alumnos apuntes 13

7/30/2019 ALUMNOS APUNTES 13

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Ing. Jorge Antonio Sandoval Ortega Curso de Fsica Nivel Superior 2013

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Ques la fsica? Qupapel des em pean las mat emticas ?

Qu es la fsica?La fsica puede definirse como la ciencia queinvestiga los conceptos fundamentales de la materia,la energa y el espacio, y las relaciones entre ellos.

Mecnica se refiere a la posicin y al movimiento de lamateria en el espacio.

Esttica es el estudio de la fsica aplicadoa los cuerpos en reposo.

Dinmica se ocupa de la descripcin del movimiento ysus causas.

La fsica tambin se relaciona con el estudio del calor, la luz, el sonido, la electricidad, magnetismo y laestructura atmica.

Qupap el des em pean las mat emtic as ? Las ecuaciones matemticas describen exactamente un suceso fsico. Las matemticas se emplean para resolver ecuaciones con cantidades especficas.

Las matemticas se emplean para derivar las ecuaciones que describen sucesos fsicosRegla de la suma:

Para sumar dos nmeros del mismo signo, se suman los valores absolutos de los nmeros y se pone elsigno comn a la suma resultante.

Ejemplo: Sume (-6) ms (-3); Para sumar dos nmeros de diferente signo, se encuentra la diferencia entre sus valores absolutos y al

resultado se le pone el signo del nmero con mayor valor.

Ejemplo: Sume (-6) ms (+3);

Regla de la resta: Para restar un nmero bcon signo, de otro nmero acon signo, se cambia el signo de b y se suma

a a, aplicando la regla de la suma.Ejemplo: Reste (-6) a (-3):

Regla de la mu lt ipl icacin: Si dos factores tienen signos iguales, su producto es positivo. Si dos factores tienen signos diferentes, su producto es negativo.

Regla de la divisin: Si dos nmeros tienen signos iguales, su cociente es positivo. Si dos nmeros tienen signos diferentes, su cociente es negativo.

Materia Energa

Espacio


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Una ecuacin expresa en un a igualdad, la igualdad d ebe de mantenerse.

Si: x + 1 = 4 entonces x debe ser igual a 3 para mantener la igualdad. Por ejemplo:

Lo que se haga en un lado de laecuacin, debe realizarse en el otrolado para mantener la igualdad.

Sume o reste el mismo valor en ambos lados de laecuacin.

Multiplique o divida ambos lados por el mismo valor. Eleve al cuadrado o saque la raz cuadrada de ambos

lados.

Regla de la mu lt ipl icacin:

Cuando dos cantidades con la misma base se multiplican, su producto

se obtiene sumando algebraicamente los exponentes.

Expon ente negativoUn trmino que no es igual a cero puede tener un exponente negativo.

Expon ente ceroCualquier cantidad elevada a la potencia cero es igual a 1. Regla de la divisin:Cuando dos cantidades de la misma base se dividen su cociente se

encuentra efectuando la resta algebraica de sus exponentes.

Potencia de una potenc iaCuando una cantidad a

mse eleva a la potencia n:

() La potencia de un pro ductose obtiene al aplicar el exponente acada uno de los factores.

() La potencia de un cocientese obtiene al aplicar el exponente a cadauno de los factores.

[]

Races de u n pro du cto :La raz n - ensima de un producto es igual al producto de las racesn - ensimas de cada factor:

Races de u na p ot enc ia:

Las races de una potencia se calculan aplicando la definicin deexponentes fraccionarios:

Grfi cas .

Relacin d irecta

Al aumentar los valores en el eje vertical aumentan enforma proporcional los valores del eje horizontal.

Relacin ind irecta

Al aumentar los valores en el eje vertical disminuyenen forma proporcional los valores del eje horizontal.


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Sistema Internacion al de Un idades (S.I.)

Cada magnitud fundamental tiene una unidad fundamental que en el Sistema Internacional de unidades (S.I)son:

La observacin de un fenmeno es en general, incompleta a menos que d lugar a una informacin cuantitativa.Para obtener dicha informacin, se requiere la medicin de una propiedad fsica. As, la medicin constituye unabuena parte de la rutina diaria del fsico experimental.

La medicin es la tcnica por medio de la cual asignamos un nmero a una propiedad fsica, como resultado deuna comparacin de dicha propiedad con otra similar tomada como patrn, la cual se ha adoptado comounidad.

Supongamos una habitacin cuyo suelo est cubierto debaldosas, tal como se ve en la figura, tomando una baldosacomo unidad, y contando el nmero de baldosas medimos lasuperficie de la habitacin, 30 baldosas. En la figura inferior,la medida de la misma superficie da una cantidad diferente 15baldosas.La medida de una misma magnitud fsica (una superficie) da lugar a dos cantidades distintas debido a que sehan empleado distintas unidades de medida.

Este ejemplo, nos pone de manifiesto la necesidad de establecer una nica unidad de medida para unamagnitud dada, de modo que la informacin sea comprendida por todas las personas.

An teceden tes. El Sistem a Mtric o Dec imal.

Este sistema de medidas se estableci en Francia con el fin de solventar los dos grandes inconvenientes quepresentaban las antiguas medidas:

1. Unidades con el mismo nombre variaban de una provincia a otra.2. Las subdivisiones de las diferentes medidas no eran decimales, lo cual representaba grandes

complicaciones para el clculo.

Se trataba de crear un sistema simple y nico de medidas que pudiese reproducirse con exactitud en cualquiermomento y en cualquier lugar, con medios disponibles para cualquier persona.

En 1795 se instituy en Francia el Sistema Mtrico Decimal. Mxico se convirti en uno de los primeros pasesen seguir los pasos de Francia en la implantacin del sistema mtrico decimal de pesas y medidas, en marzo de1857, con lo cual el metro, el litro y el kilogramo se convirtieron en las medidas oficiales de la Repblica

Mexicana.

Su instauracin fue muy difcil en todos los pases y en Mxico tard desde la poca de Jurez y Maximilianohasta los aos de Lzaro Crdenas, cuando se logr que toda la poblacin adoptara el sistema y lo incluyera ensu vida cotidiana.

El Sistema Mtrico se basa en la unidad "el metro" con mltiplos y submltiplos decimales. Del metro se derivael metro cuadrado, el metro cbico, y el kilogramo que era la masa de un decmetro cbico de agua.

En aquella poca la astronoma y la geodesia eran ciencias que haban adquirido un notable desarrollo. Sehaban realizado mediciones de la longitud del arco del meridiano terrestre en varios lugares de la Tierra.

Magnitudes fundamentalesUnidades

Nombre SmboloLongitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo sIntensidad de corriente elctrica ampere A

Temperatura termodinmica kelvin KCantidad de sustancia Mol molIntensidad luminosa candela cd


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Finalmente, la definicin de metro fue elegida como la diezmill onsim a parte de la lon gitu d de un cu arto d elmeridiano terrestre. Sabiendo que el radio d e la Tierra es 6.37 x 10

6m

Como la longitud del meridiano no era prctica para el uso diario. Se fabric una barra de platino, querepresentaba la nueva unidad de medida, y se puso bajo la custodia de los Archives de France, junto a launidad representativa del kilogramo, tambin fabricado en platino. Copias de del metro y del kilogramo sedistribuyeron por muchos pases que adoptaron el Sistema Mtrico.

La definicin de metro en trminos de una pieza nica de metal no era satisfactoria, ya que su estabilidad nopoda garantizase a lo largo de los aos, por mucho cuidado que se tuviese en su conservacin.

A finales del siglo XIX se produjo un notable avance en la identificacin de las lneas espectrales de los tomos.A. Michelson utiliz su famoso interfermetro para comparar la longitud de onda de la lnea roja del cadmio conel metro. Esta lnea se us para definir la unidad denominada angstrom.

En 1960, la XI Confrence Gnrale des Poids et Mesures aboli la antigua definicin de metro y la reemplazpor la siguiente:

El metro es la longitud igual a 1 650 763.73 longitudes de onda en el vaco de la radiacin correspondiente a latransicin entre los niveles 2p10 y 2d5 del tomo de kriptn 86.

Este largo nmero se eligi de modo que el nuevo metro tuviese la misma longitud que el antiguo.

La velocidad de la luz en el vaco ces una constante muy importante en fsica, y que se ha medido desde hacemucho tiempo de forma directa, por distintos procedimientos. Midiendo la frecuencia fy la longitud de onda dealguna radiacin de alta frecuencia y utilizando la relacin c = f se determina la velocidad de la luz cdeforma indirecta con mucha exactitud.

El valor obtenido en 1972, midiendo la frecuencia y la longitud de onda de una radiacin infrarroja, fue C= 299792 458 m/s con un error de 1.2 m/s, es decir, cuatro partes en 109.

