CINEMTICAMovimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado(MRUA)

Movimiento Rectilneo Uniformemente AceleradoEn ciencias naturales es fundamental la:Observacin de un fenmeno natural, el Registro de datos, laElaboracin de grficas y, a partir de ellas, la realizacin de unAnlisis para determinar la ley o Modelo matemtico que rige el comportamiento del fenmeno.El tema se abordar a partir de un video (el cual se puede detener), a partir de l, se adquirirn datos de posicin y su respectivo tiempo.Con ellos se har una tabulacin de posicin contra tiempo (x vs. t)Se har una grfica de x vs. tSe realizar una anlisis grfico con los conocimientos hasta ahora adquiridos del tema de movimiento rectilneo uniforme (mru).Ver video (mrua posicin)

Video de m. r. u. a.Llenar la siguiente tabla de x vs. t

Para ello, deje avanzar el video y detngalo. Ya detenido, controle su avance con la esferita que corre en la parte inferior

t(s)02468101214x(m)

Tabulacin de m. r. u. a.Realice la grfica de x vs. tRecuerde o revise como se realiza una grficaEn que eje van las variables dependientes e independientesElegir una escala adecuadaUsar papel milimtricoEtc.

Grfica de posicin vs. tiempoToda vez que realice su propia grfica, siga el hipervnculo (posicin vs. tiempo) donde se volver a correr el video pero con su respectiva grfica.

En la siguiente diapositiva se muestra la grfica, (comprela con la que Usted obtuvo)

Anlisis de datosNote que los intervalos de tiempo consecutivos son iguales: Dt = t1 t0 = t2 t1 = t3 t2 = .. t7 t6 = 2 sy los respectivos desplazamientos:Dx = x1 x0 = 4.6 m 0 m = 4.6 mDx = x2 x1 = 18.4 m - 4.6 m = 13.8 mDx = x3 x2 = 41.4 m 18.4 m m = 23 m

Anlisis de datosDx = x4 x3 = 73.6 m 41.4 m = 32.2 mDx = x5 x4 = 115.0 m 73.6 m = 41.4 mDx = x6 x5 = 165.6 m 115.0 m = 50.6 mDx = x7 x6 = 225.4 m 165.6 m = 59.8 m

se puede observar que los cambios de posicin enintervalos de tiempo de 2 s no son iguales, es decir el movimiento es rectilneo no uniforme (recorre distancias diferentes en iguales intervalos de tiempo).

Anlisis de datos.En consecuencia las velocidades medias evaluadasen intervalos de tiempo distintos no sern constantes:

Entre t1 y t0

Entre t2 y t0

Entre t3 y t0

.

Anlisis de datosEntre t4 y t0

Entre t5 y t0

Entre t6 y t0

Velocidad instantneaLas velocidades medias representan la pendiente de la recta secante a la curva en los intervalos de tiempo considerados y sus respectivas posiciones.La informacin que proporciona la velocidad media solo es til cuando el movimiento es rectilneo uniforme.Como no es nuestro caso, se requiere generar un nuevo concepto: Velocidad instantneaEl proceso para generarla es el siguiente.En su grfica elija un punto donde desee conocer la velocidad instantnea (por ejemplo a los 6 s)Calcule la pendiente de la recta secante que une a ese punto que seleccion y el ltimo punto registrado en su grfica (llmele vm6)

Velocidad instantneaTome un instante de tiempo anterior al ltimo registrado, trace la recta secante entre ese punto y el seleccionado y calcule la pendiente de esa nueva recta secante (llmele vm5) .Siga con el mismo procedimiento de tomar intervalos de tiempo cada vez menores y de calcular las pendientes de las rectas secantes.Compare como son los intervalos de tiempo y las pendientes de las rectas secantes.Siga con el mismo desarrollo de tomar intervalos de tiempo cada vez mas pequeos hasta que estos tiendan a cero (sin hacerse cero) y saque sus propias conclusiones.

El procedimiento anterior se muestra en las siguientes grficas

Velocidad instantneaComparando podemos observar que satisfacen

a mediada que el intervalo de tiempo tiende a cero.

Pero los valores de la velocidad media no disminuyen arbitrariamente, se van acercado a un valor limite.

Este valor limite es la velocidad instantnea evaluada en el punto que tomamos como referencia.

Velocidad instantneaGrficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente2060100140180llllll02468101214t (s)********punto elegido como referenciaRecta secantevm6vm = pendientes delas rectas secantesx (m)

Velocidad instantneaGrficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente2060100140180llllll02468101214t (s)********punto elegido como referenciaRectas secantesvm6vm5vm = pendientes delas rectas secantesx (m)

Velocidad instantneaGrficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente2060100140180llllll02468101214t (s)********punto elegido como referenciaRectas secantesvm6vm5vm = pendientes delas rectas secantesx (m)vm4

Velocidad instantneaGrficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente2060100140180llllll02468101214t (s)********punto elegido como referenciaRectas secantesvm6vm5vm = pendientes delas rectas secantesx (m)vm4vm3

Velocidad instantneaGrficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente2060100140180llllll02468101214t (s)********punto elegido como referenciaRectas secantesvm6vm5vm = pendientes delas rectas secantesx (m)vm4vm3vm2

Interpretacin grfica de la velocidad instantnea .

