Los sistemas de ecuaciones son una de las

herramientas ms tiles dentro del estudio de las

matemticas. Podemos resolver innumerables

situaciones usando los sistemas de ecuaciones

lineales y no lineales.

Las aplicaciones van desde las ciencias naturales,

la matemtica, las ramas de administracin de

empresas, la ingeniera, etc.

Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones

1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de sustitucin.

4x + y = 0

-4x + y = -8

2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de sustitucin.

5x - 2y = -1

7x + 4y = 53

3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de sustitucin.

2x + 6y = -16

-2x - 13y = 37

4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de eliminacin.

5x + 13y = 8

12x - 11y = -23

5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de eliminacin.

3x + y =13

2x - 7y =-7

Definicin

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de

dos o ms ecuaciones simultneas.

2 61)

3 4

x y

x y

1 310

2 43)

34

4

x y

x y

3 04)

0

x y

x y

2 52)

2 4

x y

x y

Ejemplos:

Aclaracin

El tamao de un sistema de ecuaciones est

determinado por el nmero de ecuaciones y el

nmero de variables. Un sistema con tres

ecuaciones y con tres variables se dice que es un

sistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tres

variables se dice que es un sistema 2x3.

Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales,

al sistema se le llama sistema ecuaciones lineales.

De lo contrario se le llama sistema de ecuaciones

no lineal.

Definicin

Una solucin de un sistema 2x2 es un par

ordenado (x,y) que hace cierta cada una de las

ecuacines del sistema.

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en

encontrar el conjunto de todas las soluciones

del sistema. El conjunto formado por todas las

soluciones de un sistema de ecuaciones se

conoce como el conjunto solucin del sistema.

Ejemplo:

Verifica si el par ordenado es una solucin del

sistema de ecuaciones.

2 61)

3 4

x y

x y

2 , 1 :OrdenadoPar

:Verificacin

2 1 2 6

3 1 2 4

Por lo tanto el par ordenado 1 , 2 no es solucin.

2 52)

2 4

x y

x y

Par Ordenado: 1 , 6

561 2 4612

Por lo tanto el par ordenado 1 , 6 es solucin.

:Verificacin

Existen varios mtodos para resolver sistemas

de ecuaciones, entre ellos:

1. Mtodo grfico

2. Mtodo de sustitucin

3. Mtodo de eliminacin por adicin

4. Regla de Cramer

5. Mtodo de la matrz aumentada

6. Mtodo de matrices

Tipos de sistemas de ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden

clasificar en tres tipos dependiendo de su

conjunto de soluciones.

1. Sistema consistente independiente:

Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen una nica solucin. Las grficas de las lneas son diferentes.

2. Sistema consistente dependiente:

Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen infinitas soluciones. Las dos grficas de las lneas son iguales.

3. Sistema inconsistente independiente:

Son aquellos sistemas de ecuaciones que no tienen solucin. Las dos grficas de las lneas son paralelas.

MTODO GRFICO PARA SISTEMAS 2X2

Procedimiento

1. Las soluciones del sistema de ecuaciones

sern los puntos de interseccin entre las

dos grficas.

2. Construya la grfica de cada ecuacin.

Aclaracin:

Este mtodo es til solo si podemos leer con

precisin los puntos de interseccin entre las

grficas. En la mayora de los casos eso no es

posible.

Ejemplos:

Resuelve cada sistema de ecuacioes por el mtodo grfico

51)

1

2x y

x y

y

x

1 , 2:Solucin

52x y

1x y

22)

0

x y

x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

:Solucin 1 , 1

2x y

0x y

23)

2 2 0

x y

x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

Las dos lneas son

paralelas, no tienen

puntos de interseccin.

El conjunto de

soluciones es vaco.

. .C S

24)

2 2 4

x y

x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

2x y

2 2 4x y

El sistema es

dependiente y tiene

infinitas soluciones. Las

soluciones se pueden

encontrar buscando

puntos de cualquiera de

las lneas.

. . ,2 :C S x x x

22

25)

4

y x

y x

El conjunto solucin

contiene dos pares

ordenados.

. . 2,0 , 2,0C S

PROCEDIMIENTO

1. Despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones.

2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuacin. Esto producir el valor de una de las variables.

3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

MTODO DE SUSTITUCIN PARA SISTEMAS 2X2

Ejemplos:

Resuelve usando el mtodo de sustitucin.

