = x1x2, g(x1, x2, x3) = x1x2(x3 + x3) equivalentes:

x1 x2 x3 f

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1

x1 x2 x3 g

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1

53

Formas canonicas func. booleanas: relacion de equivalencia representantes canonicos:

. suma de min-terms, p. ej., f(a, b, c, d) = abcd+ abcd+ abcd

. producto de max-terms: f = (a+ b+ c+ d)(a+ b+ c+ d)(a+ b+ c+ d)

n variables 2n terminos canonicos diferentesminterms

f(x) x, xf(x, y) xy, xy, xy, xyf(x, y, z) xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz

min-term = numero binario = numero decimalp. ej., xyz = 010 = 2.

Obtencion de la f.c.:

. Tabla de verdad f.c. (inmediato)

. Para i = 1, . . . , n mult. por (xi + xi) los terminos de f sin xi.

54

2.2. Simplificacion de funciones booleanas

Aplicar la ley de complementacion: x+ x = 1 f (x1 + x1) f .f = suma de implicantes primos (terminos irreducibles).

Metodo de Karnaughf(a, b, c, d) = b+ bc

cdab

00 01 11 10

00 00000001

0011

0010

01 01000101

0111

0110

11 11001101

1111

1110

10 10001001

1011

1010

@@ ab

cd 00 01 11 10

00 0 1 1 0

01 0 1 1 0

11 1 1 1 0

10 1 1 1 0

@@ #

"

!#" !

cada casilla representa un min-term

55

Metodo de Quine-McCluskeyEjemplo:

f(x1, x2, x3, x4) = (0, 7, 9, 12, 13, 15)

i min-terms

0 0 0 0 07 0 1 1 19 1 0 0 112 1 1 0 013 1 1 0 115 1 1 1 1Tabla de verdad

u i 1-term 2-term

0 0 0 0 0 0 0 0 0 012 9 1 0 0 1 1 - 1 1

12 1 1 0 0 1 1 0 -3 7 0 1 1 1 - 1 1 1

13 1 1 0 1 1 1 - 14 15 1 1 1 1

(a) Ordenar tabla por numero de unos de cada termino grupos.(b) Los elementos de cada grupo se combinan con los del siguiente.(c) Repetir el proceso hasta que no se puedan combinar mas.

f = x1x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4.

Un termino indiferente puede aprovecharse si cubre mas de un min-term.

56

Algoritmo de QuineComo ya se ha indicado, el metodo de Quine-McCluskey, lo mismo que el de Kar-naugh, se basa en utilizar repetidamente la ley a + a = 1. Dada una funcion f enforma canonica de suma de m min-terms, el algoritmo es el siguiente:

1. Poner todos los min-terms en una lista, ordenados de alguna forma de 1 a m.

2. para i desde 1 hasta m 1 hacerElegir el termino i-esimo, Ti, de la listapara j desde i+ 1 hasta m hacer

Tomar el termino j-esimo, Tj , de la listaSimplificar, si es posible, la expresion Ti+ Tj , aplicando la ley a+ a = 1

y poner el termino simplificado en una nueva lista.

3. Volver al paso 1 con la nueva lista obtenida y repetir el algoritmo

4. El algoritmo termina cuando no es posible simplificar mas.

Gran coste computacional si el n es elevado.

57

3. Sistemas combinacionales

Sistema de control con p entradas u1(t), . . . , up(t) Z2y q salidas y1(t), . . . , yq(t) Z2,

yi(t) = fi(u1(t), . . . , up(t)), i = 1 . . . q.

Tiempo continuo: I R; tiempo es discreto:

I = {t0, t0 + T, . . . , t0 + kT, t0 + 2kT, . . .}, t0, T R.

-u1(t)

-u2(t)

-up(t)

... S.C.

-y1(t)

-y2(t)

-yq(t)

...

Los valores de las salidas en el instante t solo dependen de los valores que en esemismo instante tengan las entradas.

58

3.1. Funciones logicas elementales

Funcion NOTx z

0 11 0

x zd zx Funcion AND

x y z

0 0 00 1 01 0 01 1 1

-x

& -z

-y

xz

y

59

Funcion ORx y z

0 0 00 1 11 0 11 1 1

-x

1 -z-y

xz

y

Funcion NANDx y z

0 0 10 1 11 0 11 1 0

-x

& d -z-y

xz

y

60

Funcion NORx y z

0 0 10 1 01 0 01 1 0

-x

1 d -z-y

x

yz

Funcion XORx y z

0 0 10 1 01 0 01 1 1

-x

= 1 d -z-y

zx

y

61

4. Sistemas secuenciales

Sistema de control con p entradas u1(t), . . . , up(t) Z2 , q salidas y1(t), . . . , yq(t) Z2y n variables de estado.

-u1(t)

-u2(t)

-up(t)

...

x1(t)

x2(t)...

xn(t)

-y1(t)

-y2(t)

-yq(t)

...

Las variables de estado x1(t), . . . , xn(t) Z2 memorizan el comportamiento del sis-tema en instantes anteriores a t.

Modelos: modelo de estado (ecuacion en diferencias finitas), maquinas de estados,redes de Petri modelos computacionales: grafcet, StateCharts.

62

4.1. Automata de Mealy

M1 = {U, Y,X, f, g}U, Y ,X: conjuntos de entrada, de salida y de estado.

estado:{f : U X X

(u, x) 7 x = f(u, x) salida:{g : U X Y

(u, x) 7 y = f(u, x)

4.2. Automata de Moore

M2 = {U, Y,X, f, g}U, Y ,X: conjuntos de entrada, de salida y de estado.

estado:{f : U X X

(u, x) 7 x = f(u, x) salida:{g : X Y(x) 7 y = f(x)

Automata de Mealy Automata de Moore.

63

4.3. Tablas de estado

f(x, u): tabla de transicion, g(x, u): tabla de salida.

Automata de Mealy:

u1 u2 . . . u2q

x1 x1,1 x1,2 . . . x1,2q

x2 x2,1 x2,2 . . . x2,2q...

......

...x2n x2n,1 x2n,2 . . . x2n,2q

u1 u2 . . . u2q

x1 y1,1 y1,2 . . . y1,2q

x2 y2,1 y2,2 . . . y2,2q...

......

...x2n y2n,1 y2n,2 . . . y2n,2q

Automata de Moore:u1 u2 . . . u2q

x1 x1,1 x1,2 . . . x1,2q

x2 x2,1 x2,2 . . . x2,2q...

......

...x2n x2n,1 x2n,2 . . . x2n,2q

x1 y1x2 y2...

x2n y2n

Tamano (maximo): (2n 2q) casillas.

64

4.4. Diagrama de estado

Grafo orientado con N vertices y q aristas.Mealy:

@@xu

0 1A = 00 00 01B = 01 01 10C = 10 00 01

11 Tabla de transicion

@@xu

0 1A = 00 0 0B = 01 0 0C = 10 0 1

11 Tabla de salida

A@GAFBECD1/0

0/0

B@GAFBECD1/0 440/0

33 C@GAFBECD0/0

ZZ444444444441/1ss

Moore:

@@xu

0 1A = 00 00 01B = 01 10 01C = 10 00 11D = 11 10 01

Tabla de transicion

x y

A = 00 0B = 01 0C = 10 0D = 11 1

Tabla de salida

A/ 0@GAFBECD1

0

B/ 0@GAFBECD1 44 0 // C/ 0@GAFBECD0

XX22222222222

1

22 D/1@GAFBECD0rr1

ff

65

4.5. Dispositivos biestables

Son los sistemas secuenciales mas simples.

. Una o dos entradas u1, u2

. Una variable de estado Q

. Una salida y1 = Q (salida adicional y2 = Q).

Asncronos o sncronos.Qt+1 = f(Qt, u1, u2),

Sncronos: Clk senal de reloj

1

t

Clk

0

El valor del estado Q se actualiza en los flancos de bajada.

66

Biestable R-SBiestable asncrono basico.

S

R

Q

Q_

Tabla de transicion:

@@QSR

00 01 11 100 0 0 11 1 1 0

S

R

Q

Q

S

R

Q

Q

Clk

Combinacion de entradas 11 no permitida (contradiccion: Q = Q = 0)

67

Captulo 3. Modelos computacionales

1. Grafcet

Graphe de Comands Etape/Transition. Norma IEC-848: fabricantes PLC.

