2 final filosofia

Asignatura: Filosofía

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INFLUENCIA FILOSÓFICA DE PITÁGORAS

1. FILOSOFIA

1.1 El paso del mito al lógos

Con la expresión “el paso del mito al lógos” se hace referencia al nacimiento

de la filosofía como superación de las formas míticas y religiosas de

pensamiento y al advenimiento de un pensamiento racional. Se podría decir

que el “paso del mito al lógos” se produjo cuando empezó a cobrar forma en

las mentes de los hombres la convicción de que el caos aparente de los

acontecimientos tiene que ocultar un orden subyacente, y que este orden es el

producto de fuerzas impersonales. Según Platón y Aristóteles, esta mutación

sería fruto de la admiración.

La filosofía comenzó a

principios del siglo VI, en

las prósperas ciudades

comerciales de Jonia

(franja costera de Asía

Menor, de la actual

Turquía), y más

concretamente en Mileto.

Estas ciudades tuvieron

un contacto directo con

las culturas babilónica y

egipcia y en ellas se

desarrolló una brillante literatura épica y lírica. Los principales protagonistas

del nacimiento de la filosofía, o mejor dicho, quienes han pasado a la historia,

son: Tales, Anaximandro y Anaxímenes (escuela de Mileto). Todos ellos

pertenecieron a las oligarquías dominantes, siendo sus posibilidades de acceso

a la cultura (ocio, frecuentes viajes, vinculación directa a las corrientes

orientales del saber...) y su situación histórica (auge económico del que eran

principales beneficiarios) magníficas. Como dice Aristóteles, poseían las cosas

necesarias para dedicarse a filosofar: el bienestar físico y el ocio (tiempo libre,

ya que no tenían que trabajar).

El “paso del mito al lógos”, el nacimiento de la filosofía, no se produjo, pues,

por "generación espontánea". Fue una paulatina superación de la mitología

antropomórfica y del saber práctico-técnico anterior, que fue derivando en una

reflexión abstracta y de carácter teórico y general, debido a un triple


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fenómeno convergente e interdependiente:

1. El mundo (la realidad) deja de verse como una teofanía o, en general, como

una hierofanía. Aparece la creencia en que los fenómenos que integran

el mundo de la experiencia no den de unas voluntades personales, los

dioses o espíritus, sino de la consistencia y estructura que poseen las cosas

mismas (hay un lógos u orden del mundo). Esta creencia llevó a algunos

humanos a buscar en ese fondo de las cosas, o "naturaleza", la razón de los

hechos.

2. La aparición de una "actitud teórica" ante la naturaleza. "Teoría" significó

en sus orígenes "contemplación". La actitud teórica deja que se manifieste

la realidad tal y como es, respetando íntegramente las condiciones de la

objetividad. (Nótese lo lejos que estamos de la ciencia experimental

moderna, cuya actitud básica es manipular la naturaleza).

Así kósmos y lógos coinciden, es decir, Naturaleza, Teoría y Razón

coinciden. Podemos afirmar que la aportación de los sofistas es haber

mostrado que el lenguaje y la realidad son inconmensurables. Esa magia con

la que nace la filosofía es la magia de poder recrear el mundo.

1.2 Actitud filosófica y esquemas explicativos míticos

Durante los siglos -VII y -VI (y, en menor medida, en los siglos posteriores) lo

específico de la actitud filosófica (la reflexión racional y científica) convive con

expresiones y esquemas explicativos de carácter mítico.

1. 2.1 Elementos míticos vigentes

a) La estructura de pensamiento que sirve de modelo a la cosmología

jonia está basada en la explicación mítica (por ej. la ofrecida en la

Teogonía de Hesíodo):

Segregación de parejas de contrarios (frío/caliente, húmedo/seco...) a

partir de la unidad primordial indiferenciada;

o Desunión y unión de estas parejas de contrarios;

o Cambio cíclico eterno (eterno retorno).

b) El afán de totalización: no hay diferenciación

de las distintas parcelas del saber: en la visión

filosófica jonia cualquier fenómeno, observable o

no, sobre el que quepa teorizar, se entiende en

función de un conjunto en el que no existen


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fisuras, ni caben excepciones, ni se aprecian

campos de investigación independientes.

c) La intención soteriológica (orientadora de la conducta humana): En el

concepto milesio de (phýsis, naturaleza) yace una dimensión ético-religiosa.

La phýsis encierra una verdad cuyo descubrimiento es tan valioso y

significativo que vincula de algún modo la conducta de quienes accedan a ella.

1.2.2 Lo propiamente filosófico. Si la filosofía supo imprimir una dirección

decisiva en el orden del conocimiento fue debido a la creación de un modelo

explicativo fundado en una especulación racional y reductora, y en un criterio

positivo firme, excluyente de fuerzas sobrenaturales que pudiesen perturbar el

nuevo orden en parte establecido y en parte descubierto.

El racionalismo. Interpretación analógica inductiva de la realidad: los

fenómenos que la integran el mundo de la experiencia no dependen de las

voluntades divinas, sino de la consistencia y estructura que poseen las cosas

mismas (cambio de paradigmas).

El inmanentismo. Inscrito en el mismo proceso racionalizador aparece el

espíritu positivista e inmanente de la filosofía jonia: apelar a causas o procesos

de tipo material, y no exteriores.

Observación crítica y sistematizadora de la realidad. En la filosofía

milesia la observación tiene una importancia significativa en conexión con la

interpretación analógica de la realidad llevada a cabo mediante procesos

inductivos.

En general se considera que analogía, inmanentismo y observación

sistematizada constituyen el núcleo de la manera propia de afrontar el mundo

desde la racionalidad.

Estos principios (racionales) no provienen ni de la analogía, ni son

inmanentes ni la observación sistematizada los puede fundamentar. De ahí

que no parezca suficiente apelar a tales características para describir el

carácter racional del pensamiento jonio.

