Vectores espaciales

• Conjunto de todas las n-plas de números reales, denotado por Rn, recibe el nombre de n-espacio.

• Una n-pla particular en Rn, digamos u= (u1, u2,… un) se denomina punto o vector; los números reales u1 son las componentes (o coordenadas) del vector u.

• Además, al discutir el espacio Rn, utilizamos el término escalar para designar a los elementos

SUMA DE VECTORES

Sean u y v vectores en Rn :

u= (u1, u2,… un) y v = (v1, v2,… vn)

Entonces:

u + v = (u1 + v1, u2 + v2,… un + vn)

Ejemplo:

u= (7, -5, 4) v = (8, 2, -3)

u + v = (7 + 8, -5 + 2, 4 -3)

u + v = (15, -3,1)

El producto de un número real k por un vector u, es el vector obtenido multiplicando cada componente de u por k

ku = (ku1, ku2,… , kun)

ku = 5 (3, -1, -2)

ku = (15, -5, -10)

Las propiedades

básicas de

vectores en Rn en

suma vectorial y

producto por un

escalar

Para vectores arbitrarios u, v, w Rn y escalares

k, k R

(u + v) + w = u + (v + w)

u + 0 = u

u + (-u) = 0

u + v = v + u

k(u + v) = ku + kv

(k + k’)u = ku + k’u

(kk´)u = k(k’u)

1u = u

COMBINACIONES

LINEALESUn vector v es una combinación lineal de vectores u= u1, u2,… un si existen escalares k = k1, k2,… , kn tales que

v = k1u1 + k2u2 + … knun

esto es, si la ecuación vectorial

v= x1u1 + x2u2 + … + xnun

Escribir vector v = (1, -6, 5) como combinación lineal de los vectores u1= (1,2,3), u2= (2,5,8) y u3= (3,2,3)

(1, -6,5) = x (1,2,3) + y (2,5,8) + z (3,2,3)

• X + 2y + 3z = 1

• 2x + 5y + 2z = -6

• 3x + 8y + 3z = 5

Si el sistema homogéneo tiene una solución no nula se dice que los vectores

u= (u1, u2,… un) son linealmente dependientes

Si el sistema tiene sólo solución nula se dice que

los vectores son linealmente

independientes

Sean u y v vectores de Rn:

•u = (u1, u2, … un) y v = (v1, v2, … vn)

•u ∙ v = u1v1, u2v2, … unvn

Sean u = (1, -2, 3) y v = (-4, 5, 6)

•u ∙ v = (1∙ -4) + (-2 ∙ 5) + (3 ∙ 6)•u ∙ v = -4, -10, 18

Para vectores arbitrarios u, v, w ε Rn y cualquier escalar k ε R

•(u + v) ∙ w= u ∙ w + v ∙ w•(ku) ∙ v = k(u ∙ v)•u ∙ v= v ∙ u•u ∙ u ≥ 0, y u ∙ u = 0 si y sólo si u = 0

La norma (o longitud) del vector

u, escrito ||u||, se define como la

raíz cuadrada no negativa de u ∙

u:

=||u|| =

||u|| =

Sea u = (8, -2, 3)

||u|| =

Ahora si u es cualquier vector no

nulo,

entonces:û =

û =

Sea u = (8, -2, 3)

, ,

La distancia entre u y v, denotada d(u, v), se

define como:

=Para hallar:

Sean u = (8, -2, 3)

v = (-1, -3, 4)

Entonces =

Proy (u, v)=

La proyección

(vectorial) de u sobre v es

el vector

• u = (8, -2, 3)

• v = (-1, -3, 4)Sean∙ v ∙ (-1, -3, 4)

Sea D un intervalo (finito o infinito) en la recta real R. Una función continua F:

D⟶Rn es una curva en Rn. De este modo, a cada t ε D se le asigna el siguiente

punto (vector) en Rn :

Aún más, la derivada de F(t) (si existe) proporciona el vector

• dF(t) dt= [dF1(t) dt, dF2(t) dt,… dFn(t) dt]

que es la tangente a la curva, y la normalización de V(t) conduce a

F(t)= [F1(t), F2(t),… Fn(t)]

Los vectores en R3, denominados espaciales, se expresan:

i = (1, 0, 0) denota el vector unitario en la dirección x

j= (0. 1, 0) denota el vector unitario en la dirección y

k = (0,0, 1) denota el vector unitario en la dirección z

SEAN:

u = a1i + a2j + a3k v = b1i + b2j + b3k

ENTONCES:

(u + v)=(a1 + b1)i + (a2+ b2)j + (a3 + b3)k

Las diversas operaciones vectoriales se pueden emplear

con vectores espaciales:

u + v=(a1 + b1)i + (a2+ b2)j + (a3 + b3)k

u ∙ v = a1b1 + a2b2 + a3b3

cu = ca1i + ca2j + ca3k

u x v = (a2b3 – a3b2)i + (a3b1 – a1b3)j + (a1b2 – a2b1)k

La igualdad, suma y producto de números complejos se definen así:

Z = a + bi

w = c + di

Z + w = (a + c) + (b + d)i

Z = 4 + 6i

w = 8 - 7i

Z + w = 12 - i

Z ∙ w = 74 + 20i Z ∙ w = (ac - bd) + (bc + ad)i

Sea:

• u = 4 + 2i, 7 – 8i, -6

• v= 3 + 5i, 4i, 3 + 4i

(u ∙ v) =(4 + 2i)

•(u ∙ v) = (4 + 2i)(3 -5i) + (7 – 8i)(-4) + (-6)(3 -4i)•(u ∙ v) = -28 – 18i

Vectores en C

El conjunto de todas las n-plas de números complejos, denotado por Cn

n-espacio complejo

+ (7 -8i) + (-6)