capitulo 7 metodo de kani

MTODO DE KANI 275

7.1 INTRODUCCIN

l mtodo tradicional para analizar prticos con desplazamiento, mediante distribucin de momentos, visto en el numeral 6.12 del captulo anterior, se vuelve su- mamente engorroso para estructuras de muchos grados de libertad, tales como los edificios para oficinas o apartamentos corrientes.

Su programacin, aunque no es difcil, tiene el inconveniente de consumir demasiada memoria de la computadora, ya que es necesario mantener almacenados los resultados de tantos crosses como desplazamientos de piso ms uno tenga la estructura, y adems resolver un sistema de ecuaciones de orden similar. El mtodo alterno contemplado en el numeral 6.13 obvia esos inconvenientes y es por eso preferido para el anlisis mediante computadora. Sin embargo, su aplicacin manual puede considerarse algo complicada por el peligro de cometer errores u omisiones que no son fcilmente detectables. Afortunadamente, para soluciones manuales se haban desarrollado antes de la generali-zacin de la computacin electrnica otros mtodos ms sencillos, aplicables a vigas continuas y prticos ortogonales, principalmente los de Kani (referencia 7.1) y Takabeya (referencia 7.2). Estos mtodos tambin son fcilmente programables, de ah la popu-laridad que llegaron a alcanzar. En este captulo se estudiar el primero de ellos, o sea el de Kani.

7.2 VENTAJAS DEL MTODO DE KANI En la introduccin al libro citado, Kani hace hincapi en que su mtodo ofrece las si-guientes ventajas:

1. Se trata de un mtodo de aproximaciones sucesivas y, en consecuencia, las res-puestas se pueden lograr con la exactitud que se desee, mientras las hiptesis fundamentales y los datos bsicos lo permitan.

2. La inclusin de los efectos de desplazamiento se hace en forma muy simple.

3. La formulacin del procedimiento conduce a una eliminacin prcticamente auto-mtica de los errores ocasionales.

E

276 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

4. Es muy fcil verificar en cualquier nudo la bondad de los resultados.

5. Los cambios eventuales de cargas o dimensiones en cualquier elemento se pueden tener en cuenta con muy poco esfuerzo adicional.

6. No es difcil de aplicar a estructuras con miembros acartelados.

Es claro que siendo fundamentalmente un mtodo de distribucin de momentos, varias de estas ventajas son compartidas por el mtodo de Cross. La segunda y tercera son quizs las que lo hacen preferible a aqul en la aplicacin particular estudiada aqu. A las ventajas anteriores, establecidas a comienzos de la dcada del cincuenta, hay que aadir hoy en da una sptima: su facilidad de programacin y baja exigencia de memoria de computadora. Podra decirse que su nica desventaja es que su aplicacin est limitada a prticos ortogonales y que no incluye los efectos de los acortamientos axiales, que se hacen cada vez ms importantes al incrementar el nmero de pisos a los niveles corrientes en las torres de nuestros das. En el artculo siguiente se deducirn las frmulas bsicas para el caso ms sencillo de es-tructuras sin desplazamiento.

7.3 CASO DE ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO

La deduccin de las frmulas bsicas para el tratamiento de las estructuras sin desplaza-miento relativo de sus extremos es completamente anloga a la vista anteriormente en los mtodos de ngulos de giro y deflexin y Cross; solamente existen ligeros cambios en nomenclatura, como se anota a continuacin. De nuevo se considera que el estado final del elemento se alcanza mediante la super-posicin de tres efectos: el de las cargas considerando empotramiento en los nudos, el efecto del giro en el nudo i y el efecto del giro en el nudo j. Los momentos sealados en la figura 7.1 son los que corresponden a elementos prismticos, y se han utilizado las relaciones vistas anteriormente.

Figura 7.1 Elemento sin desplazamiento relativo de sus extremos. El lector reconocer fcilmente que, en tal caso:

MTODO DE KANI 277

i0ij L

EI4M2 = (7.1)

i

0ij L

EI2M = (7.2)

o sea, lo que se haba llamado Mi y Mj, respectivamente, en las ecuaciones (6.8) y (6.10) del mtodo de Cross.