1.3 Escuelas presocráticas

Tradición jonia: El arjé hay que buscarlo en la sustancia material de que


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está hecho el mundo. Tales, Anaximandro, Anaxímenes y Heráclito.

Tradición pluralista: Aceptada la tesis eleática de la inmutabilidad del ser;

trata de "salvar las apariencias". Empédocles, Anaxágoras, atomismo

(Leucipo y Demócrito).

Tradición itálica: Los componentes materiales del mundo están en un flujo

constante de decadencia y renovación. Pitágoras y el pitagorismo,

Parménides y la escuela eleática.

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Escuelas Presocráticas

1.3.1 La tradición jonia

Características y modelo de explicación racional

Las características fundamentales de la tradición jonia han sido descritas por Aristóteles:

"La mayor parte de los primeros que filosofaron, no consideraron los principios

de todas las cosas, sino desde el punto de vista de la materia. Aquello de

donde salen todos los seres, de donde proviene todo lo que se produce, y a

donde va a parar toda destrucción, persistiendo la sustancia misma bajo sus

diversas modificaciones, he aquí el principio de los seres. Y así creen, que

nada nace ni perece verdaderamente, puesto que esta naturaleza primera

subsiste siempre;... Porque es indispensable que haya una naturaleza primera,

sea única, sea múltiple, la cual subsistiendo siempre produzca todas las

demás cosas. Por lo que hace al número y al carácter propio de los elementos,

estos filósofos no están de acuerdo."

1.3.2 La tradición pluralista

Los sistemas filosóficos de la tradición pluralista del siglo -V se mueven dentro

del clima intelectual dominado por las especulaciones eleáticas, aunque sin

reducirse a nuevas variantes de eleatismo. Asumida la vía de la verdad (la

persistencia del ser es el supuesto sobre el que se desarrollaran estas teorías),

los sistemas de Empédocles, de Anaxágoras y del atomismo pretenden “salvar

las apariencias”, es decir, dar una explicación racional del hecho empírico del

cambio.

1.3.3 La tradición itálica

La tradición itálica, que abarca un período de unos 150 años (siglo -V y

primera mitad del siglo -IV), es más especulativa que la jonia. Se ocupa de la

phýsis desde una perspectiva más formal (pitagorismo) u ontológica

(eleatismo). Atribuyeron un orden racional más riguroso al universo. Desde

entonces, la filosofía debe realizar una doble tarea. Por una lado, establecer

los principios formales captados por el puro pensamiento; por otra, interpretar

“lo que aparece” de acuerdo con las exigencias impuestas por los principios

establecidos.

Con la tradición itálica y con Anaximandro y Heráclito se consolida una

filosofía que afirma la existencia de un orden estable oculto por las vicisitudes

azarosas y trágicas que dominan la vida cotidiana. La filosofía se constituye

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así en el testimonio de una sociedad que, mientras se precipita en un caos de

guerras y revoluciones, confía en una armonía oculta que se impondrá como

guerras de un orden quebrantado.

2. PITÁGORAS DE SAMOS

Encontrar datos exactos sobre la vida

de Pitágoras no es posible, lo que

sabemos de él nos llega por vía de

terceros. Pitágoras no dejó ningún

registro escrito, ya que pre- fería la

transmisión oral de sus enseñanzas

(Kingsley, 1995; Luz, 1999; Huffman,

2006), preferencia generalizada en

Grecia antigua hasta los tiempos de

Platón (Kingsley, 1995). El hecho que

durante siglos los discípulos de

Pitágoras le atribuyeran todo nuevo

descubrimiento que hicieran

afirmando “él mismo lo dijo” dificulta

entender los alcances de su obra (Luz,

1999).

La figura de Pitágoras llegó a ser tan

importante que alrededor suyo se tejieron leyendas. En siglos posteriores

algunos filósofos le atribuyeron ideas y descubrimientos que eran de otros,

esto ha llevado a algunos a cuestionar los alcances de la obra de Pitágoras

(Huffman, 2006; Burnyeat, 2007; Aleff, 2008).

Afortunadamente, existen varios fragmentos escritos por contemporáneos de

Pitágoras

que han llegado hasta nuestro tiempo. Tenemos referencias de su erudición,

su sabiduría, su trabajo y sus creencias, que nos han llegado por medio de

Heráclito y Xenófanes, también referencias de su trabajo y enseñanzas

escritas poco después de su muerte (Luz, 1999); de hecho “los testimonios

prearistotélicos sobre Pitágoras son más extensos que aquellos que hay para

la mayoría de los filósofos griegos, lo que es testimonio de su fama” (Huffman,

2006; traducción del autor).

La evidencia indica que Pitágoras realmente propuso que la esencia de todas

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las cosas era el número, estudió las relaciones numéricas de la armonía

musical y las relacionó con la armonía del Cosmos (Huffman, 2006). El estudio

de los fragmentos escritos por contemporáneos de Pitágoras y los relatos

escritos en los siglos posteriores a su muerte nos permiten reconstruir

parcialmente su biografía.

2.1 Biografía

Pitágoras nació hacia el año 569 a.C. en

la isla de Samos, su madre era una

mujer local y su padre un mercader

fenicio (O’ Connor y Robertson, 2005).

Samos era conocida por su arquitectura

la cual estaba basada en principios

matemáticos, por lo que es lícito pensar

que el interés de Pitágoras por los

números comenzó ahí (Luz, 1999).

Estudió con los sabios más ilustres de

su época, como Tales y Anaximandro de Mileto (Luz, 1999; Smith, 2008) y

Ferekides de Siros (O’ Connor y Robertson, 2005; de Guzmán,2000).

Thales lo animó a viajar a Egipto, donde estudió geometría. Es probable que

fuera ahí donde conoció los principios del teorema que luego llevaría su

nombre. Los relatos contemporáneos a Pitágoras confirman su viaje a Egipto,

también a Fenicia y Babilonia, donde éstos principios también eran conocidos

(Luz, 1999; de Guzmán, 2000; O’ Connor y Robertson, 2005; Huffman, 2006).

