funcion lineal
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Mdulo de Matemticas
Nidia Mercedes Jaimes Gmez
UNIDAD TRES
3. Funcin lineal
Las abejas..., en virtud de una cierta intuicin geomtrica..., saben que el hexgono es mayor que el cuadrado y que el tringulo, y que podr
contener ms miel con el mismo gasto de material.
Papus de Alejandra
Introduccin
Unidad 3
Palabras Clave Funcin lineal, dominio, grfica de una funcin, funcin lineal, crecimiento constante,
pendiente, ceros.
Las funciones lineales se caracterizan
porque su representacin grfica es
una lnea recta, adems, el cambio
que experimenta la variable
dependiente por cada unidad que
vara la independiente es CONSTANTE.
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Mdulo de Matemticas
Nidia Mercedes Jaimes Gmez
3.1 Funcin Lineal
Una FUNCIN LINEAL est definida por la regla f(x) = y = mx + b, con
m, b R, y, m 0, siendo su DOMINIO los NUMEROS REALES.
Una funcin de la forma y = f(x) = b se denomina FUNCIN CONSTANTE (si
m=0)
La grfica de la funcin lineal es una lnea recta, donde m determina la
PENDIENTE de la recta (inclinacin) y se define a partir de dos puntos
diferentes de la recta.
Sean (x1, y1) y (x2, y2) puntos diferentes de la recta.
Se define: m = y y
x x
2 1
2 1
, constante que determina la inclinacin de la recta,
es decir, la VARIACIN (aumenta o disminuye) de la variable dependiente
por CADA UNIDAD que VARE la variable independiente.
Ejemplos:
1. Encontrar la pendiente de la lnea recta que pasa por los puntos
20,55,2 y . Representar grficamente y hallar otro punto de la recta.
Solucin:
Aplicando la regla dada, el valor de la pendiente es: m= 53
15
25
520
, lo
cual significa que por cada UNIDAD en que se incremente un valor del
dominio, su correspondiente imagen aumenta en 5 unidades.
Conocida esta informacin podemos encontrar puntos colineales (en la
grfica estn sobre la misma lnea recta). Veamos:
Como sabemos que (2, 5) est sobre la lnea recta, entonces al aplicar el
anterior resultado se verifica que el punto (3, 10) tambin pertenece a esta
lnea recta.
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Al observar cada uno de los tringulos coloreados se puede verificar en
toda la trayectoria de la lnea recta que, por cada unidad que se
incrementa un elemento del eje x (dominio), la imagen representada en el
eje y aumenta en 5 unidades. Esta sera una representacin de la
pendiente.
2. Encontrar la regla que define la funcin lineal de la recta que pasa por
los puntos (3, -2) y ( 4, 5).
Como una funcin lineal est definida por una expresin de la forma: f(x)
= y = mx + b, se deben determinar los valores m, b.
Teniendo en cuenta que: m = y y
x x
2 1
2 1
entonces,
m = 5 2
4 3
( ) , m =
2 5
3 4
m =
7
17
7 > 0 Valor que indica que por cada unidad que AUMENTE la abscisa
(primera componente) de un punto de la recta, su imagen AUMENTA en 7
unidades.
Luego: f(x) = y = 7x + b
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Ahora, (x, y ) representan las coordenadas de cualquier punto de la recta,
en particular (3, -2) y (4, 5) satisfacen dicha ecuacin. Esto es:
-2 = 7(3) + b 5 = 7(4) + b
-2 = 21 + b 5 = 28 + b
-2 - 21 = b 5 - 28 = b
- 23 = b - 23 = b Por lo tanto: f(x) = y = 7x 23 es la regla que define la funcin lineal cuya
recta pasa por los puntos (3, -2) y (4, 5).
3. Encontrar la regla que define la funcin cuya grfica es la recta de
pendiente
3
2y que pasa por el punto de coordenadas (-4, 6 ).
