Álgebra (completo)

Álgebra6to grado – I Bimestre

y = x2 + ... + x3y = x2 + ... + x3

ÍndiceÍndice

Pág

l Historia del Álgebra – Simbología algebraica 75

l Expresiones algebraicas 81

l Términos semejantes 87

l Reducción de términos semejantes con coeficiente entero 93

l Reducción de términos semejantes con coeficiente fraccionario 101

l Repaso 109

l Potenciación: Propiedades I 113

l Propiedades de la potenciación II 117

l Repaso 121

Historia del Álgebra

"El álgEbra Es gEnErosa:

a mEnudo da más

dE lo quE sE lE pidE"

Introducción A lo largo de la historia, la Matemática ha mantenido una evolución en todas sus áreas, permitiendo al hombre hacer frente a problemas que en principio fueron originados por situaciones cotidianas y que, posterior-mente, surgieron a raíz de la propia evolución de esta ciencia.

El Álgebra, siendo una de las principales áreas de la Matemática, tuvo un inicio que se remonta aproximadamente al año 3000 a.C. Fue la cultura babilónica la que dejó indicios, en sus "tablas cuneiformes", sobre las nociones básicas para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

Posteriormente, Diofanto (325 - 410 d.C.) en su obra "Aritméticas", difunde la teoría sobre las ecuaciones de primer y segundo grado, in-fluenciado por los trabajos de los babilonios.

Luego, durante la Edad de Oro del mundo musulmán, que corresponde a la Edad Media del Mundo Occidental, aproxi-madamente 700 - 1200 d.C., el árabe fue la lengua internacional de las matemáticas. Los matemáticos árabes conservaron el patrimo-nio matemático de los griegos, divulgaron los conocimientos matemáticos de la India, asimilaron ambas culturas e hicieron avanzar tanto el Álgebra como la Trigonometría.

Es durante esta época que surge la figura de Mohammed Ibn Musa Al - Khwarizmi (780 - 850 d.C.) llamado por algunos el "Padre

del Álgebra". Escribió varios libros sobre Geo-grafía, Astronomía y Matemáticas.

En uno de sus libros "Al - jabr - wa'l mu-qäbala", aparece la palabra "Al Jabr", de la cual deriva la palabra "ÁLGEBRA". "Al Jabr" sig-nifica "restauración", refiriéndose al equilibrio de una ecuación mediante la transposición de términos. "Muqäbala" significa "simplificación", refiriéndose a la reducción de términos seme-jantes en cada miembro de una ecuación.

Otros matemáticos que dieron gran im-pulso al desarrollo del Álgebra fueron: Niccolo Fontana, llamado TARTAGLIA ("El Tartamudo"); matemático italiano que centró su trabajo en la ecuación cúbica.

Girolamo Cardano, en su obra "Ars Magna" publica un resultado similar a TARTA-GLIA. Ludovico Ferrari, trabajó investigando las ecuaciones de cuarto grado. Francois Vietté, emplea las letras en el Álgebra; utilizando las primeras (a, b, c, ...) para representar canti-dades conocidas, y las últimas (z, y, w, x, ....) como incógnitas.

Como habrás visto, todos los matemáti-cos mencionados son extranjeros; sin embar-go, también existieron matemáticos peruanos que trabajaron para el desarrollo del Álgebra; podemos mencionar a Cristóbal de Losada y Puga, Godofredo García, José Tola Pasquel y principalmente Federico Villareal.

Jean le Rond D'alembert

Filósofo, físico y matemático francés del siglo XVIII

CUESTIONARIO

• De la lectura anterior, responde a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué cultura es considerada como la iniciadora del Álgebra?

___________________________________

2. ¿En qué temas basó su investigación DIOFANTO?

___________________________________

___________________________________

___________________________________

3. ¿ C u á n d o n a c i ó a p r o x i m a d a m e n t eAl - Khwarizmi?

___________________________________

___________________________________

4. Del año 700 al 1200 d.C., la lengua internacional de la Matemática fue:

___________________________________

___________________________________

5. ¿Quién es considerado "Padre del Álge-bra"?

___________________________________

___________________________________

6. ¿Sobre qué materias escribió Al - Khwarizmi?

___________________________________

______________________________

7. ¿ D e d ó n d e s e d e r i v a l a p a l a b r a ÁLGEBRA?

___________________________________

___________________________________

8. ¿Qué significa la palabra "Al - jabr"?

___________________________________

___________________________________

9. ¿Qué otros matemáticos impulsaron el desarrollo del Álgebra?

___________________________________

___________________________________

10. Escr ibe el nombre de matemáticos peruanos investigadores del Álgebra.

___________________________________

___________________________________

11. ¿Por qué crees que es importante la Matemática para el ser humano?

___________________________________

___________________________________

12. R e s u m e b r e v e m e n t e l a l e c t u r a anterior:

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

Simbología Algebraica

SÍMBOLO SIGNIFICADO

x; •; ( ) Operadores de la multiplicación.

÷;:;– Operadores de la división.

Operador radical.

( ); [ ]; Signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves, respec-tivamente.

M(x;y) = 2xy2 Monomio de variables "x" e "y".

P(x) = x2 + 2x + 1 Polinomio de variable "x".

x Variable, es decir, letra que puede tomar varios valores.

∀ Para todo.

≠ Diferente.

Utilizamos los operadores de multiplicación y división en los siguientes ejemplos:

* La multiplicación de 3 por 8 * La división de 14 entre 2

se escribe: 3 × 8 = 24 se escribe: 14 ÷ 2 = 7

3 . 8 = 24 14 : 2 = 7

(3) (8) = 24 142

= 7

1. Completa según los ejemplos anteriores:

I. La multiplicación de 5 por 7 A. La división de 35 entre 5

se escribe: _______ = _______ se escribe: _______ = _______

_______ = _______ _______ = _______

_______ = _______ _______ = _______

II. La multiplicación de 9 por 8 B. La división de 48 entre 6


_______ = _______ _______ = _______

_______ = _______ _______ = _______

III. La multiplicación de 6 por 9 C. La división de 63 entre 7


_______ = _______ _______ = _______

_______ = _______ _______ = _______

2. Completa según los ejemplos:

• M(x;y;z) = 3x6y5z4a • P(x;y) = –7x6y5

Las variables son: x; y; z Las variables son: x; y

El coeficiente es: 3a El coeficiente es : -7

I. R(a;b;c) = 7a6b9c7 II. Q(m;n;p) = –4m7n3p2

Las variables son: _______ Las variables son: _______

El coeficiente es : _______ El coeficiente es : _______

¡Listos, a trabajar!

III. F(x;y) = 31x4y8a IV. S(x;y) = 2abx9y12


El coeficiente es : _______ El coeficiente es : _______

V. P(y) = 7y7 + ay6 VI. R(z) = bz9 + 7z5 – 3z


Los coeficientes son: _______ Los coeficientes son: _______

⇒ DIvIéRTETE COmplETANDO El SIgUIENTE CRUCIálgEbRA:

1. El Álgebra, la Aritmética y la Geometría forman parte de la ...

2. Es una parte de la matemática que estudia a las cantidades haciendo uso de números y letras a la vez.

3. El padre del Álgebra es ...

4. Matemático griego, autor de "Aritméticas".

5. Niccolo Fontana era llamado ...

1

4

5

32

1. Completa utilizando operadores matemáticos, según sea el caso:

I. La multiplicación de 8 por 10 II. La división de 100 entre 20


_______ = _______ _______ = _______

_______ = _______ _______ = _______

III. La multiplicación de 9 por 12 IV. La división de 49 entre 7


_______ = _______ _______ = _______

_______ = _______ _______ = _______

2. Completa:

I. A(x;y) = 3x2y II. R(a;b;c) = –7a4b5c6

Las variables son: _________ Las variables son: _________

El coeficiente es: _________ El coeficiente es : _________

III. I(x;y;w) = – 12

x4y6w7 IV. A(x;y;z) = 14x + 15y + 7z



V. N(x) = 5x2 + 7x - 1 VI. A(a;b;c) = 15a2b + 7abc + 8ac2



1. Dado el polinomio:

C(x;y;z) = 8x2y + 5xy2z3 - 10y3z - 3z3

señala la suma de sus coeficientes.

Demuestra lo aprendido

Desafío

Expresiones algebraicasSe llama expresión algebraica a aquella en la cual las variables (letras) y constantes (números) están relacionados por las operaciones de adición ( + ), sustracción ( – ), multiplicación ( • , × , ( ) ) y división ( : , ÷ , / ).

TéRmINO AlgEbRAICO

Es la unidad de la expresión algebraica, está conformado por números y letras relacionadas por signos operativos de multiplicación, división, potenciación y radicación.

• Partes de un término algebraico

Presenta dos partes: parte numérica y parte literal.

–7x11PARTE NUMÉRICA PARTE LITERAL

variable

exponentecoeficiente

1. Completa correctamente:

En: -5x9 En: 31z12

Parte numérica: _______ Parte numérica: _______

Parte literal: _______ Parte literal: _______

Variable: ________ Variable: ________

Exponente: ________ Exponente: ________

En: –43x4 En: +75x3/4

Parte numérica: _______ Parte numérica: _______

Parte literal: _______ Parte literal: _______

Variable: ________ Variable: ________

Exponente: ________ Exponente: ________

2. Crea tu término algebraico:

y completa: coeficiente: _______

parte literal: _______ Variable: ________

Exponente: ________

NOTACIóN DE UN TéRmINO AlgEbRAICO

Es la representación simbólica de un término, la cual nos indica las variables de dicho término.

P(x) = –4x3 M(x,y) = 41x7y3

NOTACIÓN NOTACIÓN

* Se lee "P" de "x" * Se lee "M" de "x" e "y"

* Variable: x * Variable: x,y

1. Completa:

• R(x,y,z) = ax7y3z4 • F(a,b) = 45a7b2

variables: _____________ variables: _____________

• Q(m;n) = a2b3m17n16 • N(c;x) = 2m3c4x7

variables: _____________ variables: _____________

• R(x;y) = –4x6y11 Parte literal: __________

Parte numérica: __________

Variable: __________

Exponente: __________

¡Listos, a trabajar...!

DIvIéRTETE COmplETANDO El SIgUIENTE CRUCIálgEbRA:

Dado el término algebraico:

3 x 2 y 3

B

CA

Son signos de agrupación o colección:

D → ___________________________

E →___________________________

A

C

D

B

E

ClASIfICACIóN DE TéRmINOS AlgEbRAICOS

El término algebraico se clasifica en:

1. Término racional

Cuando todos los exponentes de sus variables son números enteros y pueden ser:

a. Término Racional Entero

Cuando todos los exponentes de sus variables son enteros no negativos.

b. Término Racional Fraccionario

Cuando al menos un exponente de sus variables es entero negativo.

2. Término irracional

Cuando al menos un exponente de una de sus variables es fraccionario.

• P(x;y) = 4x4y3 ⇒ _________________________________________________

• F(x;y;z) = 3x9y6z–2 ⇒ _________________________________________________

• R(x;y) = –4x1/3y–3 ⇒ _________________________________________________

• A(a;b) = 43

x3y–5a4b3 ⇒ _________________________________________________

• B(m;n) = 3 –2 423x m n ⇒ _________________________________________________


1. En cada una de las siguientes expresiones algebraicas señala con un círculo su respectiva parte literal.

• x2y • 3xy2z3 • 5z8

• 58

x3y4z5 • 400x

100

2. En las siguientes expresiones algebraicas, señala con un círculo cuáles son los expo-nentes de cada una de sus variables.

• x2 • y3 • x3y4

• 5x4z5 • 35

z8 • 7xyz2

• 100x15z

3. En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos co-eficientes:

Ejemplo: 3a2 = a2 + a2 + a2

• 2x • 4y2

• 5xy • 7x5y6

4. En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos ex-ponentes.

Ejemplo: x2y3 = x.x.y.y.y

• x3 • x2y4

• x5y2z • 83x4y3

1. Da el menor valor que puede tomar "a", si la expresión:

a –1a –27 8 7y3P(x;y) x y x y xy= + +

es un polinomio.


Desafío

Términos semejantes I. Completa lo siguiente:

1. El __________________ es una de las partes de la Matemática que estudia las cantidades

haciendo uso de números y letras a la vez.

2. Las ___________________ se emplean para representar toda clase de cantidades, ya

sean conocidas o desconocidas.

3. ____________________________, son aquellos que tienen la misma parte literal.

4. Son ____________________________ o signos de _________________________ los corchetes,

______________________ y ________________________.

TéRmINOS SEmEjANTES

Son aquellos que presentan la misma parte literal, es decir, las mismas variables elevadas a

los mismos exponentes.

Son los únicos que se pueden sumar o restar.

Ejemplos:

a. 4a2b3x4 ; –6a2b3x4 ; 12

a2b3x4 ; –8a2b3x4

b. 6x2m4 ; 5m4x2 ; – 13

m4x2

c. 7x3 ; x3 ; –7x3 ; –5x3 ; 6x3

d. 5x ; –9x ; 17x ; 3x

1) 5x – 2x – 10x + 3x – 6x

2) –15m + 7m – 4m + 10m – m

3) –8y2 – 3y2 – 2y2 – y2 – 10y2

4) 14xy + 14xy + 7xy + 2xy

5) –16x3 – 3x3 – x3 – 2x3 – 100x3

I. Reduce los siguientes términos semejantes:

REDUCCIóN DE TéRmINOS SEmEjANTES

Reducir dos o más términos semejantes, significa expresar a todos ellos mediante un solo término; mediante la adición o sustracción.

Ejemplos:

a) 2a + 5a = 7a b) 8b - 3b = 5b c) 5x2 – 2x2 = 3x2

Recuerda:

* Cantidades del mismo signo se suman y se pone el mismo signo.

Ej.: –7 –4 = –11

* Cantidades de signos contrarios se restan y se pone el signo del mayor.

Ej.: –9 +7 = –2


REDUCCIóN DE TéRmINOS SEmEjANTES SUpRImIENDO SIgNOS DE AgRUpACIóN

- Se suprimen sucesivamente dichos signos empezando de preferencia por el signo de agrupación más interno.

- En una expresión, al suprimir signos de agrupación precedidos del signo más (+), deberá escribirse con su mismo signo cada uno de los términos que se encuentran dentro de él.

- E n u n a ex p re s i ó n , a l s u p r i m i r s i gn o s d e a gr u p a c i ó n p re ce d i d o s d e l s i gn o menos (-), deberá escribirse con signo cambiado cada uno de los términos que se encuentran dentro de él.

Ejemplos:

a. 3x + (4x + 6x) b. 3m – (6m – 4m) + 2m

3x + 10x 3m – 6m + 4m + 2m 13x 3m

c. –2m – [3m + 4m – (6m + 8m) – 4m + m]

–2m – [3m + 4m – 6m – 8m – 4m + m]

–2m – 3m – 4m + 6m + 8m + 4m – m

8m

1. Reduce los siguientes términos semejantes suprimiendo los signos de agrupación.

a. 3x + (2x + 5x)

b. 4m – (3y – 10m)

c. –2a – (3a + 2a – a) + 8a

d. –[3x – 2x + x] + 4x – x + (2x – x + 4x)

e. –m3 + 3x4 – [3x4 + 8m3]

f. –4y3 – 7a3 + [–5x4 – (7y3 – 9a3 – 12x4) – 8m2] + y3

g. (–m + 3n) – –n + 4m

h. –3z – [–2z + 8z] + [8x – 5m + 9z] – 15x

i. 8a2 + 5a + 6p3 – (4a2 – 8a) – [9p3 + 5a2]

j. – [3a + 6x – (2m – 5x)] – [5z – 8m + 6a – (7x – 6m)]


DIvIéRTETE COmplETANDO El SIgUIENTE CRUCIálgEbRA:

1. Es una de las partes de la Matemática que estudia a las cantidades haciendo uso de

números y letras a la vez.

