1

10. ALGEBRA

INTRODUCCIÓN En ocasiones has visto expresiones como la siguiente: a + b = b + a Con ella representamos la propiedad conmutativa de la suma. Esta propiedad es cierta para cualquier par de números y por ello utilizamos letras en lugar de valores concretos. En Matemáticas es frecuente utilizar expresiones que combine números y letras o solamente letras. Esto lo hacemos cuando, como en el caso anterior, expresamos relaciones que se dan para todos los números. También cuando desconocemos el valor de algún dato lo representamos con una letra hasta que lo hallamos. Y también cuando no conocemos el valor numérico de algún dato y hemos de escribir una expresión en la que interviene aunque no se trate de hallar su valor. Las expresiones que resultan de combinar números y letras relacionándolos con las operaciones habituales se llaman expresiones algebraicas. La parte de las Matemáticas que utiliza las expresiones algebraicas se llama Álgebra. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Muchas expresiones algebraicas que utilizaremos resultan de una “traducción” del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico. Fíjate en los ejemplos y observa que a los números cuyo valor desconocemos unas veces les hemos dado el nombre de una letra y otras veces el de otra. (El signo · entre número y letra o entre dos letras no es necesario escribirlo y lo sobreentenderemos).

• El lenguaje que utilizamos habitualmente se llama lenguaje usual, y es con el que escribimos y/o hablamos. También usamos

el lenguaje numérico, en le que empleamos números y signos aritméticos.

• El lenguaje que combina letras con números y signos de operaciones aritméticas se llama lenguaje algebraico.

Lenguaje usual Lenguaje numérico

Ocho dividido entre dos. 8 : 2 = 4

El cuadrado de tres. 32 = 9

La tercera parte doce.

Lenguaje usual Lenguaje algebraico

La suma de dos números a + b

Un número menos 3 unidades y – 3

El cuadrado de un número b2

La mitad de un número

4312

=

2

1.- Expresa con lenguaje numérico o lenguaje usual. 2.- Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico.

a)Un número más uno x - 2 b)La tercera parte de un número b + 1 c)Un número disminuido en 2 unidades a2 + 4

d)El cuadrado de un número más 4 unidades

Expresión escrita Expresión algebraica

La suma de dos números. a + b

Un número aumentado en cuatro unidades. x + 4

El triple de un número. 3 · m

3.- Completa la siguiente tabla.

3m

LENGUAJE USUAL LENGUAJE NUMÉRICO La suma de tres más cinco

El doble de siete El triple de dos 3 · 4 20

4

52

EXPRESIÓN ESCRITA EXPRESIÓN ALGEBRAICA El doble de un número

Un número disminuido en 3 unidades La mitad de un número El cuadrado de un número El triple de un número Un número aumentado en 5 unidades

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras combinados con los signos de las operaciones aritméticas: suma, resta,

multiplicación y división.

3

4.- Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica.

a)El doble de un número más dos unidades. x − 5

b)Un número disminuido en cinco unidades.

c)La tercera parte de un número. 2 · x + 2 d)El cubo de un número. x + 10 e)El doble de un número. 2 · x f)Un número aumentado en diez unidades. x3 g)La diferencia de dos números. x + 1 h)El número siguiente a un número entero. x - y

5.- Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico.

LENGUAJE USUAL LENGUAJE ALGEBRAICO Los años que tenía el año pasado Los años que tendrá dentro de un año La edad que tenía hace 5 años La edad que tendrá dentro de 5 años Años que faltan para que cumpla 70 años

6.- Escribe con lenguaje numérico o algebraico, según corresponda. EXPRESIÓN LENG. NUMÉRICO LENG. ALGEBRAICO SE EXPRESA

La suma de 15 y 20 Sí No 15 + 20 La diferencia entre a y b El cuadrado de c La diferencia entre 15 y 9 El doble de 6 El triple de y El doble de x más dos unidades

Halla el valor numérico de la expresión 2x + 1, para x = 1.

Primero habrá que sustituir la x de la expresión por el valor que se indica: 1. 2·1 + 1

Realizamos la operación y obtenemos el resultado, el valor numérico: 2·1 + 1 = 2 +1 = 3

El valor numérico de 2x + 1, para x = 1, es 3.

3x

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números y realizar las

operaciones que se indican.

4

MONOMIOS

Un monomio es la expresión algebraica más simple y está formada por productos de letras y números.

• Los números se denominan coeficientes.

• Las letras se denominan parte literal.

Ejemplos de monomios: 2x ; 5x2 ; -x ; x ; -3y2 ; 3ab

7.- Halla el valor numérico de la expresión 3x - 5 cuando x toma los valores. a) x = 0 c) x = 3 3·0 -5 = 0 -5 = -5

b) x =2 d) x = -1 8.- Calcula el valor de las expresiones para estos valores.

Valor de x x + 2 2x - 1 x = 1 1 + 2 = 3 2 · 1 - 1 = = 2-1 = 1 x = 2 x = -1 x = 0 x = -2

9.- De las siguientes expresiones algebraicas, rodea los monomios y tacha las expresiones que no lo son. a) 4 x5 b) 7x + 1 c) 24 x7 d) 12xy + 5x e) 6xy3 10.- Completa la siguiente tabla:

MONOMIO COEFICIENTE PARTE

LITERAL

-3ab -3 ab

MONOMIO COEFICIENTE PARTE

LITERAL

2x 2 x

MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL -5ab -5 ab

x3 23𝑎𝑏

!

5x

4 x2y

xy

−35𝑥

"𝑧#

7

ab

5

MONOMIO GRADO EXPLICACIÓN

2x 1 El exponente de x es 1.

6 0 6 = 6x0, el exponente es cero

-5ab 2 La suma de los exponentes de a1b1 es 2.

10x2y3 5 La suma de los exponentes de x2y3 es 5.

11.- Completa la siguiente tabla:

MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL GRADO EXPLICACIÓN DEL GRADO

2x 2 x 1 El exponente de x es 1. -4a2bc3

x3

-5 9x2y

15yz4

MONOMIOS PARTE LITERAL ¿SON SEMEJANTES?

2x 3x x x Sí 4x2y 2xy2 x2y xy2 No

12.- Para cada monomio escribe dos que sean semejantes y sus partes literales.

MONOMIO SEMEJANTE SEMEJANTE PARTE LITERAL

-5x -ab

-2yx3

9x2y

15yz4

ba 254

GRADO DE UN MONOMIO

Los monomios se clasifican por grados. El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de la

parte literal del monomio.

MONOMIOS SEMEJANTES

Dos o más monomios son semejantes cuando tiene la misma parte literal.

6

13.- Realiza las siguientes operaciones.

a) 3x + 2x = h) x2 + x2 =

b) 5p – 3p = i) 5ab + 3ab - 2ab =

c) 7a + 8a = j) 5a – 2a – 4a =

d) 13b – 5b = k) 6p + 2p + 5p =

e) 3x + 2x + 4x = l) 2x3 - x3 =

f) 7p + 8p – 3p = m) 13z – 5z =

g) x + x + x + x + x = n) 7a + 2a – 3a =

14.- Reduce las siguientes expresiones:

a) x2 + 4x+ 5x2 + x = 6x2 + 5x d) 7ab + 5ab + 6ab - 2ab =

b) 6x2 + 7x + 2x2 - x = e) 3xy + 2xy + 5x + x =

c) 4x3 + 5x2 - 2x3 + 4x2 = f) 2a + 9a - 10a + 6a =

2x • 3x2 = (2 · 3) · x · x2 = 6x1+2 = 6x3 – 4x2 • 5xy3 = (-4 · 5) · x2 · xy3 = -20 x2+1y3 = -20 x3y3

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS

• La suma o resta de monomios se puede realizar si son semejantes, es decir, si tienen la misma parte literal.

• El resultado es otro monomio que tiene por coeficiente la suma o resta de los coeficientes y la misma parte literal.

3p + 2p = 5p Son monomios semejantes.

La parte literal es p.

3p - 2p = p Son monomios semejantes.

La parte literal es p.

3p + 2g = 3p + 2g Son monomios no semejantes.

La suma se deja indicada.

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

• La multiplicación entre monomios es otro monomio que tiene:

- Por coeficiente, el producto de los coeficientes (números).

- Por parte literal, el producto de las partes literales (letras).

• Recuerda el producto de potencias de la misma base, la multiplicación de números enteros y la regla de los signos.

x2 · x3 = x2+3 = x5

+ · + = +

– · – = –

vvv + · – = –

– · + = –

7

15.- Realiza las siguientes operaciones:

a) 3a · 2a = b) 5p · 3p = c) -7x · 8x2 = d) 5a · (–5a2) =

e) 3x · 2x = f) 7p · 2p4 = g) 5a · ( –5a2) = h) x2 · 5xy3 =

i) 2x · 3x · 4x = j) a · a · a = k) (–3a2) · (-4a) = l) (–3x2)· (– 5x4)

16.- Opera:

a) b) c)

d) e) f)

17.- Realiza las siguientes operaciones.

a) h) 2x2 · 5x4 =

b) i) 2y · 3y =

c) j) 6b2 · 2b2 =

d) k) –3x2 · 4x5 =

e) l)

f) m)

g) n)

xxxx

xx 44

28

28 12

22

==×= - 2353

5

3

5

33412

412 xx

xx

xx

==×= -

=2

3

24xx

=-

2

9

212zz =5

5

515yy

=3

7

714aa

=--

5

7

24xx

=- 2

8

99cc

=+ xx 34

=- yy 26

=+ xx3

=+ xx 5

=- zz2 =5

6

48cc

=- yx 34 =-

5

12

525aa

=- xx 310 =9

15

918yy

DIVISIÓN DE MONOMIOS

• La división de dos monomios es otro que tiene:

- Por coeficiente, la división de los coeficientes (números).

- Por parte literal, el cociente de las partes literales (letras).

• Recuerda que la división de potencias de la misma base, la división de números enteros y la regla de los signos.

x5 : x2 = x5-2 = x3

+ : + = +

– : – = –

+ : – = –

– : + = –

8

IDENTIDADES Y ECUACIONES Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo (=).

• Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor de las letras.

• Una ecuación es una igualdad algebraica que no se cumple para todos los valores de las

letras.

EJEMPLO x + x = 2x es una identidad Se cumple la igualdad para cualquier valor numérico que tome x: Para x = 1 1 + 1 = 2 · 1 2 = 2 Para x = -2 (-2) + (-2) = 2(-2) - 4 = - 4 x + 4 = 10 es una ecuación. Sólo se cumple cuando x= 6 6 + 4 = 10

Resolver una ecuación es encontrar el valor o los valores de las letras para que se cumpla la igualdad.

18.- Indica el valor de x para que se cumpla la igualdad.

ECUACIÓN

PREGUNTA VALOR DE x

¿Qué número restado a 15 da 12? x=

19.- Calcula mentalmente el valor de x para que se cumpla la igualdad.

a) d)

b) e)

c) f)

1215 =- x

1410 =+ x

1011 =- x

92 =+ x

416 =- x

21=-x 510 =- x

157 =+x 124 =+x

63 =-x 26 =- x

9

ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN Los miembros de una ecuación son las expresiones algebraicas que hay a cada lado de la igualdad. Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros. Primer miembro Segundo miembro

Términos Las incógnitas de una ecuación son las letras que aparecen en los términos, cuyos valores son desconocidos. El grado de una ecuación es el del término de mayor grado. La solución de una ecuación son los valores numéricos de las incógnitas que hacen cierta la igualdad. Incógnita Grado Solución

20.- Completa la siguiente tabla:

ECUACIÓN

PRIMER

MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO

TÉRMINOS

INCÓGNITA

GRADO

ECUACIONES EQUIVALENTES Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

x + 4 = 10 y 2x = 12 son ecuaciones equivalentes, ya que ambas tienen como solución x = 6.

6 + 4 = 10 2 · 6 = 12

2356 =+x

104 =+x Þ x®

1®

6=® x

85 =+x

132 +=- xx

64 32 +-=- xx

0105 2 =-x

10

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Resolver una ecuación es encontrar su solución. Para resolver una ecuación agrupamos en un miembro todos los términos con la incógnita, y los números en el otro.

• Si un término está sumando en un miembro, pasa restando al otro. Y si está restando, pasa sumando.

• Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro. Y si está

dividiendo, pasa multiplicando.

Transposición de términos de una ecuación Ejemplo 1: x + 5 = 7 Para despejar la x sobra el 5 del primer miembro x + 5 − 5 = 7 − 5 Restamos 5 en los dos miembros 𝑥 = 7 − 5 La x está despejada x = 2 La solución es x=2 Ejemplo 2: 4x − 7 = 5 Sumamos 7 en los dos miembros 4x = 5 + 7 Reducimos términos 4𝑥 = 12 Dividimos entre 4 ambos términos x = !"

# Simplificamos la fracción

x = 3 La solución es x=2 Ejemplo 3: 5x − 5 = 9 + 3x Restamos 3x en los dos miembros 5x − 5 − 3𝑥 = 9 Reducimos términos 2x − 5 = 9 Sumamos 5 en los dos términos 2x = 9 + 5 Reducimos términos 2x = 14 Dividimos ambos términos por 2 x = !#

" Simplificamos la fracción

x = 7 La solución es x=7

11

Ejemplo 4: Resolver la ecuación: Lo resolveremos de una manera más corta. Para resolver una ecuación es conveniente seguir estos pasos: 1) Agrupar términos semejantes en un mismo miembro de la ecuación. Para cambiar un término

de miembro, cambiaremos su signo. 2) Reducir términos semejantes. 3) Despejar la incógnita. Para ello, el número que multiplica a la incógnita pasa al otro miembro

dividiendo.

21.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 𝑥 − 5 = −4 b) 𝑥 + 8 = 7 c) 𝑥 − 3 = −1 d) 𝑥 − 5 = −7 e) 5 = 𝑥 + 2 f) −1 = 𝑥 + 2

g) 1 = 𝑥 − 3 h) −6 = 𝑥 − 2 i) 6 − 𝑥 = 1

22.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2𝑥 − 5 = 1 b) 4𝑥 + 6 = 2 c) 3𝑥 − 4 = 2 d) 5𝑥 + 10 = 0 e) 5 + 6𝑥 = 25 f) 8 + 2𝑥 = 2

g) 14 = 6 + 2𝑥 h) 18 = 2 − 4𝑥 i) 5 = 20 − 5𝑥

23.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 𝑥 − 10 + 2𝑥 = 25 b) 9𝑥 + 3 + 3𝑥 = −5 c) 4 = 6𝑥 + 15 + 5𝑥 d) 6𝑥 + 5 − 2𝑥 = 13 e) 2𝑥 − 1 = 𝑥 + 3 f) 5 + 2𝑥 = 3𝑥 + 7

g) 11 − 3𝑥 = 2𝑥 + 5 + 7𝑥 h) 7𝑥 + 5 + 3𝑥 = 1 + 2𝑥 + 4 i) 14 + 𝑥 = 𝑥 − 6 + 4𝑥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO ECUACIONES Para resolver un problema utilizando ecuaciones es conveniente seguir estos pasos. 1. Lectura y comprensión del enunciado. Es necesario distinguir los datos conocidos y el dato

desconocido, es decir, la incógnita. 2. Planteamiento de la ecuación. Hay que expresar las condiciones del enunciado en forma

de ecuación: la correspondencia entre los datos y la incógnita.

