FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE

PROGRAMACIÓN LINEAL

Investigación Operativa

Problema 1: un inversionista con ayuda de CORFO pretende invertir en el cultivo de palta, pomelo, naranja y mango en el valle de Azapa (Arica), persiguiendo dos objetivos esenciales:1.- reducir el desempleo rural2.- aumentar las exportaciones. Se sabe que la producción promedio de cada árbol está dado por:

Tipo de árbol

Producción (unidades/árbol)

Promedio anual (kg/árbol)

Observación

Palta 350 150 Una vez al añoPomelo 230 200 Una vez al añoMango 150 50 Una vez al añonaranja 400 150 Una vez al año

El precio promedio en el mercado mundial a precios de 2004 fue de:Palta : 10 ($/kg)Pomelo : 4 ($/kg)Mango : 15 ($/kg)Naranja : 7 ($/kg)

Existe una extensión de 250.000 mt2 de tierra propicia para el cultivo de estos productos. Supóngase que los ingenieros agrónomos han determinado que las siguientes extensiones son necesarias para el cultivo de esos productos.

Tipo de árbol Extensión mínima de cultivo por árbol Palta 4mt2

Pomelo 5 mt2

Mango 3 mt2

Naranja 6 mt2

Afortunadamente, no existen problemas de agua pues hay buenas napas subterráneas (pozos), como de un canal de regadío, que aseguran la existencia de este líquido por los próximos 20 años. El costo total por sembrar cada árbol es:

Palta : 2,0 ($)Pomelo : 0,5 ($)Mango : 1,0 ($)Naranja : 1,5 ($)

Estos costos ya incluyen la compra del árbol más su cuidado y mantenimiento anual inicial. Cada árbol empieza a ser productivo aproximadamente a los tres años de ser plantado. Cada árbol requiere:

Palta : 36 (h-h) de cuidado al año.Pomelo : 72 (h-h) de cuidado al año.Mango : 50 (h-h) de cuidado al año.Naranja : 10 (h-h) de cuidado al año.

El inversionista pretende invertir $20.000.000 pensando en exportar toda su producción a partir del tercer año. El desempleo en el Valle de Azapa se ha calculado en 500 personas y el inversionista y CORFO han delineado que este proyecto cumpla al menos con contratar 200 personas en forma continua (para que CORFO apoye el proyecto). Bajo estas circunstancias cuántos árboles de palta, pomelo, mango y naranja deberán sembrarse con objeto de maximizar el valor de la futura exportación anual.

 

Desarrollo 1.- resumen de la información entregada (a criterio de cada persona para comprender el problema inicial) 2.- planteamiento matemático del problema: a.- definición de las variables de decisión

sea:

Xp : número de árboles de palta a ser plantadosXl : número de árboles de pomelo a ser plantadosXm : número de árboles de mango a ser plantadosXn : número de árboles de naranjo a ser plantados

b.- planteamientos de las restricciones:

1.- Tierra

000.2506354 nmlp XXXX

2.- Horas hombre

52*5*8*20010507236 nmlp XXXX

3.- Capital

000.000.205,15,02 nmlp XXXX

4.- No negatividad

nmlpiX i ,,,0

c.- Función Objetivo  VPE = volumen de producción esperado = cantidad promedio por cada árbol por el número de árboles plantados

Max Z = 150*10*Xp + 200*4*Xl + 50*15*Xm + 150*7*Xn

c.- Función Objetivo  VPE = volumen de producción esperado = cantidad promedio por cada árbol por el número de árboles plantados

Max Z = 150*10*Xp + 200*4*Xl + 50*15*Xm + 150*7*Xn

enterasyn,m,l,pi0X

000.000.20

52*5*8*500

Xn5,1

Xn10

Xm

Xm50

Xl5,0

Xl72

Xp2

Xp36000.390Xn10Xm50Xl72Xp36

000.250Xn6Xm3Xl5Xp4

:a.s

Xn050.1Xm750Xl800Xp500.1Z

Max

i

Problema 2: Una fábrica de bebidas tiene plantas ubicadas en Concepción, Santiago, Antofagasta, Puerto Montt y Arica. La empresa “El Botellón” fabrica botellas de vidrio desechables (subsidiaria) y tiene plantas ubicadas en San Bernardo, Chillán e Iquique. La demanda mensual de botellas desechables se pronostica en:

Planta de Bebidas Demanda Mensual en BotellasSantiago 2.000.000Concepción 500.000Puerto Montt 100.000Antofagasta 400.000Arica 100.000

Las botellas abiertas se retornan a la fundidora de vidrio, en donde se convierten a materia prima y de ahí se mandan a las fábricas de botellas. Así la producción máxima mensual de botellas es:

Planta de Bebidas Capacidad Mensual en BotellasSan Bernardo 1.500.000Chillán 1.000.000Iquique 750.000 El costo por miles de botellas desde las plantas de botellas a las plantas de bebidas es:

DE \ A San Bernardo Chillán IquiqueSantiago 5 20 15Concepción 20 15 2Puerto Montt 25 2 10Antofagasta 75 50 40Arica 45 80 60

Bajo estas condiciones ¿qué programa de distribución mensual de botellas se debería establecer a fin de satisfacer la demanda mensual en las fábricas de bebidas sin exceder la producción mensual y todo al costo mínimo?

Desarrollo

Variables de decisión.-

Xij : cantidad de botellas (en miles) producidas en la planta i (San Bernardo, Chillán e Iquique) y enviadas a la planta embotelladora j (Santiago, Concepción, Puerto Montt, Antofagasta y Arica) en el mes. Función Objetivo ZXC ij

i jij

*3

1

8

4Min

i = 1,2,3 planta de botellasj = 4,5,6,7,8 planta de bebidas Min Z = 5X14 + 20X15 + 25X16 + 75X17 + 45X18 + 20X24 + 15X25 + 2X26 + 50X27 + 80X28 + 15X34 + 2X35 + 10X36 + 40X37 + 60X38

Restricciones: No Negatividad 0ijx

De Demanda

100

400

100

500

000.2

382818

372717

362616

352515

342414

XXX

XXX

XXX

XXX

XXX

De Oferta

750

000.1

500.1

3837363534

2827262524

1817161514

XXXXX

XXXXX

XXXXX

Problema 3: Un barco dispone de tres bodegas para la carga: una proa, una popa y una de centro. La capacidad máxima de bodega es:

Bodega Capacidad en peso (ton) Máximo en Volumen (pie3)Proa 2.000 100.000Centro 3.000 135.000Popa 1.500 30.000

Las cargas que deben ser transportadas pudiendo ser la cantidad total o parcial, son las siguientes:

Mercadería Carga disponible (ton)

Volumen unitario (pie3/ton)

Utilidad ($/ton)

A 6.000 60 6.000B 4.000 50 8.000C 2.000 25 5.000

A fin de asegurar la estabilidad del barco, el peso en cada bodega debe ser proporcional a su capacidad en toneladas. ¿Cómo debe ser distribuida la carga a fin de asegurar una utilidad máxima?

DesarrolloVariables de decisión

Xip : cantidad de carga de mercadería i, a ser llevados a proa

Xic : cantidad de carga de mercadería i, a ser llevados a centro

Xipp: cantidad de carga de mercadería i, a ser llevados a popa

i = A, B, C

Restricciones:

No Negatividad

0,, ippicip XXX

De capacidad máxima de bodegas

500.1

000.3

000.2

CppBppApp

CcBcAc

CpBpAp

XXX

XXX

XXX

Del volumen máximo de bodegas

000.30255060

000.135255060

000.100252560

CppBppApp

CcBcAc

CpBpAp

XXX

XXX

XXX

De las mercaderías a las bodegas

000.2

000.4

000.6

CppCcCp

BppBcBp

AppAcAp

XXX

XXX

XXX

Función Objetivo:

Max

Z = 6000(XAp + XAc + XApp) + 8000(XBp + XBc + XBpp) + 5000(XCp + XCc + XCpp)

De proporcionalidad a la capacidad

500.1

)(

000.3

)(

000.2

)( CppBppAppCcBcAcCpBpAp XXXXXXXXX