2. Las ............ se emplean para representar toda clase de cantidades ya sean conocidas

o desconocidas.

3. Términos .........., son aquellos que tienen la misma parte literal, afectada de los mismos

exponentes.

4. Son signos de colección o agrupación:

a) ______________________

b) ______________________

c) ______________________

4b

4a

4c

3

1 2

1. Reduce los siguientes términos semejantes:

a) b6 + 5b6 + 2b6 – 5b6 – b6 b) 7xy3 + 18xy3 – 10xy3 – 7xy3

c) 33ab – 17ab – 8ab – 33ab + 5ab d) 8z4 + 2z4 + 6z4 – 8z4 – 13z4 + z4

2. Reduce los términos semejantes suprimiendo los signos de agrupación:

a) 10x – (5x + 2x)

b) 14x2y + (25x2y – 12x2y)

c) (–15m + 7n) – (3n – 20m)


d) 15a2 + (7a – 8a2) – (4a2 + 8a) – (–10a2 – 10a)

e) – – [ – (–20ab + 15ab)]

f ) 10x2 – 5x2 – [–3x2 – (8x2 – 9x2)] – 15x2

1. Si los términos:

t1(x;y) = 8x2a+1y7

t2(x;y) = –15x15y3b–2

son semejantes, halla "a + b"

Desafío

Reducción de términos semejantes con coeficiente entero

Recordemos la adición de números enteros.

Observa:

CAmINO A CASA

Ayuda a nuestro amigo "Pingüis" a encontrar el camino de llegada a su casa y colorearlo. Para esto, tendrás que sumar los números y seguir operando sobre el número que en ese momento hayas obtenido.

Ahora observa los siguientes ejemplos:

• (+3x) + (+2x) = [(+3) + (+2)]x = +5x

• (–4y) + (–6y) = [(–4) + (–6)]y = –10y

• (10x) + (–3x) = [(10) + (–3)]x = 7x

• (–20y) + (12y) = [(–20) + (12)]y = –8y

• (+1) + (+2) = +3

• (–4) + (–3) = –7

• (+7) + (–2) = +5

• (–4) + (+1) = –3

(+) + (+)

(–) + (–)

(+) + (–)

(–) + (+)

SUMA ⇒ Se coloca el mismo signo.

SUMA ⇒ Se coloca el signo del número mayor.

–7

+7

+3

–4–5

–15

+5–10

+12

–1

+1

–16

6

2

–9

I. Con ayuda de tu profesora resuelve los siguientes ejercicios:

1.

(3x) + (–2y) + (–4y) + (+10x)

(3x) + (+10x) + (+2y) + (–4y)

(+13x) + (–6y)

Recuerda:

1º Reconocer los términos semejantes.

2º Reducir los términos teniendo en cuenta los signos.

2. (–10z) + (4y2) + (6y2) + (–8y2)

3. (5z) + (–12z) + (3y) + (4y)

4. (–4ab2) + (–6a) + (+12ab2) + (+8a) + (3b)

5. (13m) + (–2n) + (–13m) + (–10n)


Para jugar y aprender sigue los siguientes pasos:

⇒ Recorta cada pieza del dominó algebraico.

⇒ Realiza tus operaciones en la cara indicada de la siguiente hoja.

⇒ Cuando ya hayas obtenido los resultados, arma en forma de número con las piezas del dominó. ¿Qué número formaste?

⇒ Pega cada pieza en la hoja indicada.

¡A jugar con el dominó algebraico!

–7x2 – 2y (–3xy) + (6xy)

+3xy (–2x3) + (y2) + (6y2) + x3

(–x3) + 7y2 (3x) + (–6x) + (–4y) + (10y) + x

–2x – 14y(6x2) + (–y) +

(–6x2) + (2y)

(3x2) + (–2y) + (–10x2)

INICIO

(4z) + (+2xy) + (–4z) + (xy) y

RECorta como te indica la profesora

• Resuelve aquí tus operaciones para que puedas armar tu dominó algebraico:

Dominó algebraico

• ¡Ahora intenta formar con las piezas la forma de un número y pégalo!

¿Qué número formaste? Rpta.: ____________________

–3x 4y3 –10 y2x –3 –7y

2xy2 x2y 1 –10y –8x –6

–6 y2 8x y4 –y2 +6

5x 0 –5x –8 x2 y2

–7y –14y 6x 7y 5x y3

1 –1y 0 4xy 1 x

I. En tu cuaderno, reduce los siguientes términos semejantes:

a) (–4z2) + (+6yx) + (–10xy) + (20z)

b) (10x3) + (–100x3) + y + (–8y)

c) (3ab) + (–8ba) + 3a

d) (6x) + (10y) + 4z + (–10y)

e) (5m) + –4n + (–12m) + 4n

II. Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y halla las respuestas en la "sopa algebraica":

a) (–3x) + (–2x) + (3y) + (–10y)

b) (6xy2) + (–4xy2) + x2y + 1

c) (6y2) + 4y2 + (–12y2) + y2 – 6

d) 4xy + –3x + 8x + 3y2 – 2y2

e) 80x + –60y + –72x + 50y – 3

1. Halla la suma de coeficientes de la siguiente expresión (después de reducirla):

(–4x2) + (5xy) + (–12x2) + (–6xy) + y


Desafío

Reducción de términos semejantes con coeficiente fraccionario

ObSERvACIóN:

Para reducir términos semejantes con coeficiente fraccionario tenemos que recordar cómo resolver las operaciones básicas con fracciones.

ADICIóN y SUSTRACCIóN DE fRACCIONES

A. Fracciones homogéneas

• 1 12

+ 2 32

= 32

+ 72

= 102

= 5

• 75

– 25

= 55

= 1

B. Fracciones heterogéneas

MÉTODO 1 MÉTODO 2 MÉTODO 3

• 34

45

+

3.5 + 4.44.5

15 + 16

20

3120

• 34

+ 45

3.54.5

+ 4.45.4

1520

+ 1620

3120

• 34

+ 45

5.3 + 4.420

15 + 16

20

3120

4 – 5 2

2 – 5 2

1 – 5 5

1 – 1

MCM (4;5) = 22.5

MCM (4;5) = 20

Estos tres métodos estudiados, también te ayudarán a resolver

las fracciones heterogéneas.

• 34

• 16

= 3.14.6

2

= 18

• 76

÷ 1412

= 1

1

76

• 2

2

1214

= 11

• 22

= 1

• 72

• 32

= 7x32x2

= 214

• 13

÷ 49

=

1349

= 1 • 93 • 4

3

= 34

• Resuelve los siguientes ejercicios:

1.

1 2 13 1 2 13 4x2 3 13 8x x x – 4x x – x x – x

4 4 2 4 4 2 1x2 4 2 2 + + = + + = + =

3 5 3 5 3 5 3 5x2 3 10 13x x x x x x x

4 2 4 2 4 2 4 2x2 4 4 4 + = + = + = + = + =

2.

1 1 1 1x x x – x

2 3 2 3 + +

3.

3 1 2 3y y y – y

5 3 3 5 + +

4.

2 2 2 2 2 2 27 9 9.1 7 9 9 7 9 2 9 2 91– . x – . x – . x . x . x 1.x x

9 7 9.1 9 2 9 9 2 9 2 9 2 = = = = = =

Recuerda como se resuelven las operaciones de multiplicación y división de fracciones:


5.

2 1 1 7. b

5 3 2 30 + ÷

6.

1 3 13 m – 2 m 5 m

3 4 4 +

7. 1 4 9 1 2 1

a – – a3 3 5 2 4 4

+ ÷

8.

1 1 5n n n

2 3 6 + ÷

9.

3 5a 4a

4 4 + +

10.

3 2 10m m . m

5 10 8 +

¡Arma y pega aquí tu algexágono!

1. En la siguiente página encontrarás las piezas para armar la figura.

132

a42

2

2

2

2

32

x2

xx

–

x

53

47

+

+

2. Reduce las siguientes operaciones y arma el correctamente el exágono.

t5t

3t5t

2t–

2t–

–

27

47

++

2

307 x

420

11

13 a –

aa

72

3

+

21x

2

218

4–

x

55

÷

2

y

2

1111 ..t 42324

÷

15t 4

2

12

2–

.y

23

2

t

Resuelve:

1.

1 1 n nn n – –

3 6 3 6 +

2.

x 3x x 5x–

2 10 2 10 + +

3.

42 3 3 3y

3 9 5 7 ÷ ÷ ÷

4.

1 2 3 43 x – 2 x 4 x – 3 x

5 5 5 5 +

5.

21 1 1 1y

2 3 3 4 + +

6.

21 1 1m

7 5 3 + ÷

7.

1 1 p pp p – –

4 3 3 4 +

8.

2 1 1m

9 7 2 + ÷

Reduce la siguiente expresión algebraica:

( )4 41 5 4 1 2 11– x – –4 3 – 5 x – x – –6 x

4 8 5 5 3 2 = ÷ + + +

∈E


Desafío

Repaso

RECUERDA:

a) (+8) + (+12) = +20 b) (–6) + (–9) = –15

c) (–24) + (+15) = –9 d) (32) + (–10) = 22

Reducción de términos semejantes con coeficiente entero

Reduce los siguientes términos semejantes:

1. (150x – 5x) – 14x + (9x – 6x + 3x)

2. [30 ÷ (15 – 6) ÷ 3 + (18 – 3) ÷ 5]m

3. (7a + 9a + 4a) + 25a – 3a

4. [(30 – 20) ÷ 2]y + [(6 + 5) + 3 + (40 – 15)] ÷ (9 – 6)y

5. 500p – 6p + [(14p – 6p) – (7p – 2p) + (4p – p)]

6. 60y + [(4y + 2y) – 5y]

7. (55 ÷ 11)m + (66 ÷ 11)m + (77 ÷ 11 – 11)m

8. [(30 – 20) ÷ 2]a + [(6 × 5) ÷ 3]a + [(40 – 25) ÷ (9 – 6)]a

9. (15 + (8 – 3) – 7] ÷ [(8 – 2) ÷ 3 + 11]x

10. [a + b + (2a – 3b)] + [5b – 4a – (3b – 7a)]


Reducción de términos semejantes con coeficiente fraccionario


1.

9 3 6 2x x x – x

4 4 4 4 + +

2.

32 8 1 3m m – 2 – m

7 7 7 7 +

3.

18 7 1 3a – a 3 – 2

7 5 5 5 +

4.

2 3 1 15 x – 3 x 3 2

9 9 9 9 ÷ +

5.

6 30 412 y – y 2

7 7 7 +

6.

1 1 1 1m – m m m

4 5 5 4 + +

7.

1 1 1 1x x – x – m

5 6 5 6 +

8.

2 1 1a

9 7 2 + ÷

9.

1 1 1 1 1 1y – y y – y y – y

2 5 2 4 2 3 + +

10.

7 1 12 x x

3 3 2 + +

RECUERDA:

a)

8 3 8 3 1115 15 15 15

++ = = b)

6 5 42 15 573 7 21 21

++ = =



1. –4y3 – [2y3 + y3 + (3y3 – 4y3)]

2. 4a + (7a – a + 5a)

3. -3z – –2x + 8z + [8x – 5m + 9z] – 15x

4. +10x – 20x + [3x5 – 10x + 3x5] – 6x5 + 20x

5. 10a2 – 3a + 1 – (5a2 – a – 4) – 5a2 – 1 + a2 – [(6a2 – a + 1]

6.

3 3 3 31 8 6 10x x x – x

12 12 12 12+ +

7.

4 2 3x – x 2 x

5 5 5 +

8.

2 3 1 24 a a 8 a a

7 7 7 7 + + +

9.

3 2 2x

2 6 3 + ÷

10.

1 2 2 17 4 5 – 2 m

2 3 4 3 + ÷

1. En la siguiente expresión se tienen tres términos semejantes: 5xa+b+ 3x3 – 7xb+1

al reducir a un solo término se obtiene: _____

2. Une los puntos: De un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz o bolígrafo, une 9 puntos como los de la figura con 4 líneas rectas.


Desafío

Propiedades de la potenciación I

DEfINICIóN

am = a . a . a . . . a ; m ≥ 1; m ∈ N"m" factores

El resultado: am se denomina potencia, en donde:

a = base

m = exponente

Ejemplos:

a) 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243 b) 43 = 4 . 4 . 4 = 64

c) 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 d) 63 = _______________________

e) 53 = _______________________ f ) 104 = _______________________

Expresa simbólicamente los siguientes enunciados:

• Seis elevado al cuadrado: ___________________

• Ocho elevado al cuadrado: ___________________

• "x" elevado al cuadrado: ___________________

• Cuatro elevado al cubo: ___________________

• Cinco elevado al cubo: ___________________

• Nueve elevado al cubo: ___________________

• Tres elevado a la cinco: ___________________

• Cinco elevado a la seis: ___________________

• "x" elevado a la cuatro: ___________________

La potenciación es una multiplicación de un mismo número, una cantidad limitada de veces.

EXpONENTE NUlO

a0 = 1 ; ∀ a ≠ 0

Ejemplos:

* (5x)0 = 1 * (1023x4)0 = ____________

*

( )02 2a 1= *

( )04x = ____________

*

038

x 19

=

* (259y5)0 = ____________

pRODUCTO DE pOTENCIAS DE IgUAl bASE

am . an = am+n

Ejemplos:

* 43 . 42 = 45 * a4 . a3 . a = _________

* x9 . x3 = x12 * p4 . p5 . p6 = _________

* m6 . m7 . m2 = m15 * z5 . z5 . z4 = _________

* y4 . y7 . y3 = _________ * b3 . b10 . b . b5 = _________

DIvISIóN DE pOTENCIAS DE IgUAl bASE

am

am = am–n ; a ≠ 0

Ejemplos:

*

82

6

77

7= *

16

12

a___________________

a=

*

133

10

mm

m= *

5

4

x___________________

x=

* 6

24

yy

y= *

9

3

b___________________

b=

1. Resuelve los siguientes ejercicios:

a)

( ) ( ) ( )0 0 0

4 3x 7x – 3m 4+ + b)

( ) ( ) ( )0 0 05M y 8a 12x= + +

c)

( ) ( )0

007P x 2x – 4x

3 = +

d)

( ) ( )0

0 04 3 1R 79x – 5m x

2 = +

2. Reduce:

8 4 3

2

m .m .mG

m .m=

3. Expresa como potencia cada caso:

a) 18 factores

G m.m.m...m= = b) 20 factores

G a.a.a.a...a= =

4. Efectúa adecuadamente en tu cuaderno cada caso:

A =

( ) ( ) ( )005 4y 2y y .y – 3y + +

( ) ( )07 3 43M 125a 2a a .a= + +

9 65

10

x .xO 9x –

x=

7 4 6 12 5 3

2 3 8

m .m .m m .m .mR

m .m m= +


5. Expresa como potencia:

a)

( ) ( ) ( )( )

4 3 2

2

5m . 5m . 5m

5m b)

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

7 4 8

8 7

2a . 2a 2b . 2b . 2b

2a 2b+

1. Reduce:

a)

( ) ( ) ( )000 47x 2x – 16x+ b)

( ) ( )004 52y 3m 16a

9 + +

2. Expresa como potencia cada caso:

a) 25 factores

x.x.x....x b) 13 factores

b.b.b.b....b

3. Efectúa adecuadamente en tu cuaderno cada caso:

a) ( ) ( )08 5 3B m 2m – m . m = +

b) 6 8 9 9 3 2

5 7 5 6

y .y .y x .x .xI

y .y x .x= +

c) ( ) ( ) ( )( ) ( )

26 8

5

3m . 3m . 3mE

3m . 3m=

d)

( ) ( ) ( )( ) ( )

7 4 3

5 2

9a . 5a . 5aN

5a . 5a=

4. Resuelve:

a)

9 4 5 7

12

x .x .x xx x

+ b) 3 9 5 8 7 6

3 5

y .y .y .y y .y .yy y .y

+


Propiedades de la potenciación II

pOTENCIA DE UN pRODUCTO

Su regla de correspondencia es:

(ab)n= an.bn

• (7.8)2 = 72.82 • (5.9)3 =

• (x.y)2 = x2.y2 • (x.z)3 =

• (3.z)3 = 33.z3 • (2.x.y)2 =

pOTENCIA DE UNA DIvISIóN


aa

an

an

n

=

•

2 2

2

2 23 3

=

•

357

=

• 3 3

3

x xy y

=

• 2

zy

=

•

2 2

2

x x8 8

=

•

310x

=

¡Ahora, hazlo tú!

