6 funciones armonicas(e)
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8/17/2019 6 Funciones Armonicas(e)
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05/04/2016
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FUNCIONES ARMÓNICAS
EJEMPLO 1
Demuestre que la función
u( x, y)= x3-3 xy2
es armónica y determine unafunción analítica.
Rosa Ñique Alvarez 2
Solución
Rosa Ñique Alvarez 3
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
y
u
x
u
u( x, y) es una función armónica
Solución
Rosa Ñique Alvarez 4
),(),()( y xiv y xu z f +=
∂∂−=
∂∂
∂∂=
∂∂
x
v
y
u
y
v
x
u
Función analítica
Cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann
Solución
Rosa Ñique Alvarez 5
∂∂
−=−→∂∂
−=∂∂
∂∂
=−→∂∂
=∂∂
x
v xy
x
v
y
u
y
v y x
y
v
x
u
6
3322
u( x, y) = x3 – 3 x y2
Solución
Rosa Ñique Alvarez 6
( )
=∂∂
∂−=→−=∂∂ ∫
xy x
v
y y x y xv y x y
v
6
33),(332222
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2
Solución
Rosa Ñique Alvarez 7
( )
+=→=∂∂
+−=→∂−= ∫
)´(666
)(3),(33),( 3222
xk xy xy xy x
v
xk y y x y xv y y x y xv
c xk xk =→= )(0)´(
Solución
Rosa Ñique Alvarez 8
c y y x y xv +−= 323),(
Parte imaginaria de la función analítica f ( z )
Función analítica f ( z )
( ) ( )c y y xi xy x z f +−+−= 3223 33)(
EJEMPLO 2
El flujo modelado por el potencial complejo es:
Rosa Ñique Alvarez 9
4/),(),()(
πi ze y xiv y xu z f −=+=
Descripción de la función f ( z )
Rosa Ñique Alvarez 10
[ ])()(2
2)( y xi x y z f −−+−=
)(2
2),(,)(
2
2),( y x y xv x y y xu −−=−=
112
2)(
2
2),( c x yc x y y xu +=→=−=
222
2)(
2
2),( c x yc y x y xv −−=→=−−=
Curvas Equipotenciales (familia de rectas)
Líneas de Corrientes (familia de rectas)
Rosa Ñique Alvarez 11 Rosa Ñique Alvarez 12
X
Y
CURVAS EQUIPOTENCIALES Y LINEAS DE CORRIENTE
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
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3
EJEMPLO 3
El flujo modelado por el potencial complejo es:
Rosa Ñique Alvarez 13
z
i y xiv y xu z f =+= ),(),()(
Descripción de la función f ( z )
Rosa Ñique Alvarez 14
2222)(
y x
xi
y x
y z f
++
+=
2222),(,),(
y x
x y xv
y x
y y xu
+=
+=
Curvas Equipotenciales (familia de circunferencias)
Líneas de Corrientes (familia de circunferencias)
Rosa Ñique Alvarez 15
2
1
2
1
2
122 2
1
2
1),(
=
−+→=
+=
cc y xc
y x
y y xu
2
2
2
2
2222 2
1
2
1
),(
=+
−→=+= c yc xc y x x
y xv
Rosa Ñique Alvarez 16
X
Y
CURVA EQUIPOTENCIAL Y LINEAS DE CORRIENTE
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
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