La XVII Confrence Gnrale des Poids et Mesures del 20 de Octubre de 1983, aboli la antigua definicin demetro y promulg la nueva:

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaco por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 desegundo.La nueva definicin de metro en vez de estar basada en un nico objeto (la barra de platino) o en una nicafuente de luz, est abierta a cualquier otra radiacin cuya frecuencia sea conocida con suficiente exactitud.

La velocidad de la luz queda convencionalmente fijada y exactamente igual a 299 792 458 m/s debida a ladefinicin convencional del trmino m (el metro) en su expresin.Otra cuestin que suscita la nueva definicin de metro, es la siguiente: no sera ms lgico definir 1/299 792458 veces la velocidad de la luz como unidad bsica de la velocidad y considerar el metro como unidadderivada?. Sin embargo, la eleccin de las magnitudes bsicas es una cuestin de conveniencia y desimplicidad en la definicin de las magnitudes derivadas.

Uni dad es bsic as.

Magnitud Nombre SmboloLongitud metro m

Masa kilogramo kgTiempo segundo s

Intensidad de corriente elctrica amper ATemperatura termodinmica kelvin K

Cantidad de sustancia mol molIntensidad luminosa candela cd


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Unidad de longitud:metro (m)

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaco por la luz durante un tiempo de1/299 792 458 de segundo

Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo

Unidad de tiempoEl segundo (s) es la duracin de 9 192 631 770 periodos de la radiacincorrespondiente a la transicin entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamentaldel tomo de cesio 133.

Unidad de intensidadde corriente elctrica

El amper(A) es la intensidad de una corriente constante que mantenindose en dosconductores paralelos, rectilneos, de longitud infinita, de seccin circular despreciable ysituados a una distancia de un metro uno de otro en el vaco, producira una fuerzaigual a 2 x 10-7 newton por metro de longitud.

Unidadde temperaturatermo dinmica

El kelvin (K), unidad de temperatura termodinmica, es la fraccin 1/273,16 de latemperatura termodinmica del punto triple del agua.

Observacin: Adems de la temperatura termodinmica (smbolo T) expresada enkelvins, se utiliza tambin la temperatura Celsius (smbolo t) definida por la ecuacin t =T - T0donde T0= 273,15 K por definicin.

Unidad de cantidadde sustancia

El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidadeselementales como tomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.

Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que puedenser tomos, molculas, iones, electrones u otras partculas o grupos especificados de

tales partculas.

Unidad de intensidadluminosa

La candela (cd) es la unidad luminosa, en una direccin dada, de una fuente que emiteuna radiacin monocromtica de frecuencia 5401012 hertz y cuya intensidad energticaen dicha direccin es 1/683 watt por estereorradin.

Unidades derivadas sin dimensin.

Unidad de ngulo plano

El radin (rad) es el ngulo plano comprendido entre dos radios de un

crculo que, sobre la circunferencia de dicho crculo, interceptan un arcode longitud igual a la del radio.

Unidad de ngulo slidoEl estereorradin (sr) es el ngulo slido que, teniendo su vrtice en elcentro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera unrea igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.

Unidades SI derivadasLas unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades bsicas ysuplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de lasunidades SI bsicas y/o suplementarias con un factor numrico igual 1.

Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI bsicas ysuplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un smbolo particular.Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien nombres deunidades bsicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se admite elempleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distincinentre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, conpreferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se prefiere el newton metro al

joule.

Magnitud Nombre Smbolo Expresin en unidades SI bsicasngulo plano Radin rad mm- = 1ngulo slido Estereorradin sr m m- = 1


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Unidades SI derivadas exp resadas a parti r de u nidades bsicas y sup lementarias.

Unidad de velocidadUn metro por segundo (m/s o ms- ) es la velocidad de un cuerpo que,con movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro en 1 segundo

Unidad de aceleracinUn metro por segundo cuadrado (m/s o ms- ) es la aceleracin de uncuerpo, animado de movimiento uniformemente variado, cuya velocidadvara cada segundo, 1 m/s.

Unidad de nmero de ondasUn metro a la potencia menos uno (m- ) es el nmero de ondas de unaradiacin monocromtica cuya longitud de onda es igual a 1 metro.

Unidad de velocidad angular

Un radin por segundo (rad/s o rads- ) es la velocidad de un cuerpo que,

con una rotacin uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1radin.

Unidad de aceleracin angular

Un radin por segundo cuadrado (rad/s o rads- ) es la aceleracinangular de un cuerpo animado de una rotacin uniformemente variadaalrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular, vara 1 radin porsegundo, en 1 segundo.

Unidades SI derivadas c on nom bres y smb olos especiales.

Unidad de frecuenciaUn hertz (Hz) es la frecuencia de un fenmeno peridico cuyo periodo es 1segundo.

Unidad de fuerzaUn newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masade 1 kilogramo, le comunica una aceleracin de 1 metro por segundocuadrado.

Unidad de presinUn pascal (Pa) es la presin uniforme que, actuando sobre una superficieplana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficieuna fuerza total de 1 newton.

Magnitud Nombre SmboloSuperficie metro cuadrado mVolumen metro cbico mVelocidad metro por segundo m/s

Aceleracin metro por segundo cuadrado m/sNmero de ondas metro a la potencia menos uno m-

Masa en volumen kilogramo por metro cbico kg/mVelocidad angular radin por segundo rad/sAceleracin angular radin por segundo cuadrado rad/s

Magnitud Nombre SmboloExpresin en

otrasunidades SI

Expresin enunidades SI

bsicasFrecuencia hertz Hz s-

Fuerza newton N mkgs- Presin pascal Pa Nm- m- kgs-

Energa, trabajo,cantidad de calor

joule J Nm m kgs-

Potencia watt W Js- m kgs- Cantidad de electricidad

carga elctricacoulomb C sA

Campo elctrico N/C V/m M kg s-2 C-1Potencial elctrico

fuerza electromotrizvolt V WA- m kgs- A-

Resistencia elctrica ohm VA- m kgs- A- Capacidad elctrica farad Fd CV- m- kg- s A

Flujo magntico weber Wb Vs m kgs- A-

Induccin magntica tesla T Wbm- kgs- A- Inductancia henry H WbA- m kg s- A-


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Unidad de energa, trabajo,cantidad de calor

Unjoule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, cuyopunto de aplicacin se desplaza 1 metro en la direccin de la fuerza.

Unidad de potencia, flujoradiante

Un watt (W) es la potencia que da lugar a una produccin de energa iguala 1 joule por segundo.

Unidad de cantidad deelectricidad, carga elctrica

Un coulomb (C) es la cantidad de electricidad transportada en 1 segundopor una corriente de intensidad 1 ampere.

Unidad de campo elctricoSe define a la intensidad del campo elctrico en un punto dado como el cocientede la fuerza que acta sobre una carga de prueba situado en un punto del campo

elctrico entre el valor de la carga de prueba.Unidad de potencial elctrico,fuerza electromotriz

Un volt (V) es la diferencia de potencial elctrico que existe entre dospuntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidadconstante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre estos puntos esigual a 1 watt.

Unidad de resistencia elctrica Un ohm () es la resistencia elctrica que existe entre dos puntos de unconductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicadaentre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente deintensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor.

Unidad de capacidad elctrica Un farad (Fd) es la capacidad de un condensador elctrico que entre susarmaduras aparece una diferencia de potencial elctrico de 1 volt, cuandoest cargado con una cantidad de electricidad igual a 1 coulomb.

Unidad de flujo magntico Un weber(Wb) es el flujo magntico que, al atravesar un circuito de unasola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si seanula dicho flujo en un segundo por decaimiento uniforme.

Unidad de induccin magntica Una tesla (T) es la induccin magntica uniforme que, repartidanormalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a travsde esta superficie un flujo magntico total de 1 weber.

Unidad de inductancia Un henry (H) es la inductancia elctrica de un circuito cerrado en el que seproduce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la corriente elctricaque recorre el circuito vara uniformemente a razn de un ampere porsegundo.

Unidades SI derivadas expresadas a parti r de las que tienen nomb res especiales

Unidad de viscosidad dinmica

Un pascal segundo (Pas) es la viscosidad dinmica de un fluidohomogneo, en el cual, el movimiento rectilneo y uniforme de unasuperficie plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una fuerzaretardatriz de 1 newton, cuando hay una diferencia de velocidad de 1metro por segundo entre dos planos paralelos separados por 1metro de distancia.

Unidad de entropa

Unjoule por kelvin (J/K) es el aumento de entropa de un sistemaque recibe una cantidad de calor de 1 joule, a la temperaturatermodinmica constante de 1 kelvin, siempre que en el sistema notenga lugar ninguna transformacin irreversible.

