1. introducción. definición de señales y...

Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas y DSP I - Marco A. Alzate 1

1. Introducción. Definición de señales y sistemas

1.1 El papel de este curso en el programa curricular de ingeniería electrónica

Quienes toman este curso (en la Universidad Distrital) inician su sexto semestre de ingeniería

electrónica, por lo que merecen una gran felicitación pues acaban de superar la primera mitad de su

carrera (que, en la Universidad Distrital, toma 10 semestres). Sin embargo, suele ocurrir que,

cuando se les pregunta ¿qué es la ingeniería electrónica?, casi nadie ofrece una definición precisa y

clara de la profesión que escogió estudiar, a pesar de estar en un estado tan avanzado de sus

estudios. Aun así, si se recogen varios de los elementos que los estudiantes aportan tentativa y

tímidamente, se puede ir construyendo una aproximación a la definición de la ingeniería electrónica

que, al final, suele ser parecida a la siguiente:

La ingeniería electrónica es una profesión (esto es, un conjunto de conocimientos,

habilidades y formas de enfrentar un tipo particular de problemas con el propósito de

facilitar la vida de las personas) que aplica los principios físicos del electromagnetismo

y la mecánica cuántica para el diseño, construcción, operación y mantenimiento de

estructuras, máquinas, aparatos y procesos, de manera que se conozca su

comportamiento bajo condiciones de operación específicas, con niveles de seguridad

específicos y con costos mínimos. Hasta aquí, no se diferencia de la ingeniería eléctrica.

Sin embargo, mientras la ingeniería eléctrica utiliza estos principios con el propósito de

generar, convertir, distribuir y controlar energía, el ingeniero electrónico los utiliza con

el propósito de capturar, almacenar, transmitir y procesar información.

Una pregunta que los estudiantes sí responden con mayor entusiasmo y claridad es ¿Cuál es el área

de la ingeniería electrónica que les interesa y que los motivó a estudiar esta carrera profesional?

Con las respuestas de los estudiantes se puede construir una lista:

Telecomunicaciones, ingeniería de computadores, sistemas de control, instrumentación,

componentes y microelectrónica, bio-ingeniería, telemática, conmutación, redes de comunicaciones,

tecnología para música, video (cine, televisión, multimedios), etc.

Es fácil reconocer que todas esas áreas de actuación de la ingeniería electrónica obedecen a la

definición dada y que en todas ellas la información es el objeto principal, la cual se representa

mediante señales electromagnéticas (corrientes, voltajes, campos), aunque sean transducciones de

otros tipos de señales (presiones, temperaturas, intensidades de luz, etc.). Lo interesante es que

apenas ahora, después de tres años de estudio, los estudiantes empiezan a estudiar esos temas que

eran la motivación original para decidirse por esta carrera. Entonces, ¿qué han estado estudiando

hasta ahora? Nuevamente es posible hacer una lista con las respuestas de los estudiantes:

Algunos cursos de circuitos y electrónica, bastantes cursos de física, algo de programación, inglés,

humanidades y… ¡muchos cursos de matemáticas! Algebra lineal, cálculo diferencial, cálculo

integral, cálculo vectorial, variable compleja, ecuaciones diferenciales, análisis de Fourier,

probabilidades y estadística, etc. Ante semejante formación que han tenido, se espera que les quede


muy fácil resolver un problema de regla de tres: Si yo lavo mi carro en 15 minutos y mi hijo lo lava

en media hora ¿cuánto tiempo tardamos entre los dos? Suele suceder que muy pocos estudiantes

logran resolverlo en menos de cinco minutos… ¡Y algunos estudiantes tardan más de quince

minutos! ¿A qué se debe? ¿De qué sirvió estudiar tanta matemática que los volvió muy buenos en

calcular integrales muy complejas y en resolver sistemas de ecuaciones diferenciales parciales de

orden superior y condiciones de frontera, pero los hizo olvidar cómo plantear un problema de regla

de tres, lo cual ya sabían hacer en tercero de primaria? ¿Cuán útil ha sido, entonces, lo que han

aprendido en los primeros cinco semestres? ¿Han aprendido a pensar como ingenieros? ¿Qué

implicaciones tendrá en su actitud como estudiantes de ingeniería electrónica el descubrir que,

después de cinco semestres, no sabían qué es la ingeniería electrónica y que los muchos cursos de

matemáticas avanzadas para ingeniería sólo han servido para olvidar cómo formular problemas de

regla de tres? Más sorprendente resulta notar que, si el mismo problema se les propone en términos

de resistencias, corrientes y voltajes, todos lo hubieran resuelto correctamente en pocos segundos

(Si conecto en paralelo una resistencia de 30 ohmios y una resistencia de 15 ohmios, ¿cuál es la

resistencia equivalente?) ¿Será que nos han formado demasiado tiempo en la solución de ejercicios

matemáticos y no en la formulación matemática de problemas de ingeniería (¡o de la vida

cotidiana!)?1

Figura 1. Dos problemas conceptualmente idénticos que un estudiante no debería tardar en asociar

Pues bien, este curso conecta todo lo que hemos visto hasta ahora en una teoría básica que se

constituye en el fundamento de todas las áreas de especialidad de la ingeniería electrónica, para

darle sentido a todo lo que hemos estudiado, no como maquinitas de resolver ecuaciones

diferenciales, de calcular integrales o de invertir matrices, sino como ingenieros, con pensamiento

crítico, capaces de relacionar nuestro conocimiento previo con cualquier nuevo conocimiento,

mediante procesos lógicos de deducción, inferencia o inducción, y con capacidad argumentativa

para describir nuestros procesos lógicos (ver Figura 2).

