6. SISTEMAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN - SISO. Melanio Coronado**, Jonathan Cortes*, Wilfrido Ortega*

Universidad del Atlántico. Simulación y Control de Procesos. Programa de Ingeniería Química

Introducción. Un sistema lineal de segundo orden con una variable de entrada, )"(" tx , y una variable salida, )"(" ty se modela matemáticamente con una ecuación que en función de parámetros de significado dinámico se escribe en la siguiente forma:

)()()(2)(2

22 tKxty

dttdy

dttyd

(6.1)

Siendo, una constante de tiempo, el factor de amortiguamiento y K la ganancia en estado estacionario del sistema. Estos tres parámetros se calculan con ecuaciones en función de características físicas del sistema. La constante de tiempo expresa un atraso dinámico, el valor del factor de amortiguamiento determina el tipo de respuesta del sistema y la ganancia tiene el mismo significado definido para los sistemas de primer orden La ecuación anterior se escribe, usualmente, en términos de las variables desviación con respecto a sus valores en el estado inicial, es decir en la forma estándar para análisis dinámico o de sistemas de control:

)()()(2)(2

22 tKXtY

dttdY

dttYd

(6.2)

Solución analítica de una ecuación diferencial de segundo orden La solución analítica de una ecuación diferencial lineal no homogénea como la (6.2) es la suma de una solución general y una solución particular. La solución general es la que se obtiene con la parte homogénea de la ecuación, es decir, con la expresión contenida en el miembro izquierdo igualado a cero y la solución particular depende de la expresión matemática que constituye al miembro derecho de la ecuación no homogénea. Para la solución general se plantea la denominada Ecuación característica o Ecuación auxiliar correspondiente a una ecuación algebraica

polinómica del mismo grado de la parte homogénea de la ecuación diferencial. Para la ecuación (6.2), la ecuación característica es de segundo grado con la siguiente expresión, siendo ""r las raíces de la ecuación característica:

01222 rr (6.3) Las raíces de la ecuación (6.3) se obtienen con la siguiente fórmula:

12

r (6.4)

La ecuación (6.4) muestra que la naturaleza de sus raíces depende del factor de amortiguamiento, lo que determina el tipo de respuesta que se obtiene para la ecuación diferencial (6.2) o el comportamiento del sistema, de la siguiente manera: Si 1 , las raíces son reales diferentes y negativas y la respuesta del sistema es una suma de términos exponenciales con signos negativos. Esto se define como un Comportamiento monotónico estable o Sobreamortiguado Si 1 , las raíces son reales iguales y negativas y la respuesta del sistema es una expresión exponencial con signo negativo. Esto muestra un Comportamiento monotónico estable crítico o Amortiguado crítico porque si se disminuye el valor del coeficiente de amortiguamiento la respuesta es de tipo subamortiguado y si, por lo contrario, se aumenta el sistema es más sobreamortiguado Si 10 , las raíces son complejas conjugadas con parte real negativa y la respuesta del sistema es una expresión exponencial sinusoidal decreciente. Esto muestra un Comportamiento oscilatorio estable o Subamortiguado estable Si 0 , las raíces son cantidades imaginarias iguales de signo contrario y la respuesta del sistema es una expresión sinusoidal. Esto muestra un Comportamiento oscilatorio sostenido Si 01 , las raíces son complejas conjugadas con parte real positiva y la respuesta del sistema es una expresión exponencial sinusoidal creciente. Esto

muestra un Comportamiento oscilatorio inestable o Subamortiguado inestable, es decir con oscilaciones de amplitud creciente Si 1 , las raíces son reales positivos y la respuesta del sistema es una expresión exponencial con signos positivos. Esto muestra un Comportamiento monotónico inestable o Sobreamortiguado inestable. Solución numérica de una ecuación diferencial de segundo orden Una ecuación diferencial de segundo orden se puede transformar en un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden mediante la introducción de dos variables que sustituyan a la variable de salida de la siguiente manera:

)1()( ytY

)2()1()( ydt

dydt

tdY

dtdy

dttYd )2()(

2

2

En términos de y(1), y(2), la ecuación diferencial de segundo orden (6.2) se transforma en el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

)2()1( ydt

dy (6.5)

)()1()2(2)2(2 tKXyydt

dy (6.6)

Las soluciones a una ecuación diferencial de segundo orden, para cambio paso, rampa y seno en la variable de entrada aparecen deducidas en la Lección 4 del curso sobre “Dinámica de Sistemas”, al igual que los perfiles gráficos que permiten visualizar algunas de las propiedades de cada una de ellas. En este punto se hace la respectiva referencia para su estudio y se continua con la explicación de la construcción de una interfaz gráfica con la cual se simule dicha simulación.

Solución numérica con Matlab GUI A continuación se describe la elaboración de una interfaz gráfica que facilite, al usuario de Matlab, la solución gráfica de una ecuación diferencial lineal de segundo orden SISO mediante la introducción de los parámetros dinámicos y las condiciones iniciales de un sistema, el tipo de perturbación en la variable de entrada con sus correspondientes especificaciones y la verificación de la consideración de un tiempo muerto en el transporte dinámico. Para ello se instalan en el GUIDE un conjunto de elementos (o controles) que o muestran leyendas (Static Text) o capturan datos (Edit Text) o seleccionan procedimientos (Radio Button, Check Box) o ejecutan procedimientos (Push Button) o despliegan gráficos (Axes) Instalación de los controles en la interfaz de usuario GUI:

Una vez iniciado GUIDE, en el área de diseño se instalan los diferentes controles y se observa una interfaz con la configuración que muestra la Figura 6.1. Para todos los controles se deja la propiedad Tag con sus asignaciones por defecto. Al archivo se le asigna el nombre LSORDENSISO.

Figura 6.1. Interfaz gráfica de usuario

1. Controles Axes: Se instalan dos controles de esta clase para desplegar imágenes. En el axes1 se despliega la imagen de la ecuación diferencial de segundo orden lineal y en el axes2 se despliega la respuesta gráfica a la solución solicitada por el usuario. El código para el axes1 se incluye de tal manera que la imagen se observe al desplegarse la interfaz para su ejecución.

2. Controles Radio Button: Se instalan tres controles de esta clase para seleccionar el tipo de respuesta que se quiere simular. Se asignan las propiedades String con las leyendas que se observan en la Figura 6.1, es decir, “Cambio Paso”, “Cambio Rampa” y “Cambio Seno”. Para el botón “Cambio Paso”, la propiedad ¨Value¨ se asigna con el valor de uno y para los otros dos botones se asigna con el valor de cero. Esto hace que, por defecto, al desplegarse la interfaz el botón que aparezca como seleccionado sea el “Cambio Paso”

3. Controles Check Box: Se instala un control de esta clase para especificar si se quiere la respuesta con tiempo muerto. Se asigna la propiedad ¨String¨ con la leyenda “Tiempo Muerto”

4. Controles Static Text: Se instalan nueve controles de esta clase para anexar leyendas a los botones (Edit Text) donde se introducen datos requeridos para la solución de la ecuación diferencial. Se asignan las propiedades “String” con las leyendas que se observan en la Figura 6.1, es decir, “Constante de Tiempo”, “Factor de Amortiguamiento”, “Ganancia Estacionaria”, “Condición Inicial – Y(0)”, “Condición Inicial – Y’(0)”, “Tiempo Inicial”, “Tiempo Final”, “Cambio Paso”, “Frecuencia”. Para el botón Frecuencia la propiedad “Visible” se ajusta al valor “off”. La propiedad “Visible” para los otros Static Text se deja en su valor por defecto, es decir, “on”. Esto quiere decir, que al desplegarse la interfaz el botón Frecuencia no se observa y se notara cuando se seleccione el radio botón “Cambio Seno”. El código elaborado hace que cuando se seleccione el Radio Button denominado “Cambio Rampa”, la propiedad “String” del botón “Cambio Paso” cambie al valor “Pendiente” y cuando se seleccione el Radio Button denominado “Cambio Seno”, la propiedad “String” del botón “Cambio Paso” cambie al valor “Amplitud”

