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1. CLCULO MATRICIAL

1.1. Sistemas de equaes lineares

1.2. Operaes elementares de Gauss

1.3. Mtodo de Gauss-Jordan

UATLA Matemtica GS + MCE 1. Clculo Matricial Sandra Flix / Antnio Figueiredo 2

Equao linear

bxaxaxa nn 2211

Se b for zero a equao diz-se homognea,

caso contrrio diz-se no-homognea.

zero. de diferente dos um menos Pelo

mente.respectiva ,tesindependen termosos e escoeficient

os so e constantes As .incgnitasou variveisas so

i

ii

a

bax

1.1. Sistemas de equaes lineares

UATLA Matemtica GAT + MCE 1. Clculo Matricial a) Sandra Flix / Antnio Figueiredo 3

Exemplos

variveis / trshomognea-no1234

variveluma / homognea-no032

variveisduas / homognea-no253

variveisduas / homognea03

zyx

x

yx

yx


Sistema de equaes lineares

So duas ou mais equaes lineares que, por

poderem em geral partilhar entre si variveis,

devem ser resolvidas em conjunto, de forma

consistente.


Sistema de m equaes a nincgnitas

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

me

qu

a

es

n variveis


Exemplo

Por 2 bilhetes de adulto e 1 bilhete de criana, um grupo

pagou 8,00. Outro grupo pagou 9,00 por 1 bilhete de adulto e 3 de criana.

Quanto custa cada um dos bilhetes?

93

82

yx

yx

x o preo de um bilhete de adulto e y o de um bilhete de criana.

Sistema de duas equaes a duas incgnitas.


Soluo de um sistema de equaes lineares

um conjunto de valores, assumidos

pelas variveis, que satisfaz todas as

equaes do sistema.

Portanto, para estes valores das

variveis, todas as equaes so

proposies verdadeiras.


Exemplo

O bilhete de adulto custa 3,00 e o bilhete de criana custa 2,00.

9233

8232

93

82

23

yxyx

yx

sistema. do soluo uma portanto 2

3

y

x


Nmero de solues de um sistema de equaes lineares

Um sistema de equaes lineares pode

ter nenhuma, uma, ou infinitas

solues.


Sistemas possveis e impossveis

Um sistema de equaes lineares possvel se tem, pelo

menos, uma soluo; caso contrrio impossvel.

Se um sistema for possvel, existem valores das

incgnitas que satisfazem todas as equaes do

sistema, de forma consistente.


Exemplo

A mesma expresso, x + y, no pode assumir

dois valores diferentes, 1 e 2, quaisquer que

sejam os valores de x e y.

Portanto, este sistema impossvel.

2

1

yx

yx


Resoluo grfica (m = 2, n = 2)

Cada uma das equaes lineares do sistema pode ser

representada como uma recta no plano.

Cada recta representa o conjunto dos pontos que satisfazem

a equao respectiva. Portanto, os pontos de interseco

das duas rectas correspondem a valores das variveis que

satisfazem, em simultneo, as duas equaes.

Um ponto de interseco das rectas

uma soluo do sistema!


Exemplo

93

82

yx

yx

2.5 3 3.5 4

1

2

3

4

x

y 82 xy

33

1 xy

sistema. do soluo uma portanto 2

3

y

x


Resoluo por substituio

Resolve-se uma equao em ordem a

uma varivel e substitui-se a expresso

obtida noutra equao.

Aplicando este processo as vezes

necessrias, obtm-se equaes que

dependem apenas de uma varivel, que

se pode ento determinar.


Exemplo

1

1

1

54

515122

54

55432

54

532

54

532

45

x

y

x

xy

xx

xy

xx

xy

yx

xy

yx

yx


Resoluo por adio de equaes

Equaes so expresses proposicionais nas quais

se afirma que um dos lados igual ao outro.

Se ambos os lados de uma equao forem multiplicados

por uma constante (no nula), a igualdade

preservada: a equao resultante ter o mesmo valor

lgico e a mesma soluo da equao original;

Adicionando duas equaes (lado a lado), a igualdade

mantm-se: a nova equao forma um sistema

consistente com qualquer uma das equaes

originais, com a mesma soluo.


Exemplo

152

823

yx

yx

2104

3819

yx

x

.resultante equao pela delas

uma se-substituiu e equaes

duas as se-Somaram

simtrico.seu peloou outra, da de ecoeficient

pelo equao cada se-umultiplico eliminar Para

y

y

2104

401015

12522

85235

yx

yx

yx

yx

1

2

21024

2

2104

2

y

x

y

x

yx

x


Sistemas equivalentes

Dois sistemas de equaes lineares

so equivalentes se admitem o mesmo

conjunto de solues.


Operaes que produzem sistemas equivalentes

Troca de duas equaes.

Multiplicao de uma equao por uma

constante no nula.

Substituio de uma equao pela soma

dessa equao com outra equao.


Independncia das equaes de um sistema

Quando um sistema de equaes lineares

tem soluo nica, as equaes so

independentes.

Se um sistema admitir infinitas solues,

as equaes so dependentes e o

sistema indeterminado.


Exemplo

As equaes no so independentes: foi possvel transformar

uma na outra efectuando operaes de equivalncia.

Qualquer valor de x conduz a uma soluo do sistema

escolhendo y = 1 x. No existe uma soluo do sistema,

existem infinitas solues.

Portanto, este sistema indeterminado.

xyyx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

1

00

1

00

1

1

1

1

222

1


1.2. Generalidades sobre Matrizes

So grelhas de nmeros, delimitadas por parntesis

rectos, formadas por linhas e colunas.

A matriz A tem 3 linhas e 3 colunas. A matriz B tem 2 linhas e 3 colunas.

