11+máquinas+hidráulicas (1)

Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)

1

PROBLEMAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS

Y

MAQUINAS HIDRAULICAS


2

Correo de un alumno sobre consulta realizada al E.D. de Mecánica de Fluidos II Estos son los ejercicios que me recomendó el profesor; como digo, todos son del libro de problemas editado por la UNED: espero y deseo que tengáis suerte con esta asignatura.

5.2 9.1 11.1 13.2 15.2 5.5 9.2 11.2 13.3 15.3 5.6 9.3 (OP) 11.3 13.4 5.9 9.4 11.4 13.5 5.12 9.5 (OP) 11.5 9.8 11.6 9.9 11.7 11.8


3

Capítulo 9

Flujos turbulentos


4

A.5 Flujos turbulentos A.5.1 Ecuación de conservación de la energía mecánica en flujos en tuberías Entre dos puntos 1 y 2 situados a lo largo de una tubería por la que circula un fluido incompresible en condiciones estacionarias, suponiendo que la tubería es de sección gradualmente variable y tiene un radio de curvatura de su línea media grande frente al radio hidráulico, la disminución de energía mecánica especifica viene dada por la ecuación:

ϕρρgHUv

pUv

p =

++−

++2

2

1

2

2

1

2

1

Donde v es la velocidad media en una sección y

∫ ∑+=2

1

22

28 g

vKdl

gr

fvH

hϕ

Es la suma de la altura de pérdidas debidas a la fricción y las alturas de pérdidas locales, siendo f el factor de fricción. Si la tubería es de sección circular( )4Drh = , como el radio hidráulico es igual al cociente

entre el área y el perímetro mojado, tendremos:

44

2

D

D

D

rh ==π

π

Por lo tanto:

∑+=g

vK

gD

LvfH

22

22

ϕ

Por la ecuación de continuidad:

4

2DvvAQ

π== => 2

4D

Qv

π=

Expresando la velocidad en función del caudal, tendríamos:

∑+= 42

2

52

2 88

gD

QK

gD

QLfH

ππϕ

O bien:

+= ∑KD

Lf

gD

QH 42

28

πϕ


5

Capítulo 11

Semejanza en turbomáquinas


6


7

Curva característica de una bomba. Son expresiones de la forma:

−=

2

00 1

Q

QHH (Q en m³/s y H en m):

Semejanza en Turbomáquinas. Dada una bomba que girando a una velocidad Ω, tiene una curva característica dada por:

−=

2

00 1

Q

QHH

Si en un momento dado gira a una velocidad 2Ω, su nueva curva característica sería:

- Puesto que las semejanzas de pérdida de Carga y Caudal, vienen dados por:

22

221

1

Ω=

ΩHH

2

2

1

1

Ω=

ΩQQ

De dónde:

( )12

1

22

12 4

2H

HH =

ΩΩ= 1

1

122 2

2Q

QQ =

ΩΩ=

- Por lo que la curva característica de la bomba 2:

−=

2

002 1

Q

QHH

Se transforma en:

−=

2

002 2

14Q

QHH


8


9

Problema 11.1.- (C.U. 161) Supóngase la curva característica de una bomba, para una cierta velocidad de giro Ω, puede aproximarse por la expresión siguiente (Q en m³/s y H en m):

−=

00 1

Q

QHH mH 200 = smQ /30,0 3

0 =

Determinar la curva característica correspondiente al acoplamiento en paralelo de dos bombas idénticas a la mencionada, una de ellas girando a la velocidad de giro Ω y la otra a una velocidad 2Ω. Determinar las posibles condiciones para las cuales alguna de las bombas del acoplamiento no funcionaría.

Solución: Si ( )11,QH es un cierto punto de funcionamiento de la bomba girando a una velocidad

Ω=Ω1 , las condiciones del punto de funcionamiento ( )22,QH , semejante al anterior y

correspondiente a una velocidad de giro de la bomba Ω=Ω 22 , deberán ser tales que se cumpla (igualdad de números adimensionales de la ecuación (A.6.57), despreciando efectos de viscosidad y, por tanto, despreciando el número de Reynolds)

( ),,,2

3122gHp

D

D

Q

D

pt

t ρµ

ρφρ

=∆

ΩΩ

=Ω∆

A.6.57

Teniendo en cuenta las semejanzas:

2

2

1

1

Ω=

ΩQQ

22

11 QQ

ΩΩ= =>

222

11

QQQ =

ΩΩ=

De dónde:

22

221

1

Ω=

ΩHH

222

21

1 HHΩΩ= =>

442

11

HHH =

ΩΩ=

Las curvas características de cada bomba serán:

Bomba 1

−=

0

101 1

Q

QHH

Bomba 2

−=

0

20

2 2/1

4 Q

QH

H


10

Es decir; Cada punto de funcionamiento de la bomba, cuando ésta gira a una velocidad de giro Ω, satisface:

−=

0

101 1

Q

QHH

Y el correspondiente punto de funcionamiento semejante cuando la bomba gira a velocidad 2Ω, debe satisfacer:

−=

0

202 2

14Q

QHH

Que es la curva característica de la bomba para una velocidad de giro de 2Ω. Despejando el caudal Q en las curvas características correspondientes a las velocidades de giro Ω y 2Ω, resulta:

−=

001 1

H

HQQ

−=

002 4

12H

HQQ

La curva característica del acoplamiento en paralelo se obtendrá sumando, para cada altura H, los caudales 1Q y 2Q correspondiente a las dos bombas:

21 QQQII +=

0

000

0

000

0

000

00

00 4

612

4

242

4121

H

HQHQ

H

HQHQ

H

HQHQ

H

HQ

H

HQQII

−=−+−=

−+

−=

−=−=−=

00

000

0

000

213

2

33

4

612

H

HQ

H

HQQ

H

HQHQQII

−=

00 2

13H

HQQII

Para 0HH > , la bomba que gira a velocidad Ω no puede funcionar. (Justifíquese.)

En este caso la cantidad entre paréntesis en la curva característica sería negativa, ya que el

cociente 10

>H

H es mayor que la unidad y 01

0

<

−

H

Hes negativo.


11

Problema 11.2.- (C.U. 161) La bomba utilizada para llenar el depósito de la instalación de la figura, inicialmente vacío y con una sección horizontal de área 21mA = , tiene la siguiente curva característica para una cierta velocidad de giro n (Q en m³/s y H en m):

−=

2

00 1

Q

QHH mH 360 = smQ /3,0 3

0 =

La pérdida de altura en la instalación viene dada por:

2500QH =ϕ

La tubería de aspiración toma el agua desde un depósito abierto a la atmósfera, en el que la superficie libre del agua está al mismo nivel que el fondo del depósito que llena.

a) Calcular el tiempo necesario para que el líquido alcance en el depósito una altura de 20m.

b) Determinar la nueva curva característica de la bomba si se la hace girar a una velocidad igual a 2n.

Solución: a) Tiempo necesario para que el líquido alcance en el depósito una altura de 20m. Teniendo en cuenta que, la altura geométrica es igual a la altura que proporciona la bomba, menos la altura generada por las pérdidas de carga.

Sustituyendo los valores:

hH g = mh 20=

HHm =

−=

2

00 1

Q

QHH

La ecuación resultante será:

ϕHQ

QHH g −

−=

2

00 1

ϕHHH mg −=


12

Sustituyendo los valores dados de mH 360 = y smQ /3,0 30 = . Tendremos:

2

2

5003,0

136 QQ

mh −

−=

Despejando el caudal:

30

36 hQ

−=

Como por otra parte:

dt

dhAQ =

Por lo tanto:

30

36 h

dt

dhA

−=

Reordenando:

dtA

h

dh

3036=

−

Integrando:

∫ ∫=−

m t

dtA

h

dh20

0 03036

shm

t 120362

1

1

3020

02

=

−=

st 120= b) Nueva curva característica de la bomba si se la hace girar a una velocidad igual a 2n. La curva característica para una velocidad de 2n, tendrá la forma:

−=

2

00 2

14Q

QHH

Sustituyendo los valores:

mH 360 = smQ /3,0 30 =

−=2

6,01144

QH


13

Problema 11.3.- (C.U. 161) La curva característica de una bomba, para cierta velocidad de giro n, es la siguiente (Q en m³/s y H en m):

−=

2

00 1

Q

QHH mH 200 = smQ /20,0 3

0 =

Determinar la curva característica correspondiente al acoplamiento en serie de tres bombas idénticas a la mencionada, girando una de ellas a una velocidad 2n y las otras dos a la velocidad n.

Solución: Al acoplarse en serie las tres bombas, la curva característica será la suma de las curvas características de cada una de las tres bombas. Pero una de las bombas gira a una velocidad 2n, por lo que hay que hallar la curva característica de esta bomba. Teniendo en cuenta las semejanzas:

3

3

1

1

Ω=

ΩQQ

33

11 QQ

ΩΩ= =>

223

31

QQQ =

ΩΩ=

De dónde:

23

221

1

Ω=

ΩHH

323

21

1 HHΩΩ= =>

443

31

HHH =

ΩΩ=

Las curvas características de cada bomba serán:

Bomba 1 y 2

−==

2

0021 1

Q

QHHH

Bomba 3

−=

2

0

30

3 2/1

4 Q

QH

H =>

−=

2

0

303 2

14Q

QHH

Al estar conectadas las tres bombas en serie la curca característica resultante, es la suma de las curvas características de cada una de las tres bombas:

−+

−+

−=++=

2

00

2

00

2

00321 2

1411Q

QH

Q

QH

Q

QHHHHHT


14

Reagrupando:

−+

−=

2

00

2

00 2

1412Q

QH

Q

QHHT (Q en m³/s y H en m)

Sustituyendo los valores dados para:

mH 200 = smQ /20,0 30 =

Tendremos:

−+

−=22

2,0*2120*4

2,0120*2

QQHT

222 150012016,0

8080

4,0

4040 QQQHT −=

−+

−=

21500120 QHT −= (Q en m³/s y H en m)


15

Problema 11.4.- (C.U. 161) En las instalaciones de las figuras (a), (b) y (c) se utiliza la misma turbina. En los tres casos el caudal es Q = 20 m³/s y se supondrá el mismo rendimiento total de la turbina 85,0=tη . En la brida de unión de la voluta a la tubería

forzada, de diámetro interior mD 8,11 = , existe una presión manométrica 21 /15 cmkgp = .

Calcular en los tres casos el salto neto y la potencia en el eje desarrollada por la turbina. En los casos de las figuras (b) y (c), se supondrán despreciables las pérdidas de energía dentro del difusor. En el caso (a) el rodete descarga a la atmósfera. En (b), el difusor es una tubería recta de diámetro mD 8,12 = . En (c), el difusor es un conducto divergente de

diámetros de entrada y salida mD 8,12 = y mD 33 = , respectivamente. La altura de la

sección de salida del rodete sobre el canal de desagüe es mH 5= . Despréciense las diferencias de cotas entre las secciones de entrada a la turbina y salida del rodete. Indicar en qué caso existirá mayor peligro de cavitación.


16


17

Problema 11.5.- (C.U. 161) Una turbina hidráulica desarrolla una potencia de 25600 kW bajo un salto neto de 9,6 m y girando a una velocidad de 62,5 rpm en el punto de funcionamiento de máximo rendimiento. Determinar la velocidad especifica e indicar el tipo de turbina de que se trata. Solución: La velocidad específica de una turbina viene dada por:

( ) 4/5

4/32/1

t

sp

Ww

∆Ω= ρ&

Donde:

rpm5,62=Ω

WW 310*600.25=& 3/1000 mkg=ρ

ρgHp nt =∆

Sustituyendo valores en la expresión de la velocidad específica:

( ) ( )( ) 57,3

/1000*/81,9*6.9

/1000/10*600.25/

602

5,62 4/532

4/332/13

==mkgsmm

mkgsNmsmws

π

57,3=sw

Para estimar el tipo de turbina necesitamos conocer Sn , que en turbinas viene dado por:

ss wn 193≈

Dando valores:

68957,3*193 ≈≈sn

Según la tabla A.2 se trataría de una Kaplan rápida.


18


19

Problema 11.6.- (C.U. 161) Un modelo a escala reducida de un prototipo de bomba centrifuga se ha ensayado en el laboratorio a una velocidad de giro rpmn 29501 = , habiéndose obtenido los siguientes resultados en el punto de funcionamiento de máximo rendimiento mH 751 = , smQ /05,0 3

1 = y 76=η . El prototipo deberá operar en un punto

de funcionamiento semejante al anterior del modelo, con un caudal smQ /45,0 3·2 = y una

altura manométrica mH 1172 = . Determinar la velocidad 2n a la que deberá girar el

prototipo, la relación entre tamaños de prototipo y modelo 12 / DD , y la potencia consumida por el prototipo. Solución: Despreciando los efectos de viscosidad, de los números adimensionales:

3nD

Q, 22Dn

H;

322

2311

1

Dn

Q

Dn

Q = => 6

1

2

2

2

1

2

2

1

=

D

D

Q

Q

n

n (1)

22

22

221

21

1

Dn

H

Dn

H = => 2

1

2

2

1

2

2

1

=

D

D

H

H

n

n (2)

Eliminando

2

1

n

n en las expresiones (1) y (2) anteriores:

2

1

2

2

1

6

1

2

2

2

1

=

D

D

H

H

D

D

Q

Q =>

=

2

1

4

1

2

2

2

1

H

H

D

D

Q

Q =>

=

2

1

2

1

2

4

1

2

H

H

Q

Q

D

D

68,2117

75

05,0

45,04/12/1

1

2 =

=

D

D

68,21

2 =

D

D


20

Sustituyendo este valor en la ecuación (1)

( ) 15,268,245,005,0 3

2

1 =

=

n

n

Por lo tanto:

15,22

1 =

n

n => rpm

rpmnn 6,372.1

15,2

2950

15,21

2 ===

rpmn 6,372.12 =


21

Problema 11.7.- (C.U. 161) Una bomba impulsa un caudal de agua smQ /15 31 = bajo una

altura manométrica mH 201 = girando a una velocidad Ω en el punto de máximo

rendimiento. Determinar el caudal 2Q y la altura manométrica 2H proporcionados por un modelo a escala 1:3 de la bomba anterior, que se hace funcionar con aire, a la misma velocidad de giro Ω, en el punto de máximo rendimiento. Indicar de qué tipo de bomba se trata. Solución: Despreciando los efectos de viscosidad, de los números adimensionales:

3nD

Q, 22Dn

H;

322

2311

1

Dn

Q

Dn

Q = => smsmD

D

n

nQQ /556,0

3

1/15 3

33

31

32

1

212 =

ΩΩ==

smQ /556,0 32 =

22

22

221

21

1

Dn

H

Dn

H = => ( ) mmDn

DnHH 22,2

31

202

2

2

21

21

22

22

12 =

ΩΩ==

mH 22,22 =


22


23

Problema 11.8.- (C.U. 161) Se quiere diseñar un prototipo de bomba centrífuga para un caudal smQ /6 3

1 = y una altura mH 1201 = , con una velocidad de giro rpmn 4501 = . Se va

a construir un modelo a escala que funcione con un caudal smQ /15,0 32 = y un consumo de

potencia kWW 1502 =& . Se supondrá un rendimiento 88,0=η en el punto de funcionamiento

nominal. Calcular la velocidad de giro del modelo2n , y la relación de tamaños de prototipo

y modelo 21 / DD . Supóngase que, una vez construido el modelo, se le hace funcionar bajo una altura mH 100= ; determinar si es posible, bajo alguna condición de funcionamiento, conseguir que el modelo suministre un caudal smQ /25,0 3= manteniendo el rendimiento nominal. Solución: a) Velocidad de giro del modelo 2n , y la relación de tamaños de prototipo y

modelo Teniendo en cuenta que:

222

1HgQW ρ

η=&

Puede obtenerse:

msmsmmkg

W

gQ

WH 70,89

/15,0*/81,9*/1000

88,0*10*150323

3

2

22 ===

ρη&

Despreciando los efectos de viscosidad, de los números adimensionales:

3nD

Q, 22Dn

H;

322

2311

1

Dn

Q

Dn

Q = => 6

1

2

2

2

1

2

2

1

=

D

D

Q

Q

n

n (1)

22

22

221

21

1

Dn

H

Dn

H = => 2

1

2

2

1

2

2

1

=

D

D

H

H

n

n (2)

Eliminando

2

1

n

n en las expresiones (1) y (2) anteriores:

2

1

2

2

1

6

1

2

2

2

1

=

D

D

H

H

D

D

Q

Q =>

=

2

1

4

1

2

2

2

1

H

H

D

D

Q

Q =>

=

2

1

2

1

2

4

1

2

H

H

Q

Q

D

D

17,07,89

120

6

15,04/12/1

1

2 =

=

D

D

21 / DD


24

Sustituyendo este resultado en la ecuación (1)

( ) 19652,017,0150,0

6 3

3

1

2

2

1

2

1 ==

=

D

D

Q

Q

n

n => rpmn 8,22892 =

rpmn 22902 ≈ 17,0/ 21 =DD b) Una vez construido el modelo mH 100= y smQ /25,0 3= Para que el punto de funcionamiento definido por:

mH 1002 =′

smQ /25,0 32 =′

2n′ Sea semejante al

mH 70,892 =

smQ /15,0 32 =

rpmn 22902 =

Debe cumplirse:

2

2

2

2

n

Q

n

Q =′′

=> rpmQ

Qnn 6,3816

15,0

25,0*2290

2

222 ==

′=′

22

2

22

2

n

H

n

H =′′

; => 1002492290

6,3816*70,892

2

22

22

2 ≠==′

=′n

nHH

No se cumple


25

Problema 11.9.- (12.8.-C.U. 161) Una bomba centrifuga eleva agua desde un depósito a otro cuya superficie libre se encuentra a 25 m de altura sobre la superficie libre del primero (ambos depósitos están abiertos a la atmósfera), y suministra un caudal slQ /140= bajo

una altura manométrica mH m 6,30= , con una velocidad de giro de la bomba de

rpmn 3525= . La curva característica de la bomba puede aproximarse por la ecuación:

−=2

200160

QHm ( mH en m y Q en sl / )

Determinar:

a) Curva característica de la instalación. b) Punto de funcionamiento de la bomba si se la hace girar a una velocidad superior en

un 20%.

Solución: a) Curva característica de la instalación. La altura de la instalación viene dada como:

ϕHHH gi +=

Dónde:

mH g 25= (Dato del problema)

=D

Lf

g

vH S

2

2

ϕ 2

4D

Q

A

QvS π

== (D diámetro de la tubería)


26

242

2

*8

QKD

Lf

gD

QH =

=πϕ (Siendo

=D

Lf

gDK

42

8

π)

Por lo que:

2*25 QKmHHH gi +=+= ϕ

Igualando la curva característica de la instalación iH a la curca característica de la bomba

mH

22

25200

160 KQmQ +=

−

Sustituyendo el caudal slQ /140= ; cómo nos dan la altura manométrica: mHm 6,30=

Comprobémoslo.

( )22

14025200

140160 Km+=

−

19600256,30 Kmm += => 3500

1=K

Por lo tanto:

2

35001

25 QmH i +=

350025

2QH i +=

b) Punto de funcionamiento de la bomba si se la hace girar a una velocidad superior en un 20% . Teniendo en cuenta las semejanzas:

n

Q

n

Q′′

= Qn

nQ ′

′= => QQ

n

nQ ′=′=

2,11

2,11

De dónde:

( )22 n

H

n

H

′′

= ( ) Hn

nH ′

′= 2

2

=> ( ) HHn

nH ′=′=

44,1

1

2,1 2

2


27

De dónde, la curva caracteristica:

−=2

200160

QHm

Pasa a ser:

( )

′−=

′ 2

2002,1160

44,1QHm

O bien:

′−=′

2

24014,86

QHm


28


29

Problema 11.10.- (1ª S. Febrero 2006) 3.- Una bomba centrifuga eleva agua entre dos depósitos abiertos a la atmósfera. La altura entre las superficies libres de los dos depósitos es de 30 m. Las tuberías de aspiración e impulsión tienen diámetros iguales

cmDD ia 15== y longitudes mLa 3= y mLi 50= , respectivamente; en ambas tuberías se

supondrá un factor de fricción 02,0=f . La suma de los coeficientes de pérdida de carga local se supondrá igual a 3 (este valor no incluye la perdida de energía cinética del chorro de salida en el depósito superior). La curva característica de la bomba, para la velocidad

nominal sradw /160= , puede aproximarse por la ecuación ( )[ ]208,0/150 QHm −= ( mH

en m y Q en sm /3 ). Determinar:

a) Caudal y altura manométrica. b) Potencia en el eje de la bomba.

Supóngase que se acopla en paralelo a la bomba anterior una bomba idéntica que gira a una velocidad un 20% superior a la nominal.

c) Determinar el caudal y la altura manométrica que proporciona cada una de las bombas; se supondrá que la curva característica de la instalación no varía. (Se recomienda plantear claramente el sistema de ecuaciones necesario, sin sustituir valores numéricos, antes de iniciar el proceso iterativo para su resolución.)

Solución:

Resumen de datos Instalación Bomba Depósitos

Aspiración Impulsión mDa 15,0= mDi 15,0= mH g 30=

mLa 3= mLi 50= sradw /160=

02,0=f 02,0=f ( )[ ]208,0/150 QHm −=

3=K


30

a) Caudal y altura manométrica.

- De la curva característica de cada bomba

( )[ ]208,0/150 QHm −= => 25,781250 QHm −=

- La altura de la instalación viene dada por la suma de la altura geométrica más la altura de pérdidas:

mH g 30=

ϕHHH gi +=

g

vKHHH impasp 2

2

+++= ϕϕϕ

g

v

g

v

D

Lf

gD

v

D

Lf

gD

vH

i

ii

ia

aa

a 23

222

22

2

2

2

2

++

+

=ϕ

(Dónde el último término es la energía cinética) Teniendo en cuenta que los diámetros en la tubería de aspiración e impulsión así como el coeficiente de rugosidad son iguales, y expresando la velocidad en función del caudal tendremos:

+++= 138

42

2

D

LLf

gD

QH ia

πϕ

Sustituyendo valores:

( )2

42

2

23,806.11315,0

50302,0

15,081,9

8Q

QH =

+++=πϕ

Por lo qué la altura de la instalación será:

223,806.130 QmH i +=


31

Igualando esta altura, a la altura manométrica de la bomba dada por la ecuación característica:

22 5,812.75023,806.130 QQ −=+

smQ /0456,023,806.15,812.7

3050 3=+−= smQ /0456,0 3=

( )20456,05,812.750−=mH mHm 757,33=

b) Potencia en el eje de la bomba.

mvm

t gQHW ρηηη 0

1=&

Cómo nos dicen que las pérdidas de caudal son 0,02Q, entonces el rendimiento volumétrico será:

98,002,1

==+

=Q

Q

QQ

Q

fvη


WmsmsmmkgWt 87,274.20757,33*/456,0*/81,9*/100098.0*95,0*8,0

1 323 ==&

kWWt 274,20=&

Supóngase que se acopla en paralelo a la bomba anterior una bomba idéntica que gira a una velocidad un 20% superior a la nominal. e) Determinar el caudal y la altura manométrica que proporciona cada una de las bombas; se supondrá que la curva característica de la instalación no varía. (Se recomienda plantear claramente el sistema de ecuaciones necesario, sin sustituir valores numéricos, antes de iniciar el proceso iterativo para su resolución.)


32


33

Problema 11.11.- (Septiembre 2006) 3.- Una bomba con una velocidad de giro rpmn 1470= y una curva característica que puede aproximarse por la ecuación

( )[ ]204,0/140 QHm −= ( mH en m y Q en m³/s). En condiciones nominales, la bomba

proporciona una caudal smQ /03,0 3= se utiliza en una instalación hidráulica para elevar entre dos depósitos de grandes dimensiones abiertos a la atmósfera. La diferencia de cotas entre las superficies libres de ambos depósitos es de 15m. La tubería de aspiración tiene un diámetro mDa 2,0= y una longitud mLa 5= , y está provista de una válvula de pie con

alcachofa con un coeficiente de pérdida de carga 4=aK . La tubería de impulsión tiene un

diámetro mDi 15,0= y una longitud mLi 30= , y tiene incorporada una válvula cuyo

coeficiente de pérdida de carga es 5=vK cuando está totalmente abierta. Se supondrán

unos factores de fricción en las tuberías de aspiración e impulsión 018,0=af y 02,0=if

respectivamente. Las presiones atmosférica y de saturación de vapor son, respectivamente 1013 y 12,27 mbar. Determinar:

a) Caudal y altura manométrica que proporciona la bomba en la instalación. b) Altura máxima de aspiración admisible si el (NSPH)r de la bomba es de 2 m. c) Las pérdidas por choque y por fricción en la bomba para las condiciones de

funcionamiento del apartado d). d) Rendimiento manométrico de la bomba para condiciones de funcionamiento del

apartado d). Solución:


Aspiración Impulsión smQ /03,0 3= mH g 15=

mDa 2,0= mD 15,01 = rpmn 1470= mbarPa 1013=

mLa 5= mLi 30= QQfi 02,0= mbarPv 27,12=

( )[ ]204,0/140 QHm −=

018,0=af 02,0=if 96,0=oη

4=aK 5=vK 80,0=mη

852,0=µ


34

d) Caudal y altura manométrica que proporciona la bomba en la instalación. Partiendo de la expresión que nos dan de la curva característica de la bomba y de la ecuación de la altura de la instalación:

( )[ ] 22 250004004,0/140 QQHm −=−=

mH g 15=

ϕHHH gi +=

gvHHH impimpasp 2/2++=ϕ

Dónde:

+= asp

asp

aspasp

aspasp K

D

Lf

g

vH

2

2

+= v

imp

impimp

impimp K

D

Lf

g

vH

2

2

g

vimp

2

2

(Energía cinética de descarga en el depósito superior)

Por lo tanto la altura de pérdidas será:

+++

+= 1

22

22

vi

ii

ia

a

aa

a KD

Lf

g

vK

D

Lf

g

vHϕ

Expresándola en función del caudal:

+++

+= 1

8842

2

42

2

vi

ii

ia

a

aa

a

KD

Lf

gD

QK

D

Lf

gD

QH

ππϕ

Dando valores:

( ) ( )22

42

2

42

2

14,163281,2291515,0

3002,0

15,0

84

2,0

5018,0

2,0

8QQ

g

Q

g

QH +=

+++

+=ππϕ


35

Por lo qué la altura de la instalación será:

295,186115 QmH i +=

Cómo la altura manométrica y la altura de la instalación han de ser iguales:

22 95,1861152500040 QmQm +=− Resolviendo:

295,2686125 Qm=

smQ /0305,095,26861

25 3==

smQ /0305,0 3=

La altura manométrica será:

( ) mmHm 733,160305,02500040 2 =−=

mHm 733,16=

Nota: la altura de pérdidas sería:

mmmHHH gi 733,115733,16 =−=−=ϕ

Ó bien:

( ) mQH 733,10305,095,186195,1861 22 ===ϕ

mH 733,1=ϕ


36

e) Altura máxima de aspiración admisible si el (NSPH)r de la bomba es de 2 m.

PabarmbarPa 101300013,11013 ===

PabarmbarPV 122701227,027,12 ===

mmN

Pa

g

Pa 326,10/9810

1013003

==ρ

( )

( ) mggD

Q

g

v

a

e 048,02,0

0305,0882 422

22

===ππ

( )( ) m

gH La 214,04

2,0

5018,0

2,0

0305,0842

2

=

+=π

( ) mNPSH r 2=

mmN

Pa

g

PP V

SV 125,0/9810

12273

===ρ

( ) mmmmmPNPSHHg

Ph SVrLa

aaMax 987,7125,02214,0326,10 =−−−=−−−=

ρ

mha 987,7max =


37

f) Las pérdidas por choque y por fricción en la bomba para las condiciones de funcionamiento del apartado d).

mufc HH −=+ ϕϕ

g

UVH u

u22=∞

º77,150cot752,2*473,182222 gctgVUV mu =+= β

mg

UVH u

u 526,2581,9

473,18*555,1322 ===∞

mHH mufc 793,8733,16526,25 =−=−=+ ϕϕ

mfc 793,8=+ ϕϕ

g) Rendimiento manométrico de la bomba para condiciones de funcionamiento del apartado d). Cómo:

µuz

u

HH =∞ => mmHH uuz 748,21852,0*526,25 === ∞µ

Por lo qué:

769,0748,21

733,16 ===m

m

H

H

u

mmη

769,0=mη


38


39

Problema 11.12.- (2ª S Junio 2007) 4.- Dos bombas acopladas en paralelo, en condiciones normales, consumen entre las dos una potencia kWWt 20= girando a una velocidad de

rpmn 1750= . La altura geométrica de la instalación a la que están acopladas es de 40m.

La curva característica de las bombas puede aproximarse por ( )[ ]204,0/160 Q− . El rodete

de las bombas tiene un diámetro exterior mmD 3002 = y una anchura de la sección de

salida mmb 102 = . Se supondrá 98,0=vη 92,00 =η 85,0=mη y 87,0=µ . Determinar el

caudal y la altura que proporciona el acoplamiento en condiciones normales y el ángulo de salida de los álabes del rodete, .2β


40


41


42


43


44


45

Problema 11.13.- (2ª S Junio 2008) 4.- El sistema de bombeo de una instalación está formado por dos bombas idénticas acopladas en paralelo. En condiciones normales de funcionamiento, las dos bombas giran a una velocidad de 2.000 rpm. La curva característica de cada bomba para una velocidad de giro de 1000 rpm puede aproximarse

por la ecuación ( )[ ]205,0/110 QHm −= (Q en sm /3 y mH en m). La curva característica

de la instalación, en condiciones normales, es 220020 QH += (Q en sm /3 y H en m). Determinar:

a) El caudal y la altura total de cada bomba en dichas condiciones. b) Representar las curvas caracteristicas de la instalación.

Solución: a) El caudal y la altura total de cada bomba en dichas condiciones. Curva característica de la instalación:

220020 QH i +=

Curva característica de una bomba:

( )[ ]205,0/110 QHm −=

Para el sistema formado por las dos bombas tendremos:

2

2

1

1

n

Q

n

Q = => 22

11 Q

n

nQ =

22

221

1

n

H

n

H = => 222

21

1 Hn

nH =


46

Puesto qué, 12 2nn = y 12 HH = ; tendremos:

221

12

2

11 2

1

2QQ

n

nQ

n

nQ ===

2221

21

222

21

1 4

1

4HH

n

nH

n

nH ===

La curva característica de una bomba girando a 2n (r.p.m.)

−=2

05,0

2/110

4

QHm

( )[ ] 22 4000401,0/140 QQHm −=−=

La curva característica de las dos bombas girando a 2n r.p.m. Al estar situadas en paralelo el caudal de cada bomba es la mitad del caudal total:

( ) 22 1000402/400040 QQHm −=−=

Como se ha de verificar que la curva característica de la instalación sea igual a la curva característica de las dos bombas:

mi HH =

22 10004020020 QQ −=+

201200 2 =Q

smQ /129,0 3=

( ) mQHm 33,23129,0100040100040 22 =−=−=

mH m 33,23=


47

b) Representación grafica de las curvas características:

2100040 QH m −=

Q 0 40 80 100 120 160 200 H 40 38,4 33,6 30 25,6 14,4 0

220040 QH i +=

Q 0 40 80 100 120 160 200 H 20 20,32 21,28 22 22,88 25,12 28


48


49

Problema 11.14.- (2ª S Junio 2008) 3.- Las tuberías de aspiración e impulsión de una bomba centrifuga están conectadas al fondo de sendos depósitos abiertos a la atmosfera, y tienen diámetros cmDa 20= y cmDi 15= y longitudes mLa 5= y mLi 30= ,

respectivamente. En ambas tuberías se supondrá un factor de fricción 023,0=f . La suma de los coeficientes de pérdida de carga local en la instalación (referidos a la tubería de impulsión) se supondrá igual a 3 (incluyendo este valor la pérdida de la energía cinética del chorro de salida en el depósito superior). Determinar:

a) Diferencia de altura entre las superficies libres del agua en los dos depósitos. ¿Es posible determinar, a partir de los datos disponibles, la altura manométrica y la altura útil que proporcionaría la bomba (funcionando con la misma velocidad de giro calculada en el apartado a)) si se cerrase totalmente una válvula situada en la tubería de impulsión o en la de aspiración? En su caso, determínense dichas alturas.

Solución:


Aspiración Impulsión cmDa 20= cmDi 15= slQ /42=

mLa 5= mLi 30= ( )[ ]206,0/166 QHm −=

023,0=f 023,0=f

4=aK 5=vK


50

a) Diferencia de altura entre las superficies libres del agua en los dos depósitos. Se ha de verificar que la altura manométrica y de la instalación, sean iguales; es decir:

ϕHHHH gim +== => ϕHHH mg −=

Puesto que la altura manométrica de la bomba viene dada por la curva característica:

( )[ ]206,0/166 QHm −=

Sustituyendo datos:

( )[ ] mHm 66,3306,0/10*4216623 =−= −

En el diagrama anterior podemos ver que las pérdidas en la instalación vienen dadas por:

++

=

i

ii

a

aa D

Lf

g

vK

g

v

D

Lf

g

vH

222

222

ϕ

Teniendo en cuenta que el caudal que circula por ambas tuberías es el mismo, expresando la altura de pérdidas en función del caudal

++

=

i

ii

iia

aa

a D

Lf

gD

QK

gD

Q

D

Lf

gD

QH

42

2

42

2

42

2 888πππϕ


Por lo que la altura geométrica o diferencia de altura entre las superficies libres, será:

ϕHHH mg −=

mmmH g 42,3124,266,33 =−=

mH g 42,31=

( )( )

( )( ) mH 240,21881,205238,03

15,0

30023,0

15,081,9

042,08

2,0

5023,0

2,081,9

042,0842

2

42

2

=+=

++

=ππϕ


51

¿Es posible determinar, a partir de los datos disponibles, la altura manométrica y la altura útil que proporcionaría la bomba (funcionando con la misma velocidad de giro calculada en el apartado a)) si se cerrase totalmente una válvula situada en la tubería de impulsión o en la de aspiración? En su caso, determínense dichas alturas.


52


53

Problema 11.15.- (Septiembre 2008) 4. En la instalación de la figura la bomba B está situada a una altura mH 61 = por encima de la superficie del agua en el depósito inferior,

del que toma agua a través de la tubería de aspiración, de longitud mLa 10= y diámetro

cmDa 20= . La curva característica de la bomba para una velocidad de giro del rodete n es

( )[ ]22,0/111 QHm −= . El agua es elevada hasta el depósito superior, cuya superficie libre

está situada a una altura mH 202 = respecto de la del depósito inferior. La tubería de

impulsión tiene una longitud mLi 30= y un diámetro cmDi 15= . El factor de fricción,

02,0=f es el mismo en ambas tuberías y los coeficientes de pérdida de carga en los codos y en el filtro se indican en la figura. Considerando que la velocidad de giro del rodete es 2n, determinar:

a) El caudal máximo que puede aspirar la bomba si el (NPSH)r de la bomba es igual a 2m (tómese como presión ambiente y presión de vapor

2/1 cmkgPa = y 2/025,0 cmkgpv =

respectivamente).

b) La altura manométrica que proporciona la bomba y el coeficiente de pérdida de carga de la válvula, Kv, para el caudal del apartado anterior.

c) Explicar qué ocurriría si el valor del

coeficiente Kv fuese el doble del calculado en el apartado anterior. ¿Y si fuese la mitad?

Solución:


Aspiración Impulsión cmDa 20= cmDi 15= mH 61 =

mLa 10= mLi 30= ( )[ ]22,0/111 QHm −= mH 202 =

02,0=f 02,0=f 1=pieK 5,0=codoK


54

La curva característica de la bomba, girando a n revoluciones:

( )[ ]22,0/111 QHm −=

Por las propiedades de semejanza:

21

121

1

n

H

n

H′′

= => ( ) 1121

21

121

21

1 4

1

2HH

n

nH

n

nH ′=′=′

′=

1

1

1

1

n

Q

n

Q′′

= => ( ) 111

11

1

11 2

1

2QQ

n

nQ

n

nQ ′=′=′

′=

La curva característica de la bomba girando a 2n revoluciones será:

( )( )[ ] ( )[ ]22 4,0/1442,0/2/1114

QQHm ′−=′−=

′

( )[ ]24,0/144 QHm ′−=′

La curva característica de la instalación sería:

ϕHHH gi +=

+++=+

+= codopie

a

aa

aa

a

a

aa

aa KK

D

Lf

g

vHK

g

v

D

Lf

g

vHH

222

2

1

22

1ϕ

ia HHH ϕϕϕ +=

++=+

= vcodo

i

ii

ia

i

i

ii

ii KK

D

Lf

g

vK

g

v

D

Lf

g

vH 2

222

222

ϕ

+++

+++= vcodo

i

ii

icodopie

a

aa

a KKD

Lf

g

vKK

D

Lf

g

vHH 2

22

22

1ϕ

Expresándola en función del caudal

+++

+++= vcodo

i

ii

icodopie

a

aa

a

KKD

Lf

gD

QKK

D

Lf

gD

QHH 2

8842

2

42

2

1 ππϕ


55

Sustituyendo datos:

( ) ( )

+++

+++= vKg

Q

g

QmH 5,0*2

15,030

02,015,0

85,01

2,010

02,02,0

86 42

2

42

2

ππϕ

222 17,9456068,816104,1296 QQQmH +=++=ϕ

Igualando ambas curvas características:

227544 QHm −=

22 17,945627544 QQ +=− => smQ /176,017,220.1

644 3=−=

217,9456 QH +=ϕ


56


57

Problema 11.16.- (1ª S Junio 2011) 4.- Un depósito de sección transversal constante de área y altura contiene inicialmente agua hasta una altura

mhh i 5== En el fondo del depósito se ha conectado una tubería horizontal de vaciado, de

longitud y diámetro en cuyo extremo existe una válvula que tiene una constante de pérdida de carga cuando está totalmente abierta. El depósito se llena mediante dos bombas iguales conectadas en serie, que toman el agua desde un depósito en el que el nivel de la superficie libre que se supondrá que se mantiene constante, se encuentra a una altura mH g 10= por debajo de la superficie libre que inicialmente tiene

el agua en el depósito superior. Las tuberías de capitación y de impulsión tienen el mismo diámetro y una longitud total entre ambas En la tubería de

impulsión existe una válvula que tiene un coeficiente de pérdida de carga cuando está totalmente abierta. Se despreciarán las pérdidas de carga locales que no puedan ser determinadas con los datos que se proporcionan. El factor de fricción en todas las tuberías es La curva característica de las bombas, correspondiente a la velocidad de giro nominal, se aproximará mediante la siguiente expresión lineal:

; ;

Una de las bombas gira a velocidad nominal y la otra a una velocidad un 40% superior a la nominal. En paralelo con la bomba que gira a velocidad nominal existe una válvula unidireccional que impide que la bomba proporcione una altura negativa en cualquier condición de funcionamiento. Se pide:

a) Determinar la curva característica del acoplamiento formado por las dos bombas en serie. Describir el funcionamiento del conjunto formado por la disposición en paralelo de la bomba girando a la velocidad nominal y la válvula unidireccional.

b) Si a partir de la situación inicial descrita, en la que mhh i 5== entran en

funcionamiento las bombas y se abren totalmente las válvulas, determinara cómo evolucionará el sistema. En concreto se debe determinar la situación final de equilibrio (depósito vacío depósito lleno con el agua rebosando, o una situación de equilibrio diferente). ¿Llegará en algún momento a circular agua por la válvula unidireccional? Indicar cómo se calcularía el tiempo que se tardará en alcanzar dicha situación de equilibrio.

21250mA = mHD 15=

kmL 11 = cmD 201 =5=K

cmD 152 = mL 202 =32 =K

022,0=f

−=

00 1

Q

QHH BB mHB 100 = smQ /10,0 3

0 =


58

a) Determinar la curva característica del acoplamiento formado por las dos bombas en serie. Describir el funcionamiento del conjunto formado por la disposición en paralelo de la bomba girando a la velocidad nominal y la válvula unidireccional. a.1) Determinar la curva característica del acoplamiento formado por las dos bombas en serie. La curva característica de una bomba, según el enunciado viene dada por:

−=

00 1

Q

QHH BB

Cómo una bomba gira a un 40% superior a la velocidad nominal, teniendo en cuenta las semejanzas:

2

2

1

1

n

Q

n

Q = => 4,14,12

1

21

2

211

Q

n

Qn

n

QnQ ===

4,12

1

QQ =

22

221

1

n

H

n

H = => ( ) 96,14,12

21

221

22

221

1

H

n

Hn

n

HnH ===

96,12

1

HH =

Las curvas características de las bomas serán por lo tanto:

QQ

HB 100101,0

1101 −=

−=

QH B 100101 −=

Sustituyendo la altura y caudal de la bomba 1 por los valores obtenidos al girar a un 40% superior:

−=1,0

4,1/110

96,12 QHB

De donde resulta:

QQ

HB 1406,191,0*4,1

16,192 −=

−=

QHB 1406,192 −=


59

Al estar acopladas en serie, el caudal de ambas es el mismo e igual a Q. Por lo que la curva característica del acoplamiento será: Si 1,0≤Q (actúan ambas bombas)

QQQHHH BBm 2406,291406,191001021 −=−+−=+=

QHm 2406,29 −=

Si 1,0>Q (Solo actúa la bomba 2)

QHH Bm 1406,192 −==

QHm 1406,19 −=

a.2) Describir el funcionamiento del conjunto formado por la disposición en paralelo de la bomba girando a la velocidad nominal y la válvula unidireccional. Representando las curvas características de ada bomba, del acoplamiento de las dos bombas y de la instalación:


60

Al representar las curvas caracateristicas de las bombas y del acoplamiento, se observa que para caudales inferiores a 0,1 m³/s funcionan ambas bombas, sin embargo para caudales superiores a 0,1 m³/s, solo funciona una la segunda, la explicación la encontramos en las curvas características:

QQ

HB 100101,0

1101 −=

−=

En esta bomba para caudales superiores a 0,1 m³/s la cantidad dentro del paréntesis es negativa.

QQ

HB 1406,191,0*4,1

16,192 −=

−=

En esta bomba para caudales superiores a 0,10 m³/s sigue siendo positiva la cantidad dentro del paréntesis, se haría negativa a partir de caudales superiores a 0,14 m³/s. Conclusion: Para smQ /1,00 3≤< actúan las dos bombas. Para smQsm /14,0/1,0 33 ≤< actua solo la segunda bomba b) Si a partir de la situación inicial descrita, en la que entran en

funcionamiento las bombas y se abren totalmente las válvulas, determinar cómo evolucionará el sistema. En concreto se debe determinar la situación final de equilibrio (depósito vacío depósito lleno con el agua rebosando, o una situación de equilibrio diferente). ¿Llegará en algún momento a circular agua por la válvula unidireccional? Indicar cómo se calcularía el tiempo que se tardará en alcanzar dicha situación de equilibrio. b.1) Situación inicial, 0=t (En la impulsión)

mhh i 5==


61

mH g 10=

ϕHHH ginst +=.

++=+

+= 1

8

22 22

224

22

222

KD

Lf

gD

Q

g

vK

D

Lf

g

vH impimp

i

ii

imp

πϕ

( )2

42

2

22

224

22

2

614,11311315,0

20022,0

15,0*81,9*

81

8imp

impimp QQ

KD

Lf

gD

QH =

++=

++=

ππϕ

2614,113110 impinst QH +=

Supongamos que: smQ /1,0 2≤ Entonces igualando a la curva característica: QHm 2406,29 −=

impimp QQ 2406,29614,113110 2 −=+

Obtenemos la ecuación de segundo grado en Q

06,19240614,1131 2 =−+ impimp QQ

( ) ( )275,00629,0614,1131*2

6,19*614,1131*4240240 2

−=+±−= óQimp

Dónde el único valor compatible es:

smQimp /0629,0 3=

b.2) Situación inicial, 0=t (En la descarga)


62

Aplicando la ecuación de la energía mecánica entre los puntos 1 y 2, tendremos:

ϕρHzz

g

vv

g

PP =

−+−+−

21

22

2121

2

aPPP == 21

02

1 =v

mzz 521 =−

g

v

g

vK

D

Lf

g

vH

2115

52,0

1000022,0

22

22

22

11

122 =

+=

+=ϕ

Sustituyendo valores en la ecuación en la ecuación de la energía mecánica:

g

v

g

v

2115

52

022

22 =

+−

smg

v /8457,0116

*2*52 ==

( )sm

msm

DvQdesc /0266,0

42,0*

*/8457,04

* 32

12 === ππ

Cómo se verifica:

descimp QQ >

Es decir, que el caudal de descarga es inferior al caudal de impulso, el depósito superior empezara a llenarse


63

Si el depósito estuviera lleno, mzz 1521 =− la velocidad de salida sería:

smv /593,1116

15*81,9*22 ==

( )sm

msmQdesc /0501,0

42,0*

*/593,1 32

== π

Para poder asegurar si desborda o no, habría que calcular el caudal de impulso en esta situación:

mH g 20=

ϕHHH ginst +=.

( )2

42

2

614,11311315,0

20022,0

15,0*81,9*

8imp

imp QQ

H =

++=πϕ

Ecuación de llenado

2614,113120 impinst QH +=


64

Ecuación de impulsión o carga:

impimp QQ 2406,29614,113120 2 −=+


06,9240614,1131 2 =−+ impimp QQ

( ) ( )247,00344,0614,1131*2

6,9*614,1131*4240240 2

−=+±−= óQimp

Dónde el único valor compatible es smQimp /0344,0 3=

Cómo se verifica:

descimp QQ <

Es decir, que el caudal de descarga es superior al caudal de impulso, el depósito superior no llega a llenarse


65

Por lo tanto, habría que ver a que altura z el caudal de impulso y el caudal de descarga se igualan. Para ello en lugar de designar una altura determinada bastara con expresar dicha altura como incognita de z. Ecuación de descarga:

( ) smzz

v /411,0116

*81,9*2 2/12 ==

( ) ( ) ( ) smzm

smzQdesc /0129,042,0*

*/411,0 32/12

2/1 == π

Ecuación de impulso o carga:

zmH g += 5

ϕHHH ginst +=.

( )2

42

2

614,11311315,0

20022,0

15,0*81,9*

8imp

imp QQ

H =

++=πϕ

2614,11315 impinst QzH ++=


66

Ecuación de impulsión o carga:

impimp QQz 2406,29614,11315 2 −=++


06,24240614,1131 2 =+−+ zQQ impimp

Despejando z en las ecuaciones de carga y descarga, tendremos:

225,6009 descQz =

6,24240614,1131 2 +−−= impimp QQz

Igualando ambas ecuaciones y teniendo en cuenta que en el equilibrio el caudal de descarga ha de ser igual al de carga:

22 25,60096,24240614,1131 QQQ =+−− Ó bien:

06,24240868,7140 2 =−+ QQ

( ) ( )0779,00442,0868,140.7*2

6,24*868,140.7*4240240 2

−=+±−= óQ

Dónde el único valor aceptable es smQ /0442,0 3= Y la altura z correspondiente será:

( ) mz 765,110442,025,6009 2 ==

mz 765,11=


67

( )2

42

2

42

2

447,990.5152,0

1000022,0

2,0*81,9*

81

8desc

descv

desc

descdesc

desc

desc QQ

KD

Lf

gD

QH =

++=

++=

ππϕ

11+máquinas+hidráulicas (1)

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