Flujo elctricoEl concepto de lneas de campo elctrico solo nos permite visualizar el campo elctrico desde un punto de vista cualitativo. Ahora introduciremos el concepto de Flujo Elctrico, el cual nos permitir analizar las lneas de campo elctrico de manera cuantitativa.

Condiciones:-Tener un campo elctrico E uniforme en magnitud y direccin.- Considerar un plano rectangular de rea A y superficie plana.

Flujo Elctrico (E). Lneas de un campo elctrico uniforme que atraviesan una superficie plana, rectangular, de rea A y perpendicular al campo.

------* Ec. 1.10 Para una superficie plana perpendicular al campo

Unidades en el SI N.m2/CSi consideramos el mismo campo E, la misma rea de la figura anterior pero sta ltima la inclinamos con respecto a las lneas de campo, tendremos lo siguiente

Sombra proyectada por el rea A perpendicular a las lneas de campo denominada A

Normal

Definicin de Flujo

La cantidad de lneas de campo que atraviesa el rea A en su nueva posicin es menor con respecto a la posicin anterior. Mas sin embargo, observe que la cantidad de lneas que atraviesan el rea inclinada A y las que atraviesan el rea de la sombra proyectada A es la misma. Por consiguiente.Para calcular el flujo elctrico de las lneas de campo que atraviesan la superficie del rea A se puede hacer calculando el flujo elctrico que atraviesa la superficie del rea proyectada A.Esto es. Pero como Entonces ----Ec. 1.11 *Para una superficie plana inclinadaA partir de esta ecuacin resultante, vemos que el flujo elctrico que atraviesa una superficie de rea fija tiene un valor mximo, igual a EA, cuando la superficie es perpendicular al campo (o sea, cuando la normal a la superficie es paralela al campo, es decir, cuando =0, o sea, Cos 0=1); y es Nulo cuando la superficie es paralela al campo ( o sea, cuando la normal a la superficie es perpendicular al campo, es decir, =90 por lo que, Cos 90=0). Siempre y cuando el campo E sea constante.

Pero si la superficie no es plana y las lneas de campo no constantes, la situacin es diferente porque la incidencia de las lneas de campo en cada segmento de la superficie ser diferente.Por tanto para una superficie cualquiera con un campo elctrico no constante haremos el siguiente anlisis:1. Considerar la superficie de la siguiente figura dividida en un gran nmero de elementos de rea y tomar un segmento de la superficie total, cuya rea sea igual a A, lo suficientemente pequea para que sea plana y podamos despreciar las variaciones del campo elctrico, y cuya lnea normal sea perpendicular a su superficie

Superficie cualquiera no cerradaANormal (Perpendicular)

E En cada elemento de rea

2. Definir un Vector Ai cuya magnitud sea el rea del elemento de superficie i-esimo, y cuya direccin y sentido sea la de la normal a la superficie, como se muestra en la figura anterior.3. Considerar al campo como un vector Ei cuyo origen se une con el origen del vector Ai de tal manera que forman un ngulo i.4. Aplicar el razonamiento que nos condujo a la Ecuacin 1.11 y entonces, el flujo elctrico a travs de este pequeo elemento de superficie ser.------Ec. 1.12Si aplicamos el concepto de producto escalar de dos vectores, en el que A.B=AB Cos , concluimos que: ------Ec. 1.13Y si aplicamos a esta expresin el concepto de Integracin (Suma de la contribucin del flujo de cada elemento de superficie). Concluimos que la definicin general de Flujo Elctrico es:

-----------Ec. 1.14NOTA: Observe que al integrar, Ei se transforma en E y Ai en dA

-----Ec. 1.15 *Para el flujo Elctrico de una superficie no cerrada.Donde la ecuacin es una integral de superficie, que debe calcularse a lo largo de toda la superficie en cuestin.En general, el valor de E depende tanto de la estructura del campo como de la geometra de la superficie que atraviesa.

Flujo elctrico a travs de una superficie cerradaUna superficie cerrada se define como aquella que divide el espacio completamente en una regin interior y otra exterior, de modo que uno no puede moverse de una regin a otra sin atravesar la superficie. La superficie de una esfera es un ejemplo de superficie cerrada, mientras que un vaso sera un ejemplo de superficie abierta.Considere la superficie cerrada de la siguiente figura.

El campo E En cada elemento de rea

Observe que los vectores Ai tienen direcciones diferentes en cada elemento de superficie. En el elemento 1, E se dirige hacia fuera y i es < 90o por tanto el flujo elctrico E a travs de este elemento es positivo. Para el elemento 2, las lneas de campo son tangenciales (paralelas) a la superficie; por tanto i=90 y el flujo es cero porque ninguna lnea de campo atraviesa la superficie del elemento. En el caso del elemento 3, las lneas de campo atraviesan el elemento de superficie de afuera hacia adentro; por lo que ahora 180>i >90 y el flujo es negativo ya que el Cos i es negativo.NOTA: En el elemento 3, el vector de campo se dibuj as porque debe coincidir su cola con la del vector de rea.De lo anterior se desprende que el flujo neto a travs de la superficie cerrada es proporcional al nmero de lneas que atraviesan la superficie, siendo este nmero neto igual al nmero de lneas que salen de la superficie cerrada menos el nmero de lneas que entran a la superficie cerrada. Por lo tanto podemos aplicar el concepto de integral de una superficie cerrada para calcular el flujo neto E. ---------Ec. 1.16 *Ecuacin para el Flujo Elctrico de una superficie cerrada.

Magnitudes

Donde En representa la componente del campo E perpendicular a la superficie y paralela a dA.

El clculo del flujo neto a travs de una superficie cerrada puede ser muy tedioso. Sin embargo, si el campo es perpendicular a la superficie en cada punto y es constante en magnitud, el clculo resulta sencillo. Veamos el siguiente ejemplo.

EJERCICIO

E xyzlll1234dA1dA2dA3dA4Calcule el flujo elctrico neto a travs de la superficie de un cubo de lado l orientado segn se muestra en la figura, considerando que el campo elctrico E es uniforme y se dirige en el sentido positivo del eje x.

SOLUCIONConsiderar que E es constante.El flujo neto puede calcularse sumando el flujo a travs de cada una de las caras.En primer trmino observe que la superficie de cuatro de las caras del cubo (la 3,4 y las dos que no estn marcadas) son paralelas a E, esto es, que los vectores dA son perpendiculares al campo E, por lo tanto el flujo ser igual a cero.Demostracin: Para la cara 3, el ngulo = 90, de modo que Para las restantes caras paralelas al campo, el flujo tambin es Cero.

De lo anterior se desprende que el Flujo elctrico neto a travs del cubo es igual al flujo que atraviesa por las caras 1 y 2, esto es:

Para la cara 1, el campo E se dirige hacia adentro del cubo, mientras que dA se dirige hacia fuera, por tanto, = 180 entonces;El flujo a travs de esta cara es Puesto que A=l2Para la cara 2, el campo se dirige hacia fuera del cubo al igual que dA, por tanto = 0 de modo que el flujo para esta cara es:

Conclusin:El flujo elctrico neto a travs del cubo es Nulo puesto que

Resolver el ejercicio anterior mediante la ecuacin 1.16

ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS

1. Unidades: Al realizar clculos en los que aparece la constante de Coulomb, k = (1/40), las cargas deben expresarse en Coulombs y las distancias en metros. Si aparecen en otras unidades, deben convertirse al SI. 2. Aplicacin de la ley de Coulomb a cargas puntuales: Es importante utilizar el principio de superposicin adecuadamente cuando se trata con un conjunto de cargas puntuales. Cuando hay varias cargas puntuales presentes, la fuerza resultante sobre cualquiera de ellas es la suma vectorial de cada fuerza individual debida a cada una de las otras cargas puntuales. Es preciso ser cuidadoso en las operaciones de clculo vectorial. Puede resultarle til al lector revisar la suma de vectores estudiada en el captulo 1 del volumen 1. 3. Clculo del campo elctrico debido a cargas puntuales: Recuerde que el principio de superposicin es aplicable al campo elctrico, puesto que es una cantidad vectoria1. Para calcular el campo elctrico total en un punto dado, calcule en primer lugar el campo elctrico en dicho punto debido a cada una de las cargas puntuales. El campo resultante en el punto dado ser la suma vectorial de todos los campos debidos a las cargas individuales. 4. Distribuciones continuas de carga: Cuando se enfrente a problemas en los que aparece una distribucin continua de carga, en algn momento debe remplazar las sumas vectoriales por integrales vectoriales para calcular el campo elctrico total. La distribucin de carga se divide en partes infinitesimales, y la suma vectorial se realiza integrando a lo largo de toda la distribucin de carga. Los ejemplos 1.4 y 1.5 muestran cmo realizar este proceso. 5. Simetra: Cuando el problema incluya una distribucin de cargas puntuales o una distribucin continua de carga, aprovchese de cualquier simetra del sistema para simplificar los clculos. La cancelacin de las componentes del campo paralelas al eje y en el ejemplo 1.3 y de las componentes perpendiculares a dicho eje en el ejemplo 1.5 son dos ejemplos de la aplicacin de los principios de simetra.6 de 9