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Academia Preuniversitaria BRYCE

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2Geometría

¿Sabías qué …?Las cinco tablas de la LeyEuclides basó su geometría en cinco postulados, es decir; ideas que se aceptan sin demostración por ser evidentes y que sirven de andamiaje para el resto del aparato teórico. Éstos son:

1. Por dos puntos se puede trazar siempre una línea recta.

2. Toda línea recta finita puede prolongarse infinitamente.

3. Dado un punto cualquiera, siempre se puede trazar un círculo de cualquier radio a su alrededor.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.5. Dada una recta y un punto que no pertenece a

la recta, sólo se puede trazar una línea paralela a la primera que pase por ese punto.

FECHA _____/______/ 2009Definición

Son dos triángulos cuyos ángulos son respectivamente de igual medida y además sus lados correspondientes de igual longitud (ángulos y lados homólogos)

A B C P Q R

A

B

C

a

b

c

P

Q

R

a

b

c

Entonces:

45

Para que se dé la congruencia de dos o más triángulos se requiere que sus lados sean iguales. Por lados iguales se refiere a que los tres lados del triángulo tengan exactamente la misma medida en valores numéricos. Esta condición implica que los ángulos también son iguales. Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.(los angulos no siempre son iguales)

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Imprenta GRAFFITI S.A.C.

Geometría

m B A C = m Q P R

m A B C = m P Q R

m A C B = m P R Q

yA B = P Q

B C = Q R

A C = P R

Casos de CongruenciaPara poder afirmar que dos triángulos son congruentes, es necesario que tres elementos en uno de ellos sean de igual medida que los tres elementos correspondientes en el otro triángulo, de los cuales por lo menos uno, es un lado.Los casos más comunes son:

Caso: Lado – Ángulo – Lado (L.A.L.)Dos triángulos son congruentes, si tienen un ángulo interior de igual medida y además los lados que determinan a dichos ángulos respectivamente de igual longitud.

A

B

Cb

c

P

Q

Rb

c

Si:

A B C P Q R

Caso: Ángulo – Lado – Ángulo (A.L.A.)Dos triángulos son congruentes, si tienen un lado de igual longitud y además los ángulos adyacentes a dichos lados respectivamente de igual medida.

A

B

Cb

P

Q

Rb

Si:

A B C P Q R Caso: Lado – Lado – Lado (L.L.L.)

Dos triángulos son congruentes, si sus lados son respectivamente de igual longitud.

A

B

C

a

b

c

P

Q

R

a

b

c

Si:

A B C P Q R

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA

Teorema de la BisectrizTodo punto que pertenece a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo

A

O B

P

R

H

Q

b is e c tr iz

d

l

d

l

Sea: bisectriz del AOB

Si: y

R H =R Q

Además:

O H = O Q

Teorema de la Mediatriz

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2Geometría

Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento

A

P

B

d

m

d

m

Sea: mediatriz del segmento AB.

Si

PA = P B

Nota:En todo triángulo isósceles, la altura relativa a la base, es mediana, bisectriz relativa a la base y además es parte de la mediatriz de dicha base.

A

B

m m

C

P

aa

H

En la figura ABC: isósceles

Si: : altura relativa a la base .

Entonces: : mediana: Bisectriz: Mediatriz

También: PA = PC y m BAP = m BCPBase media de un triángulo

Definición. Es el segmento que tiene por extremos, los puntos medios de dos lados de un triángulo; al tercer lado se le denomina base.

Teorema de la Base Media

En todo triángulo, una base media es paralela a la base y su longitud es la mitad de la longitud de dicha base.

A

B

C

M N

m

m

n

n

b a s e m e d ia

En la figura si: AM = MB y BN = NC

: Base media

Entonces: y

Teorema de la Mediana Relativa a la Hipotenusa

En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de dicha hipotenusa.

A

B

CM

m

mm

En la figura

: Mediana relativa a la hipotenusa

Entonces:

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Geometría

TALLER DE EJERCICIOS EN CLASE

01. Calcular “x”, si AB = EC.

A

B

E

CD

60º 40º

40º40º

x

Rpta.: …………………………

02. Calcular “x”, si AM = BC, BM = MN, mAMN=mMBC=30º.

xA

B

CM

N

Rpta.: …………………………

03. Los triángulos ABC y CDE son equiláteros. Hallar “x”.

A

B

C

D

E

18º

x

Rpta.: …………………………

04. Encontrar ED, si BD = 9, AD = 5, AB = BC.

A

B

CE

D

Rpta.: …………………………

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2Geometría

05. En el interior de un triángulo ABC se marca un punto “O” tal que mBAO = mACO = , mABO = 2, mAOC = 5, AO = 6 y B = OC. Calcular AC.

Rpta.: …………………………

06. Calcular el valor de “x”, si , AB = FD y

.

A

B

C

DF

x

4x

Rpta.: …………………………07. Calcular “x” en:

8

2 + 2x

O

AB

C

D

E

Rpta.: …………………………

08. Encontrar BC, si FM = 5 y CN = 8.

A

F

M

N

B

C

Rpta.: …………………………09. Calcular “x”, si AM = MN, PQ = QC, AB = NC.

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Geometría

81º

xA

B

C

P

Q

M N

Rpta.: …………………………

10. En un triángulo ABC, mA = 30º, mC = 20º, sobre el lado se toma un punto F, las mediatrices

de y se interceptan en el punto E. Hallar mACE, si AB = FC.

Rpta.: …………………………

11. El perímetro de un triángulo ABC es 54, AB + BC = 40. Hallar la distancia entre los puntos medios de los lados y .

Rpta.: …………………………12. Calcular DE, si AC = 14.

A

B

C

D

E

Rpta.: …………………………

13. En un triángulo ABC se toma el punto medio M del lado y sobre el lado se toma el punto N tal que mBAC = mANM, AB = 16. Encontrar MN.

Rpta.: …………………………

14. En un triángulo ABC, mA = 2.mC, se traza perpendicular a la bisectriz interior del ángulo A. Calcular BC, si AF = 4

Rpta.: …………………………15. En el triángulo rectángulo ABC recto en B se traza

la ceviana interior tal que mACD = 10º,

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2Geometría

mDCB = 30º, se marcan los puntos medios M de y N de . Hallar la mMBN.

Rpta.: …………………………

16. El ángulo exterior en B de un triángulo ABC mide 72º, se traza la altura y sobre se toma

un punto D, la mediatriz de pasa por el punto D. Calcular mBAC – mDBC, si AH = HD.

Rpta.: …………………………

EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CASA

01. Hallar el valor de , si AB = CE y CB = CD.

A. 20º B.38º C. 48º D. 12º E. 24º02. Encontrar “x”, si AB = BD, BC = BE, AE = DC.

A. 60º B.70º C. 75º D. 82º E. 80º

03. De la siguiente figura, calcular el valor de “”.

2

34 5º a

n

a n

A. 9º B. 12º C. 15ºD. 18º E. 21º

04. En la figura mostrada, si AB = AD; AH = 4 y HC = 7. Calcular BH.

A. 7 B. 9 C. 11D. 13 E. 15

05. Sabiendo que los triángulos ABC y EFC son equiláteros, se pide calcular el valor de “x”.

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Geometría

A

B

C

E

F

1 0 0º

x

A. 10º B. 20º C. 30ºD. 40º E. 50º

06. En el gráfico, AB ED, AE CD, hallar “x”

A. 36º B. 28º C. 52º D. 38º E. 46º

07. En un triángulo ABC, sea “P” un punto de y “Q” un punto exterior relativo al lado de modo que los triángulos ABP y BQC son equiláteros. Calcular la mCAQ.

A. 40º B. 45º C. 30ºD. 60º E. 75º

08. En un triángulo ABC se toma el punto medio M del lado y sobre el lado se toma el punto N tal que mBAC = mANM, AB = 16. Encontrar MN.

A. 2 B. 4 C. 6D. 8 E. 3

09. En un triángulo ABC, mA = 2.mC, se traza perpendicular a la bisectriz interior del ángulo A. Calcular BC, si AF = 4

A. 12 B. 7 C. 5D. 6 E. 8

10. En el triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la ceviana interior tal que mACD = 10º, mDCB = 30º, se marcan los puntos medios M de

y N de . Hallar la mMBN.A. 10º B. 15º C. 20º

D. 5º E. 25º

11. El ángulo exterior en B de un triángulo ABC mide 72º, se traza la altura y sobre se toma

un punto D, la mediatriz de pasa por el punto D. Calcular mBAC – mDBC, si AH = HD.

A. 24º B. 28º C. 48ºD. 26º E. 18º

EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CASA

(APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA)

01. En la figura. Calcular “”.

Rpta: ………………………….

02. En la figura BC = 2BM. Calcular “”.

A

B

CM

2

Rpta: ………………………….

03. Si FC = 18, calcular AB.

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2Geometría

9 º

2 7ºA

B

CF

Rpta: ………………………….

04. Del gráfico calcular BP, si AP = 3 y PC = 15

A

B

C2

P

Rpta: ………………………….

05. Del gráfico calcular “x”

Rpta: ………………………….

¿Sabías qué …?

