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Estructura y Tecnología de Computadores – 1º ITIG/ITIS

Tema 3: Análisis y Diseño de Circuitos Combinacionales 1

3.- ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALE S

OBJETIVOS DEL TEMA:

� Definición de elemento lógico, circuito lógico, circuito combinacional y circuito secuencial

� Explicar la suma y multiplicación booleanas

� Construir una tabla de verdad para un circuito lógico

� Aplicar la ley conmutativa, asociativa y distributiva del Álgebra de Boole

� Aplicar las nueve reglas básicas (o postulados) del Álgebra de Boole

� Enunciar y aplicar los Teoremas de De Morgan

� Describir el funcionamiento del inversor y de las puertas AND, OR y NOT

� Describir el funcionamiento de las puertas NAND y NOR

� Describir el funcionamiento de las puertas OR-exclusiva y NOR-exclusiva

� Elaborar los diagramas de tiempos que muestran las relaciones de tiempo de las entradas y las salidas de las diferentes puertas lógicas

� Obtener la forma canónica de una función a partir de su tabla de verdad

� Convertir una tabla de verdad de tres o cuatro variables en un mapa de Karnaugh

� Aplicar la propiedad de adyacencia de celdas para agruparlas adecuadamente

� Obtener la expresión de la función que desarrolla un circuito ya diseñado



INTRODUCCIÓN

En este tema nos ocuparemos de una serie de contenidos que se podrían englobar en una unidad temática denominada “Conceptos previos. Lógica Combinacional”. Vamos a abordar una serie de conceptos introductorios, que servirán de base para el estudio y desarrollo de circuitos combinacionales (y secuenciales más adelante) de distinta complejidad.

Un elemento lógico es la abstracción de un componente físico cuyas señales de entrada y salida son binarias, es decir, las variables que las modelizan únicamente pueden tomar valores ‘0’ ó ‘1’.

Los circuitos lógicos son los sistemas formados mediante la interconexión de elementos lógicos.

Un circuito combinacional es un circuito lógico cuyas variables de salida están completamente determinadas en cualquier instante por los valores aplicados a sus variables de entrada. En la lógica combinacional el nivel de salida depende sólo y exclusivamente de la combinación de los niveles de entrada.

Un circuito secuencial, por contraposición, es un sistema que tiene memoria. En consecuencia, la salida dependerá no sólo de la entrada presente sino también de la historia pasada (lo que ha ocurrido con anterioridad).



3.1.- ÁLGEBRA DE BOOLE

En su forma más simple, la lógica es la parte del razonamiento humano que nos dice que una determinada proposición es verdadera si se cumplen ciertas condiciones. Muchas situaciones y procesos que encontramos en nuestra vida cotidiana pueden expresarse como funciones lógicas.

Ejemplo: Si decimos que la luz está encendida si la bombilla no está fundida y el interruptor está dado, estamos razonando lo siguiente:

La proposición “la luz está encendida” será cierta

1) si la condición “la bombilla no está fundida” se cumple , y

2) si la condición “el interruptor está dado” también se cumple.

La proposición anterior es una proposición lógica.

Hacia 1850 el matemático y lógico irlandés George Boole desarrolló un sistema matemático para formular proposiciones lógicas con símbolos, de manera que los problemas puedan ser escritos y resueltos de una forma similar al álgebra ordinaria. Hoy en día a esta rama del álgebra se le conoce como Álgebra de Boole. Su álgebra consiste en un método para resolver problemas de lógica que recurre solamente a los valores binarios ‘1’ y ‘0’ y a tres operadores: AND (y), OR (o) y NOT (no).

El trabajo de Boole llegó a ser un paso fundamental en la revolución de los computadores, cuando Claude E. Shannon, en 1938, demostró:

� cómo las operaciones booleanas elementales se podían representar mediante circuitos conmutadores eléctricos,

� cómo la combinación de éstos podía representar operaciones aritméticas y lógicas complejas

� cómo el álgebra de Boole se podía utilizar para simplificar circuitos de conmutación

El enlace entre lógica y electrónica estaba establecido.

Las variables del Álgebra de Boole, llamadas variables lógicas, a diferencia de las variables empleadas en el álgebra convencional sólo pueden tomar los valores ‘0’ ó ‘1’. Estos valores no son numéricos ni tienen nada que ver con el sistema binario ni con ninguna forma de representación. Se asocian con los valores ‘Sí’ o ‘No’, ‘Verdadero’ o ‘Falso’. Es decir, con el hecho de que una determinada afirmación sea cierta o no, o de que se presente o no una determinada situación.

Ejemplos: Afirmaciones como que una bombilla pueda estar ‘encendida’ o ‘apagada’, un interruptor ‘abierto’ o cerrado’, una alarma sonora ‘en silencio’ o ‘activada’, etc.



3.1.1.- VARIABLES Y FUNCIONES LÓGICAS

Cualquier álgebra tiene un conjunto de elementos y un conjunto de operadores que actúan sobre los elementos. El Álgebra de Boole llama a los elementos variables lógicas.

Una función lógica, o función booleana, es una expresión que indica bajo qué condiciones se tiene el valor ‘Cierto’ o ‘Falso’. Y se puede representar como una expresión algebraica en la que intervengan las variables lógicas relacionadas entre sí mediante los operadores lógicos:

� Negación, representada por el signo ¯ encima de la variable lógica. La negación de una variable es cierta si la variable es falsa y viceversa.

� Suma lógica, representada por el signo +. La suma de dos variables es cierta cuando alguna de las variables, o ambas, lo es.

