1. el papel de este curso en el programa curricular de...

Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 1

1. El papel de este curso en el programa curricular de ingeniería

electrónica

Quienes toman este curso (en la Universidad Distrital) inician su sexto semestre de ingeniería

electrónica, por lo que merecen una gran felicitación pues acaban de superar la primera mitad de su

carrera (en la Universidad Distrital la Ingeniería Electrónica toma 10 semestres). Sin embargo, suele

ocurrir que, cuando se les pregunta ¿qué es la ingeniería electrónica?, casi nadie ofrece una

definición precisa y clara de la profesión que escogió estudiar, a pesar de estar en un estado tan

avanzado de sus estudios. Aun así, si se recogen varios de los elementos que los estudiantes aportan

tentativa y tímidamente, se puede ir construyendo una aproximación a la definición de la ingeniería

electrónica que, al final, suele ser parecida a la siguiente:

La ingeniería electrónica es una profesión (esto es, un conjunto de conocimientos,

habilidades y formas de enfrentar un tipo particular de problemas con el propósito de

facilitar la vida de las personas) que aplica los principios físicos del electromagnetismo

y la mecánica cuántica para el diseño, construcción, operación y mantenimiento de

estructuras, máquinas, aparatos y procesos, de manera que se conozca su

comportamiento bajo condiciones de operación específicas, con niveles de seguridad

específicos y con costos mínimos. Hasta aquí, no se diferencia de la ingeniería eléctrica.

Sin embargo, mientras la ingeniería eléctrica utiliza estos principios con el propósito de

generar, convertir, distribuir y controlar energía, el ingeniero electrónico los utiliza con

el propósito de capturar, almacenar, transmitir y procesar información.

Una pregunta que los estudiantes sí responden con mayor entusiasmo y claridad es ¿Cuál es el área

de la ingeniería electrónica que les interesa y que los motivó a estudiar esta carrera profesional?

Con las respuestas de los estudiantes se puede construir una lista:

Telecomunicaciones, ingeniería de computadores, sistemas de control, instrumentación,

componentes y microelectrónica, bio-ingeniería, telemática, conmutación, redes de comunicaciones,

tecnología para música, video (cine, televisión, multimedios), etc.

Es fácil reconocer que todas esas áreas de actuación de la ingeniería electrónica obedecen a la

definición dada y que en todas ellas la información es el objeto principal, la cual se representa

mediante señales electromagnéticas (corrientes, voltajes, campos), aunque sean transducciones de

otros tipos de señales (presión, temperatura, intensidad de luz, etc.). Lo interesante es que apenas

ahora, después de tres años de estudio, los estudiantes empiezan a estudiar esos temas que eran la

motivación original para decidirse por esta carrera. Entonces, ¿qué han estado estudiando hasta

ahora? Nuevamente es posible hacer una lista con las respuestas de los estudiantes:

Algunos cursos de circuitos y electrónica, bastantes cursos de física, algo de programación, inglés,

humanidades y… muchos cursos de matemáticas! Algebra lineal, cálculo diferencial, cálculo

integral, cálculo vectorial, variable compleja, ecuaciones diferenciales, análisis de Fourier,

probabilidades y estadística. Ante semejante formación que han tenido, se espera que les quede fácil

resolver un problema sencillo (por ejemplo, de regla de tres inversa y compuesta). Pero suele

suceder que muy pocos estudiantes logran resolverlo en un tiempo razonable. ¿A qué se debe? ¿De

qué sirvió estudiar tanta matemática que los volvió muy buenos en calcular integrales muy

complejas y en resolver sistemas de ecuaciones diferenciales parciales de orden superior y

condiciones de frontera, pero los hizo olvidar cómo plantear un problema de regla de tres, lo cual ya

sabían hacer en tercero de primaria? ¿Cuán útil ha sido, entonces, lo que han aprendido en los


primeros cinco semestres? ¿Han aprendido a pensar como ingenieros? ¿Qué implicaciones tendrá en

su actitud como estudiantes de ingeniería electrónica el descubrir que, después de cinco semestres,

no sabían qué es la ingeniería electrónica y que los muchos cursos de matemáticas avanzadas para

ingeniería sólo les han servido para olvidar cómo formular problemas de regla de tres? Notar que si

el mismo problema se les propone en términos de resistencias y corrientes, todos lo hubieran

resuelto correctamente en muy breve tiempo. ¿Será que nos han formado demasiado tiempo en la

solución de ejercicios matemáticos y no en la formulación matemática de problemas de ingeniería

(¡o de la vida cotidiana!)?

Pues bien, este curso conecta todo lo que hemos visto hasta ahora en una teoría básica que se

constituye en el fundamento de todas las áreas de especialidad de la ingeniería electrónica, para

darle sentido a todo lo que hemos estudiado, no como maquinitas de resolver ecuaciones

diferenciales, de calcular integrales o de invertir matrices, sino como ingenieros, con pensamiento

crítico, capaces de relacionar nuestro conocimiento previo con cualquier nuevo conocimiento,

mediante procesos lógicos de deducción, inferencia o inducción, y con capacidad argumentativa

para describir nuestros procesos lógicos.

Figura 1. El análisis de señales es la cintura del gran reloj de arena en la formación de un ingeniero electrónico

Si bien en los cursos de matemáticas que hasta ahora hemos tomado se nos ha ejercitado en técnicas

de solución de ecuaciones (derivación, integración, ecuaciones diferenciales, etc.), ahora debemos

entrenarnos en formular los problemas de la ingeniería en lenguaje matemático mediante la

construcción de modelos matemáticos que podamos analizar con las técnicas aprendidas para

trasladar la solución del modelo al sistema real que se pretendía analizar o diseñar, como muestra la

siguiente figura:

Comunica-ciones

Control

Bioinge-niería

Computa-dores

TelemáticaInstrumen-

taciónCompo-nentes

Algeabralineal

Fourier

Cálculo diferencial

Cálculo integralCálculo

vectorial Ecuaciones diferenciales

Variable compleja

Análisis de señales


Figura 2. Proceso de la conceptualización matemática en ingeniería

Para terminar esta clase, se ha de leer, analizar y discutir el syllabus del curso, que se encuentra en

http://comunidad.udistrital.edu.co/malzate, indicando que allí se dispondrá de las tareas y de otros

recursos (como este documento).

Sistema Físico real

Modelamiento matemático de

señales y sistemas

Técnicas de solución de

modelos matemáticos

Conceptualización,Abstracción

Comunica-ciones

Control

Bioinge-niería

Computa-dores

TelemáticaInstrumen-

taciónCompo-nentes

Algeabralineal

Fourier

Cálculo diferencial

Cálculo integralCálculo

vectorial Ecuaciones diferenciales

Variable compleja

Análisis de señales

http://comunidad.udistrital.edu.co/malzate


2. Definición de señal

En esta clase presentamos algunas señales para considerar qué es lo que vamos a estudiar durante el

curso (Las señales están en http://comunidad.udistrital.edu.co/malzate).

La primera de ellas (Figura 3) corresponde al número de manchas en el sol, promediadas cada mes

desde enero de 1749 hasta julio de 2012. Una mancha es una región del Sol con una temperatura

más baja que sus alrededores debido a una intensa actividad magnética. En cada mancha, que puede

alcanzar una extensión de hasta 12000 kilómetros, la temperatura es de cerca de 4000K, bastante

frío comparado con sus alrededores, donde la corona del sol alcanza cerca de 6000K. En la figura se

puede observar cierto tipo de periodicidad, pues aproximadamente cada 11 años se presenta un pico

en la actividad de las tormentas magnéticas del sol.

Figura 3. Manchas en el sol desde enero de 1749 hasta julio de 2012

(http://solarscience.msfc.nasa.gov/greenwch/spot_num.txt)

La segunda señal (Figura 4) representa el pulso de eco-localización emitido por un murciélago

(eptesicus fuscus). Los murciélagos usan un sonar biológico mediante el cual emiten un pulso de

ultrasonido y escuchan los ecos devueltos por los objetos en su medio ambiente, logrando ubicar e

identificar estos objetos en completa oscuridad. De esta manera, miles de murciélagos son capaces

de navegar en cuevas oscuras sin chocar entre ellos ni con las paredes e, incluso, logran capturar

insectos en el aire a partir de los ecos de sus propios pulsos. Nótese cómo la frecuencia de la señal

emitida se va reduciendo desde cerca de 40 kHz hasta cerca de 20 KHz, en sólo 2.5 ms.

La tercera señal (Figura 5) representa el sonido producido por un grupo de grillos en un atardecer.

Este sonido lo producen los machos frotando los bordes de sus alas (no es cierto que sea frotando

sus patas traseras), para llamar la atención de las hembras. Los grillos vecinos sincronizan sus

sonidos para hacer un sonido más atractivo para las hembras, lo cual es muy sorprendente si se tiene

en cuenta que, sin un director de orquesta, un grupo de seres humanos no se sincroniza fácilmente, a

pesar del inmenso cerebro que posee cada individuo.

1750 1800 1850 1900 1950 20000

50

100

150

200

250

Manchas en el sol, cada mes, desde enero de 1749 hasta julio de 2012

Núm

ero

de m

anchas

año

http://comunidad.udistrital.edu.co/malzate


Figura 4. Señal de ecolocalización de un murciélago (http://spib.rice.edu/spib/data/signals/bio/batecho.html)

Figura 5. Sonido de grillos (http://spib.ece.rice.edu/spib/data/signals/bio/crickets.wav)

La cuarta señal (Figura 6) muestra las amplitudes de los componentes en fase (I) y en cuadratura

(Q) de la señal 16QAM recibida por un modem V.29. En el transmisor se usan 16 combinaciones

lineales de dos portadoras, I(t)=Acos(ct) y Q(t)=Asen(ct), donde la segunda está en cuadratura

de fase respecto a la primera (un desfase de /2 radianes). Cada combinación representa cuatro bits

de información. Al graficar el coeficiente de I(t) en el eje horizontal y el coeficiente de Q(t) en el

eje vertical, se tiene el diagrama de constelación de la técnica de modulación 16QAM. Sin embargo,

al pasar por el canal, estas señales sufren distorsiones y se contaminan con ruido, de manera que en

el modem receptor se obtiene un diagrama semejante al de la señal mostrada. A partir de ella, el

modem receptor es capaz de inferir la secuencia de unos y ceros en el transmisor que dieron origen

a dicha señal.

La quinta señal (Figura 7) muestra un segmento de una señal electrocardiográfica. El latido cardíaco

se debe a una actividad bio-eléctrica que permite la sucesión periódica y ordenada de contracciones

para bombear la sangre. Esta actividad se puede capturar mediante sensores apropiados para

determinar si el corazón funciona normalmente o sufre de alguna anomalía. Por ejemplo, en la señal

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10-3

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Señal de ecolocalización de un murciélago

tiempo en segundos

Am

plit

ud

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Sonido de grillos

tiempo en segundos

Am

plit

ud


mostrada, se nota algunos latidos adicionales que contrastan con algunos latidos suprimidos, lo cual

constituye una arritmia cardiaca. Muchos otros diagnósticos adicionales se pueden conseguir a

partir de la misma forma de onda de los impulsos.

Figura 6. Diagrama IQ de una señal V.29

Figura 7. Electrocardiograma de un adulto (Erik Traasdahl, Institute of Medical Biology, University of Tromso, Norway)

La sexta señal (Figura 8) es un fragmento de voz humana capturada desde un micrófono. La señal

de voz es una variación presión en el aire que viaja como una onda longitudinal desde la boca del

hablante hasta el oído de quien lo escucha. Lo más fascinante de esta señal de voz es que empieza

con una idea o un pensamiento que el hablante quiere comunicar a alguien, para lo cual la convierte

en una forma lingüística con estructuras gramaticales, sintácticas, semánticas y prosódicas

específicas, a partir de las cuales el cerebro genera comandos motores a los diferentes músculos que

intervienen en la generación de la onda de presión deseada (diafragma, cuerdas vocales, velo del

paladar, quijada, lengua, labios…). La onda de presión hace vibrar el tímpano de quien escucha,

vibración que es filtrada por los huesecillos (yunque, estribo y martillo) para hacer vibrar el caracol,

donde más de diez mil células ciliares ejecutan un análisis espectral con más de diez mil bandas

para producir impulsos eléctricos en el nervio auditivo. De esta secuencia de impulsos el cerebro

extrae no sólo la idea que el hablante quiso extraer (tal vez conceptos tan importantes como

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Señal recibida por un modem V.29 a 9600 bps

Parte real

Part

e im

agin

aria

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

Electrocardiograma de un adulto

Tiempo, en segundos

Am

plit

ud


amistad, felicidad, amor o, simplemente, triángulo), sino mucha información adicional (sexo, edad,

estado de ánimo, etc.).

Figura 8. Voz femenina

La séptima señal (Figura 9) representa la longitud en bytes de los archivos del disco duro de un

computador personal. El rango dinámico de esta señal sugiere presentarla en escala logarítmica,

pues va desde las unidades hasta los miles de millones. Nótense dos características interesantes: Si

vemos con detalle una porción de la señal (por ejemplo, los archivos 110.000 a 140.000) veremos

una figura similar a la señal completa, excepto por las escalas en los ejes. Las señales que tienen

esta propiedad se conocen como señales auto-similares. En particular, es fácil notar que, aunque la

mayoría de archivos son pequeños, la mayor cantidad de espacio en el disco duro está ocupada por

los poquitos archivos gigantescos y no por los muchos archivos pequeños. A este comportamiento

de las señales auto-similares se le denomina Ley de Potencia.

Figura 9. Longitud de los archivos en un disco duro

La octava señal (Figura 10) es una imagen. Está compuesta por un arreglo de 512512 elementos

(pixels –picture elements), cada uno de los cuales tiene un valor entero entre 0 y 255. Si el valor de

cada pixel se asocia con un tono de gris, donde 0 significa negro y 255 significa blanco, se obtiene

la representación mostrada. Se trata de una fotografía de Lena Söderberg, la playmate de noviembre

de 1972, foto que se ha convertido en una imagen estándar para comparar algoritmos de

procesamiento digital de imágenes. En efecto, la imagen contiene una mezcla interesante de detalles

como texturas, sombras, contrastes, regiones planas de baja frecuencia, regiones de alta frecuencia

como las plumas del sombrero, reflexiones especulares de porciones de la imagen, etc. Estas

propiedades se pueden apreciar con claridad si graficamos el valor de cada pixel en un tercer eje

tridimensional, como muestra la Figura 11. Dos datos curiosos: (1) Lena fue invitada de honor a la

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Voz femenina

tiempo en segundos

Am

plit

ud

0.5 1 1.5 2 2.5

x 105

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x 108 Longitud de archivos en mi disco duro

Número de archivo

Tam

año e

n b

yte

s

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 105

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9Logaritmo de la longitud de los archivos en mi disco duro

Número de archivo

logaritm

o d

el T

am

año e

n b

yte

s


quincuagésima conferencia anual de la Sociedad de Ciencia de las Imágenes en 1997 y (2) Playboy

renuncio a reclamar sus derechos de copyright porque el número de noviembre de 1972 ha sido el

número más vendido en toda su historia, superando a los números donde aparecen grandes

celebridades.

Figura 10. Imagen de Lena

Figura 11. Otra forma de ver la imagen de Lena

La novena señal (Figura 12) muestra los intervalos entre disparos sucesivos de una neurona del

nervio auditivo de un gato cuando escucha un tono de 1000 Hz. Como mencionamos al hablar de la

señal de voz, las señales sensoriales llegan al cerebro como secuencias de disparos neuronales para

su interpretación. Al igual que la longitud de los archivos en un disco duro de un PC (Figura 9), las

señales econométricas como la que se representa en la Figura 13, o la longitud en bytes del buffer

de un enrutador en internet, representada en la Figura 14, los disparos neuronales forman un señal

auto-similar con leyes de potencia características.

Lena

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500


Figura 12. Descargas neuronales (Teich, Johnson, Kumar, and Turcott, "Fractional power law behavior of single units

in the lower auditory system", Hearing Res., 46: 41-52, May 1990)

Figura 13. Indicador económico

Habiendo visto las anteriores once señales como ejemplos del tipo de objetos que estudiaremos en

este curso, se puede notar que todas ellas corresponden a la gráfica de una magnitud con respecto a

otra: Número de manchas en el sol graficada con respecto a cada uno de los meses de un período de

263 años, o la intensidad lumínica de un pixel con respecto a su posición en coordenadas (x,y), o el

intervalo entre disparos de una neurona auditiva con respecto al número de disparo. ¿Cómo

podremos asociar con semejante disparidad de señales un único modelo matemático que nos sirva

para construir una teoría unificada de señales y sistemas?

2 4 6 8 10 12

x 104

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Intervalos entre descargas de una neurona que responde a un estímulo auditivo

Descarga

Inte

rvalo

, en s

egundos

50 100 150 200 250

1050

1100

1150

1200

1250

Indice S&P durante los días no feriados de 2010

día

Valo

r de c

ierr

e


Figura 14. Número de bytes en la cola de un multiplexor en Internet

A partir de estas señales de ejemplo, es posible poner a los estudiantes a discutir ¿qué es una señal?

de manera que, con las propuestas que se escuchan, se puede construir una definición como la

siguiente:

Una señal es una cantidad física que varía en el tiempo, en el espacio, o con respecto

a cualquier otra cantidad física independiente, de manera que en sus variaciones

hay codificada una información.

Esta definición se ajusta bien a cada una de las señales vistas anteriormente, lo cual habla del

altísimo grado de abstracción que se logra con esta definición. Pero aún nos deja perplejos porque

no imaginamos cómo estudiar una teoría que resulte común para un voltaje en un circuito, o para

unos intervalos entre disparos sucesivos de una neurona auditiva, o para las variaciones de los

precios en la bolsa de valores. Para ello necesitamos, por supuesto, como quedó claro en la primera

clase, un modelo matemático que se ajuste igualmente bien a todas las señales anteriores:

Una señal se representa mediante una función con un dominio y un rango

específicos, x:DR.

El dominio se refiere al conjunto de valores que puede tomar la magnitud independiente. Dicho

dominio puede corresponder a la variable escalar tiempo, como en la señal de las manchas del sol o

la señal de eco-localización del murciélago, aunque también puede tomar otros significados como el

número de descarga neuronal o la posición horizontal y vertical de un pixel en una imagen. Las

siguientes pueden ser algunas representaciones válidas de las señales vistas (ℤ es el conjunto de los

enteros, ℝ es el conjunto de los reales):

a. Número de manchas en el sol, longitud de archivos, indicador económico S&P, x: ℤ ℤ

500 1000 1500 2000 2500 30000

1

2

3

4

5

x 106 Longitud de la cola en bytes

Tiempo en segundos

Num

ero

de b

yte

s e

n c

ola


b. Señal de eco-localización de un murciélago, sonido de grillos, señal recibida por un módem

V.29 a 9600 bps, electrocardiograma de un adulto, voz femenina, x: ℝ ℝ

c. Imagen de Lena, x: ℤ ℤ ℤ d. Intervalos entre descargas de una neurona que responde a un estímulo auditivo, x: ℤ ℝ

f. Número de paquetes en el buffer de un enrutador en cada instante de tiempo:

x: ℝ ℤ

Las señales tendrán unidades de amplitud y el dominio podrá ser cualquier conjunto al que

llamaremos “tiempo”, a pesar de que pueda representar cualquier otra cantidad (como en la imagen

de Lena o en la señal de los impulsos neuronales).

De otro lado, sólo consideraremos dominios continuos (contenidos en ℝ) o discretos (contenidos en

ℤ) y rangos continuos (contenidos en ℝ o ℂ, donde ℂ es el conjunto de los números complejos) o

discretos (contenidos en ℤ). En cada caso, las señales toman nombres particulares, como muestra la

Tabla 1. Por ejemplo, la voz femenina es una señal análoga, el índice económico S&P es una señal

muestreada, el número de manchas en el sol es una señal digital, y el número de paquetes en el

buffer de un enrutador en una red de computadores es una señal cuantizada. El único tipo de señales

que podemos procesar con un computador es el de las señales digitales: Son de tiempo discreto

porque en cada posición de memoria podemos guardar una muestra de la señal, y son de amplitud

discreta porque en cada posición de memoria sólo podemos guardar un número finito de posibles

valores debido al tamaño en bits de la palabra almacenada. Cuando la amplitud se representa con 8

ó 16 bits, el fenómeno de la cuantización se hace apreciable. Pero cuando tenemos longitud de

palabras de 64 bits, podríamos representar números tan pequeños como 2-63 (del orden del tamaño

de las partículas fundamentales) y tan grandes como 263 (del orden de las distancias entre grupos de

galaxias), dependiendo de cómo dividamos los bits para signo, mantisa y exponente, por lo que

podemos imaginar que se trata de señales muestreadas o “señales en tiempo discreto”. Por eso la

teoría que desarrollaremos en este curso se refiere, principalmente, a los dos tipos de señales con

amplitud continua, a las que llamaremos “señales en tiempo continuo” (las señales análogas) y

“señales de tiempo discreto” (las señales muestreadas).

Hay un aspecto de notación que se puede volver importante para nosotros. Una señal la podemos

describir como una función que a cada elemento del conjunto dominio le asigna un elemento (y sólo

uno) del conjunto rango:

x:DR

Esto quiere decir, por ejemplo, que si tD, existe un elemento x(t)R asociado con t, lo cual se

suele representar así:

: ( )x t x t

Así pues, cuando hablamos de x(t) deberíamos tener claro que no nos referimos a la señal en general

sino al valor que la señal toma para un elemento específico tD (decimos que x(t) es el valor de la

señal en el "instante" t cuando consideramos que D es el conjunto tiempo). Desafortunadamente, en

la literatura se suele usar la misma notación x(t) para referirse tanto a la función x:DR (en cuyo

caso t se interpreta como cualquier elemento genérico de D) como al valor instantáneo x(t)R para

un valor específico tD. Aunque seguramente cometeremos el mismo "error" en nuestras clases,


cuando el contexto pueda generar confusiones intentaremos distinguir los dos conceptos mediante la

siguiente notación:

x(t) Valor específico de la señal x en el instante t

{x(t), tD} Señal completa

De hecho, cuando necesitemos ser específicos pero no sea necesario determinar el conjunto

dominio, nos referiremos a la señal completa mediante la notación simplificada {x(t)}t para un

dominio continuo y {x[n]}n para un dominio discreto.

Tabla 1. Clasificación de señales según su dominio y su rango

Tiempo continuo Tiempo discreto

Amplitud

continua

Señal análoga

Señal muestreada

Amplitud

discreta

Señal cuantizada

Señal digital

Por ejemplo, considere la siguiente señal análoga:

11 si ( ) ,

10 si a

ttx t t

t

Podemos cuantizarla haciendo ( ) / 5 ( ) [2 1,2 1) /10,qx t k si x t k k k . También

podemos muestrearla haciendo [ ] ( /10 0.05),sx n x n n . Por último, podemos

digitalizarla si la muestreamos y la cuantizamos, [ ] ( /10 0.05)d qx n x n . Los resultados se

muestran en la siguiente figura.



Amplitud

continua

Señal análoga, xa(t)

Señal muestreada, xs[n]

Amplitud

discreta

Señal cuantizada, xq(t)

Señal digital, xd[n]

Figura 15. Procesos de muestreo y cuantización

Nótese que las señales en tiempo discreto las hemos graficado con respecto a tn = n/10 – 0.05 y no

con respecto a n. Aunque normalmente se grafican con respecto al número de la muestra, n, hemos

preferido este cambio en el eje del tiempo para poder superponer las cuatro señales y compararlas

con mayor claridad:

Figura 16. Una señal análoga, cuantizada, muestreada y digitalizada

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xa(t)

xq(t)

xs[n]

xd[n]


3. Definición de sistema

Veíamos que una señal es una cantidad física que varía en el tiempo, en el espacio, o con respecto a

cualquier otra cantidad física independiente, de manera que en sus variaciones hay codificada una

información. También vimos que, como abstracción matemática de ese concepto, una señal se

representa mediante una función con un dominio y un rango específicos, x:D R. Por simplicidad,

a la variable que toma valores en el conjunto dominio le llamaremos “tiempo” y a la variable que

toma valores en el conjunto rango le llamaremos “amplitud”. La primera clasificación de señales

que vimos fue de acuerdo con la naturaleza continua o discreta del tiempo y la amplitud: Señales

análogas, señales cuantizadas, señales muestreadas o señales digitales.

Pero las señales, como cantidades físicas medibles, existen en un ambiente particular en el que se

generan, se propagan, se almacenan, se transforman, etc. Ese ambiente que ejerce un proceso

transformador en una señal se conoce como sistema. En efecto, probablemente se trata de un

conjunto de elementos que interactúan entre ellos para formar un todo, como una resistencia y un

condensador que forman un filtro, o un resorte y una masa que forman un oscilador, etc.

En el primer sistema, las señales son el voltaje de la fuente, la corriente en la malla, el voltaje en

cada componente, la potencia disipada en la resistencia, etc. En el segundo sistema, las señales son

la posición, la velocidad y la aceleración de la masa, la fuerza ejercida por el resorte, la fuerza de

fricción, etc. En cada caso, el sistema se expresa mediante unas leyes físicas, que constituyen unas

relaciones matemáticas entre unas señales y otras. De hecho, conociendo algunas de esas señales,

podemos especificar otras señales. Diríamos que el sistema lo podemos representar (y éste es otro

modelo matemático) como una relación entre una señal de entrada y una señal de salida, que es otro

tipo de función que en matemáticas se llama funcional, ya que su entrada es una señal (función) de

un conjunto de posibles señales (funciones) de entrada, y su salida es otra señal de un conjunto de

posibles señales de salida. Así como una función convierte un elemento del dominio en un elemento

del rango, un funcional convierte una función de entrada en una función de salida.

Figura 17. Dos sistemas que procesan señales naturalmente

En este curso diremos que un sistema es una forma de representar un proceso físico que acepta una

señal de entrada (o varias) y la procesa para generar una señal de salida (o varias).


Figura 18. Representación de un sistema como un funcional

Pero ¿Cómo es que podemos construir un modelo matemático válido para representar señales de

presión y temperatura en sistemas como calderas que podamos utilizar para señales de radiación en

sistemas como colisionadores de partículas? Consideremos los siguientes dos ejemplos:

Figura 19. Dos sistemas diferentes que conducen a una misma forma de abstracción matemática

En cada caso conocemos leyes de la naturaleza formuladas matemáticamente que nos permiten

expresar unas señales en términos de otras. Por ejemplo, sabemos que el voltaje de entrada es la

suma del voltaje de salida más el voltaje en la resistencia, el cual es R veces la corriente, la cual es

C veces la variación del voltaje de salida. Igualmente, sabemos que la fuerza total sobre el carro es

igual a su masa por la aceleración (suponemos que el consumo de gasolina produce un cambio

despreciable en la masa del carro). Ahora consideremos el siguiente modelo abstracto:

Figura 20. Abstracción matemática para los dos sistemas anteriores

Nótese que si usamos vi(t) en vez de x(t), vo(t) en vez de y(t) y RC en vez de , el modelo abstracto

podría ser una representación del circuito RC. Pero si usamos F(t)/ en vez de x(t), v(t) en vez de

y(t) y M/ en vez de , el modelo abstracto podría ser una representación del sistema mecánico. De

hecho, estas relaciones fueron las que motivaron el desarrollo del computador análogo a comienzos

de los 80’s. En lo que a este curso respecta, entonces, {x(t)}t será simplemente una señal de entrada

a un sistema que la procesa para obtener una señal de salida {y(t)}t, independientemente de que se

trate de voltajes, corrientes, fuerzas o velocidades: Modelos matemáticos (funciones para las señales

y funcionales para los sistemas), como un concepto abstracto que podría representar cualquier

sistema físico apropiado.

{x(t)Rangox, tDominiox} {y(t)Rangoy, tDominioy}

i(t)vi(t)

vo(t)

+

-

+

-

F(t)

v(t)

v(t)

M

0

0

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

i R

i

i o

v t v t v t

v t v t R i t

dv t v t RC v t

dt

( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

dF t v t M v t

dt

M dF t v t v t

dt

1/

x(t) y(t)+

_

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

dx t y t y t

dt

dx t y t y t

dt


La clasificación de señales según su dominio sea continuo o discreto y según su rango sea continuo

o discreto también se aplicará a los sistemas según el tipo de señales que procesen. El primero de

los siguientes dos sistemas es un sistema en tiempo continuo, mientras el segundo es un sistema en

tiempo discreto:

Figura 21. Sistemas en tiempo continuo y en tiempo discreto

Aunque un sistema podría tener entradas en tiempo continuo y salidas en tiempo discreto (en cuyo

caso dentro del sistema existirá al menos un “muestreador”) o viceversa (en cuyo caso dentro del

sistema existirá al menos un “interpolador”).

Como un ejemplo inicial, considérese el sistema anterior en tiempo continuo, el cual representa un

sistema lineal de primer orden como el circuito RC o el automóvil:

( ) ( ) ( )d

x t y t y tdt

Si consideramos un incremento de tiempo t en vez del diferencial dt, y consideramos sólo

instantes de tiempo múltiplos de t, podríamos aproximar el anterior sistema mediante

( ) (( 1) )( ) ( )

y n t y n tx n t y n t

t

Que podemos interpretar como un sistema en tiempo discreto:

[ ] [ ] 1 [ 1], donde x n y n y nt

Figura 22. Aproximación en tiempo discreto a los sistemas de la Figura 19

Como un ejemplo de sistemas ampliamente estudiados, consideremos un sistema de

comunicaciones en el que una fuente de información genera un mensaje que debe ser representado

en forma de señales físicas para poder transmitirlo a través de un canal, donde la señal transmitida

puede sufrir distorsiones, interferencias y ruido. La intención es recuperar el mensaje original de la

manera más oportuna y fidedigna posible. Si no el sistema entero, es claro que el transmisor, el

canal y el receptor corresponden al modelo matemático que hemos estado considerando: Entra una

señal de un conjunto de posibles señales de entrada, la cual se transforma en una señal de un

{x(t)ℝ, tℝ} {y(t)ℝ, tℝ}

{x[n]ℝ, nℤ} {y[n]ℝ, nℤ}

x[n] y[n]

Retardoy[n-1]

1

1


conjunto de posibles señales de salida. Como las señales correspondientes se pueden modelar como

funciones del tiempo, cada subsistema resulta ser un funcional.

Figura 23. Modelo matemático (abstracción conceptual) de un sistema de comunicaciones

Otro ejemplo es un sistema de control realimentado, en el que se desea que un proceso particular (o

“planta”) produzca una respuesta satisfactoria de manera robusta, esto es, a pesar de cambios en el

ambiente. Para esto, se considera que la planta obedece a señales de control para producir la señal

de salida, esto es, el proceso a controlar es un sistema de procesamiento de señales. Entonces es

posible tomar la señal de salida para producir una señal realimentada que se compara con una señal

de referencia. Si son iguales, la planta está operando satisfactoriamente. Si no, un sistema adicional

usará la señal de diferencia como entrada para producir como salida los cambios necesarios en la

señal de control.

Figura 24. Modelo matemático (abstracción conceptual) de un sistema de control

Por último, es IMPORTANTE notar que cuando decidimos utilizar modelos matemáticos para

representar de manera simplificada alguna realidad compleja, estamos construyendo una

idealización que será válida sólo en la medida en que el modelo capture los aspectos más relevantes

de la realidad, y en la medida en que la realidad se ajuste con suficiente precisión a las suposiciones

del modelo. Esto implica, por ejemplo, que los valores de las señales se mantengan dentro de las

escalas de validez del modelo, o que los parámetros que describen a los componentes se encuentren

suficientemente cerca de los valores usados en el modelo. En general, una característica

fundamental del ingeniero es su capacidad de determinar el alcance de la validez de los modelos

que utiliza, asegurándose que en el proceso de análisis o diseño que adelanta siempre se cumplan

las condiciones y suposiciones en las que se basó el desarrollo de su modelo matemático.

Fuen-te

Trans-ductor

Trans-misor

Canal ReceptorTrans-ductor

Desti-no

Ruido, interferencia y distorsión

MensajeSeñal de entrada

Señal transmitida

Señal recibida

Señal de salida Mensaje

Elementode control

Proceso a controlar

Lazo de realimentación

Señal de referencia

Compa-ración

Señal de diferencia

Señal de control Señal de

salida

Señal re-alimentada


4. Potencia y energía. Transformaciones afines del tiempo. Señales

periódicas. Señales simétricas

Como en nuestro modelo conceptual abstracto las señales tienen unidades de amplitud arbitrarias,

podemos definir otras cantidades de interés asociadas con una señal. Por ejemplo, la potencia

instantánea en una resistencia de R ohmios a la que se aplica una señal de v(t) voltios es |v(t)|2/R

watios, proporcional al cuadrado del valor absoluto de la señal. Como las unidades no son de interés

para nuestro modelo teórico, definiremos la potencia de una señal x(t) como |x(t)|2. En el caso de

una señal de tiempo discreto, x[n], la potencia instantánea de la señal se definirá como |x[n]|2. A

partir de esta definición, podemos definir también la energía en un intervalo de tiempo, la potencia

promedio en un intervalo, la energía total y la potencia promedio total:

Tabla 2. Definiciones abstractas de potencia y energía


Potencia instantánea 2( ) ( )xP t x t

2[ ]xP n x n

Energía en un intervalo 2( , ) ( )

t

xt

E t t x s ds

2[ , ] [ ]

n

x

k n N

E n N n x k

Potencia promedio en un

intervalo 21

( , ) ( )t

xt

P t t x s ds

21

[ , ] [ ]1

n

x

k n N

P n N n x kN

Energía total 2( )xE x t dt

2

[ ]x

n

E x n

Potencia promedio total 21lim ( )

2

T

xTT

P x t dtT

21

lim [ ]2 1

N

xN

n N

P x nN

Con estas definiciones podemos considerar una nueva clasificación de señales: Una señal x(t) o x[n]

se conoce como “señal de energía” si su energía total es finita: 0 < Ex < . Una señal x(t) o x[n] se

conoce como “señal de potencia” si su potencia promedio total es finita: 0 < Px < . En otro caso, la

señal no es ni una ni otra. Por supuesto, dadas las relaciones entre energía total y potencia promedio

total, la condición Ex < implica Px = 0, mientras que la condición Px > 0 implica Ex = . Es decir,

la clasificación como señal de energía o señal de potencia es excluyente.

Estas definiciones, aunque inspiradas en los conceptos físicos de potencia y energía, parecen

arbitrarias para nuestro modelo abstracto, adimensional y puramente matemático. Sin embargo,

notaremos cómo se van convirtiendo en definiciones fundamentales para especificar los tipos de

procesos que podemos aplicar a cada tipo de señal. Para dar una indicación inicial, nótese que una

señal periódica es una señal de potencia, mientras que una señal de soporte compacto, esto es,

idénticamente igual a cero por fuera de un intervalo finito, es una señal de energía (siempre y

cuando ambas sean diferentes de la señal idénticamente cero y acotadas). A la primera le

aplicaremos la serie de Fourier y a la segunda le aplicaremos la transformada de Fourier.


A manera de ejemplo, nótese que la señal x[n] = 4 nZ no es una señal de energía porque

2[ ] 16x

n n

E x n

, pero sí es una señal de potencia porque, como todas las muestras

tienen una potencia instantánea 16, la potencia promedio por muestra en cualquier intervalo de

tiempo es 16:

21 1 2 1lim [ ] lim 16 lim16 16

2 1 2 1 2 1

N N

xN N N

n N n N

NP x n

N N N

La señal x(t) = t tℝ no es de potencia ni de energía pues es fácil ver que ambas cantidades son

infinitas:

2 2 2 3 2

00

1 1 1 1 1lim ( ) lim lim lim lim

2 2 3 3

TT T T

xT TT T T T T

P x t dt t dt t dt t TT T T T

Claro, si Px es infinita, con mayor razón lo será Ex. Por último, consideremos la señal x(t) = exp(-|t|):

2 2 2 2 2

00 0

1( ) 2 2 0 ( 1) 1

2

t t t t

xE x t dt e dt e dt e e

Por lo que se trata de una señal de energía. Claro, su potencia promedio es cero a pesar de que la

señal toma un valor mayor que cero para cualquier instante de tiempo.

De otro lado, una clase importante de transformaciones que puede sufrir una señal es la de aquellas

en que se modifica la variable independiente (a la que hemos llamado, de manera genérica,

“tiempo”). En efecto, por un lado este tipo de transformaciones nos permitirá definir propiedades de

las señales como la periodicidad o la simetría y, por otro lado, nos permitirán definir bloques

fundamentales de procesamiento como los retardadores o los sub-muestreadores.

Considere por ejemplo la señal x(t) mostrada en la Figura 25 junto con algunas transformaciones

afines de su variable tiempo. Las primeras dos transformaciones, de x(t) a x(t+s), representan

desplazamientos en el tiempo. Si s es una cantidad positiva, la señal se adelanta s segundos pero, si

s es una cantidad negativa, la señal se atrasa s segundos. Si observamos, por ejemplo, la señal de

eco-localización del murciélago, notamos que el oído del murciélago percibe la superposición de la

señal transmitida con una copia retardada de la misma, la cual le indica la distancia y la dirección

del objeto que provocó la reflexión de la señal.

La tercera transformación muestra una inversión en el tiempo, en la que la señal se refleja con

respecto al eje t=0. Un ejemplo ilustrador sería la reproducción de una cinta de audio al revés (en la

dirección opuesta a aquella con la que se grabó). Las siguientes dos transformaciones se refieren a

un cambio de la escala de tiempo, de x(t) a x(at). Si a es mayor que uno la señal se contrae, mientras

que si a es menor que uno la señal se estira en el tiempo. Este efecto se consigue, en el ejemplo

anterior, reproduciendo la cinta de audio a una velocidad diferente a aquella con la que se grabó

(más rápidamente si a>1 y más lentamente si a<1). Estas transformaciones se pueden combinar,

como en las últimas tres transformaciones de la Figura 25.


Figura 25. Transformaciones del tiempo continuo

Por supuesto, este tipo de transformaciones sobre la variable independiente se puede realizar

también en señales de tiempo discreto, aunque en este caso las operaciones de escalamiento se

deben considerar con más cuidado. Como acabamos de ver, cuando se cambia de escala en el

tiempo continuo, la forma de la señal permanece intacta y completa, sólo que se estira o se

comprime según el cambio de escala. Pero, cuando trabajamos en tiempo discreto, las cosas son

diferentes. En efecto, al calcular x[2n] estamos eliminando una de cada dos muestras, cuando cada

una de ellas puede llevar información muy importante. Y al calcular x[n/2], aunque no estamos

perdiendo información, sí debemos “inventar” nuevas muestras que correspondan a los puntos

intermedios entre las muestras originales de x[n]. En efecto, al hacer x2[n] = x[2n] sólo estamos

adquiriendo las muestras pares de x[n]. Y al hacer x2[n] = x[n/2], estamos colocando las muestras

originales de x[n] en las muestras pares de x2[n], por lo que debemos rellenar las muestras impares

con algún otro valor (lo acostumbrado es rellenar con ceros para interpolar después mediante un

proceso de filtrado).

Figura 26. Transformaciones del tiempo discreto

-10 -5 0 5 100

0.5

1

x(t)

-10 -5 0 5 100

0.5

1

x(t+3)

-10 -5 0 5 100

0.5

1

x(t-3)

-10 -5 0 5 100

0.5

1

x(-t)

-10 -5 0 5 100

0.5

1

x(2t)

-10 -5 0 5 100

0.5

1

x(t/2)

-10 -5 0 5 100

0.5

1

x(3-t)

-10 -5 0 5 100

0.5

1

x(-3-t)

-10 -5 0 5 100

0.5

1

x(6-2t)

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400

0.5

1x[n]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400

0.5

1x[n+10]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400

0.5

1x[n-10]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400

0.5

1x[-n]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400

0.5

1x[2n]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400

0.5

1x[n/2]


Como ejercicio en clase, pedirles a los estudiantes que encuentren x(2–3t/2) y x[3–2n] cuando x(t) y

x[n] son como se muestra en la siguiente figura.

Figura 27. Ejercicio en clase

Las transformaciones que hemos hecho de la variable tiempo nos permiten hacer dos tipos de

clasificación de señales que serán de gran importancia en el tratamiento que hagamos de las señales

más adelante: Señales periódicas o aperiódicas, por un lado, y señales pares, impares o asimétricas,

por otro.

Una señal en tiempo continuo, x(t), es periódica con período Tℝ+ si x(t) = x(t+T) tℝ.

Similarmente, una señal en tiempo discreto, x[n], es periódica con período Nℕ si x[n] = x[n+N]

nℤ. Nótese que, si aplicamos recursivamente la definición, también se cumple que x(t) = x(tkT)

tℝ, kℕ y que x[n] = x[nkN] nℤ, kℕ. Por eso, se le llama período fundamental de la señal

al mínimo valor de T>0 ó de N>0 que satisface la definición.

Figura 28. Señales periódicas en tiempo continuo y en tiempo discreto

Una señal en tiempo continuo, x(t), es simétrica con simetría par si x(t) = x(–t) tℝ. Una señal en

tiempo continuo, x(t), es simétrica con simetría impar si x(t) = –x(–t) tℝ. En otro caso, la señal

es asimétrica. Aunque las anteriores definiciones de simetría se consideran con respecto al origen

del tiempo, también se pueden considerar señales simétricas a aquellas que tienen simetría con

respecto a otros instantes de tiempo (x(t0+t) = x(t0–t) tℝ en el caso par, o x(t0+t) = –x(t0–t) tℝ

en el caso impar). En el tiempo discreto aplican idénticas definiciones: Una señal en tiempo

discreto, x[n], es simétrica con simetría par si x[n] = x[–n] nℤ. Una señal en tiempo discreto,

x[n], es simétrica con simetría impar si x[n] = –x[–n] nℤ. En otro caso, la señal es asimétrica. La

simetría en tiempo discreto también se puede considerar con respecto a algún instante de tiempo

diferente al origen (x[n0+n] = x[n0–n] nℤ en el caso par, o x[n0+n] = –x[n0–n] nℤ en el caso

impar). Ver Tabla 3. Nótese que para cualquier señal simétrica con simetría impar es necesario que

-2 -1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Señal periódica en tiempo continuo con período 1/3

-20 -10 0 10 20-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Señal periódica en tiempo discreto con período 5


x(0) = 0 (o que x[0] = 0 en el caso de tiempo discreto). En efecto, por definición, x(0) = –x(0), lo

cual sólo se puede cumplir si x(0)=0.

En el caso de señales complejas se hace necesario redefinir la simetría ligeramente: Una señal

{x[n]}n tiene simetría par si x[n]=x[-n]* nℤ, donde el asterisco indica el complejo conjugado.

Una señal {x[n]}n tiene simetría impar si x[n]=-x[-n]* nℤ. La simetría de señales complejas en

tiempo continuo se define análogamente.

Tabla 3. Señales simétricas y asimétricas en tiempo continuo y discreto

Asimétrica en tiempo continuo Simétrica con simetría par en

tiempo continuo

Simétrica con simetría impar en

tiempo continuo

Asimétrica en tiempo discreto Simétrica con simetría par en

tiempo discreto

Simétrica con simetría impar en

tiempo discreto

Hay un hecho muy útil con respecto a la simetría: cualquier señal se puede representar como la

suma de una señal par y una señal impar. En efecto, a cualquier señal en tiempo continuo x(t), le

podemos asociar una señal par xe(t) =(x(t) + x(–t))/2 y una señal impar xo(t) =(x(t) – x(–t))/2.

Claramente, x(t) = xe(t) + xo(t). La misma descomposición aplica para señales en tiempo discreto,

como muestra la siguiente tabla.

Tabla 4. Descomposición de una señal en sus partes par e impar

Señal asimétrica x[n] Componente par, xe[n] Componente impar, xo[n]

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Como ejercicio en clase, pedirles que encuentren las componentes par e impar de las señales usadas

en el anterior ejercicio en clase (Figura 27).

Antes de pasar a ver algunas señales particulares de importancia, sería interesante notar lo siguiente:

Suponga una señal real en tiempo discreto de duración finita, con 2N–1 muestras para algún Nℕ,

{x[n], n=1–N, 2–N,…, –1, 0, 1,…, N–2, N–1} (para cualquier otro valor de n con ∣n∣N, x[n]=0).

Por ser de duración finita, si sus amplitudes son acotadas, se trata de una señal de energía.

Expresando la señal en términos de sus componentes par e impar, la energía total de {x[n]} es

1 1 1 1 1

22 2 2

1 1 1 1 1

[ ] [ ] [ ] [ ] 2 [ ] [ ] [ ]N N N N N

x e o e e o o

n N n N n N n N n N

E x n x n x n x n x n x n x n

El producto xe[n]xo[n] es una señal impar puesto que xe[–n]xo[–n] = (xe[n])(–xo[n]) = –xe[n]xo[n], por

lo que la suma de sus muestras es cero, como verificamos enseguida: 1 1

1 1

[ ] [ ] [ ] [ ] [0] [0]N

e o e o e o

n N n N

x n x n x n x n x x

1

1

1 1

1 1

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

0

N

e o

n

N N

e o e o e o e o

n n

x n x n

x n x n x n x n x n x n x n x n

En consecuencia, la energía total de la señal es la suma de las energías de su componente par y su

componente impar: 1 1 1

2 2 2

1 1 1

[ ] [ ] [ ]N N N

x e o xe xo

n N n N n N

E x n x n x n E E

Este resultado, aparentemente trivial, tendrá un significado fundamental para nosotros. Si pensamos

que cada una de las señales x[n], xe[n] y xo[n] son vectores de un espacio vectorial (2N–1)-

dimensional, donde cada muestra es un componente perpendicular, el cuadrado de la norma del

vector sería la energía de la señal, lo cual se asocia perfectamente bien con el producto interno entre

vectores. Por ejemplo, en el caso N=2, la señal tiene tres componentes {…, 0, x[-1], x[0], x[1], 0,

…}, lo que se puede interpretar como la suma de tres señales perpendiculares {…, 0, x[-1], 0, 0, 0,

…}, {…, 0, 0, x[0], 0, 0, …} y {…, 0, 0, 0, x[1], 0, …} (el producto interno entre dos de ellas es

cero). De esta manera, la definición de energía sería sólo una expresión del teorema de Pitágoras,

como muestra la siguiente figura, pues la norma euclidiana del vector es la raíz cuadrada de su

energía.

Figura 29. Interpretación de las señales de energía como vectores en un espacio vectorial abstracto

x[0]

x[-1]

x[1]

n = 0

n = -1

n = 1


De acuerdo con esta interpretación, las señales de energía forman un espacio vectorial en el que

cada vector (cada señal) se puede expresar como la combinación de dos vectores (señales) que

pertenecen a sub-espacios ortogonales entre ellos: el de las señales pares y el de las señales impares.

Estos dos sub-espacios son complementarios en el sentido en que su suma forma el espacio total de

las señales de energía. Más adelante enfatizaremos esta interpretación, de manera que podremos

notar, por ejemplo, que la transformada de Fourier es solamente un cambio de base para expresar el

espacio vectorial de las señales de energía, o que la aproximación de una señal mediante otra

tratando de minimizar el error cuadrado promedio, es solamente una proyección perpendicular de

un vector sobre un sub-espacio vectorial.

Figura 30. Las señales pares e impares de energía forman sub-espacios complementarios ortogonales del espacio

vectorial de las señales de energía

Por lo pronto, resultará interesante notar cómo el ambiente de programación Matlab, que se ha

constituido en el estándar de computación científica para ingeniería, considera las señales desde esta

perspectiva vectorial.

Espacio vectorial de las señales

de energía con simetría par

Espacio vectorial de las señales

de energía con simetría impar

Espacio vectorial de todas

las señales de energía


5. Introducción a Matlab

Matlab es un programa de computación científica especialmente dirigido a aplicaciones de

ingeniería. Los principales objetos con que se interactúa en matlab son las sentencias, las variables,

las gráficas y los “scripts”. Como introducción a matlab, en esta clase veremos estos cuatro objetos

rápidamente, reconociendo que, como todo, matlab sólo se llega a conocer después de trabajar

intensamente con él.

Al ejecutar matlab (por ejemplo, si se usa Windows de microsoft, haciendo doble “click” en el

ícono correspondiente), aparece un ambiente de programación y ejecución con algunos menús

descolgantes e íconos que también puede incluir una ventana con la lista del contenido del

directorio de trabajo, una ventana con la lista de las variables en la memoria (o workspace -espacio

de trabajo-), una ventana con la lista de los comandos recientes, etc. Pero la parte principal de la

pantalla es una ventana donde se introducirán comandos interactivos, inmediatamente después del

“prompt” >>.

Figura 31. Ambiente de interacción con Matlab®

Por ejemplo, una sentencia típica es la asignación de una matriz 2x2 a una variable de Matlab:

>> A = [3 2; 1 7]

A =

3 2

1 7

La matriz A que se acaba de crear aparece automáticamente después de oprimir ENTER, con lo que

reporta el resultado de la operación. Si la sentencia se hubiera terminado con un punto-y-coma, (;),

el despliegue de A se hubiera eliminado. Los nombres de las variables empiezan con una letra y

pueden contener números, mayúsculas y minúsculas, y el símbolo “_”. Tenga en cuenta que Matlab

Directorio actual

Contenido del directorio indicado

Información de las variables en memoria

Información del archivo seleccionado

Listado de los comandos introducidos en la ventana de comandos

Ventana de comandos para interacción con Matlab

Botón de inicio


distingue entre mayúsculas y minúsculas, de manera que las variables “a” y “A”, por ejemplo, son

variables diferentes:

>> A = [3 2; 1 7];

>> a = 3;

>> B = a*A

B =

9 6

3 21

En sentencias como las anteriores se pueden utilizar los operadores matemáticos usuales (+, -, *, /),

funciones ya predefinidas (por ejemplo sin(), cos(), tan(), asin(), acos(), atan(),

abs(), sqrt(), imag(), real(), conj(), log(), log2(), log10(), exp(), etc),

y algunos nombres de variables predefinidos como pi (= ), inf (= ), y j (= (-1) ):

>> t = 0.125; f = 1000; phi = pi/8;

>> angulo = 2*pi*f*t + phi;

>> a = cos(angulo) + j*sin(angulo)

a =

0.9239 + 0.3827i

Aunque hay una ventana que muestra las variables en el workspace, esta información también se

puede obtener con la instrucción whos:

>> whos

Name Size Bytes Class Attributes

A 2x2 32 double

B 2x2 32 double

a 1x1 16 double complex

angulo 1x1 8 double

f 1x1 8 double

phi 1x1 8 double

t 1x1 8 double

La instrucción clear borra todas las variables de la memoria:

>> clear

>> whos

Una variable importante es ans (answer), que se refiere al último resultado obtenido:

>> 2*pi

ans =

6.2832

>> sqrt(ans)

ans =

2.5066

La precisión con que se muestran los resultados es diferente a la precisión con que se almacenan,

pues cada escalar se almacena con 64 bits:

>> format long

>> 2*pi

ans =

6.283185307179586

>> sqrt(ans)

ans =

2.506628274631000


Por supuesto, el formato de salida no afecta los cálculos, que siempre se hacen con precisión

double.

El nombre de Matlab es una contracción de Matrix Laboratory pues, en efecto, la unidad

computacional básica es la matriz. Nótese, por ejemplo, que en el anterior listado de variables en

memoria, a, angulo, f, phi y t son matrices de 11 en vez de escalares. Como se mostró en el

primer ejemplo, una matriz se introduce entre paréntesis cuadrados [], separando las filas mediante

punto-y-coma (;) y separando los elementos de cada fila mediante coma (,) o espacio. Por

ejemplo, una manera de introducir la matriz

0.8

log( 1) sin( / 4) cos( / 6)

2 3

arcsin(0.2) (1,1) 1

A j e

Podría ser mediante la siguiente instrucción:

>> A = [log(-1) sin(pi/4) cos(pi/6);

-2j sqrt(3) exp(0.8); asin(0.2), beta(1,1), 1]

A =

0 + 3.1416i 0.7071 0.8660

0 - 2.0000i 1.7321 2.2255

0.2014 1.0000 1.0000

Nótese que podemos usar múltiples líneas o no, y que podemos separar los elementos de una misma

fila mediante coma o mediante espacio. Cuando operamos con matrices podemos sumarlas,

restarlas, multiplicarlas, invertirlas, transponerlas, elevarlas a una potencia, etc. Claro, en estos

casos necesitamos que las dimensiones de las matrices sean compatibles. En el siguiente ejemplo, A

es 23 y B es 32, por lo que no se pueden sumar, pero la transpuesta de B sí se puede sumar con A

(el apóstrofe se refiere a la transpuesta conjugada que, en este caso en que Bℝ32, resulta la misma

transpuesta).

>> A = [1 2 3; 4 5 6];

>> B = [1 2; 3 4; 5 6];

>> A+B

??? Error using ==> plus

Matrix dimensions must agree.

>> A+B'

ans =

2 5 8

6 9 12

Claro, A y B sí se pueden multiplicar:

>> C=A*B

C =

22 28

49 64

Resultando una matriz cuadrada que se puede elevar al cuadrado:

>> C^2

ans =

1856 2408

4214 5468


Pero si queremos construir una matriz en donde cada uno de los elementos de C esté elevado al

cuadrado, precedemos el operador con un punto indicando la naturaleza elemento a elemento de la

operación:

>> C.^2

ans =

484 784

2401 4096

Obsérvese cuán fácil es calcular el producto interno o el producto externo entre dos vectores:

>> x = [1; 2; 3];

>> y = [4; 5; 6];

>> interno = x'*y

interno =

32

>> externo = x*y'

externo =

4 5 6

8 10 12

12 15 18

Claro, el producto interno x'*y es la suma de los productos de los componentes de cada vector:

>> sum(x.*y)

ans =

32

Aprovechemos para verificar que el producto de dos matrices es la transpuesta del producto de las

transpuestas:

>> y*x'

ans =

4 8 12

5 10 15

6 12 18

Si tenemos un sistema lineal de ecuaciones,

3x + 2y + z = 1 2x – y + 3z = 2 -x + 4y – 2z = 3

Se puede encontrar su solución de manera muy simple:

>> inv([3 2 1; 2 -1 3; -1 4 -2])*[1; 2; 3]

ans =

-1.2857

1.4286

2.0000

donde inv(A) se refiere a la inversa de la matriz A. El resultado se puede verificar fácilmente:

>> [3 2 1; 2 -1 3; -1 4 -2]*[-1.2857143; 1.4285714; 2]

ans =

1.0000

2.0000

3.0000

Los componentes individuales de un vector, una matriz o cualquier otro arreglo, se referencian con

el nombre del arreglo sub-indicado con la posición del componente que nos interesa, teniendo en

cuenta que el índice del primer elemento es 1 (no cero como en muchos lenguajes de

programación):


>> A = [3 2 1; 6 5 4]

A =

3 2 1

6 5 4

>> A(2,1)

ans =

6

>> A(1,3)

ans =

1

De hecho, podemos extraer toda una fila o una columna usando dos-puntos (:) para referirnos a

todos los índices correspondientes:

>> A(2,:)

ans =

6 5 4

>> A(:,2)

ans =

2

5

Más aún, la notación dos-puntos (:) nos permite describir rangos de subíndices:

>> A=[1 4 3 5 1; 2 5 1 2 6; 0 2 7 1 8; 3 1 4 2 9]

A =

1 4 3 5 1

2 5 1 2 6

0 2 7 1 8

3 1 4 2 9

>> A(2:3,2:4)

ans =

5 1 2

2 7 1

En estos casos, el subíndice end puede ser de gran utilidad, pues se refiere al último subíndice en

la dimensión correspondiente:

>> A(3:end,4:end)

ans =

1 8

2 9

Una forma sencilla de introducir un vector fila es a través de esta misma notación basada en dos-

puntos (:)

>> x = 0:0.5:3

x =

0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000

En general x = xi : dx : xf define un vector fila que empieza con x(1)=xi, y para el cual el

elemento n+1 es igual al elemento n incrementado en dx, x(n+1) = x(n)+dx, para n=1,2,...,

de manera que x(end) xf y x(end)+dx > xf. Se leería como “desde xi hasta xf en

incrementos de dx”. Si se omite el incremento, se asume que vale uno:

>> n=-3:5

n =

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5


A manera de ejemplo, suponga que queremos evaluar una señal en tiempo continuo,

3( ) sin(8 ) , 0,1tx t t e t

Claro, el intervalo unitario es imposible de almacenar en un computador con memoria finita (aún en

un computador con memoria infinita!), por lo que conviene tomar un vector de muestras

suficientemente densas en el tiempo:

>> t=0:0.005:1;

>> x=sin(8*pi*t).*exp(-3*t);

Con lo que hemos evaluado x(t) en 201 puntos del intervalo unitario. Nótese que, en la memoria de

trabajo de matlab, x es una señal muestreada, no una señal en tiempo continuo. Sin embargo, como

está densamente muestreada, podemos graficarla interpolando mediante líneas rectas entre las

muestras, para lo cual usamos la instrucción plot, dándonos la sensación de continuidad:

>> plot(t,x)

Figura 32. Resultado de las instrucciones de matlab t=0:0.005:1; x=sin(8*pi*t).*exp(-3*t); plot(t,x)

En el menú de íconos de la ventana de la gráfica hay una pequeña lupa con la que podemos ver con

mayor detalle una porción de la figura para notar el tipo de interpolación que hace la instrucción

plot:


Figura 33. Zoom de la Figura 32, donde se nota la interpolación hecha por la instrucción plot

Por supuesto tratándose de señales muestreadas, es mejor utilizar una representación gráfica que

facilite esta interpretación. Esto se consigue con la instrucción stem. Por ejemplo, ahora tomaremos

41 muestras de la señal anterior:

>> n = 0:40;

>> y=sin(8*pi*(n/40)).*exp(-3*(n/40));

>> stem(n,y)

Figura 34. Gráfica de señales en tiempo discreto mediante stem

Es posible comparar ambas gráficas ya que la instrucción hold on permite graficar sobre las

figuras previamente creadas. Claro, la señal muestreada no se debe graficar con respecto al número

de muestra sino con respecto al instante correspondiente de cada muestra:

>> t=0:0.005:1;

>> x=sin(8*pi*t).*exp(-3*t);

>> plot(t,x,’r’)

>> hold on

>> n = 0:40;

>> y=sin(8*pi*(n/40)).*exp(-3*(n/40));

>> stem(n/40,y)

Nótese que, por claridad, trazamos la señal continua en color rojo mediante el parámetro adicional

‘r’ del comando plot.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Figura 35. Despliegue simultáneo de la señal en tiempo continuo y en tiempo discreto

Claramente, una de las principales características de Matlab es su excelente capacidad gráfica y la

facilidad con que se utiliza dicha capacidad. Como para darnos una breve idea de las muchas

posibilidades, podemos usar el comando help, que despliega información de ayuda sobre otros

comandos de matlab. Ejecute los siguientes comandos y disfrute viendo las instrucciones que

matlab tiene para presentar gráficas de muchos tipos diferentes:

>> help matlab\graph2d

>> help matlab\graph3d

>> help matlab\specgraph

Hasta ahora toda la interacción que hemos tenido con matlab ha sido a través de la ventana de

comandos, pero este modo de interacción sólo permite sesiones cortas y no repetitivas.

Afortunadamente, matlab permite editar, almacenar e invocar archivos de comandos donde se puede

agrupar un gran número de sentencias relacionadas para ser utilizadas como una única sentencia en

la ventana de comandos. Estos archivos son “archivos tipo .m” ya que su nombre tiene esta

extensión. Existen dos tipos de archivos .m : Los archivos script (guión o libreto) son, simplemente,

una secuencia de comandos que se almacenan desde un editor de texto para que matlab los ejecute

como si fueran introducidos desde la ventana de comandos. Estos archivos pueden incluir llamadas

a otros scripts, pero debe tenerse cuidado porque trabajan con las variables del workspace, lo cual

puede ser muy conveniente para interactuar con ellos desde la ventana de comandos, pero también

puede producir interacciones no intencionales a través de estas variables. El otro tipo de archivos .m

son los archivos function (función), los cuales pueden aceptar variables de entrada y pueden

producir variables de salida, aunque sus variables internas no hacen parte del workspace. Para

terminar este tutorial utilizaremos solamente archivos script, y dejaremos al lector la consideración

de los archivos function (use >> help function en la línea de comandos).

Por ejemplo, si queremos hacer un archivo que grafique un segundo de una señal seno con

frecuencia dada, podemos usar el editor de matlab así:

>> edit FiguraSeno

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Con lo que creamos el archivo FiguraSeno.m en el directorio de trabajo y entramos al editor de

texto para digitarlo. En el editor simplemente escribimos los comandos a ejecutar (aunque no los va

a ejecutar inmediatamente, pues no estamos en la ventana de comandos):

Figura 36. Edición de un archivo script

Después de guardar el archivo (usando el ícono del diskette o las opciones de menú File/Save, o la

tecla rápida CTRL-S), podemos regresar a la ventana de comandos:

>> help FiguraSeno

FiguraSeno.m

Script para dibujar la señal x(t) = sin(2*pi*f*t) en el intervalo

unitario [0, 1]. El valor de f debe existir en el espacio de trabajo

antes de invocar este script.

Como se puede apreciar, los comentarios iniciales de un script aparecen cuando se pide ayuda sobre

el “nuevo comando”. En este caso, la ayuda es implacable: Habrá problemas si no definimos

primero la variable f:

>> FiguraSeno

??? Undefined function or variable 'f'.

Error in ==> FiguraSeno at 7

x = sin(2*pi*f*t);

Mejor seguir las instrucciones:

>> f = 10; FiguraSeno

Nótese las etiquetas en la gráfica (xlabel, ylabel, title). Con ellas aprovechamos para

ilustrar pasos básicos del manejo de cadenas de caracteres cómo, por ejemplo, la inclusión de un

valor numérico dentro del arreglo de caracteres que conforman el título (mediante la función

num2str que convierte un dato numérico en una cadena de caracteres).


Figura 37. Resultado del script FiguraSeno fon f=10

Por último, veamos cómo sería un script para ayudar a resolver la primera tarea

% Tarea1.m % Resuelve el primer punto de la primera tarea % dt debe estar definida en el workspace antes de invocar este script

% dt es el tiempo de muestreo para el sistema en tiempo discreto % % Toma suficientes muestras en el tiempo continuo de x(t) y de y(t) t = -0.01:0.00002:0.08; % Toma muestras cada 20 us xt = (t>=0).*(t<=0.03); % Señal de entrada yt = xt.*(1-exp(-100*t)) + (1-exp(-3))*(t>0.03).*exp(-(100*t-3)); % Señal de salida plot(t,xt,'b-',t,yt,'r-') % Grafica la salida en tiempo continuo % Ahora toma las muestras para el sistema en tiempo discreto n = floor(-0.01/dt):floor(0.08/dt); % tiempo discreto a = 0.01; % parámetro alpha b = a/dt; % parámetro beta r = b/(b+1); % parámetro ro n0 = floor(0.03/dt); % instante en el que x[n] cambia de uno a cero yd = (n>=0).*(n<=n0).*(1-r.^(n+1)) + (n>n0).*(r.^(n-n0) - r.^(n+1)); hold on stem(n*dt,yd,'k.')

xlabel('tiempo en segundos')

ylabel('Amplitud')

title(['Señales relacionadas con la tarea 1 cuando dt = ' num2str(dt)])

% Breve extensión para calcular el error en el intervalo [0 0.08]

t = n*dt; yi = (t>=0).*(t<=0.03).*(1-exp(-100*t)) + (1-exp(-3))*(t>0.03).*exp(-(100*t-3)); I = find(n>=0); N = length(I); MSE = sum((yi(I) - yd(I)).^2)/N

Nótese el uso de relaciones lógicas para definir rangos de validez de las expresiones. Por ejemplo,

cuando hacemos xt = (t>=0).*(t<=0.03), estamos multiplicando punto a punto una señal que

vale uno sólo cuando t es no negativa con otra señal que vale uno sólo cuando t es menor o igual a

30 ms. El producto es uno sólo cuando 0 t 0.03, que era exactamente la definición de x(t) en la

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo en segundos

Am

plit

ud

x(t) = sin(2*pi*f*t), f=10


tarea. También nótese el uso de las funciones floor, find y sum (use help para ver sus

descripciones).

Figura 38. Resultado del script Tarea1.m con dt = 1 ms

El siguiente script, que invoca al anterior, nos permitiría calcular el error cuadrado medio en el

intervalo [0, 0.08] para diferentes valores de dt:

for i=1:20 dt = (49*i - 30)/190000; % de 0.1 ms hasta 5 ms en 20 pasos Tarea1 mse(i) = MSE; d(i) = dt; clear I MSE N a b dt n n0 r t x yd yi yt end close all semilogy(d,mse) xlabel('Intervalo de muestreo en segundos')

ylabel('Error cuadrado medio')

title('MSE de la aproximación en el intervalo [0, 0.08]')

Figura 39. Error al aproximar el sistema en tiempo continuo por el sistema en tiempo discreto de la tarea 1

Nótese el uso de la instrucción clear para borrar algunas o todas las variables (algo que conviene

hacer al iniciar un nuevo proceso en el workspace para evitar las interacciones insospechadas de las

que hablamos anteriormente), la instrucción close para cerrar las ventanas gráficas que estén

abiertas, y la instrucción semilogy para usar una escala logarítmica en el eje vertical (use help

para conocer más sobre estas instrucciones).

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tiempo en segundos

Am

plit

ud

Señales relacionadas con la tarea 1 cuando dt = 0.001

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

Intervalo de muestreo en segundos

Err

or

cuadra

do m

edio

MSE de la aproximación en el intervalo [0, 0.08]


Antes de terminar esta clase, es interesante hacer notar que el éxito de Matlab como herramienta de

computación científica para ingeniería se debe, fundamentalmente, a su capacidad de trabajar

fácilmente con matrices y vectores, que es el lenguaje natural de la ingeniería. Efectivamente, por

un lado éste es el tipo de cálculos más comunes en ingeniería; pero, por otro lado, y más importante

aún, los principales modelos matemáticos en ingeniería hacen referencia a vectores abstractos en

espacios vectoriales abstractos, como tendremos oportunidad de ver más adelante en el caso de las

señales y los sistemas. Esto implica un cambio de mentalidad respecto a la programación típica de

computadores con otros lenguajes de propósito general, en los que se necesitan extensos lazos for-

next para hacer operaciones sencillas entre vectores, por ejemplo. Como ilustración, nótese que

para calcular la energía de una señal de duración finita en tiempo discreto basta con encontrar el

producto interno de la señal con ella misma:

>> x = randn(100,1);

>> E = x'*x;

pero un estudiante con mentalidad escalar no dudaría en cambiar la segunda línea por una iteración

for/next :

>> E = 0;

>> for i=1:length(x)

E = E + x(i)*x(i);

end

lo cual implica una gran ineficiencia en comparación con la primera propuesta. Pero, como dijimos,

no es sólo un asunto de eficiencia computacional sino, principalmente, un asunto de mentalidad

vectorial. Por ejemplo, cuando ve una ecuación como la siguiente: 10

0

[ ] [ ], 0,...,10k

k

y n a x n k n

un estudiante con mentalidad escalar pensará en la siguiente implementación:

for n=0:10 y(n+1)=0; for k=0:10 if ((n-k>=0) && (n-k<=10)) y(n+1) = y(n+1) + a(k+1)*x(n-k+1); end end end

con lo cual demuestra que interpreta la ecuación anterior como una definición para cada una de las

11 muestras de la señal y[], lo cual no está mal. Sin embargo, un estudiante con mentalidad

vectorial sabe que la ecuación anterior también se puede interpretar como si la señal completa {y[n],

n=0,…,10} fuera una combinación lineal de las once señales {x[n-k], n=0,…,10}k=0,…,10,

10

0

[ ], 0,...,10 [ ], 0,...,10k

k

y n n a x n k n

por lo que su implementación sería así:


y = zeros(11,1); for k=0:10 y = y + a(k+1)*x; x = [0; x(1:10)]; end

Otro estudiante ligeramente más brillante notará que la ecuación anterior es una sola ecuación

matricial

11 1 11 11 11 1

y X a

donde [y] es un vector columna con las muestras de la señal y[], [a] es un vector columna con los

coeficientes {ak}, y [X] es una matriz 1111 obtenida de la señal x[]. Tal vez este estudiante

preferiría la siguiente implementación, aunque ocupe más memoria:

X = zeros(11,11); X(:,1) = x; for k=1:10 X(:,k+1) = [0; X(1:10,k)]; end y = X*a;

Es importante notar que las tres expresiones anteriores son fundamentalmente equivalentes:

10

0

[ ] [ ], 0,...,10k

k

y n a x n k n

10

0

[ ], 0,...,10 [ ], 0,...,10k

k

y n n a x n k n

11 1 11 11 11 1

y X a

Sin embargo, la primera enfatiza una forma de calcular cada uno de los componentes de la señal

y[], la segunda enfatiza una relación vectorial en la que el vector de correspondiente a la señal y[]

es una combinación lineal de los vectores correspondientes a los desplazamientos de la señal x[], y

la tercera es una representación matricial de la transformación lineal que implica dicha

combinación. La naturaleza matricial de Matlab enfatiza las dos últimas interpretaciones, lo cual

ofrece muchas ventajas con respecto a la comprensión misma de la teoría de señales. Con la

práctica, el estudiante alcanzará rápidamente la mentalidad vectorial y matricial que se requiere para

sacar el máximo provecho de Matlab y el máximo provecho de este curso.

Como conclusión de esta clase, nos hemos empezado a familiarizar con el programa de

computación científica y visualización de datos más utilizado en docencia e investigación en

ingeniería. La interactividad de Matlab y el muy alto nivel de sus instrucciones le permiten al

usuario probar y depurar los programas enfocándose en los principios científicos que su programa

evalúa y no en los detalles particulares de la programación misma (no se deben declarar los tipos de

las variables ni los tamaños de los arreglos, se pueden construir complejas gráficas con unas pocas

instrucciones, etc.). Por último, su orientación matricial no sólo simplifica la programación, sino

que facilita un adecuado modelamiento matemático del problema que se trata.


6. Señales exponenciales. Periodicidad en tiempo continuo y en tiempo

discreto

En la naturaleza son comunes los sistemas caracterizados por señales cuyas tasas de crecimiento son

proporcionales a las señales mismas. Por ejemplo, en ausencia de predadores y abundancia de

recursos, la tasa de crecimiento de la población de una especie es proporcional al número de

individuos,

( ) ( )d

x t x tdt

Considerando =1, estamos ante una función que es idéntica a su derivada… ¿Cuál es esa función?

Si aplicamos el método de la serie de potencias, 0

( ) n

n

n

x t a t

, obtenemos

1 0 0 0 01 1 2 3

1 0

1 , , ,...,1 1 2 1 2 3 !

n n

n n n n n

n n

a a a ana t a t n a a a a a a

n

Como queremos conservar la misma tasa de crecimiento en t=0, necesitamos x(0)=a0=1, de donde

obtenemos la función que es idéntica a su derivada (única, excepto por un factor constante):

0

( ) ( ) ( )!

n

n

d tx t x t x t

dt n

Por otro lado, nótese que

0 0

1lim lim

t tt td r r r

r rdt

de manera que, si 0

1lim 1

r

, rt es idéntica a su derivada, esto es,

0 !

nt

n

tr

n

. Evaluando en t=1,

obtenemos el valor de r que satisface dicha relación. A ese número le llamamos e:

0

12,71828182845904523536028747135266249775724709369995...

!n

en

El valor particular de e no es tan importante como la definición misma de la función et, pues gracias

a ella podemos calcular exponenciales donde el exponente es un número complejo, o donde el

exponente es una matriz:

0 0

1,

! !

a bn

c dj

n n

na bj

e ec dn n

Esta última observación nos trae a otro número interesante, j, que se define mediante la relación

j2=-1 de manera que, por ejemplo, (-25) = [(25)(-1)]=(25)(-1)=5j. A los números que tienen a j

como factor les decimos imaginarios, pero ¿no es "uno" tan imaginario como j? Después de todo, el

concepto mismo de número es una abstracción teórica de algo más real: la cardinalidad de los

conjuntos. Podemos saber qué son tres vacas o qué son cinco asientos, pero ¿qué es el "tres" ó qué

es el "cinco"? Sin embargo, como el proceso de contar se refiere a establecer una relación biunívoca

entre los elementos de un conjunto y los números naturales, ℕ, no parece apropiado decir que los

números naturales sean imaginarios, pero lo cierto es que son el resultado de la imaginación del ser

humano. De hecho, cuando se introdujo el número cero fue necesario hacer una mayor abstracción,

un mayor esfuerzo de la imaginación. Y mayor esfuerzo aún se requirió al introducir los números


negativos. En efecto, dentro del sistema de los naturales no es posible encontrar un número que

sumado a cinco dé tres, pero se puede extender el sistema a los números enteros para "darle

existencia" a tal número, al cual llamamos "menos dos", aunque ya no quede fácil hablar de menos

dos vacas o de menos dos asientos. De igual manera podemos ir extendiendo los sistemas

numéricos: ¿Cuál es el número que, al multiplicarlo por dos, da tres? Ese número no existe entre los

naturales y tampoco existe entre los enteros, pero podemos inventar (imaginar) un sistema

extendido que lo incluya: los números racionales. ¿Y cuál es el número que multiplicado por si

mismo da dos? Ese número no existe entre los naturales, ni entre los enteros, ni entre los racionales,

pero podemos inventar (imaginar) un sistema extendido que lo incluya: los números reales. De los

naturales a los enteros, de los enteros a los racionales, de los racionales a los reales, sólo hemos

extendido la imaginación: Todos ellos son números "imaginarios" cuyas propiedades se asocian con

el concepto primigenio de "contar". Ahora preguntamos ¿Cuál es el número que multiplicado por sí

mismo da "menos uno"? Ese número no existe en los naturales, ni en los enteros, ni en los

racionales, ni en los reales, por lo que inventamos otro sistema numérico: Los imaginarios… que

son tan reales como los demás! O, mejor dicho, que son tan imaginarios como los demás. Por

último, si nos preguntamos cuáles son las soluciones de la ecuación x2 + x + 1 = 0, notaremos que

esos números no están en los naturales, los enteros, los racionales, los reales o los imaginarios: Por

eso imaginamos el sistema numérico de los complejos. Como de costumbre, de la misma manera

que la abstracción teórica de las señales como funciones matemáticas nos permite modelar el

concepto de señal (magnitud física medible que cambia con el tiempo), la abstracción teórica de los

sistemas numéricos representa conceptos muy reales y muy concretos. En particular, el número

irracional e y el número imaginario j juegan un papel fundamental en el modelamiento de las

señales, como mencionaremos en breve.

Con esta introducción a los números e y j, y habiendo definido señales, sistemas, potencia, energía,

simetría y periodicidad, ahora revisaremos varias señales básicas en tiempo continuo y en tiempo

discreto que nos servirán para construir muchas otras señales.

La primera de ellas es la señal exponencial, ( ) ,tx t Ae t , donde A y pueden ser, en general,

números complejos. Consideremos primero el caso en que ambos parámetros son reales. En el

origen la señal toma el valor x(0) = A. En otros instantes de tiempo, el comportamiento de la señal

depende del signo del parámetro : ∣x(t)∣ crece con t si es positiva y decrece con t si es

negativa, como se muestra en la siguiente figura. Por supuesto, si es igual a cero, la señal es una

constante x(t)=A tℝ.

Un caso más interesante para estudiar en este curso es cuando es un número puramente

imaginario, =j, esto es, cuando ( ) ,j tx t Ae t , donde A sigue siendo real. Una forma

tradicional de representar está señal es como un punto sobre el círculo de radio ∣A∣ en el plano

complejo, que gira a una velocidad de radianes por segundo. Esta interpretación cobra sentido

cuando consideramos la relación de Euler:

2 2 1

0 0 0

1 1! (2 )! (2 1)!

n n nn nj

n n n

je j

n n n

cos( ) sin( )je j


Figura 40. Señales exponenciales reales en tiempo continuo

Figura 41. Convergencia de la serie de la secuencia (-1)n2n/(2n)!

donde la convergencia de las series se aprecia en la Figura 41. Esto es, si interpretamos ej como un

punto en el plano complejo sobre el círculo unitario que forma un ángulo con el eje horizontal,

notamos que su componente real es la proyección del punto sobre el eje horizontal, cos(), y su

componente imaginaria es la proyección del punto sobre el eje vertical, sin(), como muestra la

Figura 42. Esta representación, conocida como el diagrama de Argand, explica la conversión entre

las formas polar y rectangular de los números complejos:

2 2 1, tan

cos , sin

j bMe a jb M a b

a

a M b M

Ahora podemos evaluar la exponencial compleja en un ángulo que se incrementa linealmente con el

tiempo, de acuerdo con una constante adecuadamente llamada velocidad angular. Nótese en la

Figura 43 cuán fácil es interpretar una frecuencia negativa: simplemente ocurre cuando el punto en

el plano complejo da vueltas en el sentido de las manecillas del reloj, pues las frecuencias positivas

lo hacen girar en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

x(t)=Aet, A>0, >0

A

t

x(t)=Aet, A>0, <0

A

t

x(t)=Aet, A<0, >0

A

t

x(t)=Aet, A<0, <0

A

t

0 5 10 15 18.85-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

N=0

N=23

N=24

N=25

2

0

Convergencia de la suma 1 hacia cos( ) cuando (2 )!

nNn

n

Nn


Figura 42. Diagrama de Argand para la exponencial compleja

Figura 43. Partes real e imaginaria de la señal exponencial compleja

De aquí la simetría par de la función coseno y la simetría impar de la función seno. En efecto,

descomponiendo la exponencial compleja en sus partes par e impar,

ejt = cos(t) + j sin(t) e-jt = cos(t) – j sin(t)

1 1

cos( ) sin( )2 2

j t j t j t j tt e e t e ej

Estas expresiones se pueden interpretar como la suma (y diferencia) de dos puntos sobre el círculo

unitario que se mueven en direcciones opuestas.

Figura 44. La suma de dos puntos del plano complejo que se mueven en direcciones opuestas sobre el círculo unitario

siempre cae sobre el eje real. La diferencia siempre cae sobre el eje imaginario

je

cos( )

sin( )

Re je

Im je

t1 t2

t3

t1

t2

t3

cos( ) sin( )j tAe A t jA t

j te

j te

j te

sin( )2

j t j te ej t

cos( )2

j t j te et


Para los matemáticos, las anteriores expresiones de seno y coseno son las definiciones mismas de

dichas funciones, donde ej es sólo una serie de potencias: nada de catetos ni de hipotenusas!

La relación de Euler, ej = cos() + j sin(), es una de las relaciones más celebradas en las

matemáticas. Richard Feynman (1918-1988), uno de los más grandes físicos del siglo XX, le decía

a esta relación “la joya de las matemáticas” (The Feynman Lectures on Physics, vol. I, 1977). De

hecho, evaluándola en = se obtiene una relación muy simple entre los cinco números más

importantes de las matemáticas:

Figura 45. Relación simple entre los cinco números más importantes de las matemáticas

Esta simple relación evoca un concepto estético: belleza. Si, como vimos, los sistemas de

numeración son un producto de la creatividad humana, toda la matemática lo es, tanto como la

música, la poesía o la pintura, donde es más fácil experimentar la belleza: Esa sensación de

profundo placer que surge de una experiencia sensorial, en la que un maravilloso misterio por

descubrir se revela en algo tan simple como una imagen o un sonido. Siendo así, la relación ej+1=0

no es más que un hermoso poema.

Volviendo a nuestra señal ( ) j tx t e , la principal propiedad de la exponencial compleja es su

periodicidad. En efecto, recordando la definición de periodicidad ( ( ) ( )x t T x t t ),

21, lo cual ocurre si para cualquier

j t Tj t j t j T j T ke e e e t e T k

, en cuyo

caso ej(t+T) ocupa la misma posición de ejt en el círculo unitario, pero le ha dado k vueltas más. En

consecuencia, el período fundamental de la exponencial compleja con frecuencia angular es T0 =

2/. Obsérvese que para cualquier ℝ, 0, existe un T0 (=2/)ℝ y, si =0, cualquier valor

real de T es un período válido de la señal. Entonces, aunque parezca extraño hacer notar lo

siguiente, la exponencial compleja en tiempo continuo siempre es periódica. Cuando veamos en un

momento la exponencial compleja en tiempo discreto, se notará la relevancia de esta extraña

observación.

Si la variable t se refiere al tiempo medido en segundos, es la velocidad angular en radianes por

segundos. Como cada 2 radianes se completa un ciclo, se puede expresar como 2F, donde F es

la frecuencia en ciclos por segundo. El período, entonces, T = 2/ = 1/F, es el tiempo que toma un

ciclo de la señal, en segundos.

Nótese que, tratándose de una señal periódica, la energía de la exponencial compleja debe ser

infinita. Pero es fácil ver que se trata de una señal de potencia:

21 1 2lim lim 1 lim 1

2 2 2

j t

xP e dt dt

Finalmente, consideremos el caso en que es una cantidad compleja, = + j, mientras A sigue

siendo un número real:


( )( ) t j t t j tx t Ae Ae Ae e

Se puede notar que se trata del producto entre los dos casos anteriores: El primer término crece o

decrece exponencialmente de acuerdo con el signo de , y el segundo término oscila a una

velocidad de radianes por segundo. En consecuencia, de acuerdo con la relación de Euler, las

partes real e imaginaria de x(t) se comportan como en la siguiente figura:

Figura 46. Caso más general de la exponencial compleja

Habiendo estudiado las señales exponenciales en tiempo continuo, se debe decir que con las

exponenciales complejas en tiempo discreto todo es muy parecido, aunque existen dos diferencias

fundamentales.

Sea x[n]=Ae

n. Nuevamente, cuando A y son reales, tenemos los mismos casos que en el tiempo

continuo:

Figura 47. Señales exponenciales reales en tiempo discreto

Re ( ) , 0x t Re ( ) , 0x t

t t

x[n]=Aen, A>0, >0

A

t

x[n]=Aen, A>0, <0

A

t

x[n]=Aen, A<0, >0

A

t

x[n]=Aen, A<0, <0

A

t

x[n]=Arn, A>0, r<-1

A

t

x[n]=Arn, A>0, -1< r < 0

A

t


La figura anterior incluye una posible generalización que usa un escalar cualquiera r en vez de e,

de manera que la señal tendría la forma x[n]=Ar

n. En este caso, cuando r < 0, tendríamos las dos

formas adicionales mostradas en la parte inferior de dicha figura.

Podemos ahora verificar la periodicidad de la exponencial en tiempo discreto cuando es un

número puramente imaginario, =j, esto es, cuando [ ] ,j nx n Ae n . Por conveniencia, y sin

perder generalidad, le asignaremos a la amplitud A el valor 1. Notemos que x[n] sigue siendo un

punto del plano complejo que da vueltas al círculo unitario. La gran diferencia es que ahora lo hace

en pasos discretos de radianes por muestra (la velocidad angular ya no está dada en radianes por

segundo sino en radianes por muestra), lo cual hace válido preguntarnos si volverá a repetir los

pasos por donde ya había pasado en la vuelta anterior, o en un número finito de vueltas. Para ver

bajo qué condiciones ocurrirá algo así, revisemos nuevamente la definición de periodicidad:

21, lo cual ocurre si para cualquier

j n Nj n j n j N j N ke e e e n e N k

Evidentemente, para que la exponencial compleja en tiempo discreto sea periódica se hace

necesario que la velocidad angular sea un múltiplo racional de 2:

2 , ,k

k NN

Esta es una de las grandes diferencias con el caso del tiempo continuo, donde las exponenciales

complejas son siempre periódicas con período bien definido para cualquier valor real de la

velocidad angular (T=2/, ℝ). En el caso discreto, es necesario que la velocidad angular

tenga un forma muy particular: debe ser un múltiplo racional de 2, =2k/N, en cuyo caso (si k/N

es una fracción simplificada, esto es, si k y N son primos relativos –no tienen factores en común-) el

período es N, que se cumple cuando el punto le ha dado k vueltas al círculo unitario. La explicación

es simple: Como el punto en tiempo continuo pasa por todos los puntos del círculo unitario, siempre

volverá al mismo punto, de manera indefectible y en una sola vuelta. Pero como el punto en tiempo

discreto no necesariamente pasa por todos los puntos, es posible que deba dar varias vueltas antes

de volver al punto original o, más aún, puede que nunca vuelva al punto original. La siguiente

figura muestra las posiciones del punto en un período de 5 muestras para diferentes valores de k:

Figura 48. La frecuencia digital es un número racional: El denominador N es el período y el numerador k es el número

de vueltas al círculo unitario en un período. En todos los casos el número de ciclos por muestra es 1/N

La figura anterior nos lleva a identificar la segunda gran diferencia con la exponencial compleja en

tiempo continuo. Mientras en el tiempo continuo todas las frecuencias eran distinguibles pues entre

mayor era la velocidad angular mayor era el número de ciclos por segundo, en el caso del tiempo

n=0,5

n=1

n=2

n=3

n=4

1[ ] exp 2

5x n j n

El período 5 se cumple al darle

una vuelta al círculo unitario

n=0,5

n=3

n=1

n=4

n=2

2[ ] exp 2

5x n j n


dos vueltas al círculo unitario

n=0,5

n=2

n=4

n=1

n=3

3[ ] exp 2

5x n j n


tres vueltas al círculo unitario

n=0,5

n=4

n=3

n=2

n=1

4[ ] exp 2

5x n j n


cuatro vueltas al círculo unitario


discreto hay frecuencias que no se pueden distinguir entre ellas. Por ejemplo, nótese que la

frecuencia -1/5, en donde incrementamos 2/5 radianes por muestra en el sentido de las manecillas

del reloj, resulta idéntica a la frecuencia 4/5, en la que aumentamos 8/5 en el sentido contrario a

las manecillas del reloj con cada muestra. Más aún, después de 4/5, la siguiente frecuencia válida

para que el período siga siendo 5 es 6/5, pero al observar el orden de los puntos que traza la señal,

notamos que son los mismo y en el mismo orden que los puntos que traza cuando la frecuencia es

1/5. Esto es fácil de apreciar si consideramos que las velocidades angulares separadas por un

número entero de 2 son indistinguibles: 2 2 ,

j k n j n j kn j ne e e e k n

La Figura 49 muestra cómo las velocidades angulares -4/5 y +6/5 radianes por segundo son

perfectamente distinguibles en tiempo continuo, pero las velocidades angulares -4/5 y +6/5

radianes por muestra no se pueden distinguir en tiempo discreto.

Figura 49. La frecuencia f0 = -2/5 ciclos por muestra no se puede distinguir de la frecuenia f1 = +3/5 ciclos por muestra

Para ver con mayor claridad las diferencias fundamentales en la periodicidad de las señales en

tiempo continuo y en tiempo discreto, veamos 11 muestras de las señales mostradas en la Figura 48

Figura 50. Diferentes exponenciales complejas en tiempo discreto (parte real en rojo, parte imaginaria en azul)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

0

1

0.5

-0.5

2 32 2

5 5

1 2[ ] [ ]j n j n

x n e x n e

0 5 10-1

0

1f = -7/5

0 5 10-1

0

1f = -6/5

0 5 100

0.5

1f = -5/5

0 5 10-1

0

1f = -4/5

0 5 10-1

0

1f = -3/5

0 5 10-1

0

1f = -2/5

0 5 10-1

0

1f = -1/5

0 5 100

0.5

1f = 0/5

0 5 10-1

0

1f = 1/5

0 5 10-1

0

1f = 2/5

0 5 10-1

0

1f = 3/5

0 5 10-1

0

1f = 4/5

0 5 10-0.5

0

0.5

1f = 5/5

0 5 10-1

0

1f = 6/5

0 5 10-1

0

1f = 7/5

0 5 10-1

0

1f = 8/5


Nótese que, en la figura anterior, cualquier frecuencia fuera del rango {-2/5, -1/5, 0, 1/5, 2/5}se

puede confundir con una de las que se encuentran en este rango: -7/5, 3/5 y 8/5 se confunden con -

2/5; -6/5 y 4/5 se confunden con -1/5; -5/5 y 5/5 se confunden con 0/5; -4/5 y 6/5 se confunden con

1/5; y -3/5 y 7/5 se confunden con 2/5. Esta indistinguibilidad entre diferentes frecuencias en

tiempo discreto es lo que se conoce con el nombre de Alias: Cualquier frecuencia f’ con ∣f’∣>1/2 se

puede confundir con alguna otra frecuencia f con ∣f∣1/2. Más aún, nótese que la velocidad de las

oscilaciones crece mientras f va de cero hasta ½ ciclo/muestra pero, una vez f supera ese valor, la

velocidad de las oscilaciones empieza a decaer hasta que f llega a 1 ciclo por muestra, cuando la

señal vuelve a corresponder a un nivel dc, como cuando f valía cero. La oscilación más rápida

posible se consigue con f = ½ (=), cuando x[n] = ejn = (-1)n, como se muestra en la siguiente

figura. Cualquier otra frecuencia produce una oscilación más lenta:

Figura 51. ej2fn para diferentes valores de f (parte real en rojo, parte imaginaria en azul)

Resumiendo: Mientras en tiempo continuo las exponenciales complejas son siempre periódicas, en

tiempo discreto se necesita que la velocidad angular sea un múltiplo racional de 2. Mientras en

tiempo continuo todas las posibles frecuencias en los reales son distinguibles, en tiempo discreto

diferentes frecuencias pueden generar las mismas señales en el tiempo (alias). Como la frecuencia

más alta en tiempo discreto es medio período por muestra, se suele limitar el rango de frecuencias

válidas en el intervalo [-½, ½] o, lo que es lo mismo, la velocidad angular se suele limitar al

intervalo [-, ].

-10 -5 0 5 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1f = 4/10

-10 -5 0 5 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1f = 5/10

-10 -5 0 5 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1f = 6/10


7. Exponenciales complejas armónicas, impulsos, escalones

Veíamos algunas propiedades interesantes de las exponenciales complejas en tiempo continuo y en

tiempo discreto. Si quedó claro, los estudiantes podrán resolver algunos problemas:

quiz: Sea x(t) la exponencial compleja en tiempo continuo, ej2t/T. Considere la señal en tiempo

discreto que se obtiene al tomar valores de x(t) cada t segundos, esto es, x[n] = x(nt). Encuentre

la condición más general que debe satisfacer t para que x[n] sea una señal periódica.

x[n] = ej2nt/T = ejn, con = 2t/T . Como debe ser múltiplo racional de 2 para que x[n] sea

periódica, = 2t/T = 2(k/m), k y m ℕ. Así pues, para que x[n] sea una señal periódica, es

necesario que existan dos números enteros no negativos, k y m, primos relativos entre sí, tales que

mt = kT, esto es, t debe ser un múltiplo racional de T para que la señal muestreada sea periódica.

Si éste es el caso, el período de x[n] es m porque después de m muestras la señal x[n] le habrá dado

k vueltas al círculo unitario y habrá regresado a (0+1j).

quiz: ¿Cuál es el período de 1 2( )j t j t

x t e e

? Nótese que, en t=0, ambos términos de la suma se

encuentran en 1, de manera que x(0)=2. ¿Cuándo volverá la señal a ese punto? Claramente, cada

término de la suma deberá haber dado un número entero de vueltas al círculo unitario, esto es, en el

tiempo que el primer término da k1 vueltas, el segundo término deberá haber dado k2 vueltas. Esto

sólo es posible si 1 y 2 son múltiplos racionales entre sí. En efecto, el período de x(t) será T si

1 2 1 1 2 2( ) ( )j t T j t T j t j T j t j T

x t x t T e e e e e e t

lo cual ocurrirá solamente si se satisfacen simultáneamente las siguientes dos condiciones:

1T=2k1 y 2T=2k2. De esta manera, en T segundos el primer término da k1 vueltas y el segundo

término da k2 vueltas para volverse a encontrar en x(T) = x(0), como habíamos considerado

originalmente. Dividiendo la primera condición por 2T obtenemos la condición de periodicidad

para x(t): 1/2=k1/k2. Esto es, x(t) sólo será periódica si 1 y 2 son múltiplos racionales entre sí,

en cuyo caso T=2k1/1 = 2k2/2.

Por ejemplo, si 1=2(1/3) y 2=2(2/5), 1/2=5/6 y T = 6/(2/5) = 15. En efecto, después de 15

segundos, el primer término ha dado 5 vueltas al círculo unitario y el segundo término ha dado 6

vueltas, de manera que se vuelven a encontrar en x(0) = x(15) = 2. Pero si 1=2(1/4) y 2=2(2),

mientras el primer término da una vuelta cada cuatro segundos, el segundo término nunca

completará una vuelta en un número entero de segundos y, por consiguiente, nunca se volverán a

encontrar en el punto de origen.

quiz: ¿A qué horas se encuentran el minutero y el horario? El minutero da una vuelta cada hora

mientras el horario da una vuelta cada 12 horas. En el instante 0 ambos se encuentra en (0+1j).

Entonces la posición del minutero es m(t)=e-j2(t + ¾) y la del horario es h(t)=e-j2(t/12 + ¾), donde el

tiempo se da en horas. Se encontrarán cada vez que el minutero haya recorrido un número entero de

vueltas más la fracción de vueltas que ya ha recorrido el horario:

Tk + ¾ = Tk/12 + ¾ + k Tk = 12k/11, k=0,1,2,…,10


Entonces se encuentran cada 12/11 de hora, a las 12:00:000/11, 01:05:273/11, 02:10:546/11,

03:16:219/11, 04:21:491/11, 05:27:164/11, 06:32:437/11, 07:38:1010/11, 08:43:382/11, 09:49:055/11 y a las

10:54:328/11.

quiz: ¿Cuál es el período de 1 2( )j t j t

x t e e

, 2 1? En el primer quiz de hoy notamos que

la suma dentro de las barras de valor absoluto puede no ser periódica si las velocidades angulares 1

y 2 no son múltiplos racionales entre sí. Aquí las cosas son distintas, ya que no nos interesa cuándo

los dos términos de la suma se volverán a encontrar en el punto 1+j0 del círculo unitario sino

cuándo volverán a estar alineados para que la magnitud de la suma vuelva a ser dos.

Independientemente de que alguna vez los dos sumandos vuelvan a pasar por el punto de origen o

no, siempre volverán a pasar uno encima de otro, por lo que estamos hablando de una señal real que

siempre será periódica. En efecto,

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 12 2 2 2( ) 2cos 2 cos2 2

j t j t j t j t

x t e e e e t t

Como el período de cos(t) es 2/, el período de |cos(t)| se reduce a / que, en nuestro caso,

corresponde a 2/(2 - 1): Los dos términos de la suma se encontrarán (2 - 1)/2 veces por

segundo, cuando x(t) alcanza el valor 2.

Claro, este problema ya lo habíamos resuelto en el quiz anterior: Los dos términos se encontrarán

cada vez que el más rápido haya alcanzado al más lento después de dar una vuelta más. Si decimos,

sin perder generalidad, que 2 > 1, el período entre encuentros T debe satisfacer 2T = 1T + 2,

de manera que T = 2/(2 - 1).

En el caso del reloj, como las velocidades angulares del horario y el minutero son h = 2/12

radianes/hora y m = 2 radianes/hora, respectivamente, la suma vectorial de las manecillas del

reloj se repite cada 2/(m - h) = 12/11 horas.

El siguiente programa en Matlab® les permitirá experimentar con los conceptos de periodicidad

repasados en esta clase.

% Marca las horas a las que el minutero y el horario se encuentran

s = 12*(0:11)/11; % Horas a las que se encuentran

H = exp(-(1j*pi/6)*(s + 9)); % Ubicación de esas horas en el círculo unitario

t=0:(1/900):12; % Toma muestras cada cuatro segundos

h = exp(-(1j*pi/6)*( t + 9)); % Posición del horario

m = exp(-(1j*pi/2)*(4*t + 3)); % Posición del minutero

for i=1:length(t)

clf

plot(h,'k') % Traza el círculo unitario

hold on

plot(H,'ro') % Dibuja los puntos de encuentro

plot(2*[0 real(h(i))]/3,2*[0 imag(h(i))]/3,'b') % Horario

plot([0 real(m(i))],[0 imag(m(i))],'r') % Minutero

drawnow

axis tight

axis equal

end

A la luz de las discusiones planteadas por los cuatro quices anteriores, podemos estudiar las familias

de exponenciales complejas armónicamente relacionadas:


22

0,1,..., 1

( ) , [ ] ,kk

j nj tNT

k k

k k N

t e t n e n

En el caso del tiempo continuo, el período fundamental de la k-ésima exponencial, k(t), es T/k.

Claro, como una señal que se repite cada segundos también se repite cada k segundos para

cualquier kℕ, todas las señales de la familia comparten el período común T. Igualmente, nótese

que para dos valores diferentes k1 y k2, los períodos de las señales correspondientes son diferentes,

T/k1 y T/k2 y, por lo tanto, cada una de las señales de la familia es perfectamente distinguible de

todas las demás.

Figura 52. Cinco elementos de la familia exponencial en tiempo continuo con período 5

En el caso del tiempo discreto, el período fundamental de la k-ésima exponencial, k[n], es

N/gcd(k,N), de manera que las funciones k[n] y kmN[n] son indistinguibles. Por lo tanto, para

evitar fenómenos de alias, en el caso de tiempo discreto la familia de exponenciales complejas

armónicamente relacionadas se reduce a N señales básicas, típicamente correspondiente al rango de

k entre 0 y N-1. De todas maneras, si N/gcd(k,N) es el período fundamental, N es otro período de la

k-ésima señal y, por lo tanto, todas las señales en ese rango comparten un período en común N.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1

tiempo

Am

plit

ud

Im[phik(t)] = sin(2 pi k t / 5)

k=-2

k=-1

k=0

k=1

k=2


Figura 53. Nueve elementos de la familia exponencial en tiempo discreto con período 5. Nótese que k=-2 no se

distingue de k=3, k=-1 no se distingue de k=4, k=0 no se distingue de k=5 y k=1 no se distingue de k=6. Por eso, para

N=5, sólo se usa el rango k{0,1,2,3,4}

Ahora bien, si todas las señales de una familia de exponenciales complejas armónicamente

relacionadas tienen un período en común, cualquier combinación lineal de las mismas será una

señal periódica con el mismo período: 1 22

0

( ) , [ ] ,

Señal periódica en tiempo Señal periódica en tiempo

continuo con período discreto con período

kk N j nj tNT

T k N k

k k

x t a e t x n b e n

T N

Una pregunta interesante por hacerse es si todas las señales periódicas tienen una representación

semejante. La respuesta la estudiaremos con cuidado más adelante, pero podemos decir que, bajo

condiciones muy generales y aceptando diferentes formas de convergencia de señales, todas las

señales periódicas se pueden representar como una combinación lineal de exponenciales complejas

armónicamente relacionadas. También más adelante veremos que lo que hemos conseguido es

expandir el subespacio vectorial de las señales periódicas de período dado en una base ortonormal

particular, la base de las exponenciales complejas armónicamente relacionadas. Esta es una

interpretación fundamental de las señales que iremos introduciendo lentamente en este curso. Por

ejemplo, consideremos un período de la señal en tiempo discreto: 1 2

0

[ ] , 0,1,2,.., 1kN j nN

N k

k

x n b e n N

y escribámoslo como una ecuación matricial,

xN = Wb

donde xN es un vector columna N-dimensional dado por las N muestras de un período de la señal

{xN[n], n{0,1,…,N-1}}, b es un vector columna N-dimensional dado por los coeficientes de la

combinación lineal, y W es la matriz NN con entradas Wnk=ej2kn/N. Esto muestra que la señal en el

tiempo es una combinación de las columnas de W, las cuales forman una base que expande el

-10 -5 0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1

Im(phik[n]) = sin(2 pi k n / 5), k=-2

-10 -5 0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1

Im(phik[n]) = sin(2 pi k n / 5), k=-1

-10 -5 0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1

Im(phik[n]) = sin(2 pi k n / 5), k=0

-10 -5 0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1


-10 -5 0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1


-10 -5 0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1


-10 -5 0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1


-10 -5 0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1


-10 -5 0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1



espacio vectorial de las señales periódicas de período N. Más aún, estas exponenciales complejas

armónicamente relacionadas forman una base ortogonal, como se puede verificar fácilmente

calculando las proyecciones de unas sobre otras: (1/N)WWH = INN (la matriz identidad). Por

ejemplo, todas las señales periódicas en tiempo discreto con período 4 se pueden expresar como

combinaciones lineales de las columnas de la matriz

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

j jW

j j

pues, para cualquier secuencia de números reales {x[0], x[1], x[2], x[3]} existe la correspondiente

secuencia de números complejos b=W-1xN = [b0=(x[0]+x[1]+x[2]+x[3])/4, b1=(x[0]-x[2]-j(x[1]-

x[3]))/4, b2=(x[0]-x[1]+x[2]-x[3])/4, b3=(x[0]-x[2]+j(x[1]-x[3]))/4]T, tal que xN = Wb. Más aún,

nótese que la inversa de W es su transpuesta conjugada, W-1 = WH/4, de manera que (1/4)WWH =

I44. Esto demuestra que los vectores k[n] y m[n] son perpendiculares, pues el producto punto entre

ellos es cero si km y es 4 si k=m (la energía en un período es 4, indicando que la potencia

promedio es 1).

Existe una gran cantidad de bases (ortonormales o no) sobre las cuales podemos expandir sub-

espacios de señales más generales. A continuación veremos algunas de ellas.

Tal vez la señal más simple en tiempo discreto es el impulso unitario:

Figura 54. Definición del impulso unitario en tiempo discreto

Otra señal básica en tiempo discreto es el escalón unitario,

Figura 55. Definición del escalón unitario en tiempo discreto

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo, n

Am

pli

tud

[n]

1 0

0 0

nn

n

-5 0 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo, n

Am

pli

tud

u[n]

1 0

0 0

nu n

n


Entre estas dos señales existe una relación muy interesante:

[n] = u[n] – u[n-1], nℤ

Figura 56. El impulso unitario es la primera diferencia del escalón unitario

Despejando u[n] e iterando sobre n,

0

[ ] [ ] [ 1] [ ] [ 1] [ 2] [ ],k

u n n u n n n u n n k n

Esta última relación nos da, para cada valor particular de n, el valor correspondiente de u[n]. Pero se

puede interpretar también como una expresión de la señal entera {u[n], nℤ} en términos de la

suma de un número infinito de señales {[n-k], nℤ}, k=0,1,2,…, como muestra la siguiente figura.

0

[ ], [ ],k

u n n n k n

Figura 57. El escalón unitario es la suma de impulsos unitarios desplazados k unidades de tiempo, para k=0,1,2,…

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

-0.5

0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

u[n]

-u[n-1]

[n] = u[n]-u[n-1]

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

[n]

[n-1]

[n-2]

[n-3]

[n-4]

u[n]


Podemos expresar la anterior relación entre el escalón y el impulso unitarios de la siguiente manera:

[ ] [ ] [ ],k

u n u k n k n

pues, efectivamente, para valores negativos de k, u[k] es cero y, para valores no negativos de k, u[k]

es uno. Es importante notar nuevamente que, aunque la anterior ecuación se puede referir a la forma

de calcular la n-ésima muestra de u[n], en realidad la variable n recorre todo el rango del tiempo

discreto mientras que la variable k es simplemente un índice que recorre las señales que estamos

combinando y el respectivo coeficiente escalar. Preferiríamos escribirla de la siguiente manera

[ ], [ ] [ ],k

u n n u k n k n

para dejar bien explícito que la señal escalón unitario es una combinación lineal de las señales

impulsos unitarios desplazados (véase la última parte de la clase 5). Es ésta la interpretación que

queremos darle a la suma anterior, que ahora extenderems a cualquier señal en tiempo discreto.

Considérese cualquier señal {x[n], nℤ} y su producto con el impulso unitario, {[n], nℤ}.

Cuando n0, [n] es cero y, por consiguiente, x[n][n] también es cero. Pero, para n=0, [n] es uno

y, por consiguiente, x[n][n] es x[0]. En consecuencia, la señal {x[n][n], nℤ} es idéntica a x[0]

veces la señal {[n], nℤ}:

[ ] [ ], [0] [ ],x n n n x n n

o, en términos escalares,

[ ] [ ] [0] [ ],x n n x n n

De la misma manera podemos extraer cualquier muestra de la señal x[n] si la multiplicamos por un

impulso desplazado, x[n][n-k]: Cuando nk, [n-k] es cero y, por consiguiente, x[n][n-k] también

es cero. Pero, para n=k, [n-k] es uno y, por consiguiente, x[n][n-k] es x[k]. En consecuencia, la

señal {x[n][n-k], nℕ} es idéntica a x[k] veces la señal {[n-k], nℕ}:

[ ] [ ], [ ] [ ],x n n k n x k n k n

La siguiente figura muestra la combinación lineal de todos estos impulsos desplazados,

[ ], [ ] [ ],k

x n n x k n k n


Figura 58. Cualquier señal x[n] se puede representar como combinación lineal de impulsos unitarios desplazados

Recordemos que estamos enfatizando la notación orientada a la visión vectorial. En la mayoría de

textos, estas expresiones se refieren a la manera de calcular la señal x[] en cada instante particular

n:

[ ] [ ] [ ],k

x n x k n k n

Claro, una expansión semejante se puede hacer con base en el escalón unitario:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1] [ ] [ ] [ 1] [ ],k k k k

x n x k n k x k u n k u n k x k u n k x k u n k n

[ ] [ ] [ 1] [ ],k

x n x k x k u n k n

pues, en efecto, para un n dado la suma sólo considera valores de k menores o iguales a n, de

manera que la expansión resulta

[ ] [ ] [ 1] [ ] [ 1] [ 1] [ 2] [ 2] ... [ ]n

k

x n x k x k x n x n x n x n x n x n

Si bien el impulso unitario en tiempo discreto cumple una función teórica fundamental como base

ortogonal para la expansión del espacio vectorial de las señales en tiempo discreto, es importante

notar que también es una señal muy concreta que podemos generar y utilizar fácilmente en el

laboratorio. La contraparte en tiempo continuo, en cambio, tiene aplicaciones puramente teóricas,

pues resulta imposible generarlo en el laboratorio. A continuación definimos el escalón y el impulso

unitarios en tiempo continuo y mencionamos sus propiedades.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x[0][n]

x[1] [n-1]

x[2] [n-2]

x[3] [n-3]

x[4] [n-4]

x[n]

x[-1][n+1]

x[-2][n+2]

x[-3][n+3]


Partiendo del resultado que obtuvimos para el tiempo discreto,

0 0[ ] [ ] [ ] [ 1]

1 0

nu n n u n u n n

n

parece razonable definir sus contrapartes en tiempo continuo así:

0 0( ) ( ) ( )

1 0

t du t t u t t

t dt

aunque dicha definición no está exenta de dificultades. Dado que u(t), el escalón unitario en tiempo

continuo, es constante en todas partes excepto en su punto de discontinuidad t=0, el impulso

unitario en tiempo continuo es cero en todas partes excepto en el punto de discontinuidad.

Formalmente, en ese punto el escalón no es derivable, así que tenemos un problema en la definición

misma. Sin embargo, como de costumbre, lo que queremos hacer es una abstracción matemática

simplificada de alguna realidad compleja: Sabemos que la inercia de los sistemas reales nunca

permite respuestas con cambios que ocurren en instantes infinitesimales (períodos de tiempo de

longitud cero). Por ejemplo, el escalón unitario es una idealización del efecto de un interruptor

como el de la siguiente figura:

Figura 59. Respuestas ideal y real de un interruptor mecánico

Si el interruptor es ideal y la impedancia de entrada del circuito es infinita, el voltaje de entrada se

comportará exactamente como hemos definido el escalón unitario en tiempo continuo y como

aparece en la línea roja punteada de la Figura 59. Pero si el interruptor rebota al accionarse y existen

impedancias considerables a la salida de la fuente y a la entrada del circuito, la situación es más

parecida a la línea azul continua de la Figura 59. Tal vez podamos cambiar el interruptor mecánico

por un sofisticado mecanismo electrónico que produzca el siguiente voltaje a la entrada del circuito

lineal:

Figura 60. Forma ligeramente menos ideal del escalón unitario u(t) y de su derivada, el impulso unitario (t)

En cuyo caso el escalón y el impulso unitarios ideales se podrían definir como

Circuitolineal

+

-

+

u(t)

-

t=0

-0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

tiempo en ms

u(t

)

real

ideal

u(t

)

Tiempo en s

u(t)

tt = 0 t =

0

1

tt = 0 t =

0

1/

( ) ( )d

t u tdt


0 0( ) lim ( ) ( ) lim ( )u t u t t t

El límite de u(t) es muy claro: La duración del período de transición, , se va estrechando,

haciendo que, en el límite, la transición se vuelva instantánea. El límite de (t), en cambio, necesita

un poco más de reflexión. La siguiente figura muestra diferentes (t) para diferentes valores de .

Figura 61. Algunas aproximaciones al impulso unitario en tiempo continuo

Dos propiedades evidentes de la aproximación (t) son las siguientes:

( ) 0, 0, ( ) 1t t t dt

las cuales conducen, en el límite cuando 0, a la definición formal del impulso unitario en tiempo

continuo:

0 0

1

tt

t dt

El intervalo de tiempo en el que el impulso unitario es diferente de cero, {tℝ : (t) 0}, es el

conjunto unitario {0}; Sin embargo, el área debajo de la curva es uno. Claro, esto supone una

amplitud infinita de (0), por lo que el impulso unitario en tiempo continuo se suele representar

como una flecha hacia el infinito, etiquetada con el área debajo de ella, como muestra la siguiente

figura. Si el área debajo de (t) es uno, el área debajo de a(t) es a, tal como ocurre con a(t).

Figura 62. Representación gráfica del impulso unitario en tiempo continuo

0 1/8 1/4 1/2 10

8

4

2

1

t

(t)

1(t)

1/2(t)

1/4(t)

1/8(t)

t=0

(t)

t

1

t=t0

a(t-t0)

t

a

t=0


A semejanza del impulso unitario en tiempo discreto, el impulso unitario en tiempo continuo resulta

muy útil como abstracción teórica para desarrollar modelos muy interesantes de señales. Sin

embargo, a diferencia del impulso unitario en tiempo discreto, el impulso unitario en tiempo

continuo no se puede construir en la realidad. Mientras el primero es una señal muy concreta que

podemos generar y manipular en el laboratorio (esto es, en el computador digital), el segundo es

solamente una idealización teórica de la que no se puede disponer en el laboratorio. Pero,

considerando (t) como el límite de (t), podemos encontrar muchas de sus propiedades. Por

ejemplo, ¿cómo es la señal x(t)(t)? La siguiente figura, basada en aproximaciones (t), nos sugiere

la respuesta: Se trata de un impulso para el cual el área debajo de la curva es x(0):

{x(t)(t), tℝ} = x(0){(t), tℝ}

Figura 63. Construcción para notar que x(t)(t) es igual a x(0)(t)

Claro, la figura anterior también nos permite imaginar el efecto de un desplazamiento en el tiempo:

{x(t)(t-t0), tℝ} = x(t0){(t-t0), tℝ}

que es la misma propiedad de selección que habíamos encontrado para el impulso unitario en

tiempo discreto,

[ ] [ ], [ ] [ ],x n n k n x k n k n

Esta propiedad sugiere la posibilidad de combinar linealmente (en el tiempo continuo) una

secuencia de impulsos unitarios. En efecto, volviendo a la versión no idealizada, nótese que

( ), ( ) ( ),k

x t t x k t k t

como muestra la siguiente figura.

0 1/8 1/4 1/2 1t

x(t)(t)

1(t)

1/2(t)

1/4(t)

1/8(t)

x(t)1

x(t)2

x(t)4

x(t)8

0

8

4

2

1


Figura 64. Construcción para notar que x(t) es una combinación lineal (continua) de impulsos unitarios

A medida que se vaya haciendo más pequeña, la aproximación se va haciendo más exacta hasta

que, en el límite, obtenemos la igualdad:

( ), ( ) ( ),x t t x t t d

en analogía con la representación que habíamos encontrado para las señales en tiempo discreto,

[ ], [ ] [ ],k

x n n x k n k n

Recordemos que estamos enfatizando la notación orientada a la visión vectorial. En la mayoría de

textos, estas expresiones se refieren a la manera de calcular las señales x() ó x[] en cada instante

particular de tiempo:

( ) ( ) ( ) ,x t x t d t

[ ] [ ] [ ],k

x n x k n k n

La transición infinitamente rápida del escalón unitario en tiempo continuo y la duración

infinitesimal del impulso unitario en tiempo continuo son fenómenos que en matemáticas se llaman

"singularidades": Puntos en los que hay discontinuidades, falta de diferenciabilidad o valores

infinitos, los cuales motivan toda un área de las matemáticas denominada "Teoría de la

singularidad". Aunque parecen abstracciones teóricas para nuestra experiencia cotidiana, en el

universo existen puntos de singularidad gravitacional (agujeros negros) o posibles instantes de

singularidad (como el big-bang). Para nuestro propósito "terrenal" del análisis de señales, una

manera pragmática de tratar las singularidades es considerando la aproximación de intervalos de

longitud que se van haciendo cada vez más pequeños. Por ejemplo, considérese la siguiente señal

y su derivada:

t

( )

( ) ( )k

x t

x k t k

( ) ( )x k t k

( )t k

( )t k

1/

x(k)

1

k (k+1)


Figura 65. Señal con discontinuidades y su derivada

En los intervalos en los que x(t) permanece constante la derivada es cero. Igualmente, en los

intervalos en que x(t) crece o decrece a una tasa constante, la derivada toma el valor de la tasa de

crecimiento. Pero lo más interesante es ver qué pasa en los puntos de discontinuidad. Como x(t) está

acumulando el área debajo de la curva de su derivada, dicha derivada debe tener instantes con área

apropiada para justificar el cambio instantáneo del área acumulada. Esto sólo se puede explicar

mediante los impulsos (t-1), -3(t-3) y 2(t-5), que se ubican en los puntos de discontinuidad de

x(t).

Para terminar, y volviendo al tema de la expresión de una señal en bases ortogonales, nótese cómo

se ve una señal periódica de período N en la base ortogonal canónica de los impulsos unitarios y en

la base ortogonal de las exponenciales complejas armónicamente relacionadas: 1

0

12 ( / )

0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ,

[ ] ,

N

k k m

Nj k N n

k

k

x n x k n k x k n k mN n

x n b e n

Más adelante llamaremos "análisis de Fourier" al proceso simple de cambiar entre estas dos bases

para expresar un mismo vector.

t

0 1 2 3 4

0

1

2

-1

-2

-3

x(t)

65

t

0 1 2 3 4

0

1

2

-1

-2

-3

x’(t)

65

1

2

-3


8. Sistemas de procesamiento de señales

Como mencionamos en la tercera clase, las señales son cantidades físicas medibles que existen en

un ambiente particular en el que se generan, se propagan, se almacenan y se transforman. Ese

ambiente que ejerce un proceso transformador en una señal se conoce como sistema. En efecto,

seguramente se trata de un conjunto de dispositivos o un conjunto de procesos que interactúan entre

ellos para formar un todo (un sistema). En esa clase veíamos, a manera de ejemplo, un circuito

formado por una resistencia y un condensador que constituyen un filtro pasabajos de primer orden,

un sistema mecánico formado por un resorte y una masa que forman un oscilador y un automóvil

que se acelera bajo la acción de la fuerza producida por el motor. También mencionamos

brevemente las estructuras generales de un sistema de comunicaciones y de un sistema de control.

Todos ellos son sistemas en los que se puede identificar señales de entrada, señales de salida, y

procesos para generar las segundas a partir de las primeras.

La representación matemática del sistema, entonces, es la de un funcional que acepta como entrada

una de un conjunto de posibles señales de entrada y genera una de un conjunto de posibles señales

de salida:

T:XY

Donde X es el conjunto de las posibles señales de entrada y Y es el conjunto de posibles señales de

salida. Esto es, un sistema es un subconjunto del producto cartesiano XY. Es importante distinguir

entre la función (el modelo matemático de la señal) y el funcional (el modelo matemático del

sistema). Por ejemplo, en tiempo continuo, se podría representar la señal x(t) como una función que

a cada valor de la variable independiente tℝ le asigna un valor de la variable dependiente xℝ.

De la misma manera, un sistema en tiempo continuo se puede representar como un funcional que

asigna una señal de salida {y(t), tℝ} a cada señal de entrada {x(t), tℝ}, como muestra la Figura

66:

Figura 66. Concepto de Señal como función y sistema como funcional

Desafortunadamente, la notación gráfica que se usa típicamente en la literatura para los sistemas es

la que se muestra en la Figura 67, la cual podría conducir a confusiones: No se trata de que, para

cada instante de tiempo t, el valor específico y(t) dependa del valor específico x(t); se trata de que la

señal entera {y(t), tℝ} depende de la señal entera {x(t), tℝ}, de manera que el valor específico

y(t) puede depender de muchos valores {x(), Tℝ}. Como veremos, las posibilidades incluyen

que, para un valor de t0 dado, el valor específico y(t0) sólo dependa de x(t0), en cuyo caso se dice

que el sistema no tiene memoria y la Figura 67 cobraría sentido; o puede ser que y(t0) dependa de

{x(t)ℝ, tℝ}X {y(t)ℝ, tℝ}Y

tℝ xℝ

Señal : Función que

asigna a cada valor de

entrada tℝ un

correspondiente valor de

salida x(t)

Sistema : Funcional que

asigna a cada señal de

entrada {x(t)ℝ, tℝ}

una correspondiente señal

de salida {y(t)ℝ, tℝ}


todos los valores de x en instantes no superiores a t0, {x(t), tt0}, en cuyo caso se dice que el sistema

es causal. Como en la mayoría de la literatura, en el resto de este curso el contexto dirá si la

expresión x(t) se refiere al valor particular de la señal {x(), ℝ} en el instante t, o si se refiere de

manera genérica a toda la señal {x(t), tℝ}. Cuando, por alguna razón, en el segundo caso

necesitemos ser específicos, nos referiremos a la señal completa como {x(t), tℝ} o como {x(t)}t, y

al valor particular como x(t). Y para referirnos a la transformación que hace un sistema en la señal

de entrada {x(t)}t X, para producir una señal de salida {y(t)}t Y, hablaremos de la

transformación {y(t)}t = T({x(t)}t) o, a veces, hablaremos del par entrada/salida ({x(t)}t, {y(t)}t).

Figura 67. Notación típica para un sistema en tiempo continuo. Tiende a hacer perder de vista que se trata de un

funcional y no de una función

Como habíamos clasificado las señales en cuatro tipos según el dominio (el tiempo) fuera continuo

o discreto y según el rango (la amplitud) fuera continuo o discreto, existirían 16 tipos de sistemas

según la clase de señales de entrada que acepte y la clase de señales de salida que genere. Sin

embargo, excepto por el tipo de sistemas que incluyan conversores AD y DA, en este curso

consideraremos sólo dos tipos de sistemas: Sistemas en tiempo continuo (aceptan, procesan y

generan señales en tiempo continuo) y sistemas en tiempo discreto (aceptan, procesan y generan

señales en tiempo discreto), como se muestra en la Figura 68.

Figura 68. Los dos tipos de sistemas que se consideran en este curso

(a excepción de los sistemas con conversores AD y DA)

Nótese que hemos descrito los sistemas mediante la relación que existe entre la señal de entrada y la

señal de salida, con lo cual ignoramos los detalles internos del sistema. En otros contextos puede ser

posible conocer algunos aspectos de la construcción interna del sistema y reconocer que existen

otras señales que describen el estado del sistema en cada instante, de manera que la descripción del

sistema incluye la relación que existe entre la señal de entrada y el estado interno del sistema

(ecuaciones de estado) y la relación que existe entre la señal de salida y las señales de estado interno

y de entrada (ecuaciones de salida). La diferencia entre la descripción de los sistemas en el espacio

de estados y la descripción como relación entrada/salida es una diferencia conceptual: En el primer

caso conocemos la estructura interna del sistema (modelo de "caja blanca") y en el segundo caso la

desconocemos o decidimos ignorarla (modelo de "caja negra"). En este curso enfatizaremos el

modelo de caja negra, aunque en el momento en que hagamos diseño de sistemas de procesamiento

x(t) y(t)

{x(t)ℝ, tℝ}X {y(t)ℝ, tℝ}Y

{x[n]ℝ, nℤ}X {y[n]ℝ, nℤ}Y

Sistema en tiempo

continuo

Sistema en tiempo discreto


de señales deberemos conocer perfectamente bien su estructura interna (¡es nuestro diseño!) y

usaremos modelos de caja blanca (aunque tal vez no seremos explícitos en mencionarlo).

Ahora veremos 6 propiedades particulares de los sistemas en general que nos permitirán

clasificarlos y escoger algunos tipos de sistemas de mayor interés para su análisis detallado:

(1) sistemas con y sin memoria (o dinámicos y estáticos),

(2) sistemas invertibles y no invertibles,

(3) sistemas causales y no causales,

(4) sistemas bibo-estables y bibo-inestables,

(5) sistemas invariantes y variantes en el tiempo y

(6) sistemas lineales y no lineales.

Como las seis propiedades resultan completamente análogas entre sistemas en tiempo discreto y

sistemas en tiempo continuo, usaremos indistintamente uno u otro tipo de señales para la definición

y para los ejemplos. Si usamos el tiempo continuo, el estudiante podrá redefinir los conceptos en el

tiempo discreto y viceversa.

(1) Un sistema carece de memoria (o es un sistema estático) si el valor de la señal de salida en cada

instante sólo depende del valor de la señal de entrada en ese mismo instante. Por ejemplo, en una

resistencia ideal de R ohmios en la que la señal de entrada es el voltaje que se aplica a sus

terminales, x(t), y la señal de salida es la corriente que circula a través de la resistencia, y(t),

tenemos la siguiente relación entre la señal de salida y la señal de entrada:

Figura 69. Ejemplo de un sistema sin memoria

Como el valor instantáneo de la corriente sólo depende del valor del voltaje en ese mismo instante y

no depende de valores pasados (ni futuros) del voltaje, el sistema no tiene memoria (es estático).

Los sistemas sin memoria se pueden modelar como una función y=f(x), no necesariamente como un

funcional {y(t), tℝ}=T({x(t), tℝ}). Claro, como la entrada es una señal, la salida es una función

del tiempo, y(t) = (f x)(t) = f(x(t)), por lo que en realidad se trata de un funcional "degenerado".

En un sistema con memoria, o dinámico, la señal de salida en un instante particular de tiempo

depende de los valores de la entrada (o de salida) en diferentes instantes de tiempo. Es decir, el

sistema debe "recordar" algunos valores anteriores (o futuros!) de la señal de entrada y/o de la señal

de salida. Por ejemplo, en una bobina ideal de L henrios en la que la señal de entrada es el voltaje

que se aplica a sus terminales, {x(t), tℝ}, y la señal de salida es la corriente que circula a través de

la resistencia, {x(t), tℝ}, tenemos la siguiente relación entre la señal de salida y la señal de

entrada:

R

x(t)

y(t)+

-

y(t)=x(t)/R


Figura 70. Ejemplo de un sistema con memoria

Como el valor instantáneo de la corriente no sólo depende del valor del voltaje en ese mismo

instante sino de todos los valores anteriores del voltaje, se dice que el sistema tiene memoria. En un

sistema con memoria se requiere de un dispositivo que almacene información anterior. Por ejemplo,

un condensador recuerda el voltaje infinitesimalmente anterior, una bobina recuerda la corriente

infinitesimalmente anterior y un flip-flop tipo D recuerda el bit de entrada que había en el pulso de

reloj inmediatamente anterior. En efecto, una versión de tiempo discreto de la bobina anterior sería

el de un sistema acumulador:

0

[ ] [ ]k

y n x n k

que parece necesitar una memoria infinita pues para calcular y[n] se necesitan todas las muestras

anteriores de la señal de entrada desde x[-] hasta x[n]. Pero ¿en realidad la bobina almacena toda

la señal de voltaje de entrada en su memoria? No. No hace falta. Por ejemplo, el acumulador sólo

debe almacenar el último acumulado:

0 1 0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [( 1) ] [ ] [ 1]k k k

y n x n k x n x n k x n x n k x n y n

Figura 71. Acumulador: Otro ejemplo de un sistema con memoria

De la misma manera que el acumulador sólo debe recordar la salida inmediatamente anterior, x[n] =

y[n] – y[n-1], la bobina sólo debe recordar la corriente inmediatamente anterior

( ) ( )d

x t L y tdt

A veces un sistema con memoria debe "recordar" el futuro. Por ejemplo, en procesamiento de

imágenes existen procesos en los que el nuevo valor de un pixel particular se determina al

compararlo con los valores de los pixeles vecinos, donde la selección del vecindario (elemento

estructurante) determina el efecto final de la operación. Por ejemplo, la operación

y(i,j) = máx{x(i-1,j), x(i,j), x(i+1,j), x(i,j-1), x(i,j+1)} - mín{x(i-1,j), x(i,j), x(i+1,j), x(i,j-1), x(i,j+1)}

no sólo usa el presente (x(i,j)) sino que tiene memoria del "pasado" (x(i-1,j), x(i,j-1)) y también del

"futuro" (x(i+1,j), x(i,j+1)). Los efectos de dicha operación son muy interesantes: El operador

máximo aplicado al elemento estructurante dilata los círculos blancos; el operador mínimo los

erosiona; la diferencia entre los dos, en consecuencia, detecta los bordes de los círculos (Figura 72).

L

x(t)

y(t)+

-

0

1( ) ( )y t x t d

L

x[n] y[n]

Retardoy[n-1]

+

+


Figura 72. Resultado de un proceso con memoria del pasado y del futuro

La presencia o ausencia de memoria se puede determinar por inspección: Ver si en la expresión que

relaciona la señal de salida en un instante t con la señal de entrada o salida en instantes anteriores.

Por ejemplo, y[n] = x[n] + (n-1) es un sistema sin memoria a pesar del término (n-1), pues dicho

término no implica la necesidad de conocer ningún dato anterior. Otra cosa ocurre con el sistema

y[n] = x[n-1] + (n), pues ahora el término (n-1) sí está indicando la necesidad de recordar el valor de

la señal de entrada en el instante inmediatamente anterior.

(2) Un sistema es invertible si para cada señal de salida se puede identificar unívocamente la señal

de entrada que la generó. Siendo así, podríamos construir (al menos en principio) un sistema

inverso que recupere la señal de entrada a partir de la señal de salida: Si {y(t)}t = T({x(t)}t) es un

sistema invertible, existe un sistema T-1 tal que {x(t)}t = T-1({y(t)}t). Por ejemplo, como acabamos

de ver, el acumulador es invertible y su sistema inverso, el diferenciador, es muy fácil de construir:

Figura 73. El diferenciador es el sistema inverso del acumulador

Efectivamente, si ponemos el acumulador de la figura 61 en serie con el diferenciador de la figura

62, el resultado final será el sistema identidad: La entrada es idéntica a la salida. En cambio, el

sistema de la siguiente figura no es invertible pues diferentes señales de entrada pueden producir la

misma señal de salida.

Figura 74. Sistema no invertible: Diferentes señales de entrada producen la misma señal de salida

Determinar la invertibilidad de un sistema consiste en encontrar el sistema inverso (si el sistema es

invertible) o en demostrar que no existe un sistema inverso (por ejemplo, encontrando dos señales

de entrada que produzcan la misma salida). Por ejemplo, consideremos los siguientes dos sistemas:

{y(t)}tℝ = {x(2t)}tℝ y {y[n]}nℤ = {x[2n]}nℤ. En el primero, el sistema inverso es fácil de

encontrar: x(t) = y(t/2), lo cual nos da exactamente la señal de entrada que originó y(t). En el

Señal de entrada

x:{1,2,…,500} {1,2,…,600} {0,1}

Señal de salida

y(i,j) = máx{x(i-1,j), x(i,j), x(i+1,j), x(i,j-1), x(i,j+1)}

- mín{x(i-1,j), x(i,j), x(i+1,j), x(i,j-1), x(i,j+1)}

y[n]x[n]

Retardox[n-1]

+

-

+

x(t)

+

y(t)


segundo sistema, alguien podría sugerir que el sistema inverso se puede definir similarmente, x[n] =

y[n/2], pero en este caso queda la ambigüedad de qué poner en las muestras impares de x[], pues la

relación es válida sólo para valores pares de n. De hecho, las siguientes dos señales de entrada

producen la misma señal de salida:

Figura 75. El sub-muestreador no es un sistema invertible

(3) Como vimos antes, un sistema con memoria puede "recordar" el futuro, esto es, puede que la

señal de salida en el instante t dependa de valores de las señales de entrada o salida posteriores al

instante t. En ese caso, se trata de un sistema no causal. Pero si, para calcular el valor de la señal de

salida en cualquier instante, sólo hace falta conocer el valor actual y, posiblemente, valores pasados

de las señales de entrada o de salida, entonces se trata de un sistema causal.

Más formalmente, sea ({x1(t), tℝ}, {y1(t), tℝ}) XY cualquier par de señales entrada/salida

de un sistema dado, y sea ({x2(t), tℝ}, {y2(t), tℝ}) XY otro par diferente de señales

entrada/salida del mismo sistema, con la propiedad de que existe un t0 para el cual x1(t) = x2(t)

tt0. El sistema es causal cuando esta condición implica que y1(t) = y2(t) tt0.

Los sistemas en que la variable independiente es realmente el tiempo y que deben trabajar en

tiempo real DEBEN ser causales. La no causalidad es para sistemas en los que la variable

independiente no es el tiempo (como el sistema de procesamiento de imágenes de la Figura 72) o

para los que el procesamiento no se hace en tiempo real. Considere, por ejemplo, el procesamiento

que se hace para mejorar la calidad de audio durante la transferencia de música desde cintas de

audio analógicas hacia formatos digitales: en estas condiciones no habría razón para limitarnos a

usar sistemas causales. Por ejemplo el siguiente sistema causal calcula el promedio de las 11

últimas muestras de la entrada: 10

0

1[ ] [ ],

11 k

y n x n k n

Pero, si pudiésemos usar un sistema no causal, tal vez sería preferible usar el siguiente sistema: 5

5

1'[ ] [ ],

11 k

y n x n k n

Nótese que, en este caso, la única diferencia entre las señales de salida y[n] y y'[n] es que la primera

está retardada 5 unidades de tiempo con respecto a la segunda.

Para determinar la causalidad debemos verificar si la variable de salida en cualquier instante es

independiente de valores futuros de la señal de entrada (o de salida). Por ejemplo, la señal

{y(t) = x(-t), tℝ} podría parecer causal porque, para cualquier t 0, la salida sólo depende de

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n

x1[n]

n

x2[n]

0 1 2 3 4n

y1[n]

0 1 2 3 4n

y2[n]

y[n]=x[2n]

y[n]=x[2n]


muestras anteriores de la entrada. Pero, por la misma razón, para t < 0 la salida depende de valores

futuros de la entrada. En consecuencia, {y(t) = x(-t), tℝ} es una señal no causal.

(4) La estabilidad es un concepto relativamente elaborado en el estudio de sistemas dinámicos. En

particular, si usamos un modelo de espacio de estados para describir el sistema, podemos definir

muchas formas de estabilidad dependiendo de cómo responde el sistema a estados internos iniciales

cuando la entrada es cero (estabilidad uniforme, estabilidad exponencial, estabilidad asintótica,

etc.). En este curso usamos modelo de entrada/salida para describir los sistemas, lo cuales no

consideran explícitamente posibles estados internos del sistema, por lo que dichos conceptos no

aplican directamente. Por eso el caso de estabilidad que consideraremos es el más general posible:

Estabilidad BIBO (Bounded-Input, Bounded-Otuput): Si la señal de entrada es acotada, la señal de

salida también es acotada:

par entrada/salida ( ( ), ( )), tal que , x yx t y t t x M y M

(El término x quiere decir max ( )t

x t

, como se describe en una próxima clase).

El hecho de que no consideremos estados internos del sistema implica que la condición BIBO será

suficiente criterio de estabilidad para nosotros… aunque por dentro algo huela a quemado!

Determinar la estabilidad BIBO de un sistema consiste en encontrar una cota en el valor máximo de

{y(t)}t dada una cota en el valor máximo de {x(t)}t, o demostrar que dicha cota no existe. Por

ejemplo, el acumulador y[n] = x[n] + y[n-1] no es estable porque basta con notar que para x[n]=u[n],

acotada con x 1, la salida es y[n] = n+1, que crece sin límite. Pero si el sistema incluye una

ponderación de las muestras, y[n] = x[n] + (1-)y[n-1], con 0<<1, entonces

0

[ ] (1 ) [ ]k

k

y n x n k

de manera que, si 0 0

, [ ] (1 ) [ ] (1 )k k

k k

x M y n x n k M M

.

(5) Un sistema es invariante en el tiempo si para cualquier par de señales de entrada/salida (x(t),

y(t)) y para cualquier desplazamiento de tiempo t0, las señales (x(t-t0), y(t-t0)) también forman un par

entrada/salida del sistema. Esto es, un desplazamiento en el tiempo de la señal de entrada origina el

mismo desplazamiento en el tiempo de la señal de salida. Fundamentalmente, esta propiedad se

refiere a que los parámetros del sistema no cambian con el tiempo. Si llegamos al laboratorio a las

3:00 pm a hacer un experimento con el regulador zener de la Figura 74, obtendremos los mismos

resultados que obtendríamos si tenemos un retraso y llegamos a las 3:20 pm. Esto se debe a que ni

las características de la resistencia ni las características del diodo cambiarán significativamente en

ese lapso de 20 minutos.

Para determinar si un sistema es invariante en el tiempo, partimos de un par genérico de señales

entrada/salida ({x(t), tℝ}, {y(t), tℝ}) y miramos el respectivo par para la misma entrada

desplazada ({xto(t) = x(t-t0), tℝ}, {yto(t), tℝ}). Si, al comparar las dos salidas, notamos que yto(t)

= y(t-t0) para todo tℝ, sabremos que el sistema es invariante. De otra manera, sabremos que el

sistema es variante. Por ejemplo, en el circuito RC de la Figura 19, supongamos que ({x(t), tℝ},

{y(t), tℝ}) es un par de señales que satisfacen la relación x(t) = y(t) + RC dy(t)/dt tℝ. Si ahora

introducimos {xto(t) = x(t-t0), tℝ}, la salida {yto(t), tℝ} debe satisfacer x(t-t0) = yto(t) + RC

dyto(t)/dt tℝ. Si remplazamos y(t-t0) en vez de yto(t) y hacemos el cambio de variable s = t-t0,


obtenemos la ecuación x(s) = y(s) + RC dy(s)/ds sℝ, ya que dy(t-t0)/dt = dy(s)/ds en s=t-t0. Y,

como ya sabíamos que {y(s), tℝ} satisface esta ecuación, se demuestra que el sistema es

invariante. Sin embargo, si ahora la resistencia cambia con el tiempo de manera que en el instante t

vale R(t) ohmios, la relación original x(t-t0) = yto(t) + R(t)C dyto(t)/dt tℝ} queda x(s) = y(s) +

R(s+t0)C dy(s)/ds al remplazar y(t-t0) en vez de yto(t) y s en vez de t-t0, que no es la relación

satisfecha originalmente por {y(s), tℝ}, pues en ese caso se debía usar el valor de resistencia en el

instante s. El hecho de que los parámetros del sistema cambien con el tiempo hace que el sistema

sea variante.

Como ejemplo adicional, considere nuevamente el sistema {y(t) = x(2t), tℝ}. Si introducimos la

señal {xto(t)=x(t-t0), tℝ} obtenemos {yto(t) = xto(2t) = x(2t – t0), tℝ}. Pero, tℝ,

y(t-t0) = x(2(t-t0)) yto(t), por lo que el sistema no es invariante en el tiempo. La siguiente figura

ilustra este efecto con un ejemplo:

Figura 76. La invarianza en el tiempo no es una propiedad de la escalización en el tiempo

(6) Un sistema lineal satisface la propiedad de superposición según la cual, para cualquier par de

entradas/salidas {y1(t)}t = T({x1(t)}t) y {y2(t)}t = T({x2(t)}t) y cualquier par de escalares y , se

satisface que {y1(t) + y2(t)}t = T({x1(t) + x2(t)}t). A veces esta propiedad se divide en dos:

aditividad (T({x1(t) + x2(t)}t) = T({x1(t)}t) + T({x2(t)}t)), y homogeneidad (T({x1(t)}t) =

T({x1(t)}t)). Aplicando estas propiedades inductivamente, si {xi(t)}tℝ es una secuencia de señales

de entrada y si ai es una secuencia de escalares, el principio de superposición se extiende así:

1 1

( ) ( )i i i i ti it

T a x t a T x t

Esta propiedad tiene importantes consecuencias para los sistemas lineales, las cuales los hacen muy

fáciles de analizar y diseñar. Por ejemplo, nótese que si la entrada es x(t)0 tℝ, la salida tiene

que ser igualmente y(t)0 tℝ. En efecto, para cualquier otra señal diferente de cero, por ejemplo

(t), se tiene que si la multiplicamos por el escalar 0, x(t) = 0(t), la salida también debe ser cero:

{y(t)}t = T(0{(t)}t))= 0T({(t)}t) 0 tℝ.

Para determinar si un sistema es lineal o no, se aplica directamente la definición verificando si se

satisface el principio de superposición. Por ejemplo, el sistema sin memoria {y(t) = x(t) + 1, tℝ}

es, obviamente, no lineal porque cuando la entrada es idénticamente cero la salida no es

idénticamente cero. Pero podemos hacer la verificación desde la definición: si introducimos

0 1 20

1

0 1 20

1

3

3

x(t)

t

x’(t)=x(t-1)

t

y(t)=x(2t)

y(t)=x(2t)

0 1 20

1

3

y(t), y(t-1)

t

0 1 20

1

3

y’(t), y(t-1)

t


{ax1(t) + bx2(t), tℝ} a la entrada, obtenemos a la salida {y(t) = ax1(t) + bx2(t) + 1, tℝ}. Sin

embargo, la combinación lineal de las salidas individuales es {a(x1(t) + 1) + b(x2(t) + 1) = y(t) + a +

b – 1, tℝ}.

Una clase muy importante de sistemas son los lineales e invariantes en el tiempo. Aunque no son

muy comunes en la naturaleza, se facilita tanto su análisis y es tan extensa su teoría que resulta de

suma importancia estudiarlos con gran cuidado. Por un lado, si el sistema ya está dado, podrían

llegar a encontrarse aproximaciones lineales, válidas al menos en contextos restringidos de

operación del sistema. Pero si el sistema debe ser diseñado y construido por nosotros mismos, las

enormes ventajas que traen la linealidad y la invarianza hacen que valga la pena intentar dotar al

sistema de estas características cuando sea posible. En efecto, existen poderosas herramientas

teóricas para el análisis y la síntesis de este tipo de sistemas, ya que las dos propiedades hacen que

estos sistemas se caractericen por una única señal: su respuesta al impulso. De alguna manera, el

análisis y la síntesis de sistemas lineales e invariantes se reducen al análisis y el diseño de la señal

de respuesta al impulso.


9. Respuesta al impulso y convolución

Hemos visto que, dado un conjunto de señales linealmente independientes en tiempo discreto

{k[n], nℤ}, sus combinaciones lineales forman un sub-espacio vectorial de señales en tiempo

discreto, : tales que [ ] [ ],k k

k K

V x x n a n n

, por lo que decimos que {k[n],

nℤ} forman una base para el sub-espacio vectorial V. En tiempo continuo podemos tener bases

con un número contable de vectores, : tales que ( ) ( ),k k

k K

V x x t a t t

, o bases

con un número incontable de vectores, : tales que ( ) ( ) ( ) ,V x x t a t d t

.

Algunas bases pueden expandir el espacio de todas las señales en tiempo discreto o todas las señales

en tiempo continuo. Por ejemplo, los escalones unitarios:

[ ], [ ],[ ] [ 1]

k

k k

x n n a u n k na x k x k

( ), ( ) ( ),( ) '( )

x t t a u t t da x

La base canónica para estos espacios vectoriales es la de los impulsos desplazados, pues los

coeficientes de las combinaciones lineales de las bases resultan ser las mismas muestras de la señal,

[ ], [ ] [ ],k

x n n x k n k n

( ), ( ) ( ),x t t x t t d

Nótese que la notación anterior enfatiza la naturaleza vectorial de la operación pues, si escribimos

las señales como vectores en un espacio de Hilbert, obtenemos k k

k

x a

, que es la misma

expresión anterior. Sin embargo, desde un punto de vista escalar, la misma expresión puede ser

usada para extraer el valor particular de la señal en cualquier instante de tiempo:

[ ] [ ] [ ],k

x n x k n k n

( ) ( ) ( ) ,x t x t d t

Posteriormente, en la clase 8 vimos un tipo particular de sistemas de procesamiento de señales: Los

sistemas lineales e invariantes en el tiempo. La primera propiedad, la linealidad, implica que la

respuesta a una combinación lineal de señales es la respectiva combinación lineal de las respuestas

a las señales individuales. Así pues, si T{} es una transformación lineal que a la entrada x responde

con la salida y, tendríamos que

[ ], [ ], [ ] [ ],

( ), ( ), ( ) ( ),

k

y n n T x n n x k T n k n

y t t T x t t x T t t d

Llamemos {hk[n], nℤ} a la respuesta del sistema en tiempo discreto cuando a su entrada se aplica

un impulso unitario ubicado en el instante n=k (ó llamemos {h(t), tℝ} a la respuesta del sistema


en tiempo continuo cuando a su entrada se aplica un impulso unitario ubicado en el instante t=),

como muestra la siguiente figura:

Figura 77. Respuesta al impulso desplazado

De acuerdo con esto, las anteriores expresiones toman las siguientes formas desde las perspectivas

vectorial (izquierda) y escalar (derecha):

[ ], [ ] [ ],

( ), ( ) ( ),

k

k

y n n x k h n n

y t t x h t t d

[ ] [ ] [ ] ,

( ) ( ) ( ) ,

k

k

y n x k h n n

y t x h t d t

Esto es, la señal de salida es la respectiva combinación lineal de las respuestas a los impulsos

desplazados que generan la señal de entrada. Considérese, por ejemplo, el caso en tiempo discreto

de la siguiente figura. En las primeras tres líneas se muestra la respuesta a los impulsos unitarios en

los instantes n=0, n=1 y n=2, que son h0[n], h1[n] y h2[n], respectivamente. La última línea muestra

una entrada expresada como combinación lineal de estos impulsos, de manera que la salida es la

misma combinación lineal de las respectivas respuestas a los impulsos.

Figura 78. En un sistema lineal, la salida es la combinación lineal de las respuestas a los impulsos que forman la señal

de entrada

{(t-), tℝ} {h(t), tℝ}

{[n-k], nℤ} {hk[n], nℤ}

Sistema en tiempo

continuo

Sistema en tiempo discreto

t=

(t-)

t

1

t=0 t=

h(t)

tt=0

kn

[n-k]

kn

hk[n]

0n

[n] h0[n]

1

0n

1

1 2

1n

[n-1] h1[n]

1

n

1

2n

[n-2] h2[n]

1

0n

1

n

x[n] = 2[n] + [n-1] - [n-2]

2

0n

3

1 2

y[n] = 2h0[n] + h1[n] – h2[n]

1/2

-1/40

1/2

-1/4

1

-10

21

3 4


Estas expresiones toman una forma especial cuando el sistema, además de lineal, es invariante en el

tiempo. En efecto, en este caso la respuesta al impulso desplazado es la respuesta desplazada al

impulso. Esto es, si {h[n], nℤ} (ó {h(t), tℝ} en tiempo continuo) es la respuesta al impulso

{[n], nℤ} (ó al impulso {(t), tℝ} en tiempo continuo), entonces la respuesta al impulso

desplazado {[n-k], nℤ} (ó {(t-), tℝ}) es, simplemente, {h[n-k], nℤ} (ó {h(t-), tℝ}). De

acuerdo con esta propiedad, las expresiones anteriores toman una forma que será fundamental en

este curso:

[ ], [ ] [ ],

( ), ( ) ( ),

k

y n n x k h n k n

y t t x h t t d

[ ] [ ] [ ] ,

( ) ( ) ( ) ,

k

y n x k h n k n

y t x h t d t

Las anteriores expresiones, que relacionan la señal de salida de un sistema lineal e invariante en el

tiempo (sistema LTI –Linear Time-Invariant–) con su respuesta al impulso y con la señal de

entrada, se conocen como "suma de convolución" en el caso de tiempo discreto o "integral de

convolución" en el caso del tiempo continuo. Nuevamente, las expresiones de la izquierda enfatizan

la interpretación vectorial de la convolución, mientras las expresiones de la derecha se refieren a la

manera de calcular una muestra particular (escalar) de la señal de salida. La convolución implica

que, para conocer cómo responde un sistema LTI a cualquier señal de entrada, es suficiente con

conocer cómo responde al impulso unitario. Esto es, para caracterizar por completo a un sistema

LTI (en nuestros modelos Entrada/Salida), es suficiente con conocer su respuesta al impulso. La

siguiente figura reproduce la figura anterior en el caso en que el sistema lineal también sea

invariante en el tiempo, esto es, en el caso en que hk[n]=h0[n-k].

Figura 79. En un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), la salida es la combinación lineal de los

desplazamientos de la respuesta al impulso, de acuerdo con una interpretacióon vectorial

0n

[n] h0[n]=h[n]

1

0n

1

1 2

1n

[n-1] h1[n]=h[n-1]

1

n

2n

[n-2] h2[n]=h[n-2]

1

n

n

x[n] = 2[n] + [n-1] - [n-2]

2

0n

3

1 2

y[n] = 2h[n] + h[n-1] – h[n-2]

1

-10

2

-13

1 2 3

2 43


Nótese que las dos figuras anteriores se refieren al concepto vectorial: la salida es la combinación

lineal de las respuestas a los impulsos desplazados, para lo cual graficamos todas las funciones

involucradas como función del tiempo n. Si consideramos el concepto escalar, deberíamos mirar

cada instante particular de tiempo, n=n0, para lo cual graficaríamos x[k] y h[n0-k] como funciones de

k, generaríamos el producto g[k]=x[k]h[n0-k] (muestra por muestra como función de k), y

sumaríamos para todos los valores de k, con lo que habríamos calculado la señal de salida en el

instante n0, y[n0]. Este proceso lo repetimos para cada instante n0 en que nos interese evaluar la

señal de salida, como muestra la Figura 80. En ella se considera una señal de entrada

{x[n]=(3-|n|)(u[n+3]-u[n-3]), nℤ} y una respuesta al impulso {h[n]=(3-n)(u[n]-u[n-3]), nℤ}.

Estas señales se grafican, como función de k, en la primera fila de la figura. En las siguientes nueve

filas graficamos cada paso del proceso mencionado anteriormente para valores específicos de n=-3,

-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

Figura 80. Otra interpretación algorítmica de la suma de convolución, de acuerdo con una interpretación escalar

Para comparar las dos interpretaciones, en la Figura 81 se repite el mismo cálculo de la Figura 80,

pero de acuerdo con la interpretación vectorial: Primero se descompone la señal de entrada

{x[n]=(3-|n|)(u[n+3]-u[n-3]), nℤ} en cinco impulsos unitarios, x[k]{[n-k], nℤ}, k=-2,-1,0,1,2.

Luego, para cada impulso, se construye la respectiva señal de salida x[k]{h[n-k], nℤ}, k=-2,-

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[k]

h[-3-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[k].*h[-3-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[k]

h[-2-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[k].*h[-2-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[k]

h[-1-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[k].*h[-1-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[k]

h[0-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[k].*h[0-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[k]

h[1-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[k].*h[1-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[k]

h[2-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[k].*h[2-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[k]

h[3-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[k].*h[3-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[k]

h[4-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[k].*h[4-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[k]

h[5-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[k].*h[5-k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

1

2

3

x[k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

1

2

3

h[k]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

15

y[n]

y[n]=0, n<-2

y[n]=0, n>4

y[-2]=1*3=3

y[-1]=1*2 + 2*3 = 8

y[0]=1*1 + 2*2 + 3*3 = 14

y[1]=2*1 + 3*2 + 2*3 = 14

y[2]=3*1 + 2*2 + 1*3 = 10

y[3]=2*1 + 1*2 = 4

y[4]=1*1 = 1


1,0,1,2. Finalmente, se superponen todas estas respuestas parciales para formar así la señal de

salida, 2

2

[ ], [ ] [ ],k

y n n x k h n k n

. Una diferencia fundamental entre la Figura 80 y la

Figura 81 es que en la primera el eje horizontal corresponde a la variable k, que recorre los

coeficientes de la combinación lineal, y en la segunda el eje horizontal es la verdadera variable

tiempo, n.

Figura 81. Determinación de la señal de salida en el ejemplo de la Figura 80 mediante la interpretación vectorial de la

convolución

La interpretación vectorial es imposible de considerar en el tiempo continuo, pues la combinación

lineal se hace sobre desplazamientos infinitesimales del impulso unitario a la entrada o de la

respuesta al impulso unitario a la salida. Sin embargo, la interpretación escalar facilita la

comprensión de la integral de convolución. Sea, por ejemplo, un sistema lineal e invariante en el

tiempo cuya respuesta al impulso es un escalón de amplitud uno y duración uno, h(t) = u(t) – u(t–1),

tℝ. ¿Cómo es la señal de salida si introducimos el mismo escalón a la entrada, x(t) = h(t), tℝ? La

respuesta es simple: la salida está dada por la integral de convolución,

( ) ( ) ( ) ,y t x h t d t

. Para calcular el valor de y(t) en un instante particular t0, hacemos

exactamente lo que la integral de convolución propone: consideramos x() y h(t0-) como funciones

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[-3]*d[n+3]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[-3]*h[n+3]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[-2]*d[n+2]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[-2]*h[n+2]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[-1]*d[n+1]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[-1]*h[n+1]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[0]*d[n]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[0]*h[n]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[1]*d[n-1]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[1]*h[n-1]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[2]*d[n-2]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[2]*h[n-2]

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

x[3]*d[n-3]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

x[3]*h[n-3]

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

y[n]


de , multiplicamos las dos señales en cada valor de , e integramos el producto a lo largo de , para

obtener el valor de la señal de salida en ese instante, y(t0). Repitiendo para cada valor de t0,

calculamos y(t) en todo el rango de interés, como muestra la Figura 82. La salida del sistema es la

siguiente señal:

0 0

0 1( ) ,

2 1 2

0 2

t

t ty t t

t t

t

Figura 82. Interpretación algorítmica de la integral de convolución

Quiz 1. Calcule la salida del sistema LTI con respuesta al impulso h(t)=u(t) cuando a la entrada se

aplica la señal x(t) = e-tu(t). Para calcular la respectiva integral de convolución en un instante

particular t0, consideramos las dos señales x() y h(t0-), multiplicamos las dos señales en cada valor

de , e integramos a lo largo de , para obtener el valor de la señal de salida en el instante t0, y(t0),

como muestra la Figura 83. Para valores de t inferiores o iguales a cero, las curvas no se

superponen, por los que la integral da cero. Para otros valores de t, la integral se limita al intervalo

(0,t].

Figura 83. Solución del primer quiz de esta clase

x()h(t-)

10tt-1

( ) ( ) ( ) 0 0 si 0y t x h t d d t

x()h(t-)

10 tt-1

0( ) ( ) ( ) si 0 1

t

y t x h t d d t t

x() h(t-)

10 tt-11

1( ) ( ) ( ) 2 si 1 2

ty t x h t d d t t

x() h(t-)

10 tt-1

( ) ( ) ( ) 0 0 si 2y t x h t d d t

y(t)

t0 1 2

h(t)

t0 1

x(t)

t0 1

0

x()

h(t-)

0

0 0

( ) 11 0

tt

t

y te d e t

t

0t

0

1

0

1/

y(t)


Quiz 2. Hallar la salida del sistema LTI con respuesta al impulso h[n]=u[n] cuando x[n]=anu[n] con

0<a<1.

Quiz 3. Hallar la salida del sistema LTI con respuesta al impulso h(t)=t[u(t)-u(t-2T)] cuando

x(t)=u(t)-u(t-T).

Quiz 4. Hallar la salida de un sistema LTI al escalón unitario.


10. Propiedades de la convolución. Clases de sistemas LTI

Es muy fácil verificar ciertas propiedades claves de la suma (o la integral) de convolución, a la que

denotaremos mediante la operación binaria *, donde los dos elementos en que opera son señales: la

señal de entrada al sistema y la respuesta al impulso del sistema.

1. La convolución es conmutativa:

[ ] [ ] [ ] [ ]

* *

( ) ( ) ( ) ( )

k m m n k

s t

x k h n k h m x n m

x h h x

x h t d h s x t s ds

Figura 84. La convolución es conmutativa

2. La convolución es distributiva

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 2

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]*( ) * *

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k k k

x k h n k h n k x k h n k x k h n kx h h x h x h

x h t h t d x h t d x h t d

Figura 85. La convolución es distributiva

3. La convolución es asociativa

2 1 2 1

1 2 1 2

2 1 2 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( * )* *( * )

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]m k k m

h x h t d d x h h t d d

x h h x h h

h m x k h n m k x k h m h n m k

Figura 86. La convolución es asociativa

Estás tres propiedades surgen, simplemente, porque los sistemas lineales e invariantes en el tiempo

constituyen una transformación lineal en el espacio vectorial de las señales. Por ejemplo, considere

el sistema LTI en tiempo discreto representado en la Figura 80 y en la Figura 81, 2

2

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ], 2, 4k k

y n x k h n k x k h n k n

Si escribimos la anterior expresión para cada valor individual de n, obtenemos el siguiente sistema

de ecuaciones lineales:

x h y h x y

x h1+h2 y x

h1

h2

y+

x h1 x h1*h2 yh2 y


[ 2] [0] 0 0 0 0

[ 1] [1] [0] 0 0 0 [ 2]

[0] [2] [1] [0] 0 0 [ 1]

[1] 0 [2] [1] [0] 0 [0]

[2] 0 0 [2] [1] [0] [1]

[3] 0 0 0 [2] [1] [2]

[4] 0 0 0 0 [2]

y h

y h h x

y h h h x

y h h h x

y h h h x

y h h x

y h

Se trata exactamente de una transformación lineal representada por una matriz. En la base canónica

de los impulsos unitarios desplazados, las columnas de la matriz corresponden a los

desplazamientos de la respuesta al impulso. En general, aunque la respuesta al impulso sea una

señal de duración infinita y aunque la señal de entrada sea una señal de duración infinita, la

representación matricial sigue siendo válida:

[ ], [ ] [ ],k

y n n x k h n k n y Hx

Con un esfuerzo de la imaginación, esta visión de los sistemas LTI como transformaciones lineales

se puede extender a los sistemas en tiempo continuo.

Esta observación trae consigo muchas consecuencias interesantes. Por lo pronto, notemos

simplemente que no cualquier señal se puede obtener de un sistema LTI sino solamente aquellas

señales que sean combinaciones lineales de los desplazamientos de su respuesta al impulso. Esto es,

cada sistema LTI genera un subespacio vectorial particular, VH. Un problema típico en

procesamiento digital de señales es el de determinar cuál sería la señal de entrada que haría que un

sistema lineal genere una señal particular. Si la señal que se quiere generar pertenece al subespacio

vectorial expandido por la respuesta al impulso del sistema, el problema tendrá al menos una

solución. De otra manera, el problema no tiene solución y deberemos buscar la mejor aproximación

de acuerdo con algún criterio particular. Por ejemplo, para minimizar el error cuadrado promedio

entre la señal deseada y la señal generada por el sistema LTI, deberemos proyectar la señal deseada

perpendicularmente sobre el espacio VH para encontrar la señal de entrada que mejor la aproxima.

En estos casos, el principio de ortogonalidad que veremos más adelante

, 0 Ny Hx Hz z conduce al planteamiento de las ecuaciones normales:

0 0 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

, , , ,[0]

, , , ,[1]

, , , ,[ 1]

N

N

N N N N N

h h h h h h y hx

h h h h h h y hx

h h h h h h y hx N

donde 1 1

0 0

, [ ] [ ], , [ ] [ ]N N

i j j

n n

h h h n i h n j y h y n h n j


De otro lado, cuando decimos que conociendo la respuesta al impulso de un sistema LTI conocemos

su respuesta a cualquier otra entrada gracias a la convolución, queremos decir que la respuesta al

impulso nos dice todo lo que necesitamos saber de un sistema LTI. En efecto, todas las propiedades

que vimos para los sistemas en general, dependen exclusivamente de la respuesta al impulso cuando

se trata de sistemas LTI, como se muestra a continuación.

Sistema estático o dinámico: Un sistema LTI en tiempo discreto es estático si y sólo si h[n]=0

n0. En efecto, en ese caso {y[n] = h[0]x[n], nℤ}, que es la única manera en que un sistema LTI

en tiempo discreto pueda exhibir falta de memoria pues, si algún valor h[k] es diferente de cero para

k diferente de cero, la salida en el instante n dependerá de la entrada en el instante n-k mediante el

término aditivo h[k]x[n-k]. En tiempo continuo, la respuesta al impulso de un sistema LTI estático

debe ser otro impulso en el mismo instante, {h(t) = h0(t), tℝ}, pues ésta es la única manera de

que la salida en el instante t sólo dependa de la entrada en el mismo instante,

0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x h t d h x t d h x t

.

Sistema causal o no-causal: Si queremos que en la expresión [ ] [ ] [ ]k

y n h k x n k

no

participen valores futuros de x[], es necesario y suficiente tener h[n]=0 n<0. En efecto, en este

caso la suma de convolución, 0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n

k k

y n h k x n k h n k x k

, sólo incluye valores

pasados y presentes de la señal de entrada. De la misma manera, para que un sistema LTI en tiempo

continuo sea causal es necesario y suficiente tener h(t)=0 t<0, pues entonces la integral de

convolución ( ) ( ) ( )t

y t x h t d

. sólo incluye valores pasados y presentes de la señal de

entrada. Por extensión, a las señales que cumplen esta propiedad se les denomina "señales

causales", aunque la causalidad sea una propiedad de los sistemas, no de las señales.

Sistema BIBO-estable o BIBO-inestable: Si la entrada es acotada, [ ] xx n M n , la salida

acotada requiere [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]x

k k k k

y n x k h n k x k h n k M h k h k n

, de

manera que si la respuesta al impulso es absolutamente sumable, se puede garantizar la estabilidad

BIBO del sistema LTI. Sin embargo, esta condición no sólo es suficiente sino también necesaria:

Sea x[n]=signo(h[-n]), acotada mediante |x[n]|1. Entonces y[0] = k|h(-k)|, lo cual hace que la

condición propuesta sea también necesaria. De igual manera, un sistema LTI en tiempo continuo es

BIBO-estable si y sólo si ( )h t dt

.

Sistema invertible o no-invertible: Un sistema LTI con respuesta al impulso h es invertible si

existe otro sistema h-1 tal que h*h-1 = . En este caso, de acuerdo con la asociatividad de la

convolución, si y=x*h, x=y*h-1. Evidentemente, la existencia de un h-1 tal que h*h-1 = es una

propiedad de la respuesta al impulso h.


Quiz: Considérese el siguiente sistema no lineal: 2 2[ ] [ ] [ 1]y n x n x n . ¿Cuál es la respuesta al

impulso? ¿Cómo responde a una señal de entrada que vale 2 cuando n=0, vale 1 cuando n=1 y vale

0 para cualquier otro instante n? ¿Cuál sería la correspondiente respuesta de un sistema LTI con la

misma respuesta al impulso? Concluya sobre cuánta información ofrece la respuesta al impulso para

sistemas lineales y no lineales.

Nótese que la respuesta al impulso de un sistema LTI causal en tiempo discreto puede durar un

tiempo finito o infinito. Si la respuesta al impulso es finita (FIR –Finite Impulse Response-), esto

es, si Mℕ: h[n]0 nM, la suma de convolución ofrece una forma directa de implementación

del sistema:

Figura 87. La suma de convolución es una manera directa de implementar un sistema FIR

En esta estructura, los términos de la respuesta al impulso se usan como coeficientes para ponderar

M muestras de la señal de entrada, por lo que a los sistemas así implementados se les denomina de

"promedios móviles" (MA –Moving Average-).

Sin embargo, en sistemas con respuesta infinita al impulso (IIR –Infinite Impulse Response-), la

suma de convolución no podría ser un algoritmo de implementación válido porque se necesitaría un

número infinito de términos en la "escalera" de la figura anterior. Por esta razón, no es posible

implementar cualquier respuesta IIR arbitraria, aunque muchas respuestas al impulso se pueden

implementar indirectamente mediante estructuras recursivas. En estas estructuras recursivas la

respuesta al impulso no está explícitamente definida, pero sí se representa de manera implícita a

través de los coeficientes de la recursión. Por ejemplo, el acumulador

0

[ ] [ ] [ ]n

k k

y n x k x n k

tiene una respuesta al impulso infinita, h[n]=u[n], lo cual imposibilita su implementación

directamente mediante la suma de convolución, esto es, mediante una estructura MA. Sin embargo,

no es necesario considerar una memoria infinita, pues el mismo sistema se puede expresar

recursivamente:

0 1 0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [( 1) ] [ ] [ 1]k k k

y n x n k x n x n k x n x n k x n y n

1

0

[ ] [ ] [ ]M

k

y n h k x n k

[ ]x n

Retardo

Retardo

Retardo

Retardo

+

+

+

[ 1]x n

[ 2]x n

[ 1]x n M

[0]h

[1]h

[2]h

[ 1]h M


Figura 88. Algunos sistemas IIR, como el acumulador, se pueden implementar recursivamente

Generalizando el ejemplo anterior, un sistema recursivo puede ponderar de diferentes maneras cada

uno de los términos de la recursión, 1

0

[ ] [ ]N

k

k

a y n k x n

Bajo la suposición de que a0=1, con la cual no se pierde generalidad, dicho sistema recursivo se

puede implementar así:

Figura 89. Forma general de un sistema puramente recursivo

En este caso, como la salida se calcula a través de muestras anteriores de la misma salida que se

realimentan a la entrada, esta estructura se conoce como Auto-Regresiva (AR –autoregressive-).

Aunque la respuesta al impulso no está explícitamente descrita, como en el caso de los sistemas MA

donde la respuesta FIR está en los coeficientes, es fácil calcularla mediante la relación 1

0

[ ] [ ]N

k

k

a h n k n

La forma más general que toma un sistema LTI causal en tiempo discreto que se pueda implementar

es la de una Ecuación Lineal de Diferencias con Coeficientes Constantes: 1 1

0 0

[ ] [ ]N M

k k

k k

a y n k b x n k

Suponiendo, sin perder generalidad, que a0=1, la forma anterior sugiere una forma directa de

implementación:

[ ] [ ] [ 1]y n x n y n [ ]x n

Retardo

[ 1]y n

+

1

1

[ ] [ ] [ ]N

k

k

y n x n a y n k

[ ]x n

Retardo

Retardo

Retardo

Retardo

+

+

+

[ 1]y n

[ 2]y n

[ 1]y n M

1a

2a

1Na


Figura 90. Forma general de un sistema IIR

En el sistema anterior simplemente pusimos en serie un sistema AR después de un sistema MA, por

lo que este tipo de sistemas se conoce como sistema ARMA (Auto-Regressive, Moving-Average).

En este caso, los coeficientes de la parte MA ya no son la respuesta al impulso, pues ahora se trata

de un sistema IIR.

Nótese que, en tiempo discreto, la suma de convolución es un algoritmo directo de implementación

de los sistemas FIR. Esto no ocurre con sistemas en tiempo continuo, pues en ellos la misma

respuesta al impulso casi nunca se describe de manera explícita. De hecho, generalmente se

expresan las tasas de cambio de algunas variables en términos de los valores actuales de las mismas

variables. Por ejemplo, recordemos el circuito RC y la masa sometida a fuerzas de empuje y de

fricción que se mostraron en la Figura 19, los cuales se modelaban mediante el mismo sistema

lineal de primer orden mostrado en la Figura 20. Ese tipo de expresiones son típicos al describir

sistemas naturales en tiempo continuo. Por ejemplo, si una población de individuos de alguna

especie, y(t), crece según una tasa de natalidad por individuo, a>0, y decrece según una tasa de

mortalidad por individuo, b>0, podríamos escribir

( ) ( ) ( ) ( )a b

dy t ay t by t y t

dt

Si, además, hay un flujo neto de inmigración o emigración con respecto al ecosistema que se esté

considerando, x(t), el sistema se modificaría así:

( ) ( ) ( )d

y t y t x tdt

que es, fundamentalmente, el mismo sistema lineal de primer orden:

Figura 91. Modelo simple de crecimiento poblacional. Es un sistema LTI, pero la respuesta al impulso, h(t)=et, no

aparece explícitamente en la descripción del sistema

Nótese que otro diagrama de bloques para el mismo sistema, que implementa más directamente el

anterior modelo, incluiría la evaluación de la derivada, como se muestra en la siguiente figura. Sin

embargo, se suele preferir utilizar integradores para hacer los sistemas más inmunes al ruido, como

se muestra a continuación.

1 1

0 1

[ ] [ ] [ ]M N

k k

k k

y n b x n k a y n k

[ ]x n

Retardo

Retardo

Retardo

Retardo

+

+

+

[ 1]x n

[ 2]x n

[ 1]x n M

0b

1b

2b

1Mb

Retardo

Retardo

Retardo

Retardo

+

+

+

[ 1]y n

[ 2]y n

[ 1]y n N

1a

2a

1Na

x(t) y(t)

+

+


Figura 92. El mismo modelo de crecimiento poblacional, pero usando un diferenciados. Esta implementación no es

común por su sensibilidad al ruido

Figura 93. Derivar es una operación mucho más sensible al ruido que integrar

En general, una forma típica en que se representan los sistemas en tiempo continuo es mediante

relaciones puramente autoregresivas, ( )1

( )0

( ) ( )kN

k kk

dx t a y t

dt

, que se pueden implementar mediante

diferenciadores así,

Figura 94. Sistema lineal, invariante en el tiempo y causal en tiempo continuo

aunque se prefiera el uso de integradores, así:

x(t) y(t)

d/dt

1/-

+

0 2 4 6-1

0

1

0 2 4 6-1

0

1

0 2 4 6-1

0

1

0 2 4 6-1

0

1

0 2 4 6-1

0

1

0 2 4 6

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6-1

0

1

0 2 4 6-5

0

5

d

dt

d

dt

-1

( )x t+

+

+

1 0/a a

2 0/a a

1 0/Na a

d/dt

d/dt

d/dt

d/dt

( )d

y tdt

2

2( )

dy t

dt

1

1( )

N

N

dy t

dt

( )y t01/ a


Figura 95. El mismo sistema lineal, invariante en el tiempo y causal en tiempo continuo de la figura anterior

Generalizando, una clase importante de sistemas LTI en tiempo continuo obedecen a una Ecuación

Lineal Diferencial con Coeficientes Constantes,

( ) ( )1 1

( ) ( )0 0

( ) ( )k kN M

k kk kk k

d da y t b x t

dt dt

Que se podría implementar, al menos teóricamente, como se muestra a continuación:

Figura 96. Forma general de un sistema lineal, invariante en el tiempo y causal en tiempo continuo descrito mediante

una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes

x(t) y(t)+

+

+++

11/ Na

0 1/ Na a 1 1/ Na a 3 1/N Na a 2 1/N Na a

1 1

0 1

( ) ( ) ( )k kM N

k kk kk k

d dy t b x t a y t

dt dt

( )x t

d/dt

d/dt

d/dt

d/dt

+

+

+

( )d

x tdt

0b

1b

2b

1Mb

+

+

+

1a

2a

1Na

2

2( )

dx t

dt

1

1( )

M

M

dx t

dt

d/dt

d/dt

d/dt

d/dt

( )d

y tdt

2

2( )

dy t

dt

1

1( )

N

N

dy t

dt

1. el papel de este curso en el programa curricular de...

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