10 algebra y funciones

8/6/2019 10 Algebra y Funciones

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PRfUNIIIERSITARIO

Cur SO: Matematica PfDRO Df VALDIVIA

Material N 10

GUiA TEO RICO PRACTICA NO 9

UNlOAD: ALGEBRA Y FUNCIONES

PLANTEAMIENTOS

En los problemas de planteamientos aparecen expresiones 0 vocablos que debemos traducir alenguaje rnaternatlco.

E1EMPLOS

1. Traducir las siguientes expresiones a lenguaje rnaternatlco:

a) EI doble de x

b) EI cuadrado de x

c) EI triple de x

d) EI cuba de x

e) EI cuadruplo de x

f) La cua r ta potencia de x

g) EI quintuplo de x

h) La quinta potencia de x

i) La diferencia entre a y b

j) La diferencia entre b y a

k) EI exceso de a sobre b

I) La semisuma de a y bm) x aumentado en a unidades

n) x disminuido en a unidades

0) x es a unidades mayor que y

p) x es a unidades menor que y

q) EI producto de a y b

r) x veces a

s) EI cuociente entre a y b

2. EI enunciado: "EI cuadrado del triple de la suma de a y b es mayor en tres unidades queel triple de la suma de los cuadrados de a y b" se expresa por

A) 3(a + bf = 3(a 2 + b2) + 3B) [3(a + b)]2 = 3(a + bf + 3C) [3(a + b)]2 = 3(a 2 + b2) + 3D) [3(a + b)]2 = 3(a 2 + b2) - 3E) 3(a + bf = 3(a 2 + b2) - 3


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3. E I sucesor del sucesor de n es

A) n + 1B) n - 1

C) n

D) n + 2E) n(n + 1)

4. E I enunciado: "el producto de 10 y la declma potencia de 2", se expresa por

A) (10. 210 )10B) 10. 2 10

C) 10 10 . 210

D) 10 10 . 2E) 10 2

5. E I cuociente entre la suma de a y b y su producto es

A)a + b--

abB) 1

C) (a + b)ab

D)a + b

a

E) a + b--b

6. E I enunciado: "x veces y, elevado a x", se expresa por

A) (xyyB) xyXC) xxVD) X xyE) (xyfX

7. E I enunciado: "EI exceso de x sobre y, aumentado en 10 veces x", se expresa por

A) Y - x + lOxB) -y - x - lOxC) -y - x + lOxD) x - Y + lOxE) x - Y - lOx

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ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO

Existen diversos tipos de problemas de planteamientos, sin embargo en todos ellos esconveniente:

* Leer total y cuidadosamente el problema, antes de empezar a resolver.* Hacer un listado de incognitas y datos.* Hacer un diagrama de la sltuaclon planteada, si el caso 10requiere.* Plantear y resolver lars) ecuaciontes) si el caso 10requiere.* Comprobar lats) soluclontes).

E1EMPLOS

1. Si al triple del sucesor de n se Ie resta el antecesor del antecesor de n y al resultadose Ie agrega el cuadruplo de n, resulta

A) 6n + 5B) 6n + 3C) 6n + 2D) 6n + 1E) 5n + 5

2. E I nurnero cuyo quintuplo excede a 21 en 10mismo que 42 excede al doble del nurnero,es

A) 7B) 8C) 9D) 10E) 21

3. Una tabla se divide en dos partes, de tal forma que el trozo mayor corresponde adosveces la parte menor, mas cinco unidades. Si la tabla mide 50 cm, La cuanto es igual ladiferencia entre el trozo mayor y el menor, respectivamente?

A) 15 cmB) 20 cmC) 25 cmD) 30 cmE) 35 cm

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4. Si el doble del sucesor de n es aumentado en 1 se obtiene 3, entonces el sucesor de n es

A) -1B) 0C) 1D) 2E) 3

5 E I' de . 10. numero cuya ecima parte es -, esx

A)1x

B)x10

C)1000x

D)1

lO x

E)100x

6. Un nurnero es mayor que otro en 5 unidades, y el doble del mayor mas 20 es igual altriple del menor. LEn que raz6n esta el nurnero menor con el nurnero mayor?