El quinto independienteHoy el mundo seguiría siendo euclideano – es decir, plano – si no fuera por el quinto postulado del propio Euclides, también conocido como el postulado de las paralelas. Este quinto postulado no le gustaba demasiado a Euclides, de hecho en su libro intentó utilizarlo lo menos posible.Durante mucho tiempo, los matemáticos buscaron afanosamente la forma de demostrar que ese quinto postulado podía deducirse de los otros cuatro, pero buscaron en vano, a pesar de que en diferentes ocasiones se creyó haber encontrado la prueba. Hubo que esperar al tardío año de 1817 para que uno de los matemáticos más brillantes de la historia, Kart Friedrich Gauss, se convenciera de que este postulado era independiente de los otros cuatro. De hecho, descubrió que si lo negaba, si permitía trazar más de una paralela a una recta por un punto dado, obtenía una geometría totalmente consistente

FECHA _____/______/ 2009Se denominan así ciertos triángulos rectángulos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos internos (denominados ángulos notables) se tendrá presente una determinada relación entre las longitudes de sus lados y viceversa. Entre los más importantes tenemos:

Triángulo Notable de 45º

45º

45º

m

m

m 2

Triángulo Notable de 30º y 60º

30 º

60 º

2mm

m 3Triángulo Notable de 15º y 75º

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Geometría

1 5 º7 5 º

4a

a26a26a

32 a 32 a

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

(aproximados)

Triángulo Notable de 37º y 53º

37 º

53 º

3m

4m

5m

Triángulo Notable de 53º/2 = 26º30’

53 º/2

m

2 m

m 5

Triángulo Notable de 37º/2 = 18º30’

37 º/2

m

3 m

m 10

TALLER DE EJERCIOS EN CLASE 01. Calcular OA en:

45º30º

O

A

B

C6 3

Rpta.: …………………………

02. Hallar el perímetro del triángulo equilátero ABC, .

A

B

CH

4 3

Rpta.: …………………………03. Encontrar AD en:

54


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2Geometría

A

BCD30º 60º

Rpta.: …………………………

04. Calcular “x” en:

A

B

C53º x

5

7

Rpta.: …………………………

05. Encontrar PQ en:

45ºA

B

C

P

Q

8

Rpta.: …………………………


A

B C

D

M

N

6a

6a

4a

x

Rpta.: …………………………

07. Calcular BC en:

30º45º

60º

A

B

C

D

8 4 2

Rpta.: …………………………08. Calcular “x” en:

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Geometría

30º

37º

3

x

A

B

C D

E

Rpta.: …………………………

09. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 y uno de sus ángulos agudos mide 15º. Encontrar el lado del cuadrado inscrito en el triángulo, uno de los lados del cuadrado se encuentra sobre la hipotenusa.

Rpta.: …………………………

10. Calcular CD si AE = 10, en:

A

B

C

DE5 3 º

5 3 º

10

Rpta.: …………………………

EJERCICIO PARA RESOLVER EN CASA

01. Calcular CD, si AB = 16.

30º 45º 53 º

A

B C D E

A. 1 B. 2 C. 3D. 4 E. 1,5

02. Calcular CD en:

A

B C

D

8

53º

A. 6 B. 7 C. 8D. 9 E. 10

03. Encontrar “x” en:

37º

2 + 1xx + 11

A B

C

A. 1 B. 2 C. 3D. 4 E. 5

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2Geometría

04. Hallar AD, si

A

B C

D

2

5

45º 37º

L

L 1

A. 6 B. 7 C. 8D. 9 E. 10


a

a

7a

45ºx

A

B C

D

M

A. 15º B. 30º C. 37ºD. 45º E. 53º


127º

45º

12

x

A

B

C

D

A. 1 B. 2 C. 3D. 4 E. 5

07. Calcular “”, si AB = CD, AC = CB

A

B

C

DA. 15º B. 45º C. 53ºD. 30º E. 60º

08. En el cuadrado ABCD el triángulo AED es equilátero, calcular MN.

A

B C

D

E

M

N

8

8A. 7 B. 4 C. 6D. 5 E. 5,5

09. En el cuadrado ABCD encontrar el valor de “x”.

A

B C

D

M

N8º

37º

x

A. 45º B. 30º C. 37ºD. 60º E. 24º

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Geometría

10. Encontrar el valor de “x”, si DE = 2.AB

20º20º20ºO

x

A

B

C

D

E

A. 5º B. 15º C. 10ºD. 12º E. 18º

11. En un triángulo ABC se traza perpendicular a la mediana . Hallar la mMBC, si BC = 2.AF

A. 15º B. 45º C. 37ºD. 30º E. 60º

LA BELLA Y LA BESTIA

En una de las ocasiones que coincidieron Marilyn Monroe y Albert Einstein, la actriz se dirigió al físico y le propuso jocosamente: “¡No opina, profesor, que deberíamos tener un hijo juntos; así el niño tendría mi apariencia y su inteligencia!”. A lo que Einstein respondió: “Lo que me preocupa, querida señorita, es que el experimento ocurra al revés”.

Apuntes

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