1 Es interesante también notar que algunos estudiantes, brillantes y un tanto perezosos, ponen en duda los

postulados de una formulación lineal como la de la regla de tres. Como dice S. Harris

(http://www.sciencecartoonsplus.com/index.php): "Si 40 granjeros amish construyen un granero en 8 horas,

1280 granjeros lo construirán en 15 minutos"


Figura 2. El análisis de señales es la cintura del gran reloj de arena en la formación de un ingeniero electrónico

Si bien en los cursos de matemáticas que hasta ahora hemos tomado se nos ha ejercitado en técnicas

de solución de ecuaciones (derivación, integración, ecuaciones diferenciales, etc.), ahora debemos

entrenarnos en formular los problemas de la ingeniería en lenguaje matemático mediante la

construcción de modelos matemáticos que podamos analizar con las técnicas aprendidas para

trasladar la solución del modelo al sistema real que se pretendía analizar o diseñar, como muestra la

Figura 3.

Para terminar esta sección, se ha de leer, analizar y discutir el syllabus del curso, que se encuentra

en http://comunidad.udistrital.edu.co/malzate, indicando que allí se dispondrá de las tareas y de

otros recursos (como este documento).

Comunica-ciones

Control

Bioinge-niería

Computa-dores

TelemáticaInstrumen-

taciónCompo-nentes

Algeabralineal

Fourier

Cálculo diferencial

Cálculo integralCálculo

vectorial Ecuaciones diferenciales

Variable compleja

Análisis de señales

http://comunidad.udistrital.edu.co/malzate


Figura 3. Proceso de la conceptualización matemática en ingeniería

1.2 Definición de señal

En esta sección presentamos algunas señales para considerar qué es lo que vamos a estudiar durante

el curso (Las señales están en http://comunidad.udistrital.edu.co/malzate).

La primera de ellas (Figura 4) corresponde al número de manchas en el sol, promediadas cada mes

desde enero de 1749 hasta julio de 2012. Una mancha es una región del Sol con una temperatura

más baja que sus alrededores debido a una intensa actividad magnética. En cada mancha, que puede

alcanzar una extensión de hasta 12000 kilómetros, la temperatura es de cerca de 4000K, bastante

frío comparado con sus alrededores, donde la corona del sol alcanza cerca de 6000K. En la figura se

puede observar cierto tipo de periodicidad, pues aproximadamente cada 11 años se presenta un pico

en la actividad de las tormentas magnéticas del sol.

Sistema Físico real

Modelamiento matemático de

señales y sistemas

Técnicas de solución de

modelos matemáticos

Conceptualización,Abstracción

Comunica-ciones

Control

Bioinge-niería

Computa-dores

TelemáticaInstrumen-

taciónCompo-nentes

Algeabralineal

Fourier

Cálculo diferencial

Cálculo integralCálculo

vectorial Ecuaciones diferenciales

Variable compleja

Análisis de señales

http://comunidad.udistrital.edu.co/malzate


Figura 4. Manchas en el sol desde enero de 1749 hasta julio de 2012

(http://solarscience.msfc.nasa.gov/greenwch/spot_num.txt)

La segunda señal (Figura 5) representa el pulso de eco-localización emitido por un murciélago

(eptesicus fuscus). Los murciélagos usan un sonar biológico mediante el cual emiten un pulso de

ultrasonido y escuchan los ecos devueltos por los objetos en su medio ambiente, logrando ubicar e

identificar estos objetos en completa oscuridad. De esta manera, miles de murciélagos son capaces

de navegar en cuevas oscuras sin chocar entre ellos ni con las paredes e, incluso, logran capturar

insectos en el aire a partir de los ecos de sus propios pulsos. Nótese cómo la frecuencia de la señal

emitida se va reduciendo desde cerca de 40 kHz hasta cerca de 20 KHz, en sólo 2.5 ms.

Figura 5. Señal de ecolocalización de un murciélago (http://spib.rice.edu/spib/data/signals/bio/batecho.html)

1750 1800 1850 1900 1950 20000

50

100

150

200

250

Manchas en el sol, cada mes, desde enero de 1749 hasta julio de 2012

Núm

ero

de m

anchas

año

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10-3

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Señal de ecolocalización de un murciélago

tiempo en segundos

Am

plit

ud


La tercera señal (Figura 6) representa el sonido producido por un grupo de grillos en un atardecer.

Este sonido lo producen los machos frotando los bordes de sus alas (no es cierto que sea frotando

sus patas traseras), para llamar la atención de las hembras. Los grillos vecinos sincronizan sus

sonidos para hacer un sonido más atractivo para las hembras, lo cual es muy sorprendente si se tiene

en cuenta que, sin un director de orquesta, un grupo de seres humanos entrenados por décadas en

conservatorios no se puede sincronizar, a pesar del inmenso cerebro que posee cada individuo.

Figura 6. Sonido de grillos (http://spib.ece.rice.edu/spib/data/signals/bio/crickets.wav)

La cuarta señal (Figura 7) muestra las amplitudes de los componentes en fase (I) y en cuadratura

(Q) de la señal 16QAM recibida por un modem V.29. En el transmisor se usan 16 combinaciones

lineales de dos portadoras, I(t)=Acos(ct) y Q(t)=Asen(ct), donde la segunda está en cuadratura

de fase respecto a la primera (un desfase de /2 radianes). Cada combinación representa cuatro bits

de información. Al graficar el coeficiente de I(t) en el eje horizontal y el coeficiente de Q(t) en el

eje vertical, se tiene el diagrama de constelación de la técnica de modulación 16QAM. Sin embargo,

al pasar por el canal, estas señales sufren distorsiones y se contaminan con ruido, de manera que en

el modem receptor se obtiene un diagrama semejante al de la señal mostrada. Aunque parezca un

milagro, el modem receptor es capaz de inferir, a partir de esta señal, la secuencia de unos y ceros

en el transmisor que dieron origen a dicha señal, gracias al cuidadoso proceso de codificación con

que se genero la señal transmitida.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Sonido de grillos

tiempo en segundos

Am

plit

ud


Figura 7. Diagrama IQ de una señal V.29 (http://spib.linse.ufsc.br/modem.html)

La quinta señal (Figura 8) muestra un segmento de una señal electrocardiográfica. El latido cardíaco

se debe a una actividad bio-eléctrica que permite la sucesión periódica y ordenada de contracciones

para bombear la sangre. Esta actividad se puede capturar mediante sensores apropiados para

determinar si el corazón funciona normalmente o sufre de alguna anomalía. Por ejemplo, en la señal

mostrada, se nota algunos latidos adicionales que contrastan con algunos latidos suprimidos, lo cual

constituye una arritmia cardiaca. Muchos otros diagnósticos adicionales se pueden conseguir a

partir de la misma forma de onda de los impulsos.