Aplicable al esquema:

P.C. P.O.

rdenes

eventos

Sistema automatizado de produccion

. Parte operativa: dispositivos que interactuan sobre el producto: preactuadores,actuadores y captadores

. Parte de Comando (control): computadores, procesadores o automatas

68

1.1. Elementos basicos

EtapasRectangulo numerado.Estado o modo de funcionamiento estable del sistema.La Parte de Comando asociada se mantiene invariable.Etapas activas: crculo negro.Etapa inicial: rectangulo doble.

TransicionesSegmento horizontal que corta la lnea de enlace entre dos etapas.

Condicion de paso: receptividad.

Segmentos paralelosProcesos que evolucionan de forma concurrente.

69

1.2. Estructuras basicas

Secuencia simple Divergencia OR Convergencia OR Divergencia AND Convergencia AND Saltos Posibilidades avanzadas

. Paralelismo

. Sincronizacion

. Jerarqua

. Comunicacion

70

2. Cartas de estado

Statecharts David Harel, 1987. Generalizacion maquinas de estados.

. Capacidad de agrupar varios estados en un superestado.

. Posibilidad de ortogonalidad o independencia (paralelismo) entre ciertos esta-dos.

. Necesidad de transiciones mas generales que la flecha etiquetada con un simpleevento.

. Posibilidad de refinamiento de los estados.

Formalismo visual para describir estados y transiciones de forma modular que per-mite el agrupamiento de estados (jerarqua), la ortogonalidad (paralelismo) y el refi-namiento de estados. Admite la visualizacion tipo zoomentre los diferentes nivelesde abstraccion.

Implementaciones: Statemate, Stateflow etc.

71

2.1. Stateflow

Toolbox de Matlab para modelar sistemas de eventos discretos.

Tiene un unico elemento: Chart = carta de estados (D.Harel)

Creacion de un modelo:

Matlab Simulink new-model Chart

. Crear la carta Stateflow

. Utilizar el Explorer de Stateflow

. Definir un interface para los bloques deStateflow

. Ejecutar la simulacion

. Generar el codigoCarta de estados de Stateflow

Generadores de codigo:

. sf2vdh: traductor de Stateflow a VHLD

. sf2plc: genera codigo para programar algunos PLC.

72

2.2. Elementos de una carta de estado

Elementos graficos: cartas, estados, transiciones y uniones Elementos de texto: lenguaje, datos y eventos.

. Carta: maquina de estados generaliza-da bloque de Simulink

. Estados: modos de funcionamiento Nombre / acciones Acciones: entry: a, exit: b, du-

ring: c, on event e : dDescomposicion OR (trazo continuo) yAND (trazo discontinuo).

. Transiciones: saltos Nombre / acciones Nombre: e (evento), [c] (condi-

cion) Acciones: {a} (accion) default-transition

. Uniones puntos de bifurcacion. Conectivas de historia

. Datos Entrada de Simulink Salida de Simulink Local Constante Temporal Workspace

. Eventos Entrada de Simulink Salida de Simulink Local

I/O Simulink: disparo por , o l

73

EstadosSintaxis:

nombre /

entry: accion

exit: accion

during: accion

on event e: accion

Accion: cambiar salida llamada a funcion.

S1

S2

e

Estado (padre) = { subestados (hijos) }

Descomposicion AND : todos activos hijos en lnea discontinua

Descomposicion OR: solo uno activo hijos en lnea continua.

74

Transiciones. Forma de flecha saltos entre estados eventos

. Acciones asociadas

. Transicion por defecto senala el estado inicial

Sintaxis:

e nombre de un evento

[c] expresion booleana condicion

{a} accion

No texto disparo con evento cualquiera en el sistema.

75

Uniones. Forma de pequeno crculo

. Uniones conectivas puntos de bifurcacion decision condicionada

. Uniones de historia descomposicion OR activo = ultimo

C2

e1

e2

e3

P H

C1

76

2.3. Elementos de texto especiales

Datos. Entrada de Simulink

. Salida a Simulink

. Local

. Constante

. Temporal

. Workspace

Eventos. Entrada de Simulink

. Salida a Simulink

. Local

Activacion: flanco subida - flanco de bajada - flanco indiferente

77

3. Creacion de un modelo con StateflowSimulink

Matlab Simulink new-modelStateflow Chart Chart estados, transiciones, etc.Pasos a seguir:

. Crear carta Stateflow

. Establecer interface Simulink Stateflow

. Con Explorer de Stateflow declarar datos y eventos

. Ejecutar la simulacion

. Generar el codigo (ANSI C, sf2vhld, sf2plc)

ObservacionesSimulacion larga: t = inf

Chart File Chart Properties Execute (enter) Chart At Initialization

78

Ejemplo. Control de barrera de ferrocarrilObjetivo cerrar la barrera si llega tren abrirla si ha pasado.

Sistema de eventos discretos: tren llega tren ha pasado.

79

Esquema:

0-xS1 S2

TRENd dddComponentes: barrera con motor-reductor

2 sensores S1 y S2

sistema digital, reles y elementos auxiliares.

Sensores:

S1 en x1 < 0 evento en senal s1 llega tren

S2 en x2 > 0 evento en senal s2 tren ha pasado

Presencia del tren en [x1, x2] sensores S1 y S2.

Operacion sistema:

si S1 se activa la barrera debe cerrarse,

si S2 se activa la barrera puede abrirse.

80

Sistema de control de eventos discretos

division en paralelo (paralelismo) trasmision de eventos.

Sensores: S1 y S2 Manual Switch de Simulink

flanco de subida en s1 : llega el tren

flanco de bajada en s2 : el tren se ha ido.

Carta de estados: dos estados Tren y Barrera, en paralelo.

Barrera dos hijos Abrir y Cerrar, Tren dos hijos Fuera y Dentro.

S2

S1

0

1

0

1

Chart

Tren 1 Barrera 2

Dentro

Fuera

Cerrar

Abrir

s2/e2 e2s1/e1 e1

81

Parte II. Control de procesos continuos

82

Captulo 4. Modelos de sistemas continuos

1. Ecuacion diferencial

Sistema fsicoLeyes fsicas Ecuacion diferencial

ifi = ma

m1 m2

k

b

f t( )

( )x t1x t( )2

0

Ecuacion diferencial:f(t) k (x1(t) x2(t)) b

(dx1(t)dt

dx2(t)dt

)= m1

d2x1(t)dt

k (x1(t) x2(t)) + b(dx1(t)dt

dx2(t)dt

)= m2

d2x2(t)dt

83

1.1. Sistemas lineales - parametros constantes

Modelo externoEcuacion diferencial L G(s) funcion de transferencia

. Modelo entrada salida

. Diagrama de bloques

Modelo internoEcuacion diferencial cambios

{x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t)

modelo de estado

. Algebra lineal

. Calculo por computador

. Sistemas multivariable

84

1.2. Modelo externo

Ecuacion diferencial:

a2x(t) + a1x(t) + a0x(t) = b1u(t) + b0u(t)

Aplicando la transformacion de Laplace tenemos

a2[s2X(s) sx0 x0] + a1[sX(s) x0] + a0X(s) = U(s)[b1s+ b0]

y si suponemos condiciones iniciales nulas queda

X(s) =b1s+ b0

a2s2 + a1s+ a0U(s).

Funcion de transferencia G(s):

X(s) = G(s)U(s)

G(s): funcion racional; denom. de G(s) := polinomio caracterstico.

85

1.3. Modelo interno

Ecuacion diferencial: a2x(t) + a1x(t) + a0x(t) = b1u(t) + b0u(t)

cambios: x1 := x; x2 := x; u1 := u; u2 := u

Modelo de estado{x1(t) = x2(t)x2(t) = a0a2x1(t) a1a2x2(t) + b0a2u1(t) + b1a2x2(t)

Ecuacion de estado:(x1(t)x2(t)

)=(

0 1a0a2 a1a2

)(x1(t)x2(t)

)+(0 0b0a2

b1a2

)(u1(t)u2(t)

)Ecuacion de salida (si salidas estados):(

y1(t)y2(t)

)=(1 00 1

)(x1(t)x2(t)

)+(0 00 0

)(u1(t)u2(t)

)Modelo de estado: {

x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t)

86

1.4. Calculo de la respuesta temporal

1. Resolucion de la ecuacion diferencial

2. Modelo externo G(s):

. Integracion compleja:

y(t) = L1[Y (s)] = 12pij

+jj

Y (s)estds

. Transformada de Laplace expansion frac. simmples:

u(t) L U(s); G(s)U(s) = Y (s); Y (s) L1 y(t). Integral de convolucion:

y(t) = u(t) g(t) = t0g(t )u() d

3. Modelo interno:

. Resolucion de la ecuacion de estado:

x(t) = eAtx(0) + t0eA(t)Bu() d

87

Calculo de la respuesta con Matlab. Circuitos

Calculos con matrices metodos de mallas y nudos

. Sistemas lineales y no lineales

Resolucion ecuacion diferencial ode23 y ode45

. Modelo externo

residue expansion de Y (s) en frac. simples series, parallel, feedback: simplificacion diagr. bloques. impulse, step, lsim respuesta temporal (numerica) Symbolic Toolbox transformadas de Laplace L y L1

. Modelo interno

impulse, step, lsim respuesta temporal (numerica)

. Conversion modelos interno y externo

ss2tf, tf2ss

88

2. Simulink

Simulink: librera (toolbox ) de Matlab para modelado y simulacion.