� Producto lógico, representada por el signo ·. El producto de dos variables es cierto cuando las dos variables son ciertas

Ejemplo: Supongamos que en un edificio con cuatro entradas se desea colocar un sistema de seguridad que encienda un indicador luminoso cuando se abra una cualquiera de las puertas de entrada.

La expresión ‘que se active una alarma cuando se abra cualquiera de las cuatro puertas’ sería lo que diríamos en lenguaje cotidiano. Indica qué condiciones deben darse para que se active la alarma e indica también que, cuando no se cumplan esas condiciones, la alarma no se active.

Cada una de las cuatro puertas puede estar ‘abierta’ o ‘cerrada’ y se puede asignar a una variable lógica por puerta (las llamaremos, por ejemplo, A, B, C y D). Cada variable tomará el valor ‘0’ cuando la puerta a la que representa esté cerrada y el valor ‘1’ cuando esté abierta. La alarma puede asignarse a una función lógica (F, por ejemplo) que tomará el valor ‘1’ cuando deba activarse y el valor ‘0’ cuando deba permanecer en silencio.

Adelantando acontecimientos podemos ya intuir el significado de la expresión

F = A + B + C + D



3.1.2.- LA TABLA DE VERDAD

Un elemento fundamental para el manejo de funciones lógicas es la Tabla de Verdad. La Tabla de Verdad es una forma de representar una función e indica qué valores toma para cada una de las posibles combinaciones de valores de las variables lógicas que intervienen.

Ejemplo 1: Veamos la Tabla de Verdad correspondiente a la función mencionada en el apartado 3.1.1 relativa al dispositivo de seguridad de un edificio, donde las variables que representan el estado de apertura/cierre de cada puerta son A, B, C y D.

La Tabla de Verdad (Tabla 1) muestra los 16 estados posibles de las cuatro puertas.

A B C D F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1

Tabla 1

� La primera línea representa la situación en la que las cuatro puertas (cuatro variables lógicas a las que hemos llamado A, B, C y D) se encuentran cerradas. La alarma, función lógica a la que denominaremos F, deberá permanecer inactiva. A esta situación, “alarma inactiva”, le asignamos el valor ‘0’.

� Las 15 líneas restantes muestran todos los casos en los que al menos una de las puertas está abierta; es decir, cuando al menos una de las variables toma el valor ‘1’. En cualquiera de estos casos la alarma debe activarse, por lo que asignaremos el valor ‘1’ a la función F.

Obsérvese que el asignar a la posición ‘puerta abierta’ el valor ‘1’ y a la posición ‘puerta cerrada’ el valor ‘0’ es totalmente arbitrario. Igualmente es arbitrario dar el valor ‘0’ a ‘alarma inactiva’ y el valor ‘1’ a la situación ‘alarma activa’. Naturalmente, lo que es necesario es mantener la consistencia una vez elegidos los valores ‘0’ y ‘1’ para variables y funciones.



Ejemplo 2: Se trata de la función lógica F, que será cierta cuando lo sean algunas variables de entrada. Es decir, la función F depende de las variables A, B y C, y tomará el valor ‘1’ en los casos siguientes:

1) cuando ‘A’, ‘B’ y ‘C’ valgan ‘0’, o bien

2) cuando ‘A’ y ‘B’ valgan ‘0’ y además ‘C’ valga ‘1’, o bien

3) cuando ‘A’ valga ‘1’ y además ‘B’ y ‘C’ valgan ‘0’, o bien

4) cuando ‘A’ ‘B’ y ‘C’ valgan todas ‘1’

mientras que la función F tomará el valor ‘0’ para cualquier otra combinación de valores de las variables. La Tabla 2 muestra esta descripción representando la salida F para cada posible combinación de entradas en términos de 0’s y 1’s. Una tabla tal como ésta se llama Tabla de Verdad:

A B C F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

Tabla 2



3.1.3.- FUNCIONES LÓGICAS FUNDAMENTALES

Las principales funciones lógicas empleadas en Álgebra de Boole son las siguientes:

� OR: Suma Lógica. Genera un valor cierto de salida cuando cualquiera de sus entradas son ciertas.

� AND: Producto Lógico. Genera un valor cierto de salida si, y sólo si, todas sus entradas son ciertas

� NOT: Negación. Cuando la entrada es cierta la salida es falsa, y viceversa.

� EQU: Igualdad. Asigna a una función un valor, una variable o una combinación de variables.

� XOR: OR Exclusivo. Con dos entradas, la salida es cierta sólo cuando las dos entradas están a niveles lógicos opuestos.

� NOR: Negación de la función OR

� NAND: Negación de la función AND

� XNOR: Negación de la función XOR

Las cinco primeras son aquéllas que podríamos denominar básicas, mientras que las tres últimas son combinación de dos de las anteriores. (Como veremos más adelante, la función XOR puede considerarse derivada de las funciones OR, AND y NOT. No obstante la consideraremos una función básica).

Todas ellas se aplican a variables, excepto la función de Igualdad, que se emplea para asignar un valor, una variable, o una combinación de variables y funciones fundamentales, a una función.

En Electrónica Digital todas las funciones se realizan físicamente mediante el empleo de Puertas Lógicas.



3.1.4.- LEYES Y REGLAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

Al igual que en otras áreas de las matemáticas, existen en el álgebra de Boole una serie de leyes y reglas bien determinadas que tienen que seguirse para aplicarlo correctamente. Las más importantes son las que se presentan en este apartado.