5. Controles Edit Text: Se instalan diez controles de esta clase para que el usuario introduzca los parámetros requeridos para la solución de la ecuación diferencial (constante de tiempo, factor de amortiguamiento, ganancia, condiciones iniciales, tiempo inicial, tiempo final, cambio paso y frecuencia). Se asigna a todos ellos la propiedad “String” con un valor de cero. La propiedad “Visible” de los botones donde se editan la frecuencia y el tiempo muerto se ajustan al valor “off” y se hacen visibles cuando se seleccionen el Radio Button “Cambio Seno” y el Check Box “Tiempo Muerto”, respectivamente.

6. Controles Push Button: Se instalan cuatro botones de esta clase para ejecutar, reiniciar, cancelar la simulación y solicitar ayuda sobre la misma. Se asignan las propiedades ¨String¨ a los nombres ¨Solución ,̈ ¨Reiniciar¨, ¨Cancelar¨ y “Ayuda”. Al presionar el botón ¨Solucion ̈ se resuelve la ecuación diferencial y se despliega la respuesta grafica en el control axes2. Al presionar el botón ¨Reinicio¨ todos los controles toman los valores iniciales asignados por defecto. Al presionar el botó “Ayuda” se despliega una ayuda dentro del escritorio de Matlab que muestra el código construido para la elaboración de la interfaz

7. Controles Panel: Se instalan cuatro botones de esta clase para encerrar los botones en cuadros separados para observarlos como dentro de un marco. Se asignan las propiedades “String” con los nombres “Parámetros”, “Perturbación”, “Entradas”. Uno de los controles se deja sin propiedad “String”. La propiedad ¨ForegroundColor ̈ se ajusta a color rojo y la propiedad ¨TitlePosition¨ a ¨centertop ̈

Concluida la instalación y distribución de los componentes del GUI se procede a construir la codificación para el funcionamiento de este programa. Para ello presione el botón “M-File Editor” de la barra de herramientas para acceder al código hasta ahora construido por MatLab para su modificación

Programación del GUI Antes de empezar a codificar los callbacks de cada uno de los controles se procede a definir las ecuaciones que se utilizaran para el desarrollo del programa que en este caso se declararan como funciones para que no sea necesario crear archivos adicionales. Funciones Definición de las Respuestas function dy = paso3(t,y) global tau ro K I span X dy = [y(2); (K*X - y(1) - 2*ro*tau*y(2))/tau^2]; function dy = rampa3(t,y) global tau ro K I span r dy = [y(2); (K*r*t - y(1) - 2*ro*tau*y(2))/tau^2]; function dy = seno3(t,y) global tau ro K I span A w dy = [y(2); (K*A*sin(w*t) - y(1) - 2*ro*tau*y(2))/tau^2];

Imagen Ecuación Diferencial En este ejercicio se construyó una imagen con la ecuación diferencial de segundo orden lineal SISO de la misma forma como se procedió con la de primer orden y se guardo con el nombre “segundo.jpg”. A continuación se digita el siguiente código dentro de la función de apertura del GUI para que en su despliegue inicial se observe la ecuación diferencial de primer orden que se quiere resolver en este programa. function LSORDENSISO_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) SISO (see VARARGIN) % Choose default command line output for LSORDENSISO handles.output = hObject; % Update handles structure guidata(hObject, handles); axes(handles.axes1) im = imread('segundo.jpg') axis off; imshow(im); El renglón axes(handles.axes1) selecciona el axes donde se despliega la imagen correspondiente a la ecuación diferencial. En el siguiente renglón, la palabra clave “imread” copia la imagen correspondiente al archivo “segundo.jpg” que debe archivarse dentro de la misma carpeta en que se encuentra el archivo LSORDENSISO y la asigna a una variable “im”. El renglón, axis off, inactiva la numeración de los ejes del axes y mediante la palabra clave imshow se muestra la imagen que se quiere, es decir, im Radio Boton “Cambio Paso” El código que se muestra a continuación se cumple cuando se selecciona el radio buton “Cambio Paso” function radiobutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) % Hint: get(hObject,'Value') returns toggle state of radiobutton1

set(handles.radiobutton2,'Value',0); set(handles.radiobutton3,'Value',0); set(handles.text8,'String','Cambio Paso'); set(handles.edit10,'Visible','on'); set(handles.text9,'Visible','off'); set(handles.edit11,'Visible','off'); Se deduce de los renglones anteriores, que se inactivan los otros dos radio botones denominados “Cambio Rampa” y “Cambio Seno”, se mantienen invisibles los controles “text9” y “edit11” y se ajusta la propiedad “String” del control “text8” al valor “Cambio Paso” Radio Boton “Cambio Rampa” El código que se muestra a continuación se cumple cuando se selecciona el radio buton “Cambio Paso” function radiobutton2_Callback(hObject, eventdata, handles) % Hint: get(hObject,'Value') returns toggle state of radiobutton2 set(handles.radiobutton1,'Value',0); set(handles.radiobutton3,'Value',0); set(handles.text8,'String','Pendiente'); set(handles.edit10,'Visible','on'); set(handles.text9,'Visible','off'); set(handles.edit11,'Visible','off'); Es similar al anterior inactivándose, en este caso, los radio botones “Cambio Paso” y “Cambio Seno”. La propiedad “String” del botón “text8” toma el valor “Pendiente” Radio Botón “Cambio Seno” El código que se muestra a continuación se cumple cuando se selecciona el radio botón “Cambio seno” function radiobutton3_Callback(hObject, eventdata, handles) % Hint: get(hObject,'Value') returns toggle state of radiobutton3

set(handles.radiobutton1,'Value',0); set(handles.radiobutton2,'Value',0); set(handles.text8,'String','Amplitud'); set(handles.edit10,'Visible','on'); set(handles.text9,'Visible','on'); set(handles.edit11,'Visible','on'); En este caso, se inactivan los radio botones “Cambio Paso” y “Cambio Rampa”; la propiedad “String” del boton “text8” se ajusta con el valor “Amplitud” y se hacen visible los botones “edit10”, “text9” y “edit11” con los valores por defecto de su propiedad “String” (cero, “Frecuencia” y cero, respectivamente). Botón de Verificación “Tiempo Muerto” El siguiente código es el procedimiento que se desarrolla cuando se verifica el cuadro denominado “Tiempo Muerto” function checkbox1_Callback(hObject, eventdata, handles) % Hint: get(hObject,'Value') returns toggle state of checkbox1 if (get(handles.checkbox1,'Value') == 1) set(handles.edit9,'Visible','on'); else set(handles.edit9,'Visible','off'); set(handles.edit9,'String',0); end La primera parte del lazo hace que sea visible el control “edit9”, si se verifica el cuadro de “checkbox1” denominado “Tiempo Muerto”. Lo anterior, se logra mediante el ajuste de la propiedad “Visible” a un valor “on”. En caso contrario, es decir, si se desactiva el botón “checkbox1”, no se observan dicho control y la propiedad “String” del control “edit9” se ajusta a cero Botón Push Button “Solución” El siguiente código es el procedimiento que se desarrolla cuando se presiona el botón denominado “Solución”. Se convierten los parámetros a carácter numérico y

