DINÁMICA DE DINÁMICA DE ESTRUCTURASESTRUCTURAS

Cap.II: Vibración Libre para Cap.II: Vibración Libre para sistemas de 1 grado de sistemas de 1 grado de

libertad. libertad.

2.1 Vibración libre no 2.1 Vibración libre no amortiguadaamortiguada

Ocurre cuando la estructura es perturbada de su Ocurre cuando la estructura es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de alguna fuerza externa.excitación de alguna fuerza externa.

Desplazamiento inicial en t=0

Velocidad inicial en t=0

Ecuación del movimiento en vibración libre no amortiguada

2.1 Vibración libre no 2.1 Vibración libre no amortiguadaamortiguada

La solución de esta ecuación diferencial homogénea es:

Donde: Frecuencia circular natural de vibración

2.1 Vibración libre no 2.1 Vibración libre no amortiguadaamortiguada

Gráficamente la solución u(t) corresponde a un movimiento armónico simple, de amplitud máxima constante

2.1 Vibración libre no 2.1 Vibración libre no amortiguadaamortiguada

Del grafico surgen algunas definiciones importantes

Periodo natural de vibración:

Es el tiempo (se mide en [s]) requerido por una estructura sin amortiguamiento de completar un ciclo en vibración libre

Frecuencia natural de vibración:

Es el inverso del periodo natural. Se mide en Hertz [Hz] (ciclos por segundo):

Estas propiedades de vibración natural solo dependen de la masa y la rigidez lateral del sistema

2.1 Vibración libre no 2.1 Vibración libre no amortiguadaamortiguada

Algunos ejemplos de valores medidos experimentalmente de periodos naturales de vibración (Tn)

2.1 Vibración libre no 2.1 Vibración libre no amortiguadaamortiguada

Algunos ejemplos de valores medidos experimentalmente de periodos naturales de vibración (Tn)

2.1 Vibración libre no 2.1 Vibración libre no amortiguadaamortiguada

Algunos ejemplos de valores medidos experimentalmente de periodos naturales de vibración (Tn)

2.1 Vibración libre no 2.1 Vibración libre no amortiguadaamortiguada

La amplitud del movimiento u0 esta dada por:

2.2 Vibración libre 2.2 Vibración libre amortiguadaamortiguada

Razón de amortiguamiento

2.2 Vibración libre 2.2 Vibración libre amortiguadaamortiguada

Si Si =1 ó =1 ó c=cc=ccrcr

Sistema críticamente amortiguado: Sistema críticamente amortiguado: El sistema El sistema retorna a su posición de equilibrio sin oscilarretorna a su posición de equilibrio sin oscilar..

Si Si ó c>có c>ccrcr

Sistema sobreamortiguado: Sistema sobreamortiguado: El sistema no oscila El sistema no oscila pero vuelve a su posición de equilibrio lentamentepero vuelve a su posición de equilibrio lentamente

Si Si ó c<có c<ccrcr

Sistema subamortiguado: Sistema subamortiguado: El sistema oscila alrededor El sistema oscila alrededor de su posición de equilibrio con una amplitud que de su posición de equilibrio con una amplitud que decrece progresivamentedecrece progresivamente

2.2 Vibración libre 2.2 Vibración libre amortiguadaamortiguada

Las estructuras utilizadas en las obras civiles tienen razones de amortiguamiento menores a 1, por lo tanto el único caso relevante de analizar es el sub-amortiguado.

2.2 Vibración libre 2.2 Vibración libre amortiguadaamortiguada

NORMA NCh 2369 of 2002

2.2 Vibración libre 2.2 Vibración libre amortiguadaamortiguada

La solución de esta ecuación diferencial homogénea para sistemas subamortiguados es:

2.2 Vibración libre 2.2 Vibración libre amortiguadaamortiguada

Gráficamente al comparar la solución de un sistema sin y con amortiguamiento, se tiene:

2.2 Vibración libre 2.2 Vibración libre amortiguadaamortiguada

2.2 Vibración libre 2.2 Vibración libre amortiguadaamortiguada

De la figura anterior se De la figura anterior se desprende que los desprende que los efectos del efectos del amortiguamiento en la amortiguamiento en la respuesta en vibración respuesta en vibración libre amortiguada son:libre amortiguada son:

- Se disminuye en forma exponencial la magnitud máxima del desplazamiento.

- Se aumenta el período natural de la estructura de Tn a TD. Este efecto es despreciable para razones de amortiguamiento menores a 0.2

2.2 Vibración libre 2.2 Vibración libre amortiguadaamortiguada

En esta figura se muestra el efecto en el desplazamiento En esta figura se muestra el efecto en el desplazamiento lateral de una misma estructura pero con distintas razones de lateral de una misma estructura pero con distintas razones de amortiguamiento.amortiguamiento.

2.2 Vibración libre 2.2 Vibración libre amortiguadaamortiguada

Determinación de parámetros dinámicos a través de test de Determinación de parámetros dinámicos a través de test de vibración libre:vibración libre:

La razón de amortiguamiento no se puede determinar de manera analítica, por lo tanto, La razón de amortiguamiento no se puede determinar de manera analítica, por lo tanto, es necesario encontrarla de manera experimental. Para esto se necesita medir el es necesario encontrarla de manera experimental. Para esto se necesita medir el desplazamiento máximo en vibración libre en dos peaks (Prueba Pull-Back).desplazamiento máximo en vibración libre en dos peaks (Prueba Pull-Back).

Este mismo ensayo nos permite determinar el período natural amortiguado de la Este mismo ensayo nos permite determinar el período natural amortiguado de la estructura, midiendo el tiempo para el cual se alcanzan 2 peaks consecutivos.estructura, midiendo el tiempo para el cual se alcanzan 2 peaks consecutivos.

2.2 Vibración libre 2.2 Vibración libre amortiguadaamortiguada

Determinación de parámetros Determinación de parámetros dinámicos a través de test de vibración dinámicos a través de test de vibración libre:libre:

j : numero de ciclos que ocurren entre los peaks de desplazamiento a estudiar

2.2 Vibración libre 2.2 Vibración libre amortiguadaamortiguada

Ejercicio # 2.1: Ejercicio # 2.1: Para la misma estructura metálica Para la misma estructura metálica del ejercicio 1, se pide:del ejercicio 1, se pide:

•Comparar gráficamente los desplazamientos laterales en vibración libre sin amortiguamiento en la dirección N-S y E-O. Grafique hasta un tiempo de 15 [s]

•Si la estructura tuviera una razón de amortiguamiento de 0.02, comparar gráficamente los desplazamientos laterales con y sin amortiguamiento en la dirección E-O. Grafique hasta t=15[s]

•Para el caso anterior con amortiguamiento, determinar el desplazamiento, velocidad y aceleración para un tiempo de t=15 [s]

Asuma las siguientes condiciones iniciales u(0)=10[cm], u’(0)=5 [cm/s]

2.2 Vibración libre 2.2 Vibración libre amortiguadaamortiguada

Ejercicio # 2.2: Ejercicio # 2.2: Una estructura es sometida a una prueba de vibración libre y la variación de su desplazamiento lateral en el tiempo Una estructura es sometida a una prueba de vibración libre y la variación de su desplazamiento lateral en el tiempo es registrado gráficamente en la figura inferior. Se pide:es registrado gráficamente en la figura inferior. Se pide:– Determinar la razón de amortiguamiento de la estructura.Determinar la razón de amortiguamiento de la estructura.– Determinar el periodo de vibración natural de la estructura.Determinar el periodo de vibración natural de la estructura.– Si para lograr el desplazamiento inicial se tuvo que aplicar una fuerza de 25[T], determinar el peso aproximado de la estructuraSi para lograr el desplazamiento inicial se tuvo que aplicar una fuerza de 25[T], determinar el peso aproximado de la estructura