Figura 8. Electrocardiograma de un adulto (Erik Traasdahl, Institute of Medical Biology, University of Tromso, Norway)

La sexta señal (Figura 9) es un fragmento de voz humana capturada desde un micrófono. La señal

de voz es una variación de presión en el aire que viaja como una onda longitudinal desde la boca del

hablante hasta el oído de quien lo escucha, como muestra la Figura 10. Lo más fascinante de esta

señal de voz es que empieza con una idea o un pensamiento que el hablante quiere comunicar a

alguien, para lo cual la convierte en una forma lingüística con estructuras gramaticales, sintácticas,

semánticas y prosódicas específicas, a partir de las cuales el cerebro genera comandos motores a los

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Señal recibida por un modem V.29 a 9600 bps

Parte real

Part

e im

agin

aria

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

Electrocardiograma de un adulto

Tiempo, en segundos

Am

plit

ud


diferentes músculos que intervienen en la generación de la onda de presión deseada (diafragma,

cuerdas vocales, velo del paladar, quijada, lengua, labios…). La onda de presión hace vibrar el

tímpano de quien escucha, vibración que es filtrada por los huesecillos (yunque, estribo y martillo)

para hacer vibrar el caracol, donde más de diez mil células ciliares ejecutan un análisis espectral con

más de diez mil bandas para producir impulsos eléctricos en el nervio auditivo. De esta secuencia

de impulsos el cerebro extrae no sólo la idea que el hablante quiso extraer (tal vez conceptos tan

importantes como amistad, felicidad, amor o, simplemente, triángulo), sino mucha información

adicional (el sexo, la edad y el estado de ánimo del hablante, entre otras).

Figura 9. Voz femenina

Figura 10. Proceso de producción y comprensión de señales de v oz

La séptima señal (Figura 11) representa la longitud en bytes de los archivos del disco duro de un

computador personal. El rango dinámico de esta señal sugiere presentarla en escala logarítmica,

pues va desde las unidades hasta los miles de millones. Nótense dos características interesantes: Si

vemos con detalle una porción de la señal (por ejemplo, los archivos 110.000 a 140.000) veremos

una figura similar a la señal completa, excepto por las escalas en los ejes. Las señales que tienen

esta propiedad se conocen como señales auto-similares o, vistas como objetos geométricos,

fractales. En particular, es fácil notar que, aunque la mayoría de archivos son pequeños, la mayor

cantidad de espacio en el disco duro está ocupada por los poquitos archivos gigantescos y no por los

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Voz femenina

tiempo en segundos

Am

plit

ud


muchos archivos pequeños. A este comportamiento de las señales auto-similares se le denomina

Ley de Potencia.

Figura 11. Longitud de los archivos en un disco duro

La octava señal (Figura 12) es una imagen. Está compuesta por un arreglo de 512512 elementos

(pixels –picture elements), cada uno de los cuales tiene un valor entero entre 0 y 255. Si el valor de

cada pixel se asocia con un tono de gris, donde 0 significa negro y 255 significa blanco, se obtiene

la representación mostrada. Se trata de una fotografía de Lena Söderberg, la playmate de noviembre

de 1972, foto que se ha convertido en una imagen estándar para comparar algoritmos de

procesamiento digital de imágenes. En efecto, la imagen contiene una mezcla interesante de detalles

como texturas, sombras, contrastes, regiones planas de baja frecuencia, regiones de alta frecuencia

como las plumas del sombrero, reflexiones especulares de porciones de la imagen, etc. Estas

propiedades se pueden apreciar con claridad si graficamos el valor de cada pixel en un tercer eje

tridimensional, como muestra la Figura 13. Dos datos curiosos: (1) Lena fue invitada de honor a la

quincuagésima conferencia anual de la Sociedad de Ciencia de las Imágenes en 1997 y (2) Playboy

renuncio a reclamar sus derechos de copyright porque el número de noviembre de 1972 ha sido el

número más vendido en toda su historia, superando por mucho a los números donde aparecen

grandes celebridades.

0.5 1 1.5 2 2.5

x 105

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x 108 Longitud de archivos en mi disco duro

Número de archivo

Tam

año e

n b

yte

s

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 105

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9Logaritmo de la longitud de los archivos en mi disco duro

Número de archivo

logaritm

o d

el T

am

año e

n b

yte

s


Figura 12. Imagen de Lena (http://sipi.usc.edu/database/?volume=misc (4.2.04))

Figura 13. Otra forma de ver la imagen de Lena

Lena

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500


La novena señal (Figura 14) muestra los intervalos entre disparos neuronales sucesivos en el nervio

auditivo cuando se escucha un tono de 1000 Hz. Como mencionamos al hablar de la señal de voz,

las señales sensoriales llegan al cerebro como secuencias de disparos neuronales para su

interpretación. Es interesante que una forma de onda tan sencilla llegue al cerebro codificada como

una señal tan compleja. Primero hay una captación mecánica en la que las orejas dirigen la señal de

audio hacia el tímpano a través del conducto auditivo. La oreja y el canal auditivo producen efectos

de difracción y filtrado que varían según el ángulo de incidencia, por lo que la señal nerviosa de la

figura incluye información codificada sobre la procedencia del sonido. La vibración del tímpano se

transmite a lo largo de una cadena de pequeños huesos (yunque, martillo y estribo), que forman

unas palancas para acoplar la resistencia mecánica del aire con la resistencia mecánica del fluido

que se encuentra dentro del caracol. En efecto, en el caracol se transforma la vibración del aire a

vibraciones de un fluido en el que se encuentran sumergidas parte de las células ciliares, las cuales

hacen un análisis espectral de la señal (cada una de ellas es un filtro sintonizado en una banda

diferente), y se encargan de la transducción de vibración mecánica del fluido a impulsos nerviosos,

que son los captados en la señal que se muestra en la figura.

Figura 14. Descargas neuronales (Teich, Johnson, Kumar, and Turcott, "Fractional power law behavior of single units

in the lower auditory system", Hearing Res., 46: 41-52, May 1990)

La penúltima señal (Figura 15) corresponde a la variación diaria durante un año del índice bursátil

S&P 500 –Standard and Poor's 500–, el cual refleja las variaciones de rentabilidad de las 500

compañías más grandes de Estados Unidos que cotizan en la bolsa de Nueva York.

2 4 6 8 10 12

x 104

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Intervalos entre descargas de una neurona que responde a un estímulo auditivo

Descarga

Inte

rvalo

, en s

egundos


Figura 15. Indicador económico (http://finance.yahoo.com)

La última señal (Figura 16) indica cuántos bytes permanecen en el buffer de un multiplexor en una

red de comunicaciones durante una hora. Cuando un paquete de datos llega a este dispositivo, puede

encontrar ocupado el enlace de salida que le corresponde, en cuyo caso el paquete deberá esperar en

una cola su turno de transmisión. La longitud de la cola, en bytes, es un indicador importante del

desempeño de la red.

La longitud de los archivos en el disco duro de un PC (Figura 11), los disparos neuronales en un

nervio auditivo (Figura 14), las señales econométricas de índices bursátiles (Figura 15), y la

longitud en bytes del buffer de un enrutador en internet (Figura 16) comparten las características de

fractalidad que mencionábamos al describir las longitudes de los archivos. Esta es una característica

común en muchas señales de la naturaleza, indicadora de procesos complejos en los sistemas

dinámicos que las generan.

50 100 150 200 250

1050

1100

1150

1200

1250

Indice S&P durante los días no feriados de 2010

día

Valo

r de c

ierr

e


Figura 16. Número de bytes en la cola de un multiplexor en Internet

Habiendo visto las anteriores once señales como ejemplos del tipo de objetos que estudiaremos en

este curso, surge una pregunta fundamental: Con señales de naturaleza tan distinta ¿Cómo

podremos asociar un único modelo matemático que nos sirva para construir una teoría unificada de

señales y sistemas? Se puede notar que todas las señales vistas corresponden a la gráfica de una

magnitud física (o varias) con respecto a otra (u otras): Número de manchas en el sol graficada con

respecto a cada uno de los meses de un período de 263 años, o la intensidad lumínica de un pixel

con respecto a su posición en coordenadas (x,y), o el intervalo entre disparos de una neurona

auditiva con respecto al número de disparo. Al poner a los estudiantes a discutir qué es una señal a

la luz de estos ejemplos, es posible construir, con las propuestas que se escuchan, una definición

como la siguiente:

Una señal es una cantidad física que varía en el tiempo, en el espacio, o con respecto

a cualquier otra cantidad física, de manera que en sus variaciones hay codificada

una información.

Esta definición se ajusta bien a cada una de las señales vistas anteriormente, lo cual habla del

altísimo grado de abstracción que se logra con esta definición. Pero aún nos deja perplejos porque

no imaginamos cómo estudiar una teoría que resulte común para un voltaje en un circuito, o para

unos intervalos entre disparos sucesivos de una neurona auditiva, o para las variaciones de los

precios en la bolsa de valores. Para ello necesitamos, por supuesto, como quedó claro en la primera

parte de esta clase, un modelo matemático que se ajuste igualmente bien a todas las señales

anteriores. Dada la definición conceptual de señal que acabamos de construir con los aportes de los

estudiantes, es apenas razonable considerar el siguiente modelo matemático como una extensión

natural de la definición:

500 1000 1500 2000 2500 30000

1

2

3

4

5

x 106 Longitud de la cola en bytes

Tiempo en segundos

Num

ero

de b

yte

s e

n c

ola


Una señal se representa mediante una función con un dominio y un rango

específicos, x:DR.

El dominio se refiere al conjunto de valores que puede tomar la magnitud independiente. Dicho

dominio puede corresponder a la variable escalar tiempo, como en la señal de las manchas del sol o

la señal de eco-localización del murciélago, aunque también puede tomar otros significados como el

número de descarga neuronal o la posición horizontal y vertical de un pixel en una imagen. Las

siguientes pueden ser algunas representaciones válidas de las señales vistas (ℤ es el conjunto de los

enteros, ℝ es el conjunto de los reales):

a. Número de manchas en el sol, longitud de archivos, x: ℤ ℤ

b. Señal de eco-localización de un murciélago, sonido de grillos, señal recibida por un módem

V.29 a 9600 bps, electrocardiograma de un adulto, voz femenina, x: ℝ ℝ

c. Imagen de Lena, x: ℤ ℤ ℤ (AB es el producto cartesiano entre los con juntos A y B,

compuesto por todas las parejas que se puedan formar entre sus mienbros, AB = {(a,b) :

aA, bB}

d. Intervalos entre descargas de una neurona que responde a un estímulo auditivo, índice S&P,

x: ℤ ℝ

f. Número de paquetes en el buffer de un enrutador en cada instante de tiempo: x: ℝ ℤ

Las señales tendrán unidades genéricas de “amplitud” y el dominio podrá ser cualquier conjunto al

que llamaremos “tiempo”, a pesar de que pueda representar cualquier otra cantidad (como en la

imagen de Lena o en la señal de los impulsos neuronales).