2 61)

3 4

x y

x y

xy 26

4263 xx4263 xx

2x

226y 2 2 , 2Conjunto Solucin

Escogiendo la ecuacin , tenemos 2 6x y

Sustituyendo en la otra ecuacin tenemos,

Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuacin

tenemos

Escogiendo la ecuacin , tenemos

2 52)

4

x y

2x y

2 5x y

Sustituyendo en la otra ecuacin tenemos,

25 xy

452 2 xx

452 2 xx

0122 xx

011 xx

01x 1x

215 y 6

1 , 6Conjunto Solucin

Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuacin

tenemos, 2 5 x y

25 xy

1 310

2 43)

34

4

x y

x y

44

3 xy

1044

3

4

3

2

1

xx

Escogiendo la ecuacin , tenemos 3

44

x y

Sustituyendo en la otra ecuacin tenemos,

10316

9

2

1 xx

1604898 xx

Multiplicando la ecuacin por 16 tenemos,

4816017 x

17

208x

Sustituyendo en la ecuacin tenemos, 44

3 xy

417

208

4

3

y

17

88y 208 88. . ,

17 17C S

Mtodo de Eliminacin por Adicin

Este mtodo consiste en sumar o restar las ecuaciones con el

objetivo que se elimine una de las variables.

Procedimiento:

1. Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicando las ecuaciones por los nmeros correspondientes.

2. Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable.

3. Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puede reemplazar por una sustitucin.

2 3 31)

2 5

x y

x y

2 3 3

2 4 10

x y

x y

Multiplicando la segunda ecuacin por -2 obtenemos,

Restando las ecuaciones obtenemos,

2 3 3

2 4 10

0 7 7

x y

x y

x y

77 y 1y

4 6 6

3 6 15

x y

x y

Multiplicando la segunda ecuacin por -3 y la primera

por 2 obtenemos,

Sumando las ecuaciones obtenemos,

4 6 6

3 6 15

7 0 21

x y

x y

x y

2 2 3 3

3 2 5

x y

x y

Sustituyendo y = 1 en la ecuacin,

512 x

3x

. . 3, 1C S El sistema es consistente independiente.

7 21x

Observacin:

Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar

el mtodo de sustitucin.

3x

2 5x y

2 3 32)

4 6 6

x y

x y

664

664

yx

yx

C.S.=

El sistema es inconsistente.No tiene soluciones.

Multiplicando la primera ecuacin por 2 obtenemos,

2 2 3 3

4 6 6

x y

x y

4 6 6

4 6 6

0 0 12

x y

x y

x y

Sumando las ecuaciones obtenemos,

0 12 Falso

2 3 33)

4 6 6

x y

x y

4 6 6

4 6 6

x y

x y

00

El sistema es dependiente.Tiene infinitas soluciones.

2 2 3 3

4 6 6

x y

x y

Multiplicando la primera ecuacin por 2 obtenemos,

Sumando las ecuaciones obtenemos,

4 6 6

4 6 6

0 0 0

x y

x y

x y

Cierto

3 2. . , :

2

xC S x x R

Aplicaciones:

1. El precio de un boleto para cierto evento es de

$ 2.25 para adultos y $ 1.50 para nios. Si se

venden 450 boletos para un total de $ 777.75

Cuntos boletos de cada tipo se vendieron?

:Solucin

Sea el nmero de boletos vendidos de adultos.x

Sea el nmero de boletos vendidos de nios.y

:sistema el Obtenemos

450

2.25 1.50 777.75

x y

x y

adultos de boletos 137x

nios de boletos 313y

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,

2. Una lancha de vapor operada a toda mquina

hizo un viaje de 4 millas contra una corriente

constante en 15 minutos. El viaje de regreso (con

la misma corriente y a toda mquina) lo hizo en 10

minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la

velocidad equivalente a la lancha en aguas

tranquilas en millas por hora.

:Solucin

Sea la velocidad de la corriente.Sea la velocidad de la lancha.

xy

corriente. la de contraen lancha la de velocidad xy

corriente. la defavor a lancha la de velocidad xy

Usando la frmula para distancia ycambiando el tiempo a horas tenemos que:

d vt

hora60

15 minutos 15 hora

4

1

hora60

10 minutos 10 hora

6

1

44

1 xy

46

1 xy

1 14

4 4

1 14

6 6

y x

y x

horamillasx 4

La velocidad de la corriente es, 4 .x mph

horamillasy 20

La velocidad de la lancha es, 20 .y mph

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,

Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de sustitucin .

Actividad 1. De manera individual realiza en tu libreta los

siguientes ejercicios.

Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones

1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de sustitucin.

4x + y = 0

-4x + y = -8

2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de sustitucin.

5x - 2y = -1

7x + 4y = 53

3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de sustitucin.

2x + 6y = -16

-2x - 13y = 37

4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de eliminacin.

5x + 13y = 8

12x - 11y = -23

6. Resuelve el ejercicio.

Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un

ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el Certificados de

Deposito a una tasa del 5 % anual y el resto lo invirtieron en bonos

AA que pagan un 11 % anual. Cunto deben invertir a cada por

ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al ao?

5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo de eliminacin.

3x + y =13

2x - 7y =-7