x (m) 20 60 100 140 180 l l l l l l 0 2 4 6 8 10 12 14 t (s) * * * * * * * Punto elegido como referencia Recta tangente *

Velocidad instantneaEn resumen se tiene un proceso para calcular las velocidades instantneas a partir de una grfica de x vs. t Su valor, es el de la tangente (mejor conocida como pendiente) a la curva en el instante de tiempo en que deseamos conocerla. En el contexto matemtico, se define la velocidad instantnea como:

Velocidad instantneaComo ejemplo adicional calcule las velocidades instantneas en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6, 8,10, 12 y 14 s (para ello, trace rectas tangentes a cada uno de esos instantes de tiempo)

Sugerencia: Para calcular la pendiente de la recta tangente requiere de dos puntos (t, x). El primer punto es el punto elegido (donde la recta toca a la curva y lo puede leer en la tabulacin de x vs. t).El segundo punto, haga que la recta tangente corte el eje horizontal, ah, los datos para posicin son (x = 0 m) y el tiempo lalo en ese mismo lugar.Aplique la frmula para clculo de pendientes

Clculo grfico de la velocidad instantnea .

x (m) 20 60 100 140 180 l l l l l l 0 2 4 6 8 10 12 14 t (s) * * * * * * * Punto donde queremos la velocidad instantnea Recta tangente *Primer puntoSegundo punto

Velocidad instantneaEn funcin de sus clculos, complete la siguiente tabla de v vs. t

Ir a hipervnculo rectas tangentes , subir pantalla dejando la proyeccin en el pizarrn.Los alumnos pasan al pizarrn trazan las tangentes auxilindose de una regla, toman datos y realizar los clculos para llenar la tabla.

Nota al profesor: en la siguiente diapositiva se presenta la tabla

Velocidad instantneaUsted debi aproximarse a los siguientes valores

Como podr observar la velocidad cambia de instante a instante. La pregunta que surge es Cmo cambia la velocidad?

Aceleracin MediaPara describir como cambia la velocidad v (t) se define el concepto de aceleracin media:

El cual nos indica cuan rpido es el cambio de velocidad

en el intervalo de tiempo

Sus unidades son

Aceleracin MediaDe la misma forma que con el desplazamiento y la velocidad, se tiene que la aceleracin tambin puede ser positiva o negativa, depende de:

si vf > v0 a > 0 acelerando

si vf < v0 a < 0 frenando

si vf < v0 a < 0 acelerando

si vf > v0 a > 0 frenando

Aceleracin MediaEn algunas situaciones el valor de la aceleracin media puede ser diferente sobre intervalos de tiempo distintos. Por ese motivo, es tildefinir la aceleracin instantnea:

la aceleracin tambin puede escribirse como

Es decir, en un movimiento en lnea recta, la aceleracin es igual a la segunda derivada de la posicin de la partcula con respecto al tiempo.

Aceleracin MediaRegresemos al ejemplo anterior:

Analizar como cambia la velocidad calculando v (los clculos se presentan en la siguiente diapositiva)

Aceleracin MediaConsideremos los cambios de velocidad Dv = vf v0

Entre t2 y t1

Entre t3 y t2

Entre t4 y t3

Aceleracin MediaEntre t5 y t4

Entre t6 y t5

Entre t7 y t6

Aceleracin MediaY las correspondientes aceleraciones medias

Entre t2 y t1

Entre t3 y t2

Entre t4 y t3

Aceleracin MediaSi evaluamos la aceleracin media en los dems intervalos de tiempo la encontraremos igual a

Este tipo de movimiento se conoce como: Rectilneo Uniformemente Acelerado (MRUA) o con Aceleracin Constante

Grficas del MRUA

Grfica de v vs t

Grfica de v vs t

En una grfica de velocidad contra tiempo el valor de la pendiente de la recta es la aceleracin.

Ecuaciones de M R U ALa ecuacin de la posicin x = x(t) que describe el movimiento con aceleracin constante, puede ser obtenida al considerar que para este movimiento en particular la velocidad media (promedio) en cualquier intervalo de tiempo coincide con la media aritmtica de la velocidad inicial, v0 y de la velocidad final v, es decir :

Velocidad media velocidad media aritmtica

igualando

Despejando

Ecuaciones de M R U ATeniendo en cuenta que v = v0 + at , se puede sustituir en

Desarrollando queda:

Lo que nos indica la grafica x vs t es una seccin de parbola(En cursos de matemticas sera de la forma y = a + bx + cx2)

Ecuaciones de M R U A

Las ecuaciones

Describen completamente al movimiento uniformemente acelerado o movimiento con aceleracin constante.

Ecuaciones de M R U ASin embargo es posible obtener a partir de stas un par de ecuaciones mas:Una de ellas relaciona el cambio de la posicin con el cambio de velocidad y la aceleracin. En ausencia del tiempo:

En la otra nos relaciona el cambio de la posicin con velocidad y el tiempo, pero en ausencia de la aceleracin:

Resumen de Ecuaciones de M R U A

Simulacin de problemas de libro de textoResnick sec. 2-6 problema 35Resnick sec. 2-6 problema 36Resnick sec. 2-6 problema 38Resnick sec. 2-6 problema 45Resnick sec. 2-6 problema 47

Tarea de M R U ATarea de Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado

Fecha de entrega:Asesoras:Talleres extracurriculares:Ligas de inters: