1 PROBLEMARIO DE ALGEBRA I. UNIDAD I;CONJUNTOS DE NUMEROS. EJERCICIOS PROPUESTOS. TEMA: NOTACIN DE CONJUNTOS. CONCEPTOS REQUERIDOS. NOTACIN DE CONJUNTO, PERTENENCIA, SUBCONJUNTO, RELACIONESDE DESIGUALDAD, CONJUNTOS NUMRICOS. 1)Escribeen forma por extensin o enumeracin o tabular, los siguientes conjuntos. 1.1) C={nmeros enteros positivos impares, mayores que 10} Solucin C={11,13,15,} 1.2) D={nmeros enteros positivos, mltiplos de 3, menores que 11} Solucin D={3,6,9} 1.3) E= {nmeros enterosmenores que 3 } observe: enteros son positivos, negativos y 0 Solucin E= {,-2,-1,0,1,2} ( el nmero 0 pertenece al conjunto de los enteros) 1.4) A= {nmeros enteros menores que 2,mayores que 10} Solucin A= {, -2,-1,0,1,11,12,13,} 1.5) B= {nmeros primos mayores de 1, menores que 20} Solucin B= {2,3,5,7,11,13,17,19} 1.6) C= {nmeros enteros positivos impares mayores de 7, menores de 15} Solucin C= {9,11,13} 1.7) D= {nmeros enteros mayores de 2 } Solucin D= {3,4,5,6,} 1.8) E= {nmeros enteros positivos mayores de 11, menores de 28, mltiplos de tres} Solucin E= {12,15,18,21,24,27} 2)Escribeporcomprensincadaunodelossiguientesconjuntos,escritospor enumeracin} NOTA: En los ejercicios siguientes = conjunto de los nmeros naturales, =conjuntode los nmeros enteros, P=conjunto de los nmeros primos. 2.1) A= {12,15,18,21,24,27} Solucin A= {x Ixe, x es mltiplo de 3,11 x 28} 2.2) B= {3,4,5,6,} Solucin A= {x I xe, x3} 2.3) C={ 28,30,32,34} Solucin C= {x I xe, x es nmero par, 28 x 34} 2 2.4) D= {,-6,-4,-2} Solucin D= {x I xe , x es par, x -2} 2.5) E= {100,101,102,103,} Solucin E= {x, Ixe, x>99} 2.6)F= {2,3,5,7,11} Solucin F= {x I x e P, x 11} 2.7) G= {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,} Solucin G= {x I x e, x > -4}Solucin G= {x I xe, x -3} 2.8) H= {,-2,-1,0,1,2,3,..} Solucin H= {x I x e} 3)Cada uno de los siguientes conjuntos est escrito en forma de comprensin, escribirlo en formapor enumeracin. 3.1) A= {x I xe, x > 100} Solucin A= {101,102,103,} 3.2) B= {x I x e, x es impar, x S] 7.14) A= { x Ix , x S} 7.15) A= { x Ix , 4 x S] 7.16) A= { x Ix , 4 x] 8) Smbolos de agrupacin con nmeros naturales. Elimine smbolos de agrupacin y simplifique. 8.1) 2+[3-(5-2)]= 8.2) 3{5-(2+4-3)+2}= 8.3) 2+[-5-(-2+{-3+5})]= 8.4) 4-{7+[3+(-4+3-2)-2]}= 8.5) -(2+5)+[-3+1-{-2+3-(2-6)}+5]= 8.6) (-7+4)-{4+2+[-3-2-1+5]-4}= 8.7) 7-{-[4-2+3-(5-3)-(-3+2)]}-5= 8.8) 3-(5+[-2+{6-3}-(-2+4)])= 9) Operaciones con nmeros racionales. 5 Simplificacin de fracciones numricas 9.1)Expresar en su forma ms simple cada una de las siguientes fracciones.(Simplificar) A)a)812 b)912 c)1012d)612 e)68 f)48 g)39 h)46 i)1015 j)412 soluciones: a)23 b)34 c)56d)12 e)34 f)12 g)13 h)23 i)23 j)13 B) a)1524 b)315 c)2135d)1545e)2024 f)3040g)10100 h)1421 soluciones: a)58 b)15 c)35d)13 e)56 f)34 g)110 h)23 C)a)2142b)-2045 c)18-54d)2781 e)25-50 f)321 g)24192 h)120480soluciones: a) -12 b) - 49 c)-13d)-13 e) - 12 f)17 g)18 h)14 9.2 Verificarcada una de las siguientes operaciones. 9.2.1)34+24 =54 9.2.2)35+1525 =25 9.2.3) [58+18 +78 =138 9.2.4)2343+5313 =23 9.2.5)58+23+56 =178 9.2.6)45+2356 =1930 9.2.7)1 -2 +2 +3 =174 9.2.8 )434+S12=814 9.2.9)S45(213+ S25) +S =1615 9.3)Realizar lasoperaciones indicadas y si es posible simplifique. 6 9.3.1)[23 [34 =34 9.3.2) [2334 12 =14 9.3.3) 233456 =512 9.3.4)23 [12+34 =56 9.3.5) 45 [3423 =115 9.3.6) 23 [34+14 =23 9.3.7) 1814 =12 9.3.8) 3725 =1514 9.3.9)25(1354) =52 10) Problemas que utilizan nmeros racionales. 10.1) Un comerciante tiene de tonelada de maz.Si vende media tonelada cunto le queda? Solucin. de tonelada. 10.2) Si de 24 hectreas de terreno se venden las dos terceras partes cuntose vende?.Solucin.16 hectreas. 10.3) Si a una cuerda de longitud de434metros se aade otra de S12 metros. qu longitud alcanza la cuerda?Solucin. 814 m 10.4) Se tiene una jarra de de litro de agua, y los vasos son 3/8 de litro de agua, cuntos vasos completos se llenan con una jarra. Solucin2 vasos. 10.5)Cuantas botellas de de litro senecesitan para envasar 60 litros de aceite? 10.6)Si ei kilo de chocolate cuesta $36.0, cunto cuestan de kilo? 10.7) Cunto paga por el kilo y cuarto deazcar si el kilo cuesta$ 13.00? 10.8) Si de un capital de$ 350,000.0 se utilizan las tres quintas partes para comprar un auto cuanto le queda. 7 UNIDAD II. OPERATIVIDAD; OPERACIONES ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES , FACTORIZACIN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS, ADICIN Y SUSTRACCIN 1.9o 2o So Sol. 4o 2.1ub Sb 4b Sol. Sb S.12x +2x 7x Sol. 7x 4.2x Sx 8x Sol. 11x S.So +2b 7o b Sol. b 2o 6.12y +So Sy o Sol. 7y +2o 7.7x +Sx 2y 8y Sol. 1ux 1uy 9. S4x +S2y 12x +Sy Sol14x 12y 11.34x 43y 52x 4y Sol74x 16Sy 132 34x S52x +12y +Sy Sol114x +72y 8.7p +8q p +q Sol. 6p +9q 10. 35x +52y +13x +13y Sol41S x +176y 12.34x +32y +13x +15y Sol1S12x +171uy 14.214x +52y 12x +S52y +32x SolS4x +8y Encuentrela suma de las expresiones en los siguientesproblemas 15. 2x y +Sz 4x Sy +2z Sol. 6x 4y +Sz 16. Sw +St 8u 2w +t 6u Sol. 7w +4t 14u 17. 4r Su 6t Sr +Su +2t Sol. 7r +2u 4t 18. 2p So +4r 6p +4o Sr Sol.4p +o r 19. 2s +Si 4m Ss 2i +Sm 4s Si Sol. s 4i m 20.8t Su +7b 4t Su Sb 8u 4b sol.4t 16u 21.4s +2o+y 6s 4y Ss 7o+2y Ss So y 22. 6r +Sc 2J Sr Sc Sr +4c SJ Sol. 4r +2c 7J 8 Determine la suma de las expresiones.23. 2s So +4w, 2w +2o Ss, So 2w Sol. 4o s +4w 24. 2b +Su +7t, 2t 4u 4b, 2u 6b Sol. 8b +9t +Su 25. 4n So +6t, St +2o Sn, So 4n +St Sol. 2o S n +6t 26. 2b 4u +2s, 9s Su Sb, 6u 2s Sol. Sb +9s u Sumar las expresiones 27. 34o218ob +16b2;18o278ob +112b2 Sol. 58o2ob +14b2 28. 2 Sm3+S4m2n 1Smn2+ 1 2n3; SS m3S4m2n 11Smn2+ S8 n3 Sol.115m3415mn2+78n3 29.23o2+54ox213x3; 37o253ox219x3 Sol. 521o223ox 49x3 30.34x212y2;25xy + 16y2;110xy +13y2 Sol. 324x2310xy Reste la segunda expresin de la primera31.2a -t; a + t sol. a-2t 32.5a 3s; -2a 2ssol7a s 33. 2s+3a+5y;s+3a-2y sol s+7y 34.5y+2e+8s; 2y+2e-3ssol3y+11s 35. 37o2+13ob 35b2;514o2+12ob +12b2 Sol. 114o216ob 110b2 S6.2 Sm3+S4m2n 1Smn2+ 1 2n3; SS m3S4m2n 11Smn2+ S8 n3 9 Sol. 1315m364m2n 215mn2+18n3 37.23o3+54ox213x3; 37o2x 53ox219x3 Sol. 521o2+512ob +15b 38.14x2+23xy 15y2;Sx225xy +2y2 Sol. 1320x2+1615xy 115y2 Elimine los smbolos de agrupacin en las expresiones siguientes y combnense los trminos semejantes. S9.2x (Sx y) +(2x +y) Sol. x +2y 41.4b (So 2c) (2b Sc) Sol. So +2b +Sc 42. Sc +(4o 2b) (2o 2b c) Sol. 2o +6c 4S.2o jy ]23+Sy 5[Sol. 83o +115y 44.4s j2s [Ss t2 +2t3[Sol. Ss 76t 4S.2b jSo [23o Sb u2[Sol. b 236o 46 Ss j23t +[34s 4t s[Sol. 214s +103t 47.2o {2o |2o (2o b) b] b] bSol. 48. Sx {2x +|Sx 2y (Sx 4y) 2x] Sy] Sol. Sx +Sy 49. Aplicando leyes de los exponentes simplificar dejando el resultado sin exponentes negativos o nulos. 1.(x2)3 Sol. x6 2.(o2)4 Sol. o8 3.(2o2b3)3 Sol. 8o6b9 4.(Sx3y)4 Sol. 62Sx12y4 5.(Sx3y)4 Sol. 62Sx12y4 6.(4x4y3)4 Sol. 2S6x16y12 7.(2o2b3)23= 8.(2o2b-3)12 = 9.(x-2y-3)23 10. (o2b-3)23 11. (2o2b3)-23 10 MULTIPLICACIN Efecte las operaciones indicadas1.o2o3 Sol. o5 2.o4o5 Sol. o9 3.b2b2 Sol. b4 4.b5b2 Sol. b7 5.(So2)(2o3) Sol. 6o5 6.(2x3)(4x5) Sol. 8x8 7.(Sy3)(2y2) Sol. 6y5 8.(Sb4)(4b5) Sol. 2ub9 9.(2o3b2)(So4b3) Sol. 6o7b5 10. (4o3b5)(2o2b4) Sol. 8o5b9 11. (Sx7y4)(Sx2y3) Sol. 1Sx9y7 12. (Sx2y3)(7xy4) Sol. SSx3y7 13. (2o2b3)(So2c)(b2c3) Sol. 6o4b5c4 14. (So2)(Sbc3)(2oc2) Sol. Subo3c5 15. (2x2y3)(Sxz2) Sol. 6z2x3y3 16. (Sx2y)(2xz2)(4y2z) Sol. 24x3y3z3 Elimine los smbolos de agrupacin en las expresiones de los problemas y combnense los trminos semejantes. 17. o(2o b) 2b(o b) +ob(o +S) Sol. 2o2+2b2+o2b 18. 2x(x +2y) Sy(2x y) +xy(2 y) Sol. 2x2xy2+Sy2 19. xy(x Sy) x(y2Sx) y(x2y) Sol. Sx24xy2+y2 20. o(o2b2) +b(ob b) o2(o 2b) Sol. 2o2b b2 21. 2x2Sx|2x12y y(x122y) y2] Sol.2x2 -3x3/2y+9xy2 22. 8o32o12|b 2o23(b 2o) b] Sol. 8a3+4ab-8a2 23. 2o|So b(So b) So b2] Sol. 6o2b24. Sx|4o 2x(o x) So(x +2o) +6o2+Sox] Sol. 6x3+12ox Encuentre el producto de cada pareja de expresiones 25. a +2b, 2a b Sol. 2a2+Sab 2 b2 26. 2x +Sy, Sy x Sol. 9y2+Sxy 2x2 27. 4x a, 2x +Sa) Sol. 8x2+1uax Sa2 28. 2o +Sb, So 4b Sol. 6o2+7ob 2ub2 DIVISIN Efecte las divisiones indicadas 1. xx2 Sol. x5 2. S3 Sol. y2 3. w8wS Sol. w3 4. t9t6 Sol. t3 11 5. 8x82x2 Sol. 4x6 6. 9x93x3 Sol. Sx6 7. 10x105xS Sol. 2x5 8. 6x63x3 Sol. 2x3 9. u2c3uc2 Sol. oc 10. uSb9u3bS Sol. o2b4 11. x6x6 Sol. x5y 12. tSw3t4w2 Sol. tw 13. 15x2Sz5x3z4 Sol. Sxy2z3 14. 18u9b8c36u6bSc Sol. So3b3c2 15. 24uSbc96ub6cS Sol. 4o4bc4 16. 24u3bc418u2b3c2 Sol. 4ub4c23 Elevecada fraccin a la potencia indicada 17. [x342 Sol. x68 18. [3x323 Sol 27x96 19. [2x23x34 Sol. 1681x4 20. [5x423 Sol. 125x3646 Dividala primera expresin entre la segunda 21. 2x27x +6, x 2Sol. 2x S 22. 2o2o 1S, 2o +S Sol. o S 23. 2o2Sob 2b2, 2o +b Sol. o 2b 24. 2o2+Soy Sy2, o +Sy Sol. 2o y 25. 2y37y2+9y S, y2Sy +S Sol. 2y 1 26. Sy3y2+7y +6, y2y +S Sol. Sy +2 27. 2y39y2+11y 6, y S Sol. 2y2Sy +2 28. Sy314y2+9y 2, y 2 Sol. Sy24y +1 29. y4+Sy3Sy +1, y2+y 1 Sol. y2+2y 1 Encuentre el cociente y el residuo resultante al dividir la primera expresin entre la segunda 30. 2x3-x2-8x-22x+3 Sol. cociente x22x 1 residuo 31. 3x3-5x2-3x-1x2-x-1 Sol. Cociente Sx 2 residuo2x S 32. 4x3-9x2+14x-54x-1 Sol. Cociente x22x +S residuo 2 12 33. 3x3-5x2-7x-3x2-3x+1 Sol. Cociente Sx +4 residuo 2x 7 Efectense las operaciones indicadas 1. 5u4b3u2b12uSb46u3b2+15u3bS5ub3 Sol. 6o2b2 2. 30x36xS218x643x43+28xSz07x36 Sol. Sx2y 3. 36xS612x24 +20x435x33x3S3x03 Sol. 4x3y2 4. 18u439u327u243u216u6S8uS3 Sol. 9oy2 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIN PRODUCTOS NOTABLES DE BINOMIOS Y MULTINOMIOS Encontrar los productos indicados, aplicando la regla correspondiente. 1.(x +2)(x +S) Sol. x2+Sx +6 2.(b +1)(b +1) Sol. b2+2b +1 3.(Sy +1)(y +2) Sol. Sy2+7y +2 4.(2x +1)(x +2) Sol. 2x2+Sx +2 5.(Sx 1)(x +2) Sol. Sx2+Sx 2 6.(x S)(2x +1) Sol. 2x2Sx S 7.(4b +o)(b +2) Sol. 4b2+9b +2o 8.(Sc 2)(2c +S) Sol. 6c2+Sc 6 9.(7x 1)(x +2) Sol. 7x2+1Sx 2 10. (So 2)(2o +S) Sol. 6o2+So 6 11. (8m S)(2m +4) Sol. 16m2+22m 2u 12. (S +S)(4 S) Sol. 2u21S 1S 13. (4o 7)(So +2) Sol. 2uo227o 14 14. (2r +2s)(Sr +Ss) Sol. 6r2+12rs +6s2 15. (7] S)(S] +2) Sol. 21]2] 1u 16. (8o +Sc)(o +Sc) Sol.8o2+4Soc +1Sc2 17. (2m Sn)(4m 2n) Sol.8m216mn +6n2 18. (12x Sy)(6x Sy) Sol. 72x278xy +1Sy2 19. (6c SJ)((2c 7J) Sol. 12c248cJ +21J2 20. (Sr Sy)(2r 7y) Sol. SSy2S1ry +6r2 21. (2w +7z)(Sw 2z) Sol. 6w2+17wz 14z2 22. (S] Sk)((7] +2k) Sol. SS]211]k 6k2 23. (1ux Sy)(Sx +2y) Sol. Sux2Sxy 1uy2 24. (7o +6b)(9o 8b) Sol. 6So22ob 48b2 25. (x +2y)2 Sol. x2+4xy +4y2 26. (2x S)2 Sol. 4x212x +9 27. (o +Sb)2 Sol. o2+6ob +9b2 13 28. (Sx +2)2 Sol. 9x2+12x +4 29. (So 1)2 Sol. 9o26o +1 30. (Sm 2n)2 Sol. 9m212mn +4n2 31. (Sm 4n)2 Sol. 9m224mn +16n2 32. (6o 4b)2 Sol. S6o248ob +16b2 33. (2o Sb)2 Sol. 4o212ob +9b2 34. (2x +Sy)2 Sol. 4x2+2uxy +2Sy2 35. (4r Ss)2 Sol. 16r224rs +9s2 36. (S +Sk)2 Sol. 2S2+Suk +9k2 37. (4u 2:)2 Sol. 16u216u: +4:2 38. (2] +7k)2 Sol. 4]2+28]k +49k2 39. (6z Sw)2 Sol. S6z26uwz +2Sw2 40. (So +2b)2 Sol. 9o2+12ob +4b2 41. (7 +2)(7 2) Sol. 727 2 +7 2 22=4S 42. (18)(22) Sol. (2u 2)(2u +2) = S96 43. (24)(S6) Sol. 864 44. (2S)(SS) Sol. 87S 45. (x +S)(x S) Sol. x29 46. (x +9)(x 9) Sol. x281 47. (m +n)(m n) Sol. m2n2 48. (o +b)(o b) Sol. o2b2 49. (x +Sy)(x Sy) Sol. x29y2 50. (o +Sb)(o Sb) Sol. o22Sb2 51. (Sx +y)(Sx y) Sol. 2Sx2y2 52. (Sc +J)(Sc J) Sol. 9c2J2 53. (So +2b)(So 2b) Sol. 9o24b2 54. (2x +Sz)(2x Sz) Sol. 4x29z2 55. (7y +4c)(7y 4c) Sol. 49y216c2 56. (4x +Sw)(4x Sw) Sol. 16x22Sw2 57. (2o3+2b)(2o32b) Sol. 4o64b2 58. (2x2+y)(2x2y) Sol. 4x4y2 59. (Sb2+6c3)(Sb26c3) Sol. 9b4S6c6 60. (Sb4+Sx2)(Sb4Sx2) Sol. 2Sb89x4 61. [x3 +5 [x3 5 Sol. x29225 62. [3x4+5 [3x45 Sol. 9x216225 63. [m23+2n35 [m232n35 Sol. m494n625 64. [2m24+2n43 [2m242n43 Sol. m444n89 65. [5 + 3x [5 3x Sol. 225 9x2 66. [m23+25m [m2325m Sol. m49425m2 67. [5ux+2b [5ux2b Sol. 25u2x224b2 68. [3u2b+ 5x4 [3u2b 5x4 Sol. 9u4b2 25x2162 14 FACTORIZACIN Factorizarlas expresiones siguientes: 1.xz +xy x2 Sol. x(z +y x) 2.4x2+2xy 6xy2 Sol. 2x(2x +y Sy2) 3.Sm2n 6mn2+9m3n2 Sol. Smn(m 2n +Sm2n) 4.2o3b2+8o2b312o3b3 Sol. 2o2b2(o +4b 6ob) 5.(x +y)2z +(x +y)4z2 Sol. 2z(x +y)(2z +1) 6.(o +b)(o b) +(o +b)b Sol. o(o +b) 7.(2m n)Sr +(2m n)4s (2m n)(4t s) Sol. (2m n)(Sr +Ss 4t) 8.(6o Sb)(o +b) +(6o Sb)(o +2b) (6o Sb)(2o +b) Sol. 6b(2o b) 9.m2x2 Sol. (m x)(x +m) 10. o2b2 Sol. (o b)(o +b) 11. x29y2 Sol. (x Sy)(x +Sy) 12. m216n2 Sol. (m 4n)(m +4n) 13. S6x24y2 Sol. 4(Sx +y)(Sx y) 14. 4m2n2 Sol. (2m n)(2m +n) 15. o264b2 Sol. (o 8b)(o +8b) 16. c249J2 Sol. (c 7J)(c +7J) 17. 9r22Ss2 Sol. (Sr Ss)(Sr +Ss) 18. 4b216J2 Sol. 4(b +2J)(b 2J) 19. 922Sk2 Sol. (S Sk)(S +Sk) 20. S6o249y2 Sol. (6o 7y)(7y +6o) 21. 16x44y6 Sol. 4(2x2+y3)(2x2y3) 22. 2Sm8S6n2 Sol. (Sm46n)(Sm4+6n) 23. 64x649y4 Sol. (8x37y2)(8x3+7y2) 24. 81816k6 Sol. (944k3)(94+4k3) 25. 916r4425s4 Sol. [3242s25 [324+2s25 26. 1625m86436n6 Sol. 16 [m45+n33 [m45n33 27. x2+4x +4 Sol. (x +2)2 28. m2+2mn +n2 Sol. (m +n)2 29. o2+4o +4 Sol. (o +2)2 30. z2+1uz +2S Sol. (z +S)2 31. 92+6 +1 Sol. (S +1)2 32. 4k2+4k +1 Sol. (2k +1)2 33. 2Ss21us +1 Sol. (Ss 1)2 34. 49m214m +1 Sol. (7m 1)2 35. 9x2+12xy +4y2 Sol. (Sx +2y)2 36. 16o2+24ob +9b2 Sol. (4o +Sb)2 37. S6m2+96mn +64n2 Sol. 4(Sm +4n)2 38. 64r2+64rs +16s2 Sol. 16(2r +s)2 39. Sy2+6y +1 Sol. (y +1)(Sy +1) 40. 9m2+1um +1 Sol. (m +1)(9m +1) 41. Sb2+7b +2 Sol. (b +1)(Sb +2) 42. Sc211c +6 Sol. (c S)(Sc 2) 43. Sx228x +1S Sol. (x S)(Sx S) 44. 6x211x +S Sol. (x 1)(6x S) 45. 4x211x +7 Sol. (x 1)(4x 7) 46. Sy2+y 2 Sol. (Sy 2)(y +1) 47. Sx2Sx 2 Sol. (x 1)(Sx +2) 48. 72+4 S Sol. (7 S)( +1) 49. Sp2+2p S Sol. (Sp S)(p +1) 50. 6r2+19r 7 Sol. (Sr 1)(2r +7) 15 51. 6y2+Sy S Sol. S(2y 1)(y +1) 52. 9o212o S Sol. (So S)(So +1) 53. 9m2+62m 7 Sol. (9m 1)(m +7) 54. Sx2+2uxy +1Sy2 Sol. S(x +y)(x +Sy) 55. So2+26ob +16b2 Sol. (o +8b)(So +2b) 56. 12u216u: +S:2 Sol. (2u :)(6u S:) 57. 21r2S8rs +Ss2 Sol. (Sr Ss)(7r s) 58. 62+29k Sk2 Sol. ( +Sk)(6 k) 59. Sc2+cJ 4J2 Sol. (c J)(Sc +4J) 60. So2+1Sob 6b2 Sol. (o +Sb)(So 2b) 61. Sx2+4xy 1Sy2 Sol. (x +Sy)(Sx Sy) 62. 8p22upq +8q2 Sol. 4(p 2q)(2p q) 63. 1Sy2+19yz +6z2 Sol. (Sy +2z)(Sy +Sz) 64. 12b2S1bc +9c2 Sol. (Sb c)(4b 9c) 65. 9u2+21u: +12:2 Sol. S(u +:)(Su +4:) 66. 18o2+19ob 12b2 Sol. (2o +Sb)(9o 4b) 67. 14x2+1Sxy 12y2 Sol. (2x +Sy)(7x 4y) 68. 182+21k 1Sk2 Sol. S(2 k)(S +Sk) 69. 24c2+26cJ 1SJ2 Sol. (2c +SJ)(12c SJ) 70. 12o4+1So3SSo2 Sol. o2(So +7)(4o S) 71. 18x5+6x424x3 Sol. 6x3(x 1)(Sx +4) Factoricelas expresiones siguientes 1.c3J3 Sol. (c J)(c2+cJ +J2) 2.m3n3 Sol. (m n)(m2+mn +n2) 3.o3+b3 Sol. (o +b)(o2o +b2) 4.r3+s3 Sol. (r +s)(r2rs +s2) 5.c327J3 Sol. (c SJ)(c2+ScJ +9J2) 6.]38k3 Sol. (] 2k)(]2+2]k4k2) 7.x3+64y3 Sol. (x +4y)(x24xy +16y2) 8.27u312S:3 Sol. (Su S:)(9u2+1Su: +2S:2) 9.64p312Sq3 Sol. (4p Sq)(16p2+2upq +2Sq2) 10. 8x3+216y3 Sol. 8(x +Sy)(x2Sxy +9y2) 11. 64m3+8n3 Sol. 8(2m +n)(4m22mn +n2) 12. m6b327 Sol. (m2b S)(m4b2+Sm2b +9) FACTORIZACIN POR AGRUPACIN Factorce las expresionesempleando el mtodo de Factorizacin por Agrupacin 1.mn +m +n +1 Sol. (m +1)(n +1) 2.ob +So +b +S Sol. (o +1)(b +S) 3.u: +S: +2u +1u Sol. (u +S)(: +2) 4.x2+x xy y Sol. (x +1)(x y) 5.rs +6s r 6 Sol. (r +6)(s 1) 6.c2ScJ +c SJ Sol. (c +1)(c SJ) 7.2x2+6xy Sx 1Sy Sol. (x +Sy)(2x S) 8.22+6 Sk 1Sk Sol. ( +S)(2 Sk) 9.mc +cn +Jm +Jn Sol. (c +J)(m +n) 10. ob b2+oc cb Sol. (o b)(b +c) 16 11. 6ut 1ust +Sur Srs Sol. (Su Ss)(2t +r) 12. 6xy 1Sy2+2xz Syz Sol. (Sy +z)(2x Sy) 13. 1u21Sk 4] +6]k Sol. (2 Sk)(S 2]) 14. 6o2Sob S6oc +18cb Sol. S(o 6c)(2o b) FRACCIONES ALGEBRAICAS. CONVERSIN Y REDUCCIN DE FRACCIONES Conviertalas fraccionesen fracciones equivalentes cuyo denominador sea la segunda expresin dada en cada problema 1. 3-2, 2 y Sol. -32- 2. x-2x-, y x Sol. 2-x-x 3.u-3b+c2u-b-c, c +b 2o Sol. u-3b+c-2u+c+b 4.2u-b-3c-u+2b+c, o 2b c Sol. 2u-b-3cu-2b-c 5. ub, ob Sol. u2ub 6. cd, cJ Sol. c2cd 7. ut , st Sol. usst 8. bk, ku Sol. buku 9. ub2ub, b Sol. b2b 10. 3xx2, x Sol. 3x 11. 2uu2, o Sol. 2u 12. 5sts2t, s Sol. 5s Reduzcaa su mnima expresin las expresiones siguientes. ( SIMPLIFICAR) 13. x2-3x+2x2+x-2 Sol. x-2x+2 14. x2+4x+3x2+x-6 Sol. x+1x-2 15. 2x2+x-12x2+5x-3 Sol. x+1x+3 16. 3x2-11x+63x2+4x-4 Sol. x-3x+2 17. (2u-b)(u2-3ub+2b2)(2u2+ub-b2)(u-2b) Sol. u-bu+b 18.((2u2+7ub+6b2)(u-b)(2u2+ub-3b2)(2u+b) Sol. u+2b2u+b 19. (2x-5)(x2+3x+22)(2x2-3x-52)(2x-) Sol. x+22x- 20. (2x-3)(3x2-8x+42)(2x2-7x+62)(2x+3) Sol. 3 x-2 2 x+3 21. ux-u+bx-b2ux-b-u+2bx Sol. x-2x- 22. ux+2bx-2b-u2ux-u+4bx-2b Sol. x-2x- 23. sx+2s-tx-2t2sx+4s+tx+2t Sol. s-t2s+t 24. 2us-ut-4cs+2ctus-2ut-2cs+4ct Sol. t-2s2t-s 17 25. u3-b3u2-b2 Sol. u2+ub+b2u+b 26. x3+3x2-2 Sol. x2-x+2x- 27. x4-4x2-2 Sol. x2 +y2 28. x6-6x3-3 Sol. x3 +y3 29. x4+4x2+16x3+8 Sol. x2+2x+4x+2 30. b6-d6b4-d4 Sol. b4+b2d2+d4b2+d2 31. x4+x22+4x6-6 Sol. 1x2-2 32. u2+ub+b2u3-b3 Sol. 1u-b 33. (2x-5)x-3(x-1)(x-3) Sol. 2x+1x-1 34. (3x-5)x-2(x-2)(3x-5) Sol. 3x+13x-5 35. x-3(2x-5)x-3 Sol. 12x+1 36. (x-4)(x+2)(5x-19)x-4 Sol. x+25x+1 37. (x+1)(2x-1)x(x+1)+(x+2)x+1 Sol. 2x-12x+1 38. (x+2)(x+3)x(x+2)+(x+3)x+2 Sol. x+32x+1 39. (x+4)xx(x+4)+(x+5)x+4 Sol. x2x+1 40. x+3x(x+3)+(x+4)x+3 Sol. 12x+1 MULTIPLICACIN YDIVISIN DE FRACCIONES Efectelas multiplicaciones y divisiones indicadas en los problemas siguientes y redzcase el resultado a su mnima expresin. 1. 3u2b2ub2 5u3b23u2b3 Sol. 5u22b2 2. 7x32xS 3x25x33 Sol. 2110S 3. 4ub2c35u2b0c4 7u3b3cS3ub2c2 Sol. 28ub3c215 4. 5u2x3t3uxt08u4xt213u3x2t3 Sol. 40u2x39 5. 7u2x23ux314u3x9ux3 Sol. 3x2u 6. 5u2xt02ux2t10u3xt6u2x3t2 Sol. 3x2 7. 9x3z214x0z3 18x2z221x3z8. 15u3b0t14ub2t3 6u2bt221u2b2t 18 Sol. 344z2Sol. 15u24bt3 9. 7ub22bc2 6u3c21u2b 15ub3bc2 Sol. uc5 10. 18x27z14x23xz2242z35xz2 Sol. 5x32z4 11. 8u3c14ub2 7b2c6uc2 22b2c15ub3 Sol. 5u2b11c 12. 26x315x2z 62z65x23 8x425x6z3 Sol. z32x 13. u-2b2u+6b u+3b3u-6b Sol. 16 14. u-3bu+2b 3u+6b2u-6b Sol. 32 15. 4x-8bx+b ux+u3x-6 Sol. 4u3b 16. 2x-6uux+2u 2x+4bx-3bu Sol. 4ub 17. x2-9x+4(2x 6) Sol. x+32(x+4) 18. x2-162x+5(Sx 12) Sol. x+43(2x+5) 19.(x2 Sx +2) x2-1x Sol. x(x-2)x+1 20.(x2 +Sx +4) x2+x-12x-3 Sol. x +1 21. 3u(u-2b)22b3b(u+2b)6u212ubu2-4b2 Sol. 3u-6bb 22. 2x(3x-2)2326(3x+2)5x210x29x2-42 Sol. 8y(Sx 2y) 23. 5x2(2x+5)29624x2-252 3(2x-5)2x(2x+5) Sol. Sxy2 24. 7u3(u-4b)26b210ub3u2-16b2 3u0b(u+4b)5(u-4b) Sol. 7o4b2 25. u2-3ub2-2b ub2-2ubu2-9ub(u+3) Sol. ob 26. 2x2+3x2-2x2-2x4x2-9x2x-3 Sol. xy 19 27. 2x-x22+x22+x24-x22x3(2+x) Sol. 2 28. 2u2-u3b-b2 3ub2(9-6b+b2)4u2-13u-ub2ub+b Sol. Sob2 29. 6x2-5x+13x2-10x+3x2+5x+62x2+3x-2 Sol. x+3x-3 30. 6x2+x-12x2+5x+2x2-x-63x2-7x+2 Sol. x-3x-2 31. 2x2+x-3x2+4x-52x2+11x+52x2+7x+6 Sol. 2x+1x+2 32. 6x2-5x-66x2-x-26x2-x-26x2-11x-10 Sol. 2x-32x-5 33. x2+x-62x2-2x-32 x2-2x-32x2-3x+22 x+x+3 Sol. x+x- 34. 2+3s+2s22-2s-3s2 2-4s+3s22-s2-s+2s Sol. -s+s 35. u2+ub-6b2u2+4ub+3b2 4u2-4ub+b22u2-5ub+2b2 u+b2u-b Sol. 1 36. s2-4st+4t22s2-st-6t2 4s2+4st-3t2s2-3st+2t22s+t2s-t Sol. 2s+ts-t 37. u2+3u+2u2-1u2+6u+9u2+3u+2u+3u-1 Sol. u+3u+1 38. b2+6b+9b2+b-2b2-4b2+5b+6b+3b-1 Sol. b-2b+2 39. 2+-122-2-32-6+82+6+8-2+1 Sol. -4+2 20 40. s2+2s-3s2-4s+4s2-4s2+s-2s+5s-2 Sol. s+3s+5 41. (x-2)x-3x-2x2-1(x+2)(x+2)x+1 Sol. x S 42. (x-4)x+3x-3(x-1)x-2x2-4(x-1) Sol. (x+1)(x-1)x-2 4S. (x-3)x-4(x-4)x+4(x-1)x-2(x-3)x+2 Sol. (x-4)(x+1)2(x-1)(x-2)2 44. (2x-1)x-14(x-1)x-3(2x-1)x-3(x-3)x+2 Sol. x+1x-2 45. (s-2)s-3s2-9s(s+3)-2(s+3)(s-2)(s-3)s+1s-3 Sol. 1 46. (2u+3)u+1(2u+3)(u+1)(u+1)u-2u(u+1)+2(u+1)2u+12u+3 Sol. u-1u+1 47. (3u-4)u-4(u-4)u+4(u-2)u+1(3u-4)(3u+2)u-1u-2 Sol. u-13u-4 48. (u-1)u-2(u-2)u+1(u-2)u-3(u-3)u-4u+1u-1 Sol. u2-5u+6u2-5u+4 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES. 1. 4x+42(2x-)(2x-3)15x(x+3)(2x-3)+4x+2x- Sol. 2x+x+3 2. 3x(x+)(x-2)+x2-3x(x-)(x-2)4x(x+)(x-) Sol. xx+ 3. 22-s2 4s(+s)2(-s)-s(+s)2 Sol. 1+s 21 4. +zx2-xz-x+z +x+z2-z-x+xz +x+xz-z-x2+x Sol. x+(x-)(z-) 5. 2x3x4+x22+4 +22x3+3 x+x2+x+2 x2+2x3-3 Sol. 23(x2+2)(x3+3)(3-x3) 6. 4x4+x2+1+x2+x-1x2-x+1x2-x-1x2+x+1 Sol. 4(x+1)x2+x+1 FRACCIONES COMPLEJAS Redzcanse a fracciones simples las fracciones complejas siguientes 1. 1+132-13 Sol. 45 2. 3+122-12 Sol. 73 3. 5+13-1S Sol. 90494. 3-S92+23 Sol. 1112 5. 2-1x1x Sol. 2x 1 6. 4- 1x22+1x Sol. 2x-1x 7. 1- 1x31-1x Sol. x2+x+1x2 8. x-1x1-1x Sol. x +1 9. 1-3x+ 2x21x- 2x2 Sol. x 1 10. 1-1x- 2x21x+ 1x2 Sol. x 2 11. 1+1x- 2x21+Sx+ 6x2 Sol. x-1x+3 12. 2-x+ 3x22+3x- 2x2 Sol. x-3x+2 13. 1-b2c-3b1+bc-3b Sol. 2(u-3b)2u-3b 14. 1-2bc-b2-c+bc-b Sol. 1 15. 3-x+3jx+j1+jx-j Sol. 2(x-)x+ 16. 2+3bc-2b1+cc-b Sol. u-bu-2b 17. x+1+x+1x-1x-2x-1 Sol. xx-2 UNIDAD III SOLUCIN DE ECUACIONES LINEALES Demustre, mediante sustitucin directa, que el nmero dado a la derecha en los problemas 1 a 8es una raz de la ecuacin propuesta en cada problema. 1.Sx 2 = 2x +1,S2.9x 2 = 12x +4, 2 3.6x +S = 18x 1, 1 34.2ux +S = 29 12x, 34 22 5. 3x-442x-13= 16, 66. 2x-42+x+34= x S, 1S 7. 2x+14+x3 =18x-242,328. 3x+26x-2+ 1 =5x+1, 23 Resuelva las ecuaciones de los problemassiguientes. 1.4x = x + 9 Sol. x = S 2.7x +2 = Sx +14 Sol. x = S 3.9x 4 = Sx 16 Sol. x = 2 4.7x 2 = 2x +1 Sol. x =35 5.Sx 2 = Sx +6 Sol. x = 4 6.7x S = 4 +4x Sol. x = S 7.Sx S = 2 7x Sol. x =12 8.7 4x = x S Sol. x = 2 9.2(x + 1) (x 1) = u Sol. x = S 10.S(Sx 1) + 4(9 Sx) = u Sol. x = S 11. 6(4x 7) S(2x +S) = S Sol. x = S 12. 4(Sx 1) = 7(2x +S) +S Sol. x = 6 13. 2[12x 14 =12(Sx 7) Sol. x = 6 14. 4[34x 12 12(4x +12) = 4 Sol. x = 12 15. S[23x +16 34(2x +18) = 4 Sol. x = 18 16. 6[23x +13 +8[14x 34 = Sx +4 Sol. x = 8 17. 23x 34+14x = x 54 Sol. x = 6 18. 32x 2313x =43x 103 Sol. x = 16 19. 56x +7923x =29x 59 Sol. x = 24 20. 56x 79x +23 =14x 89 Sol. x = 8 21. 35x S =12x 4 Sol. x = 1u 22. 23x S =12x 1 Sol. x = 12 23. 15x +1 =23x 43 Sol. x = S 24. 57x 1 =34x 54 Sol. x = 7 25. ox +bu = bx +1 Sol. x =1u 26. o(x 1) = b(o x) o Sol. x =ubu+b 27. o(x 2) b(x 1) = b o Sol. x =uu-b 28. o(x 2) = b(x +1) o Sol. x =u+bu-b 29. 2x+13= Sx 16 Sol. x = 7 30. 4x+66= 12 Sx Sol. x = S 31. 3x+55= 2x 6 Sol. x = S 32. 3x-24+S = x 12 Sol. x = 12 33. 2x-33+4 =3x-42 Sol. x = 6 34. 3x+542x-33= S Sol. x = 9 35. x+4256 =2x-23 Sol. x = 11 36. 2x-133x-24= 1112 Sol. x = 1S 37. 4x+36+3x+14= 2x 1 Sol. x = S 38. 5x-26+4x+29= 2x S Sol. x = 4 23 39. 6x-53+4x-12= Sx 16 Sol. x = 2 40. 5x+76x-14= x 23 Sol. x = S 41. bx+uu+bx-ub= 2 Sol. x =ub 42. cx+d2dc =4dx-cdc Sol. x =cdc+2d Resuelva las ecuaciones de los problemas siguientes para la letra indicada a la derecha de cada ejercicio. 43. m =3n-u, o Sol. o = n 3m 44. 1 =3(d+b)2+d, b Sol. b =232d3 45. S =I-u-1 , r Sol. r =S-uS-I 46. S = :t +12ot2, o Sol. o =2(s-t)t2 47. I2 = I1(1 +ot), t Sol. t =L2 - L1uL1 48. A =12(o +b), b Sol. b =2A-uhh 49. P =w2gt(:12:22), t Sol. t =w(12-22)2Pg 50. p =]vv-S, S Sol. S = I ]vp 51. : =1hc(E1 E2), Sol. =L1-L2c 52. E =12mr22 c2s, m Sol. m =2Ls+2c2s2o2 53. H =LP[25]+1 , Sol. =25LMP-L 54. Px = 4n2n2 wg , x Sol. x = Pg4n2n2w SOLUCIN DE PROBLEMAS. NUMRICOS 1.Tres enteros consecutivos suman 63. Encuentre los nmeros. 2.Encuentre tres enteros consecutivos cuya suma sea 75.3.Hallar tres enteros impares consecutivos cuya suma sea 105. 4.Hallar tres enteros impares consecutivos tales que la suma del primero y el segundo sea igual al tercero ms 31. 5.La suma de dos nmeros es 42 y uno de ellos es igual al doble del otro. Hallar los nmeros. 6.Si al doble de un nmero se le resta la mitad del mismo nmero, la diferencia vale 33. Cul es ese nmero? 7.Dividir 48 en dos partes tales que el doble de la menor sea 6 unidades ms que la mayor. 24 8.En un grupo de primer ao formado por 50 alumnos hay 10 hombres menos que el doble de mujeres. Cuntas mujeres hay en el grupo? 9.En una clase hay 60 alumnos entre hombres y mujeres. El nmero de mujeres excede en 15 al doble de los hombres. Cuntos hombres hay en la clase y cuntas mujeres? 10.Un lapicero y un cuaderno costaron $18. Si el lapicero hubiera costado $6 menos y el cuaderno $4 ms, habran costado lo mismo. Cunto costo cada uno? 11.Tres reses pesan respectivamente 129, 98 y 111 libras. Cul deber ser el peso de una cuarta res para que el peso promedio de las cuatro sea 114 libras? 12.Un jornalero y su ayudante trabajaron 6 das y ganaron $240. El jornalero tiene un salario de $12 ms por da que su ayudante. Cunto gana cada uno por da? 13.Una televisin cuesta $2,800.00. Se hace un primer pago de $700.00 y el resto se paga en 15 letras iguales. De cunto es cada letra? 14.El total de dos compras es $612. Si el monto de la primera es tres veces el monto de la segunda. Cul es el monto de cada una? 15.En dos exmenes Carlos tiene 78 puntos. En el primero tiene 12 puntos ms que en el segundo. Determinar cuntos puntos tiene en cada examen. 16.Manuel tiene $n. Si cobra $500 que le deben y paga $175 que debe, le quedaran $382. Cuntos pesos tiene Manuel? 17.De tres compras; en la segunda se gasto $16 ms que en la primera; en la tercera, la mitad de lo que se gasto en las otras dos. Si el gasto total fue de $180 Cunto gasto en cada compra? 18.Por un vestido y un par de zapatos se pagan $450. Determinar el precio del vestido sabiendo que ste costo $150 ms que el par de zapatos. 19.La entrada a un baile cuesta $40.00 para hombres, las mujeres pagan $15.00. Si se obtuvieron $12.770.00 al vender 363 boletos. Cuntas mujeres pagaron boleto? 20.Un viajero ha recorrido la tercera parte de su trayecto y sabe que si cubre 65 Kms. ms completa la mitad del recorrido. Determine la distancia recorrida. PROBLEMAS GEOMTRICOS21.Para construir una cerca de un terreno rectangular se usaron 2030 metros de material. Si el ancho del terreno es 43 partes de lo largo. Cules son las dimensiones del terreno? 25 22.Los lados de un rectngulo miden 25 y 30 metros respectivamente. Calcular los de otro, semejante al primero cuyo permetro mide 278 metros. 23.La longitud de un rectngulo es 7 unidades ms que su anchura. Si cada dimensin fuese incrementada en 5 unidades, el rea sera incrementada en 160 unidades cuadradas. Encuentre las dimensiones del rectngulo. 24.Hallar la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que si se aumenta sta en 4 m. su rea se incrementa en 64m2. 25.Un terreno tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6 m. y el ancho se aumenta en 4 m. la superficie del terreno no vara. Hallar las dimensiones de la terreno. 26.La longitud de un campo rectangular excede a su ancho en 30 m. Si la longitud se disminuye en 20m y el ancho se aumenta en 15m, el rea se disminuye en 150 m2. Hallar las dimensiones del campo. 27.Hallar la base y la altura de un rectngulo cuyo permetro es de 40cm. La base tiene 2cm ms que cinco veces la altura. 28.Un cateto de un tringulo mide 20 cm. y la hipotenusa es 10 cm. mayor que el otro cateto. Hallar las longitudes de los lados desconocidos. DE MOVIMIENTO 29.En un viaje de 900 Kms. se emplean cinco horas viajando en tiempo despejado y seis horas manejando bajo la lluvia a una velocidad de 15 kms/h menos que en el tramo seco. Determinar la velocidad con que se viaja en el tramo lluvioso. 30.Se hace un recorrido de 42 Kms. en dos partes; primero en bicicleta durante 3 horas y luego, durante otras tres horas a pie. La velocidad en bicicleta fue de 6 Kms/h ms rpida que a pie. Determinar la velocidad durante la caminata. 31.En una hora un estudiante recorre dos tramos para llegar a su escuela, uno de 6 kms. en camin y el otro de 28 kms. en automvil. La velocidad media del automvil es el doble de la velocidad media del camin. Determinar ambas velocidades y los minutos que tarda en recorrer cada tramo. 32.La ciudad A se encuentra a 810 Kms. de la ciudad B. Un autobs sale de A hacia B y tres horas despus parte un automvil de B hacia A. Si ambos, el autobs y el automvil, mantuvieron la velocidad de 90 Kms/hora, hallar la distancia recorrida por el automvil hasta el momento de encontrar al autobs. 33.Dos automviles, A y B empiezan a moverse el uno hacia el otro a las dos de la tarde, las velocidades medias son 80 y 90 Km/h, respectivamente. Hallar a que hora se encontraran sabiendo que distan 680 kms. 26 34.Dos viajeros, a una distancia uno del otro de 405 kms. empiezan a moverse a las 4:30 de la tarde en sentido contrario. Sabiendo que sus velocidades son 80 y 100 Km/h, hallar la hora de su encuentro. 35.Dos camiones parten del mismo sitio, a un mismo tiempo y viajan en direcciones opuestas. Al cabo de 5 horas se encuentran a 800 kms de distancia viajando uno 20 kms/h ms rpido que el otro. Encuentre la distancia recorrida por cada uno. 36.Hallar la velocidad a que debe viajar un motociclista A para alcanzar a otro B que marcha a una velocidad de 20 Kms/h, sabiendo que A, partiendo 2 horasdespus que B, debe alcanzarlo en 4 horas. 37.Una lancha de motor viaja 4 kms. ro abajo y en el mismo tiempo un Km. ro arriba. Si la velocidad de la corriente es de 3 Kms/h. Cul es la velocidad en agua tranquila?. TRABAJO 38.Un hombre requiere 12 horas para arar un campo mientras que su hijo puede hacerlo en 15 horas. Cunto tiempo le tomara hacer el trabajo entre los dos? 39.Una persona A puede pintar una casa en 12 horas y la persona B puede hacerlo en 16 horas. Cunto tiempo les tomara pintar juntos la casa? 40.Una mujer puede limpiar un cuarto en 24 minutos y su hija en 36 minutos. Cunto tiempo emplearan si limpian el cuarto las dos?. 41.Un tanque puede llenarse en 10 horas por un tubo de entrada y vaciarse en 8 horas. Si al principio el tanque est lleno y ambos tubos abiertos, En cunto tiempo se vaciar el tanque? 42.Un tanque se puede llenar en 6 horas y se puede vaciar en 8 horas abriendo la vlvula del tubo de drenaje. En cunto tiempo se llena el tanque si por descuido la vlvula del tubo de drenaje permanece abierta 3 horas? MEZCLAS 43.Se desea mezclar un maz cuyo precio es de $10 por kilogramo con 6 kg de maz de precio $7.50 por kg para poder vender la mezcla obtenida al precio de $9.00 por kg Cuntos kilogramos del maz de $10 deben usarse? 44.Calcular el nmero de litros de una solucin de alcohol al 60% que se deben aadir a 40 litros de otra solucin de alcohol al 20% para obtener una mezcla al 30% 45.Qu cantidades de leche al 3.% de nata y de leche al 6.2% de nata se necesitan para hacer 100 litros de leche al 4%? 27 DESIGUALDADES LINEALES. Resolver las siguientes desigualdades. Graficar el conjunto solucin en la recta de los reales y expresarlo en notacin de intervalos.. 1.x +1 > S Sol. x > 2 2.x +S > 1 Sol. x > 4 3.x 1 < 1 Sol. x < 2 4.x S < 4 Sol. x < 1 5.Sx 1 < x +S Sol. x < 2 6.4x S < x 2 Sol. x < 1 7.Sx +2 > Sx +S Sol. x >12 8.6x S > 4x 6 Sol. x > 32 9.2x +7 > Sx +S Sol. x < 2 10. Sx S > 7x +2 Sol. x < 74 11. 2x +1 < x +S Sol. x > 23 12. x +2 < Sx 7 Sol. x >94 13. 2x-13+1 >x+12 Sol. x > 1 14. x+342 >x-13 Sol. x < 11 15. 3x-221