De otro lado, sólo consideraremos dominios continuos (contenidos en ℝ) o discretos (contenidos en

ℤ) y rangos continuos (contenidos en ℝ o ℂ, donde ℂ es el conjunto de los números complejos) o

discretos (contenidos en ℤ). En cada caso, las señales toman nombres particulares, como muestra la

Tabla 1. Por ejemplo, la voz femenina es una señal análoga, el índice económico S&P es una señal

muestreada, la imagen de Lena es una señal digital, y el número de paquetes en el buffer de un

enrutador en una red de computadores es una señal cuantizada.

El único tipo de señales que podemos procesar con un computador es el de las señales digitales: Son

de tiempo discreto porque en cada posición de memoria podemos guardar una muestra de la señal, y

son de amplitud discreta porque en cada posición de memoria sólo podemos guardar un número

finito de posibles valores debido al tamaño en bits de la palabra almacenada. Cuando la amplitud se

representa con 8 ó 16 bits, el fenómeno de la cuantización se hace apreciable (hay 256 o 65536

posibles amplitudes, respectivamente). Pero cuando tenemos longitud de palabras de 64 bits,

podríamos representar cerca de 21019 amplitudes diferentes; por ejemplo, podríamos recorrer la vía

láctea con una resolución de 50 metros, o contar el número de átomos de hidrógeno que caben en un

millón de kilómetros. Con semejante resolución, podemos modelar estas señales como funciones en

tiempo discreto con amplitud continua. Por eso, la teoría que desarrollaremos en este curso se

refiere, principalmente, a los dos tipos de señales con amplitud continua, a las que llamaremos

“señales en tiempo continuo” (las señales análogas) y “señales de tiempo discreto” (las señales

muestreadas).


Tabla 1. Clasificación de señales según su dominio y su rango

Tiempo continuo Tiempo discreto

Amplitud

continua

Señal análoga

Señal muestreada

Amplitud

discreta

Señal cuantizada

Señal digital

Por ejemplo, considere la siguiente señal análoga:

11 si ( ) ,

10 si a

ttx t t

t

Podemos cuantizarla haciendo ( ) / 5 ( ) [2 1,2 1) /10,q ax t k si x t k k k . También

podemos muestrearla haciendo [ ] ( /10 0.05),s ax n x n n . Por último, podemos digitalizarla

si la muestreamos y la cuantizamos, [ ] ( /10 0.05)d qx n x n . Los resultados se muestran en la

Figura 17.

Nótese que las señales en tiempo discreto las hemos graficado con respecto a tn = n/10 – 0.05 y no

con respecto a n. Aunque normalmente se grafican con respecto al número de la muestra, n, hemos

preferido este cambio en el eje del tiempo para poder superponer las cuatro señales y compararlas

con mayor claridad, como muestra la Figura 18.

Hay un aspecto de notación importante para nosotros. Una señal la podemos describir como una

función que a cada elemento del conjunto dominio le asigna un elemento (y sólo uno) del conjunto

rango:

x:DR

Esto quiere decir, por ejemplo, que si tD, existe un elemento x(t)R asociado con t, lo cual se

suele representar así:

: ( )x t x t

Así pues, cuando hablamos de x(t) deberíamos tener claro que no nos referimos a la señal en general

sino al valor que la señal toma para un elemento específico tD (decimos que x(t) es el valor de la

señal en el "instante" t cuando consideramos que D es el conjunto tiempo). Desafortunadamente, en


la literatura se suele usar la misma notación x(t) para referirse tanto a la función x:DR (en cuyo

caso t se interpreta como cualquier elemento genérico de D) como al valor instantáneo x(t)R para

un valor específico tD. Aunque seguramente cometeremos el mismo "error" en nuestras clases

(¡como en la Figura 18!), cuando el contexto pueda generar confusiones intentaremos distinguir los

dos conceptos mediante la siguiente notación:

x(t) Valor específico de la señal x en el instante t

{x(t), tD} Señal completa, la función para cada valor de t en D

En algunas ocasiones, cuando necesitemos referirnos a la señal entera pero no sea necesario

determinar el conjunto dominio, usaremos la notación simplificada {x(t)}t para un dominio continuo

y {x[n]}n para un dominio discreto.

Tiempo continuo Tiempo discreto

Amplitud

continua

Señal análoga, {xa(t), tℝ}

Señal muestreada, {xs[n], nℤ}

Amplitud

discreta

Señal cuantizada, {xq(t), tℝ}

Señal digital, {xd[n], nℤ}

Figura 17. Procesos de muestreo y cuantización

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Figura 18. Cuatro señales: una análoga, una cuantizada, una muestreada y una digital

El modelo de la señal como función resulta natural y, de alguna manera, es la principal abstracción

que hemos usado hasta ahora en casi todos nuestros cursos de electrónica, circuitos y física. Sin

embargo, en primer semestre también tomamos un curso de algebra lineal en el que estudiamos el

espacio tridimensional Euclidiano como un conjunto de vectores, y extendimos el concepto de

vector a cualquier número entero de dimensiones (le llamabamos "el espacio vectorial ℝN sobre el

campo escalar ℝ"). Pues bien, si consideramos conjuntos de señales con propiedades específicas,

tales como

X1 = {x:ℝℝ tal que x es continua}, X2 = {x:ℤℝ tal que x es absolutamente sumable}, etc.

veremos que esos conjuntos poseen exactamente las mismas propiedades de un espacio vectorial.