Modelo externo Modelo interno Sist. no lineales Sist. reactivos

. . .

Ventana grafica de Simulink

Ventana de comandos de Matlab Ventana con la respuesta temporal

89

Inicio: escribir simulink en Matlab command window clic en el icono SimulinkSimulink

Simulink Countinous Discrete Math Operations Signal Routing Sinks Sources

...

+ Dials & Gauges Blockset

+ Stateflow

...

90

Ejemplo. Modelo simpleSistema de control en feedback con

K = 5, G(s) =s+ 1s2 + 4

, H(s) =2s+ 1s+ 1

Ventana para dibujo: File New ModelG(s) y H(s): Continuous Transfer Fcn G(s): numerador = [1, 1] denominador = [1, 0, 4] H(s): numerador = [2, 1] denominador = [1, 1]

K: Math Operations Gain K = 5

Suma: Math Operations Sum (+) () | flechas

91

Entrada escalon: Sources Step Step time = 0, Initial value = 0, Final value = 1.

Visualizacion: Sinks ScopeUnion con flechas

s+1s +42

Transfer FcnSum Step Scope

5

Gain

2s+1s+1

Transfer Fcn 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

t

y(t)

Respuesta temporal

Simulacion: Simulation Simulation parameters t inicial, t final, algoritmo, paso, etc.

92

Ejemplo, Circuito electrico

+

-

3

5

4

62

1

2

3

1

Z

ZZ

Z

Z

Z

i

i

i

v

Metodo de mallas:

v = (z1 + z2 + z4)i1 z2i2 z4i30 = z4i1 z5i2 + (z4 + z5 + z6)i30 = z2i1 + (z2 + z5 + z3)i2 z5i3

En forma matricial: V = Z I, es decirv00

=z1 + z2 + z4 z2 z4z4 z5 z4 + z5 + z6

z2 z2 + z5 + z3 z5

i1i2i3

Solucion:

I = Z1V

93

Calculo con Matlab para c. alternaEscribimos en el archivo circuito.m los datos y las ordenes oportunas.

Vef=220; f=50; w=2*pi*f;R1=1; L1=0.1; C1=100e-6; z1=R1+j*L1*w+1/(i*C1*w)R2=1; L2=0.03; C2=220e-6; z1=R2+j*L2*w+1/(i*C2*w)R3=0.25; L3=0.2; C3=100e-6; z1=R3+j*L3*w+1/(i*C3*w)R4=5; L4=0.1; C4=100e-6; z1=R4+j*L4*w+1/(i*C4*w)R5=20; L5=0.01; C5=100e-6; z1=R5+j*L5*w+1/(i*C5*w)R6=25; L6=0.33; C6=100e-6; z1=R6+j*L6*w+1/(i*C6*w)V = [Vef 0 0]Z = [ z_1+z_2+z_4 - z_2 - z_4

-z_4 - z_5 z_4+z_5+z_6-z_2 z_2+z_5+z_3 - z_5 ];

I = inv(Z)*V

Para hacer el calculo, en la pantalla de comandos de Matlab escribimos

>> circuito

y, pulsando Enter , obtendremos el vector intensidades:

I = [17.9962 + 10.1363i, 2.1462 3.5405i, 0.4702 1.3816i]

94

3. Sistemas no lineales pendulo

mg

f (t)

Ecuacion diferencial:f(t)mg sin((t))ma = 0f(t)mg sin((t))ml(t) = 0ml +mg sin() f(t) = 0

Cambio x1 := , x2 := : x1 = x2x2 = f(t)mg sinx1l m

En el archivo pendulo.m escribimos:function x_prima=pendulo(t,x)l=1; m=1; g=9.8; % Parametrosif t> t0=0; tf=5; % Interv. integracion>> x0=[0 0]; % Cond. iniciales>> [t,x]=ode23(pendulo,t0,tf,x0);>> plot(t,x)

95

3.1. Respuesta modelo externo

b

k

( )

( )tf

t0 x

m

Ecuacion diferencial:mx(t) + bx(t) + kx(t) = f(t)

Lms2X(s)+bsX(s)+kX(s)=F (s)

f(t) = 1(t) F (s) = 1/sExpansion en fraciones simples:

G(s) = 1ms2+bs+k

; X(s) = G(s) 1sX(s) = r1sp1 +

r2sp1 +

r3sp3

L1 es inmediata:y(t) = r1ep1t + r2ep2t + r3ep3t

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

y(t)

Calculo de x(t) con Matlab:>> m=1; b=1; k=1; B=1;>> A=[m b k 0];>> [r,p,c]=residue(B,A)>> t=[0:0.05:15];>> x=r(1)*exp(p(1)*t)

+r(2)*exp(p(2)*t)+r(3)*exp(p(3)*t);

>> plot(t,x)

Mas sencillo aun: con impulse, step o lsim .

96

Resolucion simbolicaSymbolic Toolbox de Matlab Maple core

. Transformada de Laplace L(f(t)) = F (s):

>> F = laplace(f,t,s)

. Transformada inversa de Laplace L1(F (s)) = f(t):

>> f = ilaplace(F,s,t)

El mismo ejercicio anterior:

>> syms s t>> m=1; b=1; k=1;>> G = 1/(ms^2+b*s+k);>> U = 1/s;>> Y = G * U ;>> y = ilaplace(Y,s,t);>> ezplot(y, [0,15], axis([0, 15, 0, 1.25])

grafica igual que la de antes.97

3.2. Respuesta modelo interno

m1 m2

k

b

f t( )

( )x t1x t( )2

0

f(t)k(x1(t)x2(t))b(x1(t)x2(t))=m1x1(t)k(x1(t)x2(t))+b(x1(t)x2(t))=m2x2(t)

Cambios: x3 = x1, x4 = x2, u := f x1= km1x1 + km1x2 bm1 x1 + bm1 x2 + 1m1ux2=+ km2x1 km2x2 + bm2 x1 bm2 x2

Modelo de estado (sup. salidasestados):x1x2x3x4

=

0 0 1 00 0 0 1km1

km1

bm1

bm1

km2

km2

bm2

bm2

x1x2x3x4

+

001m10

uy1y2y3y4

=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

x1x2x3x4

+0000

u

Resolucion con Matlab:

>> m_1=1; m_2=2;>> k=0.1; b=0.25;>> A=[0 0 1 0

0 0 0 1-k/m_1 k/m_1 -b/m_1 b/m_1k/m_2 -k/m_2 b/m_2 -b/m_2]

>> B=[0 0 1/m1 0]>> C=eye(4,4); D=zeros(4,1);>> S=ss(A,B,C,D); % crea sistema>> t=[0:0.1:12];>> % Respuesta a escalon unitario:>> y=step(S,t)>> % Grafica de la respuesta:>> plot(t,y)

98

4. Sistema de primer orden

-U(s) As+ a

-Y (s)

Entrada:

. Impulso de Diracu(t) = (t) L U(s) = 1G(s)U(s) = As+a = Y (s)L1(Y (s)) = y(t) = Aeat

. Escalon unitariou(t) = 1(t) L U(s) = 1/sG(s)U(s) = As(s+a) = Y (s)

L1(Y (s)) = y(t) = Aa Aa eat

:= 1/a constante de tiempo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

Respuesta impulsional

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

Respuesta al escalon

99

5. Sistema de segundo orden

-U(s) 2n

s2 + 2ns+ 2n-Y (s)

Entrada: Impulso de Dirac

u(t) = (t) L U(s) = 1G(s)U(s) =

2n

s2+2ns+2n= Y (s)

y(t) = n12 e

nt sin (n

12) t

Escalon unitariou(t) = 1(t) L U(s) = 1/sG(s)U(s) =

2n

s(s2+2ns+2n)= Y (s)

y(t) = 1 112 e

nt sin (n

12t+ )

n: pulsacion nat. : coef. amort.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

Respuesta impulsional

s1

s2

im

re

n

n

100

6. Linealizaciona) Caso monovariable.

x = f(x(t), u(t), t), x R, u RSolucion {x0(.), u0(.)} (equilibrio). Perturbamos:

x(t) = x0(t) + x(t), u(t) = u0(t) + u(t)

Suponemos que

(x)i = o(x, u), (u)i = o(x, u), i > 1

Derivando respecto a t,

x(t) = x0(t) + x(t)

tenemos que

x(t) = x(t) x0(t)f(.) lisa Desarrollo Taylor:f(x, u, t)= f(x0, u0, t) + fxx+ fuu+ o(x, u)x x0= fxx+ fuu+ o(x, u)

x=Ax+Bu+ o(x, u)

en donde

A = fx(t) =f

x

x0,u0

, B = fu(t) =f

u

x0,u0

b) Caso multivariable f(.),x(.),u(.): vectores.

fx(.) y fu(.): jacobianos de f(.) resp. de x y u

Jx0 =fx

x0,u0=

0

B

@

f1x1

. . . f1xn

. . . . . . . . .fnx1

. . . fnxn

1

C

A

x0,u0

Ju0 =fu

x0,uo=

0

B

@

f1u1

. . . f1un

. . . . . . . . .fnu1

. . . fnun

1

C

A

x0,u0

De dondex = fxx+ fuu (4.1)

o bienx(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)

en donde x(t) = x(t), u(t) = u(t),

A(t) = fx(t), B(t) = fu(t)

Las matrices A(t) y B(t) (jacobianos) son funcio-nes de tiempo si la solucion de la ecuacion diferen-cial no es constante.

101

Ejemplo. Deposito

q t( )

a t( )

h t( )

Area A1

Elemento masa m:

Ep = mgh(t) =1

2mv(t)2 = Ec,

velocidad de salida v(t) =p2gh(t).Caudal de salida:

q(t) = a(t)v(t) = a(t)p

2gh(t)

Pero caudal = variacion de volumen,

q(t) =d

dtA1h(t) = A1

dh

dtIgualando,

dh

dt=

1

A1a(t)p

2gh(t)

Punto de funcionamiento (o estado de equilibrio)a0, h0: valores de equilibrio de (a(t), h(t)).

x(t) := h(t)h0 y u(t) := a(t)a0 : pequenosincrementos.

f(h, a) =1

A1a(t)p

2gh(t),

Derivando f respecto de h, tenemos

f

h

ho,a0

=1

A1

2ga

22gh

ho,a0

=ga0

A12gh0

:= A,

y, derivando f respecto de a,

f

a

ho,a0

=1

A1

p

2gh0 := B.

Modelo linealizado en h0, a0:

x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t)

Hemos supuesto (implcitamente) que no hayperdidas de energa por rozamiento.

102

7. Respuesta de frecuencia

-U(s) G(s) -Y (s) G(s) =b(s)a(s)

estable

Entrada sinusoidal:

u(t) = sint L U(s) = s2 + 2

s2 + 2

G(s) = Y (s)

Y (s) =k0

s i +k0

s+ i+

k1s s1 +

k2s s2 + . . .+

kns sn

s1, . . . , sn: races (sup. simples) de a(s); k0, k0, k1, . . . , kn: resduos de Y (s).

y(t) = k0eit + k0eit + K1es1t +K2es2t + . . .+Knesnt yss(t) 0

yss(t) =M sin(t+ )

M = |G(i)| , = argG(i)

103

7.1. Diagrama de Nyquist

Es un grafico en C de la funcionG : R C

7 G(i)Metodos:

. Manual tabla de valores

G(s) =1

s+ 1M = |G(i)| = argG(i)

M

0.0 1.000 0.00.5 0.894 -26.61.0 0.707 -45.01.5 0.555 -56.32.0 0.447 -63.43.0 0.316 -71.65.0 0.196 -78.710.0 0.100 -84.3

. Con Matlab: [M,phi] = nyquist(num,den,w)

104

7.2. Criterio de Nyquist

Sirve para averiguar si un sistema con realimentacion, de la forma

- jU(s) Y (s)- G(s) -H(s)

6

r

es estable o no, conociendo el diagrama de Nyquist de G(s)H(s) y el numero de polosen C+ de G(s)H(s).

Principio del argumentoSea f : C C analtica en todos los puntos excepto en un numero finito de polosde un dominio D y en todos los puntos de su contorno , y sean Zf y Pf los numerosde polos y de ceros, respectivamente, de f(z) en D. Entonces

Zf Pf = 12pis arg f(z)

105

-6 Plano z

Principio del argumento

-

6Plano f(z)

-

6 Plano s

Criterio de Nyquist

-

6

1

Plano G(s)H(s)

106

Criterio de estabilidad de NyquistG(s) = nGdG , H(s) =

nHdH

, G(s)H(s) = nG nHdG dH

T (s) = G(s)1+G(s)H(s) =nGdG

1+nG nHdG dH

= nG dHdG dH+nG nH

F (s) = 1 +G(s)H(s) = 1 + nG nHdG dH =dG dH+nG nH

dG dH

polos de T (s) ceros de F (s)polos de G(s)H(s) polos de F (s)

Aplicamos el principio del argumento a F (s):

12pi

s argF (s) = ZF PF

= PT PGHCriterio de Nyquist:

PT = PGH +12pi

s argF (s)

No polos de T (s) en C+ = No de polos de G(s)H(s) en C+ + No de vueltas deG(s)H(s) alrededor de (-1 + 0j)

107

Ejemplo 1

2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

Plano s

1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

Plano G(s)H(s)

G(s) =1

(s+ 1)(s+ 2), H(s) = 2

Polos de G(s)H(s) = {1,2}

PT = PGH +12pi

sargF (s) = 0 + 0 = 0

T (s) =G(s)

1 +G(s)H(s)es estable.

108

Ejemplo 2

2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

Plano s

1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

Plano G(s)H(s)

G(s) =5

s3 + 5s2 + 9s+ 5, H(s) = 1

Polos de G(s)H(s) = {2 + i,2 i,1}

PT = PGH +12pi

sargF (s) = 0 + 0 = 0

T (s) =G(s)

1 +G(s)H(s)es estable.

109

Ejemplo 3

2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

Plano s

2 1.5 1 0.5 01

0.5

0

0.5

1

Plano G(s)H(s)

G(s) =5

s4 + 4s3 + 4s2 4s 5 , H(s) = 2

Polos de G(s)H(s) = {2 + i,2 i,1, 1}

PT = PGH +12pi

sargF (s) = 1 + 1 = 2.

T (s) =G(s)

1 +G(s)H(s)es inestable.

110

Ejemplo 4

2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

Plano s

2 1.5 1 0.5 01

0.5

0

0.5

1

Plano G(s)H(s)

G(s) =5

s4 + 4s3 + 4s2 4s 5 , H(s) = 1.4(s+ 0.95)Polos de G(s)H(s) = {2 + i,2 i,1, 1}

PT = PGH +12pi

sargF (s) = 1 1 = 0.

T (s) =G(s)

1 +G(s)H(s)es estable.

111

7.3. Diagramas de Bode

Se compone de dos graficos en R, asociados a la funcionG : R C

7 G(i),que representan M() y ().

Metodos:

. Manual lapiz y regla

. Con Matlab: bode(num,den,w)

n=10

=1/8

-40 dB/dec

112

8. El lugar de las races

-U(s) j+ - k - G(s) s -Y (s)H(s)

6

G(s) =nGdG

, H(s) =nHdH

, k R

G(S)H(s) =nG nHdG dH

=Z(s)P (s)

= K(s z1)(s z2) . . . (s zm)(s p1)(s p2) . . . (s pn)

T (s) =kG(s)

1 + kG(s)H(s)=

knGdG1 + knGdG

nHdH

=k nG dH

dG dH + k nG nH

=k nG dH

P (s) + k Z(s)=

nTdT

L.R. es el lugar geometrico, en C, de las races de dT (s) al variar k en R+

113

8.1. Reglas para el trazado

Z(S)P (s)

=|s z1|ejz1 . . . |s zm|ejzm|s p1|ejp1 . . . |s pn|ejpn

=|s z1||s z2| . . . |s zm||s p1| . . . |s pn| e

ji

Ecuacion caracterstica: P (s) + kZ(S) = 0m

kZ(S)P (s)

= 1 k |s z1| . . . |s zm||s p1| . . . |s pn| eji = ej(2k+1)pi, k = 0, 1, 2, . . .

