División de polinomios

- Es la operación cuyo objetivo es hallar en dos polinomios el cociene

y el resto.

1.- Caso general:

- Primero completan y ordenan los polinomios con respecto a una

sola variable.

- Se divide el primer término del dividendo entre el primero del

divisor, dando lugar al primer término del cociente.

- Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo el

dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada

término se coloque otro semejante.

- Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un

polinomio de grado menor inicial.

Ejemplo:

2.- Aplicando el método de los coeficientes separados:

Recomendable para polinomios de una sola variable:

- Se trabajan solamente con los coeficientes y sus correspondientes

signos del dividiendo y divisor

- De esta manera se obtiene los coeficientes con sus signos del

polinomio cociente. - Para determinar el grado del coeficiente y resto

se aplica las propiedades:

qº = Dº-dº

rº(máx) = dº-1º

T.I(D) = T.I(d)*T.I(q)+T.I(r)

Donde:

q = cociente

r = residuo

D = Dividendo

d = divisor

Ejemplo:

* Vemos que el polinomio es ordenado:

6 – 20 – 13 + 25 – 12 + 7 3 – 1 + 1

- 6 + 2 – 2 2 – 6 - 7 + 8

- 18 – 15 + 25

18 – 6 + 6

-21 + 31 – 12

+21 – 7 + 7

24 – 5 + 7

-24 + 8 – 8

+ 3 - 1

* El cociente (q) es de grado: qº = Dº- dº = 5-3=2

* El cociente es q=2x3-6x2-7x+8

* El de grado: rº=dº-1=2-1=1

* El resto (r) es de grado r=3x-1

"Productos notables". Disponible en:

http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/pr

oductos-notables.shtml

3.- Aplicando el método de Horner:

Procedimiento:

1.- Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio

signo.

2.- Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la

izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con

su propio signo y los restantes con signo cambiado.

3.- El primer término del dividendo se divide entre el primer término

del divisor, obteniéndose el primer término del cienote.

4.- Se multiplica este término del cociente solamente por los

términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los

resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la

derecha.

5.- Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la

parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y

obtener el segundo termino del cociente.

6.- Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los

cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la tercera fila

y corriendo un lugar hacia la derecha.

7.- Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término

debajo del último término del dividendo, separando inmediatamente

los términos del cociente y resto.

8.- Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente

cada una de las columnas que pertenecen.

Ejemplo:

Dividir 8x4 -10x3 +15x2 - 12x + 6 entre 4x2 - 3x +2

4.- Método de Rufini: La regla de Rufini se utiliza

fundamentalmente cuando el polinomio dividendo tiene como única

letra (variable) la x y el ya citado divisor (x - a). Utiliza los

coeficientes del dividendo y el valor de "a", obteniéndose los

coeficientes del polinomio cociente y el valor del resto (obsérvese

que el resto siempre será un número), disponiéndose en la forma que

se muestra en la escena siguiente que presenta la división:

Ejemplo:

(x3 + x2 - x - 1) : (x - 2)

5.- Teorema del resto:

- Es el método por el cual se obtiene el residuo de una división

algebraica sin efectuar división.

1° El divisor se iguala a cero 2° Conseguiremos el resto

Remplazando el valor anterior en el dividendo D

Ejemplos:

* Calcular el resto de los divisores:

1) 2n4 – 5n3 + 7n2 – 9n + 3 ÷ (n – 1)

* Solución:

1° n – 1 = 0

2° n = 1 se reemplaza en el dividendo :

n = 1 R = 2n4 – 5n3 + 7n2 – 9n + 3

R = 2( 1)4 – 5(1)3 + 7(1)2 – 9(1) + 3

R = 2 – 5 + 7 – 9 + 3

R = - 2 Residuo

6.- Cocientes notables: Son aquellos cocientes que se escriben por

simple inspección, sujetándose a reglas fijas y sin realizar la división.

1º Caso: (an +bn) ÷ (a + b)

- En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente

n sea un número par.

(a3 +b3) ÷ (a + b) = a2 – ab + b2

- La suma de los cubos de dos cantidades, dividida por la suma de las

dos cantidades nos da resultado a: el cuadrado de la primera

cantidad, menos el producto de las dos cantidades más el cuadrado

de la segunda cantidad. Veamos el siguiente ejemplo:

2º caso: (an -bn) ÷ (a - b)

- En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importa si el

exponente es número par o impar.

- La mecánica para este caso es la misma que en el anterior, con la

única diferencia que en la respuesta todos los términos se estarán

sumando. Veamos el siguiente ejemplo:

3º caso: De la forma (an - bn) ÷ (a + b)

- En este caso se obtiene respuesta exacta si el exponente es par:

(a2 - b2) ÷ (a + b) = a - b

- La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma de

dos números va hacer igual a la diferenta de estas cantidades.

Veamos el siguiente ejemplo:

a) Raíz cuadrada de y2: y b) raíz cuadrada de 49: 7

* Propiedades de los cocientes notables:

7.- Factorización: Es la descomposición de una expresión

algebraica en factores; que al multiplicarse estos factores da la

expresión original.

* Factor común monomio: Con este método buscamos el factor

común de todos y cada uno de los términos del monomio. Es decir,

cuando tenemos una expresión de dos o más expresiones algebraicas

y se presenta un término común; se debe sacar como factor común.

Ejemplo:

8x4 - 4x2y + 16x5y2

Término que se repite en los tres términos “X”, el que tiene menor

exponente “X2”; entonces si la parte numérica es 4 y la parte literal

es x2. Desde luego el factor común sería: 4x2

- El resultado final sería; el producto del factor común por los otros

términos cuyo resultado de la expresión original: 4x2(2x2 -y +4x3y2)

* Factor común polinomio: En este método se busca el factor

común de todos y cada uno de los términos de un polinomio. Pero el

resultado será otro polinomio. Ejemplo:

5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)

- Factor común "(x-y)", el otro factor sera lo que queda del polinomio.

(5x2+3x+7)

Entoces obtendremos como resultado: (x -y) (5x2 + 3x +7)

* Por agrupación de términos: En este caso de factorización

hacemos uso de los dos métodos anteriores. Ejemplo:

5x4y + 3x2y -9xy -15xy2 : Primero debemos agruparlo y factorizar los

términos que agrupamos: seria así:

1º 5x4y-15xy2= 5xy (x3 -3y)

2º 3x2y -9xy = 3y (x3 -3y)

Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría

así:

5xy (x3 -3y) +3y (x3 -3y) : Después se aplica el factor común

polinomio.

- Entonces el resultado sera el siguiente: (x3 -3y)(5xy +3y)

* Diferencia de cuadrados: Este producto notable se obtiene de

multiplicando la suma de dos términos por la diferencia de los

mismos; es decir quedaría así:

* Suma de cubos: Este producto notable al factorizarlo se obtiene

del producto del dos factores: el primero formado por la suma de las

bases y el segundo factor formado por el cuadrado de la primera

base, menos el producto de las dos bases más el cuadrado de la

segunda base. Entonces quedaría:

* Diferencia de cubos: Es equivalente al producto de dos factores:

donde el primer factor lo forma la diferencia de las bases; y el

segundo factor por la suma del cuadrado de la primera base por el

producto de las dos bases, más el cuadrado de la segunda base.

* Trinomio de segundo grado:

a) Trinomio cuadrado perfecto: Para que un trinomio sea

cuadrado perfecto: el primer y tercer termino deben tener cuadrados

perfectos y el segundo no debe ser el doble producto de las bases de

los dichos términos. Ejemplo:

9x2+24xy+64y2= (3x+8x)(3x+8x)=(3x+8x)2

b) Trinomio de la forma x2+bx+c (Método del aspa): Se emplea

solo para trinomios de la forma x2+bx+c; en la que el trinomio se

descompone:

1º término: en dos factores que den resultado al primer término.

3º término: en dos factores que den resultado al tercer término.

- Puesto que el usar el método del aspa; de la siguiente manera

(ejemplo): te resulte el segundo término:

8x2 -2x -3: Entonces los descomponemos:

- Finalmente formamos la factorización: (4x-3)(2x+1)

c) Trinomio de la forma ax2+bx+c;(a¹1) : Se diferencia del

trinomio cuadrado perfecto porque el primer término puede tener

por coeficiente a un número diferente de 1. Para resolverlo:

- Simplemente todo el trinomio por el coeficiente del primer término,

convirtiéndose en un trinomio de la forma: x2+bx+c y se divide por el

mismo coeficiente; factorizamos el término del numerador y se

simplifica del denominador.

* Polinomio primo o irreductible: Se le llama a al polinomio que

no puede descomponerse.

* Trinomio por suma y resta (quita y pon): En este caso se

intenta transformar una expresión (binomio o trinomio). En otras

palabras este método se basa en lo siguiente: Si una expresión; se le

suma y se le resta una misma expresión, la expresión inicial no varía.

Ejemplo:

- Resolviendo esta expresión; nos quedaría:

* Empleando aspa doble: Este método sirve para factorizar

expresiones de la siguiente forma:

* Ejemplo: 8x2 + 4xy +18x + 6y +9 - En este caso contemplamos el

polinomio con 0y2 para aplicar para el aspa doble.

* Empleando el método de los divisores binomios: En este

método, para factorizar un polinomio que se supone resulta de

multiplicar entre sí varios binomios de la forma x ±a, x ± b , x ±c ,

etc., se busca sus divisores, aplicando la propiedad del residuo de la

división, y se indica el producto de todos los factores así hallados.

- Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad, los posibles

ceros, estarán dados por lños divisores del término independiente

con su doble signo.

* Procedimiento para factorizar:

Citas biliográficas-

1º Determinar los ceros del polinomio.

2º Luego; debemos deducir el factor que da lugar al cero del

polinomio, mediante el siguiente teorema de la divisibilidad

algebraica: Si el polinomio P(X) se anula para x = a ó P(a) = 0,

entonces dicho tendrá un factor (x-a).

3º Finalmente el otro factor lo determinamos usando el método de

Rufino, que se ha de emplear tantas veces como ceros tenga el

polinomio, por lo general se recomienda llevarlo hasta un cociente

adecuado (cuarto grado; para poder aplicar el aspa doble que es

sencillo de factorizar).

- Ejemplos:

* Maximo común divisor (M.C.D): En varias expresiones

algebraicas; es la siguiente:

- Primero se factorizan estas expresiones y el M.C.D estará formado

por los factores comunes, elevados a su menor exponente. Ejemplo:

* Halllar el M.C.D de 24a2b ; 18a3bx y 30a4bx2

Primero descomponemos los coeficientes:

24 => 23·3 18 => 2·32 30=> 2·3·5

Luego:

24a2b => 2·3·a2b

18a3bx => 2·32·a3bx

30a4bx2 => 3·3·5·a4bx2

- Los factores comunes con su menos exponente son: 2·3· a2·b =

6a2b; siendo este el M.C.D

* Mínimo común múltiplo (M.C.M): En varios números

expresiones algebraicas es la siguiente:

Primero descomponemos los coeficientes:

* Brikers.com “Cocientes notables”. Disponible en:

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm

* Factorización de polinomios. Disponible en:

http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/factorizacion/fact

orizacion_polinomios.htm

* Brinkers.com. “Factorización”. Disponible en:

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra4.htm

* Memo.com. “Productos y cocientes notables: según álgebra

Baldor”. Disponible en:

http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matemat

icas4.html (es muy interesante esta página)

* Lycos.es. Aurelio Baldor. “Alkgebra de Baldor”. Disponible

en: http://usuarios.lycos.es/calculo21/id22.htm

* ALBEGRA.ITGO.com. “Cocientes notables”. Disponible en:

http://algebra.itgo.com/cocientes_notables.htm

(recomendamos que la vea)

* JOSE LUIS CARRILLO RIGOFRIO. “Productos notables”.

Disponible en:

http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/pr

oductos-notables.shtml#DEFIN

* Alejandro Carreiras. Matemática “Funciones”. Disponible en:

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml#trigo

* Descartes. Eduardo Barbero Corral. “Máximo común

divisor”· Disponible en:

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Multiplos_divisores/mcd2

n.htm

* Descartes. Eduardo Barbero Corral. “Mínimo común

múltiplo”· Disponible en:

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Multiplos_divisores/mcm

2n.htm

* Wikipedia.org. “Factorización”. Disponible en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n

* http://www.galeon.com/student_star/factor02.html

8.- Características de un buen juego:

Un buen juego en matemática:

- No depende de la fuerza o maña físicas.

- Tiene bien definidas sus reglas

- Posee cierta riqueza de movimientos, suele prestarse muy

frecuentemente a un tipo de análisis intelectual cuyas características

son muy semejantes a las que presenta el desarrollo matemático.

- Tienen sus piezas, los objetos de los que se ocupa, bien

determinados en su comportamiento mutuo a través de las

definiciones de la teoría.

- Las reglas son dadas por sus definiciones y por todos los

procedimientos de razonamiento admitidos como válidos en el

campo. - Presenta el mismo tipo de estímulos y de actividad que se

da en el resto de los juegos intelectuales.

* Si un buen juego presenta estas características; uno logra aprender

las reglas, estudia las jugadas fundamentales, experimentando en

partidas sencillas, observa a fondo las partidas de los grandes

jugadores, sus mejores teoremas, tratando de asimilar sus

procedimientos para usarlos en condiciones parecidas, trata

finalmente de participar más activamente enfrentándose a los

problemas nuevos que surgen constantemente debido a la riqueza

del juego, o a los problemas viejos aún abiertos esperando que

alguna idea feliz le lleve a ensamblar de modo original y útil

herramientas ya existentes o a crear alguna herramienta nueva que

conduzca a la solución del problema.

- Santa Cruz de Tenerife. "Juegos matemáticos en la

enseñanza". Disponible en:

http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/juemat/juemat.htm

- El juego. Disponible en:

http://sepanmas.sepbcs.gob.mx/Descargas/EL%20JUEGO.doc