Por esta razón, se prefiere usar un modelo matemático adicional de señal que extiende el de la señal

como función y que es muy poderoso tanto conceptualmente como pragmáticamente: Las señales

como vectores. De hecho, resulta muy fácil notar que las señales en tiempo discreto definidas en un

rango finito de N muestras corresponden exactamente con el espacio vectorial Euclidiano ℝN (como

veremos desde la clase ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.):

ℝN = {x:Dℝ, D = {0,1,2,…,N-1}}

Otras señales, definidas sobre el dominio infinito de todos los enteros o sobre intervalos continuos

de los reales o sobre todos los reales, requieren una versión extendida del espacio vectorial

Euclidiano, al que llamaremos "espacio vectorial de Hilbert". En estos casos, representaremos una

señal simplemente como x , ya sea que se trate de una señal en tiempo discreto, {x[n]}n , o una

señal en tiempo continuo, {x(t)}t.

Debido a la familiaridad con la geometría tri-dimensional en la que vivimos, donde cada punto del

espacio físico es un vector en el espacio vectorial Euclidiano ℝ3, modelar las señales como vectores

en espacios vectoriales más generales trae mucha comprensión intuitiva a la mayoría de

procedimientos matemáticos en el procesamiento de señales, como tendremos oportunidad de

verificar cuando estudiemos esta visión geométrica de las señales. En los términos en que lo

mencionamos antes:

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xa(t)

xq(t)

xs[n]

xd[n]


Una señal, representada mediante una función con un dominio y un rango

específicos, x:DR, se puede interpretar como un vector en un espacio

vectorial abstracto (espacio de Hilbert), xℋ.

A manera de ejemplo, la Figura 19 muestra una señal {x[n], n{0,1,2}} interpretada como una

función del tiempo (Figura 19(a)) o como un vector en un espacio Euclidiano (Figura 19(b)), donde

x[0]=2, x[1]=1 y x[2]=1.5. La extensión a dimensiones superiores a 3 es inmediata, y la extensión a

dimensiones infinitas la veremos a partir de la clase ¡Error! No se encuentra el origen de la

referencia.. La única diferencia entre el espacio Euclidiano N-dimensional y el espacio de las

señales representadas como funciones con dominio en ℤN y rango ℝ, es que, para N menor o igual a

3, tienen representaciones gráficas diferentes (Figura 19).

Figura 19. Dos representaciones para la señal {x[n], n{0,1,2}}

1.3 Definición de sistema

Veíamos que una señal es una cantidad física que varía en el tiempo, en el espacio, o con respecto a

cualquier otra cantidad física independiente, de manera que en sus variaciones hay codificada una

información. También vimos que, como abstracción matemática de ese concepto, una señal se

representa mediante una función con un dominio y un rango específicos, x:D R. Por simplicidad,

a la variable que toma valores en el conjunto dominio le llamaremos “tiempo” y a la variable que

toma valores en el conjunto rango le llamaremos “amplitud”. La primera clasificación de señales

que vimos fue de acuerdo con la naturaleza continua o discreta del tiempo y la amplitud: Señales

análogas, señales cuantizadas, señales muestreadas o señales digitales. Veíamos, por último, que el

conjunto de señales representada como un tipo especial de funciones podría constituir un espacio

vectorial abstracto, por lo que podíamos aprovechar una visión geométrica de las señales en la que

cada señal es un vector.

Pero las señales, como cantidades físicas medibles, existen en un ambiente particular en el que se

generan, se propagan, se almacenan, se transforman, etc. Ese ambiente, que ejerce un proceso

transformador en una señal, se conoce como sistema. En efecto, probablemente se trata de un

conjunto de elementos que interactúan entre ellos para formar un todo, como una resistencia y un

condensador que forman un filtro, o un resorte y una masa que forman un oscilador, etc.

00.5

11.5

22.5

3

0

0.5

1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5 0 0.50

0.5

1

1.5

-0.5 0 0.5 1 1.50

1

2

3

4

0 1 20

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

(a) Como función del tiempo (b) Como vector en un espacio euclidiano


En el primer sistema que acabamos de mencionar, las señales son el voltaje de la fuente, la corriente

en la malla, el voltaje en cada componente, etc. En el segundo sistema, las señales son la posición,

la velocidad y la aceleración de la masa, la fuerza ejercida por el resorte, la fuerza de fricción, etc.

En cada caso, el sistema se expresa mediante unas leyes físicas, que constituyen unas relaciones

matemáticas entre unas señales y otras. De hecho, conociendo algunas de esas señales, podemos

especificar otras señales. Diríamos que el sistema lo podemos representar (y éste es otro modelo

matemático) como una relación entre una señal de entrada y una señal de salida, que es otro tipo de

"función" que en matemáticas se llama funcional, ya que su entrada es una señal (una función) de

un conjunto de posibles señales (funciones) de entrada, y su salida es otra señal (una función) de un

conjunto de posibles señales (funciones) de salida. Así como una función convierte un elemento del

dominio en un elemento del rango, un funcional convierte una función de entrada en una función de

salida.

Figura 20. Dos sistemas que procesan señales naturalmente

En este curso diremos que un sistema es una forma de representar un proceso físico que acepta una

señal de entrada y la procesa para generar una señal de salida, como muestra la Figura 21. En el

caso particular en que no se considera una señal de entrada, al sistema se le conoce como un

generador de señales.

Figura 21. Representación de un sistema como un funcional

Pero ¿Cómo es que podemos construir un modelo matemático válido para representar señales de

presión y temperatura en calderas, por ejemplo, que podamos utilizar para señales de radiación en

colisionadores de partículas, por ejemplo? Necesitamos una abstracción conceptual que nos permita

la generalización que queremos. Consideremos los sistemas representados en la Figura 22.