Aplicando el Principio de superposicin a la figura 7.1, se obtiene entonces:

0ji

0ij

Fijij MM2MM ++= (7.3)

0ij

0ji

Fjiji MM2MM ++= (7.4)

Considerando ahora un nudo i de la estructura y todos los elementos conectados en l, el equilibrio del nudo exige que:

=)i(

ij 0M

y al utilizar la ecuacin (7.3):

( ) =++)i(

0ji

0ij

Fij MM2M

=++)i( )i(

0ji

0ij

)i(Fij 0MM2M (7.5)

Definiendo ahora el Momento de fijacin del nudo, M i , como la sumatoria de los momentos de empotramiento en los extremos de los elementos que concurren a l, o sea:

=)i(

Fiji MM (7.6)

y reordenando la ecuacin (7.5), se obtiene:

+=

)i(0jii

)i(0ij MM2

1M (7.7)

Ahora bien, las ecuaciones (7.1) y (7.2) muestran que los momentos debidos al giro son proporcionales no slo a la magnitud de ste sino tambin a la rigidez del elemento involucrado. Es decir,


Mij Kij i (7.8) De tal manera que si todos los elementos que concurren al nudo i tienen condiciones similares de apoyo en su otro extremo, la constante de proporcionalidad, , ser idntica y podr escribirse la siguiente proporcin:

=

=

=

)i(ij

ij

)i(iji

iij

)i(iij

iij

)i(0ij

0ij

KK

KK

KK

MM

(7.9)

en que se ha utilizado el supuesto de nudo rgido y, por consiguiente, el mismo valor de i

para todos los elementos.

Reemplazando en esta ecuacin el valor dado por la ecuacin (7.7) y despejando, se llega a:

+=

)i(0jii

)i(ij

ij0ij MMK

K21M (7.10)

y definiendo el coeficiente de giro, ij, como:

=

)i(ij

ijij K

K21

(7.11)

la expresin anterior se puede escribir as:

+=

)i(0jiiij

0ij MMM (7.12)

que constituye la ecuacin bsica para el proceso iterativo de Kani. Ntese que los coeficientes de giro son la mitad de los coeficientes de distribucin de Cross pero con signo contrario en virtud de la diferencia en nomenclatura ( )2 0M vs Mij i . De la ecuacin (7.11) es evidente que la suma de los coeficientes de giro de los elementos que llegan a un nudo debe dar ahora 1/2, dato til en la verificacin de operaciones. Puesto que ij y M i son valores fijos conocidos, la esencia del proceso consiste en aplicar sucesivamente a todos los elementos la ecuacin (7.12), utilizando cada vez los ltimos valores hallados de M ij

0. Cuando la diferencia entre los valores obtenidos en dos ciclos

consecutivos para todos los elementos es menor que el error permitido, se considera terminado el proceso iterativo y los ltimos valores obtenidos se llevan a las ecuaciones (7.3) y (7.4) para obtener los momentos totales en cada extremo.

En sntesis, los pasos involucrados son:

MTODO DE KANI 279

1. Evalense los coeficientes de giro (ij) y momentos de empotramiento ( )M ijF . Llvense estos valores a un diagrama adecuado y calclense los momentos de fijacin ( M i ) de cada nudo.

2. Adptese una secuencia de recorrido de los nudos, empezando por el de mayor momento de fijacin para acelerar la convergencia.

3. Aplquese a cada uno de los elementos que concurren a cada nudo la ecuacin (7.12) y escrbanse en el diagrama los resultados obtenidos que constituyen para ese ciclo los valores de M ij

0. Obsrvese que estos valores se convierten en 0jiM al pasar a los

nudos opuestos.

4. Una vez recorridos todos los nudos se tiene concluido un ciclo y se repite el paso 3 una y otra vez hasta obtener convergencia en todos los nudos.

5. Aplquense entonces las ecuaciones (7.3) y (7.4) a todos los elementos, con lo cual se obtendrn los momentos definitivos en cada uno de los extremos. Para mecanizar an ms el proceso, obsrvese que estas ecuaciones pueden escribirse en la siguiente forma equivalente:

( )0ji0ij0ijFijij MMMMM +++= (7.3a)

( )0ji0ij0jiFjiji MMMMM +++= (7.4a)

7.4 ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO CON EXTREMOS ARTICULADOS