Antes de describirlas veamos con detalle en qué consisten la suma booleana (o suma lógica) y el producto booleano (o producto lógico):

� Suma booleana

La suma booleana es equivalente a la función lógica OR. En el álgebra de Boole un término suma se obtiene mediante una operación OR, sin que exista ninguna operación AND en la expresión. Algunos ejemplos de términos suma son A+B, A+B, A+B+C y A+B+C+D.

� Un término suma es igual a 1 cuando uno o más de los literales del término es 1.

� Un término suma es igual a 0 sólo si cada uno de los literales son igual a 0.

� Producto booleano

El producto o multiplicación booleano es equivalente a la función lógica AND. En el álgebra de Boole un término producto se obtiene mediante una operación AND, sin que exista ninguna operación OR en la expresión. Algunos ejemplos de términos producto son AB, AB, ABC Y ABCD.

� Un término producto es igual a 1 sólo si cada uno de los literales del término es 1.

� Un término producto es igual a 0 cuando uno o más de los literales son igual a 0.

3.1.4.1.- Postulados

El Álgebra de Boole se basa en una serie de postulados que se enuncian a continuación:

a + 1 = 1 a · 1 = a

a + 0 = a a · 0 = 0

a + a = a a · a = a

a + a = 1 a · a = 0

En la mitad izquierda se indican los postulados referentes a la suma booleana, mientras que en el lado derecho se mencionan los correspondientes al producto booleano.



El último postulado establece que la negación de una variable dos veces consecutivas devuelve a esta variable su valor original.

3.1.4.2.- Propiedades

Tres son las propiedades que pueden aplicarse en Álgebra de Boole, que coinciden con las del álgebra ordinaria:

� Conmutativa: a + b = b + a // a · b = b · a

� Asociativa: a + b + c = a + ( b + c) // a · b · c = a · ( b · c )

� Distributiva: a · ( b + c ) = a · b + a · c

Cada una de las propiedades se ilustra con 2 ó 3 variables, pero el número de variables no está limitado a esta cantidad.

No vamos a demostrar estas propiedades, por escapar del ámbito de nuestra asignatura, aunque las vamos a utilizar profusamente en adelante en el manejo de expresiones algebraicas.

3.1.4.3.- Teoremas de De Morgan

También son muy importantes en el Álgebra de Boole los dos teoremas de De Morgan, aunque tampoco los demostraremos. Sus enunciados son los siguientes:

� La negación de una suma lógica es igual al producto lógico de las variables negadas.

� La negación de un producto lógico es igual a la suma lógica de las variables negadas.

El conocimiento y correcta aplicación de estos dos teoremas es muy importante, como iremos viendo conforme avancemos en conocimientos en análisis y diseño de circuitos digitales.



3.2.- CIRCUITOS DIGITALES

La realización, por medio de componentes electrónicos digitales, de Funciones Lógicas definidas por su Tabla de Verdad o por su expresión algebraica, da lugar a los Circuitos Digitales, que serán objeto de nuestra atención a partir de este punto.

3.2.1.- PUERTAS LÓGICAS

Hasta ahora hemos visto formas de representación de funciones lógicas. Consideraremos ahora el problema de la realización práctica de las funciones lógicas fundamentales por medio de dispositivos electrónicos (implementación). Estos dispositivos electrónicos se conocen con el nombre de puertas lógicas, y son la base constructiva de la electrónica digital.

Como cualquier circuito electrónico, una puerta está formada físicamente por componentes electrónicos, fundamentalmente transistores, aunque también se requieren otros elementos como resistencias, diodos condensadores, etc, y las conexiones adecuadas entre ellos. Sin embargo, nosotros únicamente nos preocuparemos de la puerta en sí, no de los elementos que la integran.

Sí debemos saber que las puertas lógicas reciben en sus entradas niveles de tensión, y reaccionan proporcionando en su salida otro nivel de tensión, que es función de los de entrada. Tanto las entradas como las salidas operan con tensiones comprendidas en dos rangos bien diferenciados: son los niveles lógicos que vimos en el Tema 1. Utilizaremos a partir de ahora la lógica positiva, es decir, se asociará el ‘1’ lógico a la tensión a nivel alto, y el ‘0’ lógico a la tensión a nivel bajo.

Una puerta lógica no es sino un circuito electrónico capaz de realizar alguna de las funciones lógicas fundamentales que mencionamos en el apartado 3.1.3.

Nota informática: Las puertas lógicas son los bloques de construcción de las computadoras. La mayor parte de las funciones de una computadora, con la excepción de ciertos tipos de memoria, se implementan mediante puertas lógicas utilizadas a muy gran escala. Por ejemplo, un microprocesador, que es la parte principal de una computadora, consta de miles de puertas lógicas.



3.2.1.1.- Puerta AND

La puerta AND es una de las puertas básicas con la que se construyen todas las funciones lógicas. Una puerta AND puede tener dos o más entradas y realiza la operación ‘producto lógico’. La expresión de esta función para dos entradas es S = a · b .

Esta función produce como resultado ‘1’ cuando todas las entradas tienen simultáneamente el valor ‘1’, mientras que el resultado es ‘0’ en cualquier otro caso. El propósito básico de una puerta AND es determinar cuándo ciertas condiciones de entrada son simultáneamente verdaderas y producir una salida a nivel ALTO para indicarlo.

Para dos variables de entrada, el resultado será ‘1’ cuando la variable ‘a’ vale ‘1’ y, además, la variable ‘b’ tiene también el valor ‘1’. De ahí que el producto lógico se conozca también como ‘ función Y’ (AND, en inglés).

