TRABAJO DE ESTRUCTURAS II: METODO DE KANI, METODO DE TAKABEYA, LINEAS DE INFLUENCIA, ALGEBRA MATRICIAL, ANALISIS DE ARMADURAS Y ANALISIS DE VIGAS Y MARCOS PLANOS CON EL USO DEL METODO DE LA

RIGIDEZ

DIDIER YUSSETH SERRANO LOPEZ

CODIGO: 07202023

PRESENTADO A:

ING JAVIER RICARDO GOMEZ

BUCARAMANGA

UNIVERSIDAD DE SANTANDER- UDES

INGENIERIA CIVIL

ABRIL

2011

METODO DE KANI

Todas las estructuras en general al estar sometidas a tensión sufren deformaciones como consecuencias de las cargas. Afortunadamente se

habían desarrollado unos métodos manuales más sencillos, aplicables a vigas continuas y pórticos ortogonales

VENTAJAS:

1. Se trata de un método de aproximaciones sucesivas y, en consecuencia, las respuestas se pueden lograr con la exactitud que se desee, mientras las hipótesis fundamentales y los datos básicos lo permitan.

2. La inclusión de los efectos de desplazamiento se hace en forma muy simple.

3. La formulación del procedimiento conduce a una eliminación prácticamente automática de los errores ocasionales.

4. Es muy fácil verificar en cualquier nudo la bondad de los resultados.

5. Los cambios eventuales de cargas o dimensiones en cualquier elemento se pueden tener en cuenta con muy poco esfuerzo adicional.

DESVENTAJAS:

1. Que su aplicación está limitada a pórticos ortogonales y que no influye los efectos de los acortamientos axiales, que se hace cada vez mas importantes al incrementar el número de pisos a los niveles corrientes en las torres de nuestros días.

PASO A PASO PARA DESARROLLAR PORTICOS POR EL METODO DE KANI EN ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO.

1. Calculamos las rigideces de las columnas y vigas con la siguiente ecuación Kij=(bijxhij

3)/h

2. Evalúense los coeficientes de giro (µij) con la ecuación µij= -1/2 (Kij/∑Kij) y momentos de empotramiento (Mf

ij) con la ecuación Mfij= WL2/12 . Llévense estos

valores a un diagrama adecuado y calcúlense los momentos de fijación (M̅i)de cada nudo.

3. Adóptese una secuencia de recorrido de los nudos, empezando por el de mayor momento de fijación para acelerar la convergencia.

4. Aplíquese a cada uno de los elementos que concurren a cada nudo la ecuación

M0ij= µij [M ̅i +∑i M0

ij y escríbanse en el diagrama los resultados obtenidos que constituyen para ese ciclo los valores de M0

ij. Obsérvese que estos valores se convierten en M0

ji al pasar a los nudos opuestos.

5. Una vez recorrido todos los nudos se tiene concluido un ciclo y se repite el paso 3 una y otra vez hasta obtener convergencia en todos los nudos.

6. Aplíquense entonces las ecuaciones Mij=MFij+2M0

ij+M0ji y Mji=MF

ji+2M0ji+M0

ij a todos los elementos, con lo cual se obtendrán los momentos definitivos en cada uno de los extremos. Para mecanizar aún más el proceso, las ecuaciones pueden escribirse en la siguiente forma equivalente:

Mij=MFij+M0

ij+(M0ij+M0

ji) y Mji=MFji+M0

ji+(M0ij+M0

ji)

PASO A PASO PARA DESARROLLAR PORTICOS POR EL METODO DE KANI EN ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTO

1. Calculamos las rigideces de las columnas y vigas con la siguiente ecuación Kij=(bijxhij

3)/h

2. Evalúense los coeficientes de giro (µij) con la ecuación µij= -1/2 (Kij/∑Kij), coeficientes de desplazamiento (ɣij)con la ecuación ɣij=-3/2(kij/2∑kij) y momentos de empotramiento (Mf

ij) con la ecuación Mfij= WL2/12 y momentos de piso según

kani (Mpk)con la ecuación

(Mpk)n=-(hn∑ni=1Hi)/3 Llévense estos valores a un esquema adecuado de la

estructura y calcúlense los momentos de fijación (M̅i)de cada uno.

3. Adóptese una secuencia de recorrido de los nudos, empezando por el de mayor momento de fijación para acelerar la convergencia.

4. Aplíquese a cada uno de los elementos que concurren a cada nudo la ecuación

M0ij= µij [M ̅i +∑i M0

ij + M”ij y escríbanse en el diagrama los resultados obtenidos (en el

primer ciclo en este paso M0ij es igual a cero para el primer nudo y los M”

ij son nulos para todos los elementos).

5. Una vez recorridos todos los nudos se calculan los momentos de de desplazamiento M”

ij de todas las columnas mediante las ecuaciones M”ij=

ɣij[Mpk+∑(M0ij+M0

ji)] ó la ecuación

M”ij= ɣij [∑(M0

ij+M0ji)]según corresponda. Es conveniente proceder piso por piso. Al

concluir este paso se habrá realizado un ciclo.

6. Repítase los pasos 3 y 4 una y otra vez hasta. obtener la convergencia deseada, tanto en los momentos de giro como en los de desplazamiento.

7. Con los valores finales aplíquense a cada elemento las ecuaciones Mij=MF

ij+2M0ij+M0

ij+M”ji y Mji=MF

ji+2M0ji+M0

ij+M”ji o su forma alterna Mij=MF

ij+M0ij+

(M0ij+M0

ji+M”ij) y Mji=MF

ji+M0ji+(M0

ji+M0ij+M”

ji), que sirven para agilizar el proceso y facilitar su verificación.

METODO DE TAKABEYA

La principal ventaja a comparación con la del método de Kani es el tiempo, ya que este método es realmente corto aún para un problema complicado, y cuyo método consiste en encontrar, por aproximaciones sucesivas, los giros de los nudos y los desplazamientos de los pisos, en lugar de los momentos debidos a ellos, con lo cual se disminuye considerablemente el número de operaciones. Esto lo hace sumamente útil. Una vez obtenida la convergencia de giros y desplazamientos, se procede a evaluar los momentos definitivos mediante las ecuaciones de ángulos de giro y deflexión.

PASO A PASO PARA DESARROLLAR PORTICOS POR EL METODO DE TAKABEYA EN ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO.

