capitulo 6 - otros tipos de ecuaciones e inecuaciones
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CAPÍTULO 6OTROS TIPOS DE ECUACIONES E
INECUACIONES
Tabla de contenido
1. Ecuaciones e inecuaciones fraccionarias...........................................................................................240
1.1 Resolución algebraica........................................................................................................................240
1.2 Aplicaciones.......................................................................................................................................248
2. Inecuaciones fraccionarias................................................................................................................250
2.1 Resolución algebraica........................................................................................................................250
2.2 Aplicaciones.......................................................................................................................................248
3. Ecuaciones con valor absoluto...........................................................................................................251
3.1 Resolución de ecuaciones con valor absoluto...................................................................................251
4. Inecuaciones con valor absoluto........................................................................................................249
4.1 Resolución algebraica........................................................................................................................249
5. Ecuaciones con radicales...................................................................................................................223
5.1 Resolución algebraica........................................................................................................................223
6. Inecuaciones con radicales...............................................................................................................229
Capítulo 6Capítulo 6
ECUACIONES E INECUACIONES FRACCIONARIAS, CON VALOR ABSOLUTO Y
RADICALES
1. Ecuaciones e inecuaciones fraccionariasA partir de la teoría estudiada para la resolución de ecuaciones y los procedimientos de simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias, podemos abordar ahora ecuaciones que involucren fracciones.
La definición del conjunto de los números racionales plantea que para ab∈Q, con a ,b∈Z , se debe
cumplir que b≠0. Esta condición aplica para cualquier expresión fraccionaria, en particular aquellas que involucren variables, es decir, si una fracción tiene una expresión algebraica en el denominador, la o las variables tienen restricciones sobre los valores que pueden tomar, ya que no se debe obtener un denominador que sea cero.
Así, por ejemplo, en el capítulo 2 se analizaron las expresiones √2−16 x+ y45
1− 3√ y y
2x+3
que tienen por
dominio R−{1 } para la variable y y R−{−3 }, para la variable x, respectivamente. Esto precisamente porque los valores excluidos generan una fracción indefinida.
1.1 Resolución algebraica Para resolver ecuaciones fraccionarias se puede proceder de varias formas:
i. Homogenizar ambos miembros de la ecuación (si es necesario) de tal forma que al tener el mismo denominador se pueda utilizar el resultado
P ( x )Q ( x )
=R ( x )Q ( x )
⇔P ( x )=R (x ) ,Q (x )≠0
También se puede justificar este resultado con el hecho de multiplicar a ambos miembros de la ecuación por Q ( x )
ii. Homogenizar cada miembro de la ecuación (si es necesario) para multiplicar a cada miembro por la expresión en el denominador del otro miembro, así
P ( x )Q ( x )
=R (x )T ( x )
⇔P ( x )T ( x )=R ( x )Q (x ) ,Q ( x )≠0 yT (x )≠0
iii. Transponer los términos de un miembro de la ecuación y realizar las operaciones correspondientes para que la igualdad sea con respecto a cero y utilizar que
P ( x )Q ( x )
=0⇔P ( x )=0 ,Q ( x )≠0
Multiplicar a ambos miembros por Q ( x ) es válido.
iv. Realizar una sustitución adecuada para que la ecuación fraccionaria se transforme en una ecuación polinomial de grado mayor o igual a uno
Nótese que se están considerando expresiones fraccionarias con una sola variable, pero las estrategias expuestas anteriormente se utilizan también en aquellas con varias variables.
Otro punto importante por considerar es si alguna solución de la ecuación coincide con alguna restricción, ya que en ese caso no deberá considerarse dicho valor como solución.
Ejemplo. Resuelva y−5
6 y−6=1
9− y−3
4 y−4
En este caso se empleará la técnica de transponer para que un miembro de la ecuación sea cero y concluir que el numerador debe ser cero. Aunque puede utilizar las estrategias en i, ii.
y−56 y−6
−19+ y−3
4 y−4=0.
Efectuamos las operaciones indicadas en el miembro izquierdo
y−56( y−1)
−19+ y−3
4( y−1)=0
6 ( y−5 )−4 ( y−1 )+9( y−3)36( y−1)
=0
6 y−30−4 y+4+9 y−2736( y−1)
=0
11 y−5336 ( y−1 )
=0
Debe considerarse que y ≠1 para no tener una fracción indefinida y así se obtiene
11 y−53=0
La solución de esta última ecuación es y=5311
, la cual no coincide con la restricción. Sustituyendo este valor
en la ecuación original se verá que la satisface (no es necesario a menos que se solicite) y se concluye que
S={5311 }.
Ejemplo. Determine el conjunto solución de la ecuación (3m−5 )2−4m2
4m2−(m+1 )2=1
Se procede a determinar las restricciones
4m2−(m+1 )2=0 [2m−(m+1 ) ] [2m+(m+1 ) ]=0 [m−1 ] [3m+1 ]=0
3m+1=0∨m−1=0m=−13∨m=1
Por lo tanto m≠−13,m≠1
Note que el numerador y el denominador se factorizan con diferencia de cuadrados así
[m−5 ] [ 5m−5 ][m−1 ] [3m+1 ]
=1
5 [m−5 ] [m−1 ][m−1 ] [3m+1 ]
=1
5 [m−5 ][ 3m+1 ]
=1
Multiplicando ambos miembros por 3m+1 se tiene
5m−25=3m+1
Y
2m=26m=13
Como la solución no coincide con ninguna restricción, S= {13 }
Ejemplo. Resuelva la ecuación 12 y−2−23 y−1=−5
En este caso se observa que la sustitución u= y−1, y ≠0, convierte la ecuación original en 12u2−23u=−5, que es cuadrática y, entonces
12u2−23u=−5
12u2−23u+5=0
(4 u−1 )(3u−5)=0
Las soluciones de esta ecuación son u=14yu=5
3 . Puesto que u= y−1, se tiene
y−1= 14⇔ y=4
y
y−1=53⇔ y=3
5
El conjunto solución de la ecuación original es {4 , 35 }.