En la deduccin de la ecuacin (7.9), se consider que todos los elementos unidos en el nudo i tenan condiciones similares de apoyo en el extremo opuesto. Si este no es el caso, se tendr para algunos elementos que:

iij00ij KaM =

mientras que para otros:

iik0iik10ik KaKaM ==

en donde = a1/a0 es la relacin que existe entre los coeficientes de las rigideces absolutas de los elementos involucrados. Esta ltima expresin se puede reescribir como:

( )i

'

ik0iik00ik

KaKaM == en donde K'ik representa la rigidez modificada del elemento en condiciones diferentes. Empleando dicha rigidez modificada, resulta entonces de nuevo la ecuacin (7.9) pero en trminos de K'ij. Para los elementos con extremo opuesto empotrado, obviamente K'ij es


igual a Kij ya que para ellos vale uno.

Ilustrando esto para un elemento prismtico se recordar que:

iij

0ij L

EI4M2

=

( )iij

0ij EK2M =

E2a 0 =

Para el mismo elemento pero con extremo articulado:

iij

0ij L

EI3M2

=

i

ij

0ij EK2

3M

=

E23

a1

=

Por consiguiente:

43

E2E23

a

a

0

1===

y ijij

'

ij K43KK ==

o sea, que bastar tomar como rigidez modificada tres cuartas partes de la rigidez real, que coincide con lo que se haba hecho en el mtodo de Cross.

Ejemplo 7.1

Analice el prtico mostrado, utilizando el mtodo de Kani.

Solucin

Este problema es el mismo del ejemplo 6.5. Con referencia a l, se tiene: KAB = KCE = 23.1, KBC = 75, KCD = 62.5

MTODO DE KANI 281

3.171.2343K 'AB ==

Por otra parte:

0.52MFvol = kNm, 2.54MM

FCB

FBC == kNm

1.71MFCD = kNm, 6.35MFDC = kNm

Coeficientes de giro

Nudo B

=

==

=

+=

500.0406.0

3.9275

21

094.0753.17

3.1721

BC

BA

Nudo C

=

==

==

=

++=

500.0

072.06.1601.23

21

195.06.1605.62

21

233.01.235.6275

7521

CE

CD

CB

Con estos valores se elabora el cuadro siguiente. El proceso iterativo se inicia en el nudo C y converge al cabo de tres ciclos.

Con los valores finales se calculan los momentos definitivos:


prcticamente idnticos a los hallados antes.

7.5 PRTICOS CON NUDOS DESPLAZABLES EN SENTIDO HORIZONTAL: CARGAS HORIZONTALES NICAMENTE EN LOS NUDOS

Cuando los prticos no son simtricos en geometra y cargas, o cuando estn sometidos a fuerzas horizontales, sufrirn desplazamientos nodales a menos que stos estn impedidos por un arriostramiento adecuado.

En el caso de prticos ortogonales, e ignorando de nuevo los efectos de las defor-maciones axiales, se tendr un desplazamiento horizontal por cada piso y la diferencia de desplazamientos entre dos pisos consecutivos producir momentos adicionales en las columnas respectivas, como se vio en el captulo anterior.

Al tener en cuenta este efecto, indicado en la figura 7.2, y superponerlo a los tres estados de la figura 7.1, vistos antes, las ecuaciones (7.3) y (7.4) se reemplazan por:

"

ij0ji

0ij

Fijij MMM2MM +++= (7.13)

"

ji0ij

0ji

Fjiji MMM2MM +++= (7.14)

Figura 7.2 Efecto del desplazamiento.

y planteando equilibrio en un nudo i:

MTODO DE KANI 283

( )=+++)i(

"

ij0ji

0ij

Fij MMM2M

=+++=)i( )i( )i(

"

ij0ji

0ij

)i(Fij 0MMM2M (7.15)

de donde se obtiene:

++=

)i( )i("

ij)i(

0jii

0ij MMM2

1M (7.16)

y por un raciocinio similar al visto antes en la deduccin de la ecuacin (7.12) se obtiene, suponiendo condiciones de apoyo similares, el valor del momento por giro en el caso de desplazamiento: ( ) ++= "ij0jiiij0ij MMMM (7.17) Recordando ahora el equilibrio de fuerzas horizontales en cualquier piso y suponiendo que las cargas horizontales actan a nivel de placa segn se indica en la figura 7.3:

==

=

m

1iij

n

1ii QH (7.18)

nk

k,1nnknkk,1n h

MMQQ +

+

+== (7.19)

=

+

=

+=

m

1k nk

k,1nnkn

1ii h

MMH (7.20)

Figura 7.3 Equilibrio de fuerzas horizontales en el piso n.