A) 3

5B) 6

7

C) 17

D) 13

E) 57

7. Dos nurneros estan en la raz6n 2 : 5, zcuantas veces el menor es el mayor?

A) 2 vecesB) 1,5 veces

C)1" 5 veces

D) 2,5 vecesE) 10 veces

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PROBLEMAS CON FRACCIONES

Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracci6n de un

nurnero. La fracci6n ~ de un nurnero x se calcula multiplicando ~ por x.

E1EMPLOS

1. En un curso de 40 alumnos, la mitad escribe, un quinto calcula y el resto lee. z.Cuantosalumnos leen?

A) 6

B) 8C) 10D) 12E) 14

2. Si Emilio gana $ B Y gasta las dos quintas partes, zcuel de las siguientes expresionesrepresenta 1 0 que Ie queda a Emilio, en pesos?

A) B-~5

B)2B-

5

C) B:~B5

D) 2B

E) B - ~B5

3. Julio compra un televisor a credlto en $ 3A, pagando un cuarto al contado y el resto ennueve cuotas iguales. LCual es el valor de cada cuota?

A) $ 9A4

B) $A

4

C) $A-9

D)A

$12

E)A

$ 36

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4. En un curso de 30 alumnos, el nurnero de nlfias es el doble del nurnero de nlfios, mas 3.Entonces, Lque fracci6n del total es el nurnero de nlfios?

A)1

32

B) 7

7C) 10

3D) 10

E) 47

5. Si se sabe que x 2 = ;5 v', Lque fracci6n es x de y?

9A) 25

B) 35

D)

1

5591

9

C)

E)

6. Si x 2 es inversamente proporcional con y, y la constante es igual a 100, entonces el valor

de yes

A)10x

B)1

x

C)100x

D)100

x2

E)x10

7. Si p es igual a q2 y q es igual a m, Len que raz6n estan p2 y m2?

A) m: 1B) rn'": 1C) rrr": 1D) 2m: 1E) rrr": 1

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PROBLEMAS DE DiGITOS

Un nurnero esta escrito en notaci6n ampliada 0 desarrollada si se expresa como la suma delas cantidades que resulten de multiplicar cada digito de dicho nurnero por la potencia de diezcorrespondiente a su posici6n ( . .. centena, decena, unidad, declma, centeslrna ... )

abc,de = a . 10 2 + b . 10 1 + c . 10 + d . 10- 1 + e . 10- 2

Para los problemas de digitos debemos usar la notaci6n ampliada, donde en el sistema decimalun nurnero de la forma xyz queda representado por x 10 2 + y . 10 1 + z 10

E1EMPLOS

1. 525 en notaci6n decimal posicional se escribe como

A) 5 10 2 + 2 . 10- 1B) 5 10 2 + 2 . 10 2 + 5C) 5 10 2 + 2 . 10 + 5 . 10- 1D) 5 10 + 2 . 10 + 5E) 5 10 2 + 2 . 10 + 5 . 10

2. E I desarrollo de 324,65 en notaci6n decimal posicional es

A) 3 10 2 + 2 . 10 1 + 4 . 10 + 6 . 10- 1 + 5 . 10- 1B) 3 10 2 + 2 . 10 1 + 4 . 10 + 6 . 10- 2 + 5 . 10- 1C) 3 10 2 + 2 . 10 1 + 4 . 10 + 6 . 10- 1 + 5 . 10- 2D) 3 10 2 + 2 . 10 1 + 4 . 10 + 6 . 10- 1 + 5E) 3 10 2 + 2 . 10 1 + 4 . 10 + 6 . 10- 1 + 5 . 0,02

3. Si x es un nurnero de dos digitos, en que el dig ito de las unidades es a y el digito de lasdecenas es b, entonces el antecesor de x es

A) a + b - 1B) lOa + b - 1C) lOb + a - 1D) 100b + lOa - 1E) 10(b - 1) + a

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4. Si M es un nurnero de tres cifras distintas en el cual el digito de las decenas es p, el dig itode las unidades es q y el de las centenas es r, entonces el doble de M es

A) 200p + 20r + 2qB) 200p + 20q + 2r

C) 200r + 20q + 2pD) 200q + 20p + 2rE) 200r + 20p + 2q

5. Si los digitos de un nurnero de dos cifras suman 9 y el dig ito de las decenas es x,entonces el nurnero es

A) lOx + 9

B) x + (9 - x)C) 10(9 - x) + xD) lOx + (9 - x)E) lOx + 9x

6. Si n es nurnero de tres cifras en el cual el digito de las centenas es x, el dig ito de lasdecenas 3x y el de las unidades es igual al dig ito de las centenas, entonces el cuadradodel sucesor de n es

A) 131x + 1B) 130x + 1C) (130x + 1fD) (131x + 1fE) (130xf

7. Si los digitos de un nurnero de 3 cifras suman 15 y el digito de las decenas (x) es 3 vecesel digito de las unidades (y), entonces la cifra de las centenas es

A) 15 - 4yB) 4y

C) 3yD) y

E) 15 + 4y

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PROBLEMAS DE EDADES

En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentesindicando en una linea del tiempo 0 en una tabla, sus edades pasadas, presentes 0 futuras,sequn corresponda:

Edad pasadaEdad actual

Edad futura(hace b aiios) (dentro de c aiios)

x - b x x+cy - b y y+c

E1EMPLOS

1. Si la edad de una persona es x, zcuentos afios tenia hace y afios?

A) YB) x + YC) x - YD) xE) Y - x

2. La edad de una persona es 35 afios, z.Cuantos afios tenia hace (6 - E) afios?

A) 29 + EB) 29 - EC) -29 + ED) 41 - E

E) 41 + E

3. La edad que tendre en 15 afios mas es el doble de la que tenia hace 10 afios, LQue edadtengo actual mente?

A) 25 afiosB) 30 afiosC) 35 afiosD) 40 afiosE) 45 afios

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4. E I triple de la edad que yo tenia hace 2 afios es el doble de la que tendre dentro de6 afios, LQue edad tendre en dos afios mas?

A) 12 afiosB) 14 afios

C) 16 afiosD) 18 afiosE) 20 afios

5. Rodrigo tiene tantos afios como los de Mario menos tres afios, y si el cuadrado de lasuma de sus edades es 100, entonces la ecuaci6n para determinar la edad de Mario (M)es

A) (M + M - 3f = 100B) (M + M + 3f = 100C) M2 + (M - 3f = 100D) M2 + (M + 3f = 100E) M2 + (3 - Mf = 100

6. Juan tenia hace 7 afios el doble de la edad que tendra Anita en 7 afios mas. Si la edad deJuan es el triple de la edad de Anita, entonces Lque edad tiene Juan?


7. Carla tiene quince afios mas que Pedro. Hace cinco afios la edad de Carla era dos veces

la edad que tenia Pedro. LQue edad tendra Carla en cinco afios mas?


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E1ERCICIOS

1. AI escribir en lenguaje algebraico la diferencia entre el triple de a y el cuadrado de bresulta

A) 3a - b 2

B) 3(a - b2)C) (3a - bfD) b 2 - 3aE) a 3 - b2

2. "EI triple del cuadrado de k, es cinco unidades mayor que P", se expresa como

A) 3k 2 - 5 = PB) 3k 2 + 5 = PC) (3kf + 5 = PD) 3(2k) - 5 = PE) (3kf - 5 = P

3. EI exceso de la edad de un Padre sobre la edad de su Hijo es de m afios, Entonces, en pafios mas la diferencia de sus edades, en afios, sera

A) -m + pB) P - mC) m - pD) PE) m

4. Dos amigos deciden regalar a su Profesora una flor que tiene un valor de $ 750. Si unode ellos aporta el doble que el otro y sabiendo que el menor aporte fue $ x, entonces laecuaci6n que representa tal situaci6n es

xA) "2 = 750 - x

B) -x = 750 + 2xC) 2x = x - 750D) 2x = 750 + xE) 2x = 750 - x

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5. Entre Carlos y Angelica recorrieron 1.700 metros. Si Carlos recorri6 150 metros mas queAngelica, zcuantos metros recorri6 Carlos?

A) 925B) 850C) 800D) 775E) 750

6. Una persona gana $ a anuales y gasta $ b trimestrales, z cuanto logra ahorrar en un afio?

A) a - bB) a - 2bC) a - 3bD) a - 4bE) a - 5b

7. Un pastelero vende ~ de una torta y reparte en partes iguales el resto entre sus ocho

hijos. LQue parte de la torta Ie toc6 a cada hijo?

A)1-

5

B)110

C)120

D) 124

E)1

-

30

8. ~ + 2 = x ; 1 es la trascripci6n rnaternatlca de cualtes) de los siguientes enunciados:

I) La mitad de la diferencia entre un nurnero y la unidad, excede en 2 a laquinta parte de ese mismo nurnero.