Como la pendiente es 2
3 , significa que la imagen de un punto de la recta
va a DISMINUIR 3
2 unidades, si su abscisa AUMENTA 1 unidad. Es decir, que
si tomamos el punto (-4, 6) y aumentamos su abscisa en una unidad, su
respectiva imagen disminuye en 3
2 y se obtiene el punto
2
36,14 Esto
es
2
9,3 .
La regla que define la funcin es: f(x) = y = -3
2 x + b. Como el punto (-4, 6)
pertenece a la recta, satisface la ecuacin anterior:
6 = 3
24( ) b
6 = 6 + b
0 = b
Es decir, f(x) = y = 2
3 x
4. Una poblacin en extincin, en el ao 1980 tena 1200000 habitantes,
pero en el ao 2000 sta se redujo a la mitad. Si la poblacin se
comporta como una funcin lineal respecto al tiempo transcurrido en
aos:
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a. Defina las variables, e identifique la regla que define la funcin:
Poblacin- tiempo.
b. Interprete m y b
c. Qu tiempo debe transcurrir para que la poblacin se extinga
completamente?
d. Grafique la funcin.
e. Variable independiente: t = tiempo transcurrido en aos a partir de
1980.
Variable dependiente : P(t) = Poblacin despus de t aos.
El ao 1980 se considera como t = 0 , luego P(0) = 1200000
El ao 2000 se considera como t = 20, luego P(20) = 600000 (Por qu?)
As : m 30000020
1200000600000
, y, b = 1200000
La funcin pedida es entonces: P(t) = 30000 t + 1200000
f. Como m < 0, esta funcin lineal es decreciente, es decir que a medida
que transcurre el tiempo, la poblacin disminuye. Adems, como m =
30000 , indica que por cada ao
que transcurre la poblacin se disminuye en 30000 habitantes.
g. Si la poblacin se extingue completamente, P(t) = 0 , luego:
0 = 30000 t + 1200000, t = 40 aos. Lo cual significa que deben transcurrir
40 aos a partir de 1980 para que la poblacin descrita se extinga
completamente. Esto ocurrira en el ao 2020.
h. COMPORTAMIENTO DE LA POBLACIN RESPECTO AL TIEMPO
Poblacin
Tiempo transcurrido en aos despus de 1980
20 40
1200000
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EJERCICIO 19
1. La siguiente grfica suministra informacin acerca de la depreciacin
de una mquina para hacer deporte. V representa el valor (en dlares)
de la mquina despus del tiempo t y t es el tiempo transcurrido a
partir de la adquisicin de la mquina.
a) Cul es la depreciacin
de la mquina ( en dlares)
por ao?
b) Cul es el valor inicial de
la mquina?
2. Para el anterior ejercicio, construya el modelo lineal que relaciona el
valor de la mquina con el tiempo transcurrido.
3. GRAFICAR las siguientes funciones:
a. f(x) = 10 +3x b. f(x) =2x
c. f(x) = -7 + 4
3x d. f(x) = 3x - 3
e. f(x) = 6 f. f(x) = 3
4. Determinar el modelo lineal que satisface los puntos:
V
t
31000
00
124000
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a. (0, 2) y 1
3
1
4,
b. (-2, 3) y (5, -2)
c. (100, 3,500) y (200, 7200)
5. Los costos de producir x pares de zapatos para una empresa estn
dados por
C(x) = 3500 + 0.75x dlares.
a. Escriba una interpretacin para los parmetros m y b.
b. Cules son los costos de producir 1500 pares de zapatos?
c. Cuntos pares de zapatos se deben producir para que los costos
sean de 5000 dla res?
6. En cada una de las siguientes grficas hallar las coordenadas del punto
A.
a)
b)
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7. En una empresa se sabe que al producir una unidad adicional, a partir
de un nivel x de produccin los costos se aumentan en 10 dlares y que
al producir 200 unidades, los costos de produccin son 10000 dlares.
a. Construir una funcin lineal que represente el costo total de producir x
unidades.
b. Cul es el costo de producir 100 unidades?
c. Si la empresa tiene unos costos totales de US$13000 Cuntas unidades se
producen?