se resuelve la ecuación diferencial para cada uno de los casos que incluye el diseño de la interfaz. Los resultados se muestran gráficamente en el axes2 function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) global K tau ro X w tspan I a b den h h1 to r A tau = str2double(get(handles.edit1,'String')); ro = str2double(get(handles.edit2,'String')); K = str2double(get(handles.edit3,'String')); I(1) = str2double(get(handles.edit4,'String')); I(2) = str2double(get(handles.edit5,'String')); tspan(1)= str2double(get(handles.edit7,'String')); tspan(2)= str2double(get(handles.edit8,'String')); axes(handles.axes2) if (get(handles.radiobutton1,'Value') == 1); cla; X = str2double(get(handles.edit10,'String')); [t,y] = ode45(@paso3,tspan,I); plot(t,y(:,1),'k'); xlabel('Tiempo','FontSize',12); ylabel('Respuesta','FontSize',12); title('Respuesta Paso','Fontsize',14); hold on if (get(handles.checkbox1,'Value') == 1) to = str2double(get(handles.edit9,'String')); h = tf([K*X],[tau^2 2*ro*tau 1],'inputdelay',to); [y1,t] = step(h,tspan(2)); plot(t,y1(:,1),'r'); xlabel('Tiempo','FontSize',12); ylabel('Respuesta','FontSize',12); title('Respuesta Paso','Fontsize',14); legend('Sin Tiempo Muerto','Con Tiempo Muerto',4); end end if (get(handles.radiobutton2,'Value') == 1); cla; r = str2double(get(handles.edit10,'String')); [t,y] = ode45(@rampa3,tspan,I);

plot(t,r*t,'r',t,y(:,1)/K,'k'); xlabel('Tiempo','FontSize',12); ylabel('Respuesta','FontSize',12); title('Respuesta Rampa','Fontsize',14); legend('Entrada','Sin Tiempo Muerto',4); hold on if (get(handles.checkbox1,'Value') == 1) to = str2double(get(handles.edit9,'String')); h = tf([r],[tau^2 2*ro*tau 1 0],'inputdelay',to); [y1,t] = step(h,tspan(2)); plot(t,y1(:,1),'b'); xlabel('Tiempo','FontSize',12); ylabel('Respuesta','FontSize',12); title('Respuesta Rampa','Fontsize',14); legend('Entrada','Sin Tiempo Muerto','Con Tiempo Muerto',4); end end if (get(handles.radiobutton3,'Value') == 1); cla; A = str2double(get(handles.edit10,'String')); w = str2double(get(handles.edit11,'String')); [t,y] = ode45(@seno3,tspan,I); plot(t,A*sin(w*t),'r',t,y(:,1),'k'); xlabel('Tiempo','FontSize',12); ylabel('Respuesta','FontSize',12); title('Respuesta Seno','Fontsize',14); legend('Entrada','Salida Sin Tiempo Muerto',4); hold on if (get(handles.checkbox1,'Value') == 1) to = str2double(get(handles.edit9,'String')); a = [1 0 w^2]; b = [tau^2 2*ro*tau 1]; den = conv(a,b); h = tf([K*A*w],den,'inputdelay',to); [y1,t] = impulse(h,tspan(2)); plot(t,y1(:,1),'b') xlabel('Tiempo','FontSize',12); ylabel('Respuesta','FontSize',12);

title('Respuesta Seno','Fontsize',14); legend('Entrada','Salida Sin Tiempo Muerto','Salida Con Tiempo Muerto',4); end end Botón Push Button “Reiniciar” El siguiente código es el procedimiento que se desarrolla cuando se presiona el botón denominado “Reiniciar”. Todos los controles se especifican de acuerdo a las propiedades introducidas inicialmente function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles) cla reset; axes(handles.axes1); im = imread('segundo.jpg'); axis off; imshow(im); set(handles.radiobutton1,'Value',1); set(handles.radiobutton2,'Value',0); set(handles.radiobutton3,'Value',0); set(handles.edit1,'String',0); set(handles.edit2,'String',0); set(handles.edit3,'String',0); set(handles.edit4,'String',0); set(handles.edit5,'String',0); set(handles.edit7,'String',0); set(handles.edit8,'String',0); set(handles.edit9,'String',0); set(handles.edit10,'String',0); set(handles.checkbox1,'Value',0); set(handles.text8,'String','Cambio Paso'); set(handles.text9,'Visible','off'); set(handles.edit9,'Visible','off'); set(handles.edit11,'Visible','off'); Botón Push Button “Cancelar” El siguiente código es el procedimiento que se desarrolla cuando se presiona el botón denominado “Cancelar”. Se borra toda la memoria y se cierran todas las

