Tema 1 Matrices

1. Considere los vectores fila y columna

x= [−2, 3, −1 ] , y=[ 4−13 ]

. Calcule x· y e y·x.2. Demuestre que si A es una matriz y es un vector fila, entonces ·A, está definido y es

también un vector fila. 3. Demuestre que si A es una matriz y b es un vector columna, entonces Ab está definido y es

también un vector columna.4. Algunas veces es deseable distinguir entre un número c R y una matriz (c) de 1 X 1. Si

nosotros omitimos los paréntesis en la matriz de 1 X 1, entonces no podríamos diferenciar entre cA, que denota el producto del escalar c por la matriz A, y el producto (c)A de dos matrices. a) De un ejemplo de una matriz A tal que cA este definido y (c)A no lo esté. b) Demuestre que para toda matriz A donde cA y (c)A estén definidos, entonces cA = (c)A.

5. Dada la matriz A=[1 3

5 3 ] , hallar un vector columna u, distinto de cero, tal que Au = 6u.6. ¿Qué condiciones deben satisfacer A y B para que (A + B)2 = A2 + B2 ?7. Encuentre un desarrollo para (A + B)2 que sea válido para todas las matrices cuadradas

que tengan el mismo tamaño.8. ¿Qué condiciones deben satisfacer A y B para que (A - B)2 = A2 + B2 ?9. Encuentre un desarrollo para (A - B)2 que sea válido para todas las matrices cuadradas que

tengan el mismo tamaño.10. Una matriz cuadrada A se llama antisimétrica si At = -A. Si A es una matriz cuadrada

cualquiera, demuestre que:A + At es una matriz simétrica. A - At es una matriz antisimétrica.A se puede escribir como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.

11. En una matriz cuadrada se denomina diagonal principal, a la diagonal cuyas entradas ocupan la misma posición fila-columna, esto es, si A = [aij] de n X n, las entradas donde i = j. Demuestre que en una matriz antisimétrica las entradas de la diagonal principal son iguales a cero.

12. Sea A una matriz cuadrada que satisface la ecuación A - At = F. Determine el valor de la

matriz A, si eso es posible, para F = [0 1-1 0 ] .

13. Una matriz cuadrada se dice que es una matriz diagonal cuando todas las entradas fuera de la diagonal principal son cero, esto es, aij = aji = 0 para i j. Si A y B son dos matrices diagonales de n X n, ¿es AB = BA ?

14. Sean A = ; B = 2x3 = ; C = 3x3 / cij = i3 + i2+ j2. Determine cuando sea posible: i) (A + C)t – 3Ct; ii) (BAt + B)t ; iii) (BA)tCt.

Tema 2 Sistemas de Ecuaciones

2.1

En los ejercicios 1 al 8, hallar todas las soluciones simultáneas de los sistemas de ecuacioneslineales.

1. { x1+ 2x2− x3 ¿3 x1+ 7 x2+ 2 x3 ¿4 x1− 2 x2+ x3 ¿

−31−2

2. { x1− 2 x2 ¿3 x1− x2 ¿

314

3. { x1− 3 x2+ x3 ¿3 x1− 8 x2+ 2 x3 ¿3 x1− 7 x2+ x3 ¿

254

4. { x1+ 4 x2− 2 x3 ¿2 x1+ 7 x2− x3 ¿2 x1+ 9 x2− 7 x3 ¿

4−2

1

5. { x1 − 2 x3+ x4 ¿ 62 x1− x2+ x3− 3 x4 ¿ 09 x1− 3 x2− x3− 7 x4 ¿ 4

6. { x1− 3 x2+ 2 x3− x4 ¿3 x1− 7 x2 +x4 ¿

80

7.{ x1− 3 x2+ x3+ 2 x4 ¿

x1− 2 x2+ 2 x3+ 4 x4 ¿2 x1− 8 x2 −x3 ¿3 x1− 9 x2+ 4 x3 ¿

2−137

8. { x1+ 2 x2− 3 x3+ x4 ¿ 23x1+ 6 x2− 8 x3− 2 x 4 ¿ 1

En los Ejercicios 9 al 16, hallar todos los posibles valores de las incógnitas xi para que las ecuaciones sean validas.

9. 4 (x1 ,x2 )+2 (x1 , 3)=(−6 ,18 ) 10.

(x1 ,x 2 ,x3 )[ 2 −13 0−1 4 ]= (5 ,−1 )

11. (x1 ,x 2) .(3 −1

2 4 )=(0 ,−14 ) 12.

(x1 ,x 2) .( 1−3)=(2 )

.

13. (x1 x2

x3 x 4)(1 1

1 0 )=(0 13 1 )

14. (1 −53 2 )(x1

x2)=(13

5 ).

15. (x1 x2

x3 x 4)(3 5

2 3 )=(1 00 1 )

16. (x1 ,x 2) .[3 0 4

2 1 −1 ]=(3,3 ,−7 ).

17. Sea A una matriz de n X n y sea B una matriz de 1 X n . ¿Se podría esperar que exista un vector X de 1 X n único, tal que XA = B? ¿Porque?

18. Sea A = una matriz de 3 X 3 . Seleccione, convenientemente, un vector b0, tal que, un sistema de la forma AX = b tenga solución.

2.2

1. Encuentre condiciones para a, b, c, y d de forma que el sistema de ecuaciones

{ax+ by ¿ cbx+ dy ¿ d i) No tenga solución y ii) tenga soluciones.

2. Dado el sistema de ecuaciones lineales {ax+ by ¿ 0cx+ dy ¿ 0 .

Demuestre que: si x = x0, y = y0 ; x = x1, y = y1  son soluciones simultáneas del sistema dado, entonces x = x0 + x1, y = y0 + y1 son también solución del sistema.

3. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX = B, con n ecuaciones lineales y n incógnitas, consistente y con todos los elementos de A y de B reales, ¿Debe X tener también sólo elementos reales?

4. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX = B, con n ecuaciones lineales y n incógnitas, consistente y con todos los elementos de A y de B complejos de parte imaginaria distinta de cero, ¿Debe X tener también sólo elementos complejos de parte imaginaria distinta de cero?

5. Dado un sistema de ecuaciones lineales que tiene una sola solución. ¿Es posible añadir otra ecuación de tal manera que el sistema que resulte no tenga soluciones simultáneas o tenga más de una solución simultánea?

6. Dado un sistema de ecuaciones lineales que tiene más de una sola solución. ¿Es posible añadir otra ecuación de tal manera que el sistema que resulte no tenga soluciones simultáneas?

En los ejercicios 07 al 09 diga qué condiciones deben satisfacer los bi para que el sistema de ecuaciones dado sea consistente.

07. ¿¿ 08. ¿¿09.

{2 x1+ 3 x2− x3+ x4 ¿ b1

x1+ 5 x2+ x3− 2 x4 ¿ b2

2 x1+ 3 x2− x3+ x4 ¿ b33 x1+ x2− 3 x3+ 4 x4 ¿ b4

En los ejercicios 10 al 13 determine los valores que toma el parámetro para que el sistema de ecuaciones tenga: i) ninguna solución, ii) solución única y iii) infinitas soluciones.

10. { x1+ x2− x3 ¿ 22 x1+ 3 x2 ¿ 52 x1+ 2 x2+ (α2−6 )x3 ¿ α+2

. 11. {x1+ (α 2−8 )x2 ¿ 3x1+ (α 2−8 )x2 ¿ α

.

12.{x1+ x2+ x3 ¿ 2x1+ 3 x2+ 2 x3 ¿ 5x1+ 2 x2+ (α 2−2) x3 ¿ α−2

13.{ x1+ x2+ x3 ¿ 22x1+ 5 x2+ 2 x3 ¿ 7x1+ x2+ (α 2−5 )x3 ¿ α

¿Cuales de los siguientes sistemas de ecuaciones homogéneos tienen solución no trivial?

14. ¿¿ . 15. ¿¿ .

16. ¿¿ .

En los ejercicios 17 al 20 estudie las soluciones del sistema para que: i) si el valor de es tal que el grado de dependencia del sistema sea igual a cero, calcule la solución en términos de ; ii) el sistema no tenga solución, halle y iii) el sistema se resuelve mediante un parámetro, halle el valor de .

17. { x1+ x2+ (1−α ) x3= α+2(1+α ) x1− x2+ 2 x3= 0

2 x1− αx2+ 3 x3= α+2 . 18. {2x1+ (1+α )x2+ 2 x3= 32x1+ 3 x2+ αx3= 3x1+ αx 2+ 3 x3= 2

.

19.{ x1− 3 x3 ¿ −32x1+ αx2− x3= −2x1+ 2x2+ αx3= 1

. 20. { x1− 2 x2+ x3+ x4= −2

3x1+ (α−5 )x2+ 2 x3− 2x4= −6(α−1 )x1+ 4 x2− x3− x4= 2

5x1+ (α−9 )x2+ 3 x3− x4= 0.

21. ¿Para qué valores de el sistema de ecuaciones homogéneo,

{2 x1− 3 x2+ 7 x3= 0x1− 7 x2+ x3= 0

4 x1− 19 x2+ αx3= 0 tiene soluciones distintas a la trivial?

