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MEDIDAS DE RESUMEN
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PROMEDIOSUn motivo para hacer
sospechar que la Estadsticaes ms un arte que una
ciencia, gira en torno a laambigedad con que se usa el
trmino promedio.
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1. Diferenciar los diversos tipos de medidas de resumen
que se pueden aplicar a un conjunto de datos
2. Calcular e interpretar las principales medidas detendencia central
OBJETIVOS
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5.1 La estadstica de resumen
Despus de construir tablas y grficos, a partir deuna coleccin de datos, se requieren medidas msexactas.
La estadstica de resumen, proporciona medidaspara describir un conjunto de datos.
Existen tres tipos de medidas de resumen:
De tendencia central.
De dispersin. De la forma de la distribucin.
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(A) Las medidas de tendencia central
Se refieren al punto medio de una distribucin
Se conocen como medidas de posicin
Ejemplo: A partir del grfico siguiente, se observa que laposicin central de la curva B est a la derecha de laposicin central de las curvas A y C. Obsrvese que laposicin central de la curva A es la misma que la curva C.
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(B) Las medidas de dispersin
1. Se refieren a la extensin o amplitud de los datos de
una distribucin2. Representan el grado de variabilidad de los datos.
Ejemplo: Observe que la curva A en el siguientegrfico tiene una mayor dispersin que la curva B, a
pesar que la posicin central es la misma.
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(C) Las medidas de la forma de la curva
Las curvas que representan a un conjunto de datos,pueden ser analizadas de acuerdo a su:a) Simetra b) Curtsis
Las curvas simtricas, tienen una forma tal que con una
lnea vertical que pase por el punto ms alto de la curva,dividir el rea de esta en dos partes iguales.
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Las curvas sesgadas son aquellas cuyos valores estnconcentrados en el extremo inferior o superior de la escala
de medicin del eje horizontal. Lacola
indica el tipo desesgo.
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Cuando medimos la curtsis nos referimos al grado deagudeza. Pueden ser: leptocrtica (concentracin al centro)mesocrtica distribuidos simtricamente) o platicrtica(aplanada).
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5.2 Las medidas de tendencia central
1.En general se denominan promedios.
2.Los ms importantes son la media, la mediana y la moda.Aritmtica
Media Geomtrica
Medidas de Mediana Armnica
tendencia central Moda
3.Tambin es til conocer los percentiles (o fractiles).
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POR QU SON IMPORTANTES LAS MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL?Porque la mayor parte de los conjuntos de datosmuestran una tendencia a agruparse alrededor deun dato central.
Las medidas de tendencia central son puntos enuna distribucin, los valores medios o centralesde sta y nos ayudan a ubicarla dentro de la
escala de medicin.
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5.2.1 La Media(A) La media aritmtica ( )
a) Obtencin: Se obtiene sumando los valoresregistrados y dividindolos entre el nmero de datos.
Ejemplo:
La siguiente tabla muestra el nmero de reclamos y
quejas presentadas por clientes en el Servicio deEntregas durante una semana. Calcule e interprete lamedia.
Da/Semana Lun Mar Mier Jue Vier SabReclamos/da 8 10 5 12 10 15
x
11
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Media aritmtica =
= 10 reclamos
b) Interpretacin:Si elige al azar un da de la semana,se espera que los clientes presenten 10 reclamosdurante ese da.
c) Simbologa:Tamao Media aritmtica
Muestra n (equis barra)
Poblacin N (mu)
660
61510125108
x
x
12
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d) Clculosa partir de datos no agrupados, se
utilizan las siguientes formulas.Para una muestradonde:
: media muestral
: suma de todos los datos: nmero de datos (muestra
Para una poblacin
donde: : media poblacional: suma de todos los datos
: nmero de datos (poblacin)
n
n
i i
x
1X
iX
x
n
i
X
N
N
i i
1X
N
13
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Mediaaritmtica
Se puede calcular la media aritmtica utilizando Excel.
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e) Clculo a partir de datos agrupados.
El clculo de la media aritmtica, cuando los datosdisponibles se encuentran en tablas de distribucin defrecuencias, se realiza utilizando la formula siguiente:
donde: :media muestral
:frecuencia absoluta de la clase i
:marca de la clase i
n
f
nf
i
i
i
ii
x
1
1
X
x
if
iX
15
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Ejemplo:
La distribucin de frecuencias siguiente, representa los puntajesobtenidos en una evaluacin del desempeo, aplicado apersonal tcnico de una Empresa Textil. El puntaje mximo en laprueba es 50. Calcule e interprete en media.
Desempeo Nmero de
(puntos) tcnicos
12 - 17 4
17 - 22 8
22 - 27 15
27 - 32 23
32 - 37 10
TOTAL 60
16
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iXPrimero se calcularn las marcas de clase ( ) esdecir, el valor intermedio de cada clase
Marca de Frecuencia
clase ( ) absoluta(fi)12 - 17 14.5 417 - 22 19.5 822 - 27 24.5 15
27 - 32 29.5 2332 - 37 34.5 10
Total 60
14.5(4) + 19.5 (8) + 24.5 (15) + 29.5 (23) + 34.5 (10)
4 + 8 + 15 + 23 + 10
ix
x x
CLASE
160560
x 26.7517
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Interpretacin: Si se elige al azar a un trabajador tcnico de estaempresa, se espera que tenga un puntaje de 26,75 en su
evaluacin de desempeo.
n
i
i
n
i
ii
w
w
px
1
1
X
f) La media aritmtica ponderada ( )
donde:
=factor de ponderacin
= datos
px
iw
iX
18
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Ejemplo: Una empresa comercializadora de Seguros Mdicosdispone de 3 representantes para la zona de Miraflores, cada
uno de los cuales cobra diferente comisin por pliza vendida, yrealiza diferente nmero de contratos. Calcule e interprete evalor medio de la comisin
N de polizas de ComisinVendedor Seguro Mdico por venta $
Pedro 30 30
Juan 25 40Pablo 20 50
iw iX
19
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Interpretacin:
Si se elige al azar un representante se espera que cobreuna comisin de $38.67 por pliza vendida.
67.38$75
2900202530
)50(20)40(25)30(30 px
20
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g)Ventajas y desventajasde la media aritmtica
Ventajas:
Concepto familiar para muchas personasEs nica para cada conjunto de datosEs posible comparar medias de diferentesmuestras
DesventajasSe ve afectada por los datos extremosSi la muestra es grande y los datos no estnagrupados, su clculo es tedioso
Si los datos estn agrupados en clases conextremos abiertos, no es posible calcular lamedia.
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(B) La media geomtrica ( )
Se utiliza para calcular tasas medias de variacin, como
la tasa media de crecimiento poblacional, la tasa mediade inflacin mensual, la tasa media de mortalidad, entreotros.
a) Obtencin Se obtiene extrayendo la raz ensimadel producto de los nvalores de una serie.
gx
ngn
x XXXX .........321
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Ejemplo:
La siguiente tabla muestra la tasa de aumento en las quejasdurante los ltimos meses. Calcule e interprete la tasa mediamensual.
Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo
Aumento dequejas
2.6% 5.4% 3.8% 0.5% 1.4%
La tasa 2,6% tambin se puede expresar como 0,026 , ypuesto que se refiere a un aumento a partir de una basede 100%, el factor de variacin ser 1,026. Para los otrosdatos se opera igual.
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Por lo tanto, la media geomtrica se calcula:
5 )014.1)(005.1()038.1()054.1()026.1(
)(0272540,1 medioocrecimientdeFactor
5 143903377.1
100)1( Tasa mediade variacin =
b) Clculos
n xxxxx g ,......,, 321
gx
gx
gx
gx
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c) Interpretacin
Si se selecciona al azar un mes entre enero y mayo,se espera que las quejas se hayan incrementado2,72% con respecto al mes anterior.
= (1,0272540 - 1) x 100 = 2,72%
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(C) La media armnica ( )
Se utiliza para calcular el tiempo medio, velocidad yaceleracin media, como por ejemplo, el tiempo mediopara realizar determinada ciruga.
a) Obtencin: se obtiene calculando el inverso de la
media aritmtica de los inversos de una serie.
hx
n
n
i i
hx
1X1
1
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Ejemplo:
Los siguientes datos registran el tiempo que utilizan cuatro
tcnicos al realizar un proceso de mantenimiento automotrizCalcule e interprete el tiempo medio.
Tcnico A B C D
Tiempo(minutos) 45 38 52 40
Conocer el tiempo medio permite contar con unaherramienta til en la planeacin de los recursos
como la Sala de Operaciones. Adems de podercomparar nuestro desempeo con los estndares decalidad internacionales.
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b) Interpretacin:
Si se selecciona al azar a uno de los cuatro tcnicos,se espera que realice este proceso de mantenimiento
automotriz en 43 minutos aproximadamente.
88920
2223171023401976
4
40
1
52
1
38
1
45
1
4
hx
minutos117953.438249
889204
h
x
segundos7minutos43h
x
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5.3.2 La Mediana
Es la medida que divide en dos subconjuntos iguales adatos, de tal manera que 50% de los datos es menor ala mediana y el otro 50% es mayor a la mediana.
a) Obtencin:Se obtiene ordenando la serie de datos(en forma ascendente o descendente) y ubicando eldato central.
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Ejemplo:
Los siguientes datos se refieren al nmero de empleadosque llegaron a la empresa, despus de la horaprogramada para el ingreso, durante los ltimos 11 das.Calcule e interprete la mediana.
12, 10, 5, 15, 8, 11, 13, 8, 10, 17, 16
Primero se ordenan lo datos:
5, 8, 8, 10, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17
5 datos menores 5 datos mayores
mediana
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b) Interpretacin: Durante 5 das llegaron menos de 11pacientes tarde a su cita y durante 5 das, ms de 11
pacientes llegaron tarde a su cita.
c) Reglas
1 Si la serie es impar, la mediana ocupa el lugar central de
la serie previamente ordenada.
Ejemplo:5, 10, 10, 12, 15 , 17, 20, 21, 24
31
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Ejemplo:8, 10, 14, 18, 23, 24, 32, 34
3 Sea la serie par o impar, la mediana ocupa el lugar,de la serie previamente ordenada.
2
1n
5.202
2318
mediana
2 Si la serie es par, la mediana se obtiene de lasemisuma de los dos valores centrales de la serie
previamente ordenada.
32
d) Clculo a partir de datos agrupados
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d) Clculoa partir de datos agrupados.
donde:
: mediana
: limite real (o frontera) inferior de la clase
mediana.: nmero total de datos.
: suma de todas las frecuencias hasta, pero
sin incluir, la clase mediana.
: frecuencia de la clase mediana: amplitud de clase
cMdf
Fn
Md i
12
1
L
Md
iL
n
F
Mdf
c
33
L t bl i i t t l i i l b
-
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Ejemplo: La tabla siguiente muestra la experiencia labora(aos) del personal de seguridad que labora en una granempresa. Calcule e interprete la mediana.
Experiencia Nmero de
laboral trabajadores
(aos) de seguridad
0 - 4 5
4 - 8 12Clase
Mediana8 - 12 24
12 - 16 16
16 - 20 10
20 - 24 3
70
Lugar de la mediana:
Mediana = 11.0 aos
7035
2
34
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Interpretacin:
La mitad del personal de seguridad quelabora en esta empresa tienen una experiencia
laboral igual o menor a 11 aos s. La otramitad de este personal tiene una experiencialaboral igual o mayor a 11 aos
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e) Ventajas y desventajasVentajas:
Los valores extremos no afectan a la mediana como enel caso de la media aritmtica.Es fcil de calcular, interpretar y entender.Se puede determinar para datos cualitativos,registrados bajo una escala ordinal.
Desventajas:Como valor central, se debe ordenar primero la serie dedatos.Para una serie amplia de datos no agrupados, el
proceso de ordenamiento de los datos demanda tiempoy usualmente provoca equivocaciones.
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5.3.3 La Moda
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La moda es el valor que ms se repite dentro de un conjuntode datos.
a) Obtencin: se obtiene organizando la serie de datos yseleccionando el o los datos que ms se repiten.
4, 5, 7, 8, 8 , 10, 12, 15
4, 7, 12,12 , 15, 16, 20, 20 , 24, 27
7, 12, 15, 18, 25, 30, 31, 38
Ejemplo:
37
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b) Clculoa partir de datos agrupados
donde:
: moda
: limite real (o frontera) inferior de la clase
modal (la de mayor frecuencia)
: frecuencia de la clase modal menos la
frecuencia de la clase anterior
: frecuencia de la clase modal menos la
frecuencia de la clase siguiente
: amplitud de clase
ci
21
1
LoMoM
iL
1
2
c
38
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Las clases mediana y modal pueden coincidir peroconceptualmente son diferentes.
Ejemplo: La tabla siguiente muestra los errores de facturacindurante un mes, en un empresa comercial. Calcule e interprete lamoda.
Interpretacin: Durante un mes, el nmero ms frecuente deerrores de facturacin en esta empresa comercial es 6.
Errores de
facturacin Das
0 - 4 6
4 - 8 12 ClaseModal
8 - 12 8
12 - 16 3
16 - 20 1
Total 30
Clase moda : (4 - 8)
Mo = 6.4
61
42
6Mo 4.0 4
6 4
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e) Ventajas y desventajas de la moda
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e) Ventajas y desventajas de la moda.
Ventajas:
Se puede utilizar tanto para datos cualitativos comocuantitativos.
No se ve afectada por los valores extremos.
Se puede calcular, a pesar de que existan una o msclases abiertas.
Desventajas:
No tiene un uso tan frecuente como la media.
Muchas veces no existe moda (distribucin amodal)
En otros casos la distribucin tiene varias modas, lo quedificulta su interpretacin.
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5.3.4 Los PercentilesSon los valores que dividen en 100 partes iguales
a un conjunto de datos
a) Clculo:para datos agrupados.
c
f
n
iK
KP
1i
F100
K
LP
41
-
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Donde:
: percentil
: el percentil buscado: nmero de datos
: frecuencia acumulativa hasta la clase
anterior a la clase donde se ubica el percentil K: frecuencia absoluta de la clase donde se ubica
el percentil K
: amplitud de clase
K
P
c
K
n
iF
K
fP
42
Ejemplo:
-
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Ejemplo:
La tabla muestra la experiencia (en aos) de lasobreras de una empresa de confecciones.
Experiencia Trabajadores(aos)
0 - 3 18
4 - 7 42
8 - 11 68
12 - 15 120
16 - 19 40
20 - 23 34
24 - 27 12
Total 334
43
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Sobre qu edad se ubica el 25% de las obreras demayor experiencia?
Para saber en cul clase se halla este dato, secalcul la frecuencia acumulativa.
Menor
Experiencia
Mayor
Experiencia
75 % 25 %
P75
K = 75
)ordenadosnmeroslosde(5,250100
)334(75
100
KnPdelLugar
o
75
44
Experiencia N Trabajadores Frec. Acumulada( ) Ff
-
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(aos)0 - 3 18 184 - 7 42 60
8 - 11 68 128
12 - 15 120 24816 - 19 40 28820 - 23 34 32224 - 27 12 334
334
Interpretacin: Para que una obrera estcomprendida dentro del 25% de mayor experiencialaboral debe tener al menos 15 aos, 7 meses y 24das.
4
40
1248100
75(334)
5.1575
P
aos65.15
75P
iFif
En esta clasese localizan del249 - 288
F=248
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Hoja de Comprobacin
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Hoja de Comprobacin
1. El valor de cada observacin del conjunto de datos se toma en cuenta
cuando calculamos su mediana
2. Cuando la poblacin esta sesgada positiva o negativamente, a menudo es
preferible utilizar la mediana como mejor medida de posicin, debido a que
siempre cae entre la media y la moda
3. Las medidas de tendencia central de un conjunto de datos se refieren al
grado en que las observaciones estn dispersas
4. Una medida de la agudeza de una curva de distribucin es el sesgo
5. Con un conjunto de datos no agrupados, la moda se utiliza con mas
frecuencia como medida de tendencia central
6. Si organizamos las observaciones de un conjunto de datos en orden
descendente, el punto de datos que se encuentra en medio es la mediana del
conjunto de datos46
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7. Cuando se trabaja con datos agrupados, podemos calcular una
media aproximada si suponemos que cada valor de una clase dada es igual a su
punto medio
8. El valor que ms se repite en un conjunto de datos se conoce como media
aritmtica
9.Para un arreglo de datos con 50 observaciones, la mediana ser el valor de la
observacin numero 25 del arreglo
10.La desviacin estndar se mide en las mismas unidades que las observaciones
del conjunto de datos
11.La varianza indica la distancia promedio de cualquier observacin deconjunto de datos con respecto a la media
47
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12. Si la curva de una cierta distribucin tiene el extremo mas largo
hacia la izquierda de la escala de medicin del eje horizontal, se
dice que la distribucin esta negativamente sesgada
13.Despus de agrupar un conjuntos de datos en un cierto numero de clases,
podemos identificar la clase mediana como la que tiene el mayor numero de
observaciones
14.Una media calculada a partir de un conjunto de datos agrupados siempre da
una buena estimacin del valor real, aunque rara vez es exacto
15.Podemos calcular una media para cualquier conjunto de datos, si se nos da su
distribucin de frecuencias
16.La moda siempre se encuentra en el punto mas alto de una grfica de un
arreglo de datos
17. El numero de elementos de una poblacin se denota con n
48
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18.Los valores extremos de un conjunto de datos tienen un fuerte efecto
sobre la mediana
19.La diferencia entre las observaciones mas alta y mas baja de un conjunto de
datos se conoce como media geomtrica
20.La dispersin de un conjunto de datos da una cierta visin de la confiabilidad
de la medida de tendencia central
21.La desviacin estndar es igual a la raz cuadrada de la varianza
22. .La diferencia entre las observaciones mas alta y mas baja de un conjunto de
datos se conoce como el alcance cuartil
23. El alcance intercuartil esta basado solamente en dos valores tomados del
conjunto de datos
49
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24.Un fractil es una posicin en una distribucin de frecuencias en la
que una determinada fraccin (o porcin) de los datos esta situada
en ella o por encima25.La varianza, al igual que la desviacin estndar, toma en cuenta cada una
de las observaciones del conjunto de datos
26. .El coeficiente de variacin es una medida absoluta de la dispersin
27. La medida de dispersin que con mas frecuencia utilizan los especialistas
en estadstica es la desviacin estndar
28.Una de las ventajas de las medidas de dispersin es que cualquier
estadstica que mide variacin absoluta, tambin mide variacin relativa
29. Una desventajas de utilizar el alcance para medir la dispersin es que notoma en cuenta la naturaleza de las variaciones entre la mayora de las
observaciones
50
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30. Cada poblacin tiene una varianza que se simboliza con S2
31.De acuerdo con el teorema de Chebyshev, no mas de 11% de las
observaciones de una poblacin puede tener resultados estndar de la
poblacin mayores que 3 o menores que -3
32.El alcance intercuartil es un ejemplo especifico de un alcance interfractil
33.Es posible medir el alcance de una distribucin de extremo abierto
34.El alcance intercuartil mide el alcance promedio de la cuarta parte ms bajade una distribucin.
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Algunaspersonas
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5/28/2018 15 de Marzo - Medidas de Resumen
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Nancy Ochoa S.
personassuean conalcanzar grandeslogros...m ientras queotrospermanecen
despiertosy los realizan!
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