II-Diferenciales Exactas y función potencial Definición: Una expresión , ,P x y dx Q x y dy se llama forma diferencial.

Ejemplo: 32 3xy dx xy dy Definición: la forma diferencial , ,P x y dx Q x y dy se llama forma diferencial

exacta (diferencial exacta) cuando proviene de calcular la diferencial de alguna función

de dos variables , f x y . Podemos decir entonces que:

, ,P x y dx Q x y dy

,

se llama forma diferencial exacta (diferencial

exacta) f x y tal que , ,df P x y dx Q x y dy .

Propiedad: Sean y ,P x y ,Q x y con derivadas parciales P

x P

y Qx Qy

continuas. Entonces:

, ,P x y dx Q x y dy es diferencial exacta Py

= Qx .

Demostración:

Veremos que , ,P x y dx Q x y dy es diferencial exacta Py

= Qx .

En efecto: Si es diferencial exacta , ,P x y dx Q x y dy ,f x y tal que

, ,P x y dx Q x y dy df ,f x y tal que P fx

Q f y

P fy x y x yx

Q f Por el Teorema de Schwartz P fy xy f Qyx x

Si = yPx

Q , ,P x y dx Q x y dy es diferencial exacta

(Se puede también probar, pero no lo haremos) Si P

y=

xQ , ,P x y dx Q x y dy es diferencial exacta

Hemos dicho que a forma diferencial , ,P x y dx Q x y dy se llama forma

diferencial exacta (diferencial exacta) cuando proviene de calcular la diferencial de

alguna función de dos variables ,f x y .

1

Esta función , f x y se llama la función potencial.

Definición: si , ,P x y dx Q x y dy es una diferencial exacta entonces

,f x y tal que , ,df P x y dx Q x y dy f dx f dyx y .

La función ,f x y se llama la función potencial.

Si se verifica además, la condición 0 0 0,f x y z se dice que ,f x y es la función

potencial con nivel en el punto 0

z 0 0,x y .

Ejemplo: Dada la forma diferencial 2 22x y dx x y dy

i) Verificar que es una diferencial exacta. ii) Hallar la función potencial iii) Hallar la función potencial con nivel 1 en el 1,1

i) , , 2P x y 2 2Q x y 2P x

y 2Q xx P Q

y x

Como resultado, es diferencial exacta.

ii) Si 2 22x y dx x y dy es diferencial exacta ,f x y tal que

2 2dx x y dy 22df x y f xyx 2 2f x yy

Hay dos formas a) y b) de hallar la función potencial, por lo cual se sugiere usar la que resulte más fácil, en caso que presentaran distinto nivel de dificultad a) Buscaremos la función potencial partiendo de 2f xyx

2, , 2 ( )f x y f x y dx xy dx yx C yx .

Obtuvimos 2, ( )f x y yx C y . (*)

Derivando respecto de y se tiene 2, ( )f x y x C yy

Por otra parte sabíamos que 2 2f x yy

De estas dos últimas igualdades resulta 2 2f x yy 2 ( )x C y 2y C y

3

3y

C y C 2C y y dy C dónde C es una constante

Volviendo a (*) 3

2,3y

f x y x y C

2

Como resultado 3

2,3y

f x y x y C es la función potencial asociada a la

diferencial exacta 2 22x y dx x y dy

b) Buscar la función potencial partiendo de 2 2f x yy

3

2 2 2, ,3y

f x y f x y dy x y dy x y C xy .

Obtuvimos 3

2,3y

f x y x y C x (**)

Derivando respecto de x se tiene , 2f x y xy C xx

Por otra parte sabíamos que 2f xyx

De estas dos últimas igualdades resulta 2xy 2xy C x 0C x

CC x =constante

Volviendo a (**) 3

2,3y

f x y x y C

Como resultado 3

2,3y

f x y x y C (donde C es una constante arbitraria) es la

función potencial asociada a la diferencial exacta 2 22x y dx x y dy

C) Para hallar la función potencial con nivel 1 en el 1,1 buscamos la constante que

verifique:

C

1,1 1f

3

2,3y

f x y x y C

f evaluada en (1,1) es 21,1

3f C

Por otra parte buscamos que sea 1,1 1f

Entonces debemos plantear 2

13

C 2 1

13 3

C C

Como resultado 3

2 1,

3 3y

f x y x y es la función potencial asociada a la diferencial

exacta 2 22x y dx x y dy con nivel 1 en el 1,1

3