22. Suponga que la matriz A se reduce por filas en la matriz R:

A = Y R = .¿Qué puede usted decir de la fila 3 de A? ¿Qué son los números y ? 23. Una farmacia vende 100 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamina C y 25 unidades de vitamina D por un total de Bs. 37.625,00; 200 unidades de vitamina A, 100 unidades de vitamina C y 100 unidades de vitamina D por Bs. 96.750,00; 500 unidades de vitamina A, 80

unidades de vitamina C y 50 unidades de vitamina D por Bs.137.600,00. Encuentre el costo por unidad de cada una de las vitaminas vendidas.24. Cada renglón de la tabla

Tamaño Cantidad de columnas pivote3 x 5 34 x 4 44 x 4 35 x 3 3

indica el tamaño y la cantidad de columnas pivote de la matriz aumentada de algún sistema de ecuaciones lineales. ¿Qué puede decirse de las soluciones del sistema?25. Una compañía de transporte tiene tres tipos distintos de camiones A, B y C. Los camiones están equipados para transportar dos clases de maquinaria. El número de máquinas que puede transportar cada camión viene dado por:

CAMIONESMáquinas A B CClase 1 2 1 1Clase 2 0 1 2

La compañía consigue una orden para transportar 32 máquinas de la clase 1 y 10 máquinas de la clase 2. Encuentre el número de camiones de cada tipo a ser utilizado para transportar exactamente la cantidad de máquinas de cada clase, al costo más económico para el cliente, si operar cada camión tiene el mismo costo para la compañía.26. Un carpintero fabrica sillas, mesas de centro y mesas de comedor. Se necesitan 10 minutos para lijar una silla, 6 para echarle sellador y 12 para laquearla. Para una mesa de de centro, se requieren 12 minutos para lijarla, 8 para echarle sellador y 12 para laquearla. Y, para la mesa de comedor se necesitan 15 minutos para lijarla, 12 para echarle sellador y 18 para laquearla. El taller de lijado está disponible solo 16 horas a la semana, el de sellado 11 horas y el de barnizado 18 horas. ¿Cuántas unidades de cada mueble deben fabricarse por semana de modo que el taller se utilice en toda su capacidad?

27. Determine una matriz

X de 4 X 1 cuyas entradas no sean todas nulas, tal que AX = X,

donde:

28. Sea A = una matriz 4 X 4, seleccione convenientemente una matriz B, tal que, un sistema de la forma AX = B tenga solución.

Tema 3 Matrices Invertibles

En los ejercicios 1 al 10, encuentre la inversa de las matrices dadas, si estas son invertibles.

11. a) Demuestre que la matriz es invertible, y encuentre su inversa.

b) Use el resultado de la parte a) para encontrar las soluciones simultáneas del sistema de

ecuaciones 2x1 - 3x2 = 4 y 5x1 - 7x2 = -3.12. Usando la inversa de la matriz del Ejercicio 7, encuentre las soluciones simultáneas de

{2 x1+ x2+ 4 x3 ¿ 53 x1+ 2x2+ 5 x3 ¿ 3

−x2+ x3 ¿ 8.

13. Si A es una matriz invertible, ¿Que es (A-1) -1 ?14. Demuestre que si A y B son dos matrices de n X n invertibles, entonces AB es invertible. ¿Como es (AB) -1 en términos de A-1 y B-1 ?15. Demuestre que si A es una matriz invertible de n X n, entonces At es invertible. Describa (At) -1 en términos de A-1. 16. Una matriz A de n X n es nilpotente si Ar = 0.a)De un ejemplo de una matriz nilpotente de 2 X 2 que no sea la matriz nula.b)Demuestre que si A es invertible, entonces A no es nilpotente.

17. Considere la matriz A=[a b

c d ] de 2 X 2, y sea h = ad - bc.

a) Demuestre que si h 0, entonces [ d/h −b/h−c/h a/h ]

es la inversa de A.

b) Demuestre que A es invertible si, y solo si, h 0.

En los Ejercicios 18 al 20 encuentre la inversa de cada una de las siguientes matrices cuadradas, donde ki y k son escalares no nulos.

18 .[k1 0 0 ⋯ 00 k2 0 ⋯ 00 0 k3 ⋯ 0

⋮0 0 0 ⋯ kn

] 19 .[0 0 0 ⋯ k1

⋮0 0 k n−2 ⋯ 00 kn−1 0 ⋯ 0kn 0 0 ⋯ 0

]

20 .[k 0 0 ⋯ 01 k 0 ⋯ 00 1 k ⋯ 0

⋮ ⋮0 0 0 ⋯ 1

000⋮k].

21. Supóngase que A es invertible y que B no lo es. Demuestre que AB tampoco es invertible.22. Demuestre que si A y B son equivalentes por fila y A es invertible, entonces B también es invertible.23. Si A es una matriz simétrica no singular. ¿Es simétrica A-1? Una matriz se llama antisimétrica si At = - A. Conteste la pregunta para el caso de matrices antisimétricas.24. Encuentre la inversa de cada una de las siguientes matrices con componentes complejas:

.

25. Para A=[cos θ sen θ

−senθ cosθ ] demuestre que A-1 = At .

26. Sea XA = B una ecuación con X, A y B matrices tales que

A = [ 3 −1 2−6 4 1−7 −2 3 ] y B=[ 1 0 −1

−1 1 0 ] ¿Qué valor toma X ?

27. Sean A y B dos matrices de n X n y suponga que B y I – AB son invertibles, demuestre que: B(I – AB)-1B-1 – B(I – AB)-1A = I.

28. Resolver la ecuación matricial AXB – C = D, siendo:

A = [3 45 −3 ] , B = [

2 −42 −1 ], C = [

3 46 −3 ] y D = [

−2 −3−5 3 ] .

29. Dada la matriz A = seleccione қ de manera conveniente para que exista A-

1 y utilice esta inversa para resolver el sistema:

.

30. Demuestre que una matriz con una fila o una columna de ceros no es invertible.31. Demuestre que una matriz diagonal es invertible si cada elemento de la diagonal principal es diferente de cero. ¿Qué resulta ser la inversa en este caso?

Tema 4 Determinantes

4.1

En los ejercicios 1 al 6, encuentre el determinante de las matrices dadas, de dos maneras.

1 . [1 23 −1 ] 2 . [3 6

3 8 ] 3 . [2 1 43 2 50 −1 1 ]

En los ejercicios 7 al 12, encuentre el determinante de las matrices dadas por el método que crea más conveniente.

En los ejercicios 13 al 15, evalúense los determinantes empleando propiedades, teoremas o la estructura especial de las matrices.

7 . [3 5 2 10 2 0 56 −7 1 02 0 3 0

] 8 . [1 0 −1 73 1 −2 44 −2 1 02 1 0 2

] 9 . [ 1 −2 0 32 4 1 6−1 3 4 12 5 5 10

]

16. Sin calcular directamente, demuestre que

|1 1 1a b c

b+c c+a b+a|=0.

En los ejercicios 17 al 22, hallar los valores de para los cuales la matriz dada es singular (determinante igual a cero).

20. [1−λ 0 20 2−λ 30 4 −λ ] 21.[1−λ 1 −1

−1 1−λ −1−1 −1 1−λ ] 22.[2−λ 1 4

3 2−λ 50 −1 1−λ ]

23. Demuestre que det(I) = 1, siendo I una matriz identidad de cualquier tamaño.24. Demuestre que det(I) = n, siendo I de n X n.25. Si A es una matriz de n X n idempotente, esto es, A2 = A con A O, demuestre que

det(A) es 1ó 0.26. Si A2 = I entonces A se llama involutoria. Demuestre que si A es involutoria el det(A) =

1.27. Demuestre que el determinante de una matriz nilpotente es cero.28. Una matriz es antisimétrica si At = -A. Si A es una matriz antisimétrica de n X n,

demuestre que det(A) = (-1)ndet(A). ¿Puede ser A una matriz no singular?29. Si A de n X n, con n impar, es antisimétrica, demuestre que det(A) = 0.30. Una matriz A se llama ortogonal si A es invertible y A-1 = At. Demuestre que el

determinante de una matriz ortogonal es igual a 1.

En los ejercicios 31 al 35, determine el determinante de la matriz dada suponiendo que

det [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]=−6

31 . [a31 a32 a33

a21 a22 a23

a11 a12 a13] 32 . [a11 2a13 a12

a21 2a23 a22

a31 2a33 a32] 33. [−3 a11 −3 a12 −3 a13

2 a21 2 a22 2 a23

5 a31 5 a32 5 a33]

34 .[ a31 a32 a33

−2 a21 −2 a22 −2a23

a11 a12 a13]

35. [2a11−3 a21 2a12−3a22 2a13−3a23

a31 a32 a33

a21 a22 a23].

36. ¿Para qué valores de la matriz no tiene inversa?37. Sean A y P dos matrices de n X n y supóngase que P es invertible pero A no lo es.

Determine el det(P-1A P). 38. Sea A una matriz de tamaño n X n, si AAt = In demuestre que det(A) = ± 1.39. Sean A y B matrices 4 X 4 tales que el det(A) = 2 y el det(B) = 5. Determine cada uno de

los valores siguientes:i) det(AB) ii) det(A-1) iii) det(A-3) iv) det(At)v) det(ABt) vi) det(ABA-1) vii) det(A3B) viii) det(3AB)

40. Demuestre que det(A)2, puede escribirse como el determinante de una matriz simétrica.

4.2

En los ejercicios 1 al 9, si las matrices indicadas son no singulares, encuentre la inversa de cada una, usando el Teorema 4.6

10. Demuestre que una matriz A de n X n es invertible si, y solo si, At es invertible. 11. Si llamamos A a todas las matrices no singulares de los Ejercicios 1 al 9, verificar que

det (A−1 )= 1det ( A ) .

12. ¿Para qué valores de la matriz no es invertible?

13. ¿Para qué valores de la matriz no tiene inversa?En los ejercicios 14 al 20, resuelva cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales dados utilizando la Regla de Cramer, si es posible.