Y si todas las columnas del piso considerado tienen la misma altura hnk = hn:

( ) = =

++=

n

1i

m

1kk,1nnkin MMHh (7.21)

Conviniendo ahora en que los subndices i y j se refieren en las frmulas siguientes a los extremos inferior y superior, respectivamente, de la columna en la posicin (n,k), y reemplazando en la ecuacin (7.20) las ecuaciones (7.13) y (7.14), se llega a:


[ ] [ ] [ ] = =

+++++=n

1i

m

1k )n( )n("

ji"

ij0ji

0ij

Fji

Fijin MMMM3MMHh (7.22)

Como se ha supuesto que las cargas horizontales actan slo a nivel de placa y la ecua-cin anterior se refiere a columnas:

0MM FjiFij == (7.23)

Adems, en el caso de elementos prismticos:

"

ji"

ij MM = (7.24) de tal manera que la ecuacin (7.22) se puede reescribir as:

( )

++= =)n( )n(

0ji

0ij

n

1iin

"

ij MM3

Hh

23M (7.25)

Se vio anteriormente que:

ijij

"

ij hK

ahKM

=

(7.26)

Por consiguiente, cuando todas las columnas del piso tienen las mismas condiciones de apoyo y se desprecian las deformaciones axiales, con lo cual el desplazamiento relativo para todas ellas es el mismo, se puede escribir:

( )( )

( )( )

( ) =

=

=

)n(ij

ij

)n(ij

ij

)n(ij

ij

)n("

ij

"

ijK

KKh/a

Kh/ah/Ka

h/KaM

M (7.27)

Y reemplazando en esta relacin la ecuacin (7.25):

( )

++=

)n(

0ji

0ij

in

)n(ij

ij"

ij MM3Hh

KK

23M (7.28)

Definiendo ahora un Momento de piso segn Kani:

( )3

HhM

n

1iin

nPK

=

= (7.29)

que como se ve es un tercio del momento de piso en el mtodo alterno de Cross (ecuacin (6.15)), y unos coeficientes de desplazamiento:

=

)n(ij

ijij K

K23

(7.30)

equivalentes en consecuencia al triple de los coeficientes de translacin del mtodo citado (ecuacin (6.23)). La ecuacin (7.28) se transforma en:

MTODO DE KANI 285

( )

++=

)n(0ji

0ijPKij

"

ij MMMM (7.28a)

Esta ecuacin y la (7.17) son las ecuaciones bsicas en la aplicacin del mtodo de Kani a prticos con desplazamiento. Cuando no hay cargas horizontales, MPK vale cero y la ecuacin (7.28a) se reduce a:

( )

+=

)n(0ji

0ijij

"

ij MMM (7.28b)

En general, el procedimiento del numeral 7.2 queda modificado en la siguiente forma:

1. Evalense los coeficientes de giro (ij), coeficientes de desplazamiento (ij), mo-mentos de empotramiento ( M ijF ) y momentos de piso segn Kani (MPK). Llvense estos valores a un esquema adecuado de la estructura y calclense los momentos de fijacin ( M i ) de cada uno.

2. Adptese una secuencia de recorrido de los nudos, empezando por el de mayor momento de fijacin para acelerar la convergencia.

3. Aplquese a cada uno de los elementos que concurren a cada nudo la ecuacin (7.17) y escrbanse en el diagrama los resultados obtenidos (en el primer ciclo en este paso M ij

0

es igual a cero para el primer nudo y los M ij"

son nulos para todos los elementos).

4. Una vez recorridos todos los nudos se calculan los momentos de desplazamiento ( M ij" ) de todas las columnas mediante las ecuaciones (7.28a) o (7.28b), segn corres-ponda. Es conveniente proceder piso por piso. Al concluir este paso se habr realizado un ciclo.

5. Reptanse los pasos 3 y 4 una y otra vez hasta obtener la convergencia deseada, tanto en los momentos de giro como en los de desplazamiento.