1. Condicion angulo trazado

arg[kG(s)H(s)] = i = (2k + 1)pi

2. Condicion de magnitud calculo de k en cada punto

k =|s p1| . . . |s pn||s z1| . . . |s zm|

Reglas para el trazado

114

8.2. Trazado por computador

Ejemplo de trazado del lugar de las races mediante MATLAB:

G(s)H(s) =s+ 1

s(s+ 2)(s2 + 6s+ 13)

>> num=[1 1]>> den=conv([1 2 0],[1 6 13])>> rlocus(num,den)

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

Eje Real

Eje Im

ag

115

Captulo 5. Realizacion del control

Realizaciones

. Realizacion matematica lineal de orden n.Dada G(s) R(s)pq, hallar A, B, C, D, tales que el sistema{

x(t) = Ax(t) +B u(t)y(t) = C x(t) +Du(t),

con A Rnn, B Rnq, C Rpn, D Rpq, tenga por matriz de transfe-rencia G(s). Se llama realizacion minimal si el numero entero n es el menor quepuede encontrarse. Las mas simples son las llamadas realizaciones canonicas:controlador, observador, controlabilidad y observabilidad.

. Realizacion analogica. modelo circuito electronico

. Realizacion digital. programa (Matlab, Simulink, C++, Java, etc.)

. Realizacion fsica. prototipo fabricacion

116

1. Realizacion fsica

-Entrada m+ - C - A - P r -Salida

S

6

P Planta o proceso a controlar. fijo dado

A Actuador. potencia suficiente para moverla planta

S Sensor. adecuado a la senal de salida

C Controlador. PID adelanto/retraso analogico/digital

. En el caso lineal los bloques son funciones de transferencia

. Diferentes tecnologas: neumatica, electrica, electronica

. Los bloques A y S son (practicamente) constantes

. Problema de diseno: Dada la planta P , hallar C para que el sistema funcionede forma adecuada (especificaciones).

117

2. Sensores

Partes de un sensor

Captador: dispositivo con un parametro p sensible a una magnitud fsica h emiteenerga w que depende de p (y de h). Ideal: w(t) = K h(t), K = cte.

Transductor: recibe la energa w del captador, la transforma en energa electricae(t) y la retransmite.

Acondicionador: recibe la senal e(t) del transductor y la ajusta a los niveles devoltaje e intensidad, precisos para su posterior tratamiento, dando v(t).

h t( ) e t( ) ( )v tp h( )

( ) ( ) ( )w p h tAcondicionadorTransductor

Captador

Sensor = Captador + Transductor + Acondicionador

. Analogicos: todas las senales son analogicas

. Digitales: v(t) digital.

Sistemas de control: medicion de variables que intervienen en el proceso.El sensor ha de ser de gran calidad. Estatica Dinamica.

118

2.1. Tipos de sensores

Analogicos: parametro sensible magnitud fsica

. Resistencia R desplazamiento, temperatura, fuerza (galgas)

. Capacidad C desplazamiento, presencia

. Autoinduccion, reluctancia L desplazamiento (nucleo movil)

. Efecto Seebeck temperatura (termopar)

. Piezoelectricidad fuerza, presion

. Dispositivos electronicos temperatura, presion

. Avanzados: ionizacion, ultrasonidos, laser, camaras CCD, etc.

Digitales: binarios o n bits

. Fin de carrera presencia (interruptor)

. Dilatacion temperatura (termostato)

. Resistencia, capacidad, autoinduccion presencia

. Efecto fotoelectrico presencia (1 bit), posicion (n bits), velocidad119

2.2. Clasificacion

Aspecto tipos

. Senal de salida analogicos, digitales

. Energa pasivos, activos

. Funcionamiento deflexion, comparacion

Caractersticas

Aspecto caractersticas

. Diseno electrico, diseno mecanico, actuacion

. Escalas rango, resolucion

. Estatica precision, linealidad, histeresis, repetitividad, derivas

. Dinamica orden cero, orden uno, orden dos

. Fiabilidad

120

2.3. Calibracion

Ensayo: entrada h = magnitud de valor conocido salida medida v

Tabla de calibracion: varios puntos h1 v1, . . . , hn vn, dentro del rangoCurva de Calibracion: representacion grafica (h, v)

Necesario: aparato de medida de mayor precision que el sensor

Linealizacion: curva de calibracion lnea recta

. Por punto final: v = mh, en donde m = vn/hn

. Por lnea independiente: v = mh+ b

. Por mnimos cuadrados: v = mh+ b, en donde

m =

n

ni=1

hivi ni=1

hi

ni=1

vi

nni=1

h2i (

ni=1

hi

)2 , b =ni=1

vi

nm

ni=1

hi

n

121

2.4. Tipos de transductores

Temperatura. Termistor parametro sensible: R (ptc, ntc)

. Termopar T v rapido (ms) senal debil T alta

. Circuitos integrados LM335 (10 mV/0K), AD592 (1 A/0K).

Posicion. Resistivos potenciometro (R) lineal y angular

. Inductivos LVDT

. Encoder digital lineal y angular

. Ultrasonidos

. Laser

Velocidad. Dnamo tacometrica

. Encoder

Aceleracion, fuerza, presion, luz, color, etc.122

2.5. El potenciometro como sensor de posicion

R

Rx

V +

?i(t)

x(t)

vx(t)

0

Rx =

Ax(t)

i(t) =V +

R

vx(t) = Rx i(t) =

Ax(t)

V +

R= Kpot x(t)

. Ventajas: precio economico

. Inconvenientes: rozamiento ruido en la medida

. Tipos: lineal circular de una vuelta de varias vueltas

. Si ponemos V en vez de 0 mide x negativos

123

3. Actuadores

Actuador: dispositivo que ejerce acciones de cierta ponencia.Transforma energa: electrica electrica electrica mecanica etc.

3.1. Tipos de actuadores

Actuadores hidraulicos potencia alta

. Principio de Pascal aceite especial 200 bar 0.25 l/s

. Cargas mayores de 6 o 7 Kg

. Control: servovalvulas (con motor) controlan el flujo de fluido

Actuadores neumaticos potencia baja control neumatico

. Cilindros - motores - movimientos rapidos - poca precision

. fluido: aire aire comprimido 5 a 10 bar

Actuadores electricos

. Motores electricos: C.C., C.A, lineales, paso a paso, brushless, etc.

124

3.2. Otros actuadores

. Reles automatismos electricos

. Contactores

. Arrancadores y Drivers para motores

. Amplificadores electronicos de potencia

3.3. Accesorios mecanicos

. Maquinas simples: plano inclinado, palanca, biela-manivela, engranajes, rodi-llos, poleas, agitadores, vibradores, etc.

. Poleas, cremalleras, pinones: translacion rotacion

. Reductores de velocidad

. Maquinas complejas

125

3.4. El motor de c.c.

va(t)

+

N

S

?

?

?ia(t)(t)

126

3.5. Ecuaciones diferenciales

va(t)+

vf (t)

+

ea(t)

Ra

La Lf

Rf-ia(t) if (t)

(t)

inductor: vf (t) = Rf if (t) + Lfdifdt

inducido: va(t) ea(t) = Ra ia(t) + Ladiadt

flujo magnetico: (t) = kf if (t)

par motor: Pm(t) = kt (t) ia(t)

variables de rotacion: (t) =d

dt(t) =

d

dtf.c.e.m.: ea(t) = ke (t)(t)

carga mecanica: Pm(t) Pl(s) = Jmddt

+Bm(t)

127

3.6. Modelo externo

Transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas:

vf (t) = Rf if (t) + Lfdifdt

L= Vf (s) = (Rf + sLf )If (s)va(t) ea(t) = Ra ia(t) + La diadt

L= Va(s) Ea(s) = (Ra + sLa)Ia(s)(t) = kf if (t)

L= (s) = kf If (s)Pm(t) = kt (t) ia(t)

L= Pm(s) = kt (s) Ia(s)(t) = ddt (t) =

ddt

L= (s) = s(s) (s) = s(s)ea(t) = ke (t)(t)

L= Ea(s) = ke (s)(s)Pm(t) Pl(t) = Jmddt +Bm(t)

L= Pm Pl = s Jm +Bm(s)

Motor de c.c. controlado por inducido: = cte. Kt = kt , Ke = ke

-Va(s) m+ - 1sLa +Ra

- Kt - m+ - 1sJm +Bm

r -(s)

Ke

6

?

Pl(s)

Ia(s) Pm(s)

Ea(s)

128

3.7. Funcion de transferencia del motor

Y (s) = G(s)U(s) G(s) R(s)12

U(s) =[Va(s)Pm(s)

]G(s) =

[G11 G12

]Y (s) = (s)

G11 =Kt

(sLa +Ra)(sJm +Bm)(1 +

KtKe(sLa +Ra)(sJm +Bm)

)=

Kts2LaJm + s(LaBm +RaJm) +RaBm +KtKe

G12 =1

(sJm +Bm)(1 +

KtKe(sLa +Ra)(sJm +Bm)

)=

sLa +Ras2LaJm + s(LaBm +RaJm) +RaBm +KtKe

(s) =[G11 G12

] [Va(s)Pm(s)

]= G11Va(s) +G12Pm(s)

129

3.8. Reductor de velocidad

1 2 3 4

Pm

Pl

1 : Pm(t) P21(t) = J1 d21dt2 +B1 d1dtL= Pm(s) P21(s) = s (J1s+B1) 1(s)

2 : P12(t) P32(t) = J2 d22dt2 +B2 d2dtL= P12(s) P32(s) = s (J2s+B2) 2(s)

3 : P23(t) P43(t) = J3 d23dt2 +B3 d3dtL= P23 P21(s) = s (J3s+B3) 3(s)

4 : P34(t) Pl(t) = J4 d24dt2 +B4 d4dtL= P34 Pl(s) = s (J4s+B4) 4(s)

-Pm(s) + - D2d1 -+ - D3d2 -+ - D4d3 -+ - 1sJ4+B4 s- 1s -4(s)

D4d3

6

J3s+B3

6

sD3d2

6

J2s+B2

6

sD2d1

6

J1s+B1

6

?

Pl

P21 P12

1

P32 P23

2

P43 P34

3 4

130

3.9. Funcion de transferencia del reductor

El diagrama de bloques puede reducirse a

-Pm(s) m+ - 1sJr +Br

-1(s) Kr -4(s) 1

s-4(s)

?Pl(s)

1Kr

?

en donde

Jr = d12d2

2d32

D22D4

2D32 J4 + d1

2d22

D32D2

2 J3 + d12

D22 J2 + J1

Br = d12d2

2d32

D22D4

2D32 B4 + d1

2d22

D32D2

2 B3 + d12

D22 B2 +B1

Kr = d1 d2 d3D2D3D4 .

Es un sistema de primer orden (para ) o de segundo (para ).

131

3.10. Reductor con poleas elasticas

-Pm(s)+ - 1J1s+B1 -1(s) 1s s -1(s)?r1

?x1(s)+K12f12(s) s6

r1

6P21(s)

?R2

?P12(s)

+ - 1J2s+B2 -2(s) 1s s -2(s)6

R2

6x2(s)

?6P32(s)

-Pl(s) +

1 : f12(s) = K12(r11(s)R22(s))P21(s) = r1 f12(s) P12(s) = R1 f12(s)

Pm(s) P21(s) = s (J1s+B1)2 : f23(s) = K23(r22(s)R33(s))P32(s) = r2 f23(s) P23(s) = R3 f23(s)

P12(s) P32(s) = s (J2s+B2)3 : f34(s) = K34(r13(s)R24(s))P43(s) = r3 f34(s) P34(s) = R4 f34(s)

P23(s) P32(s) = s (J3s+B3)4 : P34(s) Pl(s) = s (J4s+B4)

Es un sistema de orden 2 no de poleas. Modelo externo: formula de Mason.

132

3.11. Aplicacion practica: sistema de control de posicion

Motor de c.c.

PoleasCarrito

C AS+

Vxr

x(t)

Entrada = Vx control referencia consigna

Salida = x(t)

C Controlador = PID analogico

A Actuador = Amplificador de potencia

P Planta = Motor c.c. + Poleas + Carrito

S Sensor = Potenciometro

133

4. Especificaciones de funcionamiento

Son condiciones que se exigen a un sistema de control para que su funcionamientosea aceptable.

1. Estabilidad

2. Rapidez

3. Precision

Las especificaciones de funcionamiento suelen expresarse por numeros que se definena partir de

. la respuesta en el tiempo

. la respuesta en frecuencia

Problema de diseno: dado una planta o proceso a controlar y fijadas unas especifica-ciones de funcionamiento, obtener el modelo matematico de un controlador tal que elsistema de control resultante cumpla tales especificaciones.

134

4.1. Especificaciones en tiempo

. Respuesta temporal: grafica de la senal de salida.

. Entradas de prueba: impulso de Dirac, escalon unitario, funcion rampa, funcionparabola, etc.

. Respuesta para entrada escalon revela especificaciones.

Mp : estabilidad

tp : rapidez

error : precision

135

Valores para el sistema de 2o ordeny(t) = 1 +

11 2 e

nt sin(n1 2t ), = arctan

1 2

y(t) = ent(2n1 2 + n

1 2

)sin(n

1 2t) = 0

sin(n1 2t) = 0 t = kpi

n1 2 , k = 0, 1, 2, . . .

Para k = 1 (primer maximo),

tP =pi

n1 2 ; y(tP ) = 1 +

11 2 e

ntp(1 2 cospi + sinpi)

y(tp) = 1 +MP Mp = epi/

12

Otros valorestr =

arctan(1 2/)

n1 2 , ts '

4n

,1n

= constante de tiempo

136

4.2. Especificaciones en frecuencia

Respuesta de G(s) con u(t) = A sin(t):

yss(t) =M sin(t+ ), M = |G(j)|, = argG(j)

Frecuencias de corte: A, B; -3 dB Anchura de banda BW = B A

rapidez Ganancia en BW: constante

precision Margenes de ganancia y fase

estabilidad

No hay una relacion explcita entre las especificaciones en tiempo y en frecuencia.

137

5. Estabilidad, controlabilidad y observabilidad, sistemas lineales

Sistema lineal S: modelo de estado[A BC D

] R(n+q)(n+p) G(s) R(s)pq. Estabilidad G(s) polos simples s1, s2, . . . , sn

y(t) = k1es1t + k2es2t + . . .+ knesnt

Si algun si C+ y(t) sistema inestable.. Controlabilidad: Q = [B AB A2B . . . An1B] Rnnq

. Observabilidad: R = [C CA CA2 . . . CAn1]T Rnpn

S controlable rankQ = n S observable rankR = n

Si S es controlable y observable se puede realizar un feedback de estado para reubicarlos polos de S, i.e., se puede

S inestablestate feedback S estable

138

Captulo 6. Diseno de Sistemas de Control continuos

1. Introduccion

Aplicacion en numerosos campos en tecnologa y ciencia.

. pilotos automaticos en barcos o aviones

. control teledirigido de naves espaciales

. controles de posicion y velocidad maquinas herramientas

. control de procesos industriales robots

. controles en automoviles suspension activa

. controles en electrodomesticos

Desarrollo: Bajo coste y miniaturizacion de electronica.

Objeto del diseno: controlador.

Control: sistemas SISO y MIMO.

Realizacion: componentes electronicos analogicos computador digital.139

2. Tipos de controladores

Diseno: determinar Gc(s) para conseguir un adecuado funcionamiento.

Gc Gp

H

R(s)

D(s)

Y(s)

Controlador Gc(s):

P Proporcional : Gc(s) = Kp

I Integrador : Gc(s) = 1sTi

D Derivativo : Gc(s) = sTd

PID Gc(s) = Kp(1 + 1sTi + sTd)

140

Realizacion de los controladores

P

R

R2

R1

ViVo

V0Vi

=R1 +R2

R1= Kp =

R1 +R2R1

I

R 1

R

V

C 1

iV o V0

Vi= 1

sR1C1; Ti = sR1C1

D

R 1

R

V C 1iV o V0

Vi= sR1C1; Td = sR1C1

141

Controlador PID

Kp

1

1

dsT

isT

Vi Vo

Gc = V0Vi = Kp(1 + 1sTi + sTd

)Kp = R5R4 , Ti = R2C2, Td = R3C3

R 1V

C 2

i

V o

C 3

R 1R 4

R 4

R4

R 5

R 1

R 3

142

Controladores de adelanto y de retraso de faseGc =

V0Vi

= Kcs zcs pc

{a) | zc || pc | retraso de fase

R1

C

R2Vi Vo

R1

R2

Vi Vo

C

a) b)

Gc = Kc szcspc =1+Ts(1+Ts) Gc = Kc

szcspc =

1+Ts1+Ts

= R1+R2R2 , T =CR1R2R1+R2

= R1+R2R2 , T = R2C

143

Controlador de adelanto-retraso con red pasiva

R1

Vi Vo

R2

C1

C 2

Gc =V0Vi

=(1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T1s)(1 + T2s)

donde > 1, = 1/, T1 = R1C1, T2 = R2C2 y T1T2 = R1R2C1C2.