Magnitud Nombre SmboloExpresin en

unidades SI bsicasViscosidad dinmica pascal segundo Pas m-1kgs-1

Entropa joule por kelvin J/K m2kgs-2K-1

Capacidad trmica msicajoule por kilogramo

kelvinJ/(kgK)

m2s-2K-1

Conductividad trmica watt por metro kelvin W/(mK) mkgs-3K-1Intensidad del campo elctrico volt por metro V/m mkgs- A-


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Unidad de capacidad trmica msica

Unjoule por kilogramo kelvin (J/(kgK) es la capacidad trmicamsica de un cuerpo homogneo de una masa de 1 kilogramo, en elque el aporte de una cantidad de calor de un joule, produce unaelevacin de temperatura termodinmica de 1 kelvin.

Unidad de conductividad trmica

Un watt por metro kelvin W/(mK) es la conductividad trmica deun cuerpo homogneo istropo, en la que una diferencia detemperatura de 1 kelvin entre dos planos paralelos, de rea 1 metrocuadrado y distantes 1 metro, produce entre estos planos un flujo

trmico de 1 watt.Unidad de intensidad del campoelctrico

Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un campo elctrico, queejerce una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo cargado con unacantidad de electricidad de 1 coulomb.

Nomb res y smb olos especiales de mltiplos y su bmltiplos decimales d e unidades SI autorizado s

Unidades definidas a parti r de las unidad es SI, pero qu e no son mltiplos o subm ltiplos d ecimales dedichas unidades.

Unidades en uso co n el Sistema Internacion al cuyo valor en unid ades SI se ha obtenidoexperimentalmente.

Mltiplos y su bmltiplos d ecimales

Prefijo Smbolo1024 yotta Y1021 zeta Z10 exa E10 peta P10 tera T10 giga G10 mega M10 kilo k10 hecto h10 deca da1 unidad sin prefijo -

10- centi c

Magnitud Nombre Smbolo RelacinVolumen litro l o L 1 dm =10- m

Masa tonelada t 103 kgPresin y tensin bar bar 105 Pa

Magnitud Nombre Smbolo Relacinngulo plano vuelta 1 vuelta= 2 rad

grado (/180) radminuto de ngulo ' ( /10800) rad

segundo de ngulo " ( /648000) radTiempo minuto min 60 s

hora h 3600 sda d 86400 s

Magnitud Nombre Smbolo Valor en unidades SIMasa unidad de masa atmica u 1,6605402 10- kg

Energa electronvolt eV 1,60217733 10- J


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10-3 mili m10-6 micro 10-9 nano n10-12 pico p10-15 femto f10- atto a

Geomet ra.Los ngulos se miden en grados, que van de 0 a

360.

La lnea AB es perpendicular a la lnea CD.

La lnea AB es paralela a la lnea CD.

Cuando dos rectas se intersectan, los ngulos

opuestos que forman son iguales.


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Cuando una recta intersectan dos rectas paralelas, losngulos alternos internos son iguales.

Los ngulos se representan mediante letras griegas: = alfa = beta = gama

= teta = fi = delta

Teor ema de Pi tgo ras

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Para cualquier tringulo rectngulo, la suma de los dos ngulos ms pequeos es 90.

Ley de Cosenos y ley de Senos

Para un tringulo, la suma de sus ngulos interiores es 180.

Si tenemos cantidades vectoriales.

c = hipotenusaa = cateto opuesto

b = cateto adyacente

= ngulo

b

a

adyacentecateto

opuestocatetoTan

h

b

hipotenusa

adyacentecatetoCos

h

a

hipotenusa

opuestocatetoSen

222 bac

22 bac

FY = F sen F = ngulo

FX = F cos X

Y

X

Y

F

F

adyacentecateto

opuestocatetoTan

FF

hipotenusaadyacentecatetoCos

F

F

hipotenusa

opuestocatetoSen

F2FR

F1

aF

b

sen

F

sen

F

sen

F

cosFF2-FFF

21R

21

2

2

2

1R

a = cateto opues

b = cateto adyacente

c = hipotenusa

= ngulo

180

sen

b

sen

a

sen

F

cosba2-baF22


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Valores de 0, 30, 45, 60, 90

Valores de ngulos ms comunes.

SENO COSENO TANGENTE

0 0 1 0

30

45 1

60

90 1 0

Cifras signif ic ativas.

Todas las mediciones fsicas se asume que son aproximadas, con el ltimo dgito significativo como unaestimacin.

Todos los dgitos de una medicin son significativos excepto aquellos utilizados para indicar la posicindel punto decimal.

Regla 1: cuando se multiplican o dividen nmeros aproximados, el nmero de dgitos significativos de larespuesta final contiene el mismo nmero de dgitos significativos que el factor de menor precisin.

Regla 2: cuando se suman o restan nmeros aproximados, el nmero de decimales en el resultado debe serigual al menor nmero de cifras decimales de cualquier trmino que se suma.

Instrumentos de m edic in.La eleccin de un instrumento de medicin se determina por la precisin requerida y por las condiciones fsicasque rodean la medicin.

Mtod os de Med icin: Direct os e Indirec tos .

451

1

2301

13

2

2

601

1

3

2 2

1

0

190

2

3

3

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

33

1

3


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Al realizar la medicin de diferentes magnitudes nos encontramos que algunas de ellos las podemos medirdirectamente y otras indirectamente.

Mediciones Directas.Son aquellas que se realizan con base en las unidades de medida y un solo patrn.Si deseamos medir la longitud de la puerta del saln de clases, empleando una regla de un metro de largo, la

cual nos dar un resultado directo de la medida. Mediciones Indirectas.

Son aquellas que para poder realizarse requiere de la utilizacin de ecuaciones matemticas que relacionencantidades que si se pueden medir en forma directa con los patrones de medida correspondientes.Si queremos conocer la magnitud del peso de un cuerpo primero determinamos su masa en forma directa y

despus empleamos la ecuacin.Si se pesa el cuerpo en una balanza y este es de 1 Kg. la ecuacin es w = mg en donde: w = peso del cuerpo,m = masa y g = la aceleracin de la gravedad 9.8 m/s2

Conversin de unidades.

Escriba la cantidad que desea convertir. Defina cada una de las unidades incluidas en la cantidad que va a convertir, en trminos de las

unidades buscadas.

Escriba dos factores de conversin para cada definicin, uno de ellos recproco del otro. Multiplique la cantidad que desea convertir por aquellos factores que cancelen todas las unidades,

excepto las buscadas.

Regla 1:Si se van a sumar o restar dos cantidades, ambas deben expresarse en las mismas dimensiones.

Regla 2:Las cantidades a ambos lados del signo de igualdad deben expresarse en las mismas

dimensiones.

Realice las siguientes co nversion es.

1.- 10 m a mm.

2.- 20 cm a m.

3.- 8 galones a litros.

4.- La velocidad de la luz es aproximadamente de 3 X 108m/s convierte este valor a millas / h.


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5.- La densidad del aluminio (Al) en el sistema cgs es de 2.7 g/cm3

calcular para el sistema internacional (SI)

6.- La densidad del mercurio (Hg) en el sistema internacional (SI) es de 13 600 Kg/ m3

pero en el sistema cgs es

de

7.- Una caja mide 50 ft (pie) de largo, 26 ft de altura y tiene una ancho de 8 ft Cul ser el volumen de la caja

en m3

y cm3.

l = 50 ft.

h = 26 ft.

a = 8 ft.

1 ft = 0.3048 m = 30.48 cm

8.-Si un auto se desplaza a una rapidez de 28 m/s est rebasando el lmite de rapidez de 55 mi/h?

9.- El gasto de agua por una tubera es de 1.8 l/min llevar este valor a el SI (m3/s)

10.- El gasto de agua por una tubera es de 0.03 m3/s llevar este valor a cm

3/min y a l/min

Ques un a can t id ad vec to rial?Objetivo: Diferenciar las magnitudes escalares y vectoriales, a travs de estudiar sus caractersticas, parainterpretar algunos fenmenos fsicos.

Caracterstic as de las Magn itud es Escalares y Vec tor iales.

Algunos conceptos fsicos como velocidad y fuerza, se asocian mentalmente con la idea de direccin, lo que noocurre, por ejemplo con el tiempo y la temperatura.

Esto se d ebe a que las cantidades fsicas s e clasi f ican fun damentalm ente en dos g rupo s:

Magnitudes Cantidades Fsicas.a) Escalares

b) Vectoriales


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a) Magnitudes Esc alares: Son las que resultan perfectamente determinadas por medio de un nmero y su unidadcorrespondiente.

La longitud de una varilla de 12 m se determina completamente por su magnitud que es precisa 12 m

b) Magnitudes Vectoriales:Son aquellas que estn completamente determinadas por su magnitud especie,direccin ngulo y sentido y su representacin matemtica es el vector.

