2.2. METODO DE BISECCION.Este mtodo es el ms sencillo de todos. Se basa en un sentido natural del hombre que podra traducirse as: como el punto c esta entre a y b se podra decir que el punto c esta en el medio de a y b, es evidente que el punto mas sencillo de ubicar dentro del intervalo a-b es exactamente en el punto medio.

Si bien la puesta en marcha de este mtodo es muy fcil de llevar a cabo, el nmero de clculos que se debe realizar para alcanzar la precisin deseada suele ser muy elevado. El nmero de iteraciones puede ser muy a priori evaluada a que en cada iteracin el valor aproximado de la solucin cambia solamente en la cantidad (n), en donde n representa el nmero de iteraciones que se han realizado hasta este paso de clculo:

Esta expresin se deduce fcilmente que al constatar que en cada lazo, e intervalo [a,b], se reduce a su mitad y luego a su mitad, etc.EJEMPLOS:1.-Utilice el mtodo de biseccin para obtener una raz real del polinomio.

Con los valores iniciales siguientes

Si =, el numero de iteraciones n ser

O bien n7.Primera Iteracin.

Como(distinto signo de, se remplaza el valor decon el de, con lo cual queda un nuevo intervalo (1, 1.5). Entonces

Como(distinto signo de, se remplaza el valor decon el de, con lo cual queda un nuevo intervalo (1, 1.5). EntoncesSegunda Iteracin.

Y Como ahora(igual signo que, se remplaza el valor decon el valor de la nueva; de esta manera queda como intervalo (1.25, 1.5). La siguiente tabla muestra los clculos, llevados a cabo trece veces.i

01.000002.00000

11.000002.000001.500002.87500

21.000001.500001.250000.250002.42188

31.250001.500001.375000.125002.42188

41.250001.375001.312500.062500.13086

51.312501.375001.343750.031250.52481

61.343751.375001.359380.015630.19846

71.359381.375001.369140.007810.03417

81.367191.375001.371090.003910.04825

91.367191.371091.369140.001950.00702

101.367191.369141.368160.000980.01358

111.368261.369141.368650.000490.00329

121.368651.369141.368900.000250.00186

131.368651.368901.368770.000130.00071

El criterio || se satisface en diez iteraciones; es decir, tres mas de las previstas en la ecuacin, debido principalmente a los errores de redondeo involucrados en el mtodo.Se puede notar que sise hubiese aplicado sobre ||, se habran requerido 13 iteraciones en lugar de 10. En general se necesitaran mas iteraciones para satisfacer un valor desobre || que cuando se aplica a ||.2.3. MTODO DE APROXIMACIONES SUSESIVAS.Sea F(x)=0 una ecuacin algebraica o trascendente cualquiera yx=auna raz de ella, o sea un valor dextal que la verifique idnticamente, es decir:F(a)=0Sumandoxa ambos miembros y haciendoF(x)=x+F(x)Se obtiene que:X=f(x)Obsrvese que cualquier ecuacin puede escribirse en la forma, siguiendo un proceso idntico al mostrado. Comox=aes una raz, tambin debe serlo y puede escribirse:A=f(a)El mtodo de aproximaciones sucesivas consiste en el sustituir x0, un valor aproximado de la raza, en el segundo miembro con lo que se obtiene:X1=f(x1)Donde x2 ser de el nuevo valor aproximado de la raza. Sustituyendo ahora x1 en el segundo miembro se obtendr la siguiente aproximacin a la raz:X2=f(x1)Procediendo reiteradamente de esta manera, la n-esima aproximacin, tambin llamada la n-esima iteracin, es:Xn=f(xn-1)Si a medida quencrece, xn tiende aase dice que el mtodo converge; en caso contrario se dice que diverge. Comparando las expresiones puede afirmarse que, si el mtodo converge, la diferencia entre dos iteraciones sucesivas ser cada vez mas pequea a medida de quenaumenta, lo que proporciona un criterio de terminacin de aplicacin del mtodoEJEMPLOS:1.-Encontrar las dos races cuadradas de 0.5. sea

De donde

ySustituyendoyen (3-16)

Para determinar la raz positiva se empezara con, entonces:

Trabajando con cuatro cifras significativas, el valor de la raiz positiva en la tercera y cuarta iteraciones son iguales, por lo que con esta aproximacin el valor de la raz ser 0.7071. Para encontrar la raz negativa se empezara conX1 =X2 =X3 =X4 =

2.-Resolver la ecuacin X-4*senX= 0.Se tieneF(x) = X-4sen XF(x) = 1-4 cos XEntoncesXn+1 = Xn -Y simplificandoXn+1 = 4En el Primer ejemplo de este apartado se demostr que en valor aproximado a una raz de la ecuacin considerada, es:X0= 2.5, luegoX1 = 4.X1 = 4.X1 = 4.X1 = 4.=2.47X2 = 4.=2.47X=2.473.-Resolver la ecuacin log(X2+2)+ X=5 con tres cifras decimales de aproximacin.F(x)=log(X2+2)+X-5=0F(X) =+1=Xn+1=Xn -Para estimar un valor aproximado de la raiz, se tabulara la funcion F(x) en forma de buscar valores de X que hagan que F(x) adquiera valores con signos contrarios. Los puntos obtenidos aparecen en la siguiente tabla:Tabulacion de y=log(X2 +2)+X-5Xf(x)

0-4.70

1-3.52

2-2.22

3-0.96

40.25

X0=3.75, entoncesX1=3.75 -=3.7867X2=3.7667 -=3.7867X=3.7864.-Sea la ecuacin sen X=0, la cual se sabe tiene una raz en X=0. Se tratara de resolverla a partir del valor de X0=1.165F(x) = sen XF(x) = cos XXn+1=Xn-=Xn-tan XnSi X0=1.165 radianes, que equivale a 66.75, se obtieneX1=1.165 tan 66.75= 1.1665-2.230=-1.165= -66.75X2=-1.165-tan(-66.75)=-1.165+2.330=1.165=66.75=X0Es claro que el valor X0= 1.165 es muy especial y que para cualquier otro valor ms cercano a la raz el mtodo converge sin problemas.2.4.1. MTODO DE NEWTON RAPHSONTal vez, de las formulas para localizar races, la formula de Newton Raphson sea lamas ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto [xi,f(xi)] de la curva. Por lo comn, el puno donde esta tangente cruza al ejexrepresenta una aproximacin mejorada de la raz.El mtodo de Newton Raphson se deduce a partir e esta interpretacin geomtrica (un mtodo alternativo basado en la serie de Taylor:Que se arregla para obtener:La cual se conoce comofrmula de Newton Raphson.EJEMPLOS:1.-Encuentre una raz real de la ecuacin mediante el mtodo de Newton Raphson, x0 = 1.Con =aplicado a ||Se sustituyenyenPara lo cual queda de la siguiente forma

Primera Iteracin.Como, se calculaSegunda Iteracin.Como, se calculaTercera Iteracin.Como, se calculaCuarta Iteracin.

Como, se termina el proceso.Con este proceso se obtiene la siguiente tabla:i|||) |

01.000000.24221

11.411760.411760.02446

21.369340.042430.00031

31.368810.000531.09 x 10-6

41.368810.000001.2714 x 10-6

Se requirieron solo tres iteraciones para satisfacer el criterio de convergencia. Se observa queya no cambia con respecto aen cinco cifras decimales y que en cinco cifras decimales y quees prcticamente cero.2.-En este caso:Utilizando la frmula de Newton:Comenzando con:En este caso, el error aproximado es:Se continua el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidi. Los resultados se resumen en la tabla:

1

1.26894142121.19%

1.3091084033.06%

1.3097993890.052%

De lo cual se concluye que la aproximacin obtenida es:=1.3097993893.-Usar el mtodo de Newton-Raphson para aproximar races cuadradas de nmeros reales positivos.Sea. Al calculartal que; elevando al cuadrado, o bien:Esto sugiere definir la funcin,de donde ,Al sustituir estos datos en la frmula de Newton-RaphsonSimplificada:Para fijar un ejemplo de su uso, supongay apliqu la frmula obtenida, comenzando con. Los resultados se resumen en la tabla:XrEa

5

5.11.96%

5.0990196080.019%

5.0990195140.0000018%

Luego entonces, la cual es correcta en todos sus dgitos.La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen races-simas de nmeros reales positivos.4.-Usar el mtodo de Newton-Raphson para aproximar la raz de, comenzando cony hasta queEn este caso,Al sustituir en la frmula de Newton-RaphsonCon un valor inicial de:El error aproximado es de:Se contina con el proceso hasta lograr el objetivo. En la siguiente tabla se resumen los resultados: XrEa

0

0.5100%

0.52019577283.88%

0.52026899180.01%

De lo cual se concluye que la aproximacin obtenida es:=0.520226895.-Halle una raz entre 0 y 1 de la misma funcin trascendente que antes: f(x)=3x+ sen (x)-ex. seaX0=0.5, f(X0)=0.330704 h1=0.5,X1=1.0, f(X1)=1.123189 h2=0.5X2=0.0, f(X2) =-1 y=1.0.Entoncesa==1.07644b==2.12319,c=0.330704,YRaz=0.5=0.354914Para la siguiente iteracin se tieneX0=0.354914, f(X0)=-0.0138066 h1=0.145086,X1=0.5, f(X1)=0.330704 h2=0.354914X2=0, f(X2) =-1 y=2.44623Entoncesa==-0.808314b==2.49180,c=-0.0138066Raz=0.354914-=0.360465Despus de la tercera iteracin se obtiene 0.3604217 como el valor de la raz, que es idntico al que se observo con el mtodo de newton despus de tres iteraciones.La experiencia muestra que la razn de convergencia del mtodo de Muller es semejante a la del mtodo de newton. *sin embargo, no requiere la evaluacin de derivadas y (una vez que se obtienen los valores iniciales) solo requiere una evaluacin funcional por iteracin.Hay un castigo inicial en el sentido de que es necesario evaluar tres veces la funcin aunque esto frecuentemente se supera al alcanza la precisin requerida.