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c© Rafael R. Boix y Francisco Medina 1

COMUNICACIÓN VÍA ONDAS ELECTROMAG.• Para transmitir señales eléctricas (conversaciones telefónicas, señalesde radio, señales de televisión) desde un punto hasta otro remoto seutilizan frecuentemente ondas electromagnéticas moduladas por dichasseñales. La multiplexación permite transmitir muchas señales dis-tintas mediante una única onda. Existen dos posibilidades:

Sistemas de comunicación en los que las ondas viajan por el es-pacio libre emitidas por una antena y recibidas por otra antena(radioenlaces).

Sistemas de comunicación de ondas guiadas en los que las ondasviajan connadas, siguiendo el eje de un medio de transmisión(líneas de transmisión, guías de ondas y bras ópticas).

Figura 1: Línea de transmisión (cable coaxial), guía de ondas rectangular y bra óptica de salto deíndice.


LÍNEAS DE TRANSMISIÓN• Son sistemas de transmisión compuestos por dos conductores, queestán separados mediante un dieléctrico.

• Permiten la propagación de ondas TEM (transversales electromag-néticas) en las que los campos E yH son perpendiculares a la direcciónde propagación.

• Partiendo de un análisis electromagnético, es posible caracterizarlasdesde un punto de vista estrictamente circuital ya que soportan ondasescalares unidimensionales de tensión e intensidad.

• Frente a los componentes de circuito convencionales (resistores, in-ductores, condensadores, diodos, transistores, etc.) que son compo-nentes de circuito localizados (la tensión y la intensidad son sólofunción del tiempo), las líneas de transmisión son componentes decircuito distribuidos (la tensión y la intensidad son función de laposición y del tiempo) ya que su tamaño es comparable a lalongitud de onda característica del problema (d ≈ c/fcar).Su símbolo de circuito es:

Figura 2: Símbolo de circuito de una línea de transmisión


♣ MODELO DE CIRCUITO DE LAS LÍNEAS DETRANSMISIÓN• A partir de las ecuaciones de Maxwell, es posible demostrar que unelemento innitesimal de longitud ∆z <<< d de una línea de trans-misión se puede modelar mediante el siguiente circuito equivalente:

Figura 3: Circuito equivalente de un elemento de longitud de línea de transmisión.

donde:

? C es la capacidad por unidad de longitud (F/m).

? L es la autoinducción p.u.l. (H/m).

? G es la conductancia p.u.l. (Ω−1/m), que da cuenta de las pérdidasen el dieléctrico debido al amortiguamiento de los momentos dipolaresoscilantes (en un dieléctrico ideal, G = 0).

? R es la resistencia p.u.l. (Ω/m), que da cuenta de las pérdidas porefecto Joule en los conductores (si éstos son ideales, R = 0).


? V (z, t) es la tensión e I(z, t) es la intensidad de corriente. TantoV (z, t) como I(z, t) son función de z, esto es, varían con la posicióna los largo de la línea de transmisión, lo cual introduce una dife-rencia con respecto a lo que ocurre en los circuitos de componenteslocalizados.

• Aplicando las dos leyes de Kirchho al circuito equivalente de lalínea de transmisión, se obtiene:

V (z, t)− V (z + ∆z, t) = R∆z I(z, t) + L∆z∂I(z, t)

∂t(1)

I(z, t)− I(z + ∆z, t) = G∆z V (z, t) + C∆z∂V (z, t)

∂t(2)

Si en las ecuaciones (1) y (2) dividimos por ∆z y tenemos en cuentaque:

V (z + ∆z, t) = V (z, t) +∂V (z, t)

∂z∆z (3)

I(z + ∆z, t) = I(z, t) +∂I(z, t)

∂z∆z (4)

es posible obtener la siguiente pareja de ecuaciones diferenciales paraV (z, t) e I(z, t):

∂V

∂z= −R I − L

∂I

∂t(5)

∂I

∂z= −G V − C

∂V

∂t(6)

que constituyen las ecuaciones de los telegrastas para una líneade transmisión. A partir de (5) y (6), es posible obtener sendas ecua-


ciones de onda escalares para V (z, t) e I(z, t), dadas por:

∂2

∂z2

V

I

− LC

∂2

∂t2

V

I

−(RC + LG)∂

∂t

V

I

−RG

V

I

= 0 (7)

Para cada problema concreto, el conocimiento de V (z, t) e I(z, t)

a lo largo de la línea de transmisión y a lo largo del tiempo requiere re-solver las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que aparecenen (7), sujetas a las condiciones de contorno en los extremosde la línea y a las condiciones iniciales.♣ LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN RÉGIMEN SINU-SOIDAL ESTACIONARIO (DOMINIO DE LA FRE-CUENCIA)• Fasores de tensión e intensidad. Constante de propaga-ción e impedancia característica.Consideremos una línea de transmisión conectada a un generador de

corriente alterna, para la cual V (z, t) e I(z, t) varían sinusoidalmenteen el tiempo con una frecuencia f = ω/2π. En ese caso, V (z, t) eI(z, t) se pueden escribir:

V (z, t) = Re[V (z)ejωt] (8)I(z, t) = Re[I(z)ejωt] (9)

donde V (z) e I(z) son fasores asociados a V (z, t) e I(z, t).

Si introducimos (8) y (9) en (5) y (6), se obtienen las ecuaciones


de los telegrastas en forma fasorial:dV

dz= −(R + jωL)I (10)

dI

dz= −(G + jωC)V (11)

Y a partir de (10) y (11), se obtienen las siguientes ecuaciones paraV (z) e I(z):

d2

dz2

V

I

− γ2

V

I

= 0 (12)

donde γ =√

(R + jωL)(G + jωC) = α + jβ recibe el nombre deconstante de propagación (es una constante compleja, función dela frecuencia). La solución de las ecuaciones diferenciales mostradasen (12) tiene la forma:

V (z) = V +e−γz + V −eγz (13)I(z) = I+e−γz + I−eγz (14)

donde V +, V −, I+ e I− son constantes complejas.

Ahora bien, de acuerdo con (10) y (13), I(z) también se puedeescribir como:

I(z) =1

Z0

(V +e−γz − V −eγz

)(15)

donde Z0 = (R + jωL)/γ =√

(R + jωL)/(G + jωC). Si compara-mos (14) y (15), se llega a que:

Z0 =V +

I+

= −V −I−

(16)

con lo cual, Z0 tiene dimensiones de impedancia y recibe el nombre


de impedancia característica de la línea de transmisión (es unacantidad compleja, y en general, depende de la frecuencia).

• Propagación de ondas en líneas de transmisión conbajas pérdidasPara líneas de transmisión en las que las pérdidas en el dieléctrico son

despreciables (G = 0) y las pérdidas en los conductores son pequeñas(R <<< ωL), se cumple que:

Z0 =

√R + jωL

G + jωC

]

G=0,R<<<ωL

≈√

L

C(17)

Asimismo, se cumple que:

γ =√

(R + jωL)(G + jωC)]

G=0,R<<<ωL

= jω√

LC

(1 +

R

jωL

)1/2]

RωL<<<1

≈ R

2√

L/C+ jω

√LC

≈ R

2Z0+ jω

√LC = α + jβ =⇒

α ≈ R

2Z0

β ≈ ω√

LC

(18)

La parte real de la constante de propagación, α, se conoce comoconstante de atenuación, y la parte imaginaria, β, como cons-tante de fase (o también, como número de ondas). De acuerdo con(18), en líneas con bajas pérdidas, β es proporcional a la frecuencia.

Utilizando las ecuaciones (8), (13) y (18), es posible obtener la e-


cuación para V (z, t) en líneas con bajas pérdidas, dada por:

V (z, t) = |V +| cos(ωt− βz + φ+)e−αz

+ |V −| cos(ωt + βz + φ−)eαz (19)

donde V + = |V +|ejφ+ y V − = |V −|ejφ−. Se observa que en la líneacon bajas pérdidas V (z, t) se puede expresar como la superposición dedos ondas unidimensionales monocromáticas amortiguadas que viajana lo largo del eje z en sentidos opuestos. En cada punto de la línea detransmisión, V (z, t) es una función periódica de t de período tem-poral T = 2π/ω = 1/f . Asimismo, en cada instante de tiempo,V (z, t) es una función cuasi-periódica de z a lo largo de la línea decuasi-período λ = 2π/β, siendo λ lo que se conoce como longitudde onda. Finalmente, se dene la velocidad de fase como la ve-locidad con la que viajan los planos de fase constante de cada una delas dos ondas unidimensionales que se superponen para dar V (z, t).Esta velocidad de fase vale:

vp =ω

β≈ 1√

LC(20)

Para las ondas TEM que soportan las líneas de transmisión, la ve-locidad de fase coincide con la velocidad de grupo y con la velocidadde propagación de la energía (esto no ocurre con las ondas que viajanpor las guías de ondas como veremos más adelante), lo cual es carac-terístico de los sistemas de transmisión en los que la velocidad de faseno depende de la frecuencia (sistemas no dispersivos).


• Ejemplo de línea de transmisión de bajas pérdidas:el cable coaxial

Figura 4: Sección transversal de un cable coaxial y líneas de campo.

? Cálculo de C:

2πρεrε0Eρ∆z = ∆Q =⇒ Eρ =(∆Q)/(∆z)

2πρεrε0=⇒ V =

∫ b

a

Eρdρ

=(∆Q/∆z)

2πεrε0ln

b

a=⇒ C =

(∆Q/∆z)

V=

2πεrε0

ln ba

(21)

? Cálculo de L:

2πρHϕ = I =⇒ Hϕ =I

2πρ=⇒ ∆Φm = ∆z

∫ b

a

µ0I

2πρdρ

=µ0I∆z

2πln

b

a=⇒ L =

(∆Φm/∆z)

I=

µ0

2πln

b

a(22)

? Valor de R:

R =1

σ

[1

πa2+

1

π(c2 − b2)

]débil efecto pelicular: ω << (23)

R =1

2π

(ωµ0

2σ

)1/2(

a + b

ab

)fuerte efecto pelicular: ω >> (24)


? Impedancia característica:

Z0 ≈√

L

C=

√µ0

ε0

ln ba

2π√

εr(25)

siendo√

µ0ε0

= 376,7Ω.

? Constante de atenuación:

α ≈ 1

σ

√ε0εr

µ0

[a2 + c2 − b2

a2(c2 − b2) ln ba

]débil efecto pelicular (26)

α ≈ 1

σ

√ε0εr

µ0

(ωµ0

2σ

)1/2[

a + b

ab ln ba

]fuerte efecto pelicular (27)

? Constante de fase y velocidad de fase:

β ≈ ω√

LC = ω√

εrε0µ0 (28)vp ≈ 1√

εrε0µ0=

c√εr

(29)

siendo c = 2,9979 · 108 m/s. Las ecuaciones (28) y (29) son válidaspara cualquier línea de transmisión entre cuyos conductores haya undieléctrico l. i. y h. (cabe destacar que la velocidad de fase de la líneacoincide con la de una onda plana que se propaga por dicho dieléctricocuando éste ocupa todo el espacio).

• Líneas de transmisión terminadas en una impedanciade carga resistivaConsideremos una línea de transmisión de longitud d, conectada por

un extremo a un generador de corriente alterna, y por el otro extremo,a un resistor de resistencia RL (carga resistiva), tal y como indica


la gura. Asimismo, supongamos en principio que las pérdidas de lalínea son tan pequeñas que pueden despreciarse (G = R = α = 0).

Figura 5: Línea de transmisión alimentada por un generador de corriente alterna.

De acuerdo con (13), (15) y (18), los fasores de tensión e intensidaden la línea de transmisión vendrán dados por:

V (z) = V +e−jβz + V −ejβz (−d < z < 0) (30)I(z) =

1

Z0

(V +e−jβz − V −ejβz

)(−d < z < 0) (31)

De los dos sumandos de V (z) e I(z), uno corresponde a una ondaincidente en la carga (factor e−jβz) y el otro a una onda reejada enla carga (factor ejβz).

Si ahora utilizamos la relación que impone el resistor entre V (z) = 0

e I(z) = 0, se llega a que:

V (z = 0) = RLI(z = 0) =⇒ V + + V − =RL

Z0

(V + − V −

)

=⇒ V − =RL − Z0

RL + Z0V + = ΓLV + (32)

En la ecuación (32), ΓL es lo que se conoce como coeciente dereexión (para la tensión) en el plano de la carga. Para una carga


resistiva, ΓL es un número real (de hecho, ΓL > 0 si RL > Z0 yΓL < 0 si RL < Z0). Además, si RL = Z0, se cumple que ΓL = 0

y V − = 0, con lo cual, no hay onda reejada en la carga. Cuandoesto ocurre (RL = Z0), se dice que la carga está adaptada a lalínea de transmisión. En el caso que la impedancia de la cargatuviera parte imaginaria no nula (por ejemplo, si la carga fuera uncondensador o una autoinducción), el coeciente de reexión estaríatambién denido y pasaría a ser un número complejo.

Se puede denir un coeciente de reexión generalizado, válido paracualquier punto de la línea, como:

Γ(z) =V −ejβz

V +e−jβz= ΓLe2jβz (−d < z < 0) (33)

siendo ΓL = Γ(z = 0).

Haciendo uso de (33) en (30) y (31), V (z) e I(z) se pueden rees-cribir:

V (z) = V +e−jβz (1 + Γ(z)) (−d < z < 0) (34)

I(z) =V +e−jβz

Z0(1− Γ(z)) (−d < z < 0) (35)

A partir de (34) y (35), se puede denir una impedancia en cadapunto de la línea de transmisión mediante la ecuación:

Z(z) =V (z)

I(z)= Z0

(1 + Γ(z))

(1− Γ(z))= Z0

(1 + ΓLe2jβz

)

(1− ΓLe2jβz)

= Z0RL − jZ0 tan(βz)

Z0 − jRL tan(βz)(−d < z < 0) (36)

con lo cual, la impedancia de entrada de la línea en el plano z = −d


resulta ser:

Zin = Z(z = −d) = Z0RL + jZ0 tan(βd)

Z0 + jRL tan(βd)(37)

De acuerdo con las ecuaciones (33) y (36), Γ(z) y Z(z) son fun-ciones periódicas de z de período λ/2. Asimismo, para un valor de d

jado, Γ(z = −d) y Zin = Z(z = −d) son funciones periódicas de lafrecuencia de período vp/2d.

Si sustituimos (33) en (34) y calculamos el módulo de V (z), seobtiene:

|V (z)| = |V +||1 + ΓLe2jβz|= |V +|

[1 + |ΓL|2 + 2|ΓL| cos(2βz + φL)

]1/2 (38)

donde ΓL = |ΓL|ejφL, y para una carga resistiva, φL = 0 si RL >

Z0 y φL = π si RL < Z0. Si la carga está adaptada a la línea(RL = Z0), |V (z)|(= |V +|) no varía con la posición. Sin embargo,si RL 6= Z0, |V (z)| es una función periódica de z de período λ/2.Cuando cos(2βz + φL) = +1, |V (z)| alcanza su valor máximo, dadopor:

|V |max = |V +| (1 + |ΓL|) (39)Y cuando cos(2βz + φL) = −1, |V (z)| alcanza su valor mínimo,

dado por:|V |min = |V +| (1− |ΓL|) (40)

El hecho de que |V (z)| alcance valores máximos y mínimos en posi-ciones concretas que no dependen del tiempo, siendo λ/2 la distanciaentre dos máximos consecutivos o dos mínimos consecutivos, nos indi-ca que la onda de tensión en la línea de transmisión terminada sigue un


patrón de onda estacionaria. Se dene la razón de onda estacionaria(ROE) como:

ROE =|V |max

|V |min

=(1 + |ΓL|)(1− |ΓL|) (41)

Por otro lado, el módulo de I(z) viene dado por:

|I(z)| =|V +|Z0

|1 + ΓLe2jβz|

=|V +|Z0

[1 + |ΓL|2 − 2|ΓL| cos(2βz + φL)

]1/2 (42)

con lo cual, |I(z)| se hace máximo cuando |V (z)| es mínimo y vice-versa.

Figura 6: Representaciones de |V (z)| y Z0|I(z)| frente a z en los casos RL > Z0 y RL < Z0.


De acuerdo con (38), el valor de |V (z)| a la entrada de la línea detransmisión será:

|V (z = −d)| = |V +|[1 + |ΓL|2 + 2|ΓL| cos(2βd− φL)

]1/2

= |V +|[1 + |ΓL|2 + 2|ΓL| cos(

2ωd

vp− φL)

]1/2

(43)

lo cual nos dice que |V (z = −d)| es una función periódica de lafrecuencia de período vp/2d. Esta dependencia de |V (z = −d)| conla frecuencia va a ser estudiada en el laboratorio.

Figura 7: Representación de |V (z = −d)| frente a la frecuencia ω/2π.

Cuando las pérdidas son bajas pero no despreciables (y estamos enlas condiciones en las que (17) y (18) son válidas), las ecuaciones (38)y (43) adoptan las siguientes expresiones:

|V (z)| = |V +|e−αz[1 + |ΓL|2e4αz + 2|ΓL|e2αz cos(2βz + φL)

]1/2 (44)|V (z = −d)| = |V +|eαd

·[1 + |ΓL|2e−4αd + 2|ΓL|e−2αd cos(

2ωd

vp− φL)

]1/2

(45)


En (44) se observa que, debido a las pérdidas, |V (z)| deja de seruna función periódica, y se convierte en una función de tipo sinusoidalmodulada por una exponencial. Lo mismo le ocurre en (45) a |V (z =

−d)| como función de ω (téngase en cuenta que α pasa a ser funciónde ω en condiciones de fuerte efecto pelicular, tal y como muestra laecuación (27)). No obstante, la posición de los máximos y mínimosrelativos de |V (z)| y de |V (z = −d)| como función de ω sigue siendola misma que en el caso sin pérdidas. De hecho, en el laboratorio se vaa medir la distancia entre dos mínimos consecutivos de |V (z = −d)|(dada por vp/2d) en una línea con pérdidas de longitud conocida convistas a obtener experimentalmente el valor de vp.

• Casos particulares de líneas de transmisión terminadas? Carga adaptada (RL = Z0)

Figura 8: Línea de transmisión adaptada a la carga.

N Se cumple que ΓL = 0 y ROE= 1 (véase (41)).

N No hay onda reejada en la carga.

N Si despreciamos las pérdidas, se cumple que |V (z)| e |I(z)| son


independientes de z (véanse (34) y (35)), que Z(z) = Z0 (véase(36)), y que |V (z = −d)| es independiente de ω (véase la ecuación(43)). Esto último nos da una condición de adaptación que puede servericada en el laboratorio (si hay pérdidas, |V (z = −d)| sigue siendoindependiente de ω si estamos a baja frecuencia, tal y como muestranlas ecuaciones (45) y (26)).

N En condiciones de bajas pérdidas, de acuerdo con (18), (19) y (32),se cumple que:

V (z = 0, t) = |V +| cos(ωt + φ+) (46)V (z = −d, t) = |V +|eαd cos(ωt + βd + φ+) (47)

con lo cual, la diferencia de fase entre V (z = 0, t) y V (z = −d, t) vale∆φ = βd = ωd

vp. En el laboratorio se va a medir ∆φ para distintos va-

lores de la frecuencia ω/2π, y se va a determinar el valor experimentalde vp mediante análisis de regresión.

Figura 9: Representaciones de V (z = −d, t) y V (z = 0, t) frente al tiempo.


? Cortocircuito (RL = 0)

Figura 10: Línea de transmisión acabada en cortocircuito.

N Se cumple que ΓL = −1 y ROE→∞.

N En el plano del corto hay un mínimo de tensión y un máximo deintensidad (ya que RL = 0 < Z0).

N Si despreciamos las pérdidas, los mínimos de tensión e intensidad sonnulos (véanse las ecuaciones (33) a (35) y tómese ΓL = −1). Sin em-bargo, si no despreciamos las pérdidas, los mínimos que no estén en elplano del corto dejan de ser nulos, y esta situación puede aprovecharsepara medir la constante de atenuación. Para ello, elegimos una frecuen-cia f = vp/(2d) (⇒ β = π/d y d = λ/2). Para esa frecuencia y parauna línea de bajas pérdidas en cortocircuito (ΓL = −1), de acuerdocon (13), (15), (18) y (32), se debe cumplir que:

V (z) = V+

[e−αze−j πz

d − eαzej πzd

](48)

I(z) =V+

Z0

[e−αze−j πz

d + eαzej πzd

](49)

Y de acuerdo con (36) y (37), la impedancia (que en este caso es


resistencia) a la entrada de la línea valdrá:

Zin = Rin = Z(z = −d) =V (z = −d)

I(z = −d)

= Z0eαd − e−αd

eαd + e−αd= Z0

1− e−2αd

1 + e−2αd(50)

Pero la impedancia de entrada está relacionada con la tensión deentrada y con los parámetros del generador mediante la ecuación:

V (z = −d) =Rin

Rin + RgVg (51)

con lo cual:Rin =

Rg

|Vg/V (z = −d)| − 1(52)

Si igualamos (50) y (52) y despejamos α, llegamos a la siguienteexpresión:

Z01− e−2αd

1 + e−2αd=

Rg

|Vg/V (z = −d)| − 1

=⇒ α =1

2dln

1 +(Rg/Z0)

|Vg/V (z=−d)|−1

1− (Rg/Z0)

|Vg/V (z=−d)|−1

(53)

En la ecuación (53) α aparece escrita exclusivamente en términosde magnitudes que se pueden medir. Por tanto, dicha ecuación pro-porciona un método para determinar experimentalmente el valor de α

en el laboratorio.


En la gráca adjunta se representan los valores de |V (z)| y Z0|I(z)|frente a z para una línea de bajas pérdidas en cortocircuito cuandof = vp/2d.

Figura 11: Representaciones de |V (z)| y Z0|I(z)| frente a z para una línea de bajas pérdidas acabadaen cortocircuito.

? Circuito abierto (RL →∞)

Figura 12: Línea de transmisión acabada en circuito abierto.

N Se cumple que ΓL = +1 y ROE→∞.

N En el plano del abierto hay un máximo de tensión y un mínimo de


intensidad (ya que RL >>> Z0).

N Si despreciamos las pérdidas, los mínimos de tensión e intensidadson nulos, al igual que ocurre en el caso del cortocircuito.

N La línea en abierto permite ilustrar la transición que experimenta lalínea de transmisión desde un componente de circuito localizado a uncomponente de circuito distribuido conforme aumentamos la frecuen-cia. Así, en ausencia de pérdidas, cuando d <<< λ (⇒ βd <<< 1),la impedancia de entrada de una línea en abierto puede aproximarsepor (véanse las ecuaciones (37), (17) y (18)):

Zin]RL→∞, βd<<<1 =Z0

j tan(βd)

]

βd<<<1

≈ Z0

jβd

≈√

L/C

jω√

LCd=

1

jωCd(54)

esto es, cuando d <<< λ, la línea en abierto se comporta comoun condensador convencional de capacidad igual a la total del cableCd. Esto quiere decir que en el laboratorio, el circuito formado por elgenerador de alterna conectado a la línea de transmisión en abierto seva a comportar a baja frecuencia (d <<< λ) como un circuito RC.En cambio, cuando subimos la frecuencia y d se vuelve comparablea λ, la línea en abierto muestra un comportamiento resonante muyalejado del que se esperar para un circuito RC, tal y como se muestraen la gráca que se adjunta.


Figura 13: Diagrama de Bode para |V (z = −d)/Vg| en una línea de transmisión acabada en circuitoabierto.

♣ LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN RÉGIMEN TRAN-SITORIO (DOMINIO DEL TIEMPO)• Ondas arbitrarias de tensión e intensidad en una líneade transmisión sin pérdidasConsideremos una línea de transmisión sin pérdidas (G = R = 0).Para esta línea, las ecuaciones (5), (6) y (7) adoptan las expresiones:

∂V

∂z= −L

∂I

∂t(55)

∂I

∂z= −C

∂V

∂t(56)

∂2

∂z2

V

I

− LC

∂2

∂t2

V

I

= 0 (57)


Las soluciones a las ecuaciones de onda (57) pueden escribirse como:

V (z, t) = V+(t− z

vp) + V−(t +

z

vp) (58)

I(z, t) = I+(t− z

vp) + I−(t +

z

vp) (59)

siendo vp = 1/√

LC (véase la ecuación (20)). En (58) y (59), V+ e I+

representan ondas escalares que viajan en el sentido positivo del eje z ala velocidad vp, y V− e I− son ondas que viajan en el sentido negativodel eje z a la misma velocidad. Introduciendo (58) y (59) en (55), esfácil demostrar que V+ = Z0I+ y V− = −Z0I+, siendo Z0 =

√L/C

la impedancia característica denida en (16) y (17). Esto quiere decirque la expresión (59) de I(z, t) se puede reescribir como:

I(z, t) =1

Z0

[V+(t− z

vp)− V−(t +

z

vp)

](60)

• Algunas situaciones de interés? Excitación de una línea innita

Figura 14: Línea de transmisión innita excitada por una fuente de tensión arbitraria.

En este caso no existen ondas viajando en el sentido negativo deleje z (V− = I− = 0 en (58), (59) y (60)) ya que no hay onda reejada


a partir de la onda excitada por el generador. Aplicando la ecuaciónde circuito del generador y teniendo en cuenta las ecuaciones (58) y(60), se obtiene que:

Vg(t) = RgI(z = −d, t) + V (z = −d, t)

=⇒ Vg(t) =Rg

Z0V+(t +

d

vp) + V+(t +

d

vp)

=⇒ V (z = −d, t) = V+(t +d

vp) =

Z0

Z0 + RgVg(t) (61)

Por tanto:

V (z, t) = V+(t− z

vp)

= V+(t− z + d

vp+

d

vp) =

Z0

Z0 + RgVg(t− z + d

vp) (62)

Figura 15: Representaciones de la tensión frente al tiempo en el generador, Vg(t), y en un plano dela línea innita perpendicular a su eje, V (z, t).


? Línea acabada en una carga resistiva

Figura 16: Línea de transmisión nita, excitada por una fuente de tensión arbitraria y acabada enuna carga resistiva.

De acuerdo con las ecuaciones (58) y (60), en el plano de la cargase va a cumplir que:

V (z = 0, t) = RLI(z = 0, t)

=⇒ V+(t) + V−(t) =RL

Z0[V+(t)− V−(t)]

=⇒ V−(t) =RL − Z0

RL + Z0V+(t) = ΓLV+(t) (63)

Y en consecuencia:

V (z = 0, t) = V+(t)(1 + ΓL) (64)

I(z = 0, t) =V+(t)

Z0(1− ΓL) (65)

Las ecuaciones (63) a (65) nos indican que las ondas que llegan ala carga procedentes del generador se reejan con un coeciente dereexión ΓL (véase la ecuación (32)). Si RL = Z0, ΓL = 0 y no hayonda reejada. Si RL > Z0, se cumple que ΓL > 0, y si RL < Z0, secumple que ΓL < 0.


? Situación estudiada en el laboratorio

Figura 17: Línea de transmisión conectada a una fuente de continua a través de un interruptor quese cierra en t = 0 (excitación mediante escalón de tensión).

En t = 0+ se establece una tensión en z = −d. Esta tensión no sabeque la línea está acabada en una carga resistiva RL a una distancia d yse imagina que la línea es innita, con lo cual, V (z = −d, t = 0+) =

Z0Z0+Rg

V0 = V0+. El frente de tensión V0+ se propaga en el sentidopositivo del eje z con velocidad vp hasta que en t = d/vp = τ sereeja en la carga, creando un nuevo frente de tensión V0− = ΓLV0+

que viaja en el sentido negativo del eje z con velocidad vp. Cuandot = 2τ , el frente de tensión V0− se reeja en el generador, creandouna nuevo frente de tensión V1+ que viaja en el sentido positivo deleje z. Para encontrar la relación entre V0− y V1+, es necesario tener


en cuenta la ecuación de circuito del generador:

V0 = RgI(z = −d, t = 2τ ) + V (z = −d, t = 2τ )

=⇒ V0 = Rg

(V0+

Z0+

V1+

Z0− V0−

Z0

)+ (V0+ + V1+ + V0−)

=⇒ V0 =Rg + Z0

Z0V0+ +

Rg + Z0

Z0V1+ − Rg − Z0

Z0V0−

=⇒ V1+ =Rg − Z0

Rg + Z0V0− = ΓgV0− (66)

lo cual nos indica que las ondas que inciden a través de la línea en elgenerador, procedentes de la carga, se reejan con un coeciente dereexión Γg. A partir de t = 2τ , cada vez que transcurra un tiempo τ ,habrá una nueva reexión, bien en la carga (con coeciente de reexiónΓL), bien en el generador (con coeciente de reexión Γg), generándoseun nuevo frente de tensión. Cuando t >>> τ , se alcanzará el estadoestacionario (excepto si |ΓL| = |Γg| = 1, en cuyo caso las reexionescontinuarían ininterrumpidamente), y como hemos supuesto que lalínea no tiene pérdidas (la resistencia total de la línea Rlinea es nula),se va a cumplir que:

V (z, t →∞) =RL

RL + RgV0 (−d < z < 0) (67)

I(z, t →∞) =V0

RL + Rg(−d < z < 0) (68)

El tratamiento que se acaba de hacer, basado en la teoría de múlti-ples reexiones, es muy útil cuando Vg(t) = V0u(t) (u(t) es la funciónescalón de Heaviside) y la carga utilizada es resistiva. Cuando Vg(t)


tiene una expresión arbitraria y/o la carga no es resistiva (es un induc-tor o un condensador), es preferible llevar a cabo el análisis transitoriode la línea de transmisión mediante el método de la transformada deLaplace.

El diagrama de múltiples reexiones nos da una imagen muyvisual de lo que ocurre en la línea de transmisión con carga resistiva,y alimentada por un escalón de tensión.

Figura 18: Diagrama de múltiples reexiones: representación de la tensión frente a z y frente a t enuna línea de transmisión excitada mediante un escalón de tensión (régimen transitorio).


Como ejemplo de aplicación del diagrama, supongamos que RL =

3/2Z0 (ΓL = +1/5) y que Rg = 1/2Z0 (Γg = −1/3 y V0+ = 2/3V0).En las grácas siguientes, se representa la tensión que se obtiene a lolargo de la línea para t = τ/2, t = 3τ/2 y t = 5τ/2.

Figura 19: Representaciones de la tensión frente a z para tres instantes de tiempo distintos en unalínea de transmisión excitada mediante un escalón de tensión.

Para este caso concreto, se cumple que V (z, t →∞) = (3/4)V0.


De acuerdo con el diagrama de múltiples reexiones, en el casogeneral, la tensión a la entrada de la línea evolucionará en el tiempode la siguiente manera:

V (z = −d, t) =

V0+ 0 < t < 2τ

V0+ [1 + ΓL(1 + Γg)] 2τ < t < 4τ

V0+

[1 + ΓL(1 + Γg) + Γ2

LΓg(1 + Γg)]

4τ < t < 6τ

· · ·V0+

[1 + ΓL(1 + Γg)

n∑i=1

(ΓLΓg)i−1

]2nτ < t < 2(n + 1)τ

· · ·(69)

Teniendo en cuenta la fórmula para la suma de los términos de unaprogresión geométrica, se va a vericar que:

V (z = −d, t) = V0+

[1 + ΓL(1 + Γg)

1− (ΓLΓg)n

1− ΓLΓg

](70)

2nτ < t < 2(n + 1)τ

Y si |ΓL| < 1 y/o |Γg| < 1, se obtiene que:

lımn→∞

V (z = −d, t) = V (z = −d, t →∞)

= V0+

[1 +

ΓL(1 + Γg)

1− ΓLΓg

]=

RL

RL + RgV0 (71)

resultado que coincide con el obtenido en la ecuación (67).

Si |ΓL| = |Γg| = 1, no se alcanzará el estado estacionario y lasreexiones en los extremos de la línea se repetirán ininterrumpida-mente. En la práctica esto no ocurre porque las líneas de transmisiónreales tienen pérdidas, y las pérdidas hacen que las ondas de tensión


e intensidad que viajan por dichas líneas se amortigüen a lo largo deltiempo.

• Efecto de las pérdidas ante una excitación tipo esca-lón de tensión

De acuerdo con las ecuaciones (46) y (47), una onda de tensiónmonocromática que viaja a lo largo de un tramo de línea de trans-misión de bajas pérdidas y longitud d se atenúa en un factor e−αd.Cuando la misma línea de transmisión es excitada por una señal nomonocromática, las distintas componentes de Fourier de la señal seatenúan cantidades distintas ya que α es en general función de lafrecuencia (véase, por ejemplo, la ecuación (27)). Como consecuen-cia de este hecho, la señal se distorsiona al propagarse por la líneade transmisión. Esto signica que en el caso tratado de una línea detransmisión excitada por un escalón de tensión, va a ser muy com-plicado hacer una evaluación precisa del efecto de las pérdidas. Parasimplicar el problema, vamos a suponer que α es independiente de lafrecuencia, y que cada frente de tensión resultante de una reexión enla carga o en el generador se atenúa una cantidad e−αd al atravesarel tramo de línea de longitud d. De acuerdo con esta suposición, alincluir el efecto de las pérdidas, la forma que va a tomar la ecuación


(70) para V (z = −d, t) va a ser la siguiente:

V (z = −d, t) = V0+

[1 +

1 + Γg

Γg

n∑i=1

(ΓLΓge−2αd)i

]

= V0+

[1 + ΓL(1 + Γg)e

−2αd1− (ΓLΓge−2αd)n

1− ΓLΓge−2αd

](72)

2nτ < t < 2(n + 1)τ

De acuerdo con la ecuación (72), la tensión a la entrada de lalínea con pérdidas V (z = −d, t) experimentará un salto discontinuoal pasar de t = (2nτ )− a t = (2nτ )+, dado por:

∆V (n) = V0+1 + Γg

Γg(ΓLΓge

−2αd)n (73)

De la ecuación (72), se deduce que:

ln

(∆V (n)

ΓnLΓn

g

)= ln

(V0+

1 + Γg

Γg

)− 2αnd (74)

La ecuación (74) nos indica que ln(

∆V (n)Γn

LΓng

)varía linealmente con n,

siendo 2αd la constante de proporcionalidad. Pues bien, en el laborato-rio se va a medir experimentalmente ln

(∆V (n)Γn

LΓng

)para distintos valores

de n, y se va determinar experimentalmente el valor de α medianteanálisis de regresión.

Cuando se desprecia el efecto de las pérdidas en el dieléctrico (G =

0) pero se considera el efecto de las pérdidas en los conductores (R 6=0), las líneas de transmisión presentan una resistencia total Rlinea =

Rd. En el caso de una línea de estas características excitada por unescalón de tensión, la tensión a la entrada de la línea en el estado


estacionario (régimen de corriente continua) valdrá:

V (z = −d, t →∞) =RL + Rlinea

RL + Rlinea + RgV0 (75)

resultado que es coherente con el que aparece en la ecuación (67) sise toma Rlinea = 0.

Por otro lado, cuando la carga es un cortocircuito (RL = 0 yΓL = −1 según (63)), la resistencia del generador es muy elevada(Rg >>> Z0 y Γg = +1 según (66)), y las pérdidas en la línea sonpequeñas (αd <<< 1), de acuerdo con la ecuación (72), la tensión ala entrada de la línea en el estado estacionario valdrá:

lımn→∞

V (z = −d, t)]

ΓL=−1,Γg=+1

= V0+

[1 +

ΓL(1 + Γg)e−2αd

1− ΓLΓge−2αd

]

ΓL=−1,Γg=+1

= V0+

[1− 2e−2αd

1 + e−2αd

]=

Z0V0

Rg + Z0

1− e−2αd

1 + e−2αd≈ Z0V0αd

Rg(76)

e igualando este resultado con el obtenido en (75) para RL = 0 yRg >>> Rd (recordemos que hemos supuesto que la resistencia delgenerador es elevada y que las pérdidas son pequeñas), se llega a que:

V0Rd

Rg≈ Z0V0αd

Rg=⇒ α ≈ R

Z0(77)

ecuación que, a pesar de todas las suposiciones que se han hecho, nosda el orden de magnitud de la expresión de α que se obtuvo en laecuación (18).


• La transición de componente localizado a componentedistribuidoUna línea de transmisión en régimen transitorio se comportará comoun componente de circuito localizado si el tiempo característico delproceso en el que interviene la línea es mucho mayor que τ = d/vp.En cambio, lo hará como componente de circuito distribuido si dichotiempo característico es menor o igual que τ . Un ejemplo que per-mite aclarar estas ideas es el de una línea de transmisión sin pérdidasacabada en abierto, que está excitada por un escalón de tensión. SiRgClinea >>> τ , la línea se comporta como un condensador (compo-nente localizado), y la tensión a la entrada equivale básicamente a laque se observa en el proceso de carga de un condensador. En cambio,si RgClinea = τ (⇒ RgCd = d

√LC ⇒ Rg =

√L/C = Z0), los

efectos distribuidos se ponen de maniesto.

Figura 20: Representaciones de V(z=-d,t) frente a t en una línea de transmisión acabada en abiertoy excitada mediante un escalón de tensión. Se estudian los casos en que Rg ≫ Z0 (RgClinea >>> τ)y Rg = Z0 (RgClinea = τ).

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