3. junio - geometria - 5to.doc

1

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Junio

Sub – Área: Geometría 5º Secundaria

B C T

A

M

a

a

d

dD

F E

N

1. V értices : A , B , ......., F.2. L ad o s : A B , B C , ......., FA3. Á n gu los In terio res : A , B , ......, P.4. Á n gu los E xterio res : TC D .5. D iagon al : B E .6. D iagon al M ed ia : M N .7. Perím etro : (2p ).8. 2p = A B + B C + ...... + FA .

E L E M E N T O S

C on vexoA

AD D

B

BC

C

+ + + = 360 °

N o C o nvexo

2


B C T

A

M

a

a

d

dD

F E

N

1. V értices : A , B , ......., F.2 . L ad o s : A B , B C , ......., FA3. Á n gu los In terio res : A , B , ......, P.4 . Á n gu los E xterio res : TC D .5. D iagon al : B E .6. D iagon al M ed ia : M N .7. Perím etro : (2p ).8 . 2p = A B + B C + ...... + FA .

E L E M E N T O S

OBSERVACIÓN: Un polígono de "n" lados tendrá "n" vértices y "n" ángulos interiores.

CLASIFICACIÓN

A. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS

B. SEGÚN LA REGULARIDAD DE SUS ELEMENTOS


POLÍGONOS

Núremberg

Población: 490.000Estadio: Franken-Stadion

Proyecto: ReconstrucciónInversión: 56 millones de euros Aforo total: 41.926Localidades de asiento: 36.898 (*)Localidades a la venta (**)

Fase de grupos: 32.341Octavos de final: 31.995

Estadio a jugarse el Mundial Alemania 2006

3


°

°

°

°

° °

° °

°

° °

E j. : H exágo no eq uián gu lo. E j. : Pen tágo n o eq uilátero.

E j. : Pen tágo n o regula r.

1. P O L ÍG O N O E Q U IÁ N G U L O 2. P O L ÍG O N O E Q U IL AT E R O

3. P O L ÍG O N O R E G U L A R

C. PROPIEDADES GENERALES DE UN POLÍGONO DE "n" LADOS.1. PROPIEDAD

Suma de las medidas de los ángulos interiores.

S m ángulo s interio res = 1 80 ° (n-2 )

2. PROPIEDADNúmero total de diagonales.

N o. D = n (n-3 )2

3. PROPIEDADSuma de las medidas de los ángulos exteriores.

S m ángulo s exterio res = 36 0°

D. PROPIEDADES DE UN POLÍGONO REGULAR DE "n" LADOS.1. PROPIEDAD

Medida de un ángulo interior.

m IN T = 18 0° (n-2 )

n

Fórmula aplicable a un polígono equiángulo

2. PROPIEDADMedida de un ángulo exterior.

m E X T = 36 0°

n

Fórmula aplicable a su polígono equiángulo

3. PROPIEDADMedida de su ángulo central.

m áng C E N T = 36 0°

n

4. PROPIEDADSuma de las medidas de los ángulos

centrales.

s m án g C E N T = 36 0°


PLATÓN (nacido el 428 a.d.C.). En la Academia, lugar donde impartió sus enseñanzas, se podía leer la siguiente inscripción: NADIE ENTRE QUE NO SEPA

4


1. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono?

a) 4 b) 5 c) 8d) 10 e) 15

2. Calcular si es polígono regular.

a) 60° b) 90° c) 135°d) 120° e) 150°

3. Hallar la medida del ángulo exterior de un octógono regular.

a) 45° b) 60° c) 120°d) 135° e) 140°

4. ¿Cuántas diagonales tiene un octógono?

a) 10 b) 15 c) 20d) 5 e) 30

5. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en el cual la suma de las medidas de los ángulos interiores es cinco veces la suma de las medidas de los ángulos exteriores?