figuras previo despliegue de un cuadro de diálogo modal para confirmar el cierre de la figura function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles) selection = questdlg(['¿Desea cerrar ' get(handles.figure1,'Name') '?'],... ['Cerrar ' get(handles.figure1,'Name') '...'],... 'Yes','No','No'); if strcmp(selection,'No') return; end clear, close all; Botón Push Button “Ayuda” El siguiente código es el procedimiento que se desarrolla cuando se presiona el botón denominado “Ayuda”. Se despliega un documento de ayuda bajo la plataforma de Matlab como se observa en la Figura 6.2. En la parte superior se observa el vínculo para abrir el código escrito para la construcción de la interfaz function pushbutton4_Callback(hObject, eventdata, handles) helpwin('LSORDENSISO.m')

Figura 6.2 Ventana de Ayuda

Ejecución del Programa Al ejecutar el programa se despliega la interfaz elaborada. La Figura 6.3 muestra la respuesta subamortiguada (Factor de Amortiguamiento = 0.2) ante un cambio paso en la variable de entrada

Figura 6.3 Interfaz Respuesta Paso Subamortiguada Se sugiere al usuario adicionar los controles que muestren algunas características de las respuestas, como por ejemplo en el caso observado en la Figura 6.3 el sobrepaso máximo, el tiempo de asentamiento, etc. De igual manera en otros tipos de respuestas paso con perfil sobreamortiguado, amortiguado crítico o oscilatorio sostenido La Figura 6.4 muestra la respuesta rampa para un factor de amortiguamiento de cero que incluye el perfil sin y con tiempo muerto. Se observa el comportamiento esperando en forma oscilatoria sostenida a través de la rampa de entrada. La pendiente de la rampa de entrada es 3

Figura 6.4 Interfaz Respuesta Rampa Sistema Segundo Orden Lineal

Se sugiere al usuario hacer las simulaciones que muestren los diferentes perfiles de la respuesta rampa haciendo cambios en el valor asignado al Factor de Amortiguamiento de tal manera que se observen las respuestas sobreamortiguadas, subamortiguadas estables o inestables La Figura 6.5 muestra la respuesta seno para los parámetros y especificaciones observadas (Constante de tiempo = 2, Factor de amortiguamiento = 0.4, Ganancia Estacionaria = 3, Condición Inicial = 0, Tiempo Inicial = 0, Tiempo Final = 50, Amplitud = 2, Frecuencia = 0.5, Tiempo Muerto = 3). El código muestra la función seno de entrada y las respuestas sin y con tiempo muerto Se observa en la solución gráfica que la respuesta sin tiempo muerto (Color Negro) toma un perfil sinusoidal sostenido después de un cierto tiempo y que es la misma respuesta con tiempo muerto con un atraso adicional (Color Azul). Se sugiere agregar algunos otros elementos que muestren algunas características de la respuesta como, en el caso de la respuesta seno, la amplitud, el atraso dinámico, por ejemplo. En forma similar, se sugiere al usuario hacer los cambios en el factor de amortiguamiento de tal manera que se observen los diferentes perfiles en el

comportamiento de la respuesta y ajustar los controles agregados para visualizar parámetros característicos de las respuestas en cada caso.

Figura 6.5 Interfaz Respuesta Seno Sistema de Segundo Orden Lineal