¡Ahora, hazlo tú!

SAbíAS qUE...

Las propiedades de la potencia son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia.

pOTENCIA DE pOTENCIA


(am)n= am.n

1. Simplifica las siguientes expresiones:

a) (2.3)2x – 42x c) –3(z3y2)3 – 10z9y6

b) 18(x3y2)2 + 3x6y4 d) (3.x.y)3 – (4xy)3


a)

2 2 22 3 1

x x – x4 4 4

+

c)

3 3 31 3 x

x x –2 2 2

+

b)

2 23x 2x 5x – x

x x+ +

d)

3 26 36a b

3a b2ab

+


• (52)3 = 52.3 = 56 • (72)3 =

• (x2)3 = x2.3 = x6 • (y4)2 =

• ((y3)2)4 = y3.2.4 = y24 • ((x2)3)5 =

también:

•

( )22 3 2.2 3.2 4 6x .y x .y x .y= = •

( )22 3 2a .b .c =

•

23 3.2 6

2 2.2 4

x x xz z z

= =

•

25

3

ab

=

¡Ahora, hazlo tú!


a) 3(x2)3 – 9(x3)2 + 3x6 b) 8 – ((x0)2)10 – 6((x2)5)0

c) 180(x6)2 – 150(x3)4 – 6x12 d)

2 23 3

3 2 3

3.x x2 .3 2 .3

+

4. Colorea todas las fichas de modo que cada grupo tenga el mismo valor, usa diferente color para cada grupo.

Simplifica las siguientes expresiones:

a) (4.2)2x – 10x b) –5(a3b3)3 – 6a9b9

c) 6(x2y)2 + 7x4y2 d) (7.x.z)2 – 40(xz)2

e)

2 2 21x 7x 5x

–3 3 3

+

f )

3 3 33x 2x x

–5 5 5

+

g)

2 27x – 3x 2x 5x

– –x x

+

h) 5 4

6 42 2

125a b– 20a b

5a b

i) (2x2)3 – 3(x3)2 + x6 j) 510((x3)3)0 – 220(((x4)5)0)6 – 5x0

k) 15(x3)4 – 3(x6)2 – 17x12 l)

326 6x 3x

–12x – x4 4

+

2 . x x3 x . x

2 x

1

x dividido por x

2x –x

x . 1

x

x . 0

x + 2

x + 1

x . 2

x ÷ x

x – x

0x / xx + x


El número desconocido

Sigue la clave:

– cifra en su lugar.

– cifra descolocada.

– cifra que no es del número desconocido.

• Averigua el número desconocido:

9

8

0

3

7

8

8

4

5

• El número desconocido es:

Desafío

Repaso 1. En cada uno de los siguientes casos, encuentra el valor de "a", si se sabe que son

semejantes al primer término de cada lista.

a)

25 2a 1 a 13x ;–3x ;180x+ + b)

a3 9 a 2 –5–7x ;x ;x÷

2. Reduce los siguientes términos semejantes:

a) –x0 + 2x0 – 8 + 5 d) 2x2y3 + 5x2y3 – 10x2y3

b) +10x – 20x – 3x + 5x e) +10xy2 – 20xy2 – 3xy2

c) –16x2 + 7x2 – 2x2 + 6x2 f ) –3z + 5z – 8z – 2z

3. Reduce:

a)

1 3 5x x x

2 2 2+ + d)

1 1y – y

2 8

b) 2

2 23 1 xx x –

5 5 5+ e)

1 1z – z

3 4

c)

3 3 37 4 5x – x x

3 3 3+ f )

2 27 1x x

8 4+

4. Simplifica:

a) – 3x + 6x – [–2x + 5] d) +[–13x2 + 5y – 2x2] – [x2 + 3y – 7x2]

b) ––3y + 5x – (–8y + 5x) – y e) ––8a2 + 3b + 5a2 – 3b – –a2 – b

c) –(4z + 5x) + (3z + 10x) f ) ––4 + [5x – 6 + (–2 + 7x + 8x)]


a) –8(a2b2)3 – 3(a3b3)2 c)

2 21 3x

x4 4

+

b) (5.x.y)2 – (10.x.y)2 d) 18 + 3((x2)3)0 – 5

Problemita de ajedrez y matemática

El ajedrez es un juego muy antiguo. A lo largo de la historia los jugadores de ajedrez han ido inventándose distintos problemas que, además de ser divertidos, nos ayudan a entender mejor el juego.

¡OjAlá lOS DISfRUTES!

Una torre se mueve en el tablero de ajedrez siguiendo la fila o la columna en la que está.

Para que sea más fácil expresar el problemita, llamaremos a las casillas del tablero de la siguiente manera:

1

HGFEDCBA

2

3

4

5

6

7

8

Así por ejemplo, esta torre está en la casilla D5.

¿Es posible que una torre recorra todo el tablero de ajedrez pasando una sola vez por cada casilla, empezando en la casilla A1 y terminando en la casilla H1?

Desafío

glOSARIO

- IN : Símbolo que representa al Conjunto de Números Naturales.

- ZZ : Símbolo que representa al Conjunto de Números Enteros.

- Coeficiente : Elemento incluido en la parte numérica de una expresión algebraica. (número)

- Variable : Letra del abecedario escrita en minúscula, que puede tomar varios valores.

- Exponente : Número de veces en que se va a repetir la base (número o variable).

- Monomio : Expresión algebraica de un solo término.

- Polinomio : Expresión algebraica de 2 o más términos.

- Numerador : Partes que se toma de la unidad.

- Denominador : Partes en que se divide la unidad.

- Fracciones Homogéneas : Aquellas que tienen igual denominador.

- Fracciones Heterogéneas : Aquellas que tiene diferente denominador.

- Factores : Elementos de la multiplicación.

- Potencia : Es el resultado de multiplicar la base tantas veces como indica el exponente.

Álgebra6to grado – II Bimestre

y = x2 + ... + x3y = x2 + ... + x3

Álgebra – 6to. grado 53

ÍndiceÍndice

Pág

l Radicación 75

l Operaciones Combinadas 79

l Monomios: Grado relativo y absoluto 83

l Adición y sustracción algebraica de monomios 87

l Polinomios: Grado relativo y absoluto – Homogeneidad 93

l Valor numérico de un polinomio 99

l Adición de polinomios con coeficiente entero 105

l Adición de polinomios con coeficiente fraccionario 111

l Repaso 115

RadicaciónRaíz enésima de un número

Dados un número real "a" y un número natural "n", se llama raíz enésima del número "a", al número "x" tal que elevado a la potencia enésima dé por resultado "a".

∴ n a =× si:

n a× = ; n ≥ 2

de donde:

a = base o radicando

n = índice

× = raíz (número real)

= operador radical

81 = 34 raíz

índice

radicandooperador matemático radical

La raíz cuarta de 81 es 3, ya que: 34 = 81.

Ejemplos:

*

3125 = 5 → 53 = 125

*

3 27 = 3 → debido a que: 33 = 27

*

416 = 2 → debido a que: 24 = 16

*

5 32 = 2 → debido a que: 25 = 32

* 10 1 024 = 2 → debido a que: 210 = 1 024

* 196 = 14 → debido a que: 142 = 196

2


9 → raíz cuadrada de 9 = _________

3 512 → raíz cúbica de 512 = _________

5 3 125 → raíz quinta de 3 125 = _________

PROPIEDADES

1. Raíz de un producto: 2. Raíz de un cociente:

n AB =

n A .

n B

n AB

=

n

nA

B

• ( )( )3 8 27 = 3 8 .

3 27

= 2.3

= 6

• 4 256

16 =

4

4256

16 =

42

= 2

Exponente fraccionario:

mn× = n m× , m ∧ n ∈ IN, n ≥ 2

• 34× = 4 3× •

138 = 3 18 =

3 8 = 2

• 1216 = 16 = 4 • 50 1003 =

100503 =

23 = 9

1216 = 16 = 4

⇒ "Si en el índice del operador radical no aparece ningún número, se sobreentiende que es el dos (2). Es decir: raíz cuadrada".

2


Observación:

n n× = ×

• 24 = 4 •

3 35 = 5 • 15 153 = 3

1. Halla cada una de las raíces.

16 = 100 =

5 32 =

4 =

3 64 = 3 32 =

9 =

3 8 = 5 55 =

25 =

3125 = ( )( )4 16 81 =

36 =

31 = ( )( )81 121 =

49 =

3 216 = ( )( )3 8 64 =

81 =

416 = ( )( )16 64 =

1 =

4 625 =

301 =

2. Representa cada raíz, usando el exponente fraccionario:

3 54 =

72 =

30 3× =

5 7× =

3. Representa cada expresión mediante radicales:

172 =

253 =

195 =

377 =


2


Reduce cada una de las siguientes expresiones:

1. A = 225 + 196 + 169 2. B = 4 + 16 + 81 – 121

3. C =

6 64 + 121 – 100 4. D = 36 64 100

196 – 144

+ +

5. E = 64 +

3 64 +

6 64 6. F = 4 81 +

5 32

7. G = 25 +

3 33 + 7 72 8. H =

3 3

3 5125 27

64 – 32

+

9. I = 3 6 5 36+ + 10. J = 32 47 100

30 46 975 6 3

–5 6 3

+

• Desafío final:

Simplifica:

A =

13 2 25 532 –32

4. Reduce:

A = 16 + 25 + 36

B =

3125 +

3 64 +

5 32

C =

3 8 +

7 1 + 64

D = 121– 16

4 9+

E = 5 6 4

10032 64 81

9 25 – 1

+ +

+

F = 5 16+

G = 30 602 + 40 1203 + 50 1004


Operaciones combinadas

POTENCIACIÓN – RADICACIÓN

Para poder realizar en forma correcta los ejercicios de este capítulo, debemos tener muy en cuenta las reglas de las operaciones combinadas. Recordando que la potenciación es una multiplicación y la radicación es su operación inversa; por lo tanto, poseen la misma jerarquía.

Hay que respetar las siguientes reglas:

1º Se desarrollan las multiplicaciones, divisiones, radicales y potencias si estos son directos para su aplicación.

2º Recuerda, los radicales se aplican sobre un número. Por lo que "primero" hay que reducir el radicando.

3º Luego, se reducen las sumas y restas, respetando los signos.

4º Si existiesen paréntesis y/o corchetes, se reducen desde las operaciones más internos hacia las más externas.

5º Si no existiesen signos de agrupación se desarrolla de izquierda a derecha.

Ejemplo:

⇒ E = 53 7 273 – 121

4 281 14 2

+ +

+ ÷

E = 5

27–114 4

9 7

+ + +

E =

5516

8 1 816 + = +

E = 1 8 9 3+ = =

2


Reduce en tu cuaderno cada caso:

1. A =

3 23 9 +

2 210 –8

2. B = 2 212 5+ +

2 310 –4

3. C =

2 224 7+ –

23

4. D =

3 23 –4 25+

5. E =

3 4 5 53 47 6 3+ +

6. F = 3 2

25 –10

2 – 9 +

32

7. G = ( )433 729 –2 +

( )01 121

8. H = 22 4625 4 22 3+ + +

9. I =

2 26 8+ +

2 23 4+

10. J =

2 3 4 12 2 2 2 6+ + + +


2


Reduce cada una de las siguientes expresiones:

1. A =

4 32 4 +

2 210 –6

2. B =

2 24 3+ +

2 210 –8

3. C =

2 212 5+ –

23

4. D =

73 43 475 7 4+ +

5. E =

( )30 5 030 530 5 10 000+ +

6. F = 41 32 8

40 31 75 7 3

–5 7 3

+

7. G = 27

423

5

5 +

164

122

2 +

144

103

3

8. H =

2 2 2

33 4 0

8 64

+ +

+

9. I = 3 2 22 4 5

38 121

+ ++

10. J =

0 03121 125 2 006 6 6 1+ + + + +


2


Simplifica:

A =

480 veces

12 12 12 12

3 3 3 3

30 veces

a. a. a... a

a. a. a... a

Desafío

Monomios: Grado relativo y absoluto 1. MONOMIOS

Un monomio es un polinomio de un solo término, donde los exponentes de sus variables son números naturales.

Ejemplo:

12x7y3 ; –3x4z ;

34

x8y2

2. GRADOS DE UN MONOMIO

Cuando el monomio presenta dos o más variables, se consideran dos grados, que son:

a. Grado absoluto (GA)

Cuando se refiere a todas las variables y está dada por la suma de los exponentes de las variables.

b. Grado relativo (GR)

Cuando se refiere a una sola variable y está dado por el exponente de la variable indicada.

Ejemplo:

En: M(x;y) = 2x8y5 En: P(x;y;z) = 3ax4y6z9

GA = 8 + 5 = 13 GA = 4 + 6 + 9 = 19

GR(x) = 8 GR(x) = 4

GR(y) = 5 GR(y) = 6

GR(z) = 9

En: F(x;y) = –5x10y6 En: R(x;y;z) = 2a4xy3z6

GA = 10 + 6 = 16 GA = 1 + 3 + 6 = 10

GR(x) = 10 GR(x) = 1

GR(y) = 6 GR(y) = 3

GR(z) = 6

2


Observación: Si el monomio presenta una sola variable el grado absoluto y el grado relativo son iguales.

M(x) = 3x8 P(x) = –12x5

GA = 8 GA = 5

GR(x) = 8 GR(x) = 5

1. D a d o s l o s s i g u i e n t e s m o n o m i o s , determina el valor pedido:

a. M(x) = 3x7 GA = ______

b. P(x;y) = –4x3y6 GA = ______

c. Q(x;y) =

32

x8y4 GA = ______

d. J(x;y;z) = 15x2y8z3 GA = ______

2. D a d o s l o s s i g u i e n t e s m o n o m i o s , determina el valor pedido:

a. M(x) = 13x5 GR(x) = ______

b. P(x;y) = –4x2y7 GR(x) = ______

GR(y) = ______

c. R(x;y) = 2x3(y4)2 GR(x) = ______

GR(y) = ______

3. Para el siguiente monomio:

Q(x;y) = –5x3a+1y2a+1

se sabe que GR(y) = 11, determina el valor de "a".