Figura 1

En la Figura 1 se muestra:

� La Tabla de Verdad de esta función, en la que se enumeran todas las combinaciones de entrada con las correspondientes salidas para una puerta AND de dos entradas. La tabla de verdad puede ampliarse para cualquier número de entradas.

� El símbolo reconocido internacionalmente para representarla: un semicírculo.

� Un circuito con elementos muy sencillos (sólo resistencias e interruptores, además de una fuente de alimentación) que podría actuar como una puerta AND. En el punto S únicamente habrá una tensión de 5V (valor ‘1’) cuando ambos interruptores estén cerrados, (valor ‘1’ para a y para b). Este circuito se incluye únicamente como referencia; en la práctica una puerta AND en microelectrónica se fabrica a base, principalmente, de transistores.

� El cronograma de la función; es decir, los valores que va tomando la función S según los que tomen las variables a y b. Se puede ver cómo sólo cuando ambas variables coinciden con el valor ‘1’, la salida S toma el valor ‘1’.



Ejemplo 1: Un ejemplo de un circuito a base de una puerta AND podría ser un sistema de control en un avión para detectar en el aterrizaje que se ha extraído tanto el tren delantero como el trasero.

Un sensor en cada uno de ellos envía una señal (valor ‘1’) a una de las entradas de una puerta AND cuando el tren se ha extraído y no la envía (valor ‘0’) mientras está recogido. La salida de la puerta AND encenderá un piloto verde sólo cuando ambos trenes hayan sido extraídos, mientras que este piloto permanecerá apagado cuando uno cualquiera de los trenes de aterrizaje permanezca recogido.

Ejemplo 2: Una aplicación común de la puerta AND es habilitar (enable) o permitir el paso de una señal (tren de impulsos) de un punto a otro en determinados instantes, e inhibir o impedir el paso en otros momentos.

Las entradas de la puerta AND serán la señal A con la señal a habilitar/deshabilitar, y la señal B de habilitación. Cuando la entrada de habilitación esté a nivel ALTO, la señal A pasa a través de la puerta, y cuando la entrada de habilitación está a nivel BAJO, se impide el paso a través de la puerta.

3.2.1.2.- Puerta OR

De forma análoga se presenta la función OR entre dos variables. Una puerta OR puede tener dos o más entradas y realiza la operación ‘suma lógica’. La expresión de esta función, para dos entradas, es S = a + b .

Una puerta OR genera un nivel ALTO a la salida cuando cualquiera de sus entradas está a nivel ALTO. La salida se pone a nivel BAJO sólo cuando todas las entradas están a nivel BAJO. Por tanto, el propósito de una puerta OR es determinar cuándo una o más de sus entradas están a nivel ALTO y generar una salida a nivel ALTO que indique esta condición.

Para dos variables de entrada, la función toma el valor ‘1’ cuando cualquiera de las dos variables, o ambas, tiene el valor ‘1’, mientras que en caso contrario toma el valor ‘0’. Es decir, la salida vale ‘1’ cuando ‘a’ ó ‘b’ ó ambas valen ‘1’; de ahí que se conozca también como función O (OR en inglés).

En la Figura 2 se presenta la Tabla de Verdad, el símbolo reconocido internacionalmente y un circuito elemental para implementarla.



Figura 2

La Tabla de verdad puede extenderse a cualquier número de entradas e, independientemente del número de entradas, la salida es un nivel ALTO cuando una o más entradas están a nivel ALTO.

En la parte derecha de la misma Figura 2 se representa el cronograma de la función; es decir, los valores que va tomando la función S según los que tomen las variables a y b. Se puede ver cómo cuando cualquiera de las variables ( o las dos simultáneamente) tiene el valor ‘1’, la salida S toma el valor ‘1’.

Ejemplo: Un circuito que podría realizarse con una puerta OR podría ser un sistema de alarma para una sala de un museo con dos puertas; durante el día la alarma se mantiene desconectada y se activa al cerrarse el museo.

Un sensor en cada una de las puertas detecta si está abierta (valor ‘1’) o cerrada (valor ‘0’). La salida de cada sensor se conecta a una entrada de una puerta OR, cuya salida se conecta a una sirena; así, cuando ambas puertas están cerradas, la salida es ‘0’ y la sirena está en silencio, mientras que cuando cualquiera de las puertas (o las dos a la vez) está abierta, la salida de la puerta OR es ‘1’ y sonará la sirena.



3.2.1.3.- Puerta EQU

La puerta EQU es la más sencilla de todas. Podríamos decir que ‘no hace nada’, simplemente asigna una variable.

Desde un punto de vista lógico, se puede prescindir de ella y sustituirla por una simple conexión entre ‘a’ y ‘S’. Esto es lo que haremos a lo largo del curso. La razón de su existencia es puramente física: se emplea para regenerar o amplificar señales.

a S

Figura 3

En la Figura 3 se representa la Tabla de Verdad de esta función, así como su símbolo y un circuito elemental que cumple la función.

S− Función igualdad

− Símbolo =

− S = a

0

1

0

1

a S

Tabla de Verdad

0 V S

5 V

Ejemplo :

a



3.2.1.4.- Puerta NOT

La puerta NOT, o INVERSOR, realiza la función NOT y se aplica a una única variable. El resultado, como se puede observar en la Tabla de Verdad que se incluye en la Figura 4, produce siempre el valor contrario al de la variable.