Ejemplo. Resuelva la ecuación (a+ 1a )
2
−3 (a+ 1a )−4=0
Primero se debe considerar la restricción de la variable: a≠0. Luego note que la expresión a+1a
está
presente en dos términos del miembro izquierdo, por lo tanto se realiza la sustitución
w=a+ 1a
La ecuación original se convierte en una ecuación cuadrática con variable w como sigue
w2−3w−4=0
Se procede a determinar las soluciones de esta ecuación
(w−4 ) (w+1 )=0
⇔w−4=0∨w+1=0⇔w=4∨w=−1
Devolviéndose a la variable original, se tiene
a+ 1a=4∨a+ 1
a=−1
Cada ecuación es fraccionaria pero más sencilla que la original
a+ 1a=4⇔
a2+1a
=4⇔a2+1=4 a⇔a2−4 a+1=0⇔a=4±√16−42
=4 ±2√32
=2±√3
a+ 1a=−1⇔
a2+1a
=−1⇔a2+1=−a⇔a2+a+1=0⇔a=−1±√1−42
=−1±√3 i2
Lista de ejercicios 1
1. Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones
1)4x+2
+ 1x−2
= 4
x2−4
2)x−5
6 x−6=1
9− x−3
4 x−4
3)x−1x+1
= x+1x−1
4)1
z2−z−2− 3
z2−2 z−3= 1
z2−5 z+6
5)y− y−1
y+ y−1 =1
6) ( nn+1 )
2
− 2nn+1
−8=0
7) ( 4y+3
−1)(1+ 3y+4 )=0
8) 36 x−4−13 x−2+1=0
9)1+ xx−1
1−xx−1
=−2 x+1
( 1x−1
+ 1x )÷ 2
x2−1=5+x2. Despeje x
1)3
x2−1= 2x+1
−2x
2)32−6 x−5x−2
= 54−2x
3) 1+ 5 x3+x
−7−x5
=8+x5
4)3 x
x2−1+ x−2
x2+x= 4x+1
5) 3( 12− x−1x+1 )=1
4 ( 9x+1
−1)
6)5
7 x+7− 3
14 x−7= 7 x−2
2x2+x−1
7)1
2x−2− x+1
2 x2+2− x
(x2+1 )2=0
8)x−2x−3
− x+2x+3
=1− x−5x+3
9) x+2− x2−32x−2
− x+12
=3
10) 7x−1
−3
2 x+2=1−
x2+112
x2−1
11)x+3
3− xx+3
− x3−3x3x2−27
=1x
12)1x+ 2x
x2−1= 1x+1
13)1x−3
− 14 x
= 6
x2−9
14)1
2x−1+ 1x=2 x+1
x2+ x
15)2x−3x−1
= x+4x+1
− 1x−1
16)1x−1
+ 2x ( x+1 )
= 53x
− 2x+1
17) 3−2−x3
+ 7+x5
=x
1−1x= xx+1
3. Determine las soluciones de las siguientes ecuaciones cuya incógnita es x. Algunas de
ellas son paramétricas.
1)xx+1
−1x= x−2
x
2)1x−2
+ 2 x+6x (x+2 )
=3x
3)1x+ 1x−2
= 2x ( x+2 )
4)1x=1a+ 1b+1c
5)xa+ xb=1n ( 1b−1a )
6)nax
+ mbx
=ba+mn
7)x+mx−n
= n+xm+x
8)1n ( ax + b
x )=ab−ba
9)2 x−a2 ( x+a )
−12= x−a
2x−a
10)1
a2+ ax= 1
b2−bx
1.2 Aplicaciones
Algunos fenómenos de la vida cotidiana están modelados por fórmulas que involucran expresiones fraccionarias. Analizaremos los siguientes casos.
Ejemplo. Cuando dos resistores se colocan en paralelo, la resistencia total R satisface la relación
1R
= 1R1
+ 1R2
siendo R1 y R2 las resistencias de los resistores, medidas en Ohms.
Si R2 tiene 5ohms más que R1 y la resistencia total es de 6ohms, ¿cuánto valen R1 y R2?
La ecuación que se plantea es
16= 1R1
+ 1R1+5
En este caso las resistencias se miden con números positivos, luego R1≠−5 y R1≠0 para que no se indefina la fracción, pero nunca se tomará valores negativos.
Homogenizando ambos miembros por el mismo denominador se tiene
R1 (R1+5 )6 R1 (R1+5 )
=6 (R1+5 )+6 R1
6 R1 (R1+5 )De donde se obtiene que
R1 (R1+5 )=6 (R1+5 )+6 R1
⇔R12+5 R1=6R1+30+6 R1
⇔R12+5 R1=12R1+30
⇔R12−7 R1−30=0
⇔ (R1−10 ) (R1+3 )=0
⇔R1−10=0∨ R1+3=0
⇔R1=10∨R1=−3
Por lo tanto se debe tener R1=10ω y R2=15ω
Ejemplo. El número de oro Φ
Los antiguos griegos eran conocidos por buscar la perfección en todas las cosas. El Partenón de Atenas, templo ubicado en la Acrópolis, dedicado a la diosa Atenea y considerado el monumento más importante de la antigua civilización griega, está construido de tal forma que el largo y el ancho de la base forman un rectángulo que consideraban ideal. Es un rectángulo tal que, si se quita el mayor cuadrado posible, se obtiene un nuevo rectángulo, cuyos lados están en la misma proporción que los del rectángulo original.
Un número tan importante como Φ está oculto detrás de una ecuación fraccionaria relacionada con esta situación. Explora esta página
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Lista de ejercicios 2
Determine la solución de los siguientes planteamientos
a) La población P de un cultivo de bacterias en un tiempo t se expresa por la fórmula
P=P0(1+ 3 t 2
50+ t2 ), donde P0 es la población inicial y t es el tiempo en horas. Hallar el tiempo
necesario para que la población inicial de 1000 pase a ser 2000 bacterias.
b) Dos aviones se utilizan para fumigar una parcela. Si uno de ellos se demora la mitad del tiempo
que el otro y juntos tardan 5 horas ¿Cuándo tardaría cada avión por separado en fumigar?
c) Determinar un número positivo tal que si se le resta 24 a su inverso multiplicativo, se obtiene 2.
d) Para asistir a un concierto, a un grupo de amigos se les cobraba $6000 en total. Dos de ellos no
pudieron asistir, de modo que cada uno de ellos debió pagar $150 más pues el precio se
mantuvo. ¿Cuánto debía pagar cada uno al inicio y cuántos amigos fueron al concierto?
e) Para estudiar la tasa a la que aprenden los animales, un estudiante de psicología realizó un
experimento: de modo repetido se enviaba a una rata de un extremo a otro de un laberinto.
Suponga que el tiempo requerido por la rata para atravesar el laberinto en la n-ésima prueba se
modela por t=3+ 12n
minutos. ¿Cuánto tiempo le tomó a la rata atravesar el laberinto en la
tercera prueba? ¿En qué prueba atravesó la rata por primera vez el laberinto en 4 minutos?
¿Podrá la rata hacer el recorrido en 3 minutos o menos?
2. Inecuaciones fraccionariasPara resolver inecuaciones fraccionarias se debe obtener la forma general
P ( x )Q ( x )
>0 ,P ( x )Q ( x )
<0 ,P ( x )Q (x )
≥0 ,P ( x )Q ( x )
≤0 ;Q (x )≠0
Esto implica que en ciertas ocasiones se deberá transponer y realizar las operaciones respectivas para obtener una sola fracción en uno de los miembros.
2.1 Resolución algebraicaAl igual que en las inecuaciones polinómicas de grado mayor o igual a dos, en las inecuaciones fraccionarias se necesita que uno de los miembros sea cero reducir el problema a determinar el signo de la expresión (positivo o negativo) o bien determinar donde se anula. Para lograr esto se sugiere:
Transponer los términos en uno de los miembros para realizar las operaciones correspondientes y obtener una sola fracción
Factorizar completamente en R las expresiones en el denominador y numerador.