8. Si producir 50 unidades de un artculo tiene unos costos totales de US$
30000 y producir 200 unidades tiene un costo total de US$45000, y los
costos totales de produccin estn relacionados linealmente con la
cantidad de unidades producidas:
a. DEFINIR las variables y ENCONTRAR la funcin lineal que relaciona los
costos totales con el nmero de unidades producidas.
b. En cunto se aumentan los costos totales de produccin por cada
unidad adicional que se produzca?
c. Cul es el costo total de producir 425 unidades? 426 unidades?
En cunto se
aumentan los costos? Qu representa este valor?
9. Los costos de produccin de una empresa estn dados por un modelo
lineal que se representa a continuacin.
a. Determine la funcin que representa los costos totales de producir x
unidades.
b. Si no hay produccin, en qu costo se incurre?
300000
640000
200
Pesos
Cantidad de artculos
Funcin de costos totales
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Taller 7
1. Una firma que fabrica bolgrafos, determina que la relacin entre los
costos totales de produccin y el nmero de bolgrafos fabricados es
lineal. El costo total de fabricar 10 bolgrafos es US$80 y el costo total
de fabricar 20 bolgrafos es US$110.
a) Encuentre la funcin de costos. Interprete m y b.
b) Cul es el costo total de producir 40 bolgrafos?
2. Una empresa compr una mquina en el ao de 1995 por un valor
de 85000 dlares. Si sta tiene una depreciacin anual constante de
US$4500:
a) Determine el modelo lineal que relaciona el valor de la mquina
con el nmero de aos transcurridos a partir de 1995.
b) Aproximadamente, en qu ao la mquina pierde su valor?
c) Al cabo de cunto tiempo la mquina vale el 35% de su valor
inicial?
d) Grafique la funcin.
3. Dada la tabla:
CANTIDAD DE ESTUDIANTES INSCRITOS (DESDE SU FUNDACIN)
QUE ASPIRAN A HABLAR 7 IDIOMAS
EN LA ESCUELA ABC
AO 1980 1985 1990 CANTIDAD
ESTUDIANTES 5200 4300 3400
a) Determine un modelo lineal que relacione la cantidad de
estudiantes inscritos, con el tiempo transcurrido. Interprete los
parmetros: m, b.
b) Aproximadamente cuntos estudiantes se inscribieron en 1997?
c) En qu ao se debe prescindir de esta carrera?
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3.4 Sntesis
Una funcin con una variable independiente es una relacin mediante la
cual se asigna a cada elemento de un conjunto A un nico elemento de
un conjunto B. Concretamente se define una regla con la cual se pueden
hallar elementos desconocidos. Los elementos de esta funcin son parejas
ordenadas de la forma (x,y), las cuales se representan en un plano
cartesiano, la unin de estos puntos forman la grfica de la funcin.
La funcin lineal es de la forma f(x) = mx + b, su grfica es una lnea recta,
m representa la inclinacin de la recta y es llamada pendiente, b es el
punto de corte con el eje vertical.
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x
m = 0
Funcin constante
m > 0
m < 0
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Para construir la funcin lineal es necesario conocer al menos dos puntos
de la funcin o un punto y la pendiente. En cualquiera de los casos el
propsito es encontrar los valores de m y b para que la funcin quede
definida.
Si ( x1 , y1), (x2 , y2 ) son elementos de la funcin, m = 12
12
xx
yy
3.5 Glosario
Variable independiente. Variable libre a la cual
se le asignan valores teniendo como referencia
el dominio de la funcin.
Variable dependiente. Valores que resultan al
aplicar la regla de la funcin sobre los valores
independientes que se asignan.
Imagen. Valor que le corresponde a cada
elemento del dominio de la funcin. En una
pareja ordenada es el segundo componente.
Pre-imagen. Primera componente de la pareja
ordenada.
Pendiente. Inclinacin de la lnea recta
Ceros de la funcin. Grficamente son los
puntos de corte de la grfica de una funcin
con el eje horizontal (x). Analticamente son los
elementos del dominio de la funcin que
tienen imagen cero.