{x(t)Rangox, tDominiox} {y(t)Rangoy, tDominioy}


Figura 22. Dos sistemas diferentes que conducen a una misma forma de abstracción matemática

En cada caso conocemos leyes de la naturaleza, formuladas matemáticamente, que nos permiten

expresar unas señales en términos de otras. Por ejemplo, sabemos que el voltaje de entrada es la

suma del voltaje de salida más el voltaje en la resistencia, el cual es R veces la corriente, la cual es

C veces la variación del voltaje de salida. Igualmente, sabemos que la fuerza total sobre el carro es

igual a su masa por la aceleración (suponemos que el consumo de gasolina produce un cambio

despreciable en la masa del carro). Ese conocimiento de las leyes de la naturaleza nos lleva a

plantear las ecuaciones diferenciales mostrada en la Figura 22. Ahora consideremos el siguiente

modelo abstracto que puede representa cualquiera de los anteriores:

Figura 23. Abstracción matemática para los dos sistemas anteriores

En efecto, si usamos {vi(t)}t en vez de {x(t)}t, {vo(t)}t en vez de {y(t)}t y RC en vez de , el modelo

abstracto podría ser una representación del circuito RC. Pero si usamos {F(t)/}t en vez de {x(t)}t,

{v(t)}t en vez de {y(t)}t y M/ en vez de , el modelo abstracto podría ser una representación del

sistema mecánico. En lo que a este curso respecta, entonces, {x(t)}t será simplemente una señal de

entrada a un sistema que la procesa para obtener una señal de salida {y(t)}t, independientemente de

que se trate de voltajes, corrientes, fuerzas o velocidades. Nuevamente, estamos hablando de

modelos matemáticos (funciones para las señales y funcionales para los sistemas), como un

concepto abstracto que podría representar cualquier sistema físico apropiado.

Estos "modelos comunes" para diferentes sistemas de la realidad, expresados mediante ecuaciones

diferenciales lineales con coeficientes constantes, motivaron el desarrollo del computador análogo

basado en amplificadores operacionales en la década de 1980. Por ejemplo, haciendo las

escalizaciones adecuadas, el circuito de la Figura 24 podría simular la carga de un condensador

(Figura 22a), la velocidad de un partícula (Figura 22b), o cualquier otro sistema continuo lineal de

primer orden (Figura 23):

i(t)vi(t)

vo(t)

+

-

+

-

F(t)

v(t)

v(t)

M

0

0

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

i R

i

i o

v t v t v t

v t v t R i t

dv t v t RC v t

dt

( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

dF t v t M v t

dt

M dF t v t v t

dt

1/

x(t) y(t)+

_

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

dx t y t y t

dt

dx t y t y t

dt


Figura 24. Simulación de los sistemas de la Figura 22 y la Figura 23 mediante un computador análogo.

El computador análogo de la Figura 24 tiene un primer amplificador operacional que calcula en

cada instante la diferencia (x(t) – y(t))/. Esta relación define la derivada de señal de salida en ese

instante, de manera que un segundo amplificador operacional se encarga de integrar el resultado

para obtener la señal de salida especificada.

La clasificación de señales según su dominio sea continuo o discreto y según su rango sea continuo

o discreto también se aplicará a los sistemas según el tipo de señales de entrada y salida,

conduciendo a 16 posibles tipos de sistemas. Si consideramos sólo señales con amplitudes

continuas, el número de tipos de sistemas se reduce a cuatro, según las señales de entrada y salida

sean de tiempo continuo o de tiempo discreto. El primero de los siguientes dos sistemas (como los

de la Figura 20, la Figura 22, la Figura 23 y la Figura 24) es un sistema en tiempo continuo,

mientras el segundo es un sistema en tiempo discreto:

Figura 25. Sistemas en tiempo continuo y en tiempo discreto

Si un sistema tiene entradas en tiempo continuo y salidas en tiempo discreto, dentro del sistema

existirá al menos un “muestreador”. Si un sistema tiene entradas en tiempo discreto y salidas en

tiempo continuo, dentro del sistema existirá al menos un “interpolador”. En este curso, estos dos

tipos de sistemas se estudiarán sólo en el contexto de la conversión análogo/digital (DAC) y

digital/análogo (ADC) –véase la clase ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.–.

Como un ejemplo inicial de sistema discreto, veamos como simular en un computador digital el

sistema lineal de primer orden que representa al circuito RC o al automóvil de la Figura 22:

( ) ( ) ( )d

x t y t y tdt

–

+

–

+R

R

R

R

R

C=1/R

x(t) y(t)

( ) ( ) ( )d

x t y t y tdt

{x(t)ℝ, tℝ} {y(t)ℝ, tℝ}

{x[n]ℝ, nℤ} {y[n]ℝ, nℤ}


Si consideramos un incremento de tiempo t en vez del diferencial dt, y consideramos sólo

instantes de tiempo múltiplos de t, podríamos aproximar la derivada de la ecuación anterior en el

instante nt como la pendiente entre los instantes consecutivos (n-1)t y nt para obtener

( ) (( 1) )( ) ( )

y n t y n tx n t y n t

t

que podemos interpretar como un sistema en tiempo discreto:

[ ] [ ] 1 [ 1], donde x n y n y nt

Dicho sistema se representa en la Figura 26.

Figura 26. Aproximación en tiempo discreto a los sistemas de la Figura 22 y la Figura 23

Este sistema genérico en tiempo discreto es fácil de simular ya no con un computador análogo

(Figura 24) sino con un computador digital (Figura 27)

Figura 27. Simulación de los sistemas de la Figura 22 y la Figura 23 mediante un computador digital

El computador digital está compuesto por un puerto de entrada, un puerto de salida, una memoria y

una CPU que incluye do s registros internos, RA y RB. El sistema a simular se implementa ahora en

el programa almacenado en la memoria. La Figura 27 muestra un código genérico en un hipotético

lenguaje ensamblador para simular el sistema de la Figura 26. La primera instrucción inicializa en

cero el registro RA que, en el instante n, representa la salida y[n]. Luego se entra a un lazo infinito

en el que se espera una interrupción que ocurre cada t segundos (instrucción 2), se lee la entrada

x[n] y[n]