Rpta.: ________

4. Halla "a" si el G.A. en:

P(x;y) = 7xa+3 y7

es 16

Rpta.: ________


A(x;y) = xa+1ya–1

halla "a" si el GA = 12

Rpta.: ________

6. Si en el siguiente monomio:

P(a;b) = 5anb3n

halla "n" si el GA = 20

Rpta.: ________


P(a;b) = 2a5bn+3

se sabe que GA = 12, calcula GR(b)

Rpta.: ________


Q(x;y) = xnyn+5

se cumple que: GA = 9, calcula GR(x)

Rpta.: ________


2



Q(x;y) = 2xa+1yb+6

se cumple que: GR(x) = 5; GR(y) = 8, calcula "a.b".

Rpta.: ________

10. Calcula el grado absoluto del siguiente monomio:

M(x;y) =

23

x10–m ym+2

Rpta.: ________

1. Dados los siguientes monomios, determina el valor pedido:

a) M(x) = –5x9 GA = ___________________________

b) P(x,y) = 7x9y10 GA = ___________________________

c) Q(x,y) = 8x2y3z9 GA = ___________________________

d) R(x,y,z) =

74

x8y5z4 GA = ___________________________

2. Dados los siguientes monomios, determina el valor pedido:

a) M(x) = –3x10 GR(x) = ___________________________

b) P(x,y) = –7x8y7 GR(x) = ___________________________

c) Q(x,y) =

83

x9y3z4 GR(x) = ___________________________

GR(y) = ___________________________

GR(z) = ___________________________

d) R (x,y,z) = 3x3(y4)2z GR(x) = ___________________________

GR(y) = ___________________________

GR(z) = ___________________________


2



P(a;b) = 5a2n+1bn

se sabe que: GA = 10, calcula: GR(b)

Rpta.: ________

4. Si: GR(y) = 5, determina el GA de M(x;y), si: M(x;y) = 2axa+6ya

Rpta.: ________

5. Si: GR(x) = 30, determina el GA de P(x;y), si: P(x;y) = x3aya+1

Rpta.: ________

6. Halla el grado del siguiente monomio:

M(x;y;z) = (x2y3)5z2

Rpta.: ________


P(x;y) = 2xn+1y4n+1

s e c u m p l e q u e : G A = 1 2 . Ca l c u l a GR(x).

Rpta.: ________

8. Si: GR(z) = 4, determina el GA de M(x;y;z), si:

M(x;y;z) = –7xa+2y2az3a+1

Rpta.: ________

9. Si: GR(x) = m + 2, determina el GA de

M(x;y), si:

M(x;y) = 2008x16ym–10

Rpta.: ________

10. Si: GR(y) = n + 5, determina el GA de

M(x;y), si:

M(x;y) = 2a4xn+5ya

Rpta.: ________

Halla el grado absoluto:

A(x,y) = 3 4 2 35 287x y x y

Desafío

* ADICIÓN DE MONOMIOS

Para sumar dos o más monomios se escribe uno a continuación de otro, con sus respectivos signos, luego se reducen términos semejantes.

Ejemplo:

1. Suma: 3a ; 8b y c 2. Suma: 9a y –5b

3a = +3a ; 8b = +8b ; c = +1c 9a = +9a ; –5b = –5b

La suma será: 3a + 8b + c La suma será: 9a –5b

Adición y sustracciónalgebraica de monomios

1. Suma: 6x; 2y; 3x 2. Suma: 5y; –4b; b; y

* SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS

Para restar dos monomios, primero se escribe el monomio minuendo con su respectivo signo y a continuación se escribe el monomio sustraendo, con el signo cambiado o inverso. Si son semejantes se reducen.

Ejemplo:

1. Resta: 5x3 de 25x3 2. Resta: 12x2y – (5x2y)

25x3 – 5x3 12x2y – 5x2y

20x3 7x2y

3. Resta: –4b de –10b

–10b – (–4b)

–10b + 4b

–6b


2


1. Resta: 6xy de 32xy 2. 3pq2 – (10pq2)

3. Resta: –y de –21y

1. Suma los monomios: 8m; +5n; 8n; +10m; y

2. Suma: Q(x) + M(x) + N(x), si:

Q(x) = –5x2

M(x) = 6x2

N(x) = 10x2

3. Suma los monomios:

E(x) = x2 + 2x2 + 3x2 + 4x2 + ... + 30x2

4. Resta:

3x de –12x

5. De 5p restarle –5p

6. Resta 12a de 31a

7. Efectúa:

–12xy2 – (15xy2)

8. Si: A(x;y) = 5xy4

B(x;y) = –12xy4

C(x;y) = –7xy4

D(x;y) = +3xy4



2


Halla el valor de :

a) N = A(x;y) + B(x;y)

b) M = A(x;y) + D(x;y) – C(x;y)

c) P = D(x;y) + C(x;y) + A(x;y)

d) Q = D(x;y) – B(x;y) – C(x;y) – A(x;y)

9. Interpreta y efectúa correctamente:

a) Adicionar 8 veces "x" con 12 veces "x".

b) El número de pollos en una granja es de 12x2. Si se venden 2x2, se regalan 3x2 y

se mueren x2, ¿cuántos pollos quedan aún?

10. Recorta las fichas del dominó polinómico, resuelve y pega en tu cuaderno.

1

3

5

2

4

6

12x3

–53x3

–5x2y3

30x3

23xy3

12y + 10x

5x 3xy3

5x3

8xy3

12xy36y

Halla el perímetro: Halla el perímetro:

Suma M(x;y) = 5x2y3

con N(x;y) = –10x2y3

Quita el triple de "x" al cubo a 15 veces "x" al cubo.

Halla su perímetro si es un hexágono regular:

Resta +33x3 de –20x3

2


1. Halla el polinomio: P(x;y) + Q (x;y) + R (x;y) + S (x;y)

Si:

P(x;y) = x3y

Q(x;y) = 5x3y

R(x;y) = –10x2y

S(x;y) = 30x2y

2. Suma:

x1 008 + 2x1 008 + 3x1 008 + ... + 41x1 008

3. Interpreta y efectúa:

a) Adiciona 8 veces "x" a la cuarta a 301 veces "x" a la cuarta.

b) Aumenta a 15 veces "p" al cubo, 6 veces al cubo y el triple de "p" al cubo.

c) A 15x2y3 agrégale –6x2y3 con 2b.

Desafío A

2


Monograma • Resuelve y completa el monograma:

Horizontal Vertical

1. 5x2 – 10x2 + 2x2 1. –12y + 9y

2. 52xy2 + 10xy2 – 20xy2 2. Adiciona a 7m3; 8m3

4. 6xyz – 13xyz 3. Aumenta a 7xyz; 10xyz

5. Halla el perímetro de: mx

3mx

y quítale –6xyz.

4. Quítale 10 veces "x" al cubo a tres 6. –12x2n + 7x2n veces "x" al cubo.

7. –7xn – (–3xn) 5. 22xn + 32xn – 5nx

8. 21x2y – (–12x2y) 6. –6x2 + 7x2 + 2x2

1 2 3

4

5

8

6 7

Desafío B

• Halla lo que se requiere conocer de cada figura plana:

4y

8n

Perímetro Área

_____________ _____________

4y 4y

6x

2x Perímetro Área

_____________ _____________

Perímetro total Área total

A partir de los ejemplos anteriores, podemos observar que hemos hallado algunas expresiones algebraicas, como por ejemplo:

a) 16n + 8y Tiene 2 términos: _______ y _______.

b) 16n + 16y + 6x Tiene ___ términos: _______, _______ y _______.

c) 32yn + 36x2 Tiene ___ términos: _______ y _______.

d) 32yn Tiene ___ término: _______.

e) 36x2 Tiene ___ término: _______.

Recuerda: Una expresión algebraica con un término se llama MONOMIO.

Ejemplo:

a) 32yn c) ________

b) 36x2 d) ________

POLINOMIO:

Un polinomio es una expresión algebraica con dos o más términos algebraicos, cuyos exponentes de sus variables son números enteros positivos incluido el cero.

Ejemplo:

a) 16n + 8y d) ____________ 3 términos.

b) 16n +16y + 6x e) ____________ 4 términos.

c) 32yn + 36x2 f ) ____________ 2 términos.

Recuerda:

a

b

Área = a.b

Perímetro = 2a + 2b

a b

d

c

Área =

d .c2

Perímetro = a + b + d

Polinomios: Grado relativoy absoluto - Homogeneidad

2


Grados de un polinomio:

a) Grado Relativo:

Está dado por el mayor exponente de cada una de las variables del polinomio.

b) Grado Absoluto:

Está dado por el mayor grado absoluto de un término del polinomio.

Ejemplo:

a) Dado el siguiente polinomio:

P(x;y) =

1er término

2 36x y

+

2do término

2 412x y

GA = 2+3=5 2+4=6

Exponentes de la variable "x"=2 y 2

GR(x) = 2

Exponentes de la variable "y"=3 y 4

GR(y) = 4

El mayor GA es del segundo término:

GA= 6

b) Dado el polinomio:

P(x,y,z) =

1er término

21 3–6x yz

+

2do término

3 26xz y

–

3er término

10 313x y z

GA = 21+1+3=25 1+3+2=6 10+3+1=14

Exponentes de la variable "x"=21; 1; 10

GR(x) = 21

Exponentes de la variable "y"=1; 2; 3

GR(y) = 3

Exponentes de la variable "z"=3; 3; 1

GR(z) = 3

El mayor GA es del primer término:

GA = 25

c) Dado el siguiente polinomio, completa:

P(m,n) = 2–13m n

– 3 42n m

+ 10 640m n

GA = __+__=__ __+__=__ __+__=__

2


Exponentes de la variable "m"= __ , __ y __.

GR(m) = ___

Exponentes de la variable "n"= __ , __ y __.

GR(n) = ___

El mayor GA es del __ término.

GA = ___

Polinomio Homogéneo

Es aquel polinomio cuyos términos están constituidos por uno o más variables y cada término tiene el mismo grado absoluto.

Ejemplo:

a) Dado el polinomio:

P(x,y) = 8x6 + 6x2y4 – 12y6

GA = 6 2+4=6 6

El polinomio P(x,y) es homogéneo de grado "6".

b) Dado el siguiente polinomio, hallar (a + b)2, si P(x,y) es homogéneo.

P(x,y) = –6x3y2 + 3xay4 + ybx5

GA = 3+2 = 5 a+4 = 5 b+5 = 5

a = 1 b = 0

(a + b)2 = (1 + 0)2 = 1


1. Indica el grado relativo de "x" en el siguiente polinomio:

P(x;y) = x6y + 8xy3 – 12xy Rpta.: ______________

2. Indica el grado relativo de "y" en el siguiente polinomio:

P(z;y) = z3 + y12 – 8xy7z4 – 16xy6 Rpta.: ______________

3. Dado el polinomio: U(x;y;z) = 25x4y16 + 13x7y2z2 + 4xy2z5. Indicar el G.A.

Rpta.: ______________

4. Sea: Q(x;y) = a+5 –7y2b

Si: GR(x) =6, GR(y) = 12; calcular "a+ b" Rpta.: ______________

2


5. Dado el polinomio homogéneo: P(x;y) = x20y10 + x19y11 + x5ya + x4yb

Halla el valor de "a+b" Rpta.: _____________

6. Halla el GR(x) en el polinomio que tiene 2 006 términos:

A(x;y) = y + xy + xy2 + xy3 + xy4 + ... Rpta.: _____________

7. Encuentra el GA de P(x;y) = xn+4yn+5 + xn+1yn+7 ; n ∈ IN

si: GR(x) = 10 Rpta.: _____________

8. Indica la suma de coeficientes del polinomio:

Q(x;y) = axa–2yb–3 + bxa+1yb , siendo: GR(x) = 10 y GA = 16 Rpta.: _____________

9. Sea: P(x;y) = 4x2yb + 7x4y7 – 5x5y3; se sabe que: GR(y) = 11.

Determina el GA de P(x;y) Rpta.: _____________

10. Si: GR(y) = 16 en el siguiente polinomio:

R (x;y) = 3x2aya+2 + 5x10ya+9. Halla el GR(x) Rpta.: ______________

Ahora, busca las respuestas y colorea. Encontrarás una clave:

1

2

8

16

1222

625

913

26

20

17 4

5

21

1

27 23

26

13 10

19

24

11

7

5118

2007

14

3

¿Cuál es la frase? ______________________________________________________

2


¡Demuestra lo aprendido!

Resuelve los ejercicios, luego busca y pinta la frase secreta:

1. Indica el GR(p) en el siguiente polinomio:

S(p;m) = –3p6 + 2p4m7 + 5p7m2 Rpta.: ______________

2. Indica el GR(y) en:

Q(x;y) = 16x6y5 – 100x9y3 + 13xy6 Rpta.: ______________

3. En S(x;y;z) = x9 + 12x7y4 – 3z8y5 + 7x11y3z7

Indica el valor de E = GA + GR(y) + GR(z) Rpta.: ______________

4. Dado el polinomio homogéneo: D(x;y) = 4x5ya + 7x7y4 + 3xby3 – xcy2 – 4xyd

Indica el valor de "a + b + c + d" Rpta.: ______________

5. Halla "2m+n", en el polinomio:

Q(x;y) = 13 xm+2 + 9xm+1yn+2 + 2xmyn+3

Si se cumple que: GR(y) = 8; GR(x) = 4 Rpta.: ______________

6. Halla "m", si P(x) = 5mxm+1 –2xm+3 –xm+5

posee GA = 10 Rpta.: ______________

7. Si: GR(x) = 35; en: P(x) = xm+30yn + xm+25y10–n

halla el GA si el exponente de "y"es el mismo en ambos términos.

Rpta.: ______________

8. Si: P(a;b) =8 3a b5

–

13

a5b4 +

72

ab9, calcula GR(a) + GR(b)

Rpta.: ______________

9. Si: "P(x)" tiene un GA = 36, halla "m ∈ IN"

P(x) = 0,5 (x5m+3)2 + 7,2 (xm+1)3

Rpta.: ______________

10. Si el polinomio es homogéneo:

P(x;y;z) = xm+4yn+6 + xm+20z15 + xn–1z32

halla: n–m Rpta.: ______________

2


Ahora encuentra la frase secreta y coloréala.

7

6

18

119

0

9

100

11

2

5

4081

213022

38

31

44

4133

10136

Responde la pregunta:

¿Qué significado tiene para ti este año en que realizas tu promoción?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Valor numérico de un polinomioNOTACIÓN POLINÓMICA

Le llamamos a una forma abreviada de representación de polinomios. Si "x" es la única variable de un polinomio, este puede ser representado así: P(x)

Se lee: "P de x" o "P en x".

Significa: Polinomio cuya única variable es "x".

Por lo tanto:

1. M(x;y) = –2x4y5

será un monomio de variables "x" e "y".

2. P(x;y;z) = 3a2bx4y5z3

será un monomio de variables "x", "y", "z".

Nota: "a" y "b" se llaman constantes y forman parte del coeficiente del monomio.

3. P(x) = 3x4 + 2x3 – 2x2 + x – 7

será un polinomio de cinco términos, cuya variable es "x".

4. P(x;y) = –x2 + y3x4 – 7x2y7

será un polinomio de tres términos cuyas variables son "x" e "y".

VALOR NUMÉRICO (V.N.)

Se llama así al número que resulta de efectuar las operaciones indicadas en el polinomio o en cualquier expresión algebraica dada, al reemplazar valores dados a sus variables.

Ejemplo:

a. Si: P(x) = 3x2 + 1; halla P(2)

Resolución:

Como: P(x) = 3x2 + 1

entonces: P(2) = 3(2)2 + 1

P(2) = 13

2


b. Si: P(x;y) = –x2y + 3x; halla P(1;2)

Resolución:

Como: P(x;y) = –x2y + 3x

entonces: P(1;2) = –(1)2(2) + 3(1)

P(1;2) = 1

c. Si: M(x) = 7b2x3; halla: M(5)

Resolución:

Como: M(x) = 7b2x3

entonces: M(5) = 7b2(5)3

M(5) = 875b2

1. Sean los polinomios:

P(x) = 2x2 – x + 1

Q(x) = x + 3

H(x) = 2x – 3x2

halla:

a) P(2) = b) Q(–1) =

c) H(2) = d) A = P(1) + Q(1)

e) B = Q(6) – H(3)


2


2. Resuelve los siguientes ejercicios en el cuaderno:

a. Si: P(x) = 3x – 4; halla: P(0) + P(2) + P(4)

b. Si: Q(x;y) = 2xy – y2, calcula: Q(3;2)

c. Sabiendo que: M(x) = 3x2 – x + 1 y N(x) = 5x – x2 + 3, calcula: M(3) + N(4)

d. Sabiendo que: G(x;y) = 2x + xy – y2

calcula: G(0;1) + G(1;2) + G(–1; –1)

e. Dado: H(x) = 3x – (x – 2)2; halla: H(4) – H(12)

f. Para qué valor de "n" se cumple que: F(0;3) = n + G(2;5)

donde: F(x;y) = x10 + y; G(x;y) = 3x – 5y

g. Calcula el valor de:

( )P1P

E P

=

Si se conoce el polinomio: P(x) = 3x2 – x – 3

h. Calcula: M =

( ) ( )

( ) ( )

2 –1

0 1

P P

P –P

+

Sabiendo que: P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1

i. Si: F(x) = 3x3 + 2x2 – 1; calcula el valor de: F(5)

Demuestra lo aprendido 1. Sean los polinomios:

P(x) = 7x4 – 5x2 – 1

Q(x) = 3x3 + 5x

R(x) = 4x – 2

calcula:

a) P(2) = b) Q(3) =

2


c) P(1) + R(1) = d) Q(2) – R(3)

2. Si: F(x) = 5x – 3; calcula: F(3) + F(1)

3. Si: P(x;y) = x2 + 2xy –1; calcula: P(3;4)

4. Si: Q(x) = 3x2 – x – 3 calcula: Q(3;2)

5. Si se sabe que: P(x) = 2x – 3; G(x) = 3x + 2 calcula:

( ) ( )1 2P G

M + , donde M(x) = x

6. Dado: P(x) = 7x +(x + 2)2 – 6; halla: P(4) – P(2)

7. Halla P(2) + P(0); sabiendo que: P(x) = 7x2 + 5x – 10

8. Si: F(2x–5) = 3x2; halla el valor de: F(13)

9. Halla el valor numérico de: P = 3

4 51 1x y

2 3 +

para: x=–2; y=–1

10. Calcula

( )0P

"P "

; si: P(x) = x2 – x + 1

2


1. Calcula el V.N. de "E" para: x=0,4

si: E =

( ) ( )3 25x –1 5x –1 –1+

2. Criptosuma.

Cada símbolo representa un dígito diferente del 1 al 9. Se muestra el valor de la suma de los elementos de cada columna y cada fila. ¿Cuál es la suma de la diagonal que va desde la parte superior izquierda a la inferior derecha?

Ω

20

18

23

26

16 27 28 16 ?

Desafío

Adición de polinomioscon coeficiente entero

Para sumar polinomios nos limitamos a reducir términos semejantes; para esto ponemos un polinomio bajo el otro o también un polinomio a continuación del otro.

1. Suma: a + b ; 2a + 3b + 5c ; 4a – 2b + c

(a + b) + (2a + 3b + 5c) + (4a – 2b + c)

a + b + 2a + 3b + 5c + 4a – 2b + c

7a + 2b + 6c

a + b

2a + 3b + 5c

4a – 2b + c

7a + 2b + 6c

ó

2. Suma: 2x3 + 5x ; 6x3 – 2x ; x3 – x

(2x3 + 5x) + (6x3 – 2x) + (x3 – x)

2x3 + 5x + 6x3 – 2x + x3 – x

9x3 + 2x

2x3 + 5x

6x3 – 2x

x3 – x

9x3 + 2x

ó

3. Suma: 3x2 + 8x + 1 ; 2x2 – 3x + 7 ; –x2 – 2x ; 4x2 – 3

3x2 + 8x + 1

2x2 – 3x + 7

–x2 – 2x

4x2 – 3

8x2 + 3x + 5

(3x2 + 8x + 1) + (2x2 – 3x + 7) + (–x2 – 2x) + (4x2 – 3)

3x2 + 8x + 1 + 2x2 – 3x + 7 – x2 – 2x + 4x2 – 3

8x2 + 3x + 5

ó

4. Suma: 7x4 + 2x – 1 ; 3x4 + 6x + 4 y –10x4 – 8x + 2

7x4 + 2x – 1

3x4 + 6x + 4

–10x4 – 8x + 2 5

(7x4 + 2x – 1) + (3x4 + 6x + 4) + (–10x4 – 8x + 2)

7x4 + 2x – 1 + 3x4 + 6x + 4 – 10x4 – 8x + 2

5

ó

2


1. Considerando los siguientes polinomios:

A(x) = 3x2 – 5x + 2

B(x) = 4x3 + 3x2 + 2x – 5

C(x) = –4x + x3 + 3

D(x) = 2x4 + 5x2 – 7

calcula:

a) B(x) + C(x) b) A(x) + D(x)

c) B(x) + D(x) d) A(x) + C(x)

e) A(x) + B(x) + C(x) f ) B(x) + 2C(x)

g) B(x) + 2C(x) h) 2D(x) + C(x)


2


i) 2A(x) + 5B(x) j) 2C(x) + D(x) + A(x)

2. Si: A = 4a + 3b – 2c + 6d

B = 5a – 2b + c – 4d

halla: 2A + 3B

3. Dados los polinomios:

A = x2 + x + 1

B = x2 – x + 1

C = –x2 + 1

halla: A + B + 2C

4. Suma:

3a + 5b + c ; 4a + 2b – c

Rpta.: ___________________________

5. Suma:

p + q + r ; –2p – 6q + 3r ; p + 5q – 8r

Rpta.: ___________________________

2


6. Resuelve las siguientes adiciones de polinomios:

a. El resultado de sumar: 3x2 – 8x + 1 con el doble de: x2 + 4x + 2 es:

Rpta.: ___________________________

b. ¿Cuál será el resultado de sumar el triple de: a2 – 4ab – b2 con el doble de:a2 + 3ab + b2

Rpta.: ___________________________

7. Si: P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 3

Q(x) = –2x3 – 4x2 – 4x + 2

determina el valor de:

A = 2P(x) + Q(x)

Rpta.: ___________________________

8. Si: P(x) = 5 – 9x + 8x2 – 7x3 + 6x4

Q(x) = – 5x4 + 8x3 – 7x2 + 3x – 4

calcula: P(x) + Q(x)

Rpta.: ___________________________

9. Si: P(x) = x2 + x+ 5

Q(x) = 5x2 + 2x – 3

R(x) = –3x3 – 4x + 1

calcula:

2P(x) + Q(x) + R(x)

Rpta.: ___________________________

10. Si: A(x) = 2x3 – x2 + 6x – 1

B(x) = x3 + x2 + 3x – 2

C(x) = –x3 + 5x2 + 4

calcula:

3A(x) + 4B(x) + 10C(x)

Rpta.: ___________________________

2


1. Dado los polinomios:

P(x) = 7x5 + 3x3 – x2 + 1

Q(x) = 8x3 + 5x2 + 9

R(x) = 9x4 + 2x2 – 5

calcula:

a) P(x) + Q(x) b) Q(x) + R(x)

c) P(x) + R(x) d) P(x) + 2R(x)

2. Halla A + B sabiendo que:

A = 4x3 + 5x2 + x + 8

B = 3x2 + 6


A = 3x4 + 8x2 + 2x3 + x + 6

B = 6x2 – x3 + 8 + 5x4

C = 9x4 – 7x2 + 13x + 4

halla: 2a + b + 3c


2


FIGURAS ORIENTALES

• ¿Cuál de las siguientes figuras sobra en la serie?

Desafío

A B C D E

4. Suma:

10x2 – 7x4 + 6x3 + 9; 4x2 + 5x4 – 6x3 + 8; 10x3 – 4x4 + 5x2

5. Suma:

a + b + c; –2a + 2b +3p + 5c; 7a + 4p – 3c

6. Resuelve:

El doble de (3x2 + 5x + 10) más (7x2 – 6x – 2)

7. Si: P(x) = 5x5 + 2x4 + 6x + 16

Q(x) = 10x4 + 2x3 + 5x + 4

determina el valor de: A = P(x) + 2Q(x)

8. Dado los polinomios:

A = 3x4 + 2x2 + 6x3 + 8

B = 7x2 + 9x + 11 + 6x3

calcula: A + B

Función Polinominal Raíces Gráfica

f(x) = x2 + x – 12 –4 y 30–2 2 4–4

(–4;0)

f(x)

(3;0)x

5

5

10

10

15

f(x) = x3 – 4x2 + x + 6 –1; 2 y 3 0 2 4 4

(3;0)

(2;0)(–1;0)

f(x)

x

–2

–4

–6

–8

2

4

6

Adición de polinomioscon coeficiente fraccionario

Ejemplo

1. Suma: 12

x + 34

x2 + 15

x3 y 32

x – 34

x2 + 25

x3

Resolución:

Se ordena los polinomios uno debajo de otro, haciendo corresponder los monomios semejantes.

Raíces de un polinomio

Sabías que las raíces de un polinomio hace que este valga

cero. En un plano cartesiano esto lo identificaremos con las

intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X

(abscisas). Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje

horizontal tiene como abscisa la raíz del polinomio graficado.

2


1. Halla el resultado de:

a) 13

x3 + 12

x2 + 12

x b) 14

x + 23

x + 52

x2

32

x2 + 52

x 18

x + 14

x + 12

x2

2. Suma: 37

x + 58

x2 ; 14

x + 27

x2 – 38

x2

12

x + 34

x2 + 15

x3

32

x – 34

x2 + 25

x3

42

x + 24

x2 + 35

x3

También es resultado: 2x + 12

x2 + 35

x3

2. Halla P(x) + Q(x) si P(x) = 16

x + 15

x2 y Q(x) = 14

x + 23

x2

Resolución:

Se procede como en el caso anterior, ubicando cada polinomio debajo del otro.

P(x) = 16

x + 45

x2

Q(x) = 14

x + 23

x2

P(x) + Q(x) =

1 16 4

+

x +

1 25 3

+

x2 = 1024

x + 1315

x2


2


3. Suma: 35

+ 23

x + 14

x2 ; 210

– 13

x + 24

x2; 15

– 13

x + 34

x2

4. Suma: 58

x2 + 32

x + 13

; 34

x2 – 12

x – 13

5. Si: P(x) = 12

x + 34

x2 ; Q(x) = 37

x + 12

x2

R(x) = 25

+ 38

x + 15

x3 ; S(x) =14

x3 + 24

x2 + 18

x + 15

halla:

a) P(x) + Q(x) d) P(x) + R(x) + S(x)

b) P(x) + R(x) e) Q(x) + S(x)

c) R(x) + S(x)

1. Halla el resultado de:

a) 13

x3 + 13

x2 + 13

x b) 14

+ 23

x + 54

x2

23

x2 + 53

x 24

– 13

x – 34

x2

2. Suma: 26

+ 53

x ; 12

– 23

x + 14

x2

3. Suma: 19

+ 35

x + 23

x3 ; 39

+ 210

x + 12

x2 ; –29

+ 15

x

4. Suma: 23

x3 + 12

x2 + 35

x ; –35

x – 12

x2 – 23

x3

5. Si: F(x) = 58

x3 + 37

; G(x) = 34

x3 – 17

; H(x) = 25

x + 34

x2 + 27

x3 ; I(x) =12

+ 23

x2 + 14

x3


2


halla:

a) F(x) + G(x) d) F(x) + H(x) + I(x)

b) F(x) + G(x) + H(x) e) G(x) + I(x)

c) H(x) + I(x)

Desafío

Función Polinominal Raíces Gráfica

F(x)= x3 + 4x2 + 3x 0–1–2–3

(–1,0)

(–3,0)

f(x)

x

–2

–4

–6

–8

2

4

6

F(x)= x3 – 2x2 – 5x + 6 1; –2 y 3

F(x)

x

• Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que para el primer caso las raíces aparecen representadas en el gráfico y en el segundo caso se recomienda elaborar una gráfica aproximada.

Repaso

Existen polinomios con uno, dos o más términos, por ejemplo:

• Monomio (un término): 5x2

En este caso el coeficiente es 5, la variable es x; y el exponente es 2.

• Binomio (dos términos):

6x7 – 2

• Trinomio (tres términos):

3x5 + 4x3 – x2

1. Resta:

a) 3x2 de 5x2 c) –18x de 18x

b) –7x3 de –19x3 d) 180x2 de – 300x2

2. Si: A(x) = 16x ; B(x) = –15x ; C(x) = 13x

halla:

a) A(x) + B(x) + C(x) b) A (x) – B (x)

3. El siguiente polinomio es homogéneo:

P(x;y) = 3xay3 + x3yb, indica el valor de: T = a . b

Sabías que...

...un polinomio es una suma de términos llamados monomios.

Un monomio es el producto de un coeficiente (un número real), una variable (casi siempre "x "o "y") elevada a un exponente (entero positivo).

POLINOMIOS


2


1. Resta:

a) 5x2y3 de –5x2y3 c) –17x de – 200x

b) 13xy2 de 10xy2 d) –150x2 de – 150x2

2. Si: M(x) = 12x3 ; N(x) = – 36x3 ; S(x) = –9x3

halla:

a) M(x) + N(x) – S(x) b) M(x) – N(x) + S(x)

3. Dado el polinomio homogéneo:

P(x;y) = x2 – y13 + 3x10ya + 7x7yb

Halla el valor de: R = a.b

4. Si: P(x;y) = x3 – y3 , halla el valor numérico de: P(4;3) – P(6;5)

5. Si: A(x) = –7 + 8x + 3x2 ; B(x) = –16 –8x + 7x2 ; C(x) = 16x + 30x2

halla:

a) A(x) + B(x) + C(x) b) A(x) – B(x) – C(x)

6. Si: F(x) = 13

x3 + 34

x2 + 58

x ; G(x) = 13

x3 – 14

x2 – 24

x

halla:

a) F(x) + G(x) b) F(x) – G(x)

5. Calcula: L =

( ) ( )

( )

1 –1

0

P –P

P , sabiendo que: P(x) = x2 + 2x + 1

6. Si: F(x) = 5x3 + 3x2 – 4x + 1; G(x) = –7x2 + 2x – 3 ; H(x) = 18 + 3x3

halla:

a) F(x) + G(x) b) F(x) + G(x) +H(x)

7. Si: M(x) = 12

+ 32

x + 15

x2 ; N(x) = 13

+ 45

x2 ; P(x) = 34

+ 14

x + 35

x2

halla:

a) M(x) + N(x) b) M(x) + N(x) + P(x)


2


El grado de un polinomio es igual al exponente mayor de la variable. Por ejemplo:

5x2 Es un polinomio de grado 2

6x7 – 2 Es de grado 7

3x5 + 4x3 – x2 Es de grado 5

2x4 – x3 – x2 ¿De qué grado es?