Cuando Pitágoras regresó a Samos fundó la primera escuela pitagórica, pero

abandonó definitivamente la isla hacia el 535 a.C, debido al rechazo a sus

enseñanzas por parte de los ciudadanos de la isla. Inicialmente se estableció

en la colonia griega de Taranto en Apulia, luego se trasladó a Metaponto, en la

costa de Basilicata y finalmente a Crotona, en Calabria. En cada una de estas

ciudades Pitágoras fundó escuelas donde se difundieron sus enseñanzas y su

religión; la más importante de ellas sería la escuela de Crotona (Luz, 1999; O’

Connor y Robertson, 2005; Huffman, 2006).

La escuela pitagórica de Crotona llegó a controlar la ciudad y al poco tiempo

los pitagóricos dominaron el sur de Italia (Burnyeat, 2007). Tras varios

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ataques por parte de sus opositores políticos la escuela de Crotona fue

destruida. Pitágoras se vio forzado a huir y se refugió, inicialmente en Taranto

y luego en Metaponto, hacia el año 510 a.C. Vivió y trabajó sus ultimos años

en Metaponto, donde murió hacia el año 480 a.C. a una edad cercana a los 100

años (O’Connor y Robertson, 2005; Huffman, 2006). Durante los siglos que

siguieron a la muerte de Pitágoras las escuelas pitagóricas continuaron su

trabajo y tuvieron una gran influencia en la filosofía y las matemáticas griegas.

zTestimonio de esto es que Platón (423 a.C.- 347 d.C.) convierte a Pitágoras en

un personaje de sus diálogos y reconoce la influencia de algunos elementos de

la filosofía pitagórica en su propia obra (Kingsley,1995; Luz, 1999; Huffman,

2006).

3. LA AUTENTICIDAD DE SU OBRA

A partir de la revisión de la obra de Pitágoras comenzada por Burkett en 1972

con la publicación de su libro Lore and Science in Ancient Pythagoreanism

algunos historiadores modernos aseguran que debido a las coincidencias entre

el pensamiento de Platón y el de los pitagóricos, algunos miembros de la

Academia decidieron atribuirle a Pitágoras un pensamiento platónico

plenamente desarrollado en un intento deliberado por darle más prestigio a las

ideas de Platón al asociarlas con quien era ya un sabio legendario.

Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C.) explica las

diferencias que él identifica entre el

pensamiento de su maestro y el de los

pitagóricos de su época, explicando en que era

novedoso el pensamiento de Platón, alejándose

de los filósofos de la Academia. Teofrasto (371

a.C. – 287 a.C.), el sucesor de Aristóteles, se

acercaría a los miembros de la Academia

explicando qué considera influencia de

Pitágoras sobre Platón.

Los escritos de Teofrasto han sido la fuente

principal para entender a los filósofos presocráticos, especialmente a

Pitágoras, lo que llevaría a que algunos historiadores modernos llegaran a la

conclusión que los discípulos de Platón le atribuyeron a Pitágoras ideas que no

eran suyas (Huffman, 2006; Burnyeat, 2007).

Ancient, Philosophy, Mystery and Magic; Empedocles and the Pythagorean

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Tradition, publicado en 1995, en el cual analiza varios de los diálogos de Platón

a la luz de libros escritos por pitagóricos italianos anteriores a Platón y

demuestra que el pensamiento pi- tagórico tuvo gran influencia en el

desarrollo de las ideas de Platón, tanto por la difusión de esos textos en la

época de Platón, como por las indicaciones que el mismo Platón dejó en varios

de sus textos respecto a su deuda personal con varios pitagóricos italianos que

fueron instrumentales en sus estudios.

En su análisis de los textos de Platón, su relación con otras obras de la época,

y el estudio de comentarios antiguos sobre esos textos, Kingsley (1995) llega a

la conclusión, con argumentos convincentes y sustentados, que el fenómeno

fue exactamente el contrario: no es que los filósofos de la Academia le

atribuyeran a Pitágoras un pensamiento platónico plenamente desarrollado, es

que en Platón podemos encontrar una versión degradada del pensamiento

pitagórico al cual regresarían los discípulos de Platón.

4. ESCUELA PITAGÓRICA

La influencia de este gran maestro fue tan notable, que los más interesados de

sus discípulos se constituyeron gradualmente en una sociedad o hermandad.

Se los conoció como la Escuela Pitagórica. La comunidad pitagórica fue una

hermandad religiosa dedicada a la práctica del ascetismo y al estudio de las

matemáticas. Los miembros de esta fraternidad se comprometían, con un

solemne juramento, a mantener en secreto las enseñanzas de la Escuela.

Éstos debían hacer examen de conciencia diariamente. Creían en la

inmortalidad del alma y en su transmigración, con el resultado de que no

debería ser sacrificado ningún animal ante el temor de que pudiera ser la

nueva morada del alma de un amigo muerto. Así, a sus miembros se les

imponía un severo régimen vegetariano.

La particularidad del sistema pitagórico fue encontrar en las matemáticas una

clave para resolver el enigma del Universo y un instrumento para la

purificación del alma. Aristóteles sintetizó la labor de los pitagóricos con las

siguientes palabras: "los pitagóricos se dedicaron primero a las matemáticas,

ciencia que perfeccionaron y, compenetrados con ésta, imaginaron que los

principios de las matemáticas eran los principios de todas las cosas." Todos los

descubrimientos que la Escuela realizaba eran atribuidos al mismo Pitágoras,

por lo que resulta casi imposible diferenciar lo producido por él y lo elaborado

por sus alumnos.

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Los pitagóricos fueron los primeros en establecer la demostración en la

matemática, mediante el razonamiento deductivo. A ellos se les debe, incluso,

la misma palabra Matemática que, según la acepción más difundida, significa

"ciencia por excelencia"; matemáticos eran los miembros científicos de la

secta. Se clasificó a la Matemática, además, en cuatro ramas: aritmética,

geometría, música y astronomía, clasificación que se mantuvo durante más de

dos milenios en lo que constituyó el famoso Quadrivium de las ciencias. A

causa del poder político que adquirió, contraria a las ideas democráticas de la

época, la Escuela Pitagórica fue objeto de sospechas por todos los que no

formaban parte de ella.

En el año 501 a.C. se produce una revuelta popular e incendian la casa de

Milo, que por aquel entonces ocupaba la hermandad. Perece allí, un gran

número de sus miembros más notables. Pitágoras hubo de refugiarse en

Tarento y después en Metaponto, donde un año después fue asesinado en otra

conmoción popular. A pesar de la muerte de Pitágoras y de la destrucción de

su Escuela en Crotona, sus discípulos se reorganizaron en Tarento, formando

una nueva escuela que continuó durante 100 años.

4.1 El "Número" Según Pitágoras

Los pitagóricos le adjudicaron especial importancia al número. Esto se refleja

en las siguientes palabras de Filolao: "y en verdad, todas las cosas que se

conocen poseen número, pues ninguna cosa podría ser percibida ni conocida

sin éste." El mismo Pitágoras declaraba: "Dios es, en efecto, número.", y por

número se refería al número natural común.

Pero para los pitagóricos, no sólo todas las cosas poseen número, sino que los

números son concebidos como cosas; las expresiones: "números cuadrados" o

"números triangulares", no son metáforas; esos números son, efectivamente,

ante los ojos y ante el espíritu, cuadrados y triángulos.

El número es definido, desde el punto de vista geométrico, como una suma de

puntos representados en el espacio, y las figuras (líneas, superficies o

volúmenes), que están constituidas por esos puntos materiales llamados

mónadas, también representan números. De esta manera, identificaron al

número uno con el punto, al dos con la línea, al tres con la superficie, y al

cuatro con el volumen, de acuerdo con el número mínimo de puntos

necesarios para definir cada una de esas dimensiones.

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La palabra número se usaba sólo para los enteros positivos. A las fracciones se

las consideraba como una razón o relación entre dos números enteros. Tal

como lo expresaba Euclides (Elementos Libro III): "Una razón es una cierta

relación con respecto al tamaño de dos magnitudes del mismo tipo."

No cabe duda que la más famosa realización de los pitagóricos la constituye el

llamado Teorema de Pitágoras, sin el cual no es posible concebir la

Matemática en el sentido más amplio de la palabra. El enunciado del Teorema

es conocido por todos: "en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."

Los egipcios ya conocían esta relación en los triángulos de 3, 4 y 5 unidades de

longitud. Pitágoras el primero que enunció y demostró el Teorema para todos

los triángulos rectángulos. De acuerdo con un relato, cuando Pitágoras

descubrió este admirable resultado, en su alborozo, sacrificó un buey, aunque

esto es bastante improbable dadas sus estrictas reglas vegetarianas. Los

pitagóricos encontraron la formación de ciertas ternas de números que

cumplen el teorema: con m entero impar.Pitágoras aprendió en Babilonia tres

medias: la aritmética, la geométrica y la armónica.

4.2 La "música" pitagórica

La contribución de los pitagóricos a la música es sumamente interesante.

Demostraron que los intervalos entre notas musicales pueden ser

representados mediante razones de números enteros, utilizando una especie

de guitarra con una sola cuerda, llamada monocordio. Éste poseía un puente

móvil que al desplazarse producía, en ciertas posiciones, notas que,

comparadas con la emitida por la cuerda entera, resultaban más armoniosas

que otras.

4.3 La cosmología

La cosmología de los pitagóricos es muy curiosa e importante. Describía el

Universo en términos numéricos. Así, "las matemáticas −según explica

Farrington− contribuían a mantener el alma de los adeptos libre de contactos

con lo terreno y material, y se adaptaban al temperamento cambiante de un

pueblo en el que el desprecio por el trabajo manual se hermanaba con el

incremento de la esclavitud." Los pitagóricos definieron, aunque no probaron,

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que los cuerpos celestes eran esferas perfectas, que describían órbitas

perfectamente circulares, teniendo aquí la palabra perfecto, significación

moral y matemática. Según Aristóteles, los pitagóricos creían que todo el cielo

era una escala musical y un número, y que los movimientos de los cuerpos

celestes originaban sonidos acordes, aunque inaudibles; la razón por la cual no

los oímos, de acuerdo con una versión, reside en que estamos habituados a

ellos desde nuestro nacimiento.

Según Filolao, el centro del Universo es una masa invisible de fuego y la Tierra

gira en torno a él, así como los demás cuerpos celestes, el Sol y la Luna. Pero

introduce un segundo cuerpo invisible, la Anti−Tierra, que gira alrededor del

fuego central, interior y opuesto a la Tierra. Observando desde el centro hacia

el exterior se tendría: el fuego central, luego la Anti−Tierra, a continuación la

Tierra y exteriormente a ésta, la Luna, el Sol y los planetas. De acuerdo con

Aristóteles la Anti−Tierra es un artilugio que los pitagóricos utilizaron para

hacer coincidir sus teorías con sus propios argumentos matemáticos y

opiniones.

Como sostenían que el número diez era sagrado y los cuerpos que se mueven

en los cielos son nueve (la esfera de las estrellas fijas, considerada como uno;

dos planetas inferiores: Mercurio y Venus; tres planetas superiores: Marte,

Júpiter, Saturno; el Sol, la Luna y la Tierra), para satisfacer esa condición,

inventaron un décimo, la Anti−Tierra.

La característica más interesante de esta visión cosmológica de los pitagóricos

es que retira a la Tierra del centro del Universo. Según Aristóteles, no se

consideró a la Tierra lo suficientemente noble para ocupar la posición más

importante del Universo.

De acuerdo con Aristóteles la Anti−Tierra es un artilugio que los pitagóricos

utilizaron para hacer coincidir sus teorías con sus propios argumentos

matemáticos y opiniones. Como sostenían que el número diez era sagrado y

los cuerpos que se mueven en los cielos son nueve (la esfera de las estrellas

fijas, considerada como uno; dos planetas inferiores: Mercurio y Venus; tres

planetas superiores: Marte, Júpiter, Saturno; el Sol, la Luna y la Tierra), para

satisfacer esa condición, inventaron un décimo, la Anti−Tierra.

La característica más interesante de esta visión cosmológica de los pitagóricos

es que retira a la Tierra del centro del Universo. Según Aristóteles, no se

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consideró a la Tierra lo suficientemente noble para ocupar la posición más

importante del Universo.

4.4 Misticismo numérico

Los pitagóricos dieron a ciertos números significados que podrían parecer,

quizás, caprichosos. Al número uno se lo identificó con la razón y se lo

consideraba como el origen de todos los números. El dos con la opinión, y es el

primer número par o hembra.

El tres es el primer número macho o el número de la armonía. El cuatro con la

justicia, inmutable y equitativo. El cinco sugería el matrimonio, la unión del

primer número par con el primer número impar auténtico. El seis es el número

de la creación. A la diosa virgen Atenea se le atribuyó el número siete, porque

el siete es el único de la década que no tiene ni factores ni productos.

El número diez, tetractys sagrado, fue un símbolo muy venerado por la

hermandad. La virtud de este número reside en que, estando constituido por la

suma de los cuatro primeros números: 1+2+3+4, encierra la naturaleza de las

diversas especies de números: la de los pares, de los cuales el primero es el

dos; la de los impares, de los cuales el primero es el tres; la del par−impar,

que es aquí la unidad; la de los cuadrados perfectos, de los cuales el primero

es el cuatro. En boca de Filolao, el número diez "es la norma del Universo, la

potencia ordenadora de los hombres y de los dioses."

4.5 Descubrimiento de los irracionales

Los pitagóricos se esforzaron por alcanzar la armonía en el reino de los

números y de este modo lograr abarcar con la mirada todo el Universo,

captándolo mediante números enteros. Así podían sentir que se hallaban en

los umbrales del misterio de la existencia. Pero una potencia infernal destrozó

este sueño implacablemente, a la vez que engendró los más altos hallazgos y

de más vasto alcance: el descubrimiento de los números irracionales.

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El concepto que tenían los helenos de este descubrimiento es ilustrado en el

libro décimo de los Elementos de Euclides: "Se dice que el hombre que por

primera vez llevó a la luz, desde la oscuridad, el estudio de los números

irracionales, pereció en un naufragio. Y esto ocurrió porque lo inexpresable y

lo inimaginable debió haber quedado en el misterio. Por esta razón, también

aquellos que divulgaron y tocaron esta imagen de lo viviente fueron

instantáneamente destruidos y relegados al mismo lugar del surgimiento,

donde permanecen apresados para siempre por las olas eternas."

El problema radicó en el hallazgo de magnitudes que no podían ser

expresadas en términos de otras, a las que llamaron inconmensurables, es

decir, imposibles de medir. Este descubrimiento de las magnitudes

inconmensurables, que hoy en día representan los irracionales, tuvo trágico

lugar en el triángulo rectángulo isósceles. Por ejemplo, en el de catetos

iguales a 1, el cuadrado de la hipotenusa debe ser igual a 2, ya que y el valor,

entonces de dicha hipotenusa es igual, en el modo actual de escritura a.

Pero, por más que se busque todo lo que se quiera, no existe número entero

ni fraccionario que multiplicado por sí mismo, reproduzca exactamente el

número 2. El número es inexpresable. Sin embargo, la hipotenusa de un

triángulo rectángulo isósceles, es decir, la diagonal de un cuadrado, se

presenta de un modo tan neto, tan determinado y tan evidente, que no es

posible distinguirla de ningún otro segmento de recta. Sin embargo,

actualmente se sugiere que los pitagóricos llegaron a la noción de

inconmensurabilidad a través de la figura del pentágono regular, ante la

imposibilidad de medir su diagonal con el lado. También se encontraron

magnitudes inconmensurables en las secciones áureas. Esto es, cuando una

línea x es dividida en dos partes p y q, tal que la razón de x a la parte p, es

igual a la razón de p a la otra parte q. Si lo expresamos en la notación

simbólica: La presencia de indica la irracionalidad.

4.6 Cuerpos cósmicos

Del estudio de los polígonos se llegó al estudio de los cuerpos o poliedros. En

la Geometría del espacio sólo existen cinco poliedros regulares. Los tres más

simples: el cubo, el tetraedro y el octaedro, ya eran conocidos en el antiguo

Egipto. Los pitagóricos descubrieron los otros dos: el dodecaedro, compuesto

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por doce pentágonos regulares; y el icosaedro, limitado por veinte triángulos

equiláteros.

Parece ser que Hipaso fue el primero que logró inscribir un dodecaedro

regular en la esfera. Se cuenta que, en contra de la acostumbrada reserva de

los pitagóricos, hizo público este descubrimiento y pereció en el mar a causa

de este sacrilegio.

Se designaron a estos poliedros como cuerpos cósmicos. Esta denominación

se halla probablemente relacionada con la representación post−pitagórica y

atomística de la estructura del Universo. Según esta escuela, los elementos

estarían formados por pequeñas partículas, las cuales, en el caso del fuego,

tienen la forma de tetraedro; en el aire, octaedro; en el agua, icosaedro; y en

la Tierra, cubo.

Como la forma del dodecaedro no figura entre las partículas constitutivas de

los elementos, se afirmaba que dicha forma servía de plan de construcción del

Universo, y hacía las veces de contorno del mismo.La doctrina pitagórica no

sólo sucumbió frente a sus propias contradicciones internas, sino también

ante las críticas que le dirigieran las doctrinas de la Escuela de Elea, cuyo

fundador fuera Parménides.

Entre sus discípulos se encontraba Zenón de Elea, uno de los mayores críticos

de las concepciones pitagóricas. Sus paradojas (Aquiles y la tortuga, la flecha

en el aire, etc.) demuestran los absurdos implicados en la concepción de los

cuerpos como suma de puntos, o del tiempo como suma de instantes, o del

movimiento como suma de tránsitos de un punto a otro.

Sin embargo, a pesar de que sus descubrimientos matemáticos les sirvieron

como confirmación de sus creencias sobrenaturales, dichos descubrimientos

constituyen justamente el aporte más valioso de sus pensamientos.

"Un conocimiento profundo de las cosas no lo obtendremos ni ahora ni nunca,

en tanto que no las contemplemos en su crecer desde el principio."

5. TEOREMA DE PITAGORAS

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Sobre el triángulo rectángulo, el cual, era ya conocido de los babilonios y de

los hindúes. Los pitagóricos consideraban que las formas matemáticas más

perfectas son: entre las superficies, el círculo, y entre los cuerpos, la esfera.

Así, llegaron a la idea de que los cuerpos celestes son esféricos, tanto la Tierra,

como los astros, y a la idea de que los planetas se mueven en órbitas

circulares; de este modo, crearon los fundamentos de la astrología, aunque

sería desarrollada por las generaciones pitagóricas siguientes. Todo ello les

movió a ver en el mundo un cosmos, un orden normativo fundado en números

y la medida.

huyó de esta en ropa interior, de noche, pero el destino le jugó una muy mala

pasada, puesto que guió a sus pasos hacia un campo de habas, que con el

odio que él les tenía, se negó a agacharse en él para esconderse, con lo que

fué alcanzado y muerto.Ya contaba con hermosos ochenta años cuando la

muerte le llegó, pero lo que nadie sabía era que sus conocimientos y creencias

ya estaban puestas a salvo en las manos de su hija Damona, quien era la más

fiel de sus seguidores, para que ella misma las divulgase por todo el mundo.

6. LA COMUNIDAD PITAGÓRICA.

6.1Generaciones de matemáticos.

Los ciudadanos de Crotona propusieron, al parecer, a Pitágoras que continuase

su labor de formación moral e intelectual de jóvenes y adultos. Los esfuerzos

de Pitágoras se debieron de centrar, en lo que concierne a la formación

personal completa, en los jóvenes a quienes encontró más flexibles y con más

capacidad de absorber el espíritu pitagórico plenamente.

Puesto que su sistema de pensamiento estaba basado en el descubrimiento y

contemplación de la armonía del cosmos y a ello se habría de llegar muy

fundamentalmente a través de la introducción en consideraciones científicas,

muy difíciles para los más adultos, ocupados en los asuntos de la ciudad,

estableció de modo natural dos formas distintas de enseñanza. Así es como

explica Iámblico (Vita Pyth. 88) la existencia en la primitiva comunidad

pitagórica de dos clases de miembros, los matemáticos (mathematikoi,

conocedores) es decir los iniciados a quienes Pitágoras comunicaba los

conocimientos científicos a su disposición y los acusmáticos (akousmatikoi,

oidores) que participaban de los conocimientos y creencias, de los principios

morales, ritos y prescripciones específicas de la hermandad, si bien sin

conocer en profundidad las razones de su credo y su proceder.

Esta distinción resultó ser de enorme trascendencia en la evolución de la

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comunidad pitagórica. Los acusmáticos se constituyeron en custodios de las

enseñanzas de Pitágoras y su preocupación fue que éstas se conservaran tal

como Pitágoras las había transmitido. Los matemáticos se consideraban

continuadores más bien del espíritu de Pitágoras, basado en el conocimiento

científico, y puesto que es connatural a éste su propia evolución era claro para

ellos que el conjunto de conocimientos de Pitágoras era susceptible de

perfeccionamiento. Era natural que esta diversidad de pareceres había de

conducir a la división de la comunidad con la desaparición de Pitágoras y así

sucedió en efecto.

La distinción entre matemáticos y acusmáticos es transmitida por múltiples

canales. Iámblico es quien narra más por extenso la división entre ellos y su

narración parece haber sido tomada de la obra perdida de Aristóteles sobre los

pitagóricos. Al parecer fue Hipaso el principal representante de los

matemáticos. Se debió de ocupar con notable éxito de hacer avanzar los

conocimientos matemáticos.

A principios del siglo V (500−480) entró en conflicto con los acusmáticos, ya

que fue el primero en ofrecer por escrito al público en general "el secreto de la

esfera de los doce pentágonos" (Iámblico, Vita Pyth.88), en castigo de lo cual

murió en un naufragio.

El "secreto de la esfera de los doce pentágonos" alude a cierta construcción

relacionada con el dodecaedro regular que los pitagóricos primitivos deseaban

mantener en secreto, como el grueso de su doctrina en general. En otro lugar

Iámblico mismo (Vita Pyth. 246−247) cuenta que aquél que reveló "la

naturaleza del conmensurable y del inconmensurable a quienes no eran dignos

de participar de tales conocimientos", fue expulsado de la comunidad.

Los pitagóricos le erigieron una tumba como si para ellos ya hubiera muerto.

Parece probable que fue Hipaso mismo este personaje que reveló por primera

vez la existencia de longitudes inconmensurables y precisamente a través de

un estudio del pentágono regular como veremos más adelante. Iámblico acusa

a Hipaso de haberse atribuído el mérito de sus descubrimientos, "siendo así

que todos proceden de El", es decir de Pitágoras.

Se puede pensar razonablemente que Hipaso fue un gran matemático que

efectivamente dió por primera vez con la existencia de longitudes

inconmensurables, es decir tales que una no es un múltiplo de una parte de la

otra, dando con ello al traste con la acariciada creencia de los pitagóricos

primitivos de que todo debe estar regido por los números enteros y las

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proporciones entre ellos.

La versión que Iámblico cuenta, acusando a Hipaso de plagio, proviene según

la conjetura de van der Waerden, del círculo de pitagóricos matemáticos

anónimos entre 480−430 de quienes la tomó Aristóteles mismo. Estos

pitagóricos fueron potentes matemáticos con la estrategia común de atribuir a

Pitágoras mismo sus descubrimientos matemáticos.

¿Cómo pudo tener lugar el descubrimiento de Hipaso de los

inconmensurables?. En 1954 Kurt von Fritz publicó un artículo importante, The

Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum, Annals of

Mathematics 46 (1954), 242−264. De acuerdo con sus investigaciones se

puede pensar que fue más o menos como sigue. Los pitagóricos primitivos

estaban profundamente familiarizados con el pentágono regular. Según parece

el emblema que les servía para reconocimiento mutuo era el pentagrama, es

decir la estrella de cinco puntas formada por las diagonales de un pentágono

regular.

En sus cinco vértices solían colocar las letras de la palabra ugieia, salud. Las

razones de la especial veneración de los pitagóricos por esta figura no nos es

bien conocida, pero uno se inclina a pensar que en ella, al igual que en la

tetraktis, que luego examinaremos más a fondo, encontraban armonías

geométricas y numéricas extraordinariamente llamativas.

Es fácil ver que todos los ángulos que aparecen en la figura son múltiplos

enteros del más pequeño de entre ellos (72º=2x36º, 108º=3x36º,

144º=4x36º, 180º=5x36º). Parece natural que los pitagóricos se preguntaran

sobre la proporción en que se encuentran también los segmentos que

aparecen en esta figura.

No es difícil ver, siempre con los elementos que los pitagóricos del tiempo de

Hipaso tenían a su disposición, que cada segmento de los dibujados está con

el que es inmediatamente mayor exactamente en la misma proporción, que es

precisamente la proporción los pitagóricos tenían ya, como veremos más tarde

en detalle, el proceso denominado antanairesis, o cancelación de uno y otro

lado, que se corresponde geométricamente con el llamado algoritmo de

Euclides para hallar el máximo común divisor de dos números.

Suppongamos que los segmento señalados en la figura por AD y EG son

conmensurables es decir que existe un segmento u tal que AD mide mu y EG

mide nu. Tratamos de determinar la fracción m/n. Podemos suponer que m/n

está en forma irreducible, es decir, suponemos que no existen números

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naturales, m* menor que m, y n* menor que n, tales que m/n=m*/n*. De la

figura misma es sencillo deducir que GI mide (m−n)u y que GF mide (2n−m)u.

Por otra parte es claro que AD y GI son diagonales de pentágonos regulares de

lados EA= EG y GF respectivamente.

Por tanto AD/EG=GI/GF, es decir m/n=(m−n)/(2n−m). LLamando m*= m−n,

n*=2n−m, hemos obtenido una contradicción con nuestra hipótesis de que

m/n era fracción irreducible.

Así nuestro punto de partida de que AD y EG son conmensurables es falso. Así

como entre los pitagóricos acusmáticos, como es natural, apenas se pueden

distinguir etapas evolutivas, entre los pitagóricos matemáticos que se

dedicaron al desarrollo de la ciencia estas etapas se pueden diferenciar con

cierta probabilidad. Así van der Waerden distingue cinco generaciones en el

pitagorismo entre los años 530−360.

1ª Generación (530−500): Pitágoras.

2ª Generación (520−480): Hipaso de Metaponto, Alcmeon.

3ª Generación (480−430): Matemáticos anónimos.

4ª Generación (440−400): Filolao, Teodoro.

5ª Generación (400−360): Arquitas de Tarento.

Los matemáticos anónimos de la tercera generación debieron de constituir un

grupo muy interesante del que Aristóteles se hace eco con admiración. De

ellos habla como de los fundadores de la matemática tal como se cultivaba en

su tiempo, una matemática bien adulta, rigurosa y ampliamente evolucionada.

7. ALGUNOS FRAGMENTOS DE LA ENSEÑANZA PITAGÓRICA.

7.1 Armonía del cosmos

Pocos filósofos y muchos menos han sido los científicos que hayan sabido

encarnar sus enseñanzas con elementos sensibles con tanto acierto como

Pitágoras. La famosa armonía de las esferas de la enseñanza pitagórica

primitiva era mucho más profunda que la mera conjetura de la consonancia de

las notas que los astros producen en su movimiento.

Para Pitágoras la visión fundamental consistió en que el universo es un

cosmos, un todo ordenado y armoniosamente conjuntado. El destino del

hombre consiste en considerarse a sí mismo como una pieza de este cosmos,

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descubrir el lugar propio que le está asignado y mantener en sí y en su

entorno, en lo que está de su parte, la armonía que es debida de acuerdo con

el orden natural de las cosas. La armonía cósmica entendida en este sentido

fue probablemente una audaz conclusión de madurez a la que Pitágoras llegó

a través de la observación de la congruencia de sus consideraciones científicas

sobre números, figuras, notas musicales, con las ideas orientales sobre el

alma, los astros y la divinidad.

7.2 El juramento pitagórico

Bajo diversas formas se ha conservado una breve fórmula pitagórica de difícil

interpretación que, según es de suponer, contenía algo muy cercano a la

quinta esencia del espíritu pitagórico. En la versión más corriente reza así: "No,

por Aquél que ha entregado a nuestras almas la Tetraktis, una fuente que

contiene las raíces de la naturaleza eterna".

Al parecer constituye un juramento de secreto sobre el contenido de la

enseñanza pitagórica, reservado a miembros de la comunidad exclusivamente.

"Aquél", por supuesto, es Pitágoras mismo, a quien los pitagóricos primitivos

no osaban nombrar. La Tetraktis, o cuaterna, consiste probablemente en los

números 1,2,3,4, que conjuntamente solían representar los pitagóricos en esta

forma figurativa

x

x x

x x x

x x x x

7.3 Vida religiosa

Por otra parte, en la vida religiosa de la Grecia contemporánea a Pitágoras

abundaban extraordinariamente los misterios o ceremonias asimismo secretas

de iniciación y purificación progresiva, con la finalidad de provocar en el

espíritu del iniciado un estado de veneración, fervor religioso y entusiasmo

místico, llevadas a cabo en una parte oculta del templo. Los festivales

nacionales de Delfos, Eleusis, incluían misterios celebrados con genuina

exaltación religiosa. Parece muy probable que Pitágoras adoptase en la tarea

de formación de sus adeptos los métodos y técnicas que había observado ser

de gran eficacia...

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Este rasgo secretista de la enseñanza pitagórica primitiva fue mitigado más

adelante. El "No" rotundo del juramento aparece convertido en sí en los Versos

Áureos, una compilación de enseñanzas pitagóricas escrita probablemente en

el segundo o tercer siglo después de Cristo, teniendo a la vista fuentes mucho

más antiguas, y destinada a expandir la doctrina pitagórica a todos los

hombres. He aquí algunas de sus consideraciones con más probabilidad de

pertenecer al pitagorismo primitivo.

1. " Honra ante todo a los dioses inmortales, como manda la ley,

2. y observa el juramento. Honra también a los nobles héroes

7.4 Inmortalidad del alma

Porfirio, en su biografía de Pitágoras (Vita Pyth. 19) transmite un testimonio de

Dicaiarcos un alumno de Aristóteles, que resume las enseñanzas de Pitágoras en

estos cuatro puntos:

(1) Que el alma es inmortal.

(2) Que las almas cambian su lugar, pasando de una forma de vida a otra.

(3) Que todo lo que ha sucedido retorna en ciertos ciclos y que no sucede nada

realmente nuevo.

Este aspecto de la filosofía pitagórica aparece fuertemente emparentado con la

mentalidad del orfismo, un movimiento religioso que, probablemente viniendo de

oriente, se instaura en Grecia empezando por Tracia en siglo VI a. de C.

La Grecia anterior al siglo VI tenía en los libros homéricos un equivalente de las

escrituras sagradas de otros pueblos. El pensamiento de un alma inmortal es

totalmente ajeno al espíritu griego antiguo. Pero al parecer esta situación cambió

radicalmente a partir del siglo VI, muy posiblemente bajo la influencia de multitud

de movimientos religiosos que procedentes de Persia, de la India ñyñ de Egipto, se

asentaron en el mundo griego.

De hecho el panorama de creencias religiosas es totalmente diferente en el siglo

IV a. de C. El orfismo tenía a Diónisos como dios y a Orfeo como su sacerdote,

reuniendo cierto sentido místico con una ascética de purificación. El espíritu

humano procede de otro mundo y se encuentra como desterrado en este,

encadenado al cuerpo por la sensualidad.

Existe un mundo de acá y otro de más allá y la vida debe vivirse como una fuga de

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lo terreno. Muy probablemente Pitágoras amalgamó elementos órficos con otros,

posiblemente de origen persa, como el del eterno retorno que aparece

mencionado en el punto 3 de Diocaiarcos, y con sus propias concepciones sobre la

constitución del cosmos y sobre el modo concreto de purificación a través de la

contemplación, dando primacía al elemento racional y matemático sobre el

poético de aquellas cosmmogonías primitivas, para producir una síntesis que

resultó profundamente atrayente no sólo para sus contemporáneos, sino para los

muchos movimientos de inspiración pitagórica durante más de diez siglos.

Al parecer, en el modo de vida de los pitagóricos primitivos la metafísica como tal

era poco importante. Lo que verdaderamente importaba era la vida pura,

concretada en la armonía del alma con el cosmos, que habría de concluir con la

liberación del alma del círculo de reencarnaciones. Lo que importaba era la

elevación del alma al cielo de los bienaventurados tras la muerte.

8. PENSAMIENTO ETERNO DE LOS PITAGÓRICOS

8.1 Del helenismo hasta la actualidad

Según aparece en diversas fuentes, aunque los pitagóricos de Crotona del tiempo

de Pitágoras no constituyeron propiamente un grupo político, sin embargo llegaron

a adquirir una gran influencia y poder en las decisiones de la ciudad. Poco después

de que los crotoniatas destruyeran la ciudad de Síbaris, su rival, en el año 510, se

despertó en Crotona un movimiento antipitagórico de oscuro origen. En el año 509

Pitágoras tuvo que exiliarse en Metaponto, donde murió el año 500.

La comunidad pitagórica se rehízo de nuevo más tarde en Crotona, perdurando allí

hasta 450.

Al parecer la concepción política derivada del

pitagorismo era más bien de tipo aristocrático,

lo que no casaba con los aires democráticos

que en el siglo V se respiraban en toda Grecia

con el comienzo de la era de Pericles. En 450

la casa de los pitagóricos de Crotona fue

incendiada y casi todos los pitagóricos fueron

muertos. Asímismo hubo persecuciones de

pitagóricos en otras ciudades de Italia. Muchos

emigraron a Grecia, como Filolao, que se

trasladó a Tebas. De toda Italia, tan sólo en Tarento sobrevivió una floreciente

comunidad pitagórica presidida por Arquitas.

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En el siglo IV hubo diversos grupos de pitagóricos: los discípulos de Filolao en Flius;

el grupo de Arquitas en Tarento; los llamados "pitagoristas", que entre 380 y 320

vivieron en Atenas y de los que hacen mofa varias de las comedias del tiempo.

2 final filosofia

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