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 18

6. Un polígono tiene “n” vértices. Si su número de lados aumenta en k. ¿En cuánto aumenta su número de diagonales?

a) k b) (k+2n-3) c) n-k

d) 2n-k e) (n-3)

7. En la figura se muestran dos polígonos equiángulos, entonces + es:

a) 145° b) 150° c) 270°d) 143° e) 137°

8. En que polígono la suma de las medidas de los ángulos internos y externos es 2160°

a) Pentágono b) Decágono c) Dodecágono d) Icoságono e) Pentadecágono


ACTIVIDADES EN AULA

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1. En la figura, el valor de

1+2+3+4+5+6+7+8es:

a) 1020° b) 1100° c) 1200°d) 1080° e) 360°

2. En un polígono equiángulo ABCDEF.... las bisectrices de los ángulos B y D son perpendiculares, el número de lados de dicho polígono es:

a) 12 b) 6 c) 8d) 10 e) 7

3. En un polígono regular de “n” lados: ABCDEF.....; las prolongaciones de AB y ED se cortan en “z”. Hallar “n” si el ángulo BD mide 126°

a) 18 b) 15 c) 12d) 20 e) 24

4. Las medidas de los ángulos internos de un hexágono convexo están en progresión

aritmética siendo el mayor de ellos 125°. Hallar la media del menor.

a) 105° b) 102° c) 115°d) 110° e) 101°

5. En un polígono regular, si se duplica el número de lados entonces la medida de cada ángulo exterior disminuye en 18°. Calcular el número de diagonales del polígono.

a) 7 b) 10 c) 35d) 14 d) 18

6. Al aumentar en 3 el número de lados de un polígono el número de diagonales se duplica. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos.

a) 1260° b) 1120° c) 1416°d) 1024° e) 1825°

7. En un polígono regular, si disminuye en 10° la medida de cada ángulo exterior, el número de lados aumenta en 6. Calcular el número de lados del polígono inicial.

a) 16 b) 18 c) 12d) 10 e) 22

8. En un polígono, la diferencia de la suma de los ángulos internos y la suma de ángulos externos es igual a 720°. Calcular el número de diagonales de dicho polígono.

a) 24 b) 20 c) 54d) 18 e) 36


ACTIVIDADES DOMICILIARIAS

CUADRILÁTEROS

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DEFINICIÓN

Es un polígono de cuatro lados.

CLASIFICACIÓN:

A. TRAPEZOIDE

A

A

D D

B

BC

C

Trap ezo id eA sim étrico Trap ezo id e S im étrico

o B iso sceles

B. TRAPECIO

Si : AD//BC

AD y BC : Bases del Trapecio h : Altura del Trapecio

++

= 1 80 °= 1 80 °

CLASES DE TRAPECIO


h

A D

B C

HIPÓCRATES DE QUIO(nacido el 450 a.d.C.)

Fue primeramente comerciante. Aparece en Atenas hacia el año 430 para reivindicar ciertos derechos, donde funda poco después una escuela de Geometría. Echó las bases del método de “reducción”, o sea “transformar un problema en otro ya resuelto”. Inició el uso de las letras en las figuras de Geometría. La Geometría dejó de ser con él una técnica, para tomar el rango de “ciencia deductiva”, que había de culminar en Euclides.

C on vexoA

AD D

B

BC

C

+ + + = 360 °

N o C o nvexo

C on vexoA

AD D

B

BC

C

+ + + = 360 °

N o C o nvexo

7


Trap ecioE scalen o

Trap ecioR ectán gu lo

Trap ecioIsó sceles

L L

PROPIEDADES

1. MEDIANA DEL TRAPECIO: )MN(

A D

B Cb

M N

a

x

2.

A D

B Cb

a

xP Q

C. PARALELOGRAMO:

A D

B C

P

m

m

nn

ROMBOIDE ROMBO

b

a

a

b

a a

a

a

RECTÁNGULO CUADRADO


Si: M y N son puntos medios :

AD//BC//MN

x= a+ b2

Si : P y Q son puntos medios

AD//BC//PQ

x= a - b2

x= a - b2

AD // BC yCD // AB

BP = PD y AP = PC

8


b b

a

a

a

a

a

a45 °45 °

RECTÁNGULO AUREOUn rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones.Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los

dos lados es: A este número se le llama número de oro, se representa por el símbolo Ø y su valor es 1,61803..., lo obtuvieron los griegos al hallar la relación entre la diagonal de un pentágono y el lado.

El nombre de "número de oro" se debe a Leonardo da Vinci.

En "el hombre ideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, es el número de oro.


El ajedrezSobre este juego existen muchas leyendas, pero sin duda una de las más famosas es la siguiente:"Hace muchos siglos, en un país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo y no hablaba con nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y filósofos del reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no sólo volvió a sonreír sino que se volvió un gran maestro de este juego. Quedó tan feliz con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo en la primera casilla del tablero, dos granos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, dieciséis en la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey muy tranquilo, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el número de granos de trigo que debían pagarse al muchacho; al cabo de un rato, los científicos regresaron con una gran sorpresa:¡no alcanzaba todo el trigo del mundo para pagar el juego de ajedrez!"

¿Podrías averiguar por qué?

ACTIVIDADES EN AULA

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1. Hallar la mediana del trapecio ABCD (). Si AB=10 CD=14

a) 10 b) 12 c) 12,5d) 13 e) 13,5

2. Hallar el perímetro del cuadrilátero ABCD. Si: AB=3, BC=4 y AD=8

a) 15 b) 18 c) 20d) 24 e) 30

3. Hallar la medida del menor ángulo de un cuadrilátero, cuyas medidas de sus ángulos internos son proporcionarles a 1, 2, 4 y 5.

a) 30° b) 40° c) 50°d) 60° e) 70°

4. Hallar m AMC. Si ABCD: Cuadrado y CDQ: Triángulo equilátero.

a) 90° b) 100° c) 105°d) 110° e) 120°

5. Hallar la mediana del trapecio ABCD. Si: AB = 1 y CD = 9

a) 10 b) 8 c) 7d) 5 e) 4

6. En la figura se muestra un cuadrado, entonces el valor de x es:

a) 6 b) 3 c) 4d) 5 e) 2

7. En la figura se muestran dos cuadrados

cuya razón de lados es: . Calcular

(x+2°)

a) 8° b) 10° c) 15°d) 18°30’ e) 7°

8. En la figura, calcular el valor de x, si ABCD: Romboide y BCED: Rombo

a) 12° b) 15° c) 18°d) 25° e) 30°


ACTIVIDADES DOMICILIARIA

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1. En un cuadrilátero ABCD: m BAD=30°; mCDA=53° AB=4 y CD=10. Calcular la distancia del punto medio de

a) 4 b) 5 c) 7d) 8 e) 3

2. En un trapecio isósceles la diagonal mide 10 y forma con la base mayor un ángulo de medida 37°. Entonces la mediana mide:

a) 6 b) 8 c) 5d) 7 e) 4,5

3. En un trapecio ABCD, la base mayor es igual a la suma de la base menor y el lado no

paralelo . Si m A + m B = 110°. Hallar la

m ADC

a) 90° b) 100° c) 105°d) 110° e) 120°

4. Dado un paralelogramo ABCD, de manera

que m ABD = m BDC=90°. Se ubica “M” punto medio de , por el vértice A y B se trazan paralelas a que se cortan en N. Calcular AN. Si: BC = 18.

a) 9/4 b) 5/2 c) 7/2d) 9/2 e) 18/5

5. Dado un cuadrilátero ABCD, se pide calcular

el valor del ACD, si el triángulo ABD es equilátero y los ángulos CAD y CBD miden 15° y 45° respectivamente.

a) 22° b) 10° c) 18°d) 15° e) 25°

6. En un cuadrilátero ABCD, se tiene: AB=AD,

m B=90°, m A=60° y m D=135°. Luego del vértice A se traza una perpendicular a

cortándola en E. Calcular m CAE

a) 60° b) 45° c) 30°d) 90° e) 75°

7. En un cuadrilátero ABCD; P y Q son puntos medios de ; M y N son puntos

medios de . Hallar MN si: mPNQ=90° y AB=CD=4

a) 2 b) 2 c) 3d) e) 4

8. Hallar “x”, si ABCD es un cuadrado.

a) 45° b) 37° c) 60°d) 53° e) 75°

Es la figura geométrica plana cuyos puntos equidistan de un punto fijo del mismo plano. Al punto del cual equidistan los puntos de una circunferencia se denomina centro y a la distancia entre él y un punto de la circunferencia se denomina radio.


