~

13 Funciones

'

' ' \

' ' ' '

' ' '.

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

¿QUÉ ES INTERPOLAR UNA FUNCIÓN?

En algunas ocasiones conocemos varios pares de valores relacionados de dos magnitudes y queremos calcular el va lor de otros intermed ios. Interpolar una función es obtener, a partir de los datos conocidos, un nuevo par de valores comprendidos entre ellos.

Por ejemplo, Micaela compra un ordenador por 1500 € y, ojeando una rev ista de informática, encuentra cómo varía su prec io al cabo de 1, 2 y 4 años.

¿Cómo puede averiguar Micaela el precio del ordenador a los 3 años? Fíjate en el gráfico.

1500 1 1 1 1 1 1 ~

1

1200 ~

·-- t --- -

Afto o 1 2 3

Valor(€) 1500 1200 900

Investiga

l. Micaela representa en el gráfico los datos conocidos. ¿Cómo lo ha hecho?

4

600

~ 900 ~ - ' - ~ - 2. ¿Qué hace para calcular el valor a los 3 años?

600

300

--=qt, - -1 1 1

1 1

r T T r 1 2 3 4 5 Años

CÁLCULO MENTAL

Calcular un 20%: dividir entre 5 o multiplicar por 0,2

305: 5 = 61

20% de305 ( 305 · 0,2 = 61

Calcular un 25 %: dividir entre 4 o multiplicar por 0,25

480 : 4 = 120

25%de480 ( 480 · 0,25 = 120

Explica el procedimiento que ha seguido.

3. ¿Cuánto va ldrá a los 2 años y medio? ¿Cómo lo has hallado?

Calcula mentalmente.

20 % de 300 =

20 % de 800 =

20 % de 550 =

Calcula mentalmente.

25 % de 400 =

25 % de 800 =

25% de 600 =

20 % de 520 =

20 % de 505 =

20 % de 415 =

25 % de 440 =

25 % de 808 =

25 % de 840 =

177

1 Identificar las coordenadas cartesianas de un punto

Las coordenadas de un punto P en el plano están determinadas por un par ordenado de números, x e y, denominados coordenadas cartesianas del punto.

La primera coordenada, x, se mide sobre el eje horizontal, eje X o eje de abscisas. Se denomina abscisa del punto P.

La segunda coordenada, y, se mide sobre el eje vertical, eje Yo eje de ordenadas. Se denomina ordenada del punto P.

El punto de corte de los ejes se denomina origen de coordenadas O y corresponde al punto (O, O).

Observa la representación de estos puntos: y

~ + A(2, 3) f( - 1, - 4) •e 8(4, O) F(O, 1) 2.0 cuadrant1 • A

1 F

C( - 2, 4) G(3, -3) D - 1 1 H .¡__¡

0(-3, O) H(O, - 2) 3_er cuadrante ¡- • • -

t + E +

l. Observa los puntos representados y completa la tabla .

y r-,- -TF,/J LJ Punto Coordenadas Abscisa

F A (5, - 4)

r- -1 ~-~1 e --+ T ¡ e-

1 E l

B

e D

L .-G - 1 1 8 X

E 1 1

H i i j

¡. u _l. • t

1 A t 1 e

L l

F

G

H

2. ¿Qué valor tiene la ordenada de un punto situado en el eje X? ¿Y la abscisa de un punto situado en el eje Y?

3. Escribe el signo de las coordenadas de un punto situado en cada cuadrante.

Primer cuadrante Segundo cuadrante Tercer cuadrante

Abscisa

Ordenada

178

l_er cuadrante

.1L X

4.º cuadrante G

Ordenada

Cuarto cuadrante

L

L

L..

L

L

L

\.......

L

\_

L

L

'--­

L

\_

L

L

L

L

L

L

\..__

\..__

L

L

L

L

L

L

\_

\...

\...

\...

\

\

\

\

\

4. Completa la tabla y representa los puntos en los ejes de coordenadas.

Punto Coordenadas Abscisa

A (-1 , - 5)

B (2 , 2)

e (O, - 3)

o -2

E 4

F - 6

5. Representa en los ejes de coordenadas los siguientes polígonos.

a) El triángulo cuyos vértices son A(5, 3), B(-6, 4) y C( - 7, -5).

b) El cuadrilátero cuyos vértices son 0(6, 4), E( - 7, 6), F( - 8, - 4) y G(8, - 5).

e) Un cuadrado con dos vértices situados en los puntos H(4, -2) y J(7, -2). ¿Cuáles pueden ser las coordenadas de los otros dos vértices del cuadrado que has dibujado?

6. Resuelve.

Ordenada

1

5

- 4

o 1

1-l

t ..

•- ...._.__.___,__ ..... -1---+- -+--+----t--+

.. .. " +- ..

1

I 1'

1 t

y

-:-~ t 1-

. : l + - -+ -... 1 >----<

- 1 O 1 -.. T r - 2

" .. .._ ... -

->--+

y

.. L 1

~

1 _ .. _ -+--+-

.. ..

1 1

-J. O 1

1--- - 2 ¡. +

l - -t-+

L

Eduardo ha dibujado en unos ejes de coordenadas la circunferencia de centro (O, O) y que pasa por el punto (3, O). Si el lado del cuadrado de la cuadrícula mide 2 cm, ¿cuál es la longitud de la circunferencia dibujada?

y

...

1

+

~ ET~ +

f 1 ..

.. + - -l. .. + "+ < +

1

+ l t

1 "

-+

..

1

l 1 1

j

-

179

1

<

X

<

...

X

2 Representar una función a partir de una tabla de valores

Una función es una valor de x le corresp

relación entre dos variables numéricas, x e y, de forma que a cada onde un único valor de y.

La variable indepen diente es x, y la variable dependiente es y, su valor depende del valor de x.

En una frutería, 1 kg

Vamos a representar Para ello sigue estos

de plátanos cuesta 1,50 €.

la función a partir de una tabla de valores. pasos:

l.º Identifica la vari Variable indepe

able dependiente y la independiente. ndiente: x ~ Número de kilos comprados. ente: y ~ Precio. Variable dependí

1 kg cuesta 1,5 O€ 2 kg cuestan 2 · 1,50 = 3 €

2.º Construye la tabl a de valores.

3.º

5.º

N.º de kg 1 2 3 4

Precio(€) 1, 50 3 4,50 6

Representa los pares de valores en unos ejes cartesianos.

• Los valores de la variable independiente nen el eje X. se representa

• Los valores de la variable dependiente nen el eje Y. se representa

Analiza si los pu ntos representados se pueden unir. podemos unir los puntos, porque prar 1,25 kg de plátanos.

En este caso sí se pueden com

10 9

8

7 ~ 6 .. o 5 j

4 3

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Número de kg

7. Completa la tabla y representa en los ejes cada función.

a) En una papelería un sacapuntas cuesta 10 céntimos.

N.º de sacapuntas 1 2 3

Precio (céntimos)

100 90

-;;, 80 o E 70 :.:: e: 60 ,a,

~ 50 o ·¡:¡ 40 2!

c. 30 20 10

180

-~-~u~ - '- ___ -+- - ~1 - 1 -+- ·- -+---1

- - --1 +- - - - 1

.. w~ .. -

f-

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N.º de sacapuntas

4

b) Una entrada de teatro cuesta 8,50 €.

N. º de entradas 1 2 3

Precio (euros)

55 ~ 50 45 40 35 -

--i:f- -, -\~ ~ 30 0 25 -~ 20 J o.. 15 .L ~

1~ - 7t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N.º de entradas

4

L

L

L

L

L

L

L..

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L ..,

L

L

L

L

L

1 ~

~

L

'--­L

L

L

\._

'-

\._

'-

L

L

3 Representar una función a partir de una ecuación

La expresión algebraica de una función se escribe como y = f(x) y se denomina ecuación de la función.

La ecuación y = 2x es la ecuación de la función que asocia a cada número su doble.

Para representar esta función construimos la tabla de valores y representamos los pares de valores en unos ejes cartesianos.