6. Con los valores finales aplquense a cada elemento las ecuaciones (7.13) y (7.14) o su forma alterna:

( )"ij

0ji

0ij

0ij

Fijij MMMMMM ++++=

( )"ji0ij0ji0jiFjiji MMMMMM ++++= que, como antes, sirven para agilizar el proceso y facilitar su verificacin. Ejemplo 7.2

Resuelva el prtico del ejemplo 6.7.


Solucin Se tena (pgina 223): 4.44MFBC = kNm

2.22M FCB = kNm

Nudos B y C: 349.0

275.625.62

21

CBBC =+==

151.05.8927

21

CDBA ===

Coeficientes de desplazamiento 750.0

272727

23

CDAB =+==

Primer ciclo Empezando en el nudo B:

MTODO DE KANI 287

(0.349) 44.4 = 15.5 (0.151) 44.4 = 6.7 Pasando ahora al nudo C:

7.375.152.22MMM)i( )i(

"

ij0jii ==

++

( ) 2.137.37349.0MoCB ==

( ) 7.57.37151.0MoCD == Aplicando ahora a las columnas la ecuacin (7.25b):

( ) 8.07.57.675.0MM "CD"AB =+== Segundo ciclo

( ) 4.208.02.134.44349.0M 0BC =++=

( ) 8.84.58151.0M 0BA

==

( ) 6.148.04.202.22349.0M 0CB =+= ( ) 3.68.41151.0M 0CD == ( ) 9.13.68.875.0M"

AB=+=

( ) 9.15.275.0M"CD == la convergencia se logra al cabo de otros dos ciclos, obtenindose finalmente:


Estos valores son ligeramente superiores a los obtenidos mediante el mtodo de Cross (pgina 226), con una diferencia mxima del 6%.

Ejemplo 7.3

Resuelva el prtico mostrado.

Dimensiones de los elementos (b h mm)

AB: 350 400 CD, DE: 400 500 CF, EH: 400 400 DG: 450 450 AC, BD: 350 350

Solucin

Clculo de rigideces relativas

( ) 0.605.25.3KK

4

BDAC ===

( ) 4.1025.24KK

4

EHCF ===

( ) 0.1645.25.4K

4

DG ==

( ) 3.37645.3K

3

AB=

=

( ) 3.83654K

3

CD =

=

( ) 5.62854K

3

DE=

=

Coeficientes de giro

A y B: 192.00.603.37

3.3721

BAAB=

+==

MTODO DE KANI 289

308.03.970.60

21

BCAC===

C: 122.0

4.1023.830.600.60

21

CA =++=

170.04.491

3.83CD ==

208.04.4914.102

CF ==

D: 081.03.830.1645.620.60

0.6021

DB=

+++=

084.06.7395.62

DE==

222.06.7390.164

DG ==

113.06.7393.83

DC ==

E: 190.0

4.1025.625.62

21

ED=

+=

310.09.1644.102

EH==

Coeficientes de desplazamiento 750.00.600.60

0.6023

BDAC =+==

416.04.1020.1644.102

4.10223

EHCF =++==

668.08.3680.164

23

DG ==

Comprobacin

2 (0.416) 0.668 = 1.500 Momentos de empotramiento

0.6012

3620MM FBAFAB =

== kNm


5.678

63012

3615MM FDCFCD =

+

== kNm

0.508

850=

==

FED

FDE MM kNm

Estos valores se llevan al cuadro siguiente, se calculan los momentos de fijacin y se efecta el proceso.

Primer ciclo Se escoge esta secuencia: C, A, B, E, D y se hallan los momentos de giro.

( ) 5.115.67170.0M 0CD ==

MTODO DE KANI 291

( ) 0.145.67208.0M 0CF ==

( ) 2.85.67122.0M0CA ==

( ) 0.162.80.60308.0M0AC ==

( ) 9.98.51192.0M0AB

==

( ) 4.139.90.60192.0M0BA

==

( ) 5.219.69308.0M0BD

==

( ) 5.150.50310.0M0EH

==

( ) 5.90.50190.0M0ED

==

( ) 2.05.115.95.215.17084.0M0DE

=++=

( ) 4.00.2222.0M0DG ==

( ) 2.00.2113.0M0DC ==

( ) 2.00.2081.0M0DB

==

ahora se encuentran los momentos por desplazamiento: ( ) 2.22.05.212.80.16750.0MM "

BD"

AC =+==

( ) 5.05.154.00.14416.0MM "EH

"