144

Controlador de adelanto-retraso con amp. operacional

R1Vi

C1

R2

C2

Vo

Gc =V0Vi

= Kcs zcs pc =

C1(s+ 1/R1C1)C2(s+ 1/R2C2)

. Eliminando R2 controlador PI

. Eliminando C2 controlador PD

145

3. Diseno en el lugar de las races

G(s) =1s2

Sistema marginalmente estable para cualquier K.

146

Efecto de anadir un ceroCero en z1 = (2.5, 0); G(s) = s+ 2.5

s2

Es como si z1 tirase del L.R. hacia s, estabilizando el sistema.

147

Efecto de anadir un poloPolo en p1 = (2, 0); G(s) = 1

s2(s+ 2)

Es como si p1 empujara al L.R., desestabilizando el sistema.

148

3.1. Diseno de un controlador de adelanto de fase

El controlador esGc(s) = Kc

s zcs pc , |zc| < |pc| (6.2)

Diseno: hallar zc y pc para que el L.R. pase por un punto dado, definido a partir delas especificaciones de funcionamiento.

Ejemplo. Dado un sistema con

G(s) =1s2, H(s) = 1, (6.3)

disenar un controlador de adelanto de fase para conseguir las siguientes especificacio-nes de funcionamiento:

Mp < 0.2, Ts < 4 s para = 2%

siendo la banda de tolerancia de error.

149

Resolucion.Para el sistema de 2o orden sabemos que

Mp = epi/

12 = ln(Mp)ln(Mp)2 + pi2

= 0.456.

Para t = 4 tenemos que et/ = e4 = 0.0183 < 0.02. Por tanto, si ts = 4 tenemosque para t > ts se cumple que y(t) < 0.02.

ts = 4 =4n

Sustituyendo,

4 =4

0.456n n = 2.22.

Por tanto, el punto s0 C correspondiente a las especificaciones dadas es:

s0 = n in1 2 = 1 2i.

Ahora el problema es calcular Gc(s) para que el L.R. pase por s0.

150

Ponemos el cero del controlador en el punto zc = 1, bajo el punto s0 = (1 2i)por donde ha de pasar el L.R.

re

im

-1-2-3-4-5

1

2

3

90 116.56

Raz deseada

p

Por la condicion de angulo,

90o 2(116.56o) p = 180o p = 38o,

se deduce que el polo ha de ser pc = 3.6. Aplicando ahora la condicion de moduloen el punto s = 1 + 2i resulta Kc = 8.1.

151

El lugar de las races del sistema con controlador es

El controlador disenado es Gc(s) = 8.1s+ 1s+ 3.6

.

152

3.2. Diseno de un controlador PID

Ejemplo. Se trata disenar un controlador PID para un sistema con Gp(s) = 1/s2 yH(s) = 1. Las especificaciones son las mismas en el ejemplo anterior.

Mp < 0.2, Ts < 4 s para = 2%

siendo la banda de tolerancia de error.Resolucion.

Como en el ejemplo anterior, el lugar de las races ha de pasar por el punto s0 =(1 2j). La funcion de transferencia del PID es

Gc = Kp

(1 +

1sTi

+ sTd

)= Kp

TdTis2 + Tis+ 1Tis

= TdKps2 + 1Td s+

1TdTi

s= Kc

(s z1)(s z2)s

,

con Kc = TdKp.

153

re

im

-1-2-3-4-5

1

2

3

90 116.56

Raz deseada

z2

Metodo simple:

(a) suponemos que los ceros z1 y z2 son reales,

(b) ponemos el cero z1 bajo la raz s0 deseada,

(c) aplicando la condicion de angulo, determinamos el otro cero,

(d) aplicando la condicion de modulo, hallamos Kp.

154

(a) z1 y z2 en el eje real.

(b) z1 = 1(c) Condicion de angulo:

90o + z2 3(116.56o) = 180o, z2 = 3(116.56) 180o 90o = 79.6952o

z2 = 1.3636.Con z1 y z2 ya podemos hallar Td, Ti y Kp:

Kcs2 + 1Td s+

1TdTi

s= Kc

(s z1)(s z2)s

Kc s2 + 2.3636s+ 1.3636

s,

siendo Kc = TdKp, de donde resulta

Td =1

2.3636= 0.4231 s, Ti =

2.36361.3636

= 1.7333 s

(d) Por ultimo, aplicando la condicion de modulo, hallamos Kp.

(12 + 22)3

2(1.3636 1)2 + 22 = 2.750 = Kc Kp =

KcTd

= 6.5

155

156

Control del balanceo de una barra

Diseno de un sistema de control para mantener una barra en posicion vertical.

xf

y Barra de longitud l y masa m Movimiento en el plano xy Fuerza f(t) horizontal Desplazamiento x(t) de la base Giro (t) de la barra

Es posible el control sin feedback de labarra?

157

Modelo matematico. 2a ley de Newton :

P = Jd2

dt2

f(t)(t)

mg

O

J := l0x2dm =

l0x2Adx = A

l3

3=

13Al l2 =

13ml2

f(t)l

2cos (t) +mg

l

2sin (t) = J

d2

dt2

Linealizacion: cos ' 1, sin ' 13ml2

d2

dt2mg l

2(t) =

l

2f(t) L

d2dt2 3g2l (t) = 32ml f(t)

(s2 3g2l )(s) = 32mlF (s)

Modelo externo: (s) =3

2ml

s2 3g2lF (s)

Datos: g = 9.8,m = 1, l = 1 polos : p1 = 3.834058, p2 = 3.834058.

158

Lugar de las races.

8 6 4 2 0 2 4 6 85

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Sistema inestable o marginalmente estable con controlador P

159

Diseno de un controlador.

Especificaciones:

tp =14, Mp =

13

Sistema de segundo orden:

Mp = epi/

12 = ln(Mp)ln(Mp)2 + pi2

= 0.403712

tp =pi

n1 2 n =

pi

tp1 2 = 10.301589

Polo del sistema:

s0 = n i n1 2 = 4.158883 9.424777i

Problema: hallar Gc(s) para que el L.R. pase por s0.

160

Calculo de los parametros de Gc(s).

p1zcp2pc

s0

p1p2zcpc

pc = 4 8.440951 = 12.440951

Condicion de angulo:zc p1 p2 pc = (2k + 1)pi pc = 0.840410 rad =48.151970o

Condicion de modulo:

K =|s0 p1||s0 p2||s0 pc|

|s0 zc| = 156.425395

161

Parte III. Automatizacion local

162

Captulo 7. Automatas programables

1. Descripcion de un PLC

Externamente un PLC se compone de una o varias cajas de plastico acopladasmecanica y electricamente entre s. Una de ellas contiene la CPU (Central ProcessUnit) y las otras son modulos complementarios para entradas, salidas, comunicacio-nes, alimentacion y otras funciones especiales.

CPU

. Datan de la decada de los 80 sustituir reles y temporizadores.

. Potentes PLC: operaciones potentes tipo maestro.

. PLCs de gama baja: actuadores senso-res pocas I/O tipo esclavo.

Tanto la CPU como los modulos adicionales tienen bornas para los cables de conexiondel automata con sensores y actuadores as como con otros automatas y ordenadores.

163

Arquitectura de un PLC

Buses: direcciones datos control

EEPROMROMCPURAMEPROM

opto entradasrels salidas

. Sistema basado en microprocesador.

. Entradas opto-acopladas y filtradas, salidas por rele.

. Alta inmunidad al ruido gran fiabilidad.

164

Cableado directo I/O (obsoleto)

Proceso 1 Proceso 2 Proceso 3

CPU

Drivers Drivers

. Sensores y actuadores clasicos.

. Las entradas salidas se cablean hasta el proceso.

. Posiblilidad de errores de transmision.

. Gran cantidad de cables.

165

Cableado por bus de campo

Proceso 1 Proceso 2

CPU

CPU

1

0

22 3

. Sensores y actuadores inteligentes.

. Automata esclavo en proceso.

. Reducido numero de cables.

. Posibilidad de usar elementos de radiofrecuencia.

166

2. Programacion de PLCs

Lenta evolucion de los lenguajes de control industrial.

Motivo: los programas se pueden usar en areas en las que los fallos pueden originarriesgos para la seguridad humana o producir enormes perdidas economicas.

