algebra tensorial

Capítulo 1

Introducción

1.1. Algebra tensorial y análisis

1.1.1. Definiciones y terminología

El uso de notación indicial es ventajosa porque generalmente hace posible escribir en forma

compacta formulas matemáticas o sistemas de ecuaciones de cantidades físicas o geométricas,

que de otra manera contendría un número grande de términos.

La transformación de coordenadas constituye la base de conceptos generales de tensores que

aplica a sistemas coordenados arbitrarios. La razón del uso de tensores se debe al hecho de que

una ecuación tensorial es independiente de cualquier sistema coordenado particular.

Un escalar, caracterizado por un componente como la temperatura, el área, etc., se le

denomina tensor de orden cero.

Un vector, caracterizado por tres componentes como la velocidad, la fuerza, etc., se le

denomina tensor de primer orden.

El producto diádico de dos vectores, llamado diada como los esfuerzos, deformaciones etc.,

se le denomina tensor de segundo orden, el cual contiene nueve componentes.

Notación de tensores

Tensores de primer orden a) Simbólica en notación matricial:

a =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a1

a2

a3

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭b) Analítica:

a = a + a + a

c°Gelacio Juárez, UAM 5

1.1 Algebra tensorial y análisis

o

a = a + a + a =

3X=1

a

con , y como vectores base en un sistema coordenado Cartesiano. En notación indicial,

la expresión a o ( = 1 2 3) representa el vector total, Fig.1.1

Figura 1.1: Definición de los vectores base.

Tensores de segundo orden a) Simbólica en notación matricial:

T =

⎡⎢⎢⎣11 12 13

21 22 23

33 32 33

⎤⎥⎥⎦b) Analítica:

T = 1111 + 1212 + 1313

+t2121 + t2222 + t2323

+t3131 + t3232 + t3333

o

T =

3X=1

3X=1

t

1.1.2. Reglas indíciales y convención de sumas

1. Regla indicial ()

Si una letra indicial aparece una y solamente una vez en cada término de una expresión, la

expresión es válida para cada uno de los valores reales que la letra indicial puede tomar. Este

índice se le llama índice libre.

Ejemplos:



− 3 = 0 ⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1 − 31 = 02 − 32 = 03 − 33 = 0

= T ⇔(

1 = T1 =T1

2 = T2 =T2

Nota. La coma indica derivada parcial respecto a la coordenada de los índices sucesivos. Las

siguientes reglas también son aplicables a este tipo de índices.

2. Convención de suma de Einstein

Donde sea que aparezca una letra indicial dos veces dentro del mismo término, como un sub o

superíndice, una sumatoria es implícita sobre el rango de este índice, i.e., de 1 a 3 en un espacio

3D (uso de índices del Latín), y de 1 a 2 en un espacio 2D (uso de índices del Griego). Estos

índices se denominan mudos.

Ejemplos:

a = a = a11 + a22 + a33 espacio 3D

a = a = a11 + a22 espacio 2D (superficie)

T = t = t1111 + t1212 + t1313

+t2121 + t2222 + t2323

+t3131 + t3232 + t3333

= = 11 + 22 + 33

= =

11 +

22 +

33

Atención. Como no es de importancia la notación que un índice doble posee, llamado índice

mudo, puede renombrarse arbitrariamente:

a = a = a = a

Excepción. No existe suma en índices dentro de paréntesis:

a∗ = aq() → a∗1 = a1

q(11)



3. Regla máxima

Cualquier letra indicial nunca se aplicará más de dos veces en cada término.

Ejemplos:

Los siguientes ejemplos no tienen sentido:

= 0,

cos = 1

Las siguientes expresiones tampoco tienen sentido, pues los índices libres tienen que ser los

mismos en cada término:

+ = 0, =

1.1.3. Notación de tensores en mecánica

Las variables utilizadas en ingeniería mecánica usualmente tienen un carácter tensorial. General-

mente, los tensores de primer orden (vectores) se representan con letras minúsculas del Latín,

los tensores de segundo orden por letras minúsculas del Griego y del Latín, y los tensores de

cuarto grado por letras mayúsculas del Latín. Letras negritas representan un tensor completo en

su notación compacta. Cuando se refiere a componentes cartesianos de tensores (notación indi-

cial) se utilizaran subíndices representados con letras minúsculas del Latín , , , ,..., las cuales

pueden tomar valores del 1, 2 y 3, correspondientes a la los ejes coordenados Cartesianos 1, 2

y 3. Por ejemplo, el tensor de primer orden u es el vector de desplazamientos con componentes

, = 1 2 3; el tensor segundo orden ε, de deformaciones, con componentes , = 1 2 3 y

= 1 2 3; el tensor segundo orden σ, de esfuerzos, con componentes , = 1 2 3 y = 1 2 3;

y el tensor de cuarto grado C, constitutivo, con componentes , todos los subíndices toman

valores del 1 al 3. Cuando un tensor tiene un subíndice, éste se sube como un superíndice al

escribirlo en notación indicial para evitar confusión referente a los subíndices de los componentes

individuales. Por ejemplo, cuando los componentes del tensor constitutivo elástico C se denotan

como .

Considere los siguientes tensores de primer orden:

u =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1

2

3

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ v =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1

2

3

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ n =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1

2

3

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭los de segundo orden:

σ =

⎡⎢⎢⎣11 12 13

21 22 23

31 32 33

⎤⎥⎥⎦ ε =⎡⎢⎢⎣

11 12 13

21 22 23

31 32 33

⎤⎥⎥⎦ (1.1)



c =

⎡⎢⎢⎣11 12 13

21 22 23

31 32 33

⎤⎥⎥⎦ d =⎡⎢⎢⎣

11 12 13

21 22 23

31 32 33

⎤⎥⎥⎦Las operaciones básicas que se necesitan en la mecánica de sólidos son:

1. el producto punto de dos tensores de primer orden, u · v = , que produce un escalar,

por lo que también se le llama producto escalar;

u · v =11 + 22 + 33

2. el producto punto doble de dos tensores de segundo orden, σ : ε = , que también

produce un escalar, por consiguiente se le llama producto escalar;

σ : ε = 1111 + 1212 + 1313

+2121 + 2222 + 2323

+3131 + 3232 + 3333

o

σ : ε =1111 + 2222 + 2333 + 2323 + 3232 + 1313 + 3131 + 1212 + 2121

3. el producto punto de dos tensores de segundo orden, c · d = , que produce un tensorde segundo orden con componentes (c · d) = ;

c · d =

⎡⎢⎢⎣1111 + 1221 + 1331 1112 + 1222 + 1332 1113 + 1223 + 1333

2111 + 2221 + 2331 2112 + 2222 + 2332 2113 + 2223 + 2333

3111 + 3221 + 3331 3112 + 3222 + 3332 3113 + 3223 + 3333

⎤⎥⎥⎦4. el producto punto de un tensor de segundo orden con uno de primero, σ · n o n · σ, queproduce un tensor de primer orden con componentes (σ · n) = o (n · σ) = ;

σ · n =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩111 + 122 + 133

211 + 222 + 233

311 + 322 + 333

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭c°Gelacio Juárez, UAM 9


5. el producto punto doble un tensor de cuarto orden con un tensor de segundo orden, C : ε

o ε : C, que produce un tensor de segundo orden con componentes (C : ε) = o

(ε : C) = ;y

= =

⎡⎢⎢⎣11 12 13

21 22 23

31 32 33

⎤⎥⎥⎦11 = 111111 + 111212 + 111313 + 112121 + 112222

+112323 + 113131 + 113232 + 113333

12 = 121111 + 121212 + 121313 + 122121 + 122222

+122323 + 123131 + 123232 + 123333

13 = 131111 + 131212 + 131313 + 132121 + 132222

+132323 + 133131 + 133232 + 133333

21 = 211111 + 211212 + 211313 + 212121 + 112222

+212323 + 213131 + 213232 + 213333

22 = 221111 + 221212 + 121313 + 222121 + 222222

+222323 + 223131 + 223232 + 223333

23 = 231111 + 231212 + 231313 + 232121 + 232222

+322323 + 233131 + 233232 + 233333

31 = 311111 + 311212 + 311313 + 312121 + 312222

+312323 + 313131 + 313232 + 313333

32 = 321111 + 321212 + 321313 + 322121 + 322222

+332323 + 323131 + 323232 + 323333

33 = 331111 + 331212 + 331313 + 332121 + 332222

+332323 + 333131 + 333232 + 333333

El producto directo de dos tensores de primer orden, u⊗ v, que produce un tensor de segundoorden con componentes (u⊗ v) = .

u⊗ v =

⎡⎢⎢⎣11 12 13

21 22 23

31 32 33

⎤⎥⎥⎦Los productos escalares u · v = v · u y σ : ε = ε : σ son conmutativos; sin embargo, el producto

punto de un tensor de segundo orden con uno de primero es conmutativa si el tensor de segundo

orden es simétrico (σ · n = n · σ si = para cualquier , ) y el producto punto doble un



tensor de cuarto orden con un tensor de segundo orden es conmutativo si el primero exhibe una

simetría mayor ( C : ε = ε : C si = para cualquier , , , ), y el producto directo es

generalmente no conmutativo.

Un ejemplo importante de un tensor de segundo orden es la delta de Kronecker, δ, con compo-

nentes = 1 si = y = 0 si 6= . La propiedad más importante de la delta de delta de

Kronecker es que todos sus valores principales son igual a 1.

11 = 1 12 = 0 13 = 0

21 = 0 22 = 1 23 = 0

31 = 0 32 = 0 33 = 1

1.1.4. Notación Ingenieril

La notación tensorial es ciertamente muy elegante y útil para derivaciones teoréticas. Sin embar-

go, para desarrollar algoritmos numéricos que deben implementarse en un código es más práctico

trabajar con una notación diferente. Aunque actualmente existen librerías de cómputo que pro-

porcionan acceso directo a operaciones tensoriales eficientemente, la aproximación convencional

es guardar los componentes de esfuerzo y deformación en arreglos unidimensionales, y las ma-

trices constitutivas en arreglos bidimensionales. El desarrollo de código se facilita si las fórmulas

básicas se escriben con los esfuerzos y deformaciones representados por matrices columnas, y los

coeficientes del tensor constitutivo en matrices cuadradas. Esta notación se utiliza comúnmente

en textos de ingeniería, por lo que se le llama notación ingenieril. La representación de del tensor

constitutivo en matrices cuadradas también se llama notación Voigt.

Cuando se emplea la notación ingenieril se debe tener cuidado en el orden de los componentes.

Los componentes normales usualmente se arreglan en el orden natural, i.e., seguido de y ,

pero para el orden de los componentes de esfuerzo cortante existen diferentes convenciones. En

principio, es posible utilizar cualquiera de ellos, pero es extremadamente importante el seleccionar

una convención y mantenerla. Una posibilidad es escribir:

σ =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

11

22

33

23

31

12

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ε =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

11

22

33

223

231

212

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭1.1.5. Operadores

Se define al operador nabla ∇ como:



∇ =

⎡⎢⎢⎣123

⎤⎥⎥⎦Los operadores que mapean vectores a vectores generalmente se representan por símbolos mayús-

culos negritos. El operador nabla aplicado a una función escalar, (1 2 3), proporciona el

gradiente de dicha función.

∇ = grad =

⎡⎢⎢⎣123

⎤⎥⎥⎦El divergente de un tensor de primer orden se obtiene mediante el producto punto con el operador

nabla:

∇ · u = divu = =1

1+

2

2+

3

3

El divergente de un tensor de primer segundo orden proporciona un vector:

∇ · σ = divσ = σ =

⎡⎢⎢⎣111

+ 122

+ 133

211

+ 222

+ 233

311

+ 322

+ 333

⎤⎥⎥⎦ (1.2)

1.1.6. Teorema de divergencia

Este teorema permite expresar la una integral en un espacio 3D como una integral de superficie:

ZΩ

∇·σΩ =ZΓ

σ · nΓ (1.3)

o una combinación de integrales de volumen y de superficie:

ZΩ

∇·σ · uΩ = −ZΩ

σ : εuΩ+

ZΓ

σ · n · uΓ (1.4)

1.1.7. Tarea

Con los siguientes elementos:

n =

(1

2

)σ =

"11 12

21 22

# ε =

"11 12

21 22

#Desarrolle las siguientes operaciones:

1. Producto doble 12(σ : ε)



2. Producto punto σ · ε

3. Producto punto σ · n

4. Repita los incisos 1 a 3 con los siguientes valores:

n =

(cos 30

cos 60

)σ =

"20 −5−5 10

# ε =

"001 −00025−00025 005

#

5. Desarrolle el producto diádico siguiente:

1

2(∇⊗ u+ u⊗∇)

para

∇ =

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦ ; u =⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦ y ∇ =

⎡⎢⎢⎣123

⎤⎥⎥⎦ ; u =⎡⎢⎢⎣

1

2

3

⎤⎥⎥⎦


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