Esta función se conoce como ‘negación’ o ‘complementación’ y se representa con una pequeña línea sobre la variable que se desea complementar ( S = a ) . En algunas ocasiones se puede ver en lugar de la línea, una comilla al lado de la variable ( S = a’ ).

Figura 4

En la Figura 4 se representa la Tabla de Verdad de esta función, así como su símbolo y un circuito elemental que cumple la función.

S a − Negación lógica

− Símbolo ¯

− S = a

1

0

0

1

a S

Tabla de Verdad

0 V

5 V a

S

Ejemplo:



3.2.1.5.- Puerta NAND

La puerta NAND es un elemento lógico popular, debido a que se puede utilizar como una puerta universal. Es decir, las puertas NAND se pueden combinar para implementar las operaciones de las puertas AND, OR y del inversor. Más adelante veremos la propiedad universal de la puerta NAND.

La puerta NAND realiza una función derivada de la AND. La salida es la negación de la puerta AND. Sus características se recogen en la Figura 5. Su expresión es S = a · b .

Esta expresión podría realizarse por la unión de dos de las puertas ya estudiadas, AND y NOT, aunque dada su importancia se trata como una puerta en sí misma.

Figura 5

Por otra parte, en virtud del teorema de De Morgan enunciado en el apartado 3.1.4, puede expresarse también, como S = a + b.

Al lado derecho de la figura se representa el cronograma de esta función.

3.2.1.6.- Puerta NOR

Análogamente, la función NOR, cuyas características se recogen en la Figura 6, produce la negación de la función OR. Su expresión es S = a + b.

Esta expresión podría realizarse por la unión de dos de las puertas ya estudiadas, OR y NOT, aunque dada su importancia se trata como una puerta en sí misma.

Por otra parte, en virtud del teorema de De Morgan, enunciado en el apartado 3.1.4, puede expresarse también como S = a · b.



Tabla de verdad:

a b S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Figura 6

3.2.1.7.- Puerta XOR

La función XOR, conocida frecuentemente como ‘OR exclusivo’, es similar a la función OR, excepto cuando las dos variables tienen el valor ‘1’. En este caso, una función OR daría como resultado un ‘1’, mientras que la XOR produce un ‘0’.

Es decir, la salida de una puerta XOR se pone a nivel ALTO sólo cuando las dos entradas están a niveles lógicos opuestos. Sus características se indican en la Figura 7.

Tabla de verdad: a b S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Figura 7

Aunque la función XOR se forma mediante la combinación de otras puertas (es una función derivada de las funciones OR, AND y NOT según se indica en la expresión), se trata como un elemento lógico básico, con su propio símbolo, debido a la importancia que tiene en muchas aplicaciones.

Expresión que no vamos a demostrar.

S a

b

− Negación de la OR

− S = a + b = a · b

S a

b

− OR exclusivo

− Símbolo

− S = a b = a · b + b · a



3.2.1.8.- Puerta XNOR

De forma análoga a las funciones OR y AND, también la función XOR tiene su correspondiente función complementada: la XNOR. Cuando dos niveles lógicos de entrada son opuestos, la salida de la puerta XNOR es un nivel BAJO.

Esta función, cuyas características se presentan en la Figura 8, también podría realizarse con una puerta XOR seguida de otra NOT, o bien con las funciones AND y OR que se indican en la siguiente expresión :

Esta puerta lógica podría utilizarse, por ejemplo, para comparar dos variables, de manera que diese como resultado un ‘1’ cuando ambas variables fuesen iguales y un ‘0’ cuando fuesen diferentes. (Más adelante, entre los circuitos fundamentales, veremos otro tipo de comparador, algo más complejo, que no sólo indica si dos variables son iguales sino, también, cuál de ellas es mayor) .

Figura 8

En el lado derecho de la figura se representa el cronograma de esta función, es decir, los valores que va tomando la función S a lo largo del tiempo según los que tomen las variables ‘a’ y ‘b’. Se ve que la salida únicamente toma el valor ‘1’ cuando las dos variables de entrada tienen el mismo valor, sea éste ‘0’ o ‘1’.



3.2.2.- REALIZACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS

El objetivo fundamental de la Electrónica Digital es el diseño de circuitos electrónicos capaces de realizar funciones lógicas. Para ello se deben seguir una serie de pasos en los cuales el Álgebra de Boole es una herramienta imprescindible, puesto que proporciona una manera concisa de expresar el funcionamiento de un circuito lógico, formado por una combinación de puertas lógicas, de tal forma que la salida queda determinada por la combinación de los valores de entrada.

Para conseguir el objetivo de diseñar un circuito electrónico capaz de realizar una determinada función lógica, se deben seguir los siguientes pasos:

� Analizar el problema y desarrollar la Tabla de Verdad. Ya hemos dicho anteriormente que la Tabla de Verdad es el elemento que representa el comportamiento de una función según los distintos valores que pueda tener cada una de las variables de entrada. De ella obtendremos una primera expresión algebraica de la función (Forma Canónica).

� Obtener una expresión lógica simplificada aplicando, o bien propiedades y teoremas del Álgrebra de Boole, o bien algún procedimiento sistemático para tal fin (como por ejemplo los diagramas de Karnaugh).

� Representar el circuito utilizando las puertas lógicas necesarias.

Supongamos que ya disponemos de la Tabla de Verdad que representa el comportamiento de la función a implementar. Tomemos el ejemplo de la Tabla 2, mostrada en el apartado 3.1.2., y que reproducimos a continuación:

A B C F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

Tabla 2

La función F toma el valor 1 en cuatro ocasiones:

� cuando a y b y c valen ‘0’, es decir, cuando a y b y c valen ‘1’, lo que se puede expresar

como a · b · c, o bien,

� cuando a y b valen ‘0’ y c vale ‘1’, lo que se puede expresar como a · b · c, o bien,

� cuando a vale ‘1’ y b vale ‘0’ y c vale ‘0’, lo que se puede expresar como a · b · c, o bien,

� cuando a y b y c valen ‘1’ simultáneamente, lo que se puede expresar como a · b · c.



La función F se puede expresar por tanto como la suma lógica (OR) de cada una de las expresiones anteriores, ya que para cada una de esas expresiones la función toma el valor ‘1’. Así pues, tendremos

Este desarrollo en forma de suma de productos se conoce como desarrollo por ‘minterms’ (existe otra forma desarrollada como producto de sumas que se conoce como desarrollo por ‘maxterms’ y que no vamos a analizar).

En esta expresión se puede observar que:

� hay tantos sumandos como combinaciones de las variables a, b y c con las cuales la función toma el valor ‘1’; en nuestro caso, cuatro sumandos

� cada uno de los sumandos está formado siempre por el producto de las tres variables; pudiendo estar cada una de ellas complementada o no.

Podría demostrarse que sólo hay una expresión que cumpla las condiciones anteriores y a ella se le conoce como Forma Canónica. Esta Forma Canónica puede materializarse por medio de puertas lógicas y se tendría así el circuito digital para realizar la función deseada. Sin embargo, frecuentemente, es posible encontrar expresiones más simples que también realizan la misma función. Son por tanto equivalentes y dan lugar a circuitos más sencillos y, en consecuencia, más económicos.

Estas expresiones más sencillas, si las hay, pueden obtenerse aplicando las propiedades y Teoremas del Álgebra de Boole antes enunciados, pero depende de la habilidad de quien esté trabajando. Existen, sin embargo, procedimientos más sistemáticos para tal fin. El más sencillo es el Método de Karnaugh, muy simple para funciones con un máximo de cuatro variables (es factible con cinco variables y realmente complicado con más). Una alternativa es el Método de Quine McClusky, bastante engorroso para su utilización manual pero muy adecuado para su programación y, por tanto, utilizado habitualmente en el diseño de circuitos.

Una vez obtenida la expresión lógica simplificada, sólo nos queda representar el circuito empleando las puertas lógicas necesarias.

En la Figura 9 se resumen los pasos necesarios anteriormente mencionados.



Figura 9

3.2.2.1.- Método de Karnaugh

Veamos con las siguientes figuras el procedimiento a seguir para simplificar una función lógica expresada bajo su Forma Canónica. Nos limitaremos a explicar la mecánica del método de Karnaugh omitiendo la demostración matemática de su validez por no corresponder a esta asignatura.

Un mapa de Karnaugh proporciona un método sistemático de simplificación de expresiones booleanas y, si se aplica adecuadamente, genera las expresiones más simples posibles, conocidas como expresiones mínimas. Es básicamente una “receta” para la simplificación.

Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los valores posibles de las variables de entrada y la salida resultante para cada valor. En lugar de organizar en filas y columnas, como una tabla de verdad, el mapa de Karnaugh es una matriz de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las variables de entrada.

En la tabla siguiente (tabla 3) se indica el número de celdas y la forma que toma el mapa según el número de variables de entrada (en nuestro caso, un máximo de cuatro variables):

Nº variables entrada

Nº celdas mapa Nº filas Nº columnas

2 4 2 2 3 8 4 2 4 16 4 4

Tabla 3



Para aclararlo mejor se recoge en la Figura 10 el formato de los mapas de Karnaugh para 2, 3 o 4 variables:

Figura 10

En la parte superior de cada columna del mapa se colocarán las combinaciones que pueden tomar las dos primeras variables de la función (o la primera en el caso de sólo dos variables) exactamente en el orden que se indica ‘00’ ‘01’ ‘11’ ‘10’ (‘0’ y ‘1’ en el caso de sólo dos variables). Análogamente se procede con las últimas variables, pero colocando estos mismos valores a la izquierda de cada una de las filas. Debe tenerse en cuenta que es imprescindible seguir el orden indicado, aunque no se corresponda con el orden consecutivo de los valores numéricos.

Seguidamente cada celda se hace corresponder con una de las combinaciones posibles de la Tabla de Verdad. Se lleva por tanto a cada celda el valor correspondiente de la función para esa combinación: ‘0’ ó ‘1’. En la Figura 11 se siguen estos pasos para la Tabla de Verdad correspondiente a la función que ya hemos descrito anteriormente y estamos empleando como ejemplo (tabla 2).

Figura 11

Nota: Por comodidad y para evitar posibles errores en los pasos posteriores, se recomienda llevar al mapa de Karnaugh únicamente los valores ‘1’ de la función, dejando en blanco las celdas correspondientes a valores ‘0’.



Seguidamente llega el paso fundamental en el Método de Karnaugh. Se deben agrupar todas las celdas adyacentes que tienen el valor ‘1’ siguiendo el siguiente procedimiento (Figura 12):

Figura 12

� Se forman grupos rectangulares con 2, 4, 8 ó 16 celdas adyacentes, comenzando siempre por los grupos mayores (así agrupamos las dos celdas de la izquierda de la figura.)

� Se consideran también celdas adyacentes las perimetrales opuestas (así forman grupo las dos celdas marcadas con trazos discontinuos en la figura, a izquierda y derecha)

� Los grupos pueden superponerse parcialmente (en la figura se superponen el grupo sombreado y el marcado con trazo discontinuo)

� por último se toman las celdas aisladas no cubiertas anteriormente (la celda aislada sombreada).

Hecha la agrupación anterior, ya estamos en condiciones de escribir la expresión simplificada de la función cuya Tabla de Verdad estamos analizando.

Para ello debemos tener en cuenta que esta función

� quedará expresada en forma de suma de productos

� tendrá tantos términos como grupos hayamos formado en nuestro mapa de Karnaugh, incluyendo aquellas celdas que hayan quedado aisladas

Cada sumando estará formado por el producto de aquellas variables cuyo valor no varíe en las distintas celdas que forman el grupo:

� Para el primer sumando (en la figura el grupo de dos celdas sombreado), vemos que los valores de ‘a’ y de ‘b’ son ‘0’ en ambas celdas, mientras que ‘c’ toma el valor ‘0’ en la celda superior y el valor ‘1’ en la celda inferior; por tanto, para formar el sumando correspondiente a ese grupo se tomarán sólo las variables ‘a’ y ‘b’. Estas variables intervendrán en su forma negada cuando el valor correspondiente a ellas sea ‘0’. (En nuestro caso, tanto ‘a’ como ‘b’ toman el valor ‘0’ en estas celdas, por lo que aparecerán negadas en el producto correspondiente: a · b).



� Para el segundo sumando (el correspondiente al grupo marcado con trazo discontinuo), intervendrán las variables ‘b’ y ‘c’ (la variable ‘a’ toma el valor ‘0’ en la celda de la izquierda y el valor ‘1’ en la de la derecha, por lo que no entrará en este sumando). Como ambas variables toman el valor ‘0’ en estas celdas, las dos aparecerán negadas en el sumando correspondiente: b · c.

� Sólo queda el tercer sumando, formado por la celda aislada. En ella, intervienen las tres variables y las tres toman el valor ‘1’, por lo que aparecen sin negar: a · b · c.

Así se llegaría a la expresión simplificada de nuestra función F, expresión que quedaría como:

Se podría haber seguido un método similar utilizando las celdas con ‘0’ en lugar de ‘1’, obteniéndose una expresión en forma de ‘maxterms’ o producto de sumas, que no vamos a ver.

Una vez conocida la expresión que define una función, su realización física por medio de puertas lógicas es inmediata. Basta con ir realizando cada sumando con la puerta o puertas lógicas correspondientes y, posteriormente, la suma de todos ellos se realizará por medio de puertas OR, tal y como se indica en la Figura 13 para tres funciones especialmente sencillas.

Figura 13

Por último, en la Figura 14 se incluye el circuito correspondiente a la función que hemos venido analizando anteriormente.

Figura 14



Podemos observar cómo se incluyen en ella puertas lógicas con más de dos entradas: no son sino una extensión de las puertas lógicas básicas. Una puerta AND con varias entradas toma el valor ‘1’ cuando todas sus entradas tienen el valor ‘1’, mientras que una puerta OR da el valor ‘1’ cuando al menos una de sus entradas tiene el valor ‘1’.

A la hora de realizar funciones lógicas debemos tener en cuenta que:

� la simplificación de una función no tiene por qué ser única; a menudo es posible encontrar dos o más expresiones equivalentes para una función con el mismo nivel de simplificación. La única expresión que define una función de forma unívoca es la forma canónica.

� si en el proceso de agrupación de celdas del mapa de Karnaugh, dejamos sin formar algún grupo de mayor tamaño, la expresión que obtengamos será correcta desde un punto de vista funcional; es decir, la expresión que obtengamos y el circuito correspondiente, cumplirán con las especificaciones de la función, aunque no será el más sencillo posible. Todo ello, supuesto que realmente cubrimos la totalidad de celdas a ‘1’ y que todos los grupos tienen forma rectangular.

� de acuerdo con la propiedad conmutativa, el orden en que se expresen los distintos sumandos es totalmente indiferente.

Por otra parte, debemos mencionar dos puntos importantes:

� puede demostrarse matemáticamente que cualquier función puede expresarse empleando únicamente puertas NAND o únicamente puertas NOR, aunque la expresión resultante no sea la más simplificada.

� la industria electrónica generalmente, por razones de costes, suele emplear exclusivamente puertas NAND o puertas NOR para la realización de funciones lógicas. Nosotros, por sencillez y teniendo en cuenta que los alumnos no deberán diseñar circuitos en su vida profesional, continuaremos realizando las funciones lógicas tal y como hemos explicado en figuras anteriores.



3.2.2.2.- Realización de Funciones Lógicas - Ejempl o

En la Figura 15 y las siguientes veremos el ejemplo de un circuito lógico algo más complicado. A diferencia del ejemplo anterior, ahora emplearemos funciones de cuatro variables y, además, realizaremos dos funciones simultáneamente con el mismo circuito.

En este ejemplo, al igual que en el apartado 3.2.2.1., únicamente tratamos de explicar la mecánica a seguir para la realización de un circuito, por lo que partimos de una Tabla de Verdad dada, que incluimos en la parte izquierda de la figura. Vemos cómo la Tabla de Verdad incluye dos funciones diferentes S1 y S2. Para cada combinación de las variables de entrada se indican los valores que deben tomar tanto S1 como S2. Por ejemplo, cuando las variables de entrada ‘a’, ‘b’, ‘c’ y ‘d’ toman, respectivamente, los valores ‘1010’ la función S1 debe dar el valor ‘0’ y la función S2 el valor ‘1’. (En una sola Tabla de Verdad se puede incluir un número ilimitado de funciones).

Cada función da lugar a un mapa de Karnaugh diferente, al que se deberán llevar los valores que tome esa función para cada una de las posibles combinaciones de las variables. En nuestro caso, por tanto, tendremos dos mapas de Karnaugh como se indica en la Figura 15.

En el primer mapa se pueden formar dos grupos de cuatro celdas cada uno, teniendo en cuenta que celdas perimetrales opuestas se deben considerar adyacentes. Empleando el método de Karnaugh se se obtiene la función S1 que se indica en la figura, expresión que coincide con la de la función XOR.

Figura 15



En el segundo mapa se pueden formar tres grupos de cuatro celdas. Uno de los grupos está formado por las celdas situadas en las cuatro esquinas del mapa. Aplicando la mecánica expuesta, se obtiene la expresión de la función S2.

Dadas las expresiones obtenidas anteriormente para S1 y S2, la realización del circuito correspondiente es inmediata y se representa en la Figura 16.

Figura 16

Puede observarse en la figura cómo se incluyen en primer lugar las puertas NOT para la negación de las cuatro variables. Esta es una técnica empleada frecuentemente ya que normalmente en un circuito de una cierta complejidad se tienen que emplear tanto las variables negadas como sin negar, por lo que en ocasiones se consideran también como variables de entrada los valores negados. Incluso aunque alguna de las variables no se vaya a necesitar en su forma negada para el circuito en particular (esto ocurre en nuestro caso para la variable ‘a’).

Si este circuito estuviese disponible comercialmente, nos entregarían simplemente una ‘caja’ (el rectángulo que aparece en la Figura 17) con cuatro entradas (las variables) y dos salidas (las dos funciones), sin que nos preocupase qué puertas lógicas ni qué conexiones realizan realmente estas funciones. Evidentemente también debería disponer de las entradas adecuadas para la alimentación eléctrica del circuito.

Figura 17



3.2.3.- ANÁLISIS DE CIRCUITOS

Aunque la función fundamental al tratar de circuitos lógicos consiste en el Diseño de Circuitos, lo que, tal y como hemos enunciado anteriormente, consiste en desarrollar circuitos que cumplan las funciones lógicas deseadas, también debe contemplarse el Análisis de Circuitos.

El Análisis consiste en averiguar qué función es la que desarrolla un circuito ya existente, es decir, obtener la ecuación a la que responde. Esto puede hacerse de dos formas diferentes, dependiendo de que contemos o no con el esquema físico del circuito.

� Si no disponemos del esquema del circuito, es decir, si simplemente sabemos cuáles son sus entradas y salidas: Lo que deberemos hacer es deducir cuál es la Tabla de Verdad correspondiente al circuito. Para ello iremos aplicando a las entradas todas las combinaciones posibles de valores y analizando cuál es el valor de las salidas para cada combinación. Una vez tengamos la Tabla de Verdad podemos deducir la expresión de su función lógica (funciones lógicas si existiera más de una salida). Eventualmente, podemos tratar de simplificar el circuito original.

� Si disponemos de un esquema del circuito: Procederemos de acuerdo con lo expuesto en las figuras siguientes.

En la Figura 18 se nos presenta el esquema de un circuito lógico en particular. Sobre él, podemos ir escribiendo a la salida de cada puerta la expresión lógica que realiza esa puerta.

Figura 18



Debemos comenzar siempre por aquellas puertas que estén conectadas a las variables, directamente o negadas (en nuestro caso las dos puertas AND del circuito).

A continuación seguiremos con las puertas que tengan como entrada las salidas de las anteriores y, si las hay, variables iniciales. Aquí también escribiremos las expresiones correspondientes. Por ejemplo, las entradas a la puerta OR de la parte superior de la figura son la variable ‘a’ y la salida de una de las puertas AND anteriores, ‘ b · c ‘

Por este procedimiento llegaremos a las expresiones que representan a las funciones realizadas por el circuito. En nuestro caso las funciones S1 y S2:

Ahora bien, estas expresiones no tienen por qué ser las únicas posibles, por lo que tal vez haya otras equivalentes más sencillas. ¿Cómo obtener estas expresiones más sencillas?. Simplemente partiendo de la Tabla de Verdad. Para desarrollarla tendremos que averiguar los valores que toman las funciones S1 y S2, cuyas expresiones obtuvimos en la Figura 18, para cada una de las posibles combinaciones de las variables ‘a’, ‘b’, ‘c’ y ‘d’, desde ‘0000’ hasta ‘1111’. Con ello obtenemos los mapas de Karnaugh correspondientes y las funciones simplificadas (Figura 19).

Figura 19



Una vez obtenidas las nuevas expresiones de las funciones S1 y S2, la representación del nuevo circuito es inmediata (Figura 20) y algo más sencilla que la del circuito original.

Conviene no olvidar que aún cuando las expresiones pueden ser más sencillas, sin embargo las funciones S1 y S2 son las mismas.

Figura 20



BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA:

� E. Alcalde y otros. Arquitectura de Ordenadores.- Mc Graw Hill. 1991 (Cap. 2)

� J.M. Angulo y otros. Sistemas Digitales y Tecnología de Computadores.- Paraninfo 2002

� M. Morris Mano y C.R. Kime. Fundamentos de Diseño Lógico y Computadoras.- Prentice Hall. 1998 (Cap. 1)

� W. Stallings. Organización y Arquitectura de Computadores.- Prentice Hall. 2000 (Cap. 8)

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