LGEBRA LINEAL

LGEBRA BSICAMATRICESUna matriz es cualquier arreglo rectangular de nmeros.

Si una matriz A tiene m filas y n columnas, se le llama matriz de m x n.Se denonima m x n como orden de la matriz.

El nmero en la fila i y columna j de A se llama el ij-simo elemento de A y se escribe y se representa como aij.

Donde A13 = 3.Dos matrices A = [aij] y B = [bij] son iguales si y solo si A y B tienes el mismo orden y para todo i and j, aij = bij .

A = B si y solo si x = 1, y = 2, w = 3, z = 4VECTORESUna matriz con una columna es un vector columna. El nmero de filas en una columna es su dimensin.

Una matriz que tiene una fila, es una vector fila. La dimensin de ese vector es el nmero de columnas.

Cualquier vector m-dimensional corresponde a un segmento de recta dirigido en el plano m-dimensional. Por ejemplo en el plano bidimensional el vector (1,2) . Corresponde al segmento de recta que une el punto (0,0) con (1,2).

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORESEs el resultado de multiplicar 2 vectores donde un vector es una columna y el otro una fila, que deben tener la misma dimensin. El producto escalar de u .v es:

OPERACIONES CON MATRICESMLTIPLO ESCALAR DE UNA MATRIZ Dado una matriz A y un nmero C, la matriz cA es obtenida a partir de la matriz A al multiplicar cada elemento de A por c.

SUMA DE DOS MATRICES Sea A = [aij] y B =[bij] dos matrices del mismo orden. Entonces la matriz C = A+B se defne como matriz m x n .

Entonces, para obtener la suma de dos matrices A y B, se suman los elementos correspondientes de A y B.

Esta regla para la suma de matrices debe ser usado para sumar vectores de la misma dimensin.

LA TRASPUESTA DE UNA MATRIZ Dada una matriz de m x n , la traspuesta de A (AT ) es la matriz n x m.

Para cualquier matriz A , (AT)T=A.

MULTIPLICACIN DE MATRICES Dado dos matrices A y B, la matriz producto de A y B ( escrito AB) est definido si y solo si el nmero de columnas en A es igual al nmero de filas en B.

La matriz producto C= AB de A y B es la matriz C de m x n cuyo ij-simo elemento se determina:

ij-simo elemento de C= producto escalar de fila i de A x columna j de B.EJEM 1 : Calcule C= AB para

MATRICES Y SISTEMA DE ECUACIONES LINEALESx1, x2, , xn que son las variables o incgnitas, mientras que las aijs y bjs son constantes.

Un conjunto de ecuaciones como esta, sistema de ecuaciones de m ecuaciones y n variables.

Una solucin a un sistema lineal de m ecuaciones y n variables es un conjunto de valores para las incgnitas que satisface las m ecuaciones del sistema.

Ejm :

El resultado es :

Las matrices pueden simplificar y representar en gran medida un sistema lineal de ecuaciones.

Este sistema lineal de ecuaciones puede ser escrito como Ax=b, que es llamado representacin matricial de las matrices de arriba.

SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE EL MTODO DE GAUSS-JORDANUsando el mtodo de Gauss-Jordan, puede ser mostrado que cualquier sistema de ecuaciones lineales puede satisfacer uno de los tres casos:Caso 1: El sistema no tiene solucin.Caso 2: El sistema tiene una nica solucin.Caso 3: El sistema tiene un nmero infinito de soluciones.

Este mtodo es importante porque muchas de las operaciones que se usan en este mtodo tambin son usadas al resolver un problema de programacin lineal mediante el algoritmo simplex.Operaciones elementales de fila (OER) transforma una matriz A en una nueva matriz A por medio de una las siguientes operaciones: OER TIPO 1: La matriz A se obtiene multiplicando cualquier fila por un escalar diferente de cero.

OER TIPO 2 Se multiplica cualquier fila de A ( ejemplo fila i) por un escalar distinto de 0. Para alguna j i , sea la fila j deA = c*(fila i of A) + fila j of A y sean las otras filas de A los mismos que los de A.

Si multiplicamos la fila 2 de A por 4 y reemplazamos en la fila 3 la operacin anterior sumado a la fila 3 de A

OER TIPO 3 Intercambia dos filas cualquiera de A.

Fila 1 y 3 de A , se obtiene

Pasos del Mtodo Gauss-JordanRepresentacin de la matriz aumentada es:

A|b =Paso 1. Multiplicamos la fila 1 por .

Paso 2: Reemplazar la fila 2 de A1|b1 por -2(fila 1 A1|b1) + fila 2 de A1|b1.

A1|b1 =A2|b2 =

Paso 3: Reemplazar la fila 3 de A2|b2; por -1(fila 1 de A2|b2) + fila 3 de A2|b2.

La primera columna ha sido transformada en :

A3|b3 =

Paso 4: Multiplicar la fila 2 de A3|b3 por -1/3.

Paso 5: Reemplazar la fila 1 de A4|b4 por -1(fila 2 de A4|b4) + fila 1 de A4|b4.

A4|b4 =A5|b5 =

Paso 6: Reemplace la fila 3 por A5|b5 por 2(fila 2 of A5|b5) + fila 3 of A5|b5.

Columna 2 ha sido transformado a :

A6|b6 =

Paso7: Multiplicar fila 3 de of A6|b6 por 6/5.

Paso 8: Reemplace la fila 1 de A7|b7 por -5/6(fila 3 de A7|b7)+ fila 1 of A7|b7.

A7|b7 =

A8|b8 =Paso 9: Reemplace la fila 2 de A8|b8 por 1/3(fila 3 de A8|b8)+ fila 2 de A8|b8.

Ahora se representa el sistema de ecuaciones y tiene una solucin nica.

A9|b9 =Despus de aplicar el mtodo de Gauss-Jordan , una variable que aparece con coeficiente 1 en una ecuacin y 0 en todas las otras ecuaciones, es llamado variable bsica (VB).

Otro tipo de variable es llamado no bsica (VNB). Sin solucin: Si se aplica el mtodo de Gauss-Jordan a un sistema lineal y obtiene un rengln de la forma :

[ 0 0 0 | c ] (c 0); no tiene solucin

Infinita soluciones: Si se aplica el mtodo de Gauss-Jordan a un sistema lineal y no se logra obtener una matriz identidad. Y si hay VNB entonces tiene soluciones infinitas.

Una combinacin lineal de vectores en V es cualquier vector de la forma c1v1 + c2v2 + + ckvk donde c1, c2, , ck son escalares arbitrarios.La combinacin lineal de vectores en V para la cual c1= c2= ,=ck= 0; se denomina combinacin lineal trivial.Un conjunto de vectores m-dimensionales es linealmente independiente si la nica combinacin lineal de vectores en V que es igual a 0 es la combinacin lineal trivial. Un conjunto de vectores m-dimensionales es linealmente dependiente si hay una combinacin lineal no trivial de vectores en V que se suma 0.INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEALESEjemplo 1:

V = {[1 0] , [0 1]} es L.I.

c1([1 0]) + c2([0 1]) = [0 0]

[c1 c2 ] = [0 0]

Ejemplo 2:

V = {[1 2] , [2 4]} es L.D.

2([1 2]) -1 ([2 4]) = [0 0]

c1=2 c2 = -1

EJERCICIOSResolver las ecuaciones 2x +y = 1 -x +2y = 7 3x+y = 0

x +y +z = 1 2x +3y -4z = 9 x - y + z = -1

3x +2y +z = 1 5x +3y +4z = 2 x + y - z = 1