CF =+==

( ) 7.01.1668.0M"DG ==

Segundo ciclo Siguiendo la misma secuencia:

( ) 0.95.02.22.00.165.67170.0M0CD =+= ( ) 0.110.53208.0M0CF == ( ) 5.60.53122.0M0CA == ( ) 3.212.25.64.130.60308.0M0

AC =++=

( ) 3.131.69192.0M0AB

==

( ) 7.132.22.03.130.60192.0M0BA

=+=

( ) 0.223.71308.0M0BD

==

( ) 7.155.02.00.50310.0M0EH

==


( ) 6.97.50190.0M 0ED

==

( ) 6.07.02.20.96.90.225.17084.0M 0DE

=+++=

( ) 5.16.6222.0M0CD ==

( ) 7.06.6113.0M0DC ==

( ) 5.06.6081.0M0DB

==

y los momentos por desplazamiento:

( ) 7.45.00.225.63.21750.0MM "BD

"

AC =+==

( ) 3.17.155.10.11416.0MM "EH

"

CF =+==

( ) 1.22.3668.0M"DG ==

con dos ciclos ms se obtiene adecuada convergencia y se pueden calcular los momentos definitivos, como se indica en seguida:

MTODO DE KANI 293

En el cuadro se puede observar que el error de cierre mximo en los nudos es de 0.3 kNm y para el piso superior:

=++= 0kN08.05.27.257.475.281.45H1

y para el piso inferior:

=++= 0kN04.05.24.146.308.47.68.118.21H 2

Ejemplo 7.4

Resuelva el prtico mostrado.

Vigas: 400 400 mm

Columnas del 2 piso: 350 350 mm Columnas del 1er. piso: 400 400 mm

Solucin

Clculo de rigideces relativas

( ) 2.51544KK

3

BECD =

==

( ) 0.605.25.3KK

4

DECB ===

( ) 4.1025.24KK

4

EFAB===

Coeficientes de giro 230.00.602.51

2.5121

DCCD =+==

270.02.1110.60

21

DECB ===


140.04.1022.510.60

0.6021

EDBC=

++==

120.06.2132.51

21

EBBE===

240.06.2134.102

21

EFBA===

Coeficientes de desplazamiento 750.00.600.60

0.6023

DECB =+==

750.04.1024.102

4.10223

EFAB=

+==

Momentos de empotramiento

7.4112

2520MM FDCFCD =

== kNm

5.878

54012

2530MM FEBFBE =

+== kNm

Momentos de piso

( ) 33.83

105.2=

=IPKM kNm

( ) ( ) 0.253

20105.2=

+=IIPKM kNm

Con estos valores se procede a construir el cuadro iterativo de la pgina 295 de acuerdo con la secuencia B, C, D, E. Suspendiendo al cabo de siete iteraciones, se obtiene un error de cierre mximo en los nudos de 0.3 kNm. En cuanto al equilibrio de fuerzas horizontales:

kN0.10 kN6.95.21.397.407.301.25Q

Pisoo2vs=++=

kN0.30 kN6.295.23.459.542.33.29Q

Pisoer1vs=+++=

o sea un error mximo de cierre del 4%. En la pgina 297 se presentan los diagramas correspondientes de corte, momento y fuerza axial.

MTODO DE KANI 295

MTODO DE KANI 297

7.6 PRTICOS CON DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL DE LOS NUDOS Y COLUMNAS ARTICULADAS EN LA BASE

Cuando una estructura tiene sus columnas articuladas en la base y sufre desplazamientos horizontales, las ecuaciones (7.28) no son aplicables en el primer piso, ya que no tienen en cuenta la no existencia de momentos de desplazamiento en el extremo inferior de las columnas respectivas. Planteando el equilibrio en los nudos superiores de las columnas y reemplazando stas por otras equivalentes con unos K' iguales a las tres cuartas partes de los K originales se llega como antes a la expresin:

++=

)i( )i("

ij0jiiij

0ij MMMM


Figura 7.4 Prtico con columnas articuladas en la base.

Observando ahora la figura 7.4 se puede escribir:

=

=

P

1i )P(jii QH

ij

ijijji h

MQQ == (7.31)

=

=

P

1i )P( iji h

MH

y si todas las columnas tienen la misma altura:

=

=

P

1i )P(ijiP MHh (7.32)

Ahora bien, para las columnas y por estar utilizando la simplificacin, las ecuaciones (7.13) y (7.14) se reducen a:

"

ij0ij

Fijij MM2MM ++= (7.33)

ya que M ij0

= 0.