1. Evalúense los coeficientes de giro µij y momentos de empotramiento MFij.

2. Calcúlense los giros relativos iniciales de cada nudo φ0i mediante la ecuación φ0

i= - (∑(i)MF

ij)/(2∑(i)kij). Llévense estos valores a un esquema adecuado.

3. Adóptese una secuencia de recorrido de los nudos. Si se está trabajando a mano, para acelerar la convergencia conviene empezar por el de mayor giro inicial.

4. Aplíquese a cada nudo la ecuación φi = φ0i + ∑(i)( µijφj ) y escríbanse en el diagrama

los resultados obtenidos, que constituyen para el ciclo los valores de φi. Obsérvese que estos valores corresponden a los φj al pasar a los nudos opuestos.

5. Una vez recorridos todos los nudos se tiene concluido un ciclo. Se repite el paso 4 una y otra vez hasta obtener convergencia en todos los nudos.

6. Finalmente aplíquense las ecuaciones Mij=MFij+kij(2φi+φj) y Mij=MF

ij+kij(φi +2φj) a todos los elementos para obtener los momentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones verdaderas φi se pueden obtener despejando su valor en la ecuación φi=2ECθi.

PASO A PASO PARA DESARROLLAR PORTICOS POR EL METODO DE TAKABEYA EN ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTOS.

1. Evalúense los coeficientes de giro µij, los desplazamientos ɣij y los momentos de empotramiento MF

ij.

2. Calcúlense los giros relativos iniciales de cada nudo φ0i mediante la ecuación φ0

i= - (∑(i)MF

ij)/(2∑(i)kij) y los desplazamientos relativos iniciales de cada piso δ0n con la

ecuación δ0n = (hn∑n

i=1Hi)/(2∑(n)kij) Llévense estos valores a un esquema adecuado.

3. Adóptese una secuencia de recorrido de los nudos que facilite la sistematización de los cálculos.

4. Aplíquese a cada nudo la ecuación φi = φ0i + ∑(i) µij (φj+ δij) y escríbanse en el

diagrama los resultados obtenidos, que constituyen para el ciclo los valores de φi.

Estos valores corresponden a los φj al pasar a los nudos opuestos.

5. Una vez recorridos todos los nudos procédase a evaluar todos los desplazamientos de piso con la ecuación δn= δ0

n+∑(n)ɣij(φi+φj). Hecho esto, se habrá concluido un ciclo.

6. RepÍtase los pasos 4 y 5 hasta obtener convergencia de φi en todos los nudos y de δn en todos los pisos.

7. Finalmente aplíquense las ecuaciones Mij=MFij+kij(2φi+φj+δij) y Mij=MF

ij+kij(2φj+φi+ δij) a todos los elementos para obtener los momentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones y desplazamientos de piso verdaderos φi y Δn se pueden despejar de las ecuaciones φi=2ECθi y δij=6EC(Δij/hij).

LINEAS DE INFLUENCIA

Definición: Una línea de influencia es una gráfica de una función de respuesta de una estructura como función de la posición de una carga unitaria hacia abajo que se mueve de un lado a otro de esa estructura.

Objetivo: Analizar estructuras estáticamente determinadas sujetas a cargas variables (como las vivas y las ambientales), la cual consta de dos pasos: 1.Determinación de la posición (o posiciones) de la(s) cargas(s) en las que la función de respuesta que interesa (por ejemplo, una reacción, una cortante o un momento flexionante en una sección de una viga, o una fuerza en un miembro de una armadura) se hace máxima y 2. Cálculo del valor máximo de la función de respuesta.

PASO A PASO PARA LA COSNTRUCCIÓN DE LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA LAS REACCIONES, LAS CORTANTES Y LOS MOMENTOS FLEXIONANTES DE LAS VIGAS Y ARMAZONES, MEDIANTE LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE EQUILIBRIO.

1. Se selecciona el origen a partir del cual se medirá la posición de una carga unitaria hacia abajo y concentrada, en movimiento. Suele ser conveniente suponer que la carga unitaria se mueve desde el extremo izquierdo de la estructura hacia el derecho, con s posición definida por una coordenada x que se mide desde el extremo izquierdo de la propia estructura.

2. Para construir una línea de influencia para la reacción de un apoyo:

a. Coloque la carga unitaria a una distancia x del extremo izquierdo de la estructura y determine la expresión para la reacción, en términos de x, por la aplicación de una ecuación de equilibrio o condición. Si la estructura está compuesta de dos o más partes rígidas conectadas entre sí por articulaciones o rodillos internos, o por ambos tipos de ligas, la expresión para la reacción puede cambiar conforme la carga unitaria se mueve desde una de las partes rígidas hacia la siguiente, cruzando una articulación o rodillo interno. Por lo tanto, para ese tipo de estructuras, cuando se apliquen las condiciones de condición, la carga unitaria debe colocarse en forma sucesiva sobre cada parte rígida de la estructura que se encuentre en la trayectoria de ella, y debe determinarse una expresión para la reacción, para cada posición de la carga.

b. Una vez que se ha(n) determinado la expresión (o expresiones) para todas las posiciones de la carga unitaria, construya la línea de influencia al trazar la gráfica de la expresión (o expresiones) con la magnitud de la reacción como ordenada, contra la posición x de la carga unitaria como abscisa. Una ordenada positiva de la línea de influencia indica que la carga unitaria aplicada en ese punto hace que la reacción actúe en la dirección positiva (es decir, la dirección de la reacción usada inicialmente en la deducción de la ecuación de la línea de influencia) y viceversa.

c. Repetimos el paso 2 hasta que se hayan determinado todas las líneas de influencia deseadas para las reacciones.