Determinar las restricciones (con el numerador) y los ceros (con el denominador) de la expresión fraccionaria
Simplificar la expresión, si se puede, sin olvidar las restricciones y los ceros aunque cancele algunos factores
Organizar el signo de cada factor en una tabla de signos Determinar el signo de la fracción utilizando la ley de signos de la multiplicación y división Escribir el o los intervalos en los que se cumple la condición dada
Cuando se realiza la tabla de signos se hace una distinción particular en los valores que corresponden a las restricciones de la expresión fraccionaria. Se dibuja una doble línea para recordar que la variable no puede tomar dicho valor, además se incluyen puntos rellenos para indicar que dicho valor es un cero de la fracción.
Ejemplo. Resolver x+1x−5
≥0
En este ejemplo se nota que ya se tiene una sola fracción en el miembro izquierdo y cada polinomio en el denominador y el numerador son irreducibles, entonces se procede a determinar los ceros y las restricciones.
La tabla de signos queda de la siguiente forma
−∞ −1 5 +∞
x+1 −¿ +¿ +¿
x−5 −¿ −¿ +¿
x+1x−5 +¿ −¿ +¿
La inecuación planteada solicitar determinar los valores de la variable x para los cuales la fracción es positiva o cero y leyendo la última fila de la tabla se tiene que el conjunto solución es ¿−∞ ,−1¿¿∪¿5 ,+∞¿ (el −1 sí se incluye porque ahí se hace cero y el 5 no pues es la restricción).
Ejemplo. Resolver la inecuación 3x−1
− 7x+3
<2
Ceros
x+1=0↔x=−1
Restricciones
x−5=0↔x=5∴ x ≠5
En vista que las desigualdades se invierten si se multiplica o divide a ambos miembros por una cantidad negativa, aquí no conviene multiplicar por ( x−1 ) ( x+3 ) para eliminar los denominadores puesto que el producto puede dar negativo considerando dos casos (+∙−∨−∙+¿). Lo más adecuado es proceder del siguiente modo:
3x−1
+ 7x+3
<2
3x−1
+ 7x+3
−2<0
3 (x+3 )+7 (x−1 )−2 ( x−1 ) ( x+3 )( x−1 ) ( x+3 )
<0
−2x2+6 x+8( x−1 ) ( x+3 )
<0
−2 (x2−4 x−4 )( x−1 ) ( x+3 )
<0
−2 (x+1 ) ( x−4 )
( x−1 ) ( x+3 )<0
El factor −2 se podría transponer pero invirtiendo la desigualdad o mantenerlo e incluirlo en la tabla de signos así:
−∞ −3 −1 1 4 −∞
−2 −¿ −¿ −¿ −¿ −¿
x+1 −¿ −¿ +¿ +¿ +¿
x−4 −¿ −¿ −¿ −¿ +¿
x−1 −¿ −¿ −¿ +¿ +¿
x+3 −¿ +¿ +¿ +¿ +¿
−2 (x+1 ) ( x−4 )( x−1 ) ( x+3 )
−¿ +¿ −¿ +¿ −¿
De la última fila se extrae que S=¿−∞,−3¿.
Ejemplo. Determine el conjunto solución de la inecuación − y2+7 y−12
( y2+9 ) (2 y−8 ) ( y3+27 )<0
Primero se factorizan en R todos los polinomios
Restricciones
x≠1
x≠−3
Ceros
x=−1
x=4
( y−4 ) (− y+3 )2 ( y2+9 ) ( y−4 ) ( y+3 ) ( y2−3 y+9 )
<0
Nótese que los polinomios y2+9 y y2−3 y+9 no son factorizables en R, además ambos siempre son positivos para cualquier valor de y .
Como 4 es restricción y cero, sólo se considera la primera condición, además se puede simplificar la fracción como se muestra a continuación
− y+3
2 ( y2+9 ) ( y+3 ) ( y2−3 y+9 )<0
Debe tenerse presente que en la tabla de signos hay que incluir a 4 como restricción aunque el factor se canceló.
−∞ −3 3 4 +∞
− y+3 +¿ +¿ −¿ −¿
2 +¿ +¿ +¿ +¿
y2+9 +¿ +¿ +¿ +¿
y+3 −¿ +¿ +¿ +¿
y2−3 y+9 +¿ +¿ +¿ +¿
− y2+7 y−12( y2+9 ) (2 y−8 ) ( y3+27 ) −¿ +¿ −¿ −¿
Luego S=¿−∞,−3[∪]3,4 [∪ ]4 ,+∞ [¿ ]−∞ ,−3 [∪ ]3 ,+∞¿
Lista de ejercicios 3
1. Resuelva las siguientes inecuaciones
1)y2+ y−6y3−8
≤0 2)( y−2 )2 (5− y )
(4− y )3<0
Restricciones
y ≠4
y ≠−3
Ceros
y=4
y=3
3)( x+3 )2 ( x+4 ) (x−5 )3
x2−x−20>0
4) 5+ z2
2 z+4≤0
5)( x+3 )2 (2− x )( x+4 ) (x2−4 )
≤0
6)x2−xx2+2 x
≥0
2. Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones
1)x−2x+2
≥2x−34 x−1
2)16≤
1y−2
− 1y−1
3) 1+ 1z≥
11+z
4)x2−2 x+3x2−4 x+3
>−3
5)1x−2
≥3x+1
6)4 y−4y
+ 1+ yy2
≤4 y
1+ y+ 4
y2+ y3
7)3 x
2x−4≤
6
16−4 x2
8)– x−10x+1
>−x−2
9)6 y
y2−4 y+3≥
212−4 y
10)5x−2
x2+1>1
11)2x2+5 x−3(3+x ) ( 4+x )
≤−23+ x
+ x4+ x
12)5−2 z
z2−49+ z−2
z2+8 z+7> 2−zz2−6 z−7
2.2 Aplicaciones
Ejemplo. Al realizar un estudio en un sector minero se encontró un gran porcentaje de personas con elevados niveles de plomo en la sangre. El Ministerio de Salud Pública decidió iniciar un tratamiento con un costoso medicamento a las personas que tengas un 6 % de sangre contaminada. El porcentaje que describe la cantidad de plomo en la sangre como efecto de x gramos de medicamento está dado por
P= x2+5x+6x2+x+1
, P en porcentaje
¿Al menos cuántos gramos deben administrarse para que el porcentaje de plomo sea menor al 2 %?
La inecuación que se plantea es
x2+5 x+6x2+x+1
<2
En este caso particular, note que para x2+ x+1 se tiene que ∆=1−4 ∙1∙1=−3 (no factorizable en R),
además x2+ x+1>0 ,∀ x∈ R. Por lo tanto es válido multiplicar a ambos miembros por esta expresión sin que se deba invertir la desigualdad
x2+5x+6<2 (x2+x+1 )↔
x2+5x+6<2x2+2 x+2↔
0<x2−3 x−4↔
0< (x−4 ) ( x+1 )
Se construye la tabla de signos
−∞ −1 4 +∞
x−4 −¿ −¿ +¿
x+1 −¿ +¿ +¿
( x−4 ) ( x+1 ) +¿ −¿ +¿
A pesar que el conjunto solución de la inecuación es ¿−∞ ,−1[∪]4 ,+∞ ¿, los números negativos no tienen sentido para el planteamiento. Por lo tanto con un poco más de 4 gramos del medicamento el porcentaje de plomo será menor al 2 %
Ejemplo. Pasados t minutos después de un introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, el
número de bacterias está dado por N=10000
t2+1+2000. Determine el momento en que el número de
bacterias está por debajo de 4000.