Un automvil que viaja de la ciudad "A" a la ciudad "B" con una velocidad de 80 Km./h en direccin Este - OestePor lo tanto, se tiene:

Magnitud de la velocidad = 80 Km./hDireccin Este - OesteSentido "A" a "B"

Diferencia entre las Magnitu des Escalares y Vecto riales.

En las m agnit ud es fsic as esc alares como: Longitud, Superficie, Volumen, masa, densidad, tiempo,temperatura, potencia, etc., solo se determina su magnitud.

En cam bio en las m agnitud es fsicas vectorialescomo: Velocidad, Aceleracin, Fuerza, momento de unafuerza, movimiento angular, campo elctrico, campo magntico, etc., se determina no solo su magnitud, sinotambin su direccin y su sentido.

Sin embargo existe una diferencia fundamental entre las magnitudes fsicas escalares y vectoriales, y estaradica en la manera de efectuar con ellas las operaciones de suma, resta y multiplicacin producto.

Para sumar dos nmeros escalares, se aplican las reglas del lgebra, mientras que para sumar dos cantidadesvectoriales, se debe tomar en cuenta: Magnitud, Direccin y Sentido de cada vector, usando lgebra vectorial.

Caracterstic as d e un Vecto r.

Vector: Es un segmento de recta dirigido que dibujado a escala conveniente, representa a cierta cantidadvectorial.

Un vector se representa grficamente por un segmento rectilneo dirigido con una punta de flecha, en uno delos extremos (flecha). Cuya longitud AB se representa, a una escala adecuada, siendo est la magnitud delvector, su direccin corresponde al ngulo del vector y la punta de flecha indica su sentido.

De acuerdo a las figuras al punto "A" se le llama origen inicio del vector mientras que al punto "B" se le llama extremo del vector y la lneaque une ambos puntos es una recta sobre la cul acta.

80 Km/h

ABDIRECCI N

MAGNITUD

SENTIDO

X

Sentido

Magnitud

Direccin

figura aA

B

Sentido

Magnitud

Direccin

figura b

A

B

El vector se representa comouna flecha donde si la vemosde frente observaremos unpunto y si la vemos por el raboobservaremos una X

Cantidades Vectoriales

Velocidad angularFuerza

rea

Masa

Cantidades Escalares


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15

Notacin de un Vector.

Las cantidades vectoriales difieren de las cantidades escalares: para distinguir una de otra, a los vectores se lesdenota en forma especial, existen varios tipos de notacin:1.- Con una letra mayscula del alfabeto y un vector encima.

2.- Con dos letras maysculas y un vector encima.

Donde la primera letra corresponde al origen del vector y la segunda su extremo.

Direccin de un Vector.

La direccin se puede indicar por el ngulo que forma el vector con un cierto eje de referencia, por convenienciase utiliza un eje horizontal eje "X" como se muestra en la figura. A este tipo de representacin se le llamaRepresentacin Geomtrica de un Vector.

El ngulo que se mide en forma inusual, es decir en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, usando un transportador.

Un vector se puede expresar en forma matemtica como:.

A esta manera de denotar un Vector se llama: Notacin Matemtica de un Vector.

Establecimiento de la Escala de un Vector.

Para representar grficamente un vector necesitamos una escala convencional, la cual establecemos segnnuestras necesidades, de acuerdo con la magnitud del vector y el tamao que se le desee dar. Si queremosrepresentar un vector en una cuartilla no usaremos la misma escala que si lo hacemos en una hoja de nuestrocuaderno.

Por ejemplo, Si se desea representar en la cuartilla un vector fuerza de 350 N, direccin horizontal y sentidopositivo, podemos usar una escala de 1 cm igual a 10N: As con solo medir y trazar una lnea de 35 cm estarrepresentado. Pero en nuestro cuaderno esta escala sera muy grande, lo recomendable es una escala de 1 cm= 100 N para al medir 3.5 cm est representado nuestro vector de la siguiente manera.

Escala: 1 cm = 100N1:100

Para representar grficamente un vector es necesario tener a la mano una regla graduada y un transportador, para medir longitudes yngulos.

11. Represente geomtricamente el vector con una escala 1:10

F = 350 N

AA

VV

GH,EF,CD,AB

D,C,B,A

eje Y

eje X0

V

eje Y

eje X 0

A

120N30A


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16

12. Represente geomtricamente el vector con una escala 1: 20

13. Un automvil viaja con una velocidad de 20 Km/h hacia el sureste, representar geomtricamente el vectorvelocidad con una escala de 1: 5 (usando la rosa de los vientos)

Sistema de Vectores: Coplanares, No Coplanares, Col ineales y Concu rrentes.Sistema de Vectores.Es un conjunto de vectores con ciertas caractersticas particulares, en el cul fijamos nuestra atencin para su

estudio, por ejemplo: Un conjunto de Fuerzas actuando sobre un cuerpo forma un Sistema de Fuerzas.F = Es la fuerza que jala al cuerpo.fR = Es la fuerza que se opone al movimiento(fuerza de friccin)W = Peso del cuerpo.N = Es la Normal perpendicular al plano.

a) Coplanares: Es aquel conjunto devectores que estn contenidos en unmismo plano.

Sistemas de Vectoresb) No coplanares:Es aquel conjunto devectores que se encuentran contenidosen distintos planos.

N

F

w

fR

120T80B


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17

Los Sistemas Coplanares y No Coplanares se subdividen en:

Col ineales:Todos los Vectores del Sistema estn sobre una lnea de accin comn.

Paralelas:Todos los Vectores del Sistema estn sobre lneas de accin paralelas entre s.

Concurrentes: Es un conjunto de Vectores en el cul todas las lneas de accin de estos concurre en un punto.

Arbi t rar ios: Es un conjunto de Vectores en el cual las lneas de accin de estos no son concurrentes niparalelas.

Propiedades de los Vectores.

Propiedad de Transmis ib i l idad d el punto de Apl icacin.

El efecto extremo de un vector no se modifica si es trasladado en su misma direccin, es decir, sobre su propialnea de accin. Por ejemplo, si se desea mover un cuerpo horizontalmente, aplicando una fuerza, el resultadoser el mismo s empujamos el cuerpo si lo jalamos.

Propiedades de los Vectores Libres.Los vectores no se modifican si se trasladan paralelamente a s mismos. Esta propiedad la utilizaremos alsumar vectores por los mtodos grficos del paralelogramo, tringulo y polgono que se estudiaran msadelante.

Sumamos el primer vector ms el segundo vector. (F1 + F2)

Sumamos el segundo vector ms el primer vector. (F2 + F1)

1V

2V

3V

1V

2V

3V

1V

2V

3V

1V

2V

3V

F1 = 40 NF2 = 30 N

40

F2 = 30 N

40

F1 = 40 N

F1 = 40 NF2 = 30 N

40

F = 600 N

Jalar

F = 600 N

Empujar


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18

Operaciones con vectores.

Las operaciones que se realizan con los sistemas de cantidades vectoriales, se hacen siguiendo mtodos deComposicin y Descomposicin de Vectores, es decir que en los mtodos mencionados, se siguen las reglas dela geometra, trigonometra y lgebra.

Comp osicin de Cantidades Vectoriales.Cuando un sistema dado de vectores coplanares se le sustituye por otro sistema del mismo tipo, con un nmeromenor de vectores, pero que producen los mismos esfuerzos que en el sistema original, se dice que se ha

empleado el mtodo de composicin.Descompos icin de Cantidades Vectoriales. Cuando a un sistema dado de vectores se le sustituye por otro sistema del mismo tipo, con un nmero mayor devectores, produciendo el mismo efecto que el sistema original, se dice que se ha empleado el mtodo dedescomposicin.

Los vectores se pueden sumar, restar y multiplicar: la suma y la resta o diferencia solo se puede efectuar convectores de la misma especie, mientras que la multiplicacin o producto se puede efectuar con vectores dediferente especie.

Sum a y res ta d e vecto res , mtodo grfic o y an altic o. La suma de dos o ms vectores de la misma especie es un nuevo vector, al cul se le llama.Vector Suma o Vector Resultante y se denota con la letraR

Este tiene la propiedad de producir el mismo efecto que el sistema de vectores que lo origin.

Se define para dos vectores dados A y B como la diagonal del paralelogramo generado por A y B como semuestra en la figura, esta definicin se conoce como la ley del paralelogramo.

Resultante:

Es el sistema ms simple a que puede ser reducido empleando el Mtodo de Composicin, un sistema dado defuerzas, produciendo los mismos efectos.

Existen dos procedimientos para efectuar la suma de Vectores.

I.- Mto dos Grfi cos .Para utilizar estos mtodos es necesario contar con un juego de geometra completo, regla graduada ytransportador, lpices de colores, o bolgrafo de colores.

a) Mto do Grfi co de l Par alel og ram o.Para sumar dos vectores por este mtodo, se procede de la manera siguiente, se tiene los vectores como en lafigura a.1.- S grfica los vectores con su origen comn y a la misma escala, como se muestra en la figura "b"

2.- Se trazan paralelas a las lneas de accin de losvectores, partiendo de los extremos de estas lneaspunteadas de la figura c, que al intersectarse formaun paralelogramo con los vectores.

figura a

AA

BB

AA

BB

figura b

AA

BB

figura c

BAR

Vector Resultante

RA

B


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19

3.- Desde el origen de los vectores se traza la diagonal delparalelogramo, como se muestra en la figura d.Esta diagonal, en la misma escala que los vectores,representa la suma o resultante de los dos vectores dados.Su origen coincide con el origen de los vectores, mientrasque su extremo es el vrtice opuesto del paralelogramo.

4. Se mide la longitud de est diagonal, la cualdetermina la magnitud de la resultante utilizando lamisma escala en que se encuentra dibujados losvectores.

5. Se mide el ngulo que dicha diagonal forma con lahorizontal, como ya se indico. El cual nos indica ladireccin de la resultante, figura f

Los vectores A y B pueden sumarse en cualquier orden.

14.- Determina la resultante del sistema de los siguientes vectores dados a una escala 1: 20

A = 5 cm, B = 6.00 cmR =R =

AA

BB

figura d

RR

BAR

figura f

R

BAR

figura e

R

RR

345N120B

60N100A

ABBA

A

B

A

B


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20

15. Un aeroplano viaja en una direccin de 20 al Norte del Este con una velocidad 180 Km/h, en una regin delespacio donde el viento est en calma. Sbitamente comienza a soplar un viento hacia el Norte del Oeste conuna velocidad de 60 Km/h Cul ser la velocidad del aeroplano con el viento soplando? Realiza el esquema auna escala 1: 30 (ver rosa de los vientos).Datos:V1 = 180 Km./h 20 = 6 cm 20V2= 60 Km./h 135 = 2 cm 135

Ejerc ic ios comp lementar ios.

16.- Se tienen dos vectores con las siguientes caractersticas F1= 60 N 30 y F2= 40 N120. Encontrar suresultante por el mtodo del paralelogramo a una escala 1:10.

17.- Se tienen el siguiente sistema de vectores A = 30 N 20 y B = 40 N 80.Encontrar su resultante por elmtodo del paralelogramo a una escala 1:10.

F1= 60 N 30F1= 40 N 120Escala: 1:10

N

S

EW


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21

18.-A = 30 N 20B = 40 N 80Escala: 1:10

b) Mtodo Grfico del Tringulo.Para sumar dos vectores por este mtodo, se procede de la manera siguiente.. S grfica los vectores a la misma escala de tal

manera que el extremo de uno coincida con elorigen del otro, como se muestra en la figura b.

2. Se traza un segmento rectilneo desdeel origen del primer vector al extremo delsegundo, este segmento, en la mismaescala que los vectores, representan lasuma o resultante de los vectoresdados, su origen coincide con el origendel primer vector y su extremo coincidecon el extremo del segundo, como semuestra en la figura c.

3. Se mide la longitud de este segmento, el cual determina la magnitud dela resultante, utilizando la misma escala en que se encuentrangraficados los vectores.

R = A + BR = B + A

4. Se mide el ngulo de la resultante, y se toma con la horizontal y laresultante.

19.- Hallar la resultante del siguiente sistema devectores A = 12 N 15 y B = 8 N 70 por elmtodo grfico del tringulo, a una escala de 1:3Datos:

A = 12 N 15B = 9 N 70esc 1:3

AA

BB

A

B

A

B


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22

19.- Utilizando el mismo sistema de vectores del problemaanterior pero invirtiendo el orden de los vectoresgrafquelos.R = B + A

Datos:A = 12 N 15B = 8 N 70esc 1:2

Al seguir la secuencia indicada encontramos que efectivamente hay ley conmutativa.A + B = B + A

20.- Un jinete y su caballo cabalgan 3 Km. al N ydespus 4 Km. al Oeste. Calcular su resultante por elmtodo grfico del tringulo a escala de 1:1?

Datos:A = 3 Km. al N = 3 Km. 90B = 4 Km. al O = 4 Km. 180esc 1:1

A = 3 Km. = 3 cmB = 4 Km. = 4 cm

21.- Utilizando el mismo sistema de vectores del problemaanterior pero invirtiendo el orden de los vectoresgrafiquelos.

Datos:A = 3 Km. al N = 3 Km. 90B = 4 Km. al O = 4 Km. 180esc 1:1

A = 3 Km. = 3 cmB = 4 Km. = 4 cm

A + B = B + A


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23

c) Mto do Grfi co del Po lgono Elija una escala y determine la longitud de las

flechas que corresponden a cada vector. Dibuje a escala una flecha que represente la

magnitud y direccin del primer vector. Dibuje la flecha del segundo vector de modo que

su cola coincida con la punta de la flecha delprimer vector.

Contine el proceso de unir el origen de cadavector hasta que la magnitud y la direccin detodos los vectores queden bien representadas.

Dibuje el vector resultante con el origen y la puntade flecha unida a la punta del ltimo vector.

Mida con regla y transportador para determinar lamagnitud y direccin del vector resultante.

Mtodo Analti co .

Son los que permiten determinar la suma o resultante con ayuda de la trigonometra.

a) Mtodo An altic o d el tr ing ul o (Ley de Cos eno s y Ley de Seno s).

Cuando en forma grfica se desea sumar dos vectores concurrentes se utiliza el mtodo grfico del tringulo odel paralelogramo. Mientras para encontrar la resultante por el mtodo analtico se usara el teorema dePitgoras si los dos vectores forman un ngulo de 90, pero si originan cualquier otro ngulo se usar la Ley delos Cosenos para su magnitud, y para calcular su ngulo de la resultante se aplica la Ley de los senos

Hallar la resultante del siguiente sistema de vectores: F1 = 30 N 30 y F2 = 38 N 0 por el mtodo analticodel tringulo.

a) Primero s grfica los vectores a una escalacorrespondiente por el mtodo grfico del tringulo.F1 = 30 N 30 = 3 cmF2 = 38 N 0 = 3.8 cmEsc : 1 : 10

b) Para calcular la resultante debemos encontrar unode los tres lados del tringulo oblicuo cuyos ladosconocidos son F1 y F2. Aplicamos la ley de los cosenostomando en cuenta que el tringulo oblicuo el nguloformado por los dos vectores.

c) Para calcular la resultante debemos encontrar unode los tres lados del tringulo oblicuo cuyos ladosconocidos son F1 y F2. Aplicamos la ley de los cosenostomando en cuenta que el tringulo oblicuo el nguloformado por los dos vectores.

N65.715R

150cos38302-38)30(R

CosFF2FFR

22

21

2

2

2

1

16.88

.1213

715.65

0.530sen

R

150senFsen

150sen

R

sen

F

1

1

4321 VVVVRESULTANTE

F1

F2

150

R = 6.5 cm 16 R = 65 N 16

F1

F2


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24

d) Para calcular el ngulo a que forma laresultante con respecto a la horizontal, aplicamos laley de los senos.

R = 65.715 16.88

22.- Hallar la resultante del siguiente sistema de vectores F1 = 400 N 180F2 = 250 N 40 por el mtodo analtico del tringulo.Datos.esc 1 : 100

F1 = 400 N 180 = 4 cm 180F2 = 250 N 40 = 2.5 cm 40

Tambin podemos graficar los vectores de la siguientemanera y es el mismo procedimiento

19 bis.- Utilizando el mismo sistema de vectores del problema anterior pero invirtiendo el orden de los vectoresgrafquelos.R = B + ADatos:

A = 12 N 15B = 8 N 70esc 1:2

15. Un aeroplano viaja en una direccin de 20 al Norte del Este con una velocidad 180 Km/h, en una regin delespacio donde el viento est en calma. Sbitamente comienza a soplar un viento hacia el Norte del Oeste conuna velocidad de 60 Km/h Cul ser la velocidad del aeroplano con el viento soplando? Realiza el esquema auna escala 1: 30 (ver rosa de los vientos).Datos:V1 = 180 Km./h 20 = 6 cm 20V2= 60 Km./h 135 = 2 cm 135

F1

F2

FR

N

S

EW


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25

b) Mtod o An altico de los Com ponent es Rectang ulares.

Para estudiar las componentes rectangulares de un vector, se util iza el concepto de proyeccin de un vectorsobre un eje.

Proyeccin de un vector sobre un eje.

Para facilitar las cosas, consideremos el eje "X" como el eje sobre el cual se proyecta el vector.Sea V = V un vector con su origen en el punto "A" y su extremo en el punto "B", si estos puntos sonproyectados perpendicularmente sobre el eje de las "X" se consideran los puntos "C" y "D" como se muestra en

la figura.

Definimos la proyeccin del vector V sobre el eje "X" como la longitud del segmento rectilneo CD y se denotaVX.

Del tringulo AEB de la figura anterior, se tiene:

Se realiza el mismo procedimiento para el eje de las "Y"VY = V sen

Componentes Rectangulares de un Vector .

Dado un vector V = V se puede graficar en el sistema cartesiano de coordenadas (X,Y) como el de lafigura.

En donde es el ngulo formado por el vector y el eje "X" positivo, como se muestra en la figura.

A

B

C D

E

VX

VY V

VV

VV

Primer CuadranteSegundo Cuadrante

Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante

Proyeccin de V en Y

Proyeccin de V en X

cosVV

V

Vcos

VV

VCD

ABAE

X

X

X


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26

La proyeccin del vector sobre el eje "X" recibe el nombre de la componente rectangular del vector V en el eje"X", y la proyeccin sobre el eje "Y" se llama componente rectangular del vector V en el eje "Y" como semuestra en la figura.

Por consiguiente, las expresiones analticas de las componentes rectangulares del vector.

23.- Calcular las componentes rectangulares del vector.A = 10 N 150escala 1 : 0.5Solucin.

Utilizando las ecuaciones anteriores.AX = AX= A cos = 10 N (cos 150)AX =AY = AY = A sen = 10 N (sen 150)AY =

24.- Calcular las componentes rectangulares del vector.B = 25 m/s 217Solucin:B = 25 m/s 217 = 217 - 180 = 37 Utilizando las ecuaciones anteriores.BX = B cos = 25 m/s (cos 217) = - 19.96 m/sBX =BY = B sen = 25 m/s (sen 217) = - 15.04 m/sBY =

25.- Calcular las componentes rectangulares del vector E = 10N/C 340

SolucinE = 10 N/C 340 = 340- 360 = -20EX = E cos = 10 N/C (cos 340) = 9.39 N/CEX =EY = E sen = 10 N/C (sen 340) = - 3.42 N/CEY =

Obtencin de u n Vector a part i r de su s c ompo nentes rectangulares.Dadas las componentes rectangulares de un vector V este puede obtenerse llevando perpendiculares a los ejes"X" y "Y", a partir de los respectivos componentes como se muestra en la figura.

VX

VY

senVV

cosVV

VV

Y

X


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27

Recordando que las componentes estn dadas por:VX = V cos VY = V sen

Cuadrante Signo (VX) Signo (VY) Diagrama

I = + +

II = 180- - +

III = 180 + - -

IV = 360- + -

26.- Obtener el vector A cuyas componentes son: AX =- 13 T y AY = 8 TGraficamos con una escala adecuada.Sustituimos AX y AY en las ecuaciones.

X

Y

X

Y

VVarctan

cos

sen

cosV

senV

V

V

VVV

VVV

)sen(cosVVV

senVcosVVV

senVcosVVV

:Entonces

2Y

2X

22

Y

2

X

2222

Y

2

X

22222

Y

2

X

222

Y

2

X

VX

VY

VY

VX

=

VY

VX

= 180 -

VYVX

= 180 +

VY

VX = 360 -


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28

27.- Obtener el vector V dado por sus componentes: VX = -6 m/sy VY = - 7 m/sGraficamos con una escala adecuada.Sustituimos VX y VY en las ecuaciones.

28.- Determinar magnitud y direccin del vector F cuyas componentesson:FX = 25 N y FY = - 35 NDatos:FX = 25 NFY = - 35 N

Solucin:

El mtod o de comp on entes p ara la sum a o adicin d e vecto res

Dibuje cada vector a partir de los ejes imaginarios x yy.

Encuentre los componentes de cada vector en el eje de

las xy y. Halle la componente Vx sumando las componentes xde todos los vectores. FX = A cos + B cos + C cos

Halle la componente Vy sumando las componentes yde todos los vectores. Fy = A sen + B sen + C sen

Determine la magnitud y direccin de la resultante.


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29

29. Encontrar la Fuerza resultante del siguiente sistema de fuerzas. F1= 30 N 90, F2= 80 N 210, F3 = 30N 300

Vectores unitarios

Ques un vecto r un it ar io

Un vector unitario es un aquel que tiene una magnitud

de exactamente 1 y apunta en una direccinparticular.Carece de dimensin y unidad, su nico propsito esapuntar, es decir, especificar una direccin. Losvectores unitarios en las direcciones positivas de losejes X, Y, y Z como:

Estas dos ecuaciones se ilustran en la figura.Las ecuaciones AX i y AYj son vectoriales y se llaman componentes vectoriales de .Las cantidades AX y AYson escalares y se denominan componentes escalares de .Ejemplo: Un equipo entro a unas cavernas recorriendo una distancia neta de 2.6 Km al Oeste, 3.9 Km al Sur y25 m hacia Arriba Cul es el vector desplazamiento de principio a fin?

k,j,i

Norte

Sur

Este

Oeste

Arriba

Abajo

X

YZ

i

jk

jBi

jAi

Y

Y

X

X

BB

AA

:figuraslasenmuestrasequedaByA

:ejemploPor


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30

En trmino de vectores unitarios, el desplazamiento nos queda

Calculamos la resultante del sistema

Calculamos su ngulo

30.- En la figura muestra los siguientes tres vectores cul es su vector suma R?

Calculamos la componente en X

Calculamos la componente en Y

Escribimos el vector r

Calculamos su resultante

Calculamos su ngulo

jm)7.3(

jm)9.2()6.1(

jm)5.1()2.4(

c

imb

ima


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31

31.- En la figura muestra un mapa incompleto de la competencia de una carrera. Desde el punto de salida en elorigen, un corredor debe de recorrer las siguientes etapas:1.- al punto segundo de control, con una magnitud de 36 Km hacia el este.2.- b al tercer punto de control, rumbo al norte.3.- c a la meta, con una magnitud de 25 Km con un ngulo de 135El desplazamiento neto d desde el punto de salida es de 62 Km cul es la magnitud de b de bCalculamos el ngulo de la resultante

32.- Dados los vectores A = 3i + 4j + 5k y B = 5 k Cul es el ngulo agudo formado entre ellos


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32

Otro procedimiento.

Onda Senoidal

Definicines.

La forma de onda senoidal con su notacin adicional se utilizara ahora como modelo, para definir algunostrminos bsicos:Forma de onda:es la trayectoria trazada por unacantidad, como la fem, dibujada en funcin del tiempo.Valor instaneo:es la magnitud de una forma de onda

en cualquier instante del tiempo, se denota como e1,e2, etc.Amp l i tud o Valor pico:es el valor mximo de unaforma de onda, se denota Am o EmForma de ond a peridica:es una forma de onda quese repite continuamente, despus de un intervalollamado periodo (T1, T2, T3, etc.)Ciclo:es la posicin de una forma de onda contenida en un periodo.Frecuencia:es el nmero de ciclos que se producen en un segundo.En la figura tenemos un ciclo por segundo.

En la figura tenemos 2.5 ciclos por segundo.

Si una forma de onda de forma similar tiene un periodode 0.5 segundos, la frecuencia ser de 2 ciclos porsegundo.

T = 1 seg

T = 0.4 seg

1 seg

1 seg

T = 1/2 seg

fem

te2

e1

Em o AmT2 Max

MaxT3

T1

Em o Am


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33

muchos aos, las unidades para la frecuencia eran los ciclos por segundo (cps), pero se ha hecho hincapi enel empleo de Hertz, de modo que:

1 Hertz = 1 cpsLa frecuencia nominal en Mxico es de 60 HertzYa que la frecuencia es inversamente proporcional al periodo o sea cuando la una aumenta, el otro disminuyeen la misma cantidad se puede relacionar los dos mediante la ecuacin:

f = frecuencia en Hz cps, T = periodo en seg.33.- Encuntrese el periodo (T) de una forma de onda peridica con una frecuencia a) 60 Hz, b) 1 000 Hz

34.- Determine la frecuencia de la forma de onda de la figura.

Onda senoidal y cos enoidal.

Los trminos definidos se pueden aplicar a cualquier tipo de forma de onda peridica, ya sea continua 0discontinua; sin embargo, la forma de onda senoidal tiene una importancia especial porque se adapta a lasmatemticas y a los fenmenos fsicos que se asocian a los circuitos elctricos R, C, L. En otras palabras, si latensin que existe en un resistor, un inductor o un capacitor es senoidal, la corriente resultante para cada unode ellos tendr tambin caractersticas senoidales.Se debe sealar que la afirmacin anterior es aplicable tambin a la onda cosenoidal como se muestran en lasfiguras

Una segunda unidad de medida es el radin, la relacin entre el radin y el grado es:

bien:

para 360, las dos unidades de medida se relacionan como se muestran en la figura.

T

f1

f

T1

t = mseg2010 155

10 V

360radianes2

57.3radin1

57.3

3.1416, radines = 180

6.28, 2 radines = 360

radianesx180X

xradianes

180

gradosaradianesde

180

gradosxX

gradosx

180

radianesagradosde

0 90 270

Em o Am

0nda cosenoidal

360

180 0 90 180270 360

0nda senoidal

Em o Am


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34

35.- Convierte los siguientes grados a radianes:a) 30 b) 90

36.- Convierte los siguientes radianes a grados:a) /3 radianes b) 3/2

Si se utiliza el radin como unidad de medida para laabscisa, una onda senoidal aparecer como semuestra en la figura.

0

0nda senoidal

4

2

4

3

4

5

2

3

4

7

2

Es muy interesante hacer notar que la forma de ondasenoidal se puede derivar de la longitud de laproyeccin vertical de un radio vector que gira con unmovimiento circular uniforme en torno a un punto fijo.

0

0 45 90

b

0 45

c

d

0 45 90 135

Se describe una forma de onda senoidal complejadespus de que el radio vector concluye un giro de360en torno al centro.

La velocidad con que gira el radio vector en torno alcentro, que se conoce como velocidad angular, sepuede determinar mediante la ecuacin:

(segundos)

(radianes)distanciaangulartiempo

Velocidad

El tiempo necesario para completar una revolucin esigual al periodo T de la forma de onda senoidal (i).Los radianes incluidos en este intervalo de tiemposon 2 sustituyendo estos valores en la ecuacinanterior nos queda:

ciclounT

revolucinuna2

angularvelocidad

seg

radianes

2

T

a


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35

Esta ecuacin indica que cuando mayor sea la frecuencia de la forma de onda senoidal generada, tanto mselevada deber ser la velocidad angular, ver figuras.

37.- Determine la velocidad angular de una onda senoidal que tenga una frecuencia de 60 Hz

38.- Determina el periodo y la frecuencia de la onda senoidal de: a) 100 rad/seg b) 500 rad/seg

Forma General para la tensin o corriente s enoidales.

La forma general bsica para una onda senoidal es:

Donde Ames el valor pico de la forma de onda y es la unidad de

medida para el eje horizontal, de modo que.Obsrvese que:

De modo que:

e

0 45 90 135 180

f

0 45 90 135

180

225

g

0 45 90 135

225 270

180

h

0 45 90 135

225 270 315

180i

0 45 90 135

225 270 315

180 360

T (periodo)

Con palabras, esta ecuacin establece que cuandomenor sea el periodo (i), o menor el intervalo de tiempoantes que se genere un ciclo completo, tanto mayor serla velocidad angular del radio vector giratorio.La frecuencia de la forma de onda generada es

inversamente proporcional al periodo de la forma de

onda.

frecuenciaf

revolucinuna2

angularvelocidad

f2

segundo

radianes

T

1f

w = 100 rad/segw = 500

senAm

0

mA

180

radianes)o(grados

2

mA

360

t

T

2


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36

La ecuacin nos indica que el ngulo por el que pasa el vector giratorio, se determina mediante la velocidadangular del vector giratorio y la duracin del tiempo de giroPor ejemplo para una velocidad angular dada, cuando ms tiempo se deje girar el radio vector, tanto mayorser el nmero de grados o radianes por los que pasar el vector. Por lo tanto en forma general una ondasenoidal se puede escribir:

Con wt como unidad de medida en el eje horizontal.Para cantidades elctricas como la corriente y la tensin, el formato general es:

Donde las letras Im y Em representan la amplitud de corriente y de voltaje y i y e minsculas dan el valorinstantneo en cualquier instante t. la onda senoidal se puede trazar tambin en funcin del tiempo en ejehorizontal. Para cada medida en grados o radianes, el tiempo correspondiente se puede determinar a partir dela frecuencia y luego dividirse en segmentos correspondiente a la medida de grados o radianes.39.- haga las graficas correspondientes de e = 10 sen 377t con la abscisaa) ngulo en grados ()b) ngulo en radianes ()c) tiempo en segundos (t)

Primera condicin de equi l ibr io.Segunda condic in de equi l ibr io .

Sistemas en equi l ibr io .Una parte importante de la mecnica trata de los objetos ysistemas que se encuentran en reposo y que permanecen en eseestado. A esta rama de la mecnica se le llama esttica.Como ya vimos, las fuerzas pueden actuar de manera queocasionen movimiento o lo impidan. Los grandes puentes debendisearse de modo que el efecto total de las fuerzas sea impedirel movimiento. Cada estructura, viga, barra y cable, debenencontrarse en equilibrio. En otras palabras, las fuerzasresultantes que actan sobre cualquier punto de la estructuracompleta deben estar equilibradas. Los anaqueles, las gras de

cadenas, los ganchos, los cables de elevacin, e incluso losgrandes edificios, deben construirse de manera que los efectosde las fuerzas se controlen y entiendan.Primera ley de Newton .

La idea de Aristteles de que un objeto en movimiento debe tener una fuera ejercida sobre l fue modificada porGalileo, quien anuncio que en ausencia de una fuerza, un objeto en movimiento continuara movindose. Latendencia de las cosas a resistirse a cambios en su movimiento fue lo que Galileo llamo inercia. Newton refinola idea de Galileo y la hizo su primera ley, apropiadamente llamada ley de la inercia.Ley 1...cada objeto material con tinua en su estado de repos o o de mo vim iento un iform e en lnea recta,

a meno s q ue sea ob l igado a camb iar ese estado por fuerzas apl icadas s obre l.

La palabra clave en esta ley es contina: un objeto contina haciendo lo que esta haciendo, suceda lo quesuceda, a menos que se ejerza una fuerza sobre l. Si esta en reposo, contina en reposo. Si esta en

movimiento, contina movindose sin alterar o cambiar su rapidez. En sntesis, la ley dice que un objeto no seacelera solo; la aceleracin debe imponerse contra la tendencia de un objeto a retener su estado demovimiento. Las cosas en reposo tienden a permanecer en reposo; las cosas en movimiento tienden acontinuar movindose. Esta tendencia de las cosas a resistirse a cambios en su movimiento es inercia.

A causa de la existencia de la friccin, ningn cuerpo real est por completo siempre libre de fuerzas externas.Pero hay situaciones en que es posible hacer que la fuerza resultante sea igual a cero o aproximadamentecero. En tales casos, el cuerpo se comportara de acuerdo con la primera ley de movimiento. Puesto queaceptamos que la friccin nunca puede eliminarse por completo, aceptamos tambin, que la primera ley deNewton es una expresin de una situacin ideal.Tercera ley de Newto n.

tsenAm

senItsenIi mm

senEtsene mm E


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En el sentido ms simple, una fuerza es un empujn o un tirn. Sinembargo, considerndolo con mayor detenimiento, una fuerza no es unacosa por si misma sino que se debe a una accin reciproca entre unacosa y otra. Alguien tira de una carreta y esta se acelera. Un martillogolpea una estaca y la clava en el suelo. Un objeto interacta con otroobjeto. Cul ejerce la fuerza y cual recibe la fuerza? La respuesta deNewton a esto es que la fuerza no tiene que identificarse como ejersor

ni como receptor; l crea que la naturaleza es simtrica y concluyo queambos objetos deben ser tratados por igualPor ejemplo, cuando alguien tira de la carreta, la carreta a su vez tira de l, como lo prueba el apretn del lazodoblado alrededor de su mano. El martillo ejerce una fuerza sobre la estaca, pero el proceso del martillo quedaen reposo. Dichas observaciones condujeron a Newton a su tercera ley: la ley de accin y reaccin.Ley 3.....cada vez que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, el segundo objeto ejerceuna fuerza igual y opuesta sobre el primero.La tercera ley de Newton con frecuencia se enuncia as: Para cada accin siempre hay una reaccin igual yopuesta en cualquier interaccin hay un par de fuerzas de accin y reaccin iguales en magnitud y contrariasen sentido. Ninguna de las fuerzas existe sin la otra; las fuerzas vienen en pares, una de accin y la otra dereaccin. El par de fuerzas de accin y reaccin constituyen la accin reciproca entre dos cosas.No importa cual fuerza se denomine de accin y cual de reaccin, siempre y cuando se recuerde que ninguna

de las dos existe sin la otra. Las fuerzas de accin y reaccin nunca se cancelan una a la otra porque cada unaacta sobre un objeto diferente.

Por ejemplo, cuando alguien tira de una carreta, lacarreta tira de l. Hay dos fuerzas aqu, una ejercidasobre la carreta, la otra ejercida por la carreta sobrela persona. Se distingue entre fuerzas ejercidassobre algo y por algo. La fuerza ejercida sobre lacarreta la acelera; la fuerza ejercida por la carretano; la fuerza ejercida por la carreta sobre la personaafecta no a la carreta, sino a la persona. Si la fuerzaejercida sobre un objeto se denomina la fuerza deaccin, la fuerza de reaccin ser la fuerza ejercidapor el objeto sobre cualquier otro objeto que este

involucrado en la interaccin. Ya que la accin y lareaccin actan sobre objetos diferentes, nunca secancela una a la otra.Qu condiciones son necesarias para que un objeto permanezca en reposo? De acuerdo a la primera ley deNewton un objeto se encuentra en reposo si no se desplaza y no gira (equilibrio esttico); o si lo hace se mueveen lnea recta y a velocidad constante (equilibrio dinmico), sin girar.Consideremos inicialmente un objeto sobre el cual actan solo dos fuerzas. Supongamos un objeto cualquieraque cuelga del techo de una habitacin a travs de un cable. Todos sabemos que el objeto no cae; peroanalicemos detenidamente esta situacin para comprender casos ms complicados.Qu fuerzas actan sobre el objeto? Sabemos que sicortamos la cuerda, el objeto se caer. Ello nos indicaque una fuerza lo atrae hacia abajo. El objeto cae

porque la Tierra lo atrae hacia abajo con una fuerzagravitacional. Esta atraccin gravitacional que la Tierraejerce sobre un objeto recibe el nombre de peso W delobjeto:Tod o cu erpo cerc a de la Tierra es atrado h acia elcentro d e el la por u na fuerza a la que se le llamapeso del objeto.Es el peso del objeto de la figura lo que lo hara caer,si no lo sostuviera la cuerdaPara sostener el objeto, la cuerda debe empujarlo hacia arriba. Este empuje se representa por T. Elexperimento indica que el objeto permanecer sin movimiento (es decir, en equilibrio esttico) si W y T son de

T

W


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igual magnitud. En otras palabras, las fuerzas verticales que actan sobre el objeto deben balancearse paraque se logre el equilibrio.En el anlisis de los objetos en equilibrio, es conveniente trazar un diagramade cuerpo libre del sistema. Este diagrama como sabemos muestra en unaforma simple el objeto y las fuerzas que actan sobre l. En la figura se da undiagrama para un sistema cuerda - objeto. El objeto est representado por unpunto. Las fuerzas que actan sobre el punto, T y W en este caso, son las queactan directamente sobre el objeto. En estado de equilibrio, estas fuerzas

verticales deben anularse; en otras palabras, su suma vectorial debe sercero.Hay muchas fuerzas que no nos interesan por ahora, entre ellas las quesostienen la cuerda en el techo o la reaccin del peso sobre la Tierra. Nosinteresan solo las que actan directamente sobre el objeto, que son W (laatraccin que ejerce la gravedad hacia abajo) y el empuje T hacia arriba de lacuerda.

Consideremos un ejemplo ms de objetos en equilibrio. El bloque de la figura que pesa W y pende en estado dereposo.

El diagrama de cuerpo libre para el bloque se muestra en la figura b, el cual es similar al analizadoanteriormente. Dado que el bloque se encuentra en equilibrio, la suma vectorial de las fuerzas que actandirectamente sobre l ha de ser cero. Hay nicamente dos fuerzas: la tensin T de la parte inferior de la cuerday el peso W. Por lo tanto T = W. Es esta tensin la que sostiene el bloque.

Siguiendo con nuestro anlisis, observemos que sobre el nudo actan las tres cuerdas que se reflejan enfuerzas sobre el nudo: la ejercida por el techo, la que ejerce la pared y la correspondiente a la Tierra (la cuerdaque une al bloque con el nudo solo sirve de transmisor del peso hacia el nudo). Si cada una de estas tensionesse etiquetan y se representan como vectores, se tendra el diagrama de cuerpo libre para el nudo (figura c). Aldibujar diagramas de cuerpo libre , es importante distinguir entre fuerzas de accin y fuerzas de reaccin. Ennuestro ejemplo hay fuerzas sobre el nudo, pero existen tambin fuerzas iguales y opuestas ejercidas porelnudo. Si consideramos las componentes de las fuerzas en el eje xy en el eje y(ver figura d) tendremos quepara que el objeto se mantenga en equilibrio, la suma las componentes de las fuerzas en xy en ydeben sercero

T

W

0F....FFFF N321R

0sen.....senFsenFsenFcos.....cosFcosFcosF

aigualesanteriorLo

NYY3Y2Y1Y

NXX3X2X1X

FF0FF

0

0

abreviando

RY

RX

Y

X

FF

FF


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39

40.- Calcular las tensiones de los cables A y B en el sistema que se encuentra en equilibrio para sosteneruna caja de herramientas cuyo peso es de 150 Kgf

41.- Calcular la tensin del cable B y el peso W el sistema que se encuentra en equilibrio si TA es de 135 Kgf

TA

W = 150 Kgf

TB3045

W

TA = 135 KgfTB

3045


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40

42.- Calcular las tensiones en el cable A y B el sistema que se encuentra en equilibrio si el peso W es de 150Kgf

43.- Determine la tensin en la cuerda de la figura, si el peso del objeto que cuelga es de 48 kgf y el ngulo queforma la cuerda con la losa es de 700 y el del plano inclinado es de 400.

TA

W = 150 Kgf

TB

45

70

40

48 Kgf


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Segunda condicin de equilibrioHemos visto que si todas las fuerzas que actan sobre un cuerpo se intersectan en un solo punto y su sumavectorial es cero, el sistema debe estar en equilibrio. Cuando sobre un cuerpo actan fuerzas que no tiene unalnea de accin comn, el cuerpo puede estar en equilibrio de traslacin, pero no en equilibrio de rotacin. Enotras palabras, es posible que no se mueva a la derecha ni a la izquierda, ni hacia arriba, ni hacia abajo, pero spodr rotar. Al estudiar el equilibrio, debemos considerar el punto de aplicacin de cada fuerza, as como sumagnitud.

Considere las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo de la figura a. Dos fuerzas iguales y opuestas F se aplican a laderecha y a la izquierda. La primera condicin de equilibrio nos dice que las fuerzas verticales y horizontales seencuentran balanceadas; en consecuencia, se dice que el sistema esta en equilibrio. No obstante, si las dosfuerzas se aplican como se muestra en la figura, el cuerpo tiene una tendencia definida a girar. Esto es ciertoaun cuando la suma vectorial de las fuerzas siga siendo cero. Es claro que necesitamos una segunda condicinde equilibrio para incluir el movimiento rotacional.

Cuando las lneas de accin de dos o ms fuerzas no se intersectan en un punto comn, puede ocurrir larotacin alrededor del eje de rotacin.

Si queremos asegurarnos que los efectos rotacionales tambin estn balanceados, debemos requerir que nohaya torca resultante. La segunda condicin de equilibrio es:

Segunda condicin de equilibrio.La sum a algebraica de todas las tor cas alrededor de cu alquier eje debe ser cero.Matemticamente tenemos. ttot = t1 + t2 + t3 + .....+ tn = 0

Abreviando ttot= ti = 0

La solucin de la mayor parte de los problemas de equilibrio puede simplificarse siguiendo el procedimiento quese describe a continuacin:

Lea el problema y dibuje un diagrama aproximado con toda la informacin proporcionada. Construya un diagrama de cuerpo libre en el que se muestren las distancias entre cada fuerza y el resto

de la informacin suministrada. Elija y marque un eje de rotacin en el punto de aplicacin de una fuerza desconocida. Aplique la primera y la segunda condicin de equilibrio para obtener tres ecuaciones:

Fix = 0 Fiy = 0 ti = 0 Resuelva el sistema de ecuaciones.

Cuando un sistema de fuerzas en equilibrio es coplanar paralelo, la primera condicin de equilibrio, toma laforma ms simple, ya que, la suma es en una sola direccin sin componentes rectangulares (similar al sistemade fuerzas colineales) y la segunda condicin de equilibrio no requiere de calcular momentos de ningunacomponente.


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Ing. Jorge Antonio Sandoval Ortega Curso de Fsica Nivel Superior 201344.- Considere el arreglo que se muestra en la figura. Una viga uniforme que pesa 20 kgf esta sostenida por dossoportes A y B. Dadas las distancias y fuerzas que se indican en la figura, cules son las fuerzas ejercidas porlos soportes?

45.- El hombre de la figura pesa 860 N y est en el extremo de la plataforma de clavados a punto de lanzarse.Calcule las fuerzas ejercidas sobre la plataforma por los pedestales y. Suponga que la plataforma tiene un pesode 50 N y que podemos considerarlo en su centro geomtrico.

alumnos apuntes 13

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