3. En general, resulta conveniente construir las líneas de influencia para las cortantes y los momentos flexionantes mediante el uso de las líneas de influencia para las reacciones en los apoyos. Por tanto, antes de proceder con la construcción de una línea de influencia para la cortante o el momento flexionante en un punto de la estructura, hay que asegurarse que se dispone de las líneas de influencia para todas las reacciones, en cualquiera de los lados, izquierdo o derecho, del punto que se esté considerando. De lo contrario, trácense las líneas de influencia requerida para las reacciones, aplicando el procedimiento descrito en el paso anterior. Se puede construir una línea de influencia para la cortante (o el momento flexionante) en un punto de la estructura, como sigue:

a. Coloque la carga unitaria sobre la estructura, en una posición variable x, a la izquierda del punto que se esté considerando y determine la expresión para la cortante (o el momento flexionante). Si se conocen las líneas de influencia para todas las reacciones, entonces suele ser conveniente usar la parte de la estructura a la derecha del punto, para la determinación de la expresión para la cortante (o el momento flexionante), la cual contendrá términos que solo comprendan reacciones. Se considera que la cortante (o el momento flexionante es positiva(o) o negativa(o) de acuerdo con la conveniencia de los signos de la viga.

b. A continuación, coloque la carga unitaria a la derecha del punto que se esté considerando y determine la expresión para la cortante (o el momento flexionante). Si se conocen las líneas de influencia para todas las reacciones, entonces suele ser conveniente usar la parte de la estructura a la izquierda del punto, para la determinación de la expresión deseada, la cual contendrá términos que solo comprenden reacciones.

c. Si las expresiones para la cortante (o el momento flexionante) contienen términos que solo comprenden reacciones, entonces en general es más sencillo construir la línea de influencia para esa cortante (o momento flexionante) mediante la combinación de los segmentos de las líneas de influencia de las reacciones, de acuerdo con estas expresiones. De lo contrario, sustituya las expresiones para las reacciones en las expresiones para la cortante (o el momento flexionante) y trace las gráficas de las expresiones resultantes, las cuales ahora estarán en términos sólo de x, con el fin de obtener la línea de influencia.

d. Repetir el paso 3 hasta que se hayan determinado todas las líneas de influencia deseadas para las cortante y los momentos flexionantes.

PRINCIPIO DE MULLER-BRESLAU Y LÍNEAS CUALITATIVAS DE INFLUENCIA.

La construcción de las líneas de influencia para las funciones de respuesta que comprenden fuerzas y momentos se puede facilitar de modo considerable mediante la aplicación de un procedimiento desarrollado por Heinrich Muller-Bresalau, en 1986. El procedimiento, el cual comúnmente se conoce como principio de Muller-Bresalau, se puede enunciar del modo siguiente: La línea de influencia para una función de respuesta de fuerza (o de momento) queda dada por la forma deformada de la estructura liberada que se obtiene al eliminar la restricción correspondiente a la función de respuesta de la estructura original y al dar a la estructura liberada un desplazamiento (o rotación) unitario (a) en el lugar y en la dirección de la función de respuesta, de modo que sólo la función de respuesta y la carga unitaria efectúen trabajo externo.

Este principio es sólo válido para las líneas de influencia para las funciones de respuesta que contienen fuerzas y momentos (por ejemplo, reacciones, cortantes, momentos flexionantes o fuerzas en los miembros de armaduras) y no se aplica a las líneas de influencia para las deflexiones.

Ejemplo: Encuentre las posiciones que producen máxima reacción en B, máximo corte en C y máximo momento en B. V Varia entre 4,3 m y 9.0 m, suponga V = 4.3 m

Solución:

A) Máxima reacción en B. Por inspección se ve que el máximo valor se obtendrá cuando el tren de cargas se encuentra con el eje intermedio sobre la articulación y el camión viaja en cualquiera de los dos sentidos.

Las ordenadas se obtienen midiendo a escala o por triángulos semejantes. Resulta entonces:

Y1 = 0.573 y2 = 1.000 y 3 = 0.573

R B MAX = P1 y 1 + P 2 y 2 + P3 y 3 =

= 35 x 0.573 + 145 x 1 + 145 x 0.573 = 248 kN

B) Para el máximo corte en C, el tren de cargas debe estar en la posición señalada en seguida:

Por último, para que el momento en B sea máximo, el camión debe estar en la siguiente posición:

Resulta entonces:

Y1 = 0 y 2 = 3.730 y3 = 8.000

MBMAX = 35 x 0 + 145 x (8.000 + 3.730) = 1701 KN ·m

Con lo cual queda resuelto el problema.

PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS BASADO EN UNA COMBINACIÓN DEL PRINCIPIO DE MULLER-BRESLAU Y EL METODO DEL EQUILIBRIO, PARA FACILITAR LA CONSTRUCCION DE LÍNEAS DE INFLUENCIA.

Ventaja: Permite construir la línea de influencia para cualquier función de respuesta de fuerza o de momento, sin tener que determinar de antemano las líneas de influencia para otras funciones las cuales pueden ser necesarias o no. Por ejemplo, la construcción de las líneas de influencia para las cortantes y los momentos flexionantes, por este procedimiento, no requiere el uso de las líneas de influencia para las reacciones.

1. Dibujar la forma general de la línea de influencia por la aplicación del principio de Muller- Bresalau:

a. Partiendo de la estructura dada, eliminar la restricción correspondiente a la función de respuesta cuya línea de influencia se desea, para obtener la estructura liberada.

b. Aplique un(a) pequeño(a) desplazamiento (o rotación) a la estructura liberada, en el lugar y en la dirección positiva de la función de respuesta. Dibuje una forma deformada de la estructura liberada que sea coherente con las condiciones de apoyo y de continuidad de ésta, para obtener la forma general de la línea de influencia. Recordando que las líneas de influencia para las estructuras estáticamente determinadas sólo constan de segmentos rectilíneos.) Entonces, si sólo se desea la línea cualitativa de influencia, finalice el análisis en esa etapa. De lo contrario, continúe con el paso siguiente.

2. Determine los valores numéricos de las ordenadas de la línea de influencia mediante la aplicación del método de equilibrio y de la configuración geométrica de la propia línea.

a. Coloque una carga unitaria sobre la estructura dada (es decir, no liberada, en la ubicación de la función de respuesta y determine el valor numérico de la ordenada de la línea de influencia en ese lugar aplicando la ecuación (o ecuaciones de equilibrio) o de condición, o de ambos tipos. Si la función de respuesta que interesa es un cortante, entonces la carga unitaria debe colocarse de manera sucesiva en dos lugares, precisamente a la izquierda y a la derecha del punto en donde se desea la cortante, y deben calcularse los valores de las ordenadas de la línea de influencia en esos lugares. Si la ordenada de la línea de influencia en la ubicación de la función de respuesta es cero, entonces colocar la carga unitaria en la ubicación de la ordenada

máxima o mínima, y determine el valor numérico de esa ordenada por la consideración de equilibrio.

b. Aplicando la configuración geométrica de la línea de influencia, determine los valores numéricos de todas las ordenadas restantes, en donde ocurren los cambios en pendiente de esa línea.

ANALISIS DE VIGAS Y MARCOS PLANOS CON EL USO DEL METODO DE LA RIGIDEZ

OBSERVACIONES

Antes de aplicar el método de la rigidez a vigas y marcos, es importante conocer algunos conceptos y definiciones preliminares relacionadas con dichas estructuras.

Identificación de miembros y nodos

Para aplicar el método de la rigidez a vigas y marcos, debemos primero determinar cómo subdividir la estructura en sus componentes de elementos finitos. En general, los nodos de cada elemento se localizan en un soporte, en una esquina o un nudo, en los que se aplica una fuerza externa o donde va a determinarse el desplazamiento lineal o rotación de un punto (o nodo). Por ejemplo, considere el marco en la figura 15-1a. Mediante el mismo esquema empleado para las armaduras, los cuatro nodos se especifican con un número dentro de un círculo y los tres elementos se identifican mediante un número en un cuadrado. Observe que también en los extremos “cercano” y “alejado” de cada miembro se identifican mediante las flechas marcadas a lo largo de cada miembro.

Coordenadas de miembro y globales

El sistema coordenado global o de la estructura se identificara con el uso de ejes x, y, z que tienen generalmente su origen en un nodo y están posicionados de manera que todos los nodos en otros puntos de la estructura tengan coordenadas positivas, figura 15-1a. Las coordenadas locales o de miembro x´, y´, z´ tienen su origen en el extremo “cercano” de cada miembro del eje x´ positivo está dirigido hacia el extremo “alejado”. La figura 15-1b muestra esas coordenadas para el elemento 3. En ambos casos hemos usado un sistema coordenado rígido por la regla de la mano derecha, de modo que, si los dedos de la mano derecha se curvan del eje x (x’) hacia el eje y (y´), el pulgar señalara en la dirección positiva del eje z (z´), que señala hacia afuera de la página.

Fig. 15-1

Grados de la libertad

Una vez identificado los miembros y nodos y que se ha establecido el sistema global de coordenadas, pueden determinarse los grados de libertad de la estructura.

Marcos. Al derivar los métodos clásicos de análisis, despreciamos la deformación en los miembros del marco causada por fuerza axial y fuerza cortante y consideramos solo el efecto de la flexión. Esto es justificable ya que las fuerzas axiales o cortantes, en general, no contribuyen en forma considerable a la deflexión de los miembros del marco. Sin embargo, en el análisis que sigue, podemos proporcionar fácilmente un análisis más exacto del marco incorporando los desplazamientos por flexión y fuerza axial en el método de la rigidez. (El pequeño efecto de la fuerza cortante puede también incluirse en el análisis) en consecuencia, cada nodo de un miembro del marco tendrá tres grados de libertad, cada uno de los cuales se identifican por medio de un número de código. Como el caso de las armaduras, los números de códigos más pequeños se usan para identificar los desplazamientos desconocidos (grados de libertad no restringidos) y los números mayores se usan para identificar los desplazamientos conocidos (grados de libertad restringidos). Un ejemplo de etiquetación con números de código para un marco se muestra también en la figura 15-1ª. Aquí, el marco tiene 12 grados de libertad, para los cuales los números de código del 1 al 8 representan desplazamientos desconocidos y del 9 al 12 representan desplazamientos conocidos, que en este caso son iguales a cero.

Vigas. Si despreciamos los efectos de la fuerza axial y la fuerza cortante y consideramos solo deflexiones de vigas causadas por flexión, como el análisis clásico, el tamaño de la matriz de rigidez de estructura será algo pequeño. Además, si la viga no tiene volados de patín, o si los soportes no tienen un desplazamiento transversal por asentamientos, entonces cada nodo, si está localizado en un soporte, tiene solo un grado de libertad, representado como un desplazamiento angular. Así, la viga continua mostrada en la figura 15-2 se etiqueta con tres nodos y dos miembros y tiene tres grados de libertad. Los números de código 1 y 2 indican los desplazamientos angulares desconocidos y el número de código 3 indica el desplazamiento angular conocido (cero).

Fig. 15-2

Carga intermedia de un miembro

Si un elemento de marco o viga soporta una carga lateral entre sus nodos, será conveniente para un análisis matricial que los efectos que esta carga se conviertan en una carga equivalente en los nodos. Esto se debe a que el método de la rigidez, igual que todos los métodos de desplazamientos, se basa en plantear ecuaciones de equilibrio en los nodos y, por lo tanto, si se hace esta conversión de cargas, las ecuaciones de equilibrio pueden escribirse en forma sencilla.

Para mostrar cómo tratar un caso de carga lateral, consideramos elemento de la viga o marco sometido a una carga distribuida constate como se muestra en la figura 13-3ª. Por el principio de su preposición, esta carga puede representarse por (1) el elemento cargado con los momentos de empotramiento y las fuerzas cortantes en los nodos del elemento, figura 15-3b, y (2) el elemento, que se supone esta empotrado y sometido a la carga real y a sus reacciones en los empotramientos, figura 15-3c. El análisis matricial se efectúa solo para la carga mostrada en la figura 15-3b, ya que las cargas en el caso de los extremos empotrados pueden determinarse directamente. En otras palabras, una vez determinado el análisis matricial de la carga en la figura 15-3b, las cargas internas y desplazamientos reales en puntos a lo largo del elemento puede obtenerse por superposición de los efectos causados por las fuerzas nodales, figura 15-3b, por la carga distribuida y por las reacciones en los empotramientos, figura 15-3c. Las reacciones en los empotramientos para otros casos de carga se dan en el forro interior de la cubierta. La aplicación de este procedimiento se ilustra numéricamente en los ejemplos 15-1 y 15-3. El desarrolla del método de la rigidez para vigas y marcos es igual que el procedimiento utilizado por armaduras. Primero debemos establecer las matrices de rigidez de los miembros y luego las matrices de transformación para desplazamientos y cargas. Combinando estas matrices, podemos formar la matriz de rigidez de la estructura a partir del cual podemos determinar las cargas internas y los desplazamientos desconocidos.

Fig.15-3

En esta sección desarrollaremos la matriz de rapidez de un miembro de un marco referido a un sistema de coordenadas locales x´, y´, z´, figura 15-4. El origen se coloca en el extremo “alejado” f. en cada extremo del elemento hay tres reacciones, que consisten en

fuerzas axiales y en fuerzas cortantes y y en momentos

flexionales y todas esas cargas actúan en las direcciones coordenadas

positivas. En particular y son positivos en sentido contrario a las manecillas del reloj, ya que según la regla de la mano derecha, están dirigidos a lo largo del eje positivo z´ que es hacia afuera de la página. Los desplazamientos lineales y angulares asociados con esas cargas siguen también la misma convención de signo positivo. Impondremos ahora por separado esos desplazamientos y luego determinaremos las cargas que actúan en el miembro como consecuencia de cada desplazamiento.

Fig. 15-4

Desplazamientos x´

Si el miembro sufre un desplazamiento o un desplazamiento se generan las fuerzas axiales en los extremos del miembro mostradas en la figura 15-5ª y 15-5b.

Fig.15-5

Desplazamientos y´

Las fuerzas cortantes y momentos flexionantes resultantes que se generan cuando se

impone un desplazamiento positivo mientras todos los otros posibles desplazamientos están impedidos, se muestran en la figura 15-6ª. En partículas, el momento se ha desarrollado en la sección 10.1 como la ecuación 10-5. Igualmente,

cuando se impone las fuerzas cortantes y momentos requeridos son los mostrados en la figura 15-6b.

Fig.15-6

Rotaciones z´

Si se impone una rotación positiva mientras que todos los otros posibles desplazamientos están impedidos, las fuerzas cortantes y momentos requeridos para esta deformación son como se muestra en la figura 15-7ª. En particular, el momento que resulta se desarrolla en la sección 10.1 como las ecuaciones 10-1 y 10-2. Igualmente,

cuando se impone las cargas resultantes son como se muestra en la figura 15-7b.

Fig. 15-7

Por superposición, si se suman los resultados anteriores en las figuras 15-5 a la 15-7, las seis relaciones carga-desplazamiento para el miembro pueden expresarse en forma matricial como

(15-1)

Estas ecuaciones pueden también escribirse en forma abreviada como

q=k ´d (15-2)

A la matriz simétrica k´ en la ecuación 15-1 se llama matriz de rigidez de miembro. Los 36

coeficientes de influencia que contiene, toman en cuenta las formas axiales, cortantes y momento flexionante por desplazamientos del miembro. Físicamente, estos coeficientes representan la carga sobre el miembro cuando este sufre un desplazamiento unitario

específico. Por ejemplo, si =1, figura 15-5ª, mientras todos los desplazamientos son

cero, el miembro será sometido a las fuerzas =AE/L y =-AE/L, como s indica en la primera columna de la matriz k´. De manera similar, las otras columnas de la matriz k´ son las cargas en el miembro por desplazamientos unitarios identificados por la codificación de los grados de libertad indicada arriba de las columnas. En el desarrollo, se han satisfecho tanto el equilibrio como la compatibilidad de los desplazamientos.

MATRICES DE TRANSFORMACION DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS

Como en caso de las armaduras, debemos transformar las cargas internas q de miembro así como las deformaciones d de coordenadas locales x´, y´, z´ a coordenadas globales x, y, z. por esto se requieren matrices de transformación.

Matriz de transformación de desplazamientos

Fig 15-8

Considere el miembro del marco mostrado en la figura 15-8ª. Se ve aquí como un

desplazamiento de coordenada global genera desplazamientos de coordenadas locales.

Igualmente, un desplazamiento de coordenada global figura 15-8b, genera desplazamientos de coordenadas locales.

Finalmente, como los ejes z´ y z coinciden, esto es, están dirigidos hacia fuera de la

página, una rotación de alrededor de z genera una correspondiente rotación alrededor de z´. Así entonces,

De manera similar, si desplazamientos globales en la dirección z, en la

dirección y una rotación se impone sobre el extremo alejado del miembro, las ecuaciones de transformación resultantes son, respectivamente,

Si = representan los cosenos directores del miembro, podemos escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial como

Por inspección, T transforma los seis desplazamientos globales D en x, y, z en los seis desplazamientos locales d en x´, y´, z´. Por esto, a T se le llama matriz de transformación de los desplazamientos.

Matriz de transformación de fuerzas

Si ahora aplicamos cada componente de carga al extremo cercano del miembro, podemos determinar cómo transformar las componentes de carga, de coordenadas locales a

globales. Si aplicamos figura 15-9ª, vemos que

Si aplicamos figura 15-9b, sus componentes son entonces

Finalmente, como es colineal con tenemos

De manera similar, las cargas extremas de darán las siguientes componentes respectivas

Estas ecuaciones, agrupadas en forma matricial con

, dan

Aquí, como se establecientes, transforma las seis cargas de miembro expresadas en coordenadas locales a las seis cargas expresadas en coordenadas globales.

MATRICES DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN MIEMBRO DE UN MARCO

Con los resultados anteriores, los combinamos ahora para determinar la matriz de rigidez de un miembro que relacione las cargas globales Q con los desplazamientos globales D. para ello, sustituimos la d de la ecuación 15-2 (q=k’ d) por la ecuación 15-4 (d=TD), de modo que tenemos

q=K’TD

Aquí las fuerzas q de miembro se relacionan con los desplazamientos globales D. si se

sustituye este resultado por la q de la ecuación 15-6 , se obtiene el resultado final

(15-8)

O

Donde,

(15-9)

Aquí, k representa la matriz de rigidez global del miembro. Podemos obtener su valor en forma generalizada por medio de las ecuaciones 15-5, 15-1,15-3 y efectuando las operaciones matriciales. Esto da un resultado final,

(15-10)

Observe que esta matriz de 6x6 es simétrica. Además la posición de cada elemento está

asociada con la codificación en el extremo seguida de la del extremo alejado

que se muestran en la parte superior de las columnas y a lo largo de los renglones. Igual que la matriz k’, cada columna de la matriz k representa las cargas en coordenadas globales sobre los nodos del miembro, necesarias para resistir un desplazamiento unitario en la dirección definida por el número codificado de la columna. Por ejemplo, la primera columna de k representa las cargas en coordenadas globales en los extremos cercano y alejado causadas por un desplazamiento unitario en el extremo

cercano en la dirección x, esto es

MATRICES DE RIGIDEZ GLOBAL DE UNA VIGA

Si los soportes no sufren desplazamientos transversales como asentamientos, o si la viga no tiene un volado de patín, entonces, en general, cada uno de los soportes de la viga tendrá solo un grado de libertad, llamado un desplazamiento angular , entonces la matriz de rigidez de una viga puede determinarse cancelando renglones y columnas de la matriz

del marco en la ecuación (15-10) asociados a los desplazamientos a lo largo de

ya que los soportes de la viga no tienen ningún grado de libertad en estas direcciones. Además, AE/L no es pertinente, ya que no se consideran desplazamientos ni las cargas axiales. En consecuencia, la matriz de rigidez de una viga queda representada por cuatro elementos que son

(15-11)

Debe observarse que esta matriz es equivalente a la matriz de rigidez del miembro en coordenadas locales, k’, ya que las rotaciones no se transforman, esto es k =k’ T.

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LA RIGIDEZ AL ANÁLISIS DE VIGAS Y MARCOS

Ahora que hemos desarrollado k, podemos formular un procedimiento para aplicar el método de la rigidez al problema de vigas y marcos.

Matriz de rigidez de la estructura

Una vez que se han encontrado todas las matrices de rigidez de los miembros, debemos ensamblarlas en la matriz de rigidez de la estructura k. este procedimiento depende primero en la posición de conocer la posición de cada elemento en la matriz de rigidez de miembro. A este respecto, recuerde que los renglones y las columnas de cada matriz k (ecuación 15-10) se identifican por los tres números de código en el extremo alejado (FX´

FY´ FZ). Por lo tanto al ensamblar las matrices, cada elemento debe colocarse en la misma posición de la matriz k. de esta manera, k tendrá un orden que será igual al número de código mayor asignado a la estructura. Ya que representa el número total de grados de libertad en la estructura. Cuando varios miembros se conectan a un nodo, ellos tendrían la misma posición en la matriz k y por lo tanto esos coeficientes de influencia de rigidez de miembro deben sumarse algebraicamente entre sí para determinar el coeficiente de influencia de rigidez nodal para la estructura. Esto es necesario ya que cada coeficiente representa la resistencia nodal de la estructura en una dirección particular (x, y o z) cuando ocurre un desplazamiento unitario (x, y o z) en el mismo u otro nodo. Por ejemplo, k26 representa la carga en la dirección y en la posición del numero de código “2” cuando ocurre un desplazamiento unitario en la dirección y la posición del numero de código “6”.

Procedimiento de análisis

Con este método determinamos los desplazamientos, las reacciones en los soportes y las cargas internas para los miembros o elementos finitos de una viga o un marco estáticamente determinado o indeterminado.

Notación

Divida la estructura en elementos finitos e identifique arbitrariamente cada elemento y sus nodos. Use un número escrito dentro de un círculo para un nodo y un número encerrado en un cuadrado para un miembro. Por lo general, un elemento se extiende entre puntos de soporte, puntos de cargas concentradas, esquinas o nudos, o puntos donde las cargas internas o desplazamiento deben determinarse. Especifique los extremos cercano y alejado de cada elemento con una flecha trazada a lo largo del elemento y con la punta dirigida hacia el extremo alejado.

Establezca el sistema de coordenadas globales X, Y, Z, con el origen en un punto nodal de uno de los elementos y los ejes localizados de manera que todos los nodos tengan coordenadas positivas. En cada punto nodal de un marco, especifique numéricamente las tres componentes codificadas X, Y, Z. si se considera una viga continua sin volados de patín o desplazamientos transversales de sus soportes, y si los nodos están en los

soportes, use un número de código solo para identificar el desplazamiento angular en cada soporte. En todos los casos use los números más bajos para identificar los grados de libertad no restringidos y los números mayores para identificar los grados de libertad restringidos. De acuerdo con el problema, establezca los desplazamientos conocidos Dk y las cargas externas conocidas Qk.

Matriz de rigidez de la estructura

Aplique la ecuación 15-10 para determinar la matriz de rigidez de cada elemento expresado en coordenadas globales. En particular, los cosenos directores

y se determinan a través de coordenadas x, y, de los extremos del elemento, ecuaciones 14-5 y 14-6.

Después de determinada cada matriz de rigidez de miembro e identificados los renglones y columnas con los números de código apropiados, ensamble las matrices para determinar la matriz de rigidez de la estructura k. como comprobación, las matrices de miembro y de la estructura deben ser simétricas.

Desplazamientos y cargas

Subdividida la matriz de rigidez según la ecuación 14-17. El desarrollo conduce, entonces, a

QK=K11DU+K12DK

QU=K21DU+K22DK

Estas ecuaciones expresan el equilibrio por fuerzas y momentos de cada nodo.

Los desplazamientos desconocidos Du se determinan con la primera de esas ecuaciones. Por medio de esos valores, las reacciones Qu en los soportes se calculan con la segunda ecuación. Finalmente, las cargas internas q en los extremos de los miembros pueden calcularse combinando las ecuaciones 15-2 y 15-4, lo que da

q = K´ TD

Soporte de un puente estáticamente determinado

EJEMPLO Nº2

Determine las cargas en los nudos del marco de dos miembros que se muestra en la figura 15-11ª. Considere 1= 500 in4, A =10 in2 y E=29(103) ksi para ambos miembros.

Solución.

Notación. Por inspección, el marco tiene dos elementos y tres nodos que se identifican como se muestra en la figura 15-11b. El origen del sistema coordenado global se ha fijado en 1. Los números de código en los nodos se especifican con los grados de libertad no restringidos numerados primero. De las restricciones en 1 y en 3 y de las cargas aplicadas, tenemos

Matriz de rigidez de la estructura. Los siguientes términos son comunes a ambas matrices de rigidez:

Miembro 1.

Se sustituyen los datos en la ecuación 15 -10, y tenemos

Las columnas y los renglones de esta matriz de 6 x 6 están identificados por los tres números de código x, y, z, primero en el extremo respectivamente, fig. 15- 11 Esto se hace así para el posterior ensamble de los elementos.

Miembro 2:

Sustituyendo los datos de la ecuación 15-10 se obtiene

Como siempre, la identificación de columnas y renglones se hace por medio de los números de código en la secuencia x, y, z para los extremos cercano y lejano, respectivamente, esto es, 1, 2, 3 y luego 7, 8, 9, figura 15-11b.

La matriz de la rigidez de la estructura se determina ensamblado k1 y k2. El resultado, mostrado subdividido, ya que Q=KD, es

Desplazamientos y cargas. Si desarrollamos, para determinar los desplazamientos, obtenemos

Despejamos y resulta

Con estos resultados, se determina las reacciones a partir de la ecuación (1) como sigue:

Las cargas internas en el nodo 2 pueden determinarse aplicando la ecuación 15-7 al miembro 1. Aquí, k´ está definida por la ecuación 15-1 y T1 por la ecuación 15-3. Así,

Note el arreglo apropiado de los elementos en las matrices como se indica por los números de código a lo largo de las columnas y renglones. Al despejar, se obtiene

Resp.

Los resultados anteriores se muestran en la figura 15-11c. Las direcciones de esos vectores están de acuerdo con las direcciones positivas definidas en la figura 15-3. Además, el origen de los ejes locales x´, y´, z´ está en el extremo cercano del miembro 2 se muestra en la figura 15-11d.

(15-11c, 15-11d)

ANÁLISIS DE ARMADURAS CON EL USO DEL MÉTODO DE LA RIGIDEZ

Un método de fuerza se basa en especificar primero las fuerzas redundantes externas o internas y luego determinar esas fuerzas mediante condiciones de compatibilidad de desplazamientos junto con relaciones de carga-desplazamiento. Una vez se determinan las fuerzas en la estructura, los desplazamientos pueden calcularse con ayuda de alguno de los métodos de deflexiones.

El método de la rigidez mediante el análisis matricial, es un método de análisis de desplazamientos también puede usarse como un método para el análisis de fuerzas para el análisis estructural.

El método de la rigideces en el que las ecuaciones de equilibrio en los nudos se escriben en términos de sus desplazamientos desconocidos. El método de rigideces elimina la necesidad de seleccionar redundantes y una estructura fundamental.

El método de la rigidez puede usarse para analizar estructuras tanto determinadas como indeterminadas. El método de la rigidez requiere subdividir la estructura en una serie de elementos finitos e identificar sus puntos externos como nodos. Para el análisis de las armaduras, los elementos finitos se representan por cada uno de los miembros que forman la armadura y los nodos representan los nudos. Se determinan las propiedades de fuerza – desplazamientos de cada elemento y luego se relacionan entre si mediante las ecuaciones de equilibrio planteadas en los nodos. Esas relaciones de todos los miembros de la estructura se agrupan luego en lo que se llama matriz de rigidez. Una vez realizada la matriz se pueden determinar los desplazamientos desconocidos de los nodos pueden determinarse para cualquier carga en la estructura. Cuando se conocen esos desplazamientos, las fuerzas externas e internas en la estructura pueden calcularse mediante las relaciones fuerza desplazamiento para cada miembro.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO DE ARMADURA

Para estos casos se establece la matriz de rigidez para un miembro de armadura usando el plano X, Y. esta matriz representa la relación carga-desplazamiento entre los extremos del miembro cuando esta sometido a sus varios desplazamientos y cargas.

Un miembro de armadura solo puede desplazarse a lo largo de su eje X, puesto que las cargas están aplicadas en este eje. Entonces son posibles dos desplazamientos independientes.

En el siguiente caso se muestra un miembro que es sometido a fuerzas de desplazamiento positivo, dN sobre el extremo cercano del miembro mientras el extremo alejado se mantiene articulado. Las fuerzas desarrolladas en los extremos del miembro son

q’F es negativa ya que por equilibrio actúa en sentido X’ negativo. Igualmente, un desplazamiento positivo dF del extremo alejado, manteniendo el extremo cano articulad, en la segunda figura conduce a las fuerzas de miembro.

Por superposición, en la tercera figura, el efecto resultante de dN y dF es

Estas ecuaciones de carga desplazamiento se pueden escribir en forma matricial, de la siguiente manera:

Ó (q = k’d) Donde:

Esta matriz k’ se llama matriz de rigidez de miembro y es de la misma forma para cada miembro de la armadura. Los cuatro miembros que la componen se denominan

coeficientes de influencia de rigidez del miembro representa la fuerza en el nudo i

cuando se impone un desplazamiento unitario solo en el nudo j.

MATRICES DE TRANSFORMACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS

Una armadura esta constituida por una gran cantidad de elementos, se desarrollo un método para transformar las fuerzas (q) de miembro y los desplazamientos (d) de miembro definidos en coordenadas locales a un sistema de coordenadas X,Y globales o de la estructura, para toda la armadura. Los ángulos más pequeños entre los ejes X, Y y el eje local X’ se representan por: θx y θy.

Los cosenos de estos ángulos se usan en el análisis matricial. Esto se identifica con λx = cos θx ; λy = cos θy. Los valores numéricos para λx y λy se definen de la siguiente manera.

Matriz De Transformación De Desplazamientos

En coordenadas globales, cada extremo del miembro puede tener dos grados de libertad

o desplazamientos independientes; o sea, el nudo N tiene y como se muestra

en las primeras dos figuras y el nudo F tiene y en las otras dos figuras.

Considerando por separado estos desplazamientos globales, para determinar cada componente de desplazamiento a lo largo del miembro. Cuando el extremo alejado se

mantiene articulado y al extremo cercano se le da un desplazamiento global en la

primera figura. El desplazamiento correspondiente a lo largo de la barra es de

la misma manera, un desplazamiento global ocasionara que la barra se desplace

a lo largo del eje X’. El efecto de los dos desplazamientos globales es por

tanto.

De manera similar, los desplazamientos positivos y aplicados sucesivamente en

el extremo alejado F mientras el extremo cercano se mantiene articulado, como se muestra en las figuras 3 y 4, ocasionaran que el miembro se desplace.

Si y representa los cosenos directores del miembro, se obtiene:

Y esto se escribe de forma matricial de la siguiente manera

d = TD donde:

En la derivación anterior, T transforma los cuatro desplazamientos globales x, y D en los dos desplazamientos (d) locales X’. Por ello, a T se le llama matriz de transformación de desplazamientos.

Matriz De Transformación De Fuerzas

Considere ahora la aplicación de la fuerza al extremo cercano del miembro,

manteniendo el extremo alejado articulado, en estos casos los componentes globales de

la fuerza en los nudos llamados N y F son:

Con los cosenos directores: estas expresiones se remplazan

en la ecuación quedando de la siguiente manera:

Y se expresan en forma matricial así:

Donde:

En este caso transforma las dos fuerzas (q) locales que actúan en los extremos de los

miembros en las cuatro componentes (Q). Esta matriz de transformación de fuerzas es la transpuesta de la matriz de transformación de desplazamientos.

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN MIEMBRO

Se toman los resultados de las secciones precedentes y se determina la matriz de rigidez para un miembro que relaciona las componentes globales de fuerza (Q) del miembro con

sus desplazamientos globales D. se remplaza en las ecuaciones en ,

podemos determinar las fuerzas (q) del miembro en términos de los desplazamientos

globales D en sus puntos extremos. Y a su vez se sustituye q en

teniendo . Se obtiene , donde

La matriz k es la matriz de rigidez del miembro en coordenadas globales como , T y k’

son conocidas, tenemos

La localización de cada elemento en esta matriz simétrica de 4*4 esta relacionada con cada grado de libertad global asociado con el extremo cercano N, seguido del extremo alejado F. esto se indica por la notación de números codificados a lo largo de renglones y

columnas esto es . Igual que k’, k representa aquí las relaciones fuerza

desplazamiento para el miembro cuando las componentes de fuerza y desplazamiento en los extremos del miembro están dadas en las direcciones globales o direcciones X, Y. cada uno de los términos de la matriz es por lo tanto un coeficiente de influencia de

rigidez , que denota la componente de fuerzas en (x) o en (y) en (i) necesaria para

generar en (j) una componente de desplazamiento unitario en (x) o en (y).en consecuencia, cada columna identificada de la matriz representa las cuatro componentes de fuerza desarrolladas en los extremos del miembro cuando el extremo identificado sufre un desplazamiento unitario relaciones con su columna en la matriz. Por ejemplo, un

desplazamiento unitario generara las cuatro componentes de fuerza sobre el

miembro mostradas en la primera columna de la matriz.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

Con todas las matrices de rigidez de miembro son expresadas en coordenadas globales, el siguiente paso es organizarlos en el orden correcto para formular la matriz (K) de rigidez de la estructura para la armadura entera. Este proceso de combinar las matrices de miembro depende de la identificación de los elementos de cada matriz. Esto se hace designando los renglones y columnas de la matriz con los cuatro números de código

usados para identificar los dos grados de libertad que pueden

representarse en cada extremo del miembro

La matriz de rigidez de la estructura tendrá entonces un orden que será igual al número de código más alto asignado a la estructura, por que este representa el número de grados de libertad de toda la estructura. Cuando se ensamblan las matrices (k), cada elemento de (k) se escribe en su misma designación de renglón y columna en la matriz de rigidez de la estructura (K). Cuando sucede esto, los elementos asignados a la posición común deben sumarse entre si algebraicamente. Y esto es debido a que cada elemento (k) representa la resistencia del miembro a una fuerza aplicada en su extremo. De este modo, al sumar esas resistencias en la dirección x ó y al tiempo que se forma la matriz (K) es un simbolismo de la determinación de la resistencia total de cada nudo a un desplazamiento unitario en la dirección x ó y.

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LA RIGIDEZ AL ANÁLISIS DE ARMADURAS

Este método sirve para determinar los desplazamientos y reacciones desconocidas en una armadura usando el método matricial de la rigidez. Este método es apropiado para cualquier tipo de armadura.

Ya formada la matriz de la rigidez de la estructura, podemos determinar los desplazamientos de los nudos, las reacciones externas y las fuerzas internas en los miembros. Se asignan números de código menores para identificar los grados de libertad

no restringidos, esto nos permitirá subdividir de la siguiente forma a

Donde:

: Son las cargas y desplazamientos externos conocidos; (los desplazamientos

generalmente se toman iguales a cero)

: son las cargas y desplazamientos desconocidos; (los desplazamientos son en los

nudos donde no hay restricción alguna)

K: matriz de rigidez de la estructura.

Regularmente por que sus soportes no se desplazan, quedando;

Como los elementos de la matriz subdividida representan la resistencia total en el

nudo de una armadura a un desplazamiento unitario en la dirección x ó y, la anterior ecuación simboliza representa el conjunto de todas las ecuaciones de equilibrio de fuerzas aplicadas a los nudos donde las cargas externas son cero o tienen un valor

conocido . Despejando

Con esta ecuación se puede obtener la solución directa para todos los desplazamientos desconocidos de nudo. De la misma manera con:

Se puede determinar las reacciones desconocidas en los soportes y las fuerzas en los miembros pueden hallarse con:

Obteniendo:

Como por equilibrio, , solo una de las fuerzas tiene que encontrarse. Aquí se

determina , aquella que ejerce tensión en el miembro.

Si el resultado calculado con la ecuación es negativo, el miembro estará a compresión.

CONLUSIONES

• La reacción máxima debida a una simple carga concentrada, ocurre cuando la carga está en el apoyo y es igual al valor de dicha carga.

• La reacción máxima debida a una carga uniformemente repartida, ocurre cuando la viga está totalmente cargada y es igual al producto del área de la línea de influencia de dicha reacción por el valor de la carga repartida.

• La fuerza de corte máxima en una sección C, debida a una simple carga concentrada, ocurre cuando la carga esta justo a la derecha o a la izquierda de la sección, sobre el mayor de los segmentos en que queda dividida la viga. Su valor es el de la ordenada correspondiente, multiplicada por el valor de la carga.

• El algebra matricial es una herramienta muy importante para el análisis estructural y es necesario que los ingenieros estén familiarizados con este tipo de operaciones matemáticas para así poder tener un mayor manejo a la hora de realizar cualquier ejercicio estructural

BIBLIOGRAFIA

• Análisis estructural. R.C. Hibbeler. Prentice Hall. Pag. 635 – 651

• Análisis estructural. Jairo Uribe Escamilla.

• Análisis estructural. McCormac Elling.

• http://ing.unne.edu.ar/pub/e3_cap6.pdf