1120

023

512

A

1002

311B

Coluna Linha

Matrizes


Entradas de uma matriz

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

Uma matriz m por n, ou matriz de dimenso

m x n, tem m linhas e n colunas.

O nmero aij a entrada da matriz A que

est na posio ij, ou seja, na linha i e na

coluna j.


Diagonal principal de uma matriz

A diagonal principal de uma matriz o

conjunto das entradas aii, ordenadas por

ordem crescente dos ndices.

1120

023

512

A


Matrizes quadradas, rectangulares, coluna e linha

Uma matriz quadrada se tiver o

mesmo nmero de linhas e de colunas,

caso contrrio rectangular.

Uma matriz com apenas uma coluna

chama-se matriz coluna.

Uma matriz com apenas uma linha

chama-se matriz linha.


Exemplos

1120

023

512

A

311C

241120

35023

71512

D

0

3

2

B

Matriz quadrada Matriz coluna

Matriz linha

Matriz rectangular


Matrizes triangulares

Matriz triangular inferior

uma matriz quadrada

em todas as entradas

situadas acima da

diagonal principal so

iguais a 0.

Matriz triangular

superior uma matriz

quadrada em todas as

entradas situadas

abaixo da diagonal

principal so iguais a 0.

3201

012/32

0025/1

0001

A

5/200

010

432

B


Matriz identidade

Matriz identidade n x n a matriz cujas

entradas so 1 ao longo da diagonal

principal e 0 fora dela.

100

010

001

I Matriz identidade 3 x 3


Porque se usam matrizes para resolver sistemas de equaes?

Colocando os coeficientes das variveis

de um sistema de equaes em forma de

matriz torna-se mais simples trabalhar

com sistemas de muitas equaes e

muitas incgnitas, particularmente

quando se usam computadores.


Matrizes associadas a um sistema de equaes lineares

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

21

222221

111211

Matriz aumentada

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

Matriz dos

coeficientes

mb

b

b

2

1

Matriz dos termos

independentes


Resoluo de sistemas usando matrizes aumentadas

As operaes que se realizam sobre as

equaes de um sistema e produzem um

sistema equivalente podem ser realizadas,

de forma semelhante, sobre as linhas da

matriz aumentada que lhe corresponde.

A cada equao de um sistema est

associada uma linha da matriz aumentada

correspondente.


Operaes que produzem matrizes aumentadas (sistemas) equivalentes

Troca de duas linhas.

Multiplicao de uma linha por uma

constante no nula.

Substituio de uma linha pela soma dessa

linha com outra linha.

1.3. Operaes Elementares de Gauss


Objectivo da aplicao das operaes sobre linhas da matriz

Pretende-se obter do lado esquerdo da

matriz aumentada uma matriz o mais

parecida possvel com a matriz identidade,

ou seja, em que cada linha corresponda a

uma equao resolvida.


Exemplo

10

01

y

x

yx

yx

10

01


Exemplo

72

143

yx

yx

210

301

210

721

1 linha adio e 2por 2 linha da oMultiplica

210

721

20100

721

10

1por 2 linha da oMultiplica

20100

721

143

721

2 linha adio e 3-por 1 linha da oMultiplica

143

721

721

143

2 e 1 linhas das Troca

721

143

210

301

2

3

y

x


1.4.Mtodo de Eliminao de Gauss-Jordan

Este mtodo permite, para qualquer

sistema mesmo de dimenso elevada,

obter de forma sistemtica uma matriz

aumentada que est numa forma reduzida,

a partir da qual o sistema se resolve com

facilidade.


Matriz em forma reduzida

Uma matriz est em forma reduzida se:

1. As linhas que apenas tm zeros esto abaixo das

restantes;

2. Em cada linha, o elemento mais esquerda 1;

3. Na coluna de cada um destes 1 esquerda,

quer acima quer abaixo, apenas existem zeros;

4. O 1 esquerda de cada linha est direita do

1 esquerda da linha anterior.


Exemplos

310

201

000

110

301

1000

0310

0401

Matrizes em forma reduzida

301

210

210

000

301

5100

3020

1301

Matrizes em forma no reduzida


Passos do mtodo de eliminao de Gauss-Jordan

1. Escrever a matriz aumentada correspondente ao sistema.

2. Escolher a coluna no-nula mais esquerda e fazer operaes

sobre as linhas at ter 1 na linha mais alta dessa coluna.

3. Usar mltiplos da linha que contm o 1 do ponto 2. para anular

todos os outros elementos da coluna a que esse 1 pertence.

4. Repetir o ponto 2. ignorando mentalmente a linha usada no

ponto 3. e as linhas acima dela.

5. Repetir o passo 3. considerando a matriz toda, incluido a linha

anteriormente ignorada. Continuar o processo enquanto houver

linhas da matriz por tratar.


Exemplo

0231

7113

3122

023

73

322

zyx

zyx

zyx

3122

7113

0231

3340

77100

0231

3340

7,07,010

0231

2,02,000

7,07,010

1,21,001

1100

7,07,010

1,21,001

1100

0010

2001

1

0

2

z

y

x


Exemplo

5342

2784

4142

5342

2784

442

zyx

zyx

zyx

5342

2784

25,021

1200

10500

25,021

1200

2100

25,021

5000

2100

3021

50 O sistema impossvel!


0000

4210

5321

4210

0000

5321

6432

10642

5321

Exemplo

6432

10642

15963

6432

10642

15963

zyx

zyx

zyx

O sistema indeterminado.

Por cada valor de z h uma

soluo diferente.

0000

4210

3101

tz

ty

tx

zy

zx

42

3

00

42

3

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