Número

Doble

, 8. Construye la tabla de valores y representa cada función .

a) y = X+ 2 b) y= X - l e) y = 2x + l d) y = 3x - 2 e)y =-2x - l

X y X y X y X y X y

o

1

- 1

2

- 2

y r r

t ~ :-~ 1 ,__+--r ... 1- --+- .. • --+ • + -+- -1- .. t • + • + ....- -t- +-.. + Jl.,. ,___..._ - .,_ .... l

-~ 1-

-+- -1 1 + -+ -+-+- r 1- .. +

1

' .. t ,. • :J .. ~ ¡_ +

t ... --+--+-t ~-=r : '--- - t--

1

X \ + 1-

1

+ • + -+ 1

... --1--t +--+ 1 1

¡- 1-1- .,._ 1 1- .

-+-+ .¡.

[ t± r r r

t ,___._ .. -l: .. _: _j

......._........__..... - ...

' t +---+ +

r--1-+-+--+-+-l- ......

1- ..

181

4 Estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función ,

Una función es creciente en un tramo si al aumentar el valor de x también aumenta el va lor de y.

Una func ión es decreciente en un tramo si al aumentar el valor de x disminuye el valor de y.

Observa la fu nción representada:

- Es decreciente hasta x = 5.

- Es creciente entre x = 5 y x = 10.

- Es decreciente a partir de x = 10.

y

10+-+-+--+

8 7

6 5 4 -+ 3 2 1

.. X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9. Estudia el crecimiento y decrecim iento de cada función.

a) 8

y

+ t 1

b) 4 y -1 +

6 .¡. + 1

' 4

2 + X 11 ~

2 4 6 8 10 12

10. Traza en cada eje de coordenadas.

~ Una función decreciente hasta x = O y creciente a partir de O.

~ Una función creciente hasta x = - 2 y decreciente a partir de x = - 2.

182

y - 6

4

2

-eh-_ :2 __ 2

2

tin~ ~: t +

4 6

+ j.

t 1 ~

T T t + t r-" +

++ t ~ t ¡- ..

X

- 6 - 4 -2

y 6 r - ,

+-~ - -4¡ + - ....

2 -+

r, X

2 4 6

-2

--6

L

L

L

\__.

L

L

L

\........

L

\........

L

L

\.._,

L

L

L

L

L

L

\........

L

L

L

L

''--

L

L.

L

L

,_

L

L

'­\_

L

' ....._

,......_

-,

---. .......,.

-----....

' --\

. ........_

~

~

~

--~

---

5 Representar funciones de proporcionalidad directa

Una función de proporcionalidad directa es una función que relaciona dos magnitudes directamente proporc iona les.

La expresión algebraica de una función de proporcionalidad directa es de la forma y= mx, donde mes la constante de proporcionalidad directa. Si mes un número positivo, la función es creciente; y si mes negativo, la función es decreciente.

11. Representa en unos mismos ejes las func iones de proporcionalidad directa .

a) y = 3x b)y =-3x c) y = 4x

y r l + + t--+-

-+--+- -+-+-

Í--+ + t 1 1 .. + t .. +

t ... I .. +

... ~ + ~ .. -+- + 1 .. + .. + .. + t .. +

¡ ' f __. 4-+ t

k ..._ 2 t

+

: _t 1

_:_¡_ - + t >-+-t- ... i

t-'

- 2 '---

o 2 .. -----2

1 ~ +- +

+ ...! t +

+ + i

1 - .. .. +

..._T - ..-

.. + t -+-

t + + + -- ... _,. 1

+ +-- + -~~

,--+---+--+---1-+-

L .. .. i

12. Un tren circula a una velocidad constante de 3 m por segundo.

a) Escribe la ecuación de la función.

b) Haz la gráfica en los ejes de coordenadas de arriba.

....

X

d) y= - 4x

e) ¿Qué funciones son crecientes?

f) ¿Qué funciones son decrecientes?

g) ¿Por qué punto pasan todas las gráficas? ¿Ocurre siempre así?

h) Escribe un ejemplo de función de proporcional idad directa creciente y otro de decreciente.

