6. ecuaciones

Ecuaciones

Juan Carlos Damin Sandoval

Universidad San Martin de Porres

Abril del 2013

J.C.Damin . S (USMP) Conjunto de los Nmeros Reales Abril del 2013 1 / 14

Ecuaciones

EcuacinUna ecuacin es una igualdad en la cual participan algunascantidades desconocidas, en general designadas por letras. Lascantidades desconocidas se denominan incgnitas.

Tipos de EcuacionesEcuaciones Algebraicas.Ecuaciones Trascendentes.

Ecuaciones AlgebraicasRacionales:Enteras y Fraccionarias.Irracionales


Ecuaciones

Ecuacin Racional EnteraUna ecuacin es racional entera si la incgnita no est en ningndenominador.

Ejemplox 23 + 2 = x + 1

Ecuacin Racional FraccionariaUna ecuacin racional es Fraccionaria si la incgnita est en algndenominador.

Ejemplo2x +

23 =

1x +

12


Ecuaciones

Ecuacin IrraccionalUna Ecuacin Irracional es cuando la incgnita aparece en unradicando.

Ejemplox + 2+ 5 = 3x

Ecuaciones EquivalentesDos ecuaciones son equivalentes si admiten las mismas soluciones.

EjemploLas siguientes ecuaciones son equivalentes:1. 2x 3 = 3x + 2; x + 3 = 22. 4(x 1) = 3(x + 2); 2x + 1 = 21J.C.Damin . S (USMP) Conjunto de los Nmeros Reales Abril del 2013 4 / 14

Ecuaciones Lineales

Ecuaciones Lineales con una incgnitaSe dice que una ecuacin es lineal con una incgnita, cuando elexponente de la variable x es 1. Una ecuacin con una incgnitatiene la forma:

ax + b = 0, a 6= 0La solucin es:x = ba

EjemploResolver la siguientes ecuaciones.1. 4x 15 = 2x + 52. 6(x 2) 8(3x 2) = 14x3. 4[3x (x 2)] + 2(x + 8) = 4 (x 6)


Ecuaciones Fraccionarias que se Reducen a Lineales

Ejemplo1. 1x3 3x2 = 412x2. x+1x x+4x+5 = 3x+5x2+5x3. 1x +

1110 =

2x 25

4. x6x 6x = x+6x65. x+1x1 =

xx3 +

2x3

Ecuaciones IrracionalesUna ecuacin es irracional es aquella en la que una incgnita apareceen un radicando.


EjemploResolver las siguientes ecuaciones con radicales.1. 62x 5 = 02.x2 9 = 9 x

3.x + 3x 2 = 5

4. x x + 1 = 1


Ecuaciones Cuadrticas

Ecuacin CuadrticaSi a, b, c son nmeros reales cualesquiera y a 6= 0, diremos queax2 + bx + c = 0 es una ecuacin cuadrtica en x .

EjemploSon ecuaciones cuadrticas con una incognita x , las siguientesigualdades.1. 2x2 3x + 2 = 02. x2 + 4 = 03. x2 x = 04. x2 4 = 0


RAZ DE UNA ECUACIN CUADRTICA

Raz de una Ecuacin CuadrticaDiremos que el nmero r(real o complejo) es raz de la ecuacincuadrtica ax2 + bx + c = 0 si y slo si ar 2 + br + c = 0.

Ejemplo1. x = 2 es raz de 2x2 3x 2 = 0, por que 2(2)2 3(2) 2 = 0.2. x = 3 no es raz de 2x2 3x 2 = 0, por que

2(3)2 3(3) 2 6= 0


DISCRIMINANTE DE LA ECUACINCUADRTICA

Discriminante de la Ecuacin CuadrticaEl nmero real b2 4ac se llama discriminante de la ecuacincuadrtica ax2 + bx + c = 0, a 6= 0.

NotacinCon la letra griega 4 (delta) vamos a denotar el discriminante, estoes:

b2 4ac = 4


Clases de Races

Clases de Races de una Ecuacin CuadrticaLa ecuacin cuadrtica ax2 + bx + c = 0, a 6= 01. Tiene dos races reales diferentes, si y slo si 4 > 0;(las races

son r1 y r2)2. Tiene slo una raz real, si y slo si, 4 = 0; (r1 = r2)3. No tine races reales, si y slo si, 4 < 0;

(r1 = m + in, r2 = m in)

Propiedades de las races de una ecuacin cuadrticaSi r1 = b+

b24ac2a y r2 =

bb24ac2a son las races de la ecuacin

cuadrtica ax2 + bx + c = 0 se cumple las siguientes propiedades:1. r1 + r2 = ba y r1r2 = ca2. ax2 + bx + c = a(x r1)(x r2)J.C.Damin . S (USMP) Conjunto de los Nmeros Reales Abril del 2013 11 / 14

EjemploHallar el discriminante y sus races de la ecuacin:

2x2 3x 1 = 0


9x2 6x + 1 = 0


x2 + x + 1 = 0


Ejercicios

EjerciciosHallar el discriminante de cada ecuacin, segn este resultado diga silas races son reales y diferentes o tienen raz nica o las races sonnmeros complejos conjugados.1. x2 3x + 2 = 02. x2 4x + 4 = 03. x2 + 4x + 13 = 04. 4x2 + 12x + 9 = 05. 6x2 + 7x 3 = 06. x2 6x + 34 = 07. x2 6x + 1 = 08. 2x2 + 2x + 5 = 09. 9x2 30x + 23 = 010. 20x2 x 12 = 0


Bibliografa"LAZARO CARRION, MOISES; Lgica y teora de conjuntos.Editorial Moshera Lima 2009"FIGUEROA ROBERTO, Matemtica Bsica. Editorial San Marcos.Lima 2004.ESPINOZA RAMOS,E.(2002). Matemtica Bsica. Editorial ServiciosGrficos JJ. Per."VERA G. CARLOS, Matemtica Bsica. Editorial Moshera Lima2009.


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