CIRCUNFERENCIA I

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PROPIEDADES

1) 2)

Si : Si :

3) 4)

Si :

5)


Elementos :

1) Arco : 2) Cuerda : 3) Radio : = “R” 4) Diámetro : = “2R”5) Secante : L16) Tangente : L27) Flecha ó Sagita : * “T” Punto de Tangencia

“R” L

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CIRCUNFERENCIA INSCRITA A UN POLÍGONO

Ejemplos:

Circunferencia inscrita al triángulo. Triángulo circunscrito a la circunferencia

Circunferencia inscrita a un cuadrilátero Cuadrilátero circunscrita a la circunferencia.

TEOREMA DE PONCELET:

TEOREMA DE PITOT:

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS

01. EXTERIORES 02. TANGENTES EXTERIORES


Si : y son tangentes

AB + BC = AC + 2r

r : Inradio

AB + CD = BC + AD

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03. TANGENTES INTERIORES 04. SECANTES

05. ORTOGONALES 06. CONCÉNTRICAS

07. INTERIORES


OP > R + r OP = R + r

OP = R – r R – r < OP < R + r

OP2 = R2 + r2OP = Cero

OP < R – r

BLAS PASCAL (1623 – 1662)

Niño prodigio, mostró su aficción a las matemáticas desde su más tierna edad. Llegó el sólo a descubrir 32 de las proposiciones de Euclides, expuestas en los “Elementos”. A los 16 años escribió un “Ensayo sobre las cónicas”. La notable diferencia de concebir las cónicas con respecto a Apolonio de Pega hacen de Pascal el iniciador de los métodos de la Geometría moderna. Hombre místico, ha pasado a la Historia más bien como literario que matemático.

ACTIVIDADES EN AULA

14


1. Calcular: x, Si: “O” es centro.

a) 45° b) 60° c) 37°d) 53° e) 30°

2. En la figura, calcular “R”

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

3. Calcular “x”, si “O” es centro.

a) 4 b) 9 c) 8d) 6 e) 3

4. En la figura, calcular “x”:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Si ABCD es un cuadrado, calcular el perímetro del triángulo EBG.

a) 6 b) 4 c) 16d) 8 e) 12

6. En un triángulo rectángulo ABC recto en “B”, si AB=12, BC=16. Hallar el inradio del triángulo.

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

7. En un triángulo rectángulo de semiperímetro igual a 16mt. y de inradio 3mt. Calcular la hipotenusa.

a) 20 b) 25 c) 15d) 13 e) 11

8. Se tiene un octógono ABCDEFGH circunscrito a una circunferencia donde: AB=1cm, BC=1cm, CD=1,5cm, DE=0.5cm, EF=2cm, FG=2.7cm y HA=0.8. Hallar GH.

a) 0.5 b) 1 c) 0.8d) 1.5 e) 2

1. Hallar “R” si AB=8, BC=15 y AC= 17


ACTIVIDADES DOMICILIARIA

15


a) 9 b) 12 c) 15d) 18 e) 20

2. En que relación deben estar los radios de 2 circunferencias tangentes exteriores para que el ángulo formado por las 2 tangencias comunes exteriores mida 60°.

a) 1:2 b) 1:3 c) 2:3d) 2:5 e) 3:5

3. En la figura. Hallar AB. Si CD = 6

a) 8 b) 10 c) 6d) 12 e) 16

4. Calcular “x”

a + b

a) 5 b) 1 c) 3d) 4 e) 2

5. En la figura AB+CD=30mt y BC+AD=50mt. Calcular PQ.

a) 16 b) 14 c) 12d) 10 e) 8

6. En la figura mostrada los radios de las circunferencias miden 2cm y 4cm. Hallar el inradio del triángulo ABC.

a) 2 b) 6 c) 12d) 3 e) 5

7. Del gráfico R=3, r=1. Hallar BE

a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

8. Siendo: P, Q y T puntos de tangencia; AB = 23u y BQ = 14u. Hallar AP.

a) 8u b) 7u c) 6ud) 9 e) 10

Sub – Área: Geometría 5º SecundariaDepartamento de

Publicaciones

El hombre no debe pensar en lo que le dan o le prestan, sino en lo que por si mismo es y por su propio esfuerzo adquiere.

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