5m dinamica del punto

UNIVERSIDAD TECNOLOGIA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL MENDOZA

MECANICA Y MECANISMOS AÑO 2012

Chung Roger, Legajo 3441, TP N°5 - Dinámica del punto Página 127

Trabajo Practico N°5 Dinámica del punto

Ejercicio N°5.1.35

Una bolilla sobre la que actúa solamente su propio peso está obligada a describir una trayectoria circular,

ubicada verticalmente. Cuál será la velocidad que debe tener el punto A para que la misma pueda “rizar en

rizo” (looping the loop)? El radio de la circunferencia es de 2N(m). Despreciar el rozamiento.

Resolución:

Se tiene que hallar la velocidad en B para que la cuerda este tensa. Si tenemos una velocidad excesiva la tensión

va a ser muy grande, y si es muy baja la tensión de la cuerda va a ser que no tengamos una trayectoria circular.

Tenemos que hallar cuando la tensión de la cuerda sea igual a cero.

Por principio de D’Alambert: La sumatoria de las fuerzas activas, reactivas e inerciales tienen que ser iguales a

cero.

En el punto B tenemos una fuerza centrífuga, un peso y una tensión, donde la suma de estas fuerzas tiene que

ser igual a cero (no consideramos la fuerza de rozamiento)

Para que la bolilla describa la trayectoria circular sin caerse debe cumplirse que:

Para que la tensión no sea negativa





√

Esta es la mínima velocidad necesaria en el punto B.

Aplicando el principio de las fuerzas vivas en A: nos dice que el trabajo va a ser igual a la variación de la energía

cinética

Dónde:

(El signo negativo es porque vamos del punto A al B)(Sentido contra la gravedad)

De donde √

√

Donde r=2N=10m

√





Ejercicio N°5.2.36

Un tren se mueve a velocidad uniforme a 60km/h en un tramo de vía horizontal. Para aumentar la velocidad,

el maquinista acciona el regulador de tal manera que el esfuerzo de tracción aumente en un 20%. Que

distancia deberá recorrer el tren para alcanzar la velocidad de 75 Km/h si la resistencia del movimiento es

independiente de la velocidad e igual a 1/200 del peso del tren?

Resolución:

Despreciamos la resistencia del aire, debido a que la velocidad del tren no supera los 30m/s=100km/h.

La resistencia que tenemos en el problema solo es de rodadura

En el instante V1 La tracción que tenemos en 1 es la necesaria para vencer la rodadura en 1, cuando la

resistencia a la rodadura y la tracción se igualan viaja a una velocidad constante, cuando alguna de los dos

aumenta, el tren se detiene o acelera.

En nuestro caso en el instante t1 hay un incremento de tracción en un 20% , donde la velocidad en ese mismo

instante sigue siendo 60km/h. por lo que va a existir una diferencia entre la tracción y la reacción , este aumento

de la tracción hace que el tren comience a acelerarse.

La aceleración en t1 es máxima y luego va decreciendo hasta que llega una velocidad constante a 75 km/h

donde en ese momento se igualara la tracción con la resistencia.

Aplicando la expresión

F: fuerzas activas

Para el instante t1: la resistencia es igual a la tracción:

Y en t1 hay un incremento de 20%

Y hay una resistencia al movimiento

( )





Reemplazamos R y

(

)

Integramos ambos miembros

∫

∫

( )

La aceleración media está dada por:

( )

Para un movimiento rectilíneo acelerado el desplazamiento esta dado:

⏞

( )

(

) ( )





Ejercicio N° 5.3.37

Un avión de propulsión a chorro de 8 toneladas, vuela a una velocidad de en el momento en

el que el piloto encienden 2 cohetes auxiliares que desarrollan en cada uno de ellos un empuje de 5000N

durante 12seg. Si del avión es 850 Km/h, hallar el valor medio respecto al tiempo del incremento en la

resistencia del aire ( ).

El peso del combustible de los cohetes es despreciable frente al peso del avión. Considerando que la

resistencia del aire para toda la gama de velocidades del avión es proporcional al cuadrado de esta,

determinar el empuje del motor a reacción cuando vuela a 800Km/h y la velocidad máxima si los cohetes

auxiliares se usan de forma permanente.

Datos:

M=8000kg

Resolución:

Calculo del incremento de la resistencia:

El empuje total seria es la suma del empuje original más el empuje de los cohetes auxiliares

La resistencia total es la suma de la resistencia 1 debido al empuje 1, más un incremento de la resistencia

Para el instante t1: debido a que ese instante está viajando con velocidad constante de

( )

[( ) ( )]

( )

Despejando el incremento en la resistencia del aire





( )

Empuje del motor a reacción cuando vuela a 800Km/h

Considerando que la resistencia del aire aumenta por una proporción del cuadrado de la velocidad, las

resistencias en el instante 1 y 2 serán:

Igualando las contantes:

Donde la resistencia al aire en el instante 2 es igual a la suma de la resistencia en 1 más un incremento de

resistencia.

Reemplazamos y despejamos la resistencia

Esto debido a que el avión está viajando a velocidad constante y el empuje es igual a la resistencia





Velocidad máxima de los cohetes auxiliares si se usan de forma permanente

Despejando k de la expresión:

( )

Velocidad máxima:

√

Cuando lleguemos a la velocidad máxima esta se va mantener constante, luego la resistencia del aire será igual

al empuje

(forma permanente)

√

Es decir que si mantenemos en forma permanente el empuje auxiliar más el motor original podemos llegar

como máximo a

. Donde en ese momento se iguala la resistencia con la acción y se mantiene a

velocidad constante con una aceleración igual a cero





Ejercicio N° 5.4.38

Para velocidades mayores a 30m/s la resistencia al aire es proporcional al cuadrado de la velocidad. Encontrar

la velocidad de desplazamiento y la velocidad limite. Con el resultado anterior verificar la velocidad con la

cual llega al suelo un paracaidista que pesa , cuyo paracaídas es una carota esférica de 6.5m de

diámetro y un coeficiente de resistencia por unidad de superficie frontal al desplazamiento. Peso

del paracaídas y arnés 10 ̅̅ ̅̅ .

Datos:

Peso paracaidista:

Peso paracaídas y arnés: 10 ̅̅ ̅̅ .

Coeficiente de resistencia:

Diámetro de la esfera: 6.5m

Resolución:

Calculo de la velocidad con que llega al suelo:

Por principio de D’Lambert: La sumatoria de las fuerzas activas, reactivas e inerciales tienen que ser iguales a

cero.

Remplazando

Despejamos dt

Integrando

∫ ∫

Le damos la forma para resolver la integral





Para eso multiplicamos K y dividimos por

∫

⏟

⏟

∫

√

⏟

⏟

√

(√

√

)

√

(√

√

)

Despejando :

√

(

√

√ )

√

√

√

√

(√

) √

√

√

√

√

√

√

√

√

( √

)√

[

( √

)]

( )

√ (

√ )

(

√ )

Esta expresión nos permite saber la velocidad en cada instante en función del tiempo.





Velocidad límite:

Si consideramos que el paracaídas parte de una velocidad donde el paracaídas está abierto, comienza a caer

disminuyendo la aceleración hasta llegar a la velocidad limite.

En el momento en el cual llegamos a la velocidad límite la fuerza inercial desaparece debido a que no hay

aceleración, luego el peso y la resistencia del aire se igualan

Entonces tenemos

√

Si trabajamos con la ecuación de la velocidad que obtuvimos, cuando t tiempo tiende a infinito

( )

√ (

√ )

(

√ )

√

√

√

√

Nos da la misma expresión para la velocidad limite

Para hallar la resistencia del aire K, utilizamos la expresión:

: Densidad al nivel del mar

Superficie frontal de desplazamiento en el caso de la esfera es un círculo.

( ) (

) (

)

(

) (

)

√

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