II) La quinta parte de un nurnero, aumentada en 2, resulta ser la mitad de la

diferencia entre el nurnero y la unidad.III) La quinta parte de un nurnero es 2 unidades menor que la mitad de ladiferencia entre el nurnero y la unidad.

A) 5610 IIB) 5610 I y IIC) 5610 I y IIID) 5610 II y IIIE) I, II Y III

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9. EI enunciado: "A un nurnero e se Ie resta su triple y este resultado se multiplica por elcuadrado del doble de e", se escribe

A) c - 3c . 2c 2

B) c - 3c . (2cf

C) (c - 3c) . (2cfD) (c - 3c) . 2c 2

E) (c - 3) . (2cf

10. Hace 4 afios Ana tenia 6 y Camila banos. LCual sera la suma de sus edades en banosmas?

A) (14 + 3b) afiosB) (14 + 2b) afiosC) (14 + b) anosD) (10 + 3b) afiosE) (6 + 3b) afios

11. Un atleta lanza la bala en tres ocasiones obteniendo tres marcas distintas. En el primerlanzamiento alcanz6 a metros, en el segundos b metros mas que en el primero y en eltercero e metros menos que en el segundo. LCual(es) de las siguientes afirmacioneses (son) siempre verdadera(s)?

I) La distancia lograda en el primer lanzamiento es mayor que la alcanzada enel tercero.

II) (b - c) metros representa la diferencia alcanzada entre el segundo y eltercer lanzamiento.

III)(a

+b - c) metros representa la marca del tercer lanzamiento.

A) 5610 IB) 5610 IIC) 5610 IIID) 5610 I y IIIE) I, II Y III

12. La senora Carmen compr6 4 kilogramos de pan y 3 kilogramos de carne y pag6 $ a. Si elkilogramo de pan vale $ b, zcuanto cuesta el kilogramo de carne?

A) $ (a - 4b)

B)a - 4b

$ 3

C) $a + 4b

3

D) $a - b

3E) $ (a - b)

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13. En un local de flores se vende claveles por unidades. Pedro y Jorge compran un ramo declaveles cada uno; el ramo de Pedro tiene 9 claveles y Ie cost6 $ a. z.Cuanto pag6 Jorgepor su ramo si tiene 3 claveles mas que el de Pedro?

A) $ 3a

B) $ 12aC) $ ~

3

D) $ 3a4

E) $ 4a3

14. Dos nurneros pares consecutivos son tales que el triple del mayor excede en 6 al dobledel menor. z.Cual es la suma de los nurneros?

A) 0

B) 2C) 4D) 6E) 8

15. De una poblaci6n de quelonios perece ~ del total mas 9, sobreviviendo 5610 ~ del total.

z.Cuantos quelonios murieron?

A) 18B) 27C) 36D) 45E) 63

16. Antonio pide un vaso de leche y Ie sirven 5610 dos tercios de la capacidad del vaso. Si elbebe 5610tres cuartos del contenido y quedan 40cc, zcual es la capacidad del vaso?

A) 90 ccB) 120 ccC) 160 ccD) 180 ccE) 240 cc

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17. De los x dulces que tiene Pedro, Ie regala la sexta parte a Carlos, y a Mario Ie regala

cuatro mas que a Carlos, quedandose con ocho. LCual es la ecuaci6n que permitedeterminar el nurnero x?

A)2x

+4=8

6B)

2x+4=x

6

C)2x

+ 12 = x6

D) ~ + 12 = x6

E)x-+4=86

18. A Y B Ilevan 15 afios de matrimonio. La Sra. A siempre se rebaja la edad en 5 afios y elSr. B es 5 afios mayor que ella. Si el Sr. B tiene x afios, z cuel sera la edad de la Sra.A, sequn ella, cuando cumplan 50 afios de matrimonio?

A) e x -5) afiosB) e x+ 25) afiosC) e x+ 30) afiosD) e x+ 35) afiosE) e x+ 40) afios

19. En una prueba de 70 preguntas, Dario omite diez de elias. Si la cuarta parte de laspreguntas que respondi6 correctamente es igual al nurnero de las que respondi6incorrectamente, z cuantas preguntas respondi6 correctamente?

A) 12B) 14

C) 45D) 48

E) 56

20. Las Edades de Pedro, Juan y Diego suman 90 afios, Pedro tiene 4 afios mas que Juan yeste tiene 7 afios mas que Diego. z.Cuantos afios tiene Juan?

A) 24B) 29C) 30

D) 31E) 35

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21. La suma de tres nurneros es 100. E I exceso del primero sobre el tercero es 9 y ladiferencia del segundo con el tercero es 7. Entonces, la suma del mayor con el menor es

A) 63B) 65

C) 66D) 71E) 72

22. E I digito de las unidades de un nurnero de dos cifras es igual al antecesor del digito de lasdecenas. Si el digito de las decenas es n, entonces el valor del antecesor del triple delnurnero es

A) 33n - 31

B) 33n - 6C) 33n - 4D) 33n - 3E) 33n - 2

23. Un nurnero de dos cifras disminuido en 35 resulta igual al doble del digito x de lasdecenas. Si la suma de los digitos del nurnero es igual a 7, Lque ecuaci6n permite hallareste nurnero?

A) [x + (7 - x)] - 35 = 2xB) [lOx + (7 - x)] - 35 = 20xC) [lOx + (x - 7)] - 35 = 2xD) [lOx + (7 - x)] - 35 = 2xE) [lOx + (7 - x)] - 35 = 2(7 - x)

24. Todos los alumnos de un curso se reparten los gastos de un paseo en partes iguales. Sicada uno pone $ 2.500 faltan $ 24.000 para cancelar los gastos y si cada uno pone $4.000 sobran $ 12.000. Si todos los alumnos pagan su cuota, zcuanto es el gasto total?

A) $ 60.000B) $ 80.000C) $ 84.000D) $ 87.000E) $ 96.000

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25. La edad de Fernando es la mitad de la de Juan. Hace tres afios Fernando tenia un terciode la edad que tendra Juan en nueve afios mas. LCuanto sera la suma de las edades endos afios mas?

A) 50 afios

B) 52 afiosC) 54 afiosD) 56 afiosE) 58 afios

26. Se puede determinar la diferencia de edad que tiene Pedro con su hijo si

(1) Pedro tiene el triple de la edad de su hijo.

(2) Hace 30 afios Pedro tenia la edad actual de su hijo.

A) (1) por sf solaB) (2) por sf solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sf sola, (1) 0 (2)E) Se requiere informacion adicional

27. En un avlon vrajan 140 pasajeros, de los cuales 80 son extranjeros y el resto sonchilenos. Se puede determinar el nurnero de mujeres chilenas que viajan en el avlon si

(1) EI nurnero de hombres chilenos duplica el nurnero de las mujeres chilenas.

(2) Del total de pasajeros, 105 son hombres.


28. En cada dla, de Lunes a Jueves, qane $ 600 mas de 1 0 que qane el dla anterior. Se puededeterminar cuanto qane el Miercoles si:

(1) EI Jueves qane el qufntuplo de 1 0 que qane el Lunes.(2) EI Lunes qane $ 450.


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229. En un curso faltaron aclases 5 de los alumnos. Se puede determinar el nurnero de

alumnos del curso si :

(1) Asistieron 24 alumnos.

(2) Faltaron 16 alumnos.

A) (1) por sf solaB) (2) por sf solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sf sola, (1) 6 (2)E) Se requiere informaci6n adicional

30. Se puede determinar el valor nurnerico de ~ si se sabe que:

(1) ! 3a _ a) = 6aa 2 4b

(2) b = Qa

A) (1) por sf solaB) (2) por sf solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sf sola, (1) 6 (2)E) Se requiere informaci6n adicional

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RESPUESTAS

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~1 2 3 4 5 6 7.

a . 2x h. XS o. x - a=y 0 x=y+ab . x 2 i. a - b p. x+a=y 0 x=y - ac. 3x j. b - a q. a bd. x 3 k. a - b r. x a

1 y 2 a + b a C D B A A De. 4x I. s. -

2 bf. X4 m. x+ag. 5x n . x - a

3y4 A C B C E B D

5y6 D E B D B D C

7yS E C C E D D A

9 y 10 C A C E A B E

E1ERCICIOS PAG. 11

1. A 11. C 21. B

2. A 12. B 22. C

3. E 13. E 23. D

4. E 14. B 24. C

5. A 15. B 25. E

6. D 16. E 26. B

7. C 17. C 27. A

S. E lS. B 2S. D

9. C 19. D 29. D

10. A 20. D 30. A

DMONMA10

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