183

6 Resolver problemas de funciones

13. María ha estado tres días en casa con fiebre . Le tomaron la temperatura cuatro veces al día . En la gráfica aparece el registro de la temperatura a lo largo de los tres días.

- 40 u ~ 39 ~ ::,

~ 38 a,

i 37 ~

36

O 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 Horas

a) ¿Qué día tuvo la temperatura más alta? ¿Cuántos grados tenía?

b) ¿Qué día tuvo la temperatura más baja? ¿Cuántos grados tenía?

e) ¿En qué tramo de horas la temperatura permaneció constante? ¿Cuántos grados tenía?

d) ¿En qué tramo de horas le subió la temperatura?

e) ¿En qué tramo de horas le bajó la temperatura?

f) ¿En qué tramo de horas le subió más la temperatura?

g) ¿En qué tramo de horas le bajó más la temperatura?

h) ¿C~·ántas horas pasaron desde que tuvo la temperatura más alta hasta que tuvo la temperatura más baja? ¿Cuántos grados le bajó?

i) ¿En qué día y horas tuvo una temperatura de 38,5º?

j) ¿En qué tramos horarios la temperatura superó los 39º?

184

\_

\_

L

\_

\_,,

L

\_

L

\_

\_

\_

\...-

L

\_

L

L

\.......

\__

\

--. ~

~

~

---~

~

' \

-----

'

'

'

14. Una máquina empaqueta 4 botellas en 1 minuto. y 50 -1 - -,- T

t-

15.

a) Escribe la ecuación de la función y represénta la gráficamente.

b) Observa la gráfica que has hecho y contesta . ¿Cuántas botellas empaqueta en 5 minutos? ¿Y en 10 minutos?

e) ¿Cuántos minutos tarda en empaquetar 40 botellas? ¿Y 80 botellas?

d) Cada día la máquina está funcionando durante 7 h y 30 min. ¿Cuántas botel las empaquetará?

45 40 35 30 25 20 15 10 5

1 ~

--

1 3

1

t-....... -+- -

--,..

r ~

+ 1 .. +

5 7 9

Guillermo hace una excursión en bicicleta a un parque situado a 60 km. Para llegar hasta allí, hay que recorrer un camino con subidas y bajadas. Al llegar al parque, descansa y regresa .

60 -

1 1

f 1

50 .. i "' E 40 QÍ E

30 :2 ~ .. i:

20 1~ ~ _l 10 - l

8 10 12 14 16 18 Horas

a) ¿A qué hora sale Gu il lermo a dar el paseo? ¿A qué hora regresa?

b) ¿Cuántos ki lómetros hay desde el comienzo de la primera cuesta hasta la cima?

e) ¿Cuánto tiempo tarda en subir a la cima? ¿Y en bajar?

d) ¿A qué hora llega al parque? ¿Cuánto tiempo está allí?

e) ¿Cuántos kilómetros recorre de 15 a 16 horas? ¿Y de 16 a 17 horas?

.. +-t--+

-+ -+

.. ~

~ 1 -+- .. -1

11

f) Desde las 14 hasta las 18 horas, ¿en qué interva lo horario recorre más kilómetros? ¿Y menos?

185

-

X

13

O Lee y resuelve.

Una empresa de alquiler de coches cobra 45 € por día de alquiler.

a) Haz la tabla de valores para un período de 1 a 10 días.

b) Indica cuá l es la va riable independ iente y la variable dependiente.

e) Dibuja unos ejes cartesianos y representa los valores.

f) Calcula el término que falta en cada proporción.

1,5 D 2,7 D a) 2 = 36 b) 16 = 16

' '

C, Resuelve.

8,4 7 c) - = --

6 D

a) En una panadería utilizan 40 kg de harina para hacer 52 kg de pan. ¿Qué cantidad de harina necesitarán para hacer

b) Un camión tarda 90 min en recorrer

78 kg de pan?

una distancia a una velocidad constante de 65 km/h . ¿Qué velocidad lleva un coche que hace esa distancia en 75 min?

e) Un grupo de 3 obreros ha colocado 15 postes, después se han incorporado 5 obreros más. Si mantienen el mismo ritmo de trabajo, ¿cuántos postes pondrán?

186

'-