4.0 Inducción hacia atrás y Equilibrio de Nash Perfecto en

Subjuegos

A pesar de que todos los juegos se pueden representar en Forma Normal, dicha

representación tiene una mayor utilidad cuando los juegos son de decisión

simultánea y de forma independiente entre los jugadores. No obstante cuando

los juegos son secuenciales, es decir dinámicos, la representación en forma

extensiva captura de forma más precisa el orden en el cual le toca mover a cada

jugador y la estructura de la información.

4.1 Ejemplo: “Juego de entrada y Predación”

Cuya representación en forma normal será:

J2

Dar espacio Guerra

Entrar 2,2 -1,-1

j1 No entrar 0,4 0,4

Tiene dos equilibrios de Nash: (Entrar, Dar espacio), (No entrar, Guerra de

Precios). Suponiendo que los jugadores no seleccionan sus estrategias en tiempo

real, es decir a medida que el juego progresa, sino que eligen sus estrategias de

antemano (imagine que escriben sus estrategias en un papel). El entrante

prefiere no entrar si espera que el incumbente está dispuesto a iniciar una guerra

de precios si se produce dicha entrada. Pero cuando cada jugador mueve en

tiempo real, la estrategia de iniciar una guerra de precios cuando se produce la

entrada no resulta creíble ya que al incumbente le convendría alojar al entrante

en el mercado (ver que por los pagos le conviene más).

Por lo tanto lo que este juego nos presenta es una situación en la

cual el equilibrio predice una acción que no es racional.

4.2 Es por eso que se introduce el concepto de racionalidad secuencial, para

demostrar que cada jugador debe demostrar racionalidad al momento de tomar

sus decisiones.

Racionalidad secuencial: Una estrategia óptima para un jugador debe maximizar

sus pagos esperados, en cada conjunto de información en el que al jugador le

toque mover. Es decir, la estrategia óptima del jugador i debe especificar la una

acción óptima en cada conjunto de información, aunque el jugador piense ex

ante que dicho conjunto de información no será alcanzado en el juego. En

adelante se supondrá que la racionalidad secuencial es de conocimiento público.

4.3 Una estrategia esta condicionalmente dominada si, en función del

conjunto de información que se ha alcanzado, existe otra estrategia que la

domina estrictamente. Por lo tanto se podrá remover en forma iterativa las

estrategias condicionalmente dominadas. Sin embargo el algoritmo de Inducción

hacia atrás es lo que se utiliza con más frecuencia.

4.4 Inducción hacia atrás (backward induction): Es el procedimiento de analizar

el juego desde el final hacia el principio: desde los conjuntos de información en

el final del árbol hasta los conjuntos de información del principio. Permite

identificar el Equilibrio de Nash en Estrategias Puras.

4.5 Subjuego: Es una parte del juego que cumple con lo siguiente:

4.5.1 Comienza en un nodo de decisión unitario. Contiene a todos los nodos

sucesores.

4.5.2 No rompe con ningún conjunto de información.

4.6 Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos: En un perfil de estrategias que

constituye un Equilibrio de Nash en cada subjuego del juego original.

4.7 Ejemplo:

Su representación en forma normal será:

J2 X Y UA 3,4 1,4 UB 2,1 2,0 j1 DA 2,6 2,6 DB 2,6 2,6 Tiene 3 Equilibrios de Nash: [(UA), X], [(DA), Y], [(DB), Y]

Pero analizando cada subujuego:

4.7.1 Subjuego 1:

J2 X Y A 3,4 1,4 j1 B 2,1 2,0 Cuyo único Equilibrio de Nash es: (A,X)

4.7.2 Subjuego 2

Como 3>2, [(UA), X] será el Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos.

4.8 Conclusiones:

4.8.1 Un Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos es un Equilibrio de Nash:

dicho perfil debe especificar un Equilibrio de Nash en cada Subjuego. Por lo

Tanto el ENPS constituye un refinamiento del Equilibrio de Nash.

4.8.2 Para juegos de información perfecta, el procedimiento de “inducción hacia

atrás” permite determinar cual es el Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos.

4.9 Ejercitaciones

Ej. 4.1) Halle el Resultado por Inducción hacia atrás del siguiente juego:

Ej. 4.2) Considere el siguiente juego de disuasión a la entrada:

a) Represéntelo en “forma normal” y encuentre los equilibrios de Nash.

b) Encuentre el/los Equilibrio/s Perfecto/s en Subjuegos.

Ej.4.3) Considere el siguiente juego:

a) Represéntelo en “forma normal” y encuentre los equilibrios de Nash.

b) Encuentre el/los Equilibrio/s Perfecto/s en Subjuegos.