Antes de que una nueva tecnica ser aceptada, debe ser probada para verificar quecumple unas severas condiciones de seguridad y fiabilidad.

Los programas deben ser comprendidos por otras personas ajenas al programador:tecnicos (electricistas, mecanicos, etc.), encargados de planta e ingenieros de proceso lenguajes con caractersticas especiales.

Es posible resolver el mismo problema con diferentes lenguajes. El grado de dificultadpuede variar.

Hay sistemas que convierten automaticamente de un lenguaje a otro.

Programacion con raton mediante interfaces graficas bajo windows.

167

La norma IEC 1131

Intento de normalizacion del empleo de PLCs en automatizacion.

Antes de la IEC 1131-3: lenguajes especficos de cada PLC confusion, mala coordinacion y perdidas de tiempo y dinero.

Objetivo de la IEC 1131-3: hacer que los programas se entiendan mejor.

Familias de la IEC 1131:

. IEC 1131-1 Informacion general: definicion de terminos, normas para la eleccionde PLCs y perifericos.

. IEC 1131-2 Hardware: requisitos mnimos de construccion y servicio.

. IEC 1131-3 Lenguajes de programacion: elementos comunes, sintaxis, semantica.

. IEC 1131-4 Gua de usuario: para todo proyecto de automatizacion.

. IEC 1131-5 Comunicaciones: PLC perifericos, PLC PLC, PLC PC.

168

La IEC 1131-3. Lenguajes de programacion

Norma para el diseno de software para sistemas de control industrial, en particularpara PLCs (Programmable Logic Controller).

Fue publicada por primera vez en 1993. Hasta entonces no haba ningun estandarpara la programacion de sistemas PLC.

Lenguajes incluidos en la norma IEC 61131-3:

. Structured Text (ST)

. Function Block Diagram (FBD)

. Ladder Diagram (LD)

. Instruction List (IL)

. Sequential Function Chart (SFC)

Metodologa flexible de programacion.

Permite combinar bloques realizados en diferentes lenguajes.

169

2.1. Ladder Diagram (LD)

. Lenguaje de contactos

. Disenado para tecnicos electricistas

. Cada contacto representa un bit: entrada, salida, memoria

. Diseno con Statecharts, SFC.

. Automatas gama alta: programables en C o SFC

. Automatas gama baja: conversion (manual) SFC LD

M a

B

b c

Si se activa la entrada M yno se activa el bit a o se activa el bit b y se activa el bit centonces se activa la salida B.

170

Conversion manual SFC LDON

e1keep(11)

e0

e0 r1

e2keep(11)

e1

e1 r2

e3keep(11)

e2

... ...en1 rn

en+1keep(11)

en

00

r1

1

r2

2

r3... rn

n

rn+1

171

3. Celula flexible SMC

Transfer (cinta trasportadora) + 8 Estaciones.

Producto: montaje simple

172

Estacion 1 Elementos

. Actuadores: 6 cilindros neumaticoscontrolados por electrovalvulas

. Sensores: detectores magneticos

. Pulsadores de marcha, paro y rearme.

. Selector ciclo, seccionador, seta emergencia

. Piloto indicador error

. PLC con 13 entradas y 10 salidas

Operaciones

. Sacar la base del almacen (cilindro A)

. Verificar posicion correcta (cilindro V)

. Trasladar base al manipulador (cilindro T)

. Rechazar base incorrecta (cilindro R)

. Insertar base en palet (cilindros MH y MV)173

Grafcet estacion 1

174

Simulacion estacion 1 en Matlab

175

vacio

rearme

pos

c.i.

vLRx

T

Scope

vLRx

P

vLRx

MV

vLRx

MH

0

Falta material

vLRx

E0

Defecto

0

1

0

1

0

0

1

1base

vacio

ci

vAvPvTvE

vMVvMH

FMPD

Chart

vLRx

A

176

estacion1s/Chart

Printed 03May2005 18:20:38

S6a/entry: vT=0;% traslado atras

S1/entry:vA=1; % avance AP S30/entry:PD = 1;

S2/entry: vA=0;vP=1; % bajar VP S31/

% poner c.i.

S2w/entry: vP=0;t0=t;

S32/entry:PD = 0;

S3/entry:vP=1; % subir VP

S3w/entry:vP=0;t0=t; % temporizador

S4/entry:vA=1; % retro. A

S5/entry: vA=0;vT=1; % trasladar

S6/entry: vT=1;% traslado atras

S0/

S7/entry: vE=1;% expulsar

S9/entry: vMV=1;% bajar MV

S8/entry: vE=1;% expulsor atrasexit: vE=0;

S10/entry:vMV=0;

S11/entry:vMV=1; % subir MV S20/entry:FM = 1;

S12/entry: vMV=0;vMH=1; % avance MH S21/entry: FM=0;

vMV=1; % subir MVexit: vMV=0;

S13/entry: vMH=0;vMV=1; % bajar MV

S14/entry: vMV=0; % cesar vacio ven

S15/entry:vMV=1; % subir MV

S16/entry: vMV=0;vMH=1; % retro MHexit: vMH=0;

mh0

mv0

[ci==1] [ci==0]

e0

a1 rearme

p1[ci==1]

[t>t0+5]

p0

[t>t0+5]

a0

tr1

tr0

[base==1][base==0]

e1 mv1

[vacio==1][vacio==0]

mv0rearme

mh1

mv1

mv0

177

3.1. Automata programable Omron CPM2A-30CDR-A

18 entradas??????????????????

12 salidas

????????????

Programa Memoria

RS-232Perif.

Lenguaje: LD + instrucciones 16 bits

Entradas: IR 00000-IR 00915 (o bits)Ch: 00.00 a 00.11 y 01.00 a 01.05Salidas: IR 01000-IR 01915 (o bits)Ch: 10.00 a 10.07 y 11.00 a 00.03Bits: IR 02000-IR 04915 y IR 20000-IR 22715Especial: SR 22800-SR 25515Temporal: TR 0-TR 7Holding: HR 0000-HR 1915Auxiliar: AR 0000-AR 2315Link: LR 0000-LR 1515Timers: TIM/CNT000 to TIM/CNT255Memoria datos: DM0000-DM6655 (RW)Interrupciones externas: 4Salida de pulsos: 2 puntos 10KHzEntradas respuesta rapida: 4 (50 s)Controles analogicos: 2 (0-200)2 Puertos comunicaciones: perif., RS232

178

3.2. Ejemplos

Programa 1: al pulsar M se encendera la luz FM.

M

0.00FM

11.01

179

Programa 2: al pulsar M se encendera la luz FM y se mantendra encendida; al pulsarP se apagara.

M

0.00 keep(11)

eP

0.01

e

hr00FM

11.01

180

Diseno con StateCharts

va

vr

sisdx

cilindro A

Scope

M

1

0

va

vr

Chart

x(t)

0

1

3x

2sd

1si

1s

0

1

1

0

2vr

1va

chart_1cil_doble_4e/Chart

Printed 09May2005 12:07:20

I/va=0;vr=0;

D/va=0;vr=0;

R/va=0; %retro.vr=1;

A/va=1; %avancevr=0;

M sd

si M

181

Implementacion con LD

ON

0.00

R

20.03

si

0.04 keep(11)

IA

20.01

I

20.00

M

0.01 keep(11)

AD

20.02

A

20.01

sd

0.05 keep(11)

DR

20.03

D

20.02

M

0.01 keep(11)

RI

20.00

A

20.01

gva10.01

R

20.03

gvr10.02

182

Captulo 8. Sensores

Partes de un sensor

Captador: dispositivo con un parametro p sensible a una magnitud fsica h emiteenerga w que depende de p (y de h). Ideal: w(t) = K h(t), K = cte.

Transductor: recibe la energa w del captador, la transforma en energa electricae(t) y la retransmite.

Acondicionador: recibe la senal e(t) del transductor y la ajusta a los niveles devoltaje e intensidad, precisos para su posterior tratamiento, dando v(t).

h t( ) e t( ) ( )v tp h( )

( ) ( ) ( )w p h tAcondicionadorTransductor

Captador

Sensor = Captador + Transductor + Acondicionador

. Analogicos: todas las senales son analogicas

. Digitales: v(t) digital.

Sistemas de control: medicion de variables que intervienen en el proceso.El sensor ha de ser de gran calidad. Estatica Dinamica.

183

1. Tipos de sensores

Analogicos: parametro sensible magnitud fsica

. Resistencia R desplazamiento, temperatura, fuerza (galgas)

. Capacidad C desplazamiento, presencia

. Autoinduccion, reluctancia L d