15 de marzo - medidas de resumen

5/28/2018 15 de Marzo - Medidas de Resumen

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Nancy Ochoa S.

MEDIDAS DE RESUMEN


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Nancy Ochoa S.

PROMEDIOSUn motivo para hacer

sospechar que la Estadsticaes ms un arte que una

ciencia, gira en torno a laambigedad con que se usa el

trmino promedio.

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Nancy Ochoa S.

1. Diferenciar los diversos tipos de medidas de resumen

que se pueden aplicar a un conjunto de datos

2. Calcular e interpretar las principales medidas detendencia central

OBJETIVOS

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Nancy Ochoa S.

5.1 La estadstica de resumen

Despus de construir tablas y grficos, a partir deuna coleccin de datos, se requieren medidas msexactas.

La estadstica de resumen, proporciona medidaspara describir un conjunto de datos.

Existen tres tipos de medidas de resumen:

De tendencia central.

De dispersin. De la forma de la distribucin.

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5/53Nancy Ochoa S.

(A) Las medidas de tendencia central

Se refieren al punto medio de una distribucin

Se conocen como medidas de posicin

Ejemplo: A partir del grfico siguiente, se observa que laposicin central de la curva B est a la derecha de laposicin central de las curvas A y C. Obsrvese que laposicin central de la curva A es la misma que la curva C.

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6/53Nancy Ochoa S.

(B) Las medidas de dispersin

1. Se refieren a la extensin o amplitud de los datos de

una distribucin2. Representan el grado de variabilidad de los datos.

Ejemplo: Observe que la curva A en el siguientegrfico tiene una mayor dispersin que la curva B, a

pesar que la posicin central es la misma.

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Nancy Ochoa S.

(C) Las medidas de la forma de la curva

Las curvas que representan a un conjunto de datos,pueden ser analizadas de acuerdo a su:a) Simetra b) Curtsis

Las curvas simtricas, tienen una forma tal que con una

lnea vertical que pase por el punto ms alto de la curva,dividir el rea de esta en dos partes iguales.

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Nancy Ochoa S.

Las curvas sesgadas son aquellas cuyos valores estnconcentrados en el extremo inferior o superior de la escala

de medicin del eje horizontal. Lacola

indica el tipo desesgo.

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Nancy Ochoa S.

Cuando medimos la curtsis nos referimos al grado deagudeza. Pueden ser: leptocrtica (concentracin al centro)mesocrtica distribuidos simtricamente) o platicrtica(aplanada).

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Nancy Ochoa S.

5.2 Las medidas de tendencia central

1.En general se denominan promedios.

2.Los ms importantes son la media, la mediana y la moda.Aritmtica

Media Geomtrica

Medidas de Mediana Armnica

tendencia central Moda

3.Tambin es til conocer los percentiles (o fractiles).

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Nancy Ochoa S.

POR QU SON IMPORTANTES LAS MEDIDAS DE

TENDENCIA CENTRAL?Porque la mayor parte de los conjuntos de datosmuestran una tendencia a agruparse alrededor deun dato central.

Las medidas de tendencia central son puntos enuna distribucin, los valores medios o centralesde sta y nos ayudan a ubicarla dentro de la

escala de medicin.

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Nancy Ochoa S.

5.2.1 La Media(A) La media aritmtica ( )

a) Obtencin: Se obtiene sumando los valoresregistrados y dividindolos entre el nmero de datos.

Ejemplo:

La siguiente tabla muestra el nmero de reclamos y

quejas presentadas por clientes en el Servicio deEntregas durante una semana. Calcule e interprete lamedia.

Da/Semana Lun Mar Mier Jue Vier SabReclamos/da 8 10 5 12 10 15

x

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Nancy Ochoa S.

Media aritmtica =

= 10 reclamos

b) Interpretacin:Si elige al azar un da de la semana,se espera que los clientes presenten 10 reclamosdurante ese da.

c) Simbologa:Tamao Media aritmtica

Muestra n (equis barra)

Poblacin N (mu)

660

61510125108

x

x

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Nancy Ochoa S.

d) Clculosa partir de datos no agrupados, se

utilizan las siguientes formulas.Para una muestradonde:

: media muestral

: suma de todos los datos: nmero de datos (muestra

Para una poblacin

donde: : media poblacional: suma de todos los datos

: nmero de datos (poblacin)

n

n

i i

x

1X

iX

x

n

i

X

N

N

i i

1X

N

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Nancy Ochoa S.

