Algebra de Vectores

Universidad Autónoma de Baja CaliforniaFacultad de Ciencias Químicas e Ingeniería

Jorge Arturo Carmona Manzano

Vector: Es un segmento rectilineo dirigido, su longitud recibe el

nombre de magnitud o modulo y su orientacion se llama direccion.

1.1 Definición y representacion geométrica

eje unitariovector

eje unitario vector

eje unitariovector

Vector

raNomenclatu

321321

2121

zk

yj

xi

kajaia),a,a(aV

jaia),a(aV

VVV

1.2 Espacios vectoriales

Un espacio vectorial real, es un conjunto v de elementos llamados vectores y un conjunto de numeros reales llamdos escalares con dos operacionesLlamadas: Multiplicacion escalar y adicion vectorial, tales para cada Ay B, para todo escalar m, un vector A+B y en vector m x A estan definidas por las siguientes propiedades

AkmAj)(km)

AA)i)(

BmAkAm)h)(k

BkAk)BAg)k(

V Af)m

)A(-Ae)

AAAd)

C)BA()CB(Ac)

ABBAb)

v BA ntonces v e B y Aa)Si

1

0

00

0)A(-AV)

A0AIV)

BmAm)BAIII)m(

C)BA()CB(AII)

ABBAI)

sPropiedade

000

1

00

2

jk ji ki

iijjk VI)k

)mBA()B(mABmAm)BA V)m(

ABBA IV)

A III)

CABA)CB(A II)

AAA I)

sPropiedade

332211321321))((. bababakbjbibkajaiaBA

101202)

3310318).436()1.(3)

6219)113()

101202)4(3)0(1)1(2)

)2,1,3()4,0,1()3,1,2(:

:

BAd

CCAc

CCBAb

ABa

CBASea

Ejemplos

BABA

arcCos BA

BA

Cos θBABA

BAθ

Teorema:

; Cos

:despejando

:entonces y vectoreslos entre ángulo el es Si

1.2 Proyecciones

Proyección escalar (Componente)

B

A

CosBBCompA

AAUBBComp

unitariovector AA

U donde A

Proyección escalar

Proyección Vectorial

B

A Proyección vectorial

AAA

AA

UUBBProy

U CosθBBProy

)(

)(

Ejemplos:a)Hallar el ángulo entre los vectores

),,-( B) ,,(A 132211

194411123121

Cos

))(())(-())(( BA

BA

1461

146

1 Cos

146

1 arcCos

74.83

14194A

(2,3,1)Ar del vectoa longitudb)Hallar l

112444364PQ

2,3) Q(1,,5) con a P(3,4r que une del vectoa longitudc)Hallar l

cularesperpendi

00

02810

24522

:que yay

090 como

90 quedemostrar es, esto

245 alar perpendicu es 22 vector el que Demuestre

k)jik)(ji (

ABAB

θ

ABAB

Cosθ

Cos

θ

kjikji

143

141

143

142

)2,1,1(

141

143

142-

14)1,3,2(

194)1,3,2(

AA

U

donde

UBBComp

escalarón a)Proyecci

(-2,3,1)A vector el sobre

(1,1,2)B de ly vectoriaescalar proyeccion la Encuentre

A

AA

kjiCompAB

kji

Ejercicio

kjikji143

144

146

141

143

142

143

)U)(B(Comp

U)B(BProy

Vectorialón b)Proyecci

AA

AAA

1.3 Producto Cruz

321

321

322

321

:

bbb

aaa

kji

BA

kbjbibB

kajaiaA

Sea

0)

)()()

)()

)

AAIV

mBABmABAmBAmIII

CABACBAII

ABBAI

0k kj ik

0j ji kj

0i ik ji

Propiedades

moaralelograárea del pC

BAC

B

A

C

2k2jiC

kj2iB

2kj3iA

: vectoreslos Dados

5k7j-i

kji

kji

BAa

)23()43()21(

112

213)

57

213

112) kji

kji

BAb

)32()05()())(

10k14j2i

213

112

kji

kjikjiBABAc

1.4 Triple Producto Vectorial

)( CBAD

j-iC

j-kiB

j-k2iA

CBACalcule

:Siendo

)(

2kji

1)k(11)j(01)i(1

011

111

kji

DCB

1 paso

k5j3i

1)k(21)j(41)i(2

211

112

kji

DA

2 paso

k5j3iCBA

1.5 Triple Producto Escalar

CBAm

BAA

acenteses: lados ady formando

By A son vectoreelogramo c del paralue el área)Mostrar q

1

B

A

h

SenBh

Sen

Bh

BASenBAASenBAhárea

4j5i C

2j3i B

j2iA

BkAhCkh

Si

que taly II)Obtenga

jkhikhji

kjkihjhiji

jikjihji

)2()32(45

)232(45

)23()2(45

kh

kh

24

325

k

kh

kh

53

828

325

3

2

k

h

1.6 Aplicaciones

Vida ordinaria:Se vende x hamburgesas, y hotdogs y w sodas en vida:

Si se vende

$34.00 por hamburgesa$15.00 por hotdog$10.00 por soda

10k15j34iB

wkyjxiA

ganancia la de resultado el es

?P.A producto del osignificad el es ¿Cuál

10w15y34xA.P

Estática:

4j)(3jj)(i F

FF F

0FF F

jiF4k3jFF

3

213

321

123

equilibrioen esten que para ; lay fuerza la que tal, fuerza la Determinar

4k3jjiF 3

Dinámica:

:realizado trabajoel encuentre Q(4,6,2); punto al

P(2,1,0) punto del particula una muevey N5k 4j3iF un vector por dada esta fuerza Una

36J2k)5j5k)(2i4j(3i W

2k5j2iPQPQd

5kN4j3iF

dFW

Geometría Analítica:

1,4)(3,B (2,1,2) yA

os puntos:pasa por lrecta que 4,4) a la esde P(6,a minima da distanciCalcular l

Sen26.5645 d

SenθAP d

APd

Senθ

26.5044arcCos0.89

2414944104

ABAP

AB.AP Cosθ

2k2jiAB

2k)5j(4iAP

ud 9.2

TallerObjetivo: El alumno repasará conceptos básicos de vectores.

CBc)

CBAb)

CBAa)

ule: Calc

jiC

kjB

5k3j2iA

Si:1.

jikj5k3j 2i

a)

4532CBA

k ji

BC(1)k1)j(1)i(

011

110

kji

b)

4CBA

10)1(0j)k)(ijc)(

kjiCBA 653

1CB

(1,2,3)1,2,1)(ABAB

1,2,1)(B(1,2,3);A

ntos:uientes puor los sigformados pel vector Determine

.2

kiAB 22

ortogonal es No

.3

2112BA

ectoresue ambos vs y grafiqortogonalene si son k determij2iBk;jiASi

AB

14j2i

PQPQ

U

j2i PQ

1,1,1)(Q (1,0,1) Pos puntos mado por lvector for

elcción que misma dire tenga la itario que vector unObtenga el4.

PQ

5j

52i

PQ

kh

kh

jhhkhiji

kjkihjhiji

jikjihji

AkChBkyh

jiCjiBjiASi

283

564

)28()56(34

258634

)25()86(34

que tal Obtenga

86;34;25 .5