14 . { x1+ 2 x2− x3 ¿ −22 x1+ x2+ x3 ¿ 03 x1− x2+ 5 x3 ¿ 1

15 . {5 x1− 2 x2+ x3 ¿ 1x2+ x3 ¿ 0

x1+ 6 x2− x3 ¿ 4

16 . {3 x1+ 2 x2− x3 ¿ 1x1− 4 x2+ x3 ¿ −2

5 x1+ 2x2 ¿ 017 . {x1− x2+ x3 ¿ 0

x1+ 2 x2− x3 ¿ 1x1− x2+ 2 x3 ¿ 0

18. { x1+ 2x2− x3 ¿3 x1+ 7 x2+ 2 x3 ¿4 x1− 2 x2+ x3 ¿

−31−2

19. { x1− 3 x2+ x3 ¿3 x1− 8 x2+ 2 x3 ¿3 x1− 7 x2+ x3 ¿

254

20. {6 x1+ x2− x3 ¿ 4

x1− x2 + 5 x4 ¿ −2−x1+ 3 x2+ x3 ¿ 2

x1+ x2− x3+ 2 x4 ¿ 0

21. Sea A una matriz de 4 X 4 y sea det(A) = 3. Encuentre el det((A’))2 donde A’ es la matriz de cofactores de A.22. Si A no es invertible, demuestre que A(Adj(A)) es la matriz nula.23. Sea A una matriz de 3 X 3, invertible. Demuestre que det[(A’)t]det (A) = det(A)3.24. Utilizando los conocimientos adquiridos, esto es, definiciones y teoremas, indique un procedimiento para calcular el determinante de una matriz cuadrada, que no sea ninguno de los conocidos.25. Si A y B son dos matrices no singulares, pruebe que Adj(AB) = Adj(B)Adj(A).

26. Sea A una matriz de 4 X 4. Suponga que es una solución del sistema de ecuaciones lineales AX = B. ¿Es A una matriz singular o no singular? Justifique sus respuestas.

Tema 5 Espacios Vectoriales

5.1

1. Sea F+(R) el conjunto de todas las funciones reales positivas sobre R.a) ¿Es la suma usual de funciones una operación binaria en F+(R)?b) ¿Es la multiplicación de un escalar por una función una operación externa en F+(R)?2. Sea S el conjunto de todas las funciones de R en R que nunca toman el valor cero.a) ¿Es la suma usual de funciones una operación binaria en S?b) ¿Es la multiplicación de un escalar por una función una operación cerrada en S?c) Sea 0 la función cero en S. ¿Es la multiplicación por un escalar una operación externa en S U {0}?

En los ejercicios 3 al 14, determine si los conjuntos E dados, junto con las operaciones indicadas son o no son un espacio vectorial.

3. E = {(a, b) / a b Z} con la suma definida como suma de pares de números reales y el producto por un escalar definido como ·(a, b) = (0, 0).4. Sea E el mismo conjunto del ejercicio anterior, pero con el producto por un escalar definido como ·(a, b) = (a, b).5. Sea E = R+ (números reales positivos) con las operaciones de adición y producto por un escalar definidas como: a + b = ab y a = a. 6. E = R2 con la suma usual y el producto por un escalar definido por ·(x, y) = (y, x).7. E = R2 con la suma usual y el producto por un escalar definido por ·(x, y) = (x, 0).8. E = {los vectores del tercer cuadrante del plano R2} con las operaciones usuales en R2.9. E = {(x, y, z) R3/ x = y = z} con las operaciones de adición y multiplicación por un escalar usuales en R3.10. E = C[0,1] = {f / f : R R es una función continua en el intervalo [0,1]} con las operaciones definidas suma y producto por un escalar usuales.11. E = {igual al Ejercicio 10, pero con f(0) = 1}.12. E = {igual al Ejercicio 10, pero con f(0) = 0 y f(1) = 0}.13. E = {polinomios de una variable real y de grado igual o menor que n con término independiente positivo}, con las operaciones de suma y producto por un escalar usuales.14. E = {polinomios de una variable real y de grado igual o menor que n con término independiente nulo}, con las mismas operaciones del ejercicio anterior.15. E = {1}, esto es, el conjunto formado por un único elemento, el 1. Definiendo la suma como 1+1= 1 y el producto por un escalar como ·1 = 1.16. Sea (E, +, ·) un espacio vectorial. Muestre que a E y escalar, se tiene que ·a = 0 si, y solo si = 0 ó a = 0.17. Sea (E, +, ·) un espacio vectorial y sean a y b dos vectores dados en E. Pruebe que existe un único vector x E tal que a + x = b.18. Sea C el conjunto de los números complejos a + bi ó (a, b). Si se define el producto de dos números complejos como (x, y)·(z, w) = (xz-yw, xw+yz). Demuestre que (C, +, ·) es un espacio vectorial sobre si mismo.19. Verifique si el conjunto formado por todos los pares ordenados de números reales de la forma (1, a) forma un espacio vectorial real con las operaciones de suma y producto por un escalar definidas así: (1, a) + (1, b) = (1, a+b) y (1, a) = (1, a).

20. Sea M2x2 el conjunto formado por todas las matrices de 2 X 2. Si

, definimos A+B = A y el producto por un escalar αA el usual. Determine si M2x2 es un espacio vectorial real.

21. Verifique si el conjunto formado por todos las matrices de 2 X 2 de la forma con las

operaciones de suma: y producto por un escalar:

, es un espacio vectorial real.

5.2

En los ejercicios 1 al 12, determine cuales de los subconjuntos indicados, son un subespacio vectorial del espacio vectorial dado.

1. {(x, -x) / x R} en el espacio vectorial R2.2. {(x, x+1) / x R} en el espacio vectorial R2.3. {(n, m) / n, m Z} en el espacio vectorial R2.4. {(x, y, 3x-2y) / x, y R} en el espacio vectorial R3.5. {f / f(1) = 0} en el espacio vectorial F(R) de funciones de R en R.6. {f / f(0) = 1} en el espacio vectorial F(R) de funciones de R en R.7. {f / f(x) 0, x R} en el espacio vectorial F(R).

8. {f /∫0

1

f ( x )

= 0} en el espacio vectorial C(R) de funciones continuas en R.

9. {f /∫0

1

f ( x )

= 1} en el espacio vectorial C(R).10. {(a-c, b+c,5c)/a, b, c R} en el espacio vectorial R3.11. {(a-b, b-c, c-d, d-a)/a, b, c, d R} en el espacio vectorial R4. 12. El conjunto {(aij) Mn /aij = 0 si i j} de todas las matrices diagonales de Mn, en el espacio vectorial de todas las matrices de m X n.13. Si U y W son dos soluciones del sistema de ecuaciones lineales AX = B, entonces U - W pertenece al espacio solución del sistema de ecuaciones homogéneo asociado AX = 0.14. Demuestre que el conjunto formado por todas las soluciones simultáneas del sistema de ecuaciones lineales AX = B con n incógnitas, no es un subespacio vectorial de Rn si B 0.15. Demuestre que el conjunto formado por todas las soluciones simultáneas del sistema de ecuaciones homogéneo AX = 0 con n incógnitas, es un subespacio vectorial de Rn .

16. Verifique si el conjunto formado por todos las matrices de 2 X 2 de la forma con las operaciones de suma y producto por un escalar usuales es un subespacio vectorial de M2.17. Demuestre que el subespacio L((1, 1), (1, 2)) de R2 es todo R2.

En los ejercicios 18 al 25 determine si el conjunto dado es generador del espacio vectorial indicado.

18. En R3 : {(1,-1,2), (1,1,2), (0,0,1)}. 19. En R3 : {(1,-1,2), (-1,1,2), (0,0,1)}.20. En P2(x) : {1- x, x}. 21. En P2(x) : {1- x, x, 3 - x2}. 22. En P2(x) : {x2 - 2x, - x, 5x2 + 3x}. 23. En P3(x) : {x, x2 - 2x, x3 - x}. 24. En P3(x) : {x, x3 - 1, 4x3 - x - 1, x2}.

25. En M2 : .

5.3

1. Plantee un criterio geométrico para que dos vectores distintos de R2 sean dependientes.2. Argumente geométricamente porque un conjunto formado por tres vectores distintos en R2 es dependiente.3. Plantee un criterio geométrico para que dos vectores distintos de R3 sean dependientes.4. Describa geométricamente el subespacio de R3 generado por dos vectores independientes.5. Explique geométricamente como es que un conjunto formado por tres vectores no nulos, distintos y pertenecientes a R3 es dependiente.6. Argumente geométricamente porque un conjunto formado por cuatro vectores distintos de R3 es dependiente.

En los ejercicios 7 al 12, determine cuales de los conjuntos dados es dependiente o independiente.

7. {(1,3), (-2,-6)} en R2. 8. {(5,7), (9,-3)} en R2.9. {(-1,2,1),(2,-4,3)} en R3. 10. {(2,0,5),(-1,3,-4),(1,3,1)} en R3.11. {(1,-4,3), (3,-11,2), (1,-3,-4)} en R3 . 12. {(1,3,4,-1), (2,0,1,-3), (3,3,5,1)} en R4 .13. Demuestre que {senx, cosx} es un conjunto independiente de vectores del espacio F(R) de funciones de R en R.14. Demostrar que cuatro polinomios de P2(x), el espacio vectorial generado por los polinomios de una variable real x y de grado igual o menor que dos, son dependientes.

En los ejercicios 15 al 24, determine si el conjunto dado es independiente o dependiente, además determine si es generador del espacio indicado.

15. En R3 : {(1,-1,2), (1,1,2), (0,0,1)}.16. En R3 : {(1,-1,2), (-1,1,2), (0,0,1)}.19. En P2(x) : {1- x, x}. 18. En P2(x) : {1- x, x, 3 - x2}. 19. En P2(x) : {x2 - 2x, - x, 5x2 + 3x}. 20. En P3(x) : {x, x2 - 2x, x3 - x}. 21. En P3(x) : {x, x3 - 1, 4x3 - x - 1, x2}.

22. En M2 : .23. En C(I), siendo I = (0,1) : {lnx, lnx2, lnx3}. 24. En F(R) : {sen2x, cos2x, 1}25. En el espacio R[x], (de todos los polinomios de una variable real x y de coeficientes reales) demuestre que dos polinomios no pueden generar el subespacio P2(x) .

En los ejercicios 26 al 33, utilice la técnica de exclusión que se deriva del Teorema 6.7, es decir, elimine del conjunto dado los vectores que resulten combinación lineal de los precedentes y encuentre un subconjunto independiente que genere el mismo subespacio vectorial.

26. En R2 : {(5, -1), (10, 3)}. 27. En R2 : {(1,2),(-3,-6),(2,1),(4,3)}. 28. En R3 : {(1,1,1), (2,1,6), (6,1,4), (6,6,-6), (6,5,4)}. 29. En R[x]: {x2 - 1, x2 + 1, 4x, 2x - 3}.30. En R[x]: {1, 4x + 3, 3x - 4, x2 + 2, x - x2}.31. En F(R): {1, sen2x, cos2x, cos2x}.34. En R4 : {(1,2,0,1), (0,1,2,1), (0,6,6,12), (-3,-1,6,7), (1,1,1, 4), (2,6,2,6)}.35. En R5 : {(1,2,1,2,3), (3,1,1,4,2), (3,-2,-3,7,6), (6,-1,-2,11,8), (3,4,5,1,-2), (-1, -2,0,-1,0)}.36. Sean v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3) dos vectores de R3 . Si w = v, demuestre que el subespacio vectorial L(v, w) (espacio generado por v y w) es una recta que pasa por el origen.37. Determine el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuyo conjunto solución S este generado por los vectores (1,-2,0,3), (1,-1,-1,4), (1,0,-2,5) y (2,-3,-1,7).38. Demuestre que un subconjunto de un conjunto independiente es necesariamente independiente.39. Sean a, b y c tres vectores linealmente independientes pertenecientes a un espacio vectorial E cualquiera. Determine si los vectores u, v y w también son independientes, siendo u = a - b, v = a - c y w = b - c.38. Sea {v1, v2, v3, · · ·, vk} un conjunto dependiente, demuestre que {v1, v2, v3, · · · , vk, vk+1, · · · , vn} es también un conjunto dependiente. 39. Sea {v1, v2, v3, · · ·, vn} un subconjunto independiente en un espacio vectorial E cualquiera. Supongamos que tenemos un vector w E pero no perteneciente al subespacio L(v1, v2, v3, · · ·, vn). Demuestre que el conjunto {v1, v2, v3, · · · , vn, w} es independiente.

40. Sean F1 y F2 dos fuerzas con direcciones diferentes, y sea F3 una tercera fuerza. Mostrar que F1, F2 y F3 son independientes, si la dirección de F3 no está contenida en el plano generado por las direcciones de F1 y F2.41. Si W es un subconjunto linealmente independiente de vectores de un espacio vectorial E y si b es un vector de W, demuestre que necesariamente b es un vector no nulo.42. Si B = {b1, b2, b3, . . . , bn, x1} es un subconjunto finito de vectores no nulos de un espacio vectorial E y si x1 ε L(b1, b2, b3, . . . , bn), demuestre que B es un conjunto linealmente dependiente.43. Sean S1 y S2 dos subconjuntos de vectores de un espacio vectorial E. Si S1 S2 y S2 es linealmente dependiente, muestre mediante algunos ejemplos, que S1 puede ser linealmente independiente o linealmente dependiente.

5.4

1. Sea B un subconjunto formado por cinco vectores de un espacio vectorial E y sea dim(E) = 4. Se pregunta:a) ¿Puede B ser un conjunto independiente?b) ¿Puede B generar a todo el espacio E?c) ¿Debe B generar a todo el espacio E?

En los ejercicios 2 al 9, determine si el conjunto de vectores dado es o no es una base para el espacio vectorial indicado.

2. {(-2,2), (2,4)} para R2. 3. {(-1,0,1), (1,3,4)} para R3.4. {(-1,2,4), (1,3,-1), (1,8,2)} para R3. 5. {(-1,3,4), (1,5,-1), (1,13,2)} para R3.6. {(1,0,2,2), (-3,1,2,0), (2,0,3,0), (1,0,0,0)} para R4. 7. {1, x -1, x2 + x, 3x} para el espacio P2(x) de los polinomios de R[x] de grado 2.8. {x2 - 1, x2 + x, 3 + 2x} para el espacio P2(x) de los polinomios de R[x] de grado 2.9. {x , x2 + 1, 3x2 - 2x + 3} para el espacio P2(x) de los polinomios de R[x] de grado 2.10. Considere a R como un espacio vectorial sobre si mismo, describa todos los subconjuntos de R que forman base para R. 11. Argumentar el hecho de que si escogemos al azar dos vectores v y w de R2 es muy probable que {v, w} sea base para R2.12. Cuál es la dimensión del espacio vectorial real formado por los números complejos. Determine una base. Repita el ejercicio para cuando los complejos formen espacio sobre si mismo.13. Cuál es la dimensión del espacio vectorial Mmxn formado por todas las matrices de tamaño m X n. Describa una base para ese espacio.14. Cuál es la dimensión del espacio vectorial formado por todas las matrices diagonales de tamaño n X n, esto es, (aij) es de Mn, con aij = 0 si i j.15. Encuentre una base de R2 que contenga el vector (1,3).16. Encuentre una base de R3 que contenga a los vectores (1,0,2) y (1,3,0).17. Encuentre una base para el subespacio {(x1, x2, x3, x4) / x2 = x4} de R4. ¿Cuál es la dimensión de este subespacio ?.18. Encuentre una base para el subespacio {(x1, x2, x3, x4) / x1=2x2 = -x3} de R4. ¿Cuál es la dimensión de este subespacio ?.

19. Demuestre que si S es un subespacio de un espacio vectorial E finito dimensional, entonces S es finito dimensional y realmente dim(S) dim(E). 20. Demuestre que si E es un espacio vectorial finito dimensional y a es un vector no nulo de E, entonces existe una base de E que contiene el vector a.21. Sea B = {b1, b2, b3, · · · , bn} una base ordenada de un espacio vectorial E, y sea A = {a1, a2, a3, · · · , an} E tal que bi L(a1, a2, a3, · · · , an) para i = 1,2,3, ... , n. Demuestre que {a1, a2, a3, · · · , an} es también una base para E.

En los ejercicios 22 al 30 encuentre las coordenadas del vector dado con respecto a la base ordenada indicada.

22. (-1,1,3,1) de R4 respecto a la base {e1, e2, e3, e4}.

23. (-1,2) de R2 respecto a la base {(0,-2), }.24. (2,3,2) de R3 respecto a la base {(2,0,0), (0,1,1), (0,0,1)}.25. (9,6,11,0) de R4 respecto a la base {(1,0,1,0), (2,1,1.-1), (0,1,1,-1), (2,1,3,1)}.

26. de M2 respecto a 27. x2 - 3x + 4 de P2(x) respecto a la base {x2 - 1, x, x2 + x + 1}.28. x3 + x2 - 2x + 4 de P3(x) respecto a la base {1, x2, x, x3}.29. x3 + x2 - 2x + 4 de P3(x) respecto a la base {1 + x2, 1+ x, 1 + x3, x + x2}.30. Encuentre el vector de coordenadas de (x, y) en la base B.

a) B = {(1,1), (1,-1)} b) B = {(2,3), (3,-2)}c) B = {(5,7), (3,-4)} d) B = {(1,1), (1,0)}.

31. Determine una base y la dimensión para los espacios solución S de los sistemas lineales homogéneos.

a) { x− y− 3 z+ w ¿03 x+ 2 z− 2 w ¿0−x+ y+ z− w ¿04 x− y− z− w ¿0 b)

{4 x− y+ 2 z− w ¿03 x+ 2 y+ z+ w ¿0x− y+ 2 z− w ¿0 .

32. Resuelva el sistema{2x+ y+ 7 z ¿ 4

x− y+ 2 z ¿ 5 y dé una interpretación geométrica al conjunto de soluciones.33. Resuelva el sistema que consiste en la ecuación 2x + y + 3z = 0 y encuentre una base para el espacio solución y dé una interpretación geométrica a ese espacio solución.34. Dé una interpretación geométrica al conjunto de soluciones de la ecuación 2x + y + 3z = 5.35. Encuentre una base ordenada B = {b1, b2} en R2 tal que las coordenadas de (2, -11) con respecto a B son (2, -1) y las coordenadas de (17, -13) en esa base B son (3, 2). 36. Si denotamos por Sn al espacio vectorial formado por las matrices simétricas de tamaño n X n. Demostrar que Sn es un subespacio de Mn de dimensión [n(n + 1)]/2.

37. Sea S el plano de R3 que contiene la recta x = y en el plano xy y también contiene el eje z. Se pide: i) encuentre una base de S; ii) extienda esa base a una base de R3 y iii) ¿es posible contraer la base canónica de R3 a una base de S? Explique.38. Sea S el subespacio de P3(x) generado por los polinomios p1(x) = 1 – x + 2x2 +3x3 y p2(x) = 2 + x - x2 +2x3 y sea B = {3 + x2 +5x3, 3x – 5x2 – 4x3} un subconjunto del espacio vectorial P3(x). ¿Es B una base de S? ¿Es posible completar una base de P3(x) con B?39. Sea S el subespacio de P3(x) generado por los polinomios p1(x) = 2 - x + 4x2 + 3x3 y p2(x) = 3x3 -2x2 + 2x – 1 y sea B = {1 - x + 2x2, x + 3x3} un subconjunto del espacio vectorial P3(x) ¿Es B una base de S? ¿Es posible completar una base de P3(x) con B? Justifique sus respuestas. 40. Demostrar que tres vectores v1, v2 y v3 en R3 con puntos finales en el origen son coplanares si, y sólo si, el subespacio L(v1, v2, v3) es de dimensión igual o menor que 2.41. Sea S el subespacio de R3

generado por los vectores v1 = (1,-3,4) y v2 = (6, 4,-6) y sea W = {(11,-22,29), (7,-7,14), (-11,-11,16)} R3. Se pregunta:i) Determine si W genera al subespacio S; ii) ¿W contiene una base de S? iii) ¿Es posible completar una base de R3 con W? Justifique sus respuestas. 42. Sea S el subespacio de R3

generado por los vectores v1 = (1,-3,4) y v2 = (6,4,-6) y sea W = {(11,-22,29), (22,-11,13), (-11,-11,16)} R3. Se pregunta: i) Determine si W genera al subespacio S; ii) ¿W contiene una base de S? iii)¿Es posible completar una base de R3 con W? iv) ¿El vector (0,-11, 15) ε S? Justifique sus respuestas.

En los ejercicios 43 al 51 determine la dimensión de cada uno de los subespacios vectoriales indicados.

43. S = {(a, 0)/ a R}.44. S = {(a -b, 3a + b)/ a , b R}.45. S = {(a , 0, 4a)/ a R}.46. S = {(a -c, b + c, 3c)/ a , b, c R}.47. S es el conjunto de todos los vectores de tres componentes cuyas primeras componentes son cero.

48. S es el conjunto de todos los vectores de cuatro componentes cuyas primeras y últimas componentes son cero.

49. S es el conjunto de todos los vectores de cuatro componentes cuyas tres primeras componentes son cero.

50. S = L((-7, 2,-5), (9, -1, 12), (2, 1, 7)).

51. S es el conjunto de todas las matrices de la forma .

52. S = L(-x + x2, -5 + x, -x2, 3 + x2) en el espacio vectorial P2(x).

53. S = L(senx, cosx, sen2x).

Tema 6 Transformaciones Lineales

6.1

En los ejercicios 1 al 13, determinar si la función dada es una transformación lineal.

1. f : R2 R2 definida por f(x, y) = (3x - y, x + y).2. f : R2 R2 definida por f(x, y) = (y2, x + y).3. f : R2 R3 definida por f(x, y) = (x - y, 3, x + y).4. f : R2 R3 definida por f(x, y) = (3x - y, 0, x + y).5. f : R2 R3 definida por f(x, y) = (x - y, x + y, 2x + 3y).6. f : R3 R definida por f(x, y, z) = x + y + z.

7. f : R P3(x) definida por f(a) = a + ax + ax2+ax3.8. f : P2(x) P2(x) definida por f[p(x)] = p’’(x) + xp’(x) + 2p(x).9. f : P3(x) R3 definida por f(a0 + a1x + a2x2 + a3x3) = (a3 -a2, a1+a3,

a2 -a1).10. f : P2(x) P2(x) definida por f(a0 + a1x + a2x2) = (a1+a2)x + (a0-

a2)x2.

11. f : R2 R2 definida por f = .

12. f : R2 R3 definida por f = .

13. f : R2 R2 definida por f = .

14. f : Rn Rm definida por f(x) = x + b / b 0.

En los ejercicios 15 al 24, sea C(I) el espacio vectorial de todas las funciones continuas con dominio I = [a, b]. Determine cuál de las siguientes funciones con dominio en C(I) es una transformación lineal.

15. La función f : C(I) R definida por f(f) = f[(a+b)/2], f C(I).

16. La función f : C(I) R definida por f(f) =[f(a)+f(b)]/2, f C(I).

17. La función f : C(I) R definida por f(f) = max {f(x) /x I}, f C(I).

18. La función f : C(I) R definida por f(f) = ∫a

b

f, f C(I).

19. La función f : C(I) C(I) (definida por [f(f)](x) = , f C(I).

20. La función f : C(I) C(I) definida por [f(f)](x) = , f C(I).

21. La función f : C(I) C(I) definida por [f(f)](x) = , f C(I).

22. La función f : C(I) C(I) definida por [f(f)](x) = , f C(I).

23. La función f : C(I) C(I) definida por [f(f)](x) = , f C(I).

24. La función f : C(I) C(I) definida por [f(f)](x) = 3f(x) - , f C(I).En los ejercicios 25 al 32, sea D¥(R) el espacio vectorial de todas las funciones con dominio R y derivables de todos los órdenes. Determine cuales de las funciones f dadas es una transformación lineal.

25. La función f : D¥(R) R / f(f) = (Df)(2) para todo f D¥ (R).

26. La función f : D¥(R) R / f(f) = (D2f + 3f)(4) para todo f D¥(R).

27. La función f : D¥(R) R / f(f) = (Df + 3)(0) para todo f D¥(R).

28. La función f : D¥(R) R / f(f) = D2(f + 3x -2)(0) para todo f D¥(R).

29. La función f : D¥(R) R / f(f) = D2(f + x2 -2x)(0) para todo f D¥(R).

30. La función f : D¥(R) D¥(R) / [f(f)](x) = Df(x) + 3 para todo f D¥(R).

31. La función f : D¥(R) D¥(R) / [f(f)](x) = D2(f + 4)(x) + 3f f D¥(R).

32. La función f : D¥(R) D¥(R) / [f(f)](x) = D2(f+x) para todo f D¥(R).

33. Sea f : D¥(R) D¥(R) una transformación lineal tal que f(e2x) = sen x, f(e3x) = cos 4x y

f(1) = e5x, determine:

(a) f(4e2x + 7e3x - 5) (b) f[D(e3x)]

(c) f[D2(3e2x - 5e3x - 7x2 + 3x -2)] (d) f[ ]

34. Sea f : R2 R2 una transformación lineal definida por f(1,1) = (-5,3) y f(-1,2) = (2,0), encuentre f(1,7).

35. En el espacio vectorial F(I) de las funciones continuas en un intervalo real I, considere el subespacio generado por B = {1, 2sen x, 3cos x}. Sea f : L(B) L(B) / f[f(x)] = df ( x )

dx . Para f(x) = 5sen x – 4cos x + 7 determine [f[f(x)]]B.36. Describa el núcleo (espacio nulo) de cada una, si es posible, de las transformaciones lineales de los Ejercicios Propuestos 7.1.1 al 7.1.32.37. Sean D(R) el espacio de las funciones de una variable real, derivables y F(R) el espacio de todas las funciones reales de una variable. Describa el núcleo de la transformación lineal derivación D : D(R) F(R).38. Describa el subespacio imagen de cada una, siempre que sea posible, de las transformaciones lineales de los Ejercicios Propuestos 7.1.1 al 7.1.32.39. Sea D2 (R) el espacio vectorial de todas las funciones de una variable real derivables de

orden dos. Describa el núcleo de D2 : D2(R) F(R).40. Determinar las dimensiones de cada núcleo y de cada imagen hallados en los ejercicios

anteriores. 41. Sea f : E E’ un isomorfismo del espacio vectorial E en el espacio E’. Demuestre que f-1 : E’ E es también un isomorfismo.

42. Sea f : E E’ una transformación lineal entre los espacios vectoriales E y E’. Demuestre que si {v1, v2, . . . , vk} E es linealmente dependiente, entonces {f(v1), f(v2), . . . , f(vk)}

E’ es linealmente dependiente.43. De un ejemplo de una transformación no lineal f en donde f(0) = 0.44. Determine todas las transformaciones lineales de R en R.45. Determine los tamaños de A y (b) y demuestre que f(x) = Ax + (b) siendo (b) 0 no es

una transformación lineal. (Esta función se llama transformación afín).

6.2

1. Encuentre la representación matricial, en las bases canónicas, de cada una de las transformaciones lineales de los Ejercicios 7.1.1 al 7.1.14.

En los ejercicios 2 al 5, encuentre la representación matricial de cada transformación lineal con respecto a las bases ordenadas B y B’ correspondientes.

2. f : R2 R2 / f(x, y) = (x - 2y, 2x + y) ; B = B’ = {(1,-2), (3,2)}.3. f : R3 R2 / f(x, y, z) = (2x + y + z, y - 3z) ; B = {(1,0,1), (1,1,9), (1,1,1)} y B’

= {(1,-2), (3,2)}.

4. f : R2 R3 / f(x, y) = (x - y, 2x + y, y) ; B = canónica de R2 y B’ = {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}.

5. f : R2 R3 / f(x, y) = (x + y, x - y, 2x + 3y) ; B = {(2,1), (1,2)} y B’ = {(1,-1,0), (0,2,0), (0,2,5)}.

6. Encuentre la matriz asociada M E

B'(φ)

de la transformación lineal f del Ejercicio 7.2.3, relativa a las bases: canónica de R3 y B’ = {(1,-2), (3,2)}.

7. Encuentre la matriz asociada M B

E(φ)

de la transformación lineal f : R3 R definida por f(x, y, z) = x + y + z, con respecto a las bases B = {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)} de R3 y canónica de R.

8. Encuentre la representación matricial M E

B'(φ)

de la transformación lineal f : P2(x) P2(x) definida por f[p(x)] = p’’(x) + xp’(x) + 2p(x) en la base B’ = {1, 1 + x, x + x2}.

En los ejercicios 9 al 12, sea f : Rn Rm la transformación lineal que se obtiene de las matrices de m X n dadas como la representación en las bases usuales. Encuentre la formula para cada una.

9. de M3x2. 10. de M3x4.

11. de M3x3. 12. de M4x4.

13. Si B = {(1,1), (1,2)} es una base ordenada de R2 y B’ = {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)} es

una base ordenada de R3 y M B

B'(φ)

es la matriz del Ejercicio 7.2.9, encuentre una formula para f(x, y).

14. Si B = {(1,0,1,0), (0,1,0,1), (1,1,0,0), (0,1,1,1)} es una base ordenada de R4, B’ =

{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)} es una base ordenada de R3 y M B

B'(φ)

es la matriz del Ejercicio 7.2.10, encuentre una formula para f(x, y, z, w).

En los ejercicios 15 al 18, sea S un subespacio finito dimensional del espacio vectorial D¥(R) de las funciones derivables de todos los órdenes, encuentre la

representación matricial M B

B(φ )

de cada transformación lineal, con respecto a la base ordenada B correspondiente.

15. f : S S definida por f(f) = D2(f) + 2D(f) + f ; B = {e2x, e4x, e8x}

16. f : S S / f[f(x)] = df ( x )

dx ; B = {1, sen x, cos x}.

17. f : S S / f[f(x)] = df ( x )

dx ; B = {ex, xex, x2ex}.18. Encuentre f(ae2x + be4x + ce8x) para una transformación lineal f : S S definida por la

matriz M B

B(φ )

= [1 0 10 1 01 0 1 ] , siendo B = {e2x, e4x, e8x}

19. Sean E y E’ dos espacios vectoriales cualesquiera con bases ordenadas B = {b1, b2, b3} y B’ = {b’1, b’2, b’3, b’4} respectivamente y sea f : E E’ una transformación

lineal definida por la matriz A = [4 1 −12 2 00 6 12 1 3 ]

en las bases ordenadas B y B’ dadas. Encuentre f(v) para v = b1 + b2 - 4b3 E.

20. Sea A=[4 −2 1

0 1 −3 ] y sean B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} y B’ = {(1,1), (0,1)} dos bases ordenadas de R3 y R2 respectivamente. Encuentre la transformación lineal única f : R3 R2 tal que, la matriz de f referida a las bases B y B’ sea la matriz A y verifique que x R3 se cumple que [f (x)]B’ = A[x]B .

21. En el espacio vectorial F(I) de las funciones continuas en un intervalo real I, considere el subespacio generado por B = {1, 2sen x, 3cos x}. Sea f : L(B) L(B) / f[f(x)] = df ( x )

dx . Determine la matriz de f la base B y para f(x) = 5sen x – 4cos x + 7 verifique

que: [f[f(x)]]B = M B

B(φ )·[f(x)]B .

22. Sea B = {e11 – e12, e12 – e21, e21 –e22, e22 + e11} una base ordenada del espacio vectorial

M2. Determine si la matriz de la transformación lineal f : M2 M2 es

.

6.3

En los ejercicios 1 al 6, sea f : R3R3 una transformación lineal definida por f(x, y ,z) = (2x+y, 2x+z, x+2z) y : R3R3 otra transformación lineal definida por (x, y ,z) = (x, x+y+z, z). Si consideramos la representación matricial en las bases canónicas, compute las matrices indicadas por dos vías.

1. M(f - 2) 2. M(5f + ) 3. M(f)4. M(f) 5. M(f2 + ) 6. M[6()2].

7. Describa el vector cero del espacio vectorial L(E, E’) y el inverso - f de cada transformación lineal f L(E, E’).

8. Demuestre que la suma de transformaciones lineales en L(E, E’) es una operación asociativa.

9. Demuestre que la suma de transformaciones lineales en L(E, E’) es una operación conmutativa.

10. Demuestre que el producto de un escalar con respecto a la suma de dos transformaciones lineales en L(E, E’) es una operación distributiva.

11. Demuestre la propiedad asociativa (f) = ()f para , escalares y f L(E, E’).

En los ejercicios 12 al 15 utilice el Teorema 7.12 para determinar si la transformación lineal dada es un isomorfismo, y, cuando sea, describa f-1.

1. f : R2R2 definida por f(x, y) = (2x + y, 3x - y).2. f : R2R2 definida por f(x, y) = (x + y, -x + y).3. f : R3R3 definida por f(x, y, z) = (x + y +z, x, y + z).4. f : R3R3 definida por f(x, y, z) = (x + z, 2x + 4y + z, -x + 2z).

En los ejercicios 16 al 18, hallar una fórmula para f’f de dos maneras.

16. f y f’ L(R2) definidas por f(x, y) = (x + y, 2x + y) y f’ (x, y) = (x + 3y, x - y).

17. f y f’ L(R3) definidas por f(x, y, z) = (x, -y, y) y f’(x, y, z) = (x + y, 0, x + y + z).

18. f y f’ L(R3) definidas por f(x, y, z) = (x + 2y, y + 2z, x - z) y f’(x, y, z) = (x -y + z, x + y, 3x - y + 3z).

19. Explique porque f’f no está definida. ¿Está definida ff’.i) f’(x, y) = (x –y, x + y, y) ; f(x, y) = (-x +y, x, y)ii) f’(x, y, z) = (x + z, x + y); f(x, y) = (-x + y, x +3y)iii)f’(x, y) = (x –y, x + y); f(x, y) = (-x + y, x + y, y).20. Demuestre que f y son inversas entre sí

21. Demostrar que la composición de transformaciones lineales es asociativa, esto es,

si f : E E’, f’ : E’E’’ y f’’: E’’E’’’ son tres transformaciones lineales, entonces (f’’f’) f = f’’ (f’ f).

6.4

En los ejercicios 1 al 6, determine el rango de la matriz dada.

1.[2 0 −3 13 4 2 2 ] 2. 3. 4.

5. 6.

En los ejercicios 7 al 10, determinar por el rango si la matriz dada es invertible.

7. 8. 9. [2 0 10 0 42 4 0 ]

10. 13. Considere el sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones y n

incógnitas de la forma AX = B. Demostrar que el sistema es consistente si, y sólo si, el Rango(A) = Rango(A|B), donde (A|B) es la matriz aumentada del sistema.

En los ejercicios 14 al 15, determine si la transformación lineal dada es un isomorfismo, determinando si cada representación matricial, en la base canónica, es invertible.

14. La transformación lineal f : R3 R3 definida por f(x, y, z) = (x + y, y, y + z).15. La transformación lineal f : R3 R3 definida por f(x, y, z) = (2x + z, x + 2y, y + 2z).

16. La transformación lineal f : R4 R4 definida por f(x, y, z, w) = (2w - x, y + 2x, 0, x + y).17. La transformación lineal f : R4 R4 definida por f(x, y, z, w) = (x + y+ z + w, x + y + z, y + z, z).18. Demostrar que si A es una matriz cuadrada, la nulidad de A es la misma de At.19. Sea f : E R5 una transformación lineal. Se pregunta:

(a) Si f es sobreyectiva y Dim(Kf) = 2, ¿Cual es la Dim(E) ?(b) Si f es inyectiva y sobre, ¿Cual es la Dim(E) ?20. Si A es una matriz de m X n, demuestre que el Rango(A) no es mayor que el menor de los

números m y n.21. Diga que es verdadero en las siguientes relaciones:a) Si f es una transformación lineal de L(E, E’), es posible que: Dim(E) < Dim(Imf)  o todo lo contrario.b) Si A es una matriz de m X n, entonces el Rango(A) mínimo {m, n} ó Rango(A) = mínimo

{m, n}.

22. Si

A=[1 2 13 2 72 4 2 ] y si B = {1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)} es una base ordenada del espacio

vectorial R3.a) Encuentre Rango(A).

b) Si f : R3 R3 es una transformación lineal tal que A = M BB(φ )

, encuentre una fórmula para f(x , y, z) y determine Rango(f).

c) Si f’ : R3 R3 es una transformación lineal tal que A = M (φ ), encuentre una fórmula para f’ (x , y, z) y determine Rango(f’).

d) Explique porque Rango(f) = Rango(f’).23. Si A es una matriz de n X n, enuncie en términos de Rango(A) una condición necesaria y

suficiente para que A sea una matriz no singular.24. Suponga que el sistema de ecuaciones lineales de la forma Ax = 0 tiene

250 incógnitas y que su espacio solución está generado por 50 vectores linealmente independientes. Se pregunta: i) ¿Cuál es el rango de A?, ii) A puede tener tamaño 150 x 250?, iii) A puede tener tamaño 200x 200?, iv) A puede tener tamaño 250 x 150?, v) A puede tener tamaño 200 x 250? y A puede tener tamaño 250 x 250?

25. Suponga que el sistema de ecuaciones lineales de la forma Ax = 0 tiene 20 incógnitas y que su espacio solución está generado por 6 vectores linealmente independientes. Se pregunta: i) ¿Cuál es el rango de A?, ii) A puede tener tamaño13 x 20?

6.5 Cambio de Base

1. Considere las bases B = {2,-5), (7,3)} y D = {(-2,1), (-3,2)}. a) Encuentre la matriz de cambio de base de B a D.

b) Si x = (1,-23) encuentre el vector de coordenadas [x]B y utilice el teorema de cambio de base para calcular [x]D.

c) Compruebe sus respuestas calculando [x]D directamente. d) Encuentre la matriz del cambio de base de D a B, compruebe que una es inversa de

la otra.2. Considere las bases B = {(1,-1,0), (0,1,-1), (1,0,1)} y D = {(3,0,0), (1,2,1),

(0,1,5)}. a) Encuentre la matriz de cambio de base de B a D. b) Si x = (6,-3,5) encuentre el vector de coordenadas [x]B y utilice el teorema de

cambio de base para calcular [x]D . c) Compruebe sus respuestas calculando [x]D directamente.

d) Encuentre la matriz del cambio de base de D a B, compruebe que una es inversa de la otra.

3. Considere las bases B = {(-3,0,-3), (-3,2,1), (1,6,-1)} y D = {(-6,-6,0), (-2,-6,4), (-2,-3,7)}.

a) Encuentre la matriz de cambio de base de B a D.b) Si x = (-5,8,-5) encuentre la matriz de coordenadas [x]B y utilice el teorema de cambio de base para calcular [x]D .

c) Compruebe sus respuestas calculando [x]D directamente.d) Encuentre la matriz del cambio de base de D a B, compruebe que una es inversa de la otra.

4. Considere las bases B = {1-x, 3x, -1 - x + x2} y D = {13-2x, 1+x, x + x2}. a) Encuentre la matriz de cambio de base de B a D. b) Si q = - 1 -2x + 3x2 encuentre un vector de coordenadas [q]B y utilice el teorema de

cambio de base para calcular [q]D . c) Compruebe sus respuestas calculando [q]D directamente.

d) Encuentre la matriz del cambio de base de D a B, compruebe que una es inversa de la otra.

En los ejercicios 5 al 7, encuentre las representaciones matriciales M B

B'(φ )

y M D

D'(φ ) para las transformaciones lineales f L(E, E’), en las base ordenadas B, D

del espacio E y B’, D’ del espacio E’. Entonces, encuentre las matrices Q y P tales que

M D

D'(φ ) = Q-1M B

B'(φ )P.

5. Sea f : R2 R la transformación lineal tal que f(x, y) = x + y; B = {e1, e2 } y D = {(1,1), (1,-1)} dos bases de R2 y B’ = {1} y D’ = {-1} dos bases de R.

6. Sea f : R3 R2 la transformación lineal tal que f(x, y , z) = (2x + y +z, y +3z) y sean B = {(1,1,0), (1,1,1), (1,0,1)} y D = {(1,-1,0), (0,2,0), (0,2,5)} dos bases de R3 y B’ = {(2,1), (1,2)} y D’ = {(1,-2), (3,2)} dos bases de R2.

7. Sea f : R2 R3 la transformación lineal definida por f(x, y) = (x + y, x - y, 2x + 3y) y sean B = {(1,-2), (3,2)} y B’ = {(1,1,0), (1,1,1), (1,0,1)} dos bases

ordenadas de R2 y R3 respectivamente. Considere a D y D’ como las bases canónicas de cada espacio.

En los ejercicios 8 y 9, sea M una matriz que define una transformación lineal entre los Espacios Vectoriales E y E’ en las bases canónicas y sea N una matriz que igualmente define una transformación lineal entre los Espacios Vectoriales E y E’ en las bases ordenadas B de E y B’ de E’, demuestre que ambas matrices definen la misma transformación lineal sin determinar la formula de la misma.

8. M = , N = definen transformaciones lineales entre los Espacios Vectoriales R3 y R2, B = {(-1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0)} R3 y B’ = {(1, 2), (1, -1)}.

9. M = , N = definen transformaciones lineales entre los Espacios Vectoriales R2 y R3, B = {(1, 1), (0, 2)} R2 y B’ = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} R3.

En los ejercicios 10 y 11, encuentre las representaciones matriciales M B

B(φ )

y para las transformaciones lineales f L(E), en las bases ordenadas B y D del espacio E.

Entonces, encuentre la matriz P tal que = P-1M BB(φ )P.

10. Sea f : R2 R2 la transformación lineal f(x, y) = (x - 2y, 2x + y) y sean B = {(1,-2), (3,2)} y D = {(2,1), (1,2)} dos bases ordenadas de R2.

11. Sea f : R2 R2 la transformación lineal f(x, y) = (x + 7y, 3x - 4y) y sean B = {(1,3), (-1,1) y D = {(2,2), (4,-1)} dos bases ordenadas de R2.

12. Sea

A=[ 1 2−1 13 −1 ] una matriz que representa a una transformación lineal f : R2 R3 en las

bases canónicas. Hallar la matriz de f en las bases B y B’, del Ejercicio 7.5.7, utilizando dos procedimientos.

13. Sea A=[4 −5 −1

4 −6 3 ] una matriz que define una transformación lineal f:R3 R2 en las bases canónicas y sean B = {(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)} y B’= {(1,1), (0,1)} dos bases ordenadas de R3 y R2 respectivamente. Encuentre la matriz de f referida en las

bases B y B’ y compruebe que [Av]B’ = M B

B'(φ ) [v ]B siendo v =

[123 ]un vector de R3.

14. Determine si la matriz es semejante con la matriz , siendo que A es una matriz que define un operador en la base canónica de R3 y D define un operador en la base {(-2, 1, 1), (-1, 0, 1), (-2, 1, 2)} de R3.

15. Determine si la matriz es semejante con la matriz , siendo que A es una matriz que define un operador en la base canónica de R3 y D define un operador en la base {(1, 0, -1), (0, 2, -1), (2, 1, 2)} de R3.

7 Valores y Vectores Característicos (Auto Valores y Auto Vectores)

En los ejercicios 1 al 6, encuentre los valores característicos i (sin usar el concepto de polinomio característico) y los correspondientes vectores característicos vi de los operadores lineales dados.

1. El operador lineal f L(R2) definido por f(x, y) = (2x-3y, -3x + 2y).2. El operador lineal f L(R2) definido por f(x, y) = (x - y, -x + y).3. El operador lineal f L(R3) definido por f(x, y, z) = (x+z, y, x+z).4. El operador lineal f L(R3) definido por f(x, y, z) = (x, 4y+7z, 2y-z).5. El operador lineal f L(R3) definido por f(x, y, z) = (x, -5x+3y-5z, -3x -2y).6. El operador lineal f L(R3) definido por f(x, y, z) = (3x-y + z, -2x+2y-z, 2x+y+4z).

En los ejercicios 7 al 12, encuentre los valores característicos i (sin usar el concepto de polinomio característico) y los correspondientes vectores característicos vi de las matrices A dadas, y también encuentren una matriz invertible P y una matriz diagonal D tal que D = P-1AP.

7 .¿ A=[1 21 3 ] 8 . A=[3 2

1 4 ] 9. A= [ 6 3 −3−2 −1 216 8 −7 ] ¿

10. A=[−3 10 −60 7 −60 0 1 ] 11. A=[−3 5 −20

2 0 82 1 7 ] 12. A=[−2 0 −1

0 2 03 0 2 ]

13. Sea v un vector característico de un operador lineal f L(E). Demuestre que f[Rv] Rv, donde Rv = {v / R}.

14. Muestre que si f L(E) y v es un vector no nulo de E, entonces si f[Rv] Rv, entonces v es un vector característico de f.

En los ejercicios 15 al 20, encuentre los valores característicos i usando el concepto de polinomio característico y los correspondientes vectores característicos vi de las matrices dadas.

15. . 16. . 17.

18. . 19. . 20. .

21. Demuestre que una matriz A de tamaño n X n es invertible si, y sólo si, el número 0 no es un valor característico para A.

22. Sea A una matriz invertible de tamaño n X n con valores característicos 1, 2, ···,m. ¿Que son los valores característicos de la matriz A-1 ?

23. Sea A una matriz invertible de tamaño n X n. Describa los vectores característicos de A-1 en términos de los vectores característicos de la matriz A.

24. Si es un valor característico de una matriz A, demuestre que n es un valor característico de la matriz An.

25. Sea valor característico de una matriz A Mn. Demuestre que el subespacio característico S, descrito en el Teorema 9.2, es precisamente el núcleo de la transformación lineal perteneciente a L(Rn) que tiene a (A – I) como representación matricial en la base canónica.

26. Determine la matriz que define un operador lineal f cuyos vectores característicos son u = (0,1,1), v = (1,-1,0) y w = (1,0-1). Además, se sabe que la primera columna es (1,2,3).

27. Determine si la matriz es semejante con la matriz .

8 Espacios Vectoriales con Producto Interno

8.1

En los ejercicios 1 al 12 determine cuales de los productos indicados satisface las condiciones del producto interno. Si lo es, determine si esta definido positivo o no lo esta.

1. En R2, sea (x1, x2) · (y1, y2) = x1 y1 - x2 y2.

2. En R2, sea (x1, x2) · (y1, y2) = x1 x2 + y1 y2.

3. En R2, sea (x1, x2) · (y1, y2) = x12 y1 + x2 y2.4. En R2, sea (x1, x2) · (y1, y2) = x1 y2.5. En R3, sea (x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = x1 y1.6. En R3, sea (x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = x1 + y1.

7. En C(R), sea f · g = ∫0

1f ( x )g ( x )dx .

8. En C(R), sea f·g = f(0)g(0).9. En C([a, b]), sea f·g = (fg)(b) - (fg)(a).

10. En C(R), sea f·g = f(0)∫0

1g ( x)dx

. 11. En Mn , sea A·B = ∑i,j=1

n

aij b ij.

12. La traza tr(A) de una matriz A = (aij) de n X n es ∑i=1

n

aii. En Mn sea A·B = tr(AB).

13. En C([0,1]) sea · el producto interno definido por f·g = ∫0

1f ( x )g ( x )dx

.a) Encuentre (x + 1) · x b) Encuentre || x ||.c) Encuentre || x2 - x ||. d) Encuentre || sen x ||.14. Muestre que en C([0,] sen x y cos x son funciones ortogonales para el producto interno

f·g = ∫0

πf ( x )g ( x )dx

.

15. Sea · definido en C([0,1] el producto interno f·g = ∫0

1f ( x )g ( x )dx

. Encuentre un conjunto de dos vectores independientes formado por funciones, cada una ortogonal con la función constante 1.

16. Encuentre una base para el subespacio {(2, -1)} de R2.17. Encuentre una base para el subespacio {(1,-1, 0)} de R3.18. Encuentre una base para el subespacio {(1, 1, 0), (-1, 0, 1)} de R3.19. Demuestre que si · es un producto interno en E, entonces 0·v = v·0 = 0 para todo v E.22. Sea R[x] un espacio vectorial de polinomios de una variable real con el

producto interno p(x)·q(x) =∫0

1p( x)q ( x )dx

. Sea p(x) = 1+ 3x y q(x) = x. Para que valores de son p(x) y q(x) ortogonales.

21. Sea R3 el espacio vectorial Euclidiano con el producto interno usual y sean v = (1, 1, -2) y w = (a, -1, b). Para que valores de a y b son v y w ortogonales.

22. Demuestre que · definido en C([a,b]) por f·g = ∫a

bf ( x )g ( x )dx

para todo f, g perteneciente a C([a,b]), es necesariamente un producto interno en C([a,b]).

23. Dado un espacio vectorial E con producto interno definido. Demuestre que si X es el subespacio de E ortogonal a X, entonces (X) X .

1. De un ejemplo de un producto interno definido en un espacio vectorial E para el cual exista un subespacio vectorial S tal que (S) S.

2. Sea a un vector de Rn. Demuestre que la función f : Rn R definida por f(x) = a·x, x Rn es una transformación lineal.

3. Sean E y E’ dos espacios vectoriales, f : E E’ una transformación lineal y ·’ un producto interno definido en E’. Demuestre que el producto · definido en E por u ·f v = f(u) ·’ f(v) es un producto interno en E.

En los ejercicios del 27 al 35, encuentre el vector proyección y la proyección escalar del primer vector sobre el segundo vector.

27. (1, 3, 4) sobre e2 en R3. 28. e2 sobre (1, 3, 4) en R3.29. (2, -1) sobre (-2, 3) en R2 . 30. (3, 1, -2) sobre (4, 2, 7) en R3. 31. (-1, 1, 3, 1) sobre (3, -2, 1, 5) en R4. 32. e3 sobre (4, 2, 7) en R3.33. Sean u, v dos vectores en Rn con v 0 y sea w el vector proyección de u sobre v.

Muestre que u - w es ortogonal a v. 34. En R2, si (x1, x2) · (y1, y2) = x1y1 + 3x2y2 es un producto interno. (a) Encuentre || (2, -3)|| (b) d(a,b) si a = (1,-1) y b = (2,4). (c) Proyección de (1,-1) sobre (2,4).

8.2

En los ejercicios 1 al 8 determine si la función dada es una Norma en el Espacio Vectorial indicado.

1. La función || || definida por ||(x, y)|| = x2 + y2 , en R2.2. La función || || definida por ||(x, y)|| = x2 - y2 , en R2.

3. La función || || definida por ||(x, y)|| = , en R2.

4. La función || || definida por ||(x, y, z)|| = √2x2+¿2 y2+2 z2 ¿, en R3.5. La función || || definida por ||(x, y)|| = |x| + |y|, en R2.6. La función || || definida por ||(x, y)|| = max {|x| + |y|}, en R2.7. La función || || definida por || f || =|f(0)|, en C([0,1]).8. La función || || definida por || f || = max {| f(x) |2 / x [0,1]} en C([0,1]).9. Demuestre que si || || es una norma en un espacio vectorial E, entonces || u - v || ||

u || - ||v|| para todo u, v E.10. Sea || || una norma en E y sea un número real positivo.a) Demuestre que || || definida por || v || = || v || v E es también una norma en

E.

b) Demuestre que si || || en E esta dada por un producto interno · , entonces || || en E esta dada por un producto interno ·.

c) Compare el producto interno · de E definido en (b) con el producto interno · de E.

En los ejercicios 11 al 14, sea B = una base ordenada

para R3 .

11. Verifique que B es una base ortonormal ordenada para R3.12. Encuentre las coordenadas del vector (1, 2, -4) en la base B.13. Encuentre las coordenadas del vector (5, -3, 2) en la base B.14. Calcule (1, 2, -4) · (5, -3, 2) y [(1, 2, -4)]B · [(5, -3, 2)]B. ¿Porque ambos

productos internos son iguales ?15. Halle una base ortonormal para el subespacio L((0, 1, 0), (1, 1, 1)) de R3.16. Halle una base ortonormal para el subespacio L(1, e2x) de C[0, 1] si el producto

interno esta definido por f⋅g=∫

0

1

f ( x )g ( x ).

17. Encuentre una base ortonormal para el subespacio L(sen x, cos x) de C[0,

] y con el producto interno definido por f⋅g=∫

0

πf ( x )g ( x )

.18. Halle una base ortonormal para P2(x) con el producto interno definido por

f⋅g=∫0

1

f ( x )g ( x ).

19. Encuentre una base ortonormal para P2(x) con el producto interno definido por

f⋅g=∫−1

1

f ( x )g ( x).

20. Encuentre una base ortonormal para R4 la cual contenga una base ortonormal del subespacio L((1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0)).

21. Encuentre una base para el complemento ortogonal de L(1, -1, 3) en R3.

8.3

En los ejercicios 1 al 4 resolver por el método de los mínimos cuadrados los sistemas de ecuaciones dados.

1.{x1 +x2 +x3 +x4 ¿2x1 +x2 +x3 +x4 ¿3x1 +x2 +x3 +x4 ¿4

2. { x1 +x2 ¿2

x1 −x2 ¿02 x1 +x2 ¿2

3. 4. {−x1 −2 x2 ¿12 x1 +4 x2 ¿0x1 +2 x2 ¿0

3 x1 +6 x2 ¿0

5. Dados los puntos (40, 482), (45, 467), (50, 452), (55, 433) y (60, 421) ajustar por el método de los mínimos cuadrados una recta a estos puntos. Calcular la desviación cuadrática.

6. Hallar el polinomio de grado igual o menor que dos que mejor aproxima la función y = Ln x

en el intervalo (0; 1) utilizando el producto interno definido por f·g = ∫0

1

f ( x )g( x )dx.

7. Una tienda por departamentos obtiene los siguientes datos relacionados con el número de vendedores y las ventas anuales:

Número de vendedores 5 6 7 8 9 10 11Ventas anuales (Millardos de Bolívares) 5,7 6,6 7,0 7,7 8,5 8,7 9,5

Hallar el ajuste lineal de cuadrados mínimos de estos datos y usarlo para proyectar las ventas si hubiera 30 vendedores.

8. Si P es una matriz de proyección para su espacio columna, demostrar que la matriz I – P también verifica las propiedades de idempotencia y de simetría.

9. En los últimos 8 semestres un Profesor de Álgebra ha obtenido los siguientes porcentajes de reprobados: 15%, 20%, 25%, 25%, 35%, 35%, 30%, y 30%. Determine la forma lineal de mínimos cuadrados que mejor se aproxima a estas calificaciones y calcule cuanto ha de ser el rendimiento dentro de dos semestres y el error en que se incurre si se proyecta a futuro el rendimiento.

8.4

1. Sean E un espacio Euclidiano de dimensión 2, {v1, v2} una base ortonormal y , dos escalares tales que 2 + 2 = 1. Verificar que la transformación definida por f(v1) = v1 + v2 y f(v2) = v1 - v2 es ortogonal.

2. Mostrar que la transformación anterior es una rotación del plano de ángulo arctg(/).3. Verificar que f definida por f(v1) = v1, f(v2) = - v2, es una transformación ortogonal. Esta

transformación ortogonal es una reflexión cuyo eje es el subespacio generado por el vector v1.

4. Supongamos que f es una transformación ortogonal y que existe un vector v tal que f(v) = v. Demostrar que = 1.

En los ejercicios 5 al 13 encuentre una matriz ortogonal Q tal que D = QtAQ sea una Diagonalización de la matriz simétrica dada.

5 .[2 11 2 ] 6 . [3 4

4 −3 ] 7 .[ 1 −1−1 1 ]

8 .[ 1 −1 −1−1 1 −1−1 −1 1 ] 9. [2 1 0

1 2 10 1 2 ] 10 . [3 2 2

2 2 02 0 4 ]

11.[ 1 −1 0−1 2 −10 −1 1 ] 12. [ 1 −1 0 0

−1 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ] 13 .[0 1 1 0

1 −2 2 11 2 −2 10 1 1 0 ]

En los ejercicios 13 al 17, determinar si la transformación lineal dada es ortogonal.

14. f : R2 R2 definida por f(x, y) = (y, x).15. f : R3 R3 definida por f(x, y, z) = (x, 0, z).16. f : R2 R2 definida por f(x, y) = (x, 2y).17. f : R2 R2 definida por f(x, y) = (-x, y).18. Para la matriz ortogonal Q hallada en el Ejercicio 5, verificar que la transformación lineal

f(x)=Q (x) preserva el producto interno.19. Repetir el ejercicio anterior para la matriz Q hallada en el Ejercicio 9.