Mediaaritmtica

Se puede calcular la media aritmtica utilizando Excel.

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Nancy Ochoa S.

e) Clculo a partir de datos agrupados.

El clculo de la media aritmtica, cuando los datosdisponibles se encuentran en tablas de distribucin defrecuencias, se realiza utilizando la formula siguiente:

donde: :media muestral

:frecuencia absoluta de la clase i

:marca de la clase i

n

f

nf

i

i

i

ii

x

1

1

X

x

if

iX

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Nancy Ochoa S.

Ejemplo:

La distribucin de frecuencias siguiente, representa los puntajesobtenidos en una evaluacin del desempeo, aplicado apersonal tcnico de una Empresa Textil. El puntaje mximo en laprueba es 50. Calcule e interprete en media.

Desempeo Nmero de

(puntos) tcnicos

12 - 17 4

17 - 22 8

22 - 27 15

27 - 32 23

32 - 37 10

TOTAL 60

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Nancy Ochoa S.

iXPrimero se calcularn las marcas de clase ( ) esdecir, el valor intermedio de cada clase

Marca de Frecuencia

clase ( ) absoluta(fi)12 - 17 14.5 417 - 22 19.5 822 - 27 24.5 15

27 - 32 29.5 2332 - 37 34.5 10

Total 60

14.5(4) + 19.5 (8) + 24.5 (15) + 29.5 (23) + 34.5 (10)

4 + 8 + 15 + 23 + 10

ix

x x

CLASE

160560

x 26.7517


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Nancy Ochoa S.

Interpretacin: Si se elige al azar a un trabajador tcnico de estaempresa, se espera que tenga un puntaje de 26,75 en su

evaluacin de desempeo.

n

i

i

n

i

ii

w

w

px

1

1

X

f) La media aritmtica ponderada ( )

donde:

=factor de ponderacin

= datos

px

iw

iX

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Nancy Ochoa S.

Ejemplo: Una empresa comercializadora de Seguros Mdicosdispone de 3 representantes para la zona de Miraflores, cada

uno de los cuales cobra diferente comisin por pliza vendida, yrealiza diferente nmero de contratos. Calcule e interprete evalor medio de la comisin

N de polizas de ComisinVendedor Seguro Mdico por venta $

Pedro 30 30

Juan 25 40Pablo 20 50

iw iX

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Nancy Ochoa S.

Interpretacin:

Si se elige al azar un representante se espera que cobreuna comisin de $38.67 por pliza vendida.

67.38$75

2900202530

)50(20)40(25)30(30 px

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Nancy Ochoa S.

g)Ventajas y desventajasde la media aritmtica

Ventajas:

Concepto familiar para muchas personasEs nica para cada conjunto de datosEs posible comparar medias de diferentesmuestras

DesventajasSe ve afectada por los datos extremosSi la muestra es grande y los datos no estnagrupados, su clculo es tedioso

Si los datos estn agrupados en clases conextremos abiertos, no es posible calcular lamedia.

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Nancy Ochoa S.

(B) La media geomtrica ( )

Se utiliza para calcular tasas medias de variacin, como

la tasa media de crecimiento poblacional, la tasa mediade inflacin mensual, la tasa media de mortalidad, entreotros.

a) Obtencin Se obtiene extrayendo la raz ensimadel producto de los nvalores de una serie.

gx

ngn

x XXXX .........321

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Nancy Ochoa S.

Ejemplo:

La siguiente tabla muestra la tasa de aumento en las quejasdurante los ltimos meses. Calcule e interprete la tasa mediamensual.

Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo

Aumento dequejas

2.6% 5.4% 3.8% 0.5% 1.4%

La tasa 2,6% tambin se puede expresar como 0,026 , ypuesto que se refiere a un aumento a partir de una basede 100%, el factor de variacin ser 1,026. Para los otrosdatos se opera igual.

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Nancy Ochoa S.

Por lo tanto, la media geomtrica se calcula:

5 )014.1)(005.1()038.1()054.1()026.1(

)(0272540,1 medioocrecimientdeFactor

5 143903377.1

100)1( Tasa mediade variacin =

b) Clculos

n xxxxx g ,......,, 321

gx

gx

gx

gx

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Nancy Ochoa S.

c) Interpretacin

Si se selecciona al azar un mes entre enero y mayo,se espera que las quejas se hayan incrementado2,72% con respecto al mes anterior.

= (1,0272540 - 1) x 100 = 2,72%

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Nancy Ochoa S.

(C) La media armnica ( )

Se utiliza para calcular el tiempo medio, velocidad yaceleracin media, como por ejemplo, el tiempo mediopara realizar determinada ciruga.

a) Obtencin: se obtiene calculando el inverso de la

media aritmtica de los inversos de una serie.

hx

n

n

i i

hx

1X1

1

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Nancy Ochoa S.

Ejemplo:

Los siguientes datos registran el tiempo que utilizan cuatro

tcnicos al realizar un proceso de mantenimiento automotrizCalcule e interprete el tiempo medio.

Tcnico A B C D

Tiempo(minutos) 45 38 52 40

Conocer el tiempo medio permite contar con unaherramienta til en la planeacin de los recursos

como la Sala de Operaciones. Adems de podercomparar nuestro desempeo con los estndares decalidad internacionales.

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Nancy Ochoa S.

b) Interpretacin:

Si se selecciona al azar a uno de los cuatro tcnicos,se espera que realice este proceso de mantenimiento

automotriz en 43 minutos aproximadamente.

88920

2223171023401976

4

40

1

52

1

38

1

45

1

4

hx

minutos117953.438249

889204

h

x

segundos7minutos43h

x

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Nancy Ochoa S.

5.3.2 La Mediana

Es la medida que divide en dos subconjuntos iguales adatos, de tal manera que 50% de los datos es menor ala mediana y el otro 50% es mayor a la mediana.

a) Obtencin:Se obtiene ordenando la serie de datos(en forma ascendente o descendente) y ubicando eldato central.

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Nancy Ochoa S.

Ejemplo:

Los siguientes datos se refieren al nmero de empleadosque llegaron a la empresa, despus de la horaprogramada para el ingreso, durante los ltimos 11 das.Calcule e interprete la mediana.

12, 10, 5, 15, 8, 11, 13, 8, 10, 17, 16

Primero se ordenan lo datos:

5, 8, 8, 10, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17

5 datos menores 5 datos mayores

mediana

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Nancy Ochoa S.

b) Interpretacin: Durante 5 das llegaron menos de 11pacientes tarde a su cita y durante 5 das, ms de 11

pacientes llegaron tarde a su cita.

c) Reglas

1 Si la serie es impar, la mediana ocupa el lugar central de

la serie previamente ordenada.

Ejemplo:5, 10, 10, 12, 15 , 17, 20, 21, 24

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Nancy Ochoa S.

Ejemplo:8, 10, 14, 18, 23, 24, 32, 34

3 Sea la serie par o impar, la mediana ocupa el lugar,de la serie previamente ordenada.

2

1n

5.202

2318

mediana

2 Si la serie es par, la mediana se obtiene de lasemisuma de los dos valores centrales de la serie

previamente ordenada.

32

d) Clculo a partir de datos agrupados


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Nancy Ochoa S.

d) Clculoa partir de datos agrupados.

donde:

: mediana

: limite real (o frontera) inferior de la clase

mediana.: nmero total de datos.

: suma de todas las frecuencias hasta, pero

sin incluir, la clase mediana.

: frecuencia de la clase mediana: amplitud de clase

cMdf

Fn

Md i

12

1

L

Md

iL

n

F

Mdf

c

33

L t bl i i t t l i i l b


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Nancy Ochoa S.

Ejemplo: La tabla siguiente muestra la experiencia labora(aos) del personal de seguridad que labora en una granempresa. Calcule e interprete la mediana.

Experiencia Nmero de

laboral trabajadores

(aos) de seguridad

0 - 4 5

4 - 8 12Clase

Mediana8 - 12 24

12 - 16 16

16 - 20 10

20 - 24 3

70

Lugar de la mediana:

Mediana = 11.0 aos

7035

2

34


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Nancy Ochoa S.

Interpretacin:

La mitad del personal de seguridad quelabora en esta empresa tienen una experiencia

laboral igual o menor a 11 aos s. La otramitad de este personal tiene una experiencialaboral igual o mayor a 11 aos

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Nancy Ochoa S.

e) Ventajas y desventajasVentajas:

Los valores extremos no afectan a la mediana como enel caso de la media aritmtica.Es fcil de calcular, interpretar y entender.Se puede determinar para datos cualitativos,registrados bajo una escala ordinal.