Retardoy[n-1]

1

1

Puerto A

(Entrada)

Puerto B

(Salida)Memoria

CPU

Buses

t

INT

x y

1 LOAD RA,#0 % Inicia el registro A en cero (y[-1]=0)

2 Loop:WAIT_INT % Espera la siguiente interrupción

3 INPUT RB,(PuertoA) % Lee el dato de entrada

4 MULT RA,#beta % y[n-1]

5 ADD RA,RB % x[n] + y[n-1]

6 DIV RA,#(1+beta) % y[n] = (x[n] + y[n-1])/(1+)7 OUTPUT (PuertoB),RA % Escribe el dato de salida

8 JUMP Loop % Repite indefinidamente

RA

RB


x[n] en el registro RB (instrucción 3) y, en las instrucciones 4, 5 y 6, se realiza el cálculo RA

(RB + RA)/(1+), que corresponde a la salida actual y[n]. Este valor se saca a través del puerto de

salida PuertoB antes de esperar la siguiente interrupción (instrucciones 7 y 8).

Al observar la Figura 23 y la Figura 26, notamos que la representación de sistemas en bloques que

efectúan una transformación de una señal de entrada para producir una señal de salida ofrece una

poderosa abstracción para estudiar y diseñar sistemas físicos. Como un ejemplo de sistemas

ampliamente estudiados, consideremos un sistema de comunicaciones en el que una fuente de

información genera un mensaje que debe ser representado en forma de señales físicas para poder

transmitirlo a través de un canal, donde la señal transmitida puede sufrir distorsiones, interferencias

y ruido. La intención es recuperar el mensaje original de la manera más oportuna y fidedigna

posible. Tanto el sistema entero como el transmisor, el canal y el receptor corresponden al modelo

matemático que hemos estado considerando: Entra una señal de un conjunto de posibles señales de

entrada, la cual se transforma en una señal de un conjunto de posibles señales de salida. Como las

señales correspondientes se pueden modelar como funciones del tiempo, cada subsistema resulta ser

un funcional (Ver Figura 28).

Figura 28. Modelo matemático (abstracción conceptual) de un sistema de comunicaciones

Otro ejemplo es un sistema de control realimentado como el que se muestra en la Figura 29, en el

que se desea que un proceso particular (o “planta”) produzca una respuesta satisfactoria de manera

robusta, esto es, a pesar de cambios en el ambiente. Para esto, se considera que la planta obedece a

señales de control para producir la señal de salida, esto es, el proceso a controlar es un sistema de

procesamiento de señales. Entonces es posible tomar la señal de salida para producir una señal

realimentada que se compara con una señal de referencia. Si son iguales, la planta está operando

satisfactoriamente. Si no, un sistema adicional usará la señal de diferencia como entrada para

producir como salida los cambios necesarios en la señal de control.

Figura 29. Modelo matemático (abstracción conceptual) de un sistema de control

Es importante notar que cuando decidimos utilizar modelos matemáticos para representar de manera

simplificada alguna realidad compleja, estamos construyendo una idealización que será válida sólo

Fuen-te

Trans-ductor

Trans-misor

Canal ReceptorTrans-ductor

Desti-no

Ruido, interferencia y distorsión

MensajeSeñal de entrada

Señal transmitida

Señal recibida

Señal de salida Mensaje

Elementode control

Proceso a controlar

Lazo de realimentación

Señal de referencia

Compa-ración

Señal de diferencia

Señal de control Señal de

salida

Señal re-alimentada


en la medida en que el modelo capture los aspectos más relevantes de la realidad, y en la medida en

que la realidad se ajuste con suficiente precisión a las suposiciones del modelo. Esto implica, por

ejemplo, que los valores de las señales se mantengan dentro de las escalas de validez del modelo, o

que los parámetros que describen a los componentes se encuentren suficientemente cerca de los

valores usados en el modelo. En general, una característica fundamental del ingeniero es su

capacidad de determinar el alcance de la validez de los modelos que utiliza, asegurándose que en el

proceso de análisis o diseño que adelanta siempre se cumplan las condiciones y suposiciones en las

que se basó el desarrollo de su modelo matemático.

Si el modelo matemático es apropiado, se podrán analizar y diseñar sistemas que permitan capturar

señales para extraer de ellas información (o construir señales para imprimir en ellas información).

Los procesos pueden incluir mejorar las señales (eliminar de ellas ruidos y distorsiones), estimar

una señal a partir de otra, predecir valores futuros de la señal a partir de su valor actual y valores

anteriores, reconocer características del sistema que originó la señal, comprimir la señal eliminando

la información redundante en ella, etc.

Por último, notemos que cuando representamos las señales como vectores en un espacio vectorial,

los sistemas se vuelven “transfomaciones” que asocian cada vector de un espacio vectorial original

con otro vector del mismo espacio o de otro espacio vectorial diferente. Por ejemplo, consideremos

el sistema de la Figura 26 que, al iterar, corresponde a la forma funcional

0

1[ ] [ ] ,

1 1k

k

y n x n k n

y supongamos que x[n]=0 para todo nℤ, excepto para n=0,1, y 2. Entonces la expresión anterior

nos muestra que y[n]=0 para todo nℤ, excepto para n=0,1,2,3 y 4, de manera que el sistema entero

se puede representar como una transformación lineal del espacio Euclidiano ℝ3 al espacio

Euclidiano ℝ5:

2

2

3 2

3 2

4 3 2

4 3 2

5 4 3

10 0

1

10[0]

(1 ) 1[0][1]

1[1][2]

(1 ) (1 ) 1[2][3]

[4](1 ) (1 ) (1 )

(1 ) (1 ) (1 )

y

xy

xy

xy

y

Al considerar más muestras de las señales de entrada y salida, las dimensiones de los espacios

vecoriales respectivos aumentan, pