ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA.

2- MATRICES.

Apuntes de la Cátedra.

Alberto Serritella.

Colaboraron: Cristian Mascetti

Vanesa Bergonzi

Edición Previa – CECANA – CECEJS – CET – Junín – 2010.

UNNOBA

Universidad Nacional de Noroeste de la Pcia. de Bs. As.

Para mensajes: alberto_serritella@yahoo.com.ar

A este apunte se le efectuarán correcciones y agregados.

2- MATRICES: La idea de matriz es la de un cuadro o tabla de valores:

102,3

43,02

121

032

3

−

−+

−13

2

Los significados de las filas (horizontales) y de las columnas (verticales) pueden ser distintos según el tema estudiado.

En particular un vector ( )1;2;3 − puede ser mirado como una matriz de una

sola fila.

También es posible tener el caso de una matriz con una sola columna:

7

5

a la que consideraremos como una “matriz columna” o “vector columna”. Eventualmente una matriz puede tener muchas filas o muchas columnas. En algebra, como en toda la matemática, más que los ejemplos concretos importan los casos generales, o sea como trabajar con matrices cualesquiera sean las cantidades de filas y columnas y los valores en cada casillero. Ello nos lleva a sistematizar el concepto de matriz. Vamos a numerar las filas sucesivamente como 1, 2, 3, etc. y lo mismo vamos a hacer con las columnas. Cada casillero quedara determinado por su número de fila (que, por ejemplo, numeraremos con la letra i ) y por su número de columnas (que podríamos

numerar con la letra j ). Así jia será el valor hallado en la línea i columna j

(un poco al estilo de la “batalla naval”). En el caso de la primer matriz presentada como ejemplo si 2 3 == ji el

elemento 2

123 −== aa ji . Así como con 3 4 == ji tenemos 134 −== aa ji

Si en lugar de escribir los valores de cada casillero simbolizamos toda la matriz la podríamos escribir así: 3 2 1 === jjj

1=i

2=i

3=i

4=i 434241

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

O también:

=

434241

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

A

Una forma abreviada sería: ( )4131

,...j,...,ijiaA

===

Pero nuestras matrices no tienen porque ser de 4 filas y 3 columnas. Si la cantidad de filas fuera m y la cantidad de columnas n escribiríamos:

( )n,...jm,...,ijiaA

11

===

Veremos luego otras formas alternativas de escritura para las matrices. Vamos a ver ahora la introducción rigurosa del concepto de matriz. Y presentaremos las matrices como un caso de función de una manera parecida a como introducimos anteriormente el concepto de n-upla. Definición rigurosa del concepto de matriz: Vamos a suponer que los elementos de una matriz pertenecen a un determinado cuerpo K. Ejemplos posibles de cuerpo Κ serían los racionales Q, los reales R o los números complejos C. Distintas notaciones utilizadas:

Como ejemplos de abreviaturas posibles vamos a utilizar las siguientes: (sean m, n, p números naturales).

[ ] { }mii;im,M ≤≤∧∈== 11 ΝΝ

[ ] { }njj;jn,N ≤≤∧∈== 11 ΝΝ

[ ] { }pkk;kp,P ≤≤∧∈== 11 ΝΝ

Las notaciones anteriores nos permitirán decir, para el caso de N, que:

n,...,jn,...,jjnjjNj 111 =⇒=∧∈⇔≤≤∧∈⇔∈ ΝΝ

Definición de matrices: Sea Kun cuerpo. Diremos que una matriz A es una función:

( ) Κ=∈∀∈∀Κ→× ∈ji

ajiji ,A :N : M:NM:A

Observación: en la definición anterior la igualdad ( )ij

aj,i =A introduce a su vez

una definición de forma de escritura.

Estamos escribiendo como ji

a al elemento del condominio de la función A que

corresponde al elemento ( )ji, de su dominio.

Observemos que: M x N (un producto cartesiano) es el dominio de dicha función y K su codominio K a su vez tiene una estructura de cuerpo). Resumiendo lo visto:

La función A hace corresponder al par ordenado ( )ji, (o sea la posición o

casillero de la tabla) el elemento ji

a (el valor escrito en el casillero).

Terminología utilizada:

Los ji

a del condominio se dice que son los elementos de la matriz.

El primer índice M∈i se dice que es el índice de las filas y le segundo N∈j

el índice de las columnas.

A veces en lugar de la notación ( )ji,A o: ji

a se usa: ji

a .

Mnemotécnica: ( ) ↑→→↑ ==↑→ aa,A

( ) columnas

filascolumnasfilas aacolumnasfilasA ==;

Distintas notaciones utilizadas para matrices:

= =

=

==

∈

∈

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

nj

mi

j

i jijiaa

K

KKKK

K

K

21

22221

11211

1,...,

,...,1

N

MA

Cuando el rango de variación de los índices queda sobreentendido en el

contexto se lo puede omitir escribiendo

=ji

aA

También se suele utilizar: njmiji

a≤≤≤≤

=

11A

O la rigurosa: ( ) NMi,jjiaA ×∈

=

Otras notaciones utilizadas:

nj

mi

n...j

m...i

j

i

ji

aji

aji

a≤≤

≤≤

=

=

=

=

∈

∈

=

1

1

1

1

N

M

A

En algunos libros se usan corchetes [ ]jia en lugar de paréntesis

ij

a

Nos permitiremos cierta libertad en el uso de estas formas de escritura, usando unas u otras según parezca más conveniente. Elementos de las matrices: Filas: Los elementos que en una matriz aparecen en una línea horizontal reciben el nombre de fila.

Fila i : ( ) ( )niiin...jjii a.....aaaAFil 211==

=

Columnas: los elementos que en una matriz aparecen en línea vertical reciben el nombre de columna.

Columna j : ( )

===

mj

j

j

m...iji

a

a

a

a K

2

1

1j ACol

Dimensión: ( ) nmAaAnjmiji ×=⇒=

== dim

...1...1

Se dice que es una matriz de m filas y n columnas. O sea; la dimensión de una matriz es el número de Filas y Columnas.

Diagonal Principal: sea: { }nmsnjmiij

a ×===

= minA

...1...1

Se define la diagonal principal:

( ) ( )sss...hhh aaaaDiag K12111A == =

Distintos casos: Escribimos esquemáticamente los tres casos que se presentan:

ssa

a

a

O

22

11

ms

ss

a

a

a

a

O

22

11

snss aa

a

a

22

11

Se puede distinguir otras diagonales además de la principal. Hay diagonales “descendentes” como la principal. Otras pueden ser “ascendentes”. Incluso se pueden considerar diagonales “quebradas” Distintos tipos de matrices Matriz Nula: Es la que tiene todos los elementos nulos. Es decir todos sus elementos son iguales al cero de K

( ) .ji

:n...j:m...i:j oooon...jm...ii Κ∈==∀=∀

=== 11

11

Matriz cuadrada: se dice que una matriz es cuadrada cuando su número de fila es igual al número de columnas:

( ) cuadradaesAnnAaAnjniji ⇔×=⇔=

== dim

...1...1

Orden de una matriz cuadrada: el orden de una matriz cuadrada es igual a la cantidad de filas que a su vez es igual a la cantidad de columnas:

( ) ( ) nAonnAaAnjniji =⇒×=⇔=

== dim

...1...1

Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos fuera de la diagonal principal.

( )n...jn...ijiaA

11=== matriz diagonal [ ]01 =⇒≠=∀⇔ jiaji:n...j,i

Los elementos iia de su diagonal es usual que se escriban: iiia λ=

Notación sintética acostumbrada para las matrices diagonales:

λ

λ

λ

=

Ο

Ο

n

D 2

1

Los dos grandes “ceros” pretenden simbolizar que fuera de la diagonal principal todos los elementos son iguales a 0. Otra notación usada para matrices diagonales:

n...iin... D121 =

λ=λλλ=

Matriz Escalar: es una matriz diagonal que tiene iguales todos los elementos de la diagonal principal.

niE

...1...

=== λλλλ

λ

λ

λ

=

Ο

0O

E

Matriz identidad: Es una matriz escalar que tiene unitarios todos los elementos de su diagonal principal.

=

Ο

1

1

1

0O

I

( ) [ ]

=δ⇒≠=∀=δ=∀δ=

=

= 01

11

1

1 ji

ii

n...j

n...i

ji ji:n...j

n...i:I

Las matrices identidad son matrices escalares. Las matrices escalares son matrices diagonales. Las matrices diagonales son matrices cuadradas. Por lo tanto las matrices identidad son matrices cuadradas.

Otra notación: n...i

...I1

1111=

==

Notación alternativa: Se suele usar la notación nI para I tal que ( ) nIo =

Matrices fila: Son las matrices que tienen una sola fila: nF ×= 1dim

Estas matrices pueden ser identificadas con vectores:

( ) ( ) ( ) ( ) vnn...jjn...jjn...j

iji v,...v,vvff ========

= 2111111F

Donde jj vf:n...i ==∀ 11

Enfatizamos la siguiente igualdad que surge de lo anterior:

( ) ( )nn vvvfff ,...,,...,F 2111211 ==

Aunque esta igualdad esconde en realidad un abuso de notación (pues la igualdad es en realidad sólo una identificación) nos permite identificar las matrices fila con vectores. Matrices columna o vectores columna: Son las matrices que tienen una sola columna:

1dim ×= nC , también pueden ser identificadas con vectores.

( ) ( ) ( ) u)u,...,u,u(uCC mm...iim...iij

m...iji ===== ==== 21111

11C

Aunque el abuso de notación es aun mayor que para las matrices filas, las matrices columnas también se identifican con vectores.

Vectores columna: La identificación entre matrices columnas y vectores permiten denominarlas también “vectores columnas”. En estos apuntes la identificación matrices columna y vectores (y aún entre columnas de matrices y vectores) va a ser utilizada en muchas ocasiones. Un enfoque cuidadoso del tema nos llevaría a decir que hay un “isomorfismo” (función biyectiva y lineal) entre el espacio vectorial de n-uplas de K y las matrices de dimensión

1×n de K. A los lectores de estos apuntes sólo se les pide que concedan que las identificaciones aquí mencionadas no presentan inconvenientes.

Suma de Matrices:

Sean: ( ) ( )n...jm...iji

n...jm...iji bBaA

11

11

==

== == se define: ( )

n...jm...ijiji baBA

11

==+=+

Producto de Matrices y Escalares:

Sean: ( )n...jm...ijiaA

11

===∧∈λ K se define: ( )

n...jm...ijia.A.

11

==λ=λ

Propiedades de suma de matrices y del producto de matrices por escalares:

Sea { }nmAdim;Anm ×==×M

Con las operaciones de suma y producto por escalares recién definidas. Se verifica que nn × M con

tales operaciones forma un K- espacio vectorial (a condición de que K sea un cuerpo conmutativo).

Lo anterior quiere decir que además de ser K un cuerpo, con las propiedades que hemos visto para

dicho tipo de estructura algebraica se cumplen:

( ) +× ,nmM es un grupo conmutativo lo cual presupone:

G1) ( ) ( ) : CBACBACB,A, nm ++=++∈∀ ×M Propiedad asociativa.

G2) A A00AA =+=+∈∀∈Ο∃ ×× :: nmnm MM Propiedad de existencia de neutro.

G3) ( ) 0A-AAA-A A =+=−+∈∃∈∀ ×× :: nmnm MM Propiedad de existencia

de opuesto.

G4) A BBA BA, +=+∈∀ × : nmM Propiedad conmutativa.

Pero además la suma de matrices y el producto de escalares y matrices verifican:

V10) ( ) ( ) ( )A AAA µλλµµλµλ ==∈∀∈∀ × ::, nmMΚ Propiedad asociativa combinada.

V11) a) ( ) BABA BA, λnm +=+∈∀∈∀ × :: λλλ MΚ Propiedades distributivas combinadas.

b) ( ) AAAA µλnm +=+∈∀∈∀ × µλµλ ::, MΚ

V12) A1A:A nm =∈∀ ×M Propiedad del producto por el elemento unidad del cuerpo ( ) 1 Κ∈

Demostración de las propiedades: Demostraremos algunas de las propiedades anteriores, las demás quedan como ejercicios teóricos.

Observamos en general que:

nm dim :nm ×=⇔∈ × AA M

En realidad deberíamos aclarar un poco más:

A A ⇔∈ ×nmM es una matriz sobre el cuerpo K ⇔×=∧ nm Adim

( ) ⇔×=∧∈∈∀∈∀∧=⇔∈∈ nmajia jijiji ANMA

NM dim:: Κ

( ) ⇔∈=∀=∀∧=⇔== Κjij

miji anjmia :...1:...1...11...n

A

[ ] [ ] Κ→×⇔NN

nm ,1,1:A

Observación: En las dos últimas equivalencias no hace falta aclarar nm×=Adim porque ello

queda implícito en lo escrito.

Si no queremos hacernos problemas con las aclaraciones anteriores bastará que retengamos que en

todas las propiedades enunciadas las matrices A , B , C , 0 , -A son matrices de m filas y n

columnas, ello es lo que significa: nm×∈MA

Demostración G2: Tomamos como matriz nula de m filas y n columnas la matriz ( )n...jm...iji

1100

===

en la cual: Κ∈==∀=∀ 0011 ji:n...j:m...i

Es decir, todos los elementos de la matriz O son iguales al cero del cuerpo K.

Sea: ( ) nmnjmijia ×

== ∈= M

...1...1A ; se cumple:

( ) ( )njmiji

njmijia

...1...1

...1...1 0

==

== +=+ 0A = [ por defincición de suma de matrices ] =

( )njmijijia

...1...10

==+= = [ por ser: Κ∈= 00 ji ] ( )

njmijia

...1...10

==+= =

= [ por ser 0 Κ∈+jia cuerpo] = ( ) A===

njmijia

...1...1

De manera similar: A.AO =+ Demostración G3:

Sea: ( ) nmnjmijia ×

== ∈= M

...1...1A

Tomamos la matriz opuesta: ( )njmijia

...1...1

==−=− A

donde: jia− es el opuesto de: j ia en el cuerpo K.

Quedan para el lector los detalles de la demostración que son muy parecidos a los de (G2).

Demostración V10:

Sea: ( ) A;, nm

njmijia ×

== ∈=∈ M

...1...1Κµλ se tiene entonces:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ===

=

=

==

==

==

==

njmiji

njmiji

njmiji

njmiji aaaa

...1

...1...1...1

...1

...1...1...1 µλµλµλµλµλ A

= ( )( ) ( )Aµλµλ =

==

njmijia

...1

...1= [ por ser K cuerpo conmutativo cumple (A8) ] =

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )AA λµλµλµλµλµλµλµ =

=

==

=

==

=

==

=

==

=

===

nj

mijia

nj

mijia

nj

mijia

nj

mijia

nj

mijia

...1

...1

...1

...1

...1

...1

...1

...1

...1

...1

En la demostración anterior sólo se ha justificado un paso por medio de la propiedad (A8)

conmutativa del producto en el cuerpo K.

Se deja al lector la justificación del los otros pasos. Cuando intenten hacerlo es posible que se

sientan algo confundidos por la forma de escritura utilizada.

En el esquema de demostración suministrado, las matrices se escriben con paréntesis. Pero a la vez

los paréntesis se usan también para agrupar operaciones de producto.

No es lo mismo el paréntesis de njmiji

a...1...1A

==

= que sirve para escribir una matriz, que los

paréntesis de ( ) ( )AA µλµλ = que sirven para agrupar las operaciones de productos de escalares y

productos de escalares y matrices.

Tal vez nos resulte más claro el siguiente esquema para la misma demostración. En él usamos

paréntesis para las matrices y corchetes para agrupar operaciones:

[ ] ( ) ( ) [ ]( ) ==

=

=

==

==

==

njmiji

njmiji

njmiji aaa

...1...1

...1...1

...1...1 A µλµλµλµλ

[ ]( ) [ ]( ) [ ]Aµλµλµλ =====

==

njmiji

njmiji aa

...1...1

...1...1 = [ por ser K un cuerpo conmutativo ] =

[ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) =======

==

==

njmiji

njmiji

njmiji aaa

...1...1

...1...1

...1...1 λµλµλµλµ A

( ) ( ) [ ]Aλµλµλµ =

==

==

==

njmiji

njmiji aa

...1...1

...1...1

Por último veremos:

Demostración V12: Sea: Κ∈1 sea: ( )njmijia

...1...1

=== A se tiene:

( )njmijia

...1...111

===A = [ por definición de producto escalar ] = ( )

njmijia

...1...11

== = [ por ser K un cuerpo cumple (A7 )

existencia de elemento unidad ] = ( ) A===

njmijia

...1...1

Resumiendo: 1A=A Que es lo que queríamos demostrar.

Producto de matrices:

En las distintas “operaciones” que hemos visto hasta ahora en Algebra siempre se ha conservado

una cierta “prolijidad”.

Las “sumas” siempre se han definido entre elementos de un mismo conjunto:

G.GG →×+ :

Las sumas de dos elementos de G da otro elemento de G.

Con los productos nos hemos tomado un poco más de libertad.

En los anillos y cuerpos se multiplican elementos de un mismo conjunto:

A.AA →ו :

Pero en los módulos y espacios vectoriales la situación es más elástica

M.MA →ו :

Es decir si M. entonces MA ∈λ∈∈λ xx,

El producto de un elemento del anillo y de un elemento del módulo es un elemento del módulo.

De manera similar:

VV →×Κ• : es decir si , V∈Κ∈ µλ entonces: V∈µλ

o sea, el producto de un escalar λ y un vector µ es un vector: µλ

La “prolijidad” de la que hablamos se va a volver mucho más permisiva para el caso de los

productos de matrices:

Recordemos una forma de escritura que venimos utilizando como índices de las matrices:

Sean Ν∈p,n,m :

[ ] [ ] [ ]ΝΝΝ p Pn NmM 1,1, === ,1

Sean: { }pmpm ×==× AA dim;M ; matrices de m filas y p columnas

{ }npnp ×==× BB dim;M ; matrices de p filas y n columnas

{ }nmCnm ×==× dim;C M ; matrices de m filas y n columnas

Todas con elementos en el mismo cuerpo K.

Introduciremos ahora una operación a la que consideraremos un “producto” y que será una función:

nmnppm: ××× →ו MMM que escribiremos: así:

( ) nmnppm BAB,A:B:A ××× ∈⋅=•∈∀∈∀ MMM

Definición de producto de dos matrices: Sean dos matrices:

( ) ( )NPk

MikiaA∈∈

∈∈ ==

jPkjkbB

Definimos: ( )NjMjicCB A

∈∈==⋅ i de forma tal que: jk

k

ki baji ∑∈

=∈∀∈∀P

jic : N : M

La misma definición con otra forma de escritura:

( )pkmikia

...1...1

===A ( )

njpkjkb

...1

...1===B ( )

njmi

...1...1

====⋅ jicCBA

kjikji bacnjmi ∑=

==∀=∀P

1k

: ...1 :...1

Un ejemplo con un caso particular:

Supongamos que: 4 2 3 === npm

( ) ( )

=====

==

3231

2221

1211

21321

2131

aa

aa

aa

a a,k,,iik

...k...ikiA

( ) ( )

===

==

==

24232221

14131211

432121

4121

bbbb

bbbbbb

,,,j.kjk

...j

...kjkB

( ) ( )

====⋅==

==

34333231

24232221

14131211

4321321

4131

cccc

cccc

cccc

cc,,,j

,,iji...j...ijiCBA

Calculemos el elemento: 11C

Es decir: 1=i 1=j ( recordemos que: 2=p )

Pero entonces reemplazando en: ∑=

=P

k

jkki ba1

jic

21

2

1211

2

11

111111 bababaC

k

kk

kk

==

=

+==∑ O sea: 2112111111 baba +=C

De manera similar, por ejemplo con: 3 1 == ji : 2

2322131

2

1

213223===

+== ∑kkK

kk bababaC

Esquematizamos entonces así:

=

34333231

24232221

14131211

24232221

14131211

3231

2221

1211

.

cccc

cccc

cccc

bbbb

bbbb

aa

aa

aa

Remarcamos el caso del ejemplo: 3 2 == ji

2322132123

34333231

24232221

14131211

24232221

14131211

3231

2221

1211

c

. 2

21

2

2k

1k

3j3j

baba

cccc

cccc

cccc

bbbb

bbbb

aa

aa

aa

i

k k

i

+=

=

=

==

=

=

=

==

Un ejemplo numérico con matrices de similar dimensiones.

3b

4

1 2232213212313

23

2221 =+===

== babac

b

aa

Enfatizamos:

1) Para que dos matrices se puedan multiplicar el nº de columnas de la 1º matriz tiene que ser

igual al número de filas de la 2º.

2) La matriz resultado tiene: el número de filas de la 1º matriz y el número de columnas de la

2º matriz. Da igual:

Nº Filas = Nº Filas 1º igual a: Nº Filas 1º (→ = Nº filas 2º) = Debe ser: (Nº columnas 1º = ) Nº columnas2º Nº columnas= Nº col.2º

2432143134233213313322321231322132113131

2422142124232213212322221221222122112121

2412141114231213111322121211122112111111

babaCbabaCbabaCbabaC

babaCbabaCbabaCbabaC

babaCbabaCbabaCbabaC

+=+=+=+=

+=+=+=+=

+=+=+=+=

−−

−

−

=

−

−

6183012

510127

22917

7423-

1352-

06

12

31

Relación entre el producto de matrices y el producto escalar de vectores:

Vimos anteriormente que tanto las filas como las columnas de una matriz pueden asimilarse a

vectores. Como al multiplicar matrices el número de columnas de la primera matriz (y que es igual

al número de elementos de una fila) es igual al número de filas de la segunda matriz (que, a su vez,

es igual número de elementos de las columnas de la segunda).

Se tiene entonces que el número de elementos de los vectores filas de la primera es igual al número

de elementos de los vectores columna de la segunda, con lo cual puede entonces calcularse el

producto escalar de ambos vectores. Veremos que dicho producto escalar es igual a un elemento de

la matriz resultado.

Veremos que se cumple la siguiente:

Propiedad:

Siendo: ( )n...jm...ijic

11

====⋅ CB A Se verifica: BA jiji col .filc =

Demostración: ( )p...kkii afil

1==A ( )

p...kjkj bcol1=

=B

( ) ( ) ==== pkjkpkkiji bacolfil

...1...1B.A [ por definición de producto escalar de dos vectores ] =

==∑=

p

k

kjikba1

[ por definición de producto de matrices ] = jic

Propiedades del producto de matrices:

El producto de matrices cumple con la propiedad asociativa:

( ) ( )CB ACBACBA qqppm ⋅⋅=⋅⋅∈∀∈∀∈∀ ××× ::: nMMM

es necesario aclarar que: qm×∈⋅ MBA

qpCB ×∈⋅ M

( ) ( ) nm×∈⋅⋅=⋅⋅ MCBACBA

Demostración: Hay que escribir con cuidado cada matriz involucrada y darle nombres a los

productos:

( ) pmpkmi

ika ×== ∈= M

...1...1A ( ) qp

qhpk

khb ×== ∈= M

...1

...1B ( ) nqnjqhhjc ×

== ∈= M

...1

...1C

( ) qmqhmi

ihx ×== ∈==⋅ M

...1...1XBA siendo: kh

p

k

ikih baxqhni ∑=

==∀=∀1

:...1:...1

( surge de la definición de producto de A y B )

( ) npnjpkkjy ×

== ∈==⋅ M

...1

...1YCB siendo: hj

q

h

khkj cbynjpk ∑=

==∀=∀1

:...1:...1

( ) ( ) ZCXCBA...1...1 nm

njmiijz ×

== ∈==⋅=⋅⋅ M siendo: hj

q

h

ihij cxznjmi ∑=

==∀=∀1

:...1:...1

Por ultimo:

( ) nmnjmiijw ×

== ∈===⋅⋅ M

...1...1WAYC)(BA siendo: ∑

=

==∀=∀p

k

kjikij yawnjmi1

:...1:...1

Veremos que W y Z que pertenecen al mismo conjunto nm×M son iguales.

Es decir, demostraremos que:

( ) ( ) ij1...nj1...mi

1...nj1...mi :...1:...1 ZW zwnjmizw ijijij ==∀=∀⇔===

==

==

Para ello tomaremos un índice cualquiera i tal que: ...1 mi =

y un índice cualquiera j tal que: nj ...1=

Digresión:

Si recordamos por un momento lo que sabemos de lógica entenderemos que lo que estamos

haciendo acá es aplicando ejemplificación universal a: “ i ” y a: “ j ”

Recordemos: ( )

( )zp

xpx :∀

Sólo que por haraganería ejemplificamos: “ i ” con: “ i ” y: “ j ” con: “ j ”.

Las funciones proposicionales que involucran a: “ i ” y a: “ j ” al estilo de ( )xp son las

escrituras de los elementos de las matrices que utilizan dichos índices.

==∀=∀ jiwnjmi :...1:...1 …etc.

Tenemos entonces que:

∑=

=p

k

kjikji ya1

w = [ Reemplazando jky ] = ∑ ∑= =

p

k

q

h

hjkhik cba1 1

= [ por ser en K el producto distributivo

respecto de la suma, en este caso una sumatoria ] = ( )∑ ∑= =

p

k

q

h

hjkhik cba1 1

= [ por ser en K el producto asociativo ]

= ( )∑ ∑= =

p

k

q

h

hjkhik cba1 1

= [ por ser en K la suma asociativa, lo cual se traduce en la posibilidad de cambiar el

orden de las sumatorias ] = ( )∑ ∑= =

q

h

p

k

hjkhik cba1 1

= [ recordando cual es la expresión entre paréntesis ] =

= hj

q

h

ihcx∑=1

= [ según vimos antes ] jiz=

En resumen, y aplicando G.U. (lógica): :...1:...1 ijij zwnjmi ==∀=∀ o sea: ZW =

es decir: A(BC)(AB)C = lo que termina la demostración.

El producto también cumple las propiedades:

Distributivas respecto de la suma:

a) ( ) ACABCBA :: +=+∈∀∈∀ ×× nppm BCA MM

b) ( ) BC ACCBAbA, ppm +=+∈∀∈∀ ×× :C: nMM

Demostración: La demostración de estas propiedades se hacen por un camino análogo, pero algo más

simple, que el de la demostración anterior. Se dejan al lector.

PROPIEDADES NO CUMPLIDAS POR EL PRODUCTO DE MATRICES:

Conmutación:

El producto de matrices por lo general no es conmutativo más aún: lo usual es que el

producto inverso no este definido.

Tomemos el ejemplo ya visto:

Si intentamos conmutar el producto:

Vemos que el cálculo no puede efectuarse porque el número columnas de la primera

matriz es: =≠ 34 número de filas de la segunda.

Por ejemplo si intentamos multiplicar la fila 1 de la primera matriz:

( )1362 −− con la columna 1 de la segunda

−

6

2

1

(-1) lo multiplicamos por (-2)

6 lo multiplicamos por 2

3 lo multiplicamos por 6

Pero (-1) no tenemos con quien multiplicarlo.

Pero ¿si tomamos matrices cuadradas no se podrá?.

La respuesta es que los productos están definidos y los resultados suelen dar distinto.

Ejemplo:

=

≠

=

43

21

32

10

1611

43

158

74

32

10

43

21

−−

−

−

=

−

−

6183012

510127

22917

7423-

1352-

06

12

31

06

12

31

7423-

1352-

−

−

Como simple curiosidad daremos otro ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )301694143214.43.32.21.1

4

3

2

1

4321 2222 =+++=+++=+++=

o sea: ( ) ( )30

4

3

2

1

4321 =

con: ( ) 1130dim ×=

( )

=

=

161284

12963

8642

4321

4.43.42.41.4

4.33.32.31.3

4.23.22.21.2

4.13.12.11.1

4321

4

3

2

1

con: 44

161284

12963

8642

4321

dim ×

=

Los resultados conmutando están definidos pero son dos matrices que no se

pueden comparar por tener dimensiones distintas.

Las matrices cuadradas de determinado orden, digamos: nn×M ¿formaran algún tipo de estructura?.

Evidentemente no pueden llegar a ser ni un anillo ni un cuerpo conmutativo.

¿Pero podrán ser un cuerpo no conmutativo?.

La respuesta también es negativa como veremos después.

Pero al menos podemos demostrar la siguiente:

Propiedad:

( )•+× ;;nnM Forma un anillo con unidad.

Demostración: Ya vimos que: ( )+× ,nmM forma un grupo conmutativo,

Si: m = n ( )+× ,nnM también es un grupo conmutativo, o sea cumple:

G1+G2+G3+G4. Si en las propiedades asociativa y distributiva del producto de matrices que vimos antes

tomamos: nqpm === nos quedan las propiedades:

Asociativa:

( ) ( )CABBCA:CB,A, nn =∈∀ ×M o sea: (A5)

Distributivas:

a) ( ) ACABCBA : +=+∈∀ ×nnCB,A, M o sea: (A6A)

b) ( ) BC ACCBACB,A, nn +=+∈∀ × :M o sea: (A6B)

Sólo nos falta demostrar: (A7)

Basta con tomar como unidad In o sea la matriz identidad con: ( ) nInO =

Recordemos que: ( ) nj

ni

jiIn

...1

...1

=

== δ

Estando definido: [ ]

=⇒≠=∀

==∀

0:...1

1...1

j

i

i

i

Sjinj

Sni

Sea: ( ) nnnjniija ×

== ∈= M

...1...1A

Multipliquemos: A⋅In Para ello hacemos un cambio formal de escritura:

( ) ( )n...jn...iji

n...j

n...iji aA In

11

1

1==

=

= =δ=

Sea: ( )n...jn...ijixXA In

11

====⋅ donde: ∑

=

δ=n

k

jkkiji ax

1

pero entonces: =δ+δ=δ= ∑∑≠==

kj

n

ikk

kiij

ii

n

k

kjkiji aaax

11

ijij

n

ikk

ijkj

n

ikk

ij aOaOaa Oa =+=+=+⋅= ∑∑≠=

≠= 11

1

o sea: ijij ax:n...j:n...i ==∀=∀ 11 es decir: AXAIn ==

de donde: AAIn =⋅

De una manera similar se demuestra: AA =⋅ In

con lo cual hemos demostrado que:

( ) AA A :A::A7 ==∈∀∈∃ ×× InInIn nnnn MM

Y efectivamente ( )⋅+× ,,nnM resulta ser un anillo con unidad

Pero no llega a ser un cuerpo.

Observación: nn×M no es un cuerpo ( )1≠n Si :

En particular: 22×M no es un cuerpo.

Sea: n=2 y sea la matriz:

≠

042

21

0

00

Supongamos, por absurdo, que dicha matriz tiene un elemento inverso al cual

escribiremos como:

wz

yx y es tal que:

210

01

42

21

42

21I

wz

yx

wz

yx=

=

=

Pero entonces:

=

++

++=

10

01

4242

22

42

21

wyzx

wyzx

wz

yx

( )

( )

cuerpo.un forman no dosorden de cuadradas matrices las menos al que entonces vemos,incorrecta

era inverso elementoun tenía42

21 matriz la que de suposición nuestra tantolopor 10 absurdo

104442-2 142

042

última laen doreemplazan 2 02

12

=

==+−=+=+

=+

−=⇒=+

=+

⇒

wwwwwy

zx

wywy

zx

( )+× ,nnM No es un cuerpo: Supongamos 1≠n

Sea: A tal que: nnA ×∈M con las siguientes características:

OA ≠ ( matriz nula) 01 ==∀∧ jia:n,...,j

O sea A es una matriz cuadrada no nula pero con su primer fila nula ( 01

r=AFil )

Supongamos por el absurdo que A tiene un elemento inverso.

O sea: nnn IA.XX.A:X ==∈∃ ×M

Pero entonces: 100 11111 =δ=== XCol.XCol.AFil

r

con lo cual resulta: 0 = 1 Absurdo.

Se pueden dar muchos otros contraejemplos. Más adelante analizaremos en detalle cuando una matriz cuadrada tiene inverso para el producto.

De todas maneras debemos notar que:

K cuerpo ⇒ ( ).,,+×11M es un cuerpo.

¿Por qué ( ).,,+×11M es un cuerpo?.

La respuesta (muy sencilla) se deja al lector. Ayuda para encontrar la respuesta:

Es a su vez una pregunta: ¿qué forma tienen los elementos de ( ).,,+×11M ?.

Propiedad:

{ } φ≠==∈∃∧∈ ×× nnnnn IX.YY.X:YX;X MM

O sea que entre las matrices cuadradas de orden n no nulas siempre existe alguna que tiene inverso. La respuesta es también muy sencilla. Sí, seguramente ya la han encontrado:

nnnnnnnnnnnn II.II.I:IOII ==∈∃∧≠∧∈ ×× MM

O sea, siempre la identidad (que es no nula) tiene un elemento inverso para el producto: la misma matriz identidad.

Recordemos que la matriz identidad se escribe nI o simplemente I .

Matriz Inversible:

Definición: Diremos que una matriz es inversible si y solo si tiene elemento in verso para el producto.

O sea: dada en todos sus detalles la definición sería:

[ ]nnnnn IA.BB.A:BinversibleAA ==∈∃⇔⇒∈ ×× MM

Corolario: 0≠⇒ AinversibleA

Demostración: Sea: 0 matriz nula cuadrada de orden: n. Veremos que no tiene inversa.

Sea: ( ) nj

ni

j

inI...1

...1

=

== δ la matriz identidad: ( ) nIo n = Supongamos, por el absurdo, que:

.0..0: nnxn IBBB ==∈∃ M Sea la primer fila de: 0 y la primer columna de: B

100 11111 =δ=== BCol.BCol.AFil

r con lo cual: 0=1 Absurdo.

Matriz Inversa de una Matriz:

Definición: si una matriz A es inversible diremos que su matriz inversa es su elemento inverso para

el producto. Dicha inversa se acostumbra a escribir: 1−A .

O sea (en detalle): BAIABBABA nnxnnxn =⇒==∈∃∧∈ −1..:MM

Versiones más sencillas de la definición. A veces, con menos detalles se suele definir:

BAIABBAB =⇒==∃ −1..:

o también: 1−A matriz inversa de: IAAAAA ==⇔ −− .. 11

En las definiciones simplificadas si es necesario los detalles sobre a que conjunto pertenecen las

matrices o que la inversa de A es en realidad otra matriz B se aclara “en el contexto”.

Esto significa que dichas aclaraciones son hechas en alguna parte o que se las dice en palabras. Lo

que debemos retener y no olvidarnos es que el producto de una matriz y su inversa da la matriz

identidad. Y el mismo resultado se obtiene al multiplicar la inversa por la matriz. Y la conclusión

práctica es que las matrices inversibles son las que tienen inversa. Es decir elemento inverso para el

producto.

Corolario: A inversible ( ) AA =⇒−− 11

Demostración: sea: nxnMA ∈ , supongamos que: A es inversible

⇒==∈∃⇔ nnxn IABBAMB ..: por definición de inversa1−=⇒ AB

Pero entonces reemplazando en la expresión anterior:

nIAAAA == −− .. 11 Escribiéndolo en distinto orden:

nIAAAA == −− 11 .. Lo cual significa que la matriz: 1−A tiene un elemento inverso para el

producto, es decir: A .

O sea: ⇒==∈∃∧∈ −−−nnxnnxn IAAAAAA 111 ..:MM por definición de matriz inversa

aplicada a la matriz: ( ) AAA =⇒−−− 111

Propiedad: ( ) 111.., −−− =⇒∈ ABBABA nxnM

+.9

Demostración: BA. está definida pues cumple con la condición de que la cantidad de columnas de

A es igual a la cantidad de columnas de B dado que ambas son cuadradas y con el mismo orden.

La llamaremos: C donde: nxnBAC M∈= .

El producto: 11 . −− AB también está definido por una razón similar. Lo llamaremos: X donde:

nxnABX M∈= −− 11. .

Veremos que: X se comporta como la inversa de: C .

Recordemos que significa que: 1−A sea la inversa de: A :

1) IAAAA == −− .. 11

Para el caso de: B :

2) IBBBB == −− .. 11

Veamos ahora: ( )( ) == −− 11 ... ABBAXC por ser el producto de matrices asociativo =

( )( ) == −− 11 .. ABBA aplicamos la misma propiedad dentro del paréntesis grande =

( )( ) == −− 11 ... ABBA [ por 2 ] ( ) == −1.. AIA [ por 1 ] I=

Razonando análogamente: ICX =. (hacerlo)

Es decir: 1.. −=⇒== CXICXXC

Reemplazando: X y C : ( ) 111 ..−−− = BAAB que es lo que queríamos demostrar.

Corolario: II =−1

Demostración: muy sencilla: IIIII == ..

Es decir: I funciona como elemento inverso de ella misma.

Ejemplos de Matrices Inversas:

Ejemplo 1: sea la matriz:

=

11

12A , veremos que:

−

−=−

21

111A

Comprobación:

=

−

−

=−

21

11.

11

12. 1AA

( ) ( )( ) ( ) =

+−−+

+−−+

1.21.11.11.1

2.11.21.11.2

I=

=

+−−

+−−=

10

01

2111

2212

=

−

−=−

11

12.

21

11.1 AA ( ) ( ) =

+−+−

−−

1.21.11.22.1

1.11.11.12.1

I=

=

+−+−

−−=

10

01

2122

1112

Ejemplo 2: sea:

21

32 pero no tenemos una candidata a matriz inversa. Ni siquiera sabemos si

existe. Necesitamos realizar un cálculo auxiliar. Sea:

=

wz

yxX nuestra candidata a matriz

inversa.

Será:

=

++

++=

10

01

22

3232.

21

32

wyzx

wyzx

wz

yx entonces:

=+

−=⇒=+

−=⇒=+

=+

12

202

2

3032

132

wy

zxzx

wywy

zx

Reemplazando en la cuarta ecuación:

212

11.2

2

312

2

3=⇒=⇒=

+−⇒=+− wwwww

Volviendo a la segunda:

332.2

3−=⇒−=−= yy

Reemplazando en primera:

( ) ( ) 111.34132.2 −=⇒=−⇒=+−⇒=+− zzzzz Finalmente:

( ) 21.2 =⇒−−= xx

Con lo cual:

−

−=

=

21

32

wz

yxX

o sea que ahora tenemos: X como candidata a matriz inversa de: A .

=

+−−

+−−=

−

−

=

10

01

4322

6634

21

32.

21

32.XA

=

+−−

−−=

−

−=

10

01

4322

6634

21

32.

21

32.AX

Efectivamente: X es la inversa de: A , donde

−

−=−

21

321A

Ejemplo 3: sea:

=

42

21A ya vimos anteriormente que no tiene elemento inverso para el

producto. Es decir, no existe la inversa.

Ejemplo 4: siguiendo con las matrices de: 2 x 2 tratemos de encontrar en general la inversa de:

=

dc

baA

Como hicimos antes, sea:

=

wz

yxX , su candidata a matriz inversa será:

⇒

=

++

++=

=

10

01

....

......

wdyczdxc

wbyazbxa

wz

yx

dc

baXA

=+

=+

=+

=+⇒

1..

0..

0..

1..

wdyc

wbya

zdxc

zbxa

Aplicamos sumas y restas. Multiplicamos cada ecuación.

( )( )

( )( )

=+

=+

=+

=+⇒

1....

0....

0....

1....

awdyca

cwbyac

azdxca

czbxac

Distribuyendo:

=+

=+

=+

=+⇒

awdayca

wcbyca

zdaxca

czcbxca

....

0....

0....

....

Restando:

{{ awdawcbczdazcb −=−+−=−+⇒ 0....00....0

Sacando factores comunes:

( ) ( ){{ awdacbczdacb −=−=−⇒ ......

Multiplicando por ( )1− :

( ) ( ){{ awcbdaczcbda =−−=−⇒ ......

Y aquí viene el dilema, si fuera: ( ) 0.. ≠− cbda se puede despejar.

cbda

cz

.. −−=

cbda

aw

.. −=

Razonando de manera similar, con la misma condición, se llega a:

cbda

by

.. −−=

=

321

321

321

.

010

001

100

.

zzz

yyy

xxx

XA

Con lo cual nuestra candidata a matriz inversa es:

−−−

−−

−=

cbda

a

cbda

c

cbda

b

cbda

d

X

....

....

Verificación: supongamos que: ( ) 0.. ≠− cbda entonces:

=

−−−

−−

−

=

cbda

a

cbda

c

cbda

b

cbda

d

dc

baXA

....

......

=

−+

−−

−−

−

−+

−−

−−

−=

cbda

a

cbda

cb

cbda

dc

cbba

dc

cbda

ba

cbda

ba

cbda

cb

cbda

da

....

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

=

−−

−

−

=10

01

..

..0

0..

..

cbda

cbda

cbda

cbda

De manera similar:

==

−−−

−−

−=10

01..........

....

.....

dc

ba

cbda

a

cbda

c

cbda

b

cbda

d

AX

Se tiene entonces que: ( ) 0=− c.bd.a

−−−

−−

−=

⇒

−

cbda

a

cbda

c

cbda

b

cbda

d

dc

ba

....

....1

Utilizando la definición de producto de un escalar por una matriz, tomando: cbda ..

1

−=λ

se puede escribir: ( )

dc

ba

ac

bd

dc

bacbda

−

−

=

⇒≠−

−1

0..

Tal vez alguien pueda adelantarse a los que vendrá y decir:

dc

ba

ac

bd

dc

ba

dc

ba

−

−

=

⇒≠

−1

0

También se demuestra: ( )1

0..

−

¬∃⇒≠−

dc

bacbda

Si por el absurdo suponemos que existe una matriz:

=

wz

yxX , razonando como hicimos

para hallar la forma de la matriz inversa se llega a:

( ) 00.... =⇒−==⇒−=− cczoczcbda

También:

( ) 00.0... =⇒==⇒=− aawawcbda

Razonando de igual manera se llega a:

0=b 0=d

Con lo cual:

=

00

00

dc

ba matriz nula,

≠

=

=

∴

10

01

00

00.

00

00.

wz

yx

wz

yx

dc

ba

y no existe inversa.

Ejemplo 5: sea:

=

010

001

100

A postularemos que:

=

321

321

321

zzz

yyy

xxx

X es la matriz

inversa.

=

=

321

321

321

.

010

001

100

.

zzz

yyy

xxx

XA I

yyy

xxx

zzz

=

=

100

010

001

321

321

321

1

321

321

321

100

100

010

100

010

001−=

=⇒

===

===

===

⇒ AX

yyy

xxx

zzz

Verificamos:

=−

001

100

010

.

010

001

100

. 1AA

I=

=

++++++

++++++

++++++

=

100

010

001

010000000

000001000

000000100

⋅

=−

010

001

100

001

100

010

.1 AA

I=

=

++++++

++++++

++++++

=

100

010

001

001000000

000100000

000000100

Métodos de Cálculo de la Matriz Inversa:

Los métodos que aplicamos en los ejercicios anteriores son “caseros”. No se debe confundir la

definición de matriz inversa con los métodos para calcularlas que veremos más adelante. Los

métodos tradicionales son dos: el método conocido como “de la matriz adjunta” y el método de las

transformaciones que admite distintas variantes. Existen otros, por ejemplo el teorema de Cayley-

Hamillton suministra uno que veremos al abordar el tema autovalores y autovectores.

Unicidad de la Matriz Inversa:

Propiedad: La matriz inversa es única. O sea, dada una matriz no nula, si tiene una matriz inversa,

dicha matriz es la única que se comporta como inversa.

Demostración: supongamos que A tiene inversa 1−A ⇔

( ) ( ) IAAAAAoAoA ==∧=∃⇔ −−−− ..: 1111

Recordemos: siendo A cuadra: ( )Ao = orden de la matriz A = cantidad filas = cantidad columnas.

Es decir que se pide que la matriz y su inversa sean cuadras del mismo orden.

Supongamos que hay otra matriz X que también se comporta como inversa:

( ) ( ) IAXXAAoXoX ==∧=∃ ..:

Pero entonces:

( ) ( ) 11111 ...... −−−−− =⇒===== AXAAIXIXAAXAAX

O sea, que la segunda inversa X era la misma matriz: 1−A

Rango de una Matriz:

Sea una matriz: ( )

NjMijiaA

∈∈=

siendo: [ ]Nm,M 1= [ ]Nn,N 1= definimos el rango:

( )ARang de la matriz: A de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ){ }{ }nteindependieelinealmentAFilMI;I#MaxARang Iii ∈∧⊂=

Es decir, el rango de una matriz es el máximo número de filas linealmente independiente que

pueden elegirse dentro de la matriz.

Nota: recordemos que: ( ) =I# cardinal de I es, intuitivamente, la cantidad de elementos del

conjunto: I . Por su parte: MI ⊂ nos dice que: I es un subconjunto del conjunto que es índice

de las filas de: A . En otras palabras que de todas las filas de: A estamos eligiendo algunas

¿cuáles?. Las que son linealmente independientes. De todas las selecciones que podemos hacer nos

quedamos con aquella que sea mayor (el máximo del conjunto dado en la definición).

Ejemplo: ( )NjMijiaA

∈∈=

=

13

21

42

siendo: { }{ }

=

=

2;1

3;2;1

N

M

Solución: esta matriz tiene tres filas:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

=

=

=

1,3

2,1

4,2

3

2

1

AFil

AFil

AFil

Que pueden ser miradas como tres vectores.

Probemos en primer lugar: { }3;2;1== MI se cumple: MI ⊂ . Verifiquemos si son linealmente independientes las tres filas:

No lo son, pues tomando: 011 ≠=λ ; 022 ≠−=λ ; 03 =λ se verifica:

( ) ( ) ( ) ( ) =++=∑∈Ii

ii AFilAFilAFilAFil 332211 .... λλλλ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−−+=+−= 0,04,24,21,302,124,21

( ) ( ) 00,0044,022r

==+−+−=

No son linealmente independiente porque la combinación lineal da igual al vector nulo con al

menos un escalar 0≠ .

Probemos: { } { }3;2;12;1 =⊂= MI . Tampoco resulta linealmente independiente dado que

tomando: 21 =λ ; 42 −=λ se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,088,448,48,42,144,22r

==−−=−+=−

Probemos: { } { }3;2;13;1 =⊂= MI En este caso sí resultan linealmente independientes. Supongamos:

( ) ( ){ }

( ) ( ) =+==∑ ∑∈ ∈Ii i

iiii AFilAFilAFilAFil 3311

3;1

.... λλλλ

( ) ( ) ( ) ( ) ⇔==++=+= 00,02,31,3.2,1. 313131

rλλλλλλ

=+

−=⇒=+⇔

02

303

31

3131

λλ

λλλλ

Reemplazando en la segunda igualdad se tiene:

( ) 005632 333333 =⇒=−=+−=+− λλλλλλ

Pero entonces reemplazando en: 00.33 31 =−=−= λλ

Es decir:

=

=

0

0

3

1

λ

λ

Los vectores son linealmente independientes.

Hay otros casos linealmente independientes:

{ }3;2=I Se deja la demostración al lector.

{ }1=I ( ) ( ) ( )

{ }( ) 00,02,2,1. 1

1

111 =⇒===∑∈

λλλλλi

ii AFil

{ }2=I Se deja la demostración al lector.

{ }3=I Se deja la demostración al lector

O sea, los cinco casos de subconjuntos de índices en que los vectores resultan linealmente

independientes son: { }3,1 { }3,2 { }1 { }2 { }3 Por lo tanto:

( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }( ){ } == 3#,2#,1#,3,2#,3,1#MaxARang

{ }1,1,1,2,2Max= = Eliminando las repeticiones de elementos = { } 21,2 =Max Por lo tanto:

2

13

42

21

=

Rang

Dicho de otra manera, el rango de la matriz es 2 porque el máximo número de filas linealmente

independientes que se puede encontrar es 2 (por ejemplo la 1º y la 3º)

Dado que si tomamos las tres filas de la matriz no resultan linealmente independientes.

Métodos para calcular el rango de una matriz hay tres. Uno es el de la definición (el que vimos).

Más adelante conoceremos otros dos métodos.

Debemos recordar siempre que la definición de rango de una matriz que hemos visto corresponde al

primer método. Un error muy común ¡cuidado! es decir que rango de una matriz es la cantidad de

filas no nulas. Ello sólo es cierto en algunos casos. Acabamos de ver que la matriz:

13

42

21

tiene

rango 2. sin embargo el número de filas no nulas es 3. Veremos algunas consecuencias de la

definición de rango.

Corolario 1:

( ) { } mnmMinaRang

njmij ≤≤≤

== ,0

...1...11

Es decir, el rango debe ser siempre menor o igual que el número de filas y el número de columnas

de la matriz. Que: ( ) mARang ≤≤0 es inmediato a partir de la definición.

Pero no contamos aún con todos los elementos necesarios como para hacer una demostración

completa de este corolario. Es totalmente evidente que el rango tiene que ser ≤ que el número: n de columnas.

Corolario 2: Lo enunciaremos en palabras: el rango de una matriz es ≤ que el número de filas no

nulas y que el número de columnas no nulas de la matriz. La demostración también debe ser

pospuesta.

Observación: A pesar de que la definición de rango de una matriz que hemos dado, por el momento

no nos permite desarrollar métodos de cálculo del rango que sean fáciles de aplicar en cualquier

matriz; pues por el momento no tenemos un método eficaz que nos permita resolver la igualdad:

( )∑∈

=ji

ii AFil 0.r

λ Con todo veremos que esta definición podrá seguir siendo manejada a

nivel teórico en relación a otros conceptos que veremos (como el de transformación de matrices)

hasta que, casi inesperadamente, los métodos de cálculo aparezcan.

Matrices Reducidas y Matrices Escalonadas: Filas nulas:

Sea la matriz: ( ) nnn....jn....iji A,aA ×

== ∈= M

11

AFil i es nula 0:.....1 ==∀⇔ jianj

Filas no nulas: Son las filas de la matriz A que son no nulas.

AFil i es no nula 0:.....1 ≠=∃⇔ jianj

Elemento principal de una fila no nula:

Si una fila de una matriz es no nula su elemento principal es el elemento no nulo de la fila que está

más a la izquierda. Mas formalmente:

Sea:

= =

==

mnmm

n

n

njmi

aaa

aaa

aaa

jia

K

KKKK

K

K

21

22221

11211

.....1.....1

A

Sea: ( ) ( ) 0.....0000 21.....1

r≠==

= niiinjjii aaaaAFil fila no nula.

Diremos que:

00 jia es el elemento principal de la fila no nula ⇔0i

( )0101 0000 =⇒<=∀∧≠∧≤≤⇔ jiji ajj:n.....janj

Condiciones eventualmente cumplidas por filas de una matriz:

Condición 1:

Una fila de una matriz cumple la condición 1 si:

1) Es no nula

2) Su elemento principal es un 1

3) La columna que contiene a dicho 1 es un versor (todos los demás elementos de tal columna

son ceros).

Con mayor formalidad la condición 1 se enuncia así:

AFil i 0 cumple condición 1 en la matriz: ( )

n.....jm.....ijiaA

11

=== ⇔

=⇒≠=∀

=⇒<=∀

==∃

⇔

01

01

11

0

0

00

0

0

0

ji

ji

ji

ai:m.....i

aj:n.....j

a:m.....

i

j

j

⇒ el elemento: 100

=jia cumple la condición 1 en: A

Condición 2:

Todas las filas de una matriz cumplen la condición 2 si todas las filas nulas de la matriz (si existen)

están en la parte inferior de la matriz:

Todas las filas de una matriz: ( )njmijiaA

.....1.....1

=== cumplen la condición 2 ⇔

=⇒<≠⇒≤∧=∀=∃⇔

0011

0

00

rr

AFilimAFilmi:m.....i:m.....m

i

i

Condición 3:

Las filas no nulas de una matriz cumplen la condición 3 si para cada par de filas no nulas el

elemento principal de la inferior está a la derecha del elemento principal superior.

Las filas no nulas de una matriz: ( )njmijiaA

.....1.....1

=== cumplen la condición 3 ⇔

<⇒

=∧∧=∧

∧≠∧≠=∀⇔ 21

2

121

2

1

2100

1 jjFilprincipalelementoColumnajFilprincipalelementoColumnaj

AFilAFil:m.....i,i

i

i

ii

rr

Si a la vez las filas de una matriz cumplen las condiciones 2 y 3, la condición 3 se cumplirá en

particular para el caso de filas no nulas consecutivas: 112 += ii

Matriz Reducida:

Diremos que una matriz es reducida si:

a) Los elementos principales de sus filas no nulas son unitarios.

b) Pertenecen a columnas que son versores

Dicho de otra manera, diremos que una matriz es reducida si:

a) En todo fila nula el elemento no nulo que está más a la izquierda es un 1

b) El resto de los elementos de la columna que contiene dicho 1 son todos 0.

Más formalmente diremos:

( )njmijiaA

....1....1

=== Matriz Reducida ⇔

[ ]101 condicióncumpleAFilAFil:m....i ii ⇒≠=∀⇔r

Con mayor detalle diremos:

( )njmijiaA

....1....1

=== Matriz Reducida ⇔

[ ] ( )( )

=⇒≠∀=⇒<∀

==∃⇒≠=∃=∀⇔

00

11011

0

0

00

0

0

0

0

0

ji

ji

ji

jiaii:iajj:j

a:n....ja:m....j:m....i

Matriz Escalonada: Diremos que una matriz es escalonada si:

a) Es reducida.

b) Si tiene filas nulas están todas en la parte inferior de la matriz.

c) Para cada par de filas no nulas, el elemento principal de la fila inferior está a la derecha del

elemento principal de la fila superior.

Más formalmente diremos:

( )njmijiaA

....1....1

=== Matriz Escalonada ⇔

[ ]

⇒≠=∀

∧⇔

3

2

10:....1

condiciónlacumplenAdenulasnofilasLas

condiciónlacumplenAdefilasLas

encondicióncumple AAFilAFilmi ii

r

Corolario: La matriz identidad es escalonada.

Demostración:

1) La matriz identidad es una matriz reducida debido a que todas sus filas cumplen la

condición 1 porque:

a) son no nulas (tienen un 1).

b) el 1 de cada fila está en la diagonal descendente principal precedido por ceros.

c) Dicho 1 es el único elemento no nulo de la columna.

2) Cumple con la condición 2 porque no tiene filas nulas (el 0m del que habla la condición 2

es == mm 0 última fila).

3) Como los elementos principales de cada fila son los 1 que están sobre la diagonal principal

descendente, a medida que descendemos dichos elementos principales se van corriendo

hacia la derecha.

Ejemplos:

221000

130010

540100

Matriz reducida, no escalonada

00000000

50210000

30401000

20300410

Matriz escalonada

100

010

001

Matriz Identidad

Transformación Pivotal:

Sea: ( ) nmj;inmji :P ×× → MM0000

donde: ( )00 j;inm×M son todas las matrices de m filas y n columnas tales que: 000

≠jia .

O sea: ( ) ( ){ } nmjinmjij;inm a;a ××× ⊂≠∈= MMM 00000

Notación: Convengamos en escribir: bcdadcba −=

(más adelante entenderemos esto como un "determinante") Definimos:

( ) ( )( )( )

( )

=⇒≠

=

==∀=∀==

==

00

0

000

00

0

0

000

0000

0

11

1111

ji

jiji

jiji

jiji

ji

jijiji

n....jm....ijiji

n....jm....ijiji

a

aa

aa

aPii

a

aaP

:aPaP:n,...,j:m,...,i

Observación 1:

( ) 1

00

00

0000==

ji

ji

jijia

aaP

Observación 2:

( ) 0:

00

000000

00

00

0000

0000 =⋅−⋅

==≠∀ji

jijijiji

ji

jiji

jiji

jijia

aaaa

a

aa

aa

aPii

Observación 3:

De las observaciones 1 y 2 se desprende que en la matriz transformada la columna: 0j se convierte

en un versor con un 1 en la fila 0i y ceros en las otras filas.

Observación 4:

Supongamos que en la matriz: ( )njmijia

....1....1

==

el elemento: 00 jia es el elemento principal de la fila 0i ⇔

( )00000 0 =⇒<∀∧≠⇔ jiji ajj:ja .

Pero entonces: ( ) 00

0000

0

0000 ===⇒<jiji

ji

jijiaa

aaPjj .

Es decir que si el elemento principal de la fila: 0i es 000

≠jia entonces: ( ) 10000

=jiji aP

es el elemento principal de la fila: 0i de la matriz transformada: ( )( )njmijiji aP

....1....1

00 == .

Observación 5:

De la observación 3 y 4 se desprende que si el elemento: 000

≠jia es elemento principal de la

fila no nula: 0i de ( )jia entonces su transformado: ( )( ) 10000

=jiji aP cumple con la

condición 1, que la definición de matriz reducida le pide a cada fila no nula de una matriz:

1) Que su elemento principal sea un 1.

2) Que la columna de dicho 1 sea un versor

(pues los demás elementos de ellas son ceros).

Dicho de otra manera:

Si el elemento: 00 jia es elemento principal de la fila: 0i entonces:

00 jiP convierte a la fila: 0i en

una fila que cumple la condición 1. En tal caso el elemento: ( ) 10000

=jiji aP será elemento que

cumple condición 1 en la fila 0i de la matriz transformada:

( )( )njmijiji aP

....1....1

00 ==

Observación 6:

00 jiP es el resultado de componer no más de m transformaciones elementales.

O sea que: 00 jiP es composición de un número finito de transformaciones elementales.

Alberto Serritella, 2010.

aserritella@unnoba.edu.ar Para Mensajes: alberto_serritella@yahoo.com.ar

Junín - 26-julio-2010.∼