Desventajas:Como valor central, se debe ordenar primero la serie dedatos.Para una serie amplia de datos no agrupados, el

proceso de ordenamiento de los datos demanda tiempoy usualmente provoca equivocaciones.

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5.3.3 La Moda


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Nancy Ochoa S.

La moda es el valor que ms se repite dentro de un conjuntode datos.

a) Obtencin: se obtiene organizando la serie de datos yseleccionando el o los datos que ms se repiten.

4, 5, 7, 8, 8 , 10, 12, 15

4, 7, 12,12 , 15, 16, 20, 20 , 24, 27

7, 12, 15, 18, 25, 30, 31, 38

Ejemplo:

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Nancy Ochoa S.

b) Clculoa partir de datos agrupados

donde:

: moda

: limite real (o frontera) inferior de la clase

modal (la de mayor frecuencia)

: frecuencia de la clase modal menos la

frecuencia de la clase anterior

: frecuencia de la clase modal menos la

frecuencia de la clase siguiente

: amplitud de clase

ci

21

1

LoMoM

iL

1

2

c

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Nancy Ochoa S.

Las clases mediana y modal pueden coincidir peroconceptualmente son diferentes.

Ejemplo: La tabla siguiente muestra los errores de facturacindurante un mes, en un empresa comercial. Calcule e interprete lamoda.

Interpretacin: Durante un mes, el nmero ms frecuente deerrores de facturacin en esta empresa comercial es 6.

Errores de

facturacin Das

0 - 4 6

4 - 8 12 ClaseModal

8 - 12 8

12 - 16 3

16 - 20 1

Total 30

Clase moda : (4 - 8)

Mo = 6.4

61

42

6Mo 4.0 4

6 4

39

e) Ventajas y desventajas de la moda


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Nancy Ochoa S.

e) Ventajas y desventajas de la moda.

Ventajas:

Se puede utilizar tanto para datos cualitativos comocuantitativos.

No se ve afectada por los valores extremos.

Se puede calcular, a pesar de que existan una o msclases abiertas.

Desventajas:

No tiene un uso tan frecuente como la media.

Muchas veces no existe moda (distribucin amodal)

En otros casos la distribucin tiene varias modas, lo quedificulta su interpretacin.

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Nancy Ochoa S.

5.3.4 Los PercentilesSon los valores que dividen en 100 partes iguales

a un conjunto de datos

a) Clculo:para datos agrupados.

c

f

n

iK

KP

1i

F100

K

LP

41


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Nancy Ochoa S.

Donde:

: percentil

: el percentil buscado: nmero de datos

: frecuencia acumulativa hasta la clase

anterior a la clase donde se ubica el percentil K: frecuencia absoluta de la clase donde se ubica

el percentil K

: amplitud de clase

K

P

c

K

n

iF

K

fP

42

Ejemplo:


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Nancy Ochoa S.

Ejemplo:

La tabla muestra la experiencia (en aos) de lasobreras de una empresa de confecciones.

Experiencia Trabajadores(aos)

0 - 3 18

4 - 7 42

8 - 11 68

12 - 15 120

16 - 19 40

20 - 23 34

24 - 27 12

Total 334

43


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Nancy Ochoa S.

Sobre qu edad se ubica el 25% de las obreras demayor experiencia?

Para saber en cul clase se halla este dato, secalcul la frecuencia acumulativa.

Menor

Experiencia

Mayor

Experiencia

75 % 25 %

P75

K = 75

)ordenadosnmeroslosde(5,250100

)334(75

100

KnPdelLugar

o

75

44

Experiencia N Trabajadores Frec. Acumulada( ) Ff


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Nancy Ochoa S.

(aos)0 - 3 18 184 - 7 42 60

8 - 11 68 128

12 - 15 120 24816 - 19 40 28820 - 23 34 32224 - 27 12 334

334

Interpretacin: Para que una obrera estcomprendida dentro del 25% de mayor experiencialaboral debe tener al menos 15 aos, 7 meses y 24das.

4

40

1248100

75(334)

5.1575

P

aos65.15

75P

iFif

En esta clasese localizan del249 - 288

F=248

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Hoja de Comprobacin


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Nancy Ochoa S.

Hoja de Comprobacin

1. El valor de cada observacin del conjunto de datos se toma en cuenta

cuando calculamos su mediana

2. Cuando la poblacin esta sesgada positiva o negativamente, a menudo es

preferible utilizar la mediana como mejor medida de posicin, debido a que

siempre cae entre la media y la moda

3. Las medidas de tendencia central de un conjunto de datos se refieren al

grado en que las observaciones estn dispersas

4. Una medida de la agudeza de una curva de distribucin es el sesgo

5. Con un conjunto de datos no agrupados, la moda se utiliza con mas

frecuencia como medida de tendencia central

6. Si organizamos las observaciones de un conjunto de datos en orden

descendente, el punto de datos que se encuentra en medio es la mediana del

conjunto de datos46


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Nancy Ochoa S.

7. Cuando se trabaja con datos agrupados, podemos calcular una

media aproximada si suponemos que cada valor de una clase dada es igual a su

punto medio

8. El valor que ms se repite en un conjunto de datos se conoce como media

aritmtica

9.Para un arreglo de datos con 50 observaciones, la mediana ser el valor de la

observacin numero 25 del arreglo

10.La desviacin estndar se mide en las mismas unidades que las observaciones

del conjunto de datos

11.La varianza indica la distancia promedio de cualquier observacin deconjunto de datos con respecto a la media

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Nancy Ochoa S.

12. Si la curva de una cierta distribucin tiene el extremo mas largo

hacia la izquierda de la escala de medicin del eje horizontal, se

dice que la distribucin esta negativamente sesgada

13.Despus de agrupar un conjuntos de datos en un cierto numero de clases,

podemos identificar la clase mediana como la que tiene el mayor numero de

observaciones

14.Una media calculada a partir de un conjunto de datos agrupados siempre da

una buena estimacin del valor real, aunque rara vez es exacto

15.Podemos calcular una media para cualquier conjunto de datos, si se nos da su

distribucin de frecuencias

16.La moda siempre se encuentra en el punto mas alto de una grfica de un

arreglo de datos

17. El numero de elementos de una poblacin se denota con n

48


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Nancy Ochoa S.

18.Los valores extremos de un conjunto de datos tienen un fuerte efecto

sobre la mediana

19.La diferencia entre las observaciones mas alta y mas baja de un conjunto de

datos se conoce como media geomtrica

20.La dispersin de un conjunto de datos da una cierta visin de la confiabilidad

de la medida de tendencia central

21.La desviacin estndar es igual a la raz cuadrada de la varianza

22. .La diferencia entre las observaciones mas alta y mas baja de un conjunto de

datos se conoce como el alcance cuartil

23. El alcance intercuartil esta basado solamente en dos valores tomados del

conjunto de datos

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Nancy Ochoa S.

24.Un fractil es una posicin en una distribucin de frecuencias en la

que una determinada fraccin (o porcin) de los datos esta situada

en ella o por encima25.La varianza, al igual que la desviacin estndar, toma en cuenta cada una

de las observaciones del conjunto de datos

26. .El coeficiente de variacin es una medida absoluta de la dispersin

27. La medida de dispersin que con mas frecuencia utilizan los especialistas

en estadstica es la desviacin estndar

28.Una de las ventajas de las medidas de dispersin es que cualquier

estadstica que mide variacin absoluta, tambin mide variacin relativa

29. Una desventajas de utilizar el alcance para medir la dispersin es que notoma en cuenta la naturaleza de las variaciones entre la mayora de las

observaciones

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Nancy Ochoa S.

30. Cada poblacin tiene una varianza que se simboliza con S2

31.De acuerdo con el teorema de Chebyshev, no mas de 11% de las

observaciones de una poblacin puede tener resultados estndar de la

poblacin mayores que 3 o menores que -3

32.El alcance intercuartil es un ejemplo especifico de un alcance interfractil

33.Es posible medir el alcance de una distribucin de extremo abierto

34.El alcance intercuartil mide el alcance promedio de la cuarta parte ms bajade una distribucin.

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Algunaspersonas


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Nancy Ochoa S.

personassuean conalcanzar grandeslogros...m ientras queotrospermanecen

despiertosy los realizan!

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15 de marzo - medidas de resumen

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