Reemplazando este valor en la ecuacin (7.32), se obtiene:

=

++=P

1i )P( )P( )P("

ijo

ijFijiP MM2MHh

y despejando:

+=

=)P( )P(

P

1i )P(0ijiP

Fij

"

ij M2HhMM

que se puede reescribir as:

+

==

)P( )P(0ij

)P(

P

1iiP

Fij

"

ij M2

HhM2M (7.34)

MTODO DE KANI 299

Para elementos prismticos con un extremo articulado:

M E Ihij ij

"

=

32 (7.35)

Por consiguiente, si todas las columnas del primer piso estn en la misma condicin:

==

)P(ij

ij

P

)P(ij

n

ij

)P(

"

ij

"

ij

KK

h

KhK

MM

y por la ecuacin (7.34):

+

=

=

)P(

0ij

)P(

P

1iiP

Fij

)P(ij

ij"ij M2

HhM

KK2

M (7.36)

Esta ecuacin se puede asimilar a la ecuacin (7.28a) si se redefinen los coeficientes de desplazamiento y momentos de piso como sigue:

=

)P(ij

ij0ij K

K2 (7.37)

2

HhM

P

1iiP

PKA

=

= (7.38) Se tiene entonces:

( )

++=

)P(

0ji

0ijPKA

0ij

"

ij MMMM (7.39)

que tiene la misma forma de la que se aplica a los otros pisos.

Comparando esta expresin con la de la ecuacin (7.29) se ve que para hacerlas iguales basta tomar una altura equivalente del primer piso hp

'

tal que:

P'

Ph

23h = (7.40)

( )3

Hh

2

Hh32M

P

1ii

'

P

P

1ii

'

P

PKA

==

== (7.41)

que concuerda con lo establecido por Kani siguiendo otro enfoque.


7.7 PROGRAMACIN DEL MTODO DE KANI APLICADO A PRTICOS ORTOGONALES

El mtodo de Kani se puede programar fcilmente para el caso de prticos ortogonales, siguiendo los mismos pasos utilizados para el Cross alterno. El criterio de convergencia en el proceso interactivo ya no es el equilibrio de momentos de un nudo y de fuerzas hori-zontales en un piso, sino que la diferencia entre los momentos de giro y de desplaza-miento en un ciclo dado, calculados con las ecuaciones (7.17) y (7.28), y los valores correspondientes en el ciclo inmediatamente anterior, sea inferior a una cantidad muy pequea establecida de antemano. Una vez lograda dicha convergencia se aplican las ecuaciones (7.13) y (7.14) a cada miembro de la estructura y se evalan los cortes en vigas y columnas y las fuerzas axiales en estas ltimas con las mismas instrucciones del programa de Cross dado en el disco incluido. El lector interesado podr modificar dicho programa para convertirlo, con muy poco esfuerzo, en uno que resuelva prticos por el mtodo de Kani. Para esto podr ayudarse con el algoritmo presentado en la referencia 7.3.

EJERCICIOS

7.1 Resuelva por el mtodo de Kani las vigas de los ejercicios 5.2 y 5.3.

7.2 Analice mediante el mtodo de Kani los prticos siguientes. Evale giros y desplazamientos.

Dimensiones (b h) Viga: 300 mm 400 mm

Columnas externas: 300 mm 300 mm

Columna central: 300 mm 400 mm

E = 20 kN/mm2 (a)

MTODO DE KANI 301

Dimensiones (b h, mm)

Vigas: 300 350 Columnas: 300 300

E = 19 kN/mm2 (b)

(c) El prtico del ejercicio 6.5 (b) suponiendo empotrada la columna izquierda. (d) El prtico del ejercicio 6.5 (c).

REFERENCIAS

7.1 Kani, G.- Clculo de prticos de varios pisos, Editorial Revert, 1958.

7.3 Takabeya, F.- Estructuras de varios pisos, Compaa Editorial Continental, S.A., CECSA, 1976.

7.4 Uribe, J.- Microcomputadores en ingeniera estructural, Bogot, Universidad Nacional de Colombia y ECOE Ediciones, 1995.

capitulo 7 metodo de kani

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