2. POLINOMIOS

1

2

3

4 Dados los polinomios p(x) y q(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) q(x) - p(x); c) p(x)·q(x).

!

Solución:

!

.13x3x3xq(x);17x3x5xp(x) 2323 +++=−+−=

1.x4x15x14x27x6x15p(x)·q(x)c)

2;x4x6x2p(x)q(x)b)

x;10x8q(x)p(x)a)

23456

23

3

−+++++=

−−−−=−

+=+

Realiza las siguientes divisiones:

a) "

b) "

Solución:

a) !

b) !

( ) ( )1xx:26x3xx 223 −+−+−

( ) ( )2xx:48xxx 234 +−++−

6x11r(x) 4xc(x) −=−=

8x6r(x) 2xc(x) 2 +=−=

Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) p(x) - q(x); c) p(x) + q(x) - r(x); d) p(x) - q(x) - r(x).

!

Solución:

!

.1x2xr(x);35xq(x);89x4xp(x) 2333 +−=+=+−=

4.x9xx3r(x)q(x)p(x)d)

10;x9xx7r(x)q(x)p(x)c)

5;x9xq(x)p(x)b)

11;x9x9q(x)p(x)a)

23

23

3

3

+−+−=−−

+−+=−+

+−−=−

+−=+

Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?

!

Solución:

!

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).1x:1xc);5x:10591x19x7xb);3x:75xxa) 82323 −−−+−−++−

.exacta0r(x);1xxxxxxxc(x)c)

exacta;0r(x);21x14x7c(x)b)

65;r(x);24x8xc(x)a)

234567

2

2

⇒=+++++++=

⇒=−+=

−=+−=

5

6

7

8

Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?

!

Solución:

!

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).2x:7xxc);13x:18251x18xxb);1x:1xxxx2xa) 25232345 +−+−++−++−+−+

35.r(x);14x7x4x2xc(x)c)

exacta;0r(x);14x5xc(x)b)

3;r(x);2xxx2c(x)a)

234

2

34

−=+−+−=

⇒=−−=

=−+−=

Dados los polinomios p(x) y q(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) p(x) - q(x); c) p(x)·q(x).

!

Solución:

!

2.xxq(x);12x3x4x5xp(x) 24234 −−=++++=

2.x4x7x10x12x2x2x4x5p(x)·q(x)c)

3;x2x4x4x4q(x)p(x)b)

1;x2x2x4x6q(x)p(x)a)

2345678

234

234

−−−−−−−+=

++++=−

−+++=+

Realiza las siguientes divisiones:

a) "

b) "

Solución:

a) !

b) !

( ) ( )12x:1x5xx 23 −−+−

( ) ( )1x:3xx 226 +−+

813

r(x) 85

4x9

2x

c(x)2

−=−−=

5r(x) 2xxc(x) 24 −=+−=

Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) p(x) - q(x); c) p(x) - q(x) + r(x); d) p(x) + q(x) - r(x).

!

Solución:

!

15.3xr(x);4x2xq(x);2x2xp(x) 42424 +=+−=−+=

13.x4x3r(x)q(x)p(x)d)

9;x2x3r(x)q(x)p(x)c)

6;x2q(x)p(x)b)

2;x4q(x)p(x)a)

24

24

2

2

−+−=−+

++=+−

−=−

+=+

1

2

3

4 Calcula el cuadrado del siguiente trinomio utilizando las identidades notables y con la definición de potencia y comprueba que se obtiene el mismo resultado:

!

Solución:

!

!

( )2zyx +−

( )( ) ( ) ( ) yz2xz2xy2zyxzyz2xz2yxy2xzzyx2yxzyx 222222222 −+−++=+−++−=+−+−=+−

( )( ) yz2xz2xy2zyxzzyzxyzyyxxzxyxzyxzyx 222222 −+−++=+−+−+−+−=+−+−

Calcula:

!

Solución:

!

( )( )( )( ).3m5h3m5hc)

;3z73z7b)

;y43

x21

y43

x21

a)

−−+−

+−

"#

$%&

'−"

#

$%&

'+

.m9h25c)

;z97b)

;y169

x41

a)

22

2

22

−

−

−

Calcula:

!

Solución:

!

( ) .2z5hc)

;y54

x73

b)

;5hm23

5hm23

a)

3

2

+

!"

#$%

&−

!!"

#$$%

&+!

!"

#$$%

&−

.z8hz60zh150h125c)

;y2516

xy3524

x499

b)

;h25m43

a)

3223

22

22

+++

+−

−

Calcula:

!

Solución:

!