Ej. 4.4) A partir del siguiente juego de disuasión a la entrada:

a) Represéntelo en “forma normal” y encuentre los equilibrios de Nash.

b) Encuentre el/los Equilibrio/s Perfecto/s en Subjuegos.

Ej. 4.5) A partir del siguiente juego:

a) Represéntelo en “forma normal” y encuentre los equilibrios de Nash.

b) Encuentre el/los Equilibrio/s Perfecto/s en Subjuegos.

Ej. 4.6) “Pánico Bancario”

Dos inversores han depositado cada uno de ellos $10.000 en un Banco que utiliza dicho

monto para la construcción de un edificio en puerto madero, cuya duración será de dos

años. Si el banco debe liquidar la inversión antes de dicho plazo, recibe $15.000 de los

$20.000 que invirtió. Sin embargo si la inversión se concreta el proyecto rendirá un

total de $32.000.

Los inversores pueden retirar sus respectivos depósitos al finalizar el año en el cual

efectuaron el depósito o al finalizar el segundo año (y por lo tanto el proyecto de

inversión). Si ambos retiran sus depósitos al finalizar el primer año, cada uno recibe

$7.500 y el juego se acaba. Si sólo un inversor saca el dinero en el primer año, recibe

sus $10.000 y el otro recibe $5.000 y el juego se acaba. Finalmente si ninguno de los dos

inversores saca el dinero en el primer año la inversión puede concluir, en cuyo caso los

inversores deciden sacar o no el dinero. Si en el segundo año ambos sacan el dinero,

cada uno recibe $16.000 y el juego se acaba. Si sólo un inversor saca el dinero, recibe

$22.000 mientras que el otro recibe $10.000 y el juego se acaba. Si ninguno decide

sacar el dinero, el banco devuelve $16.000 a cada inversor y el juego se acaba.

a) ¿Cuantos resultados perfectos en subjuegos hay? ¿Que puede decirse acerca de

la eficiencia de cada uno de ellos?

b) ¿Cual de ambos resultados constituiría un pánico bancario?

Ej. 4.7) A partir del siguiente juego:

a) Represéntelo en “forma normal” y encuentre los equilibrios de Nash.

b) Encuentre el/los Equilibrio/s Perfecto/s en Subjuegos.

Ej.4.8) “Aranceles y competencia internacional imperfecta”

Los gobiernos de Argentina y Brasil aplican barreras arancelarias a la comercialización

de denim (tela de jean). Cada uno de ellos tiene una empresa que produce dicho bien,

que o bien pueden destinar al consumo interno o exportarlo al país vecino ( en cuyo

caso paga un arancel ). La empresa de argentina produce una cantidad para

satisfacer la demanda interna y una cantidad que exporta a Brasil, mientras que la

brasilera y . El precio de equilibrio de denim en argentina es ( )= 10 -

, con = + (construya el análogo para Brasil). Cada una de las empresas

tiene un costo marginal constante (simétrico) e igual a 4, por lo que el costo de

producción será ( , )= 4( + ). El desarrollo temporal del juego es el

siguiente: Primero ambos gobiernos escogen simultáneamente las tasas arancelarias y

. En segundo lugar, las empresas observan las tasas arancelarias y eligen

simultáneamente las cantidades para el consumo interno y para la exportación ( , )

y ( , )). En tercer lugar las ganancias son los beneficios de la empresa y el bienestar

del gobierno, donde el bienestar del país es la suma de los excedentes de los

consumidores (que supondremos lineal):

= (10- ( + )) + (10-( + )) - 4( + ) - .

= ½* + + * (construya los análogos para Brasil)

a) ¿Cuál será el resultado perfecto en subjuegos?

b) ¿ Que se puede decir acerca de la eficiencia del intervencionismo?

Ej. 4.9) A partir del siguiente juego:

a) Represéntelo en “forma normal” y encuentre los equilibrios de Nash.

b) Encuentre el/los Equilibrio/s Perfecto/s en Subjuegos.

Ej. 4.10) Determine el resultado por Inducción hacia atrás del siguiente juego:

Ej. 4.11) Determine cuales son los “Equilibrios Perfectos en Subjuegos”

4.12) Determine el resultado por Inducción hacia atrás de los siguientes juegos:

a)

b)

c)

Ej. 4.13) Represente los siguientes juegos en Forma Normal y encuentre el/los

Equilibrio/s de Nash. Luego haga lo propio para encontrar el/ los Equilibrio/s

de Nash Perfecto en Subjuegos.

a)

b)