745143 --=-- xxx

147543 +-=+- xxx

126 =x

2612

=®= xx

12

3. Resolución de la ecuación. Se obtiene el valor de la incógnita resolviendo la ecuación. 4. Comprobación e interpretación del resultado. Se debe comprobar si el resultado verifica

el enunciado e interpretar la solución en el contexto del problema.

24.- Resuelve planteando una ecuación (el primero, como ejemplo, se da resuelto):

a) Si a un número le quitas 13, obtienes 91. ¿Cuál es el número? Número x Ecuación: 𝑥 − 13 = 91 𝑥 = 91 + 13 𝑥 = 104 Solución: El número buscado es 104.

b) ¿Cuál es el número que al añadirle 15 da 50?

c) ¿Por qué número hay que multiplicar a 15 para obtener 120?

d) ¿Qué número dividido entre 5 da 11?

25.- ¿Qué edad tiene Rosa sabiendo que dentro de 24 años tendrá el triple de la que tiene ahora? Ayuda: Edad actual x Edad dentro de 24 años x+24 El triple de la edad actual 3x 26.-Con 70 € compro 3 camisas y me sobra un euro. ¿Cuánto cuesta una camisa? Un número y su siguiente suman 67. ¿De qué número se trata? El número x Ecuación: 𝑥 + (x + 1) = 67 El siguiente x+1 x + x + 1 = 67 2x = 66 x = 33 Solución: El número buscado es 33. 27.- Calcula el número que sumado a su anterior da 221

13

28.- Si al doble de un número le restas 13, obtienes 91. ¿Cuál es el número? 29.- Sumando el doble y el triple de un número y restando 6 al resultado, se obtiene 119. ¿De qué número se trata? 30.- Si al triple de un número se le suman 28 unidades, se obtiene el quíntuple del número menos cuatro unidades. ¿De qué número se trata?

Ana tiene 2 € más que Berta, Berta tiene 2 € más que Eva y Eva tiene 2 € más que Luisa. Entre las cuatro amigas tienen 48 €. Calcula la cantidad de dinero que tiene cada una. 1. Lectura y comprensión del enunciado. Tomamos como dato desconocido el dinero que tiene Luisa.

2. Planteamiento de la ecuación. Dinero de Luisa → x

Las restantes cantidades de dinero las escribimos en función de x:

Dinero de Eva → 2 € más que Luisa → x + 2

Dinero de Berta → 2 € más que Eva → (x + 2) + 2 = x + 4

Dinero de Ana → 2 € más que Berta → (x + 4) + 2 = x + 6

Escribimos la condición de que la suma de las cantidades es 48 €.

x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 48

3. Resolución de la ecuación. x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 48 → 4x + 12 = 48 → 4x = 48 − 12 →

→ 4x = 36 → x= =9 → Luisa tiene 9 €.

Eva tiene: 9 + 2 = 11 €. Berta tiene: 9 + 4 = 13 €. Ana tiene: 9 + 6 = 15 €.

4. Comprobación e interpretación del resultado. Las cantidades que tienen las amigas: 9, 11, 13 y 15 € cumplen las condiciones del

enunciado.

9 + 11 + 13 + 15 = 48

31.- Rosa ha salido cinco días de vacaciones. Sabiendo que ha gastado 130 €, y que cada día gastó tres euros más que el día anterior, ¿cuánto gastó el primer día? 32.- Juan tiene 4 años menos que su hermano Víctor y un año más que su hermana Ana. Si entre los tres suman 30 años, ¿cuál es la edad de cada uno? 33.- Rodrigo tiene tres años más que su amiga Natalia y 4 menos que su amigo Federico. ¿Cuántos años tiene cada uno sabiendo que el año que viene, entre los tres, completarán un siglo? 34.- Un bolígrafo cuesta 25 céntimos más que un lapicero. He pagado 3 € por 3 lapiceros y dos bolígrafos. ¿Cuál es el precio de cada uno?