( )( ).h5m17h5m17c)

;m21h

41b)

;b35a

53a)

2

3

+−

"#

$%&

'+−

"#

$%&

'+

.h5m17c)

;m41hm

41h

161b)

;b27125ab5ba

59a

12527a)

22

22

3223

−

+−

+++

5

6

7

8

Calcula y simplifica: "

Solución:

!

!

( ) ( )322 y3xtzy2x −+−+−

=−+−+−+−−+−+++ 32232222224 yxy9yx27x27zt2yt2yz2tx4zx4yx4tzyx43232222224 yxy9x27zt2yt2yz2tx4zx4yx31tzyx4 −++−+−−+−+++=

Calcula:

!

Solución:

!

.7hz712

7hz712

c)

;y311

x73

b)

;b32

3aa)

2

3

!"

#$%

&−−!

"

#$%

&−

!"

#$%

&+

!"

#$%

&−

.h49z49144

c)

;y9121

xy722

x499

b)

;b278

ab2ba18a27a)

22

22

3223

+−

++

−+−

Calcula:

!

Solución:

!

( )( )( )

.3yx37

c)

;8hz158hz15b)

;7h6za)

3

2

!"

#$%

&+

+−

+

.y27xy63yx7x27243

c)

;h64z15b)

;h49zh84z36a)

3223

22

22

+++

−

++

Calcula:

!

Solución:

!

( )( ).3h

31c)

;4z294z29b)

;b43a

92a)

3

2

!"

#$%

&−

+−

!"

#$%

&−

27.h9hh271c)

16;z29b)

;b169ab

31a

814a)

23

2

22

−+−

−

+−

1

2

3

4 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:

!

Solución:

!

Raíces: a) -5, ! , 3 b) -7, -3, 5 c) -8

8.7x7xxc)

105;29x5xxb)

15;28x5x2xa)

23

23

23

+−−

−−+

−−+

1).x8)(x(xc);3)5)(x7)(x(xb);5)3)(x1)(xx(2a) 2 +−++−++−+

21

−

Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:

!

Solución:

!

Raíces: a) 4 b) -7, ! , 0, 2 c) -2, ! , 9

18.47x22x3xc)

14x;37x16x3xb)

28;11x5xxa)

23

234

23

+−−

−−+

−+−

2).9)(x1)(xx(3c);7)2)(x1)(xxx(3b);7)x4)(x(xa) 2 +−−+−++−−

31

−31

Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:

!

Solución:

! Raíces: a) -7, -2, 13 b) -4, 4, 7 c) 2

10.9x4xxc)

112;16x7xxb)

182;103x4xxa)

23

23

23

−+−

+−−

−−−

5).x22)(x(xc);7)4)(x4)(x(xb);13)2)(x7)(x(xa) 2 +−−−+−−++

Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:

!

Solución:

!

Raíces: a) -6, -2, 4 b) ! c) -7, 3, 10

210.61x6xxc)

8;58x15x7xb)

48;20x4xxa)

23

23

23

+−−

−+−

−−+

10).7)(x3)(x(xc);8)x21)(xx(7b);6)4)(x2)(x(xa) 2 −+−+−−+−+

71

5

6

7

8

Obtén un polinomio cuyas raíces sean: a) 0 (raíz doble), -1 (raíz triple) b) 0 (raíz simple), 1 (raíz triple), 2 (raíz doble)

Solución:

a) !

b) !

( ) 234532 xx3x3x1xx +++=+

( ) ( ) x4x16x25x19x7x2x1xx 2345623 −+−+−=−−

Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:

a) "

b) "

c) "

Solución:

! Raíces: a) 2 (doble) b) -1 (triple) c) -1 (doble), -2 (doble)

4x3xx 234 ++−

13x4x4x3xx 2345 +++++

412x17x18x14x6xx 23456 ++++++

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2223222 2x1x1x c) 1x1x b) 2x1xx a) +++++−++

Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:

!

Solución:

!

Raíces: a) -4, 0, 2, 6 b) ! c) -11, -6, 12

792.138x5xxc)

2;18x17x8xb)

48x;20x4xxa)

23

23

234

−−+

+++

+−−

6)12)(x11)(x(xc);2)x21)(xx(8b);6)4)(x2)(xx(xa) 2 +−++++−+−

81

−

Obtén un polinomio cuyas raíces sean: a) 1 (raíz doble), -1 (raíz triple) b) -3 (raíz simple), 0 (raíz triple), 1 (raíz doble)

Solución:

a) !

b) !

( ) ( ) 1xx2x2xx1x1x 234532 ++−−+=+−

( )( ) 345623 x3x5xx1x3xx +−+=−+