Según lo planteado se debe resolver la inecuación
N<4000
Es decir,
10000
t 2+1+2000<4000↔
10000
t2+1<2000
Como t 2+1>0 ,∀ t∈ R, en particular para t>0 que son los valores que tienen sentido en el planteamiento, entonces
10000<2000 (t 2+1 )↔10000<2000 t 2+2000↔0<2000 t 2−8000
↔0<t 2−4↔0<( t+2 ) (t−2 )
El análisis del signo se muestra a continuación
−∞ −2 2 +∞
t−2 −¿ −¿ +¿
t+2 −¿ +¿ +¿
( t+2 ) (t−2 ) +¿ −¿ +¿
Como sólo tiene sentido hablar de minutos positivos, a partir de dos minutos en adelante la cantidad de bacterias es menor que 4000.
Lista de ejercicios 4
Determine la solución de los siguientes planteamientos haciendo uso de inecuaciones
a) Para que cualquier medicamento tenga un efecto benéfico, su concentración en el torrente sanguíneo debe exceder cierto valor llamado nivel terapéutico mínimo. Suponga que la concentración C de cierto fármaco al transcurrir t horas después que se ha ingerido es
C= 20 t
t2+4mg /l. Si el nivel terapéutico mínimo es de 4mg / l, determine cuándo se ha excedido
este nivel.b) Un determinado fármaco que se usa para controlar la temperatura se inyecta vía intramuscular.
Su efecto E, en horas, depende la dosis, en x miligramos, y se representa por E= 74 x8 x+3
¿Qué
cantidad de dosis se debe inyectar para que el medicamento tenga efecto más de 4 horas y menos de 8 horas?
c) Razón de activo y razón de prueba de ácido (razón rápida)La razón de activo de un negocio es el cociente de sus activos circulantes (efectivo, inventario de mercancías y cuentas por cobrar) y sus pasivos circulantes (préstamos a corto plazo y sus impuestos).
Por otro lado, la razón de prueba de ácido es la razón de liquidez de sus activos (efectivo y valores, más cuentas por cobrar) a sus obligaciones actuales. La mínima razón para que una compañía tenga finanzas sólidas es alrededor de 1.0, pero esto varía de industria a industria.
Después de consultar con el contralor, el presidente de la Ace Sport Equipment Company decide pedir un préstamo a corto plazo para hacerse de inventario. La compañía tiene un activo de $350000 y un pasivo de $80000. ¿Cuánto debe pedir prestado si desea que su razón de activo no sea menor que 2.5? (los fondos que se recibirán se consideran activos y el préstamo como pasivo). Si esta compañía cuenta con $450000 en efectivo y valores, y $398000 en obligaciones, ¿cuánto necesita tener en cuentas por cobrar para mantener la razón rápida en o por encima de 1.3?
d) Los experimentos realizados por A. Clark sugieren que la respuesta R (en porcentaje) del músculo del corazón de una rana al inyectar x unidades de acetilcolina queda aproximada por la
fórmula R=100 xb+x . Calcule el valor de b para que una concentración de 40 unidades de
acetilcolina produzca una respuesta del corazón mayor al 50% de cierta rana.
3. Ecuaciones con valor absolutoComo ya se ha mencionado en el capítulo 1, el valor absoluto de un número real x se denota |x| y se define como
|x|={ x , si x ≥0−x , si x<0
De esta definición, se puede construir una segunda: |x|=max ( x ,−x )
Algunos teoremas que resultarán útiles para la resolución de ecuaciones son:
TTEOREMAEOREMA 3.1 3.1: ∀ x , y∈R [|x|=|y|⟺x= y ]
TTEOREMAEOREMA 3.2 3.2: ∀ x , y∈R [|x ∙ y|=|x|∙|y|]
TTEOREMAEOREMA 3.3 3.3:∀ x∈R ,∀ y∈R−{0 }[|xy|=|x||y|]
TTEOREMAEOREMA 3.4 3.4: ∀ x∈R [|x|2=x2 ]
3.1 Resolución de ecuaciones con valor absolutoPara determinar el conjunto solución de una ecuación que involucre expresiones con valor absoluto se aplica la misma definición, lo cual conlleva a un estudio de casos dependiendo del o los valores que generen un cambio de signo para la expresión en cuestión. Bajo esta vía, se deberá corroborar que la solución obtenida pertenezca al intervalo de referencia.
También se podría hacer uso de otros resultados pero que sólo se aplican ecuaciones muy particulares:
∀ x∈R [|x|≥0 ] ∀ x∈R [|x|=0⇔x=0 ] ∀ x∈R ,a∈ R+¿ [|x|=a⇔x=a∨x=−a ]¿
Ejemplo. Resolver la ecuación |x+4|=0
Se debe cumplir que |x+4|=0⇔x+4=0⇔x=−4
Por lo tanto S= {−4 }
Ejemplo. Resolver la ecuación 3|2−3 y|−2=11
Nótese que se puede transponer las constantes para que en el miembro izquierdo sólo quede la expresión con valor absoluto de este modo
|2−3 y|=133
Luego se debe cumplir
|2−3 y|=133↔2−3 y=13
3∨2−3 y=−13
3↔ y=−7
9∨ y=19
9
Ejemplo. Resolver la ecuación 4|x−2|=3x−4
Según la definición de valor absoluto
|x−2|={x−2 , si x≥2 ,−x+2, si x<2
Esto implica que se deben considerar dos casos:
Caso 1: x≥2
La ecuación que se debe resolver es
4 ( x−2 )=3 x−4
4 x−8−3x=−4
x=−4+8
x=4
Como 4 2, entonces x=4 es una solución de la ecuación.
Caso 2: x2
En esta situación se tiene
4 (−x+2 )=3 x−4
−4 x+8−3 x=−4
−7 x=−4−8
−7 x=−12
x=127
Como 127
<2, entonces x=127
es otra solución de la ecuación. El conjunto solución de la ecuación es
S={4 , 127 }.
Una forma alternativa de resolver la misma ecuación sería comenzando por elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación:
(4|x−2|¿2=¿
16¿
16 x2−64 x+64=9 x2−24 x+16
7 x2−40 x+48=0
Las soluciones de esta última ecuación son x=4 y x=127. Habría que probarlas sustituyendo estos
valores en la ecuación original, puesto que al elevar al cuadrado podrían haberse introducido soluciones extrañas. Al hacer esto se nota que ambos valores son soluciones de la ecuación.
Ejemplo. Resolver la ecuación |x+1|−|3 x−2|=1
Cada valor absoluto se analiza con base en la definición
|x+1|={ x+1 , si x ≥−1−x−1 , si x<−1
|3 x−2|={ 3 x−2 , si x ≥23
−3x+2 , si x< 23
Esto produce tres casos: x≥23,−1<x< 2
3y x ≤−1, los cuales se pueden organizar para tener un sentido
más claro de orden en una tabla así
−∞ −123 −∞
|x+1| −x−1 x+1 x+1
|3 x−2| −3 x+2 −3 x+2 3 x−2
Caso 1: x≤−1
La ecuación se transforma en
−x−1−(3 x+2)=1
2 x−3=1
x=2
Puesto que 2∉¿−∞ ,−1¿¿ entonces x=2 no es una solución de la ecuación.
Caso 2: 1<x< 23
La ecuación por resolver es
x+1−(−3 x+2)=1
4 x1=1
x=12
Dado que −1< 12< 2
3 , entonces x=
12
es una solución.
Caso 3: x≥23
Se resuelve la ecuación
x+1−(3x−2)=1
−2 x+3=1
2 x=−2
x=1
Puesto que 1≥23
, entonces x=1 es una solución.
Se concluye que el conjunto solución de la ecuación dada es S={1 , 12 } que resulta de la unión de los
conjuntos solución de cada ecuación en los tres casos analizados.
Lista de ejercicios 5
1. Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones
a) |3−2x|=2b) 3|2 x−5|−5=4c) |x+8|=0d) |x+5|+3=0e) |x –3a|=a ,a>0
f) |3 y2−2 y|−1=0
g) |z+1|=4−|2−√3|h) 5|b−3 y|=0 ,b∈ R
2. Resuelva las ecuaciones
a)|x|−1|x|+2
=1
b) |x –3|+|x+4|=|x –2|
c) | x+3x−3|=7
d) |3 x – 2|=|2x+3|
e) |4 x−1|=|x+5|
f) |3 x−5|−2 x+|x−1|=2|x+1|
g)|x|+2x−3
+|x−1|=3
h) −2−|4 y+1|= y−7
i) 2−z=5−|3−2 z|
j) ||y|− y|=0
4. Inecuaciones con valor absolutoAhora se considerarán algunas inecuaciones que contienen valores absolutos. Aquí es conveniente recordar algunos teoremas que serán útiles para resolverlas:
TTEOREMAEOREMA 4.1 4.1: ∀ x∈R [−|x|< x<|x|]
TTEOREMAEOREMA 4.2 4.2: ∀ x∈R ,a∈ R+¿ [|x|<a⟺−a<x <a ]¿
TTEOREMAEOREMA 4.3 4.3: ∀ x∈R ,a∈ R+¿ [|x|>a⟺ x← a∨ x>a ]¿
Es importante destacar que en los dos últimos teoremas la desigualdad estricta se puede cambiar por ≤ y ≥, respectivamente.
4.1 Resolución algebraica
La resolución de inecuaciones que involucran expresión con valor absoluto es muy similar a las ecuaciones. Puede utilizar los teoremas mencionados, si es el caso, o bien realizar el análisis de cada expresión y organizar una tabla para visualizar los casos por resolver.
El único aspecto que debe considerarse especialmente, es que en cada caso al resolver la inecuación se obtendrá una condición para los valores de la variable (intervalo) que también debe cumplirse de acuerdo con la condición inicial dada por el caso en cuestión. Por lo tanto el conjunto solución de cada caso se determinará intersecando el intervalo inicial con el intervalo dado en la resolución de la inecuación.
Ejemplo. Resolver |2 x+3|5
De acuerdo con el Teorema 4.2 se tiene
−5≤2x+3≤5
−5−3≤2 x≤5−3
−8≤2x ≤2
−4≤x ≤1
El conjunto solución es [−4,1 ].
Ejemplo. Determine el conjunto solución de la inecuación −2|2 y−3|≤−4
Debe tenerse cuidado en responder precipitadamente que la inecuación no tiene solución al estar
comparada con un número negativo bajo la condición que ∀ x∈R [|x|≥0 ]. Nótese que hay un número
negativo que multiplicada a la expresión de valor absoluto.
Primero, transponiendo términos se tiene
|2 y−3|≥−4−2
⟺|2 y−3|≥2
Haciendo uso del Teorema 4.3 se debe cumplir
2 y−3≥2∨2 y−3≤−2
⟺2 y≥5∨2 y≤1
⟺ y ≥52∨ y≤ 1
2
Por lo tanto el conjunto solución es S=¿−∞, 12
¿¿∪¿
Ejemplo. Resolver la inecuación |x−1|+2x 3
Se deben considerar dos casos de acuerdo con la expresión en valor absoluto:
Caso 1: x≥1 (x∈ ¿)
En este caso se tiene que |x−1|=x−1 y la inecuación por resolver es
x−1+2 x>3
⟺3 x>4⟺ x> 43
El conjunto solución de esta inecuación es ¿43,+∞ ¿, pero como se deben cumplir ambas condiciones
para la variable x, entonces la solución, para este caso, es S1=¿
Caso 1: x<1 (x∈ ¿−∞ ,1¿)
Para valores de x en este intervalo |x−1|=−x+1 y
−x+1+2x>3
⟺ x>2
¿2 ,+∞ ¿ es el conjunto solución de la inecuación pero como x∈ ¿−∞ ,1¿ se determina que S2=¿−∞ ,1[∩ ]2 ,+∞¿.
Por lo tanto S=S1∪ S2=¿ 43,+∞¿
Ejemplo. Resolver la inecuación |2 x+1|+|x−3|≤6
En vista que se tienen dos expresiones con valor absoluto se debe realizar el análisis de cada uno
|x−3|={ x−3 , si x ≥3−x+3 , si x<3
|2 x+1|={ 2x+1 , si x≥−12
−2 x−1 , si x<−12
La tabla que se muestra a continuación, al igual que se hizo en ecuaciones, organiza los casos por considerar
−∞−12 3 +∞
|2 x+1| −2 x−1 2 x+1 2 x+1
|x−3| −x+3 −x+3 x−3
Caso 1: x∈ ¿−∞ ,−12
¿
De acuerdo con la tabla, en el intervalo indicado, la inecuación que se debe resolver es
−2 x−1−x+3≤6
⟺−3 x≤4⟺ x ≥−43
Por lo tanto S1=¿−∞ ,−12
[∩]−43,+∞ [¿]−4
3,−12
¿
Caso 2: x∈ ¿
Se resolverá
2 x+1−x+3≤6
⟺ x≤2
Puesto que [−12,3 [∩ ]−∞,2]=[−1
2,2], el conjunto solución en este caso es S2=[−1
2,2] .
Caso 3: x∈ ¿
La tercera inecuación por resolver es
2 x+1+x−3≤6
⟺3 x≤8⟺ x≤83
En vista que ¿, el conjunto solución para este caso es S3=∅ .
Así, el conjunto solución de la inecuación original es S=∅∪ [−12,2]∪¿.
Ejemplo. Resuelva la inecuación 1<|x−2|<4
Dado que |x−2|={ x−2 , si x≥2−x+2, si x<2
se consideran dos casos:
Caso 1: x∈ ¿
Se debe resolver
1<x−2<4
⟺3<x<6
Así, el conjunto solución de este caso es S1=¿
Caso 1: x∈ ¿−∞ ,2¿
Se debe resolver
1← x+2<4
⟺−1← x<2
⟺1>x>−2
Así, el conjunto solución de este caso es S2=¿−∞ ,2[∩]−2,1[¿]−2,1¿
Se concluye que S=¿−2,1 [∪ ]3,6¿
Nótese que la inecuación dada 1<|x−2|<4 también se puede analizar así:
i. 1<|x−2| y ii. |x−2|<4
Cada inecuación planteada se puede resolver con los teoremas de valor absoluto
i. 1<|x−2|⟺ x−2←1∨1<x−2⟺ x<1∨3<x ¿ii. |x−2|<4⟺−4<x−2<4⟺−2<x<6¿
Como deben cumplirse ambas condiciones para x, se deben intersecar los intervalos. A continuación se muestra la representación gráfica
De esta forma se concluye también que S=¿−2,1 [∪ ]3,6¿
Ejemplo. Determine el conjunto solución de |y2−6 y+8|<4− y
Se inicia con el análisis del valor absoluto
|y2−6 y+8|={y2−6 y+8 , si y∈¿
−∞,2]∪ ¿
Note que para determinar los intervalos correspondientes donde la expresión cambia de signo se deben resolver las inecuaciones cuadráticas y2−6 y+8≥0 y y2−6 y+8<0.
Se procede a realizar el estudio de los casos:
Caso 1: y∈¿−∞ ,2¿¿∪¿
La inecuación que se debe resolver es
y2−6 y+8<4− y
⟺ y2−5 y+4<0
⟺ ( y−4 ) ( y−1 )<0
El conjunto solución de esta inecuación es ¿1,4¿ y con esto se deduce que
S1=(¿−∞ ,2 ]∪ [4 ,+∞ ¿∩¿1,4 [¿ ]1,2 ]En esta representación gráfica se nota con más detalle la afirmación anterior
Caso 2: y∈¿2,4¿
La inecuación que se debe resolver es
− y2+6 y−8<4− y
⟺− y2+7 y−12<0
⟺ (− y+3 ) ( y−4 )<0
El conjunto solución de esta inecuación es ¿−∞ ,3 [∪ ]4 ,+∞¿ y con esto se deduce que
S2=¿
La representación gráfica confirma el resultado
Luego S=¿1,2¿¿∪¿2,3[¿]1,3¿
Ejemplo. Para una población particular de salmón, la relación entre el número de hembras h y el número
de crías c que sobreviven hasta la edad madura está dada por la fórmula c=4|7−h|−|h−3|
2 . ¿Cuándo
el número de hembras es menor o igual al número de crías que sobreviven?
La situación planteada se expresa con la inecuación
h≤c
Como el número de crías se define a partir del número de hembras, entonces la inecuación por resolver es
h≤4|7−h|−|h−3|
2
⟺2h≤4|7−h|−|h−3|⟺0≤4|7−h|−|h−3|−2h
La tabla de análisis de los valores absolutos es
−∞ 3 7 +∞
|h−3| −h+3 h−3 h−3
|7−h| 7−h 7−h −7+h
Caso 1: h∈ ¿−∞ ,3¿¿
La inecuación que se debe resolver es
0≤4 (7−h )−(−h+3 )−2h
⟺0≤28−4h+h−3−2h
⟺5h≤25
⟺h≤5
Por lo tanto S1=¿−∞ ,3¿¿∩ ¿−∞,5¿¿=¿−∞ ,3¿¿.
Caso 2: h∈ ¿3,7¿
La inecuación que se debe resolver es
0≤4 (7−h )−(h−3 )−2h
⟺0≤28−4h−h+3−2h
⟺7h≤31
⟺h≤317
Por lo tanto S2=¿3,7 [∩ ]−∞ , 317
¿¿=¿3 ,317
¿¿.
Caso 3: h∈ ¿
La inecuación que se debe resolver es
0≤4 (−7+h )− (h−3 )−2h
⟺0≤−28+4h−h+3−2h
⟺25≤h
Por lo tanto S3=¿
El conjunto solución (desde el punto de vista algebraico) es
S=¿−∞,3¿¿∪¿3 ,317
¿¿∪ [25 ,+∞ [¿ ]−∞ , 317 ]∪¿
Para el contexto del planteamiento debe considerarse
S=¿0 ,317
¿¿∪¿
Es decir, aproximadamente entre 0 y 4 hembras o más de 25, asegurarían que el número de crías que sobrevivan sea mayor al número de hembras.
Lista de ejercicios 6
1. Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones1) 3 x−2≤4
2) |x−2|> 12
3) x−3+2 x>64) x2−3 x+2+ x≥05) y2− y ≤12
6)3y<3
7) 3|y−3|2−2|y−3|<8
8) |y2+1|+ y|− y2|≤1
2. Resuelva las siguientes inecuaciones1) x−1+x−2<x−32) 2 x−1−3 x−2≥83) x3−1>1−x4) |ax+b|>|bx+a|, con 0<b<a5) |z2−4|≤ z2+4 z+46) 2<|x+1|+|x+1|<4
7) |3 y−8y−1 |>0
8) | y2−5y |<4
3. Determine la solución de los planteamientos haciendo uso de inecuaciones1) Si un valor x oscila entre l−a y l+a entonces |x−l|<a, con a∈R+¿¿. Represente los
siguientes casos a. La temperatura del ambiente oscila entre −2℃ y 2℃b. Al bajar el precio de los lácteos en ₡30, estos rondarán entre los ₡ 400 y ₡ 420c. El valor del dólar empezó en $500 y ya va en $495
2) El lado de un triángulo equilátero mide acm y su altura debe superar los √32cm. Determine
todas las posibles medidas del lado para que el área, a lo máximo, sea 6,25√3cm2.3) En las indicaciones para instalar una cámara de vigilancia en una ciudad está estipulado que
se debe colocar al norte o al sur a partir del centro del Parque Central. Además si se consideran 200m menos a la distancia a la que debe ser colocada, esta no supera 1km. ¿A cuántos metros, hacia el norte o el sur, del centro del Parque Central se debe colocar la cámara?
4) Un técnico en refrigeración debe estimar la temperatura del sistema de una empresa. Ha observado que la diferencia entre la temperatura que marca el sistema y la temperatura ambiental no supera los 8℃. Si la temperatura del sistema de refrigeración es de 30℃, ¿cuál es el rango de variación de la temperatura ambiente?
5) En la fabricación de ciertos artefactos, la dimensión promedio de una de sus piezas es 0,01cm. La medida individual de esta pieza no debe diferir del promedio en más de 0,005cm. Determine las posibles medidas de la pieza.
6) La rayuela (en Chile) o tejo es un juego tradicional que consiste en lanzar dos tejos metálicos (piezas en forma de cilindro) sobre una cuerda que se encuentra a 5m en línea recta del lugar de lanzamiento. Esta cuerda está justamente en la mitad de una caja llena de barro, arena o arcilla, la cual tiene 80cm de largo y se encuentra levemente inclinada. El objetivo del juego es que los tejos caigan justamente en la cuerda ¿Cuál es el rango de distancias a la que debe ser lanzado el tejo para que caiga dentro del cajón?
5. Ecuaciones con radicales
Las ecuaciones que involucran radicales con expresiones algebraicas como subradical se denominan ecuaciones irracionales.
Las ecuaciones que se resolverán tendrán alguna de las siguientes formas generales:
n√P (x )=k , k una constante
n√P (x )=n√Q ( x )
n√P (x )=k+ n√Q (x ), k una constante
n√ [P (x ) ]m± n√P ( x )+k=0
Debe considerarse que las raíces con índice impar no tiene restricciones para su subradical, es decir, el subradical puede tomar cualquier valor real, mas no así las de índice par, ya que éstas sólo admiten subradical positivo o cero para estar bien definida en R.
5.1 Resolución algebraica
La consigna en la resolución de este tipo de ecuaciones es transformarlas en ecuaciones que no posean radicales. Para lograr esto, usualmente, se tienda a elevar ambos miembros de la ecuación al índice del radical (si todos los radicales tienen el mismo índice) o al mínimo común múltiplo de los índices (si los índices de los radicales son distintos) pero este procedimiento genera que aparezcan soluciones ajenas a la ecuación original. Por esto se recomienda determinar el dominio de la variable para que los radicales estén definidos en R.
El procedimiento para la resolución de ecuaciones irracionales, puede describirse de la siguiente manera:
Determinar el dominio de la variable para que los radicales estén definidos en R. Racionalizar las expresiones fraccionarias con radicales en el denominador (si es necesario). Algunas ecuaciones son aptas para realizar una sustitución, lo cual las convierte en otra más
sencilla de resolver. Deberá devolverse a la sustitución original y resolver una ecuación radical. Elevar ambos miembros de la ecuaciones al número adecuado para que no hayan radicales (en
ocasiones deberá hacerlo dos veces). Resolver la ecuación resultante (polinomial, fraccionaria, con valor absoluto). Descartar las soluciones que no pertenecen al dominio de la variable.
Ejemplo. Resolver la ecuación √1−3 x=2
Primero, nótese que para que el radical esté definido en R se debe tener 1−3 x ≥0⟺ x ≤13
Se eleva al cuadrado ambos miembros pues el índice es 2:
(√1−3 x )2=22
1−3 x=4
x=−1
Como −1∈¿−∞ , 13¿¿ entonces S= {−1 }.
También puede notarse que √1−3(−1)=2 es una proposición verdadera, indicando que x=−1 satisface la ecuación original.
Ejemplo. Determine las soluciones de √2√x+1=√3 x−5
La variable en la primera raíz está definida para x∈ ¿ pues se debe cumplir 2√x+1≥0⟺√x+1≥0⟺ x ≥−1
La variable en la segunda raíz está definida parax∈ ¿ en vista que 3 x−5≥0⟺ x ≥53
Como ambos radicales deben estar definidos entonces se intersecan los dominios obteniendo que x∈ ¿.
Se eleva al cuadrado ambos miembros
(√2√x+1 )2=(√3x−5 )2
2√x+1=3x−5
(2√ x+1 )2=(3x−5 )2
4 ( x+1 )=9 x2−30 x+25
0=9 x2−34 x+21
0=(9 x−7 ) ( x−3 )
Las soluciones de la última ecuación son x=79, x=3. Como sólo x=3 pertenece a ¿, el conjunto
solución es {3 }.
Ejemplo. Determine el conjunto solución de √1−2 x+√x+5=4
√1−2 x tiene como dominio de x el intervalo ¿−∞ ,12¿¿
√ x+5 tiene como dominio de x el intervalo ¿
Por lo tanto el dominio para ambas expresiones es [−5 ,12 ]
Se eleva al cuadrado ambos miembros
(√1−2 x+√x+5 )2=42
(√1−2 x )2+2√1−2 x+√ x+5+ (√x+5 )2=16
1−2 x+2√(1−2x ) ( x+5 )+ x+5=16
2√ (1−2x ) ( x+5 )=10+x
Como aún se mantiene un radical, se vuelve a elevar al cuadrado ambos miembros
(2√ (1−2 x ) ( x+5 ) )2=(10+x )2
4 (1−2 x ) ( x+5 )=100+20x+x2
−8 x2−36 x+20=100+20x+x2
0=¿9x2+56 x+80
0=(9 x+20 ) (x+4 )
Las soluciones de la última ecuación son x=−20
9, x=−4. Como ambos pertenecen a [−5 ,
12 ], el
conjunto solución es {−209,−4}.
Ejemplo. Resolver la ecuación 9 x43 +8 x
23−1=0
Esta ecuación se puede transformar a la ecuación 93√ x4+8
3√ x2−1=0 evidenciando que es radical. Por
ser radicales de índice impar, la variable está definida para todos los números reales.
Ahora, nótese que x43=x
23∙2=( x 2
3 )2
Con este es evidente que haciendo la sustitución y=x23 la ecuación se convierte en
9 y2+8 y−1=0 (9 y−1 ) ( y+1 )=0
Las soluciones de esta ecuación son y=19, y=−1.
Cambiando la variable y por su sustitución se tiene
y=19⟹x
23=1
9⟹(x 2
3 )32=( 1
9 )32 ⟹x= 1
27
y=−1x23=−1
3√ x2=−1. Esta ecuación no tiene solución ya x2≥0 ,∀ x∈R y no es posible que la raíz
cúbica de un número negativo.
Por lo tanto la solución es x=1
27.
Ejemplo. Resolver la ecuación √ y−a√ y
− √ y+a√ y−b
=0, a ,b∈R+¿¿
La expresión radical √ y está definida para y∈¿0 ,+∞¿, además y ≠b2 pues de lo contrario √ y−b=0
Con la sustitución √ y=t , entonces la ecuación se convierte en
t−at
− t+at−b
=0
( t−a ) ( t−b )−( t+a ) tt ( t−b )
=0
−2at−bt+abt ( t−b )
=0
ab−(2a+b ) t=0
t= ab2a+b
Pero t=√ y, entonces √ y= ab2a+b
y por lo tanto y=( ab2a+b )
2
. Como a ,b∈R+¿¿ entonces
( ab2a+b )
2
∈ ¿0 ,+∞ ¿.
Se concluye que la solución de la ecuación es y=( ab2a+b )
2
.
Ejemplo. Determine el conjunto solución de 4√25− y2=2
Se debe tener 25− y2≥0 para que el radical esté definido en R. Esto sucede para y∈ [−5,5 ].
Se procede como en los ejemplos anteriores
( 4√25− y2 )4=24
25− y2=16
9− y2=0
(3− y ) (3+ y )=0
Esta ecuación tiene soluciones y=−3 , y=3, las cuales pertenecen al dominio de la variable. Por lo tanto S= {−3,3 }
Lista de ejercicios 7
1. Determine las soluciones de las siguientes ecuaciones
1) √3−x−x=3
2) √ x+a= x−a (b−1 )b−a
; a<0 , b>0
3) √2+2 t+√1+2 t=3
4) √a−x+√b−x=√a+b−2 x, donde a ,b son constantes con b>a>0
5) √ x+2−√ x=16) 1+√ x−4=√x+17) √4 x−3+√x+2=√9x+18) √ x−5−√x+7=69) √ x−3−√x+21=2√ x10) √4 y2−15+1=2 y11) √25 x−29=3√ x+√4 x−1112) 1+2√x=√4 x+√16 x+2
13) (9 x+√ x )12=3√x+ 1
714) 1−√5 x−4=√5 x+9
2. Si a y b son constantes reales positivas, determine x en términos de a y b en:
√√x+√a+√√x−√a=√2√x+2√b3. Resuelva la ecuación 3√ x−1+ 3√ x−2=3√2 x−3
4. Resuelva la ecuación √ y2− y+√2 y+3= y5. Racionalice primero los denominadores y luego resuelva la ecuación
1)5
√x+1−√x−4=√2 x+9
2) √x+1−√x√ x+1+√x
=13
3)x
2√a−√4 a−x=3√a
4) √ x+√x−4a√x−√x−4a
=a
6. El periodo del péndulo1. El péndulo ha servido por siglos como medidor del paso del tiempo. Una de sus características es que, si está adecuadamente construido, el tiempo que le toma cada ir y venir (su período) es casi constante. Eventualmente, el péndulo irá frenando hasta detenerse, pero mientras mejor construido esté, más demorará en frenar.
El tiempo (período) T que le toma a cada ciclo de ir y venir se puede aproximar por T=2π √ Lg , dondeL es el radio de giro y g es la aceleración de gravedad de la Tierra (aproximadamente
10m
s2). De este modo, el período del péndulo es proporcional a √L. Todo esto es válido si su
peso en el extremo es realmente mayor que el de la cuerda que lo sostiene y gira con él.Uno de los usos del péndulo, por la regularidad de su período, es orientar y mantener el ritmo de una composición musical, lo cual es muy útil para cuando los músicos ensayan. Si hay una batería entre los instrumentos musicales, algunos de sus sonidos reproducen el ritmo que tenía el metrónomo al ensayar. Para las siguientes medidas deL determine el periodo.
L=0.4m L=1m L=4m
Para las siguientes valores deT determine el radio de giro. T=0.5 s T=2 s T=5 s
7. Si la figura adjunta corresponde a un cubo de lado a, determine La medida de BG La altura de ∆ BDG
1 Tomado de Muñoz, S. Darrigrandi, F. (2011) Matemática 3° Educación Media.
6. Inecuaciones con radicales
La resolución de inecuaciones con radicales es similar a las ecuaciones salvo que los valores de la variable que pertenecen al intervalo resultante deben pertenecer al dominio de la variable determinado al inicio. Es decir, se deben intersecar dichos intervalos para obtener el conjunto solución.
Otro aspecto importante es que al elevar ambos miembros por determinada potencia, en ocasiones la desigualdad se invierte.
Ejemplo. Determinar el conjunto solución de 3√ y3−7< y−1
El dominio de la variable y en el radical 3√ y3−7 es R pues es una raíz impar.
Se eleva a la tres a ambos miembros
( 3√ y3−7 )3<( y−1 )3
y3−7< y3−3 y2+3 y−1
⟺0←3 y2+3 y+6
⟺0←3 ( y−2 ) ( y+1 )
El conjunto solución de esta inecuación es ¿−1,2¿ y el conjunto solución de la inecuación radical es S=R∩ ¿−1,2[¿]−1,2¿
Ejemplo. Determinar el conjunto solución de √ x2−1>x
El dominio de la variable x en el radical √ x2−1 es ¿−∞ ,−1¿¿∪¿ pues se debe cumplir
x2−1≥0.
Se analizan dos casos de acuerdo con el dominio de la variable:
Caso 1: x∈ ¿
Se procede a elevar al cuadrado ambos miembros sin invertir la desigualdad pues ambos miembros son positivos
(√x2−1 )2>x2
x2−1>x2
⟺−1>0
Esta última desigualdad es falsa, se tiene que S1=¿
Caso 2: x∈ ¿−∞ ,−1¿¿
El miembro izquierdo es positivo y el miembro derecho es negativo, entonces al elevar al cuadrado la desigualdad se debe invertir
(√x2−1 )2<x2Si se tiene P ( x )<Q ( x ) para x<0
entonces [P ( x ) ]2>[Q ( x ) ]2
Si se tiene P ( x )<Q ( x ) para ∀ x∈R
entonces [P ( x ) ]3< [Q ( x ) ]3
Si se tiene P ( x )<Q ( x ) para x>0
entonces [P ( x ) ]2<[Q ( x ) ]2
x2−1<x2
⟺−1<0
Como esta desigualdad es verdadera siempre entonces S2=¿−∞ ,−1¿¿∩R=¿−∞,−1¿¿.
Se concluye que el conjunto solución de la inecuación es ¿−∞ ,−1¿¿
Ejemplo. Resolver la inecuación √ x2+3 x+2 < 2 + √ x2−x−6
Procediendo de modo análogo a los ejemplos anteriores se tiene que
x2+3x+2=( x+1 ) ( x+2 )≥0⟺ x∈ ¿−∞ ,−2¿¿∪¿ x2−x−6=( x−3 ) ( x+2 )≥0⟺ x∈¿−∞ ,−2¿¿∪ ¿
Por lo tanto el dominio de la variable para esta inecuación es ¿−∞ ,−2¿¿∪¿.
Ahora se eleva al cuadrado ambos miembros de la inecuación (el sentido de la desigualdad se conserva porque los dos miembros son positivos) y se obtiene
x2+3x+2<4+4√ x2−x−6+x2−x−6
⟺ x+1<√x2−x−6
Hay que considerar dos casos que provienen del dominio de la desigualdad:
Caso 1: x∈ ¿−∞ ,−2¿¿
Tenemos x+1≤−1 por lo tanto x+1<0
Como √ x2−x−6 0, entonces la desigualdad anterior se da para todo x∈ ¿−∞ ,−2¿¿. Esto significa que este intervalo es parte del conjunto solución de la inecuación original
Caso 2: x∈ ¿.
En esta situación x+1>0 y se puede elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad,
preservando el sentido de la desigualdad:
x2+2x+1<x2−x−6
⟺3 x←7
⟺ x<−73
Como no hay intersección entre este intervalo y el intervalo del caso, se determina que el conjunto solución es ¿−∞ ,−2¿¿.
Lista de ejercicios 8
1. Resuelva las siguientes inecuaciones
1) √ z−3≤√7−z
2) √25− y2≤4
3) √24−2 x−x2
x≤1
4) √ x2+3 x+2<1+√ x2−x+1
5) √4−√1−x−¿√2−x≥0¿
6) √ x2−1
9−x2+3>0
7) 3√ y3−3 y2+5 y−6> y−2
8) √ y+3+√7+ y> y−9
9)1
√z+1>√z−1
10)3√x+7 4√ x+5
( x−7 )6 3√x−5≤0