2x4 + 4x2 – 19x ¿De qué grado es?

3x15 + x13 – x2 ¿De qué grado es?

13 ¿De qué grado es?

Desafío

2


Álgebra6to grado – III Bimestre

y = x2 + ... + x3y = x2 + ... + x3

2


ÍndiceÍndice

Pág

l Sustracción de polinomios 49

l Multiplicación de un monomio por un polinomio 53

l División de un polinomio entre un monomio 59

l Resolución de ecuaciones con coeficiente entero 63

l Resolución de ecuaciones con coeficiente fraccionario 67

l Planteo de ecuaciones 71

l Sistema de ecuaciones lineales 73

l Repaso 79

2


Sustracción de polinomiosPara restar polinomios, se escribe el polinomio minuendo con sus respectivos signos y a continuación el polinomio sustraendo, cambiando el signo de cada uno de sus términos; si hay términos semejantes se reducen. Ejemplo:

a. De: (4x – 2y + 5z) restar: (3x + 4y + z)

(4x – 2y + 5z) – (3x + 4y + z) 4x – 2y + 5z

4x – 2y + 5z – 3x – 4y – z ó –3x – 4y – z

x – 6y + 4z x – 6y + 4z

b. Restar: (4a3 + 6b2 + a – 5) de: (8a3 + 10b2 + 6a)

(8a3 + 10b2 + 6a) – (4a3 + 6b3 + a – 5) 8a3 + 10b2 + 6a

8a3 + 10b2 + 6a – 4a3 – 6b2 – a +5 ó –4a3 – 6b2 – a + 5

4a3 + 4b2 + 5a + 5 4a3 + 4b2 + 5a + 5

c. Si: P(x) = 4x3 + 3x2 – 2x – 1 ; Q(x) = –5x2 + 3x + 2

determinar el valor de: P(x) – Q(x).

4x3 + 3x2 – 2x – 1 – (–5x2 + 3x + 2) 4x3 + 3x2 – 2x – 1

4x3 + 3x2 – 2x – 1 + 5x2 – 3x – 2 ó – 5x2 – 3x – 2

4x3 + 8x2 – 5x – 3 4x3 + 8x2 – 5x – 3

d. Si: P(x) = x2 + 3x + 2 ; Q(x) = x2 + x – 1

determinar el valor de: P(x) – 3Q(x).

(x2 + 3x + 2) – 3(x2 + x – 1) x2 + 3x + 2

x2 + 3x + 2 – 3x2 – 3x + 3 ó –3x2 – 3x + 3

–2x2 + 5 –2x2 + 5

2


1. Considerando los siguientes polinomios:

A(x) = 3x2 + 4x – 6

B(x) = x2 – 2x + 3

C(x) = 2x2 + x + 2

calcula:

a. A(x) – B(x) b. C(x) – B(x) c. A(x) – C(x)

d. A(x) – B(x) – C(x) e. 3C(x) – 2B(x) f. 2A(x) – 3C(x)

g. A(x) – 3B(x) h. A(x) – 4C(x) i. 2A(x) – 4B(x) – C(x)

j. A(x) – [B(x) – C(x)]

2. Efectúa: (6a3b4 + 2x3 + 3mn) – (–mn + 2x3 – a3b4)

3. Efectúa las siguientes operaciones:

a. De (5m3 – 9n3 + 6m2n – 8mn2) resta (14mn2 – 21m2n + 5m3 – 18)

b. De (–a5b + 6a3b3 – 18ab5 + 42) resta (–8a6 + 9b6 – 11ab5 – 11a5b)

4. Resuelve las siguientes sustracciones de polinomios:

a. Resta el polinomio: (2x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + 2) del polinomio:

(3x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 3)

b. Indica el resultado de restar la suma de (x3 + 3x2 + x + 2) con: (x2 – 3x2 + x – 2); de la suma de (2x3 + x2 + x + 1) con: (x3 + x2 + 2x – 6)

5. Si: A(x) = x2 + 6x + 1 ; B(x) = 3x2 – 5x + 2 ; C(x) = 4x2 – 6x – 1

calcula: C(x) – A(x) – B(x)

6. Si: P(x) = 5x4 + 2x3 – 3x2 + x + 5 ; R(x) = –5x3 + 2x2 – 6x – 6

calcula: P(x) – R(x)

7. Si: P(x) = 4x2 – 5x2 + x ; R(x) = 6x2 – 3x – (x2 – x)

calcula: P(x) – R(x)

Ejercicios

2


8. Si: M(x) = 2x2 – 5x + 4; N(x) = 3x2 – 7x + 6

calcula: 3M(x) – 2N(x)

9. Si: P = 5x – 7t + 30

Q = –10t + x – 4t + 20

R = x – t + x – 11 + 12t

calcula: P – Q – R

10. Si: M(x) = 2x2 – 5x + 4 ; N(x) = 3x2 – 7x + 6 ; P(x) = 5x2 – 2x + 1

calcula: 5M(x) – N(x) – P(x)

¡Ahora, hazlo tú! 1. Efectúa:

a. De (5a2 + 4ab – 8b2) resta (4a2 – 4ab + 8b2)

b. De (4xy – 5x2y2 + 8) resta (8xy + 10x2y2 – 15)

2. Efectúa:

a. Resta (4x2 + 5xy + 10) de (8x2 – 10xy + 10)

b. Resta (9a3 + 10a2 + 7a) de (8a3 + 4a2 + 6a)

3. Si: A(x) = 4x2 + 5x + 3; B(x) = 3x2 – 3x + 4; C(x) = 5x2 + 4x – 1

calcula: A(x) – B(x) – C(x)

4. Si: A(x) = 5x5 + 7x3 + 8x – 1; M(x) = 10x5 – 7x3 + 15x – 9

calcula:

a. A(x) – M(x) b. M(x) – A(x)


A(x) = x4 + 6x – 1; B(x) = x4 – 2x3 – x2 + 6; C(x) = –4x3 + x2 + 6x + 11

calcula:

a. A(x) – B(x) b. A(x) – C(x)

c. B(x) – C(x) d. B(x) – A(x)

2


6. Dados los polinomios: A(x) = x4 – (2x3 – x + 1); B(x) = x3 + 5x2 – (6x – 3)

calcula: A(x) – B(x)

7. Efectúa: (5a3 + b4 + 8ab) – (–8ab + 4a3 – 7b4)

8. Si: M(x) = 4x2 + 5x + 3; N(x) = 3x2 – 5x – 7

calcula: 5M(x) – 4N(x)

9. Si: A(x) = 4x5 – x – 1; B(x) = 7x5 + 2x – 4

calcula: 7A(x) – 4B(x)


A(x) = 4x2 – 3x + 9; B(x) = x2 + 5x – 3; C(x) = 4x2 – 4x + 1

calcula:

a. A(x) – 4B(x) b. 2A(x) – 3B(x)

c. A(x) – 9C(x) d. 4A(x) – 8C(x)

Desafío

Sea: A(x) = 2(5x + 3x5) – 4(x2 + 5x); B(x) = –7(2x5 – 8x) + 5(3x – 4x2)

calcula: 5A(x) – 4B(x)

2


Multiplicación de unmonomio por un polinomio

Para poder reducir o simplificar expresiones de la forma: se hace uso de la Propiedad Distributiva:

Además de considerar:

Ley de los signos:

(+) . (+) = +

(+) . (–) = –

(–) . (–) = +

(–) . (+) = –

Conclusión:

* Si se multiplica dos expresiones del mismo signo se obtiene siempre "+".

* Si se multiplica dos expresiones de signos contrarios, se obtiene siempre "–".

– Ejemplos:

Efectuar en cada caso:

Recuerda que: x

tiene características: +1 x1

a. 2x(x + 2y)

= 2x1(1x1 + 2y1)

= 2x2 + 4xy

Recuerda: xa . xb = xa+b

Además: (–) . (–) = +

b. –3x2y3(x3 – y)

= –3x2y3(1x3 – 1y1)

= –3x5y3 + 3x2y4

( b a s e s i g u a l e s l o s exponentes se suman)

Amiguito: de la atención en clase depende el

conocimiento. ¡Tú puedes!

2


c. 2x4(x5 – 3x2 – 2) = 2x4( x5 – 3x2 – 2)

= x – x – x4

d. –3x4(2x – 5x5 + 1) = –3x4( 2x – 5x5 + 1)

= – x + x – x

e. x4y2z3 (xyz2 – 2x4y4z) = x4y2z3(x y z2 – 2x4y4z )

= x y z – x y z

Ejercicios 1. Efectúa cada uno de los casos en tu cuaderno, si es posible simplif ica cada

expresión:

a. 4(5x + 3) h. 4xy3(x7 + 2x4 – 3x7 + x4)

b. –3(5xy – 2) i. –x4y(x4 – 5x3 + y3 + 2x4)

c. 7x(x2 – yx2) j. 3x2y3(x3 – z4 + x3)

d. –3x2y3(x3 – y2) k. 2x2y2(x2 + x2 + y2)

e. 4x2(x3 – x7 + 2x4) l. –5xy(xy – 3xy + 5x2y)

f. –3xy2(x – y + 2xy) m. 2x2y3(3x3y – 2x4y3)

g. 5(x + 2y – 3z) n. –5x4(2x2 – 3x3 + 5x3)

2. Reduce cada caso en el cuaderno:

a. P(x) = 2x(x2 + 1) – 2x3

b. G(x) = 3x2(x – 1) + 3x2

c. F(x) = -5x(2 – 3x) + x(10 – 6x)

d. E(x) = 7x3(x2 – x4) + x4(7x3 + x)

e. M(x) = 3x4 – 5x(x2 + x3) + (3 + 2x4)

2


3. Simplifica: Q(x) = 3x(x2 + 2x) + 5x(5x – 3x2)

4. Simplifica: Q(x) = x(7x – 5) + 7x2(8 + 3x) + 5x

5. Simplifica y luego halla: P(x) + Q(x)

si: P(x) = 3x(6x – 8) + 4x(9 – 2x) y Q(x) = 5x2 + 8(3x2 – 2x)

6. Calcula: P(x) – Q(x); si: P(x) = 3x3 + 7(x2 + 5x3) y Q(x) = 10x2(5 – 3x)

7. Si: R(x) = 7x3(5x3 – 3) + 4(2x6 – x3); halla la suma de coeficientes del polinomio

simplificado.

8. Halla el grado absoluto (GA) del polinomio simplificado, si:

P(x) = 7x2(5x3 + 8x4) + 8x5(x2 – 3x3)

9. Representa algebraicamente el perímetro (P) de cada figura que se muestra a continuación:

a.

4x + 812x – 5

3x + 4

P = _______________________

_______________________

b.

2x + 5

2x + 5

P = _______________________

_______________________

c.

5x – 1

2 + 3x

2 + 3x

P = _______________________

_______________________

2


10. Halla la expresión algebraica que represente el área (A) de cada figura:

a.

2x

2x

A = _______________________

_______________________

b.

3xy

4x

A = _______________________

_______________________

c.

4x

3x2

A = _______________________

_______________________

e.

12xy

10xy

4xy9xy

A = _______________________

_______________________

_______________________

¡Ahora, hazlo tú!

1. Efectúa:

a) 5x(x – 3) e) –2x3y4(x2y + xy2)

b) –4x2(5x2 + 7x – 1) f ) –8x4(x4 + 3x2 + 5)

c) 4x2y3(xy + 7xy3) g) 4xy3z2(8xyz3 – 4xyz + x2y)

d) 4x(x + y – z) h) –2xy3(x2 + y2 + x + y)

2


2. Simplifica:

A(x) = 5x(x2 – 7x) + 3x(–4x + 8x2)

3. Simplifica:

B(x) = –x(8x – 4) + 7x2(–2 + 5x) + 8x2

4. Simplifica y luego, halla: P(x) + Q(x)

si: P(x) = 3x(–3x + 8) + 5x(4 – x) y Q(x) = 5x2 + 8(5x2 – 3x)

5. Calcula: P(x) – Q(x)

si: P(x) = 5x3 + 5(x2 – 2x3) y Q(x) = 5x2(3 – 4x)

6. Calcula el grado relativo con respecto a "y" del polinomio simplificado en:

P(x;y) = 4x2y3(y2 – 2x2y5 – 8x) + 7x4y8

7. Dado el polinomio P(x;y;z) definido como:

P(x;y;z) = 8a3b4x3y4z5 – 4b4a3z5x3y4

Encuentra:

a. GA = b. GR(x) = c. GR(y) =

d. GR(z) = e. Coeficientes

8. Halla el valor numérico (VN) de P(2); si:

P(x) = 7x(x2 – 3x) – 4x3 + 21x2 + 5x(2x – 3x2)

9. Representa algebraicamente el per ímetro de cada f igura que se muestra a continuación:

a.

4x + 109x – 10

3x + 2

Perímetro:

2


b. Perímetro:

3x + 1

3x + 1

10. Halla la expresión algebraica que representa el área de cada figura:

a. Área:

5x

5x

b.

2xy4

5x2y

Área:

2


División de un polinomioentre un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio. Además, se debe considerar:

Ley de los signos:

(+) ÷ (+) = + Al dividir dos expresiones con el mismo signo,

(–) ÷ (–) = + el resultado tiene signo "+".

(+) ÷ (–) = – Al dividir dos expresiones con signos contrarios,

(–) ÷ (+) = – el resultado tiene signo "–".

Ejemplos:

a. 32x6y7

–4xy

32

–4

x6

x1

y7

y1–8x5y6== . .

b. (32x8 – 4x6 – 12x5) ÷ (4x4) = 8x4 – x2 – 3x

c.

3x0y2 – xy0 – 2x3y0=

3y2 – x – 2x3=

= – –36x5y7 – 12x6y5 – 24x8y5

12x5y5

36x5y7

12x5y5

12x6y5

12x5y5

24x8y5

12x5y5

d. 24m8n9

4m3n6=

y0 = 1

Recuerda:

x6

x2= x6–2 = x4

Recuerda:

2


e. –20x9y4z8 + 4x6z8y9

4x5z7y4

f. (2n4 – 4n6 + 6n5) ÷ (–2n4) =

¡Listos, a trabajar! I. Resuelve cada uno de los siguientes casos en tu cuaderno:

a) 12x6y7 – 32x5y8

–4x4y6

b) 12x13y10 – 3x14y9 + 9x10y8

3x10y8

c) 2 (162n9m8 – 36n6m10) ÷ (–6n5m8)

d) x(7x – 7)7

7x2 (8 + 3x)7x

5x5x

+ +

II. Relaciona luego de resolver los ejercicios en tu cuaderno.

a) 16x7y8

8x4y5 ( ) 6xy6

b) +24x6y9

12x5y3

32x6y14

8y8x5 ( ) 2

c) Halla el GA del polinomio simplificado: ( ) 2x3y3

P(x) = 4x(3x2 + 2x3) + 2(7x3 + 5x4)

2x2

d) Si: P(x;y) = 8x2y4 + 6xy2 – 2x2y4 – 3xy2

2x ( ) 17x – 6x2

halla: P(1;2)

e) Simplifica: ( ) 54

5x(5x – 3x2) + 3x(x2 + 3x)

2x

2


¡Ahora, hazlo tú! 1. Resuelve los ejercicios y según las letras, encuentra la frase correcta.

L. 15x9y3

–3x6y2

A. (16x4y9 – 32x6y9) ÷ (4x3y8)

S. 20x6y9 – 44x5y8 + 2x6y9 + 50x5y8

2x5y8

D. Halla el valor numérico (VN) de P(1;1) si:

P(x;y) = 18x6y8 + 36x8y6 – 6x10y10

–6x5y5

V. Calcula "A(1) + B(2)", si:

A(x) = 8x2(4x + 3x2 –5x3)

4x2

B(x) = 3x5 + 6x(4x4 – 2x2 + x3)

3x3

N. (16x6y6 – 36x9y5) ÷ (4x5y5)

G. Del ejercicio "S", halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.

E. Del polinomio simplificado del ejercicio "L"; halla: GR(x) + GR(y)

I. Halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.

Si: R(x) = 7x3(5x3 – 3) + 4(5x6 – x3)

15x2 – (10x2 + 5x2 + 5x2)

2


O. Al simplificar, calcula el GA del polinomio.

12x4y5 – 6x3y2

3xy

C. Halla P(2;2) si: –100x7y12

–10x6y10

B. Al dividir: 18x10 + 24x12 – 6x9

6x8, halla la suma de coeficientes del polinomio

resultante.

R. Divide: 45x10y4z6

9x8y2z4

Resuelve el siguiente ejercicio:

P(x;y;z) = 50x4y4 + 100x8y8z6 – 60x10y10z10

3(x + x2) + 7x2 –3x

Desafío

–5x3y 4xy–8x3y –8 –6 40 –6 11xy+3 –6 7 4xy–9x4

"

4xy–8x3y 14–5x3y 4 6 5x2y2z2 4xy–8x3y –6 80 4xy–8x3y

"

2


Resolución de ecuacionescon coeficiente entero

Recuerda que:

l ECUACIÓN: Es una igualdad condicional que presenta una o más incógnitas.

Ejemplos:

a. 3x – 2 = 7 c. __________________

b. x – 1 = 8 d. __________________

l SOLUCIÓN: Es el valor que verifica a toda la ecuación.

Ejemplo:

2X + 3X – 8 = X + 4

5X – X = 4 + 8

4X = 12

X = 124

X = 3

vERIfICANDO lA SOlUCIóN:

2X + 3X – 8 = X + 4

SI: X = 3

→ 2(3) + 3(3) – 8 = 3 + 4

6 + 9 – 8 = 3 + 4

15 – 8 = 7

7 = 7

* Según los signos de colección o agrupación se trabajarán los paréntesis, las llaves y los corchetes (en ese orden).

* Se transponen los términos de un miembro a otro de acuerdo a su semejanza cambiando de signo.

* Se reducen los términos semejantes.

* Se despeja la incógnita (puedes verificar).

2


¡Listos... a trabajar!

I. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones y escribe (V) si es verdadero o (F) si es falso.

1. 3x + (5 – 2x) + 4 = 6 → x = –3 ( )

2. 4x – (5 – 7x) – 6 = 11 → x = 1 ( )

3. 5 – (3y – 6y – 8) – 7y = 2y + 16 – 9 → y = 2 ( )

4. 3(y – 4) = (3y – 5 – 4y) – (2 – 5y + 10) → y = –5 ( )

5. 5z – 7(z – 1) = –2(z – 3) + z → z = –1 ( )

6. 4 + 12(2x + 1) = 2 + 3(–2x + 8) → x = –3 ( )

7. Si: x = 3, calcula "a" en: → a = 15 ( )

3(x + a) – (5x + 2a) = 8

8. Calcula "m", si: x = 4 en: → m = –12 ( )

3(x – 4m) + 4m = 6x – 7m

9. 3(x – 6) + 3 = 3 + 5(x –4) → x = 19 ( )

10. 8 – 8 –

4x – 4x –

4x + 13

4x + 1x + 1

5x – 62x

5x – 62x= → x = –4 ( )

2


I. Busca en los semicírculos las ecuaciones y resuélvelas en tu cuaderno, halla la respuesta en otro semicírculo y píntalas del mismo color.


1.

4.

7.

10.

13.

2.

5.

8.

11.

14.

3.

6.

9.

12.

15.

3x + 2 = 5

6x – x = 22 + 21

–35

–1

11+[3(x+2)+4]=[6(–2x–2 )+1]–13

5

4 + 5x – (3 – 3x) = 6x – 7

1

9 – 3x + 2(3 – x) = –5(x + 4) – x

–4

–3x + 2 – (x – 3)= –5x + 4

8 – 5x + 3(2 + x) = – (x + 6)

–3

20

Si: x = 2; halla "a" en:

2x – a + (5x – a) = 3x – a

2


Desafío

16.

19.

22.

17.

20.

23.

18.

21.

24.

7x + 13x – 1

4x+ 153x – 1

4x+

7x + 4 +5x

7x + 4 +5x

=

4

3(x + 1) – 5(x+5) = 4(1–2x) – 2(x–3)

–6– 3

7

8

2

Halla "a" si: x = –2; en

4 – (5x – 3a) = 3 – 4(x + a)

(3x – 6)x –6(–6 + 3x)

4x –5x + 4x – 3

5x + 4–3 + x

4x –=

Resuelve el siguiente ejercicio:

(3x – 6)

2x + 5(x + 4)x – 1

+ 2x5x + 208

3x – 6=

–1Recuerda:

ab

= ba

–1

2


Resolución de ecuacionescon coeficiente fraccionario

Para resolver este tipo de problemas, se tiene en cuenta lo siguiente:

1º Calcular el m.c.m. de los denominadores.

2º Se multiplica a cada uno de los términos por el m.c.m.

3º Se reducen términos semejantes (transponiendo términos)

4º Se despeja la incógnita.

Halla el valor de "x" en cada caso:

1. 2x3

x2

76

+ = 2. 52

x6

x4

+ + 1=

3. 12

43

x2

x3

+ + x + 1+ = 4. 13

x3

x + 24

+ x+ =

5. 12

14

4x3

3x2

+ – = 6. x12

54

14

=x ––

7. x3

6x+16

2x+= 8. 23

5(x – 4)6

2x – 103

+ +x – 3 =

9. 2x – 92

13 – 3x4

x – 23

– = 10. 3x + 72

4x + 103

5x + 126

+ =

¡Ahora, hazlo tú!

2


Halla el valor de "x" en cada caso:

1. 13

x2

23

– = 2. 12

x6

x3

+ =

3. 13

14

2x3

3x4

+ + 2x+ = 4. 15

2x5

– 5=

5. 14

3x+12

0=– 6. x – 14

x + 16

+ = 2

7. 4x+33

5x+74

0=– 8. 34

54

2x3

4x3

+ –=

9. 3x – 42

2x + 73

–2x – 9 = 10. 7x4

54

4x3

13x8

+ –=


Desafío

• Una señora tuvo a los 24 años hijos mellizos. Hoy las edades de los tres suman 57 años. ¿Qué edad tienen los mellizos?

2


Recortar y dividirRecorta cada una de estas regiones de tal manera que al superponer coincidan. (Observa el ejemplo)

Ejemplo:

2



2


Planteo de ecuacionesMétodo para la resolución de un problema

El procedimiento para resolver un problema mediante el uso de una ecuación no siempre es fácil y para lograr cierta aptitud se requiere una práctica considerable y para esto se sugiere lo siguiente:

1º Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que quede perfectamente clara la situación que se plantea.

2º Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas.

3º Planteo del problema: se elige la incógnita por una letra "x" por ejemplo y se efectúan con ello y con los datos, las operaciones que indique el enunciado.

4º Resolución de la ecuación. Dicha ecuación se resuelve según las reglas que se enun-ciaron.

¡Ahora, hazlo tú!En tu cuaderno, resuelve los siguientes problemas:

1. Si ganara 395 nuevos soles más de lo que recibo podría comprar una radio que cuesta 1 200 nuevos soles, ¿cuánto gano?

2. Lo que gana Alberto, excede en 175 nuevos soles a lo que gana Armando y es igual a 850 nuevos soles. ¿Cuánto gana Armando?

3. Al vender mi computadora perdí 235 soles. Si el comprador me pagó 847 soles, ¿cuánto me costó la computadora?

4. Encontrar un número tal que al dividirlo por 10 y a este cociente dividirlo por 3, la suma de estos cocientes es 40.

5. Al preguntar una madre a su hija cuánto había gastado de los 40 soles que le dio, ella respondió: "Si no hubiera comprado un chocolate, que me costó 10 soles, tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que no hubiera gastado". ¿Cuánto gastó?

6. La edad de Hugo aumentada en nueve años es igual a la de su esposa que tiene 38 años. ¿Qué edad tiene Hugo?

7. Lo que le prestan a María con los 547 nuevos soles que tiene, es igual a 650. Si aún le falta 250 para comprar un artefacto eléctrico, ¿cuánto le prestan y cuánto cuesta el artefacto?

8. Juan le dice a Pedro: "Dame S/.18 y así tendré el doble del dinero que tú tienes" y Pedro le contesta: "Más justo es que tú me des S/.15 y así tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto tenía Pedro?

9. Se ha comprado por S/.6 000 cierto número de enciclopedias, si se hubiera comprado 30 más, con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado 180 soles más barato. Calcula el número de enciclopedias.

2


10. ¿Cuál es la edad actual de un padre que duplica la edad de su hijo y hace 24 años su edad era 10 veces que la de su hijo?

11. Miguel tiene cinco años menos que Doris. Si hace cuatro años la suma de sus edades era 21 años, ¿qué edad tiene Doris?

12. La edad actual de un hijo es los 4/9 de la edad de su padre; si dentro de cinco años, la mitad de la edad del padre sería igual a la del hijo, ¿cuál es la edad del padre?


En tu cuaderno, resuelve los siguientes problemas:

1. Al vender una radio gané 60 soles; si el comprador me pagó 273 soles, ¿cuánto me costó la radio?

2. Encuentra un número que multiplicado por 3 y sumado con su tercera parte resulta 40.

3. Se compra cier to número de relojes por S/.144; sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de un reloj en soles, ¿cuántos relojes se han comprado?

4. Dos recipientes contienen 80 y 150 litros de agua y se les añade la misma cantidad de agua a cada una. ¿Cuál debe ser esta cantidad para que el contenido del primer recipiente sea los 2/3 del segundo?

5. Si al comprar una docena de lapiceros me regalan un lapicero, ¿cuántas docenas he comprado si recibo 338 lapiceros?

6. Si al triple de la edad que tengo se quita mi edad aumentado en ocho años, tendría 36 años, ¿qué edad tengo?

7. Julia tiene tres años más que María. Si el duplo de la edad de Julia menos los 5/6 de la edad de María es 20 años, ¿qué edad tiene María?

8. Elsa es seis años más joven que Juan. Hace tres años Juan tenía el triple de la edad que Elsa tenía. Entonces, encuentra la edad de Juan.

9. Hace 30 años, María tenía la sexta parte de la edad que tiene ahora, ¿qué edad tendrá dentro de cuatro años?

10. Dentro de 40 años, Arturo tendrá el quíntuple de su edad actual. ¿Cuántos años tenía hace tres años?

Desafío

* ¿Cuál es el número impar tal que agregado a los cuatro impares que le siguen, dé un total de 905?

2


Sistema de Ecuaciones LinealesSe llama así al conjunto formado por dos ecuaciones con dos incognitas, las cuales se verifican para valores asignados a sus variables.

Forma: ax + by = c.......(1)

mx + ny = P.......(2)

donde:

"a", "b", "m", "n": son los coeficientes de las variables

"c" y "p": son los términos independientes

"x" y "y": son las incógnitas o variables.

Ejemplos:

1) 3x + 2y = 5

x + y = 2

2) 4x – y = 7

x + y = 3

3) x + y = 8

x – y = 6

Conjunto Solución del Sistema (C.S.)

Son los valores de las variables "x" y "y" que cumplen con ambas ecuaciones en el sistema.

Ejemplo:

En el sistema: 3x – y = 7 ............. (1)

x + y = 5 ............. (2)

Los valores de x = 3; y = 2 que cumplen con ambas ecuaciones por lo tanto será su conjunto solución, es decir:

C.S. = x = 3; y = 2

¿Cómo se resuelve un Sistema?

Para hallar el conjunto solución se puede resolver por varios métodos, estudiaremos el método de REDUCCIÓN.

Método de REDUCCIÓN.

Ejemplo 1:

Resolver el sistema: x + y = 9 ............. (1)

x – y = 5 ............. (2)

2


Resolución:

* Si sumamos algebraicamente en forma vertical ambas ecuaciones tendremos:

x + y = 9 ............. (1)

x – y = 5 ............. (2)

x + y + x – y = 9 + 5

x + x = 14

2x = 14

x = 142

x = 7

* Como: x = 7 en la ecuación (1): x + y = 9, entonces:

7 + y = 9

y = 9 – 7

y = 2

* Luego: x = 7; y = 2, será el conjunto solución. → C.S. x = 7; y = 2

Ejemplo 2:

Hallar los valores de "x" y "y" en: 5x – y = 8 .............. (1)

3x – y = 4 .............. (2)

Resolución: Si restamos algebraicamente en forma vertical tendremos:

5x – y = 8

3x – y = 4

(5x + y) – (3y – y) = 8 – 4

5x – y – 3x + y = 4

5x – 3x = 4

2x = 4

x = 42

x = 2

Como: x = 2, en la ecuación (1) tendremos:

(–)

(+)

(–)

2


5x – y = 8

5(2) – y = 8

10 – y = 8

10 – 8 = y

2 = y ó y = 2

Luego: x=2, y=2, su conjunto solución será: C.S. x=2; y=2

¡Ahora, hazlo tú!

I. Marca correctamente la alternativa:

1. Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

a) 3x + 2y = 5

x + y = 0

b) 4x + 3y + 2z = 9

x + y + z = 0

c) x – 3y – z = 5

x + y = 5

2. En el sistema los coeficientes de una de sus variables son iguales:

a) x + 2y = 3

2x + y = 4

b) x – y = 5

x + y = 7

c) 2x – y = 5

x + y = 4

3. En el sistema los términos independientes son iguales:

a) x + y = 12

x – y = 6

b) x + y = 5

x + y = 7

c) 2x – y = 5

x + y = 5

4. En el sistema el conjunto solución es: C.S. x=1; y=1

a) x + y = 5

x – y = 3

b) 2x + y = 3

x + y = 2

c) 3x + y = 4

x – y = 1

2


II. Relaciona correctamente los sistemas con su conjunto solución:

A) x + y = 5

x – y = 1 ( ) C.S. x=3 ; y=1

B) 2x + y = 3

x – y = 0 ( ) C.S. x=3 ; y=2

C) 2x – y = 5

x – y = 2 ( ) C.S. x=0 ; y=2

D) 3x + 2y = 7

x + 2y = 5 ( ) C.S. x=1 ; y=2

E) x + 4y = 8

x + 5y = 10 ( ) C.S. x=1 ; y=1

III. Resuelve los sistemas:

1. 2x + y = 8

2x – y = 4

5. x + 2y = 3

3x + 2y = 5

2. 3x + 2y = 11

3x – 2y = 7

6. 5x – y = 8

2x – y = 6

3. x + y = 12

x – y = 8

7. 4x + 3y = 7

2x + 3y = 5

4. 2x – y = 7

3x – y = 11

8. 5x – y = 16

2x + y = 12

2


Desafío

Sin resolver el sistema, explica cómo los valores: x=9; y=10 son soluciones para el sistema:

11x – 3y = 69

–3x + 3y = 3

Retos para el hogar

1. Resuelve los sistemas:

1. 5x + y = 8

3x – y = 0

5. 2x + y = 3

5x + y = 6

2. 4x + 3y = 1

5x + 3y = 8

6. 7x – 2y = 9

3x + 2y = 11

3. x + y = 15

x – y = 7

7. 8x + y = 8

6x + y = 6

4. 3x – y = 10

2x – y = 6

8. 3x – y = 10

2x – y = 6

2


2


Repaso

1. Si: P(x) = 6x2 + 12x + 36

Q(x) = 4x2 – 17x – 28

R(x) = 13 x3 +

14 x2 +

15 x +

16

S(x) = 24 x3 +

13 x2 +

14 x +

15

Calcula:

a) P(x) + Q(x) c) R(x) + S(x)

b) P(x) – Q(x) d) S(x) – R(x)

2. Resuelve:

a) 3x2(5x3 + 5x2 + 3x + 3) b) 25x4 + 75x3 + 50x2

5x2

2


3. Resuelve:

a) 2(y + 1) + 3(y – 2) = 3 + y b) y2 –

y4 =

y3 – 1

c) y – 22 = y4 +

y8 +

y6 d)

y3 –

y5 =

y 15 +

13

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a) x + y = 14

x – y = 6 b)

4x + 4y = 4

4x + 5y = 3

c) 2x – 3y = –14

3x + 3y = 39 d)

5x + y = 8

4x + y = 6

2


Algebra6to grado – IV Bimestre

y = x2 + ... + x3y = x2 + ... + x3

2


ÍndiceÍndice

Pág.

l Inecuaciones en Z 51

l Intervalos acotados en Z 55

l Intervalos no acotados en Z 59

l Resolución de inecuaciones I 63

l Resolución de inecuaciones II 67

l Situaciones problemáticas de desigualdades 71

2


Inecuaciones en ZSabías que ...

... los sellos matemáticos son empleados en los correos. Ello propone un excelente medio para la difusión de la historia de la MATEMÁTICA.

Aquí un ejemplo:

•Okatovo(1821-1894)Matemáticoruso

Tras cursar sus estudios universitarios en Moscú y doctorarse llegó a ser catedrático de la Uni-versidad de San Petersburgo. Fue nombrado miembro de la Academia de la CC. de Berlín, Bolonia, París y Suecia.

Abarcó: Teoría de números, donde estudió propiedades de los números primos; Cálculo de probabilidades, realizando investigaciones sobre los conceptos de variable aleatoria y de esperanza matemática. Formuló, además el Teorema de Chebyshev; Teoría de la aproximación en conexión con la teoría de polinomios y teoría de integración.

IntroducciónA veces se dan unas condiciones en las que en lugar de aparecer el signo igual, hay que

utilizar otros signos llamados de desigualdad, estos son:

">, mayor que"

"<, menor que"

Las relaciones numéricas que se expresan con estos signos se llaman DESIGUALDADES y

las relaciones algebraicas correspondientes se llaman INECUACIONES.

Pafnuti Lvovich Chebyshev

Datos técnicos:

Rusia 1946

2


Características generales de las inecuaciones:

Ejemplo: 8x + 4 > 20

1. Miembros de una inecuación, son las partes separadas por el signo de la desigual-

dad.

* La parte que está a la izquierda se llama primer miembro: (8x + 4).

* El segundo miembro es 20.

2. Términos de una inecuación, son cada una de las expresiones literales (8x) o numéricas

(4 y 20).

3. Resolver una inecuación es hallar el conjunto solución. En la inecuación dada el conjunto

solución es: 3; 4; 5; 6; 7; ...

Procedimiento para resolver una inecuación:

3x - 9 < 63x < 6 + 93x < 1 5

x < 153

x < 5

C.S.(x) = ...;-1;0;1;2;3;4

5x - 9 ≤ 2x + 185x - 2x ≤ 18 + 9

3x ≤ 27

x ≤ 273

x ≤ 9

C.S.(x) = ...;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9

2


5(x - 2) + 2 > 7

5x - 10 + 2 > 7

5x > 7 - 2 + 1 0

5x > 1 5

C.S.(x) = 4;5;6;7;8; ...

x > 3

2x - 19

C.S.(x) = ...; 10;11;12;13

x - 34

14

- >

mcm(9;4) = 3 6

(2x - 1 )9

(x - 3 )4

14- >36 36 36

4 9 9

4(2x - 1) - 9(x - 3) > 9

8x - 4 - 9x + 27 > 9

-x > 9 + 4 - 2 7-x > -1 4x < 1 4

por (-1 )

¡Listos, a trabajar ...!1. Escribe la desigualdad correspondiente entre:

- Tu edad y la de tu papá.

- Tu edad y la de tu compañero.

2. Expresa algebraicamente:

- Todos los números mayores a 4.

- Todos los números menores a 8.

3. Expresa los números mayores que 5, pero que no sobrepasan a 10.

4. Resuelve y halla el conjunto solución de:

a) 3x < 15 b) 3x + 6 > 2x + 12

2


Demuestra lo aprendido1. Escribe la desigualdad correspondiente entre:

- Tu edad y la de tu profesor(a).

- La cantidad de alumnos de tu aula y la de primaria.

2. Expresa algebraicamente:

a. Todos los números mayores a -2.

b. Todos los números menores e iguales a -8.

3. Expresa los números mayores que -1, pero que no sobrepasen a 6.

4. Resuelve e indica el conjunto solución de:

DESAfíO

OTRO PROBLEMITA DE ACOMODAR NÚMEROS.

Acomoda los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 de la siguiente forma:

- 3; 6 y 8 están en el primer renglón.

2


Intervalos acotados en ZLos intervalos en Z son conjuntos de números enteros y se representan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados y no acotados.

Los intervalos ACOTADOS pueden ser:

• Intervalo abierto: <a;b> a, b ∈ Z

Está formado por los números enteros "x" comprendidos entre "a" y "b", excluidos ambos.

Se expresa: a < x < b

• Intervalo cerrado: [a;b] a, b ∈ Z

Está formado por los números enteros "x" comprendidos entre "a" y "b" incluidos ambos.

Se expresa: a ≤ x ≤ b

• Intervalo abierto a la derecha: [a;b> a, b ∈ Z

Está formado por los números enteros "x" comprendidos entre "a" y "b", incluido "a".

Se expresa: a ≤ x < b

• Intervalo abierto a la izquierda: <a;b] a, b ∈ Z

Está formado por los números enteros "x" comprendidos entre "a" y "b", incluido "b".

Se expresa: a < x ≤ b

2


<2;6 >a)

se define:

x/ 2 < x < 6

se representa:

0 2 6

<2;6 ]b)

se define:

x/ 2 < x ≤ 6

se representa:

0 2 6

[2;6 >c)

se define:

x/ 2 ≤ x < 6

se representa:

0 2 6

[2;6 ]d)

se define:

x/ 2 ≤ x ≤ 6

se representa:

0 2 6

¡Listos, a trabajar ...!1. Con los signos que se te da, expresa en forma de intervalo:

a) -76 < x ≤ -5

[ < ] >

+ ∞ -5 -76 -∞

b) -46 < x < -43

2


Demuestra lo aprendido1. Con los signos que se te da, expresa en forma de intervalo:

a) -22 < x < -6

[ < ] >

+ ∞-46 -43 -∞

2. Completa las siguientes columnas según lo indicado. Recuerda trabajar con orden y puntualidad.

Intervalo NotaciónRepresentaciónConjuntista

(C.S.)RepresentaciónGráfica

Abie

rto

<2;5>

<-1;6>

<-7;-2>

<-10;0>

[ < ] >

+ ∞ -6-22 -∞

x ≤ < ≤

-83< 94

2


2. Completa las siguientes columnas según lo indicado. Recuerda trabajar con orden y limpieza.

Notación Desigualdades Gráfica

a) <-2;2>

b) <-2;1]

c) [-3;0>

d) [4;10]

e) <-7;-1>

f) [-6;-4]

g) <2;10]

h) [5;0>

i) [-10;-2]

j) <-2;8]

k) [4;10>

l) [7;9]

m) <0;3>

DESAfíO

Una araña cayó en un pozo de 30 m de profundidad. Cada día subía tres metros y cada

2


Intervalos no acotados en ZSe denomina así, si por lo menos uno de los extremos tiende a "+∞" o "-∞" (extremos

ideales), donde: IR es el conjunto de los números reales. Así tenemos:

a)

-∞ +∞a x

Por definición:

b) -∞ +∞x b

Por definición:

c) -∞ +∞x

Por definición:

• Ejemplos: Expresa en forma de intervalo y gráficamente:

a) x > 3

En forma de intervalo: x ∈ <3;+∞>. Gráficamente:

-∞ +∞0 1 2 3 4

2


¡Listos, a trabajar ...!Expresa en forma de intervalo y gráficamente:

1) x > 5 2) x ≥ 2

3) x < 6 4) x ≤ 2

5) x > -2 6) x ≥ -4

2


Demuestra lo aprendidoExpresa en forma de intervalo y gráficamente:

1) x < 5 2) x ≤ 8

3) x ≥ 7 4) x > 12

5) x < -9 6) x > 10

2


DESAfíO

¿Qué vista del cubo es la correcta?

Selecciona la única vista posible del cubo anterior, entre las siguientes cuatro posibilida-des.

a) b) c) d)

2


Resolución de inecuaciones I en N

INECUACIONES DE lA fORmA: x + a > b y x - a > b

Ejemplos:

a) x + 54 - 72 > 43 ÷ 8 b) x - 36 ÷ 32 > 126 - 112

x + 54 - 49 > 64 ÷ 8 x - 36 ÷ 9 > 126 - 121

x + 5 > 8 x - 4 > 5

x > 8 - 5 x > 5 + 4

x > 3 x > 9

C.S. = 4; 5; 6; 7; ... C.S. = 10; 11; 12; ...

c) y + 36 ÷ 9 > 56 ÷ 7 d) m - 120 × 6 > 72 ÷ 8

2


¡Listos, a trabajar ...!Halla el C.S. de las siguientes inecuaciones:

1) x - 90 × 3 > 48 ÷ 2 2) y - 15 × 70 > 130 - 112

3) y + 128 - 112 > 122 - 128 4) x + 82 - 72 > 102 - 92

5) x - 1 < 25 - 33 6) y - 40 < 36 ÷ 32

2


Demuestra lo aprendidoHalla el C.S. de las siguientes inecuaciones:

1) x + 52 + 80 < 25.90

2) m - 100 < 102 ÷ 52

3) x - 33 ÷ 9 < 64 ÷ 24 + 2

4) y + 36 ÷ 9 > 56 ÷ 7

5) m - 120.6 > 72 ÷ 8

6) y - 41.40 > 125 ÷ 52

DESAfíO

Otra cifra perdida

8 6

1

4 3

9 6

8

2 7

8 7

2

7 8

9 5

?

8 6

2


2


¡Listos, a trabajar ...!

Resolución de inecuaciones II en N

INECUACIONES DE lA fORmA: ax ± b > c ; ax ± b < c

Recuerda: Si un número entero positivo pasa a dividir al otro miembro de la desigualdad,

dicha desigualdad no se altera.

Ejemplos:

1) Halla el C.S. de las siguientes inecuaciones, en el conjunto de los números natura-

les.

a) 3x > 12 b) 3x < 12

c) 3x ≥ 12 d) 3x ≤ 12

2


4) 6x - 7 > 17 5) 5x + 14 ≤ 19

6) 2x - 5 > 3 7) 5x + 12 < x + 16

8) 4x + 14 > x + 29 9) 3x + 4 ≤ x + 16

2


Demuestra lo aprendido1) Halla el C.S. de las siguientes inecuaciones, en el conjunto de los números natura-

les.

a) 5x > 20 b) 5x < 20

c) 5x ≥ 20 d) 5x ≤ 20

Resuelve en el conjunto de los números naturales, las siguientes inecuaciones:

2) 4x - 5 > 35 3) 5x + 1 < 16

2


6) 10x + 2 > 192 7) 3x - 8 < 25

8) 4x - 15 ≥ 9 9) 11x + 4 ≤ 37

DESAfíO

Resuelve y da el menor valor entero que satisfaga dicha inecuación:2(3x - 5)

≥3(2x + 5)

2


¡Listos, a trabajar ...!

Situaciones problemáticas de desigualdades

En el presente capítulo veremos el planteo de desigualdades; para lo cual, debes recordar:

• Mayor que

• Menor que

• No es mayor que

>

<

≤

se simboliza

se simboliza

se simboliza

se simboliza

Ejemplos:

• "m" es mayor que 2 m > 2

En tu cuaderno:

Resuelve los siguientes problemas:

1. Un número aumentado en 7 es menor que 24. Indica el mayor natural que verifica.

2. La edad de José disminuida en 5 es mayor que 9. Halla la edad mínima de José.

3. El número de globos que contiene una bolsa no es menor que 17. Halla el menor número

2


5. La edad del hermanito de María disminuido en 3 es mayor que 1, y aumentado en 3 es

menor que 9. Halla la edad del hermanito de María.

6. Halla el menor número natural, cuyo duplo disminuido en 3 es mayor que el número

aumentado en 4.

7. El triple de caramelos, que hay en una bolsa, aumentado en 12 es menor que el número

de caramelos de la bolsa aumentado en 42. Señala el mayor número natural de

caramelos que tiene la bolsa.

8. Determina el mayor número natural, si el quíntuplo del número, disminuido en 11 no es

mayor que el duplo del número aumentado en 7.

9. El cuádruplo de la edad de mi abuelo, aumentado en 97 no es menor que el duplo de

su edad, aumentado en 235. Halla la edad de mi abuelo si es el menor natural que

2


Demuestra lo aprendido1. Un número disminuido en tres es menor que siete. Calcula el mayor número natural.

2. La edad de Ariana aumentada en cuatro es menor que doce. Halla la máxima edad

que puede tener Ariana.

3. En una bolsa, el número de chocolates que contiene no es mayor a 30. Halla el máximo

número de chocolates que contiene la bolsa.

4. En un jarrón, el número de flores aumentado en 3 no es menor a 12. Halla el mínimo

número de flores que contiene el jarrón.

5. La edad de mi profesor de Álgebra disminuido en dos es mayor que 32 años y dicha

edad aumentada en cinco es menor que 41. ¿Cuál es la edad de mi profesor?

6. Halla el menor número natural, cuyo triple aumentado en cuatro es mayor a 16.

7. El doble de mi edad, disminuido en tres es mayor que 21. Señala cuál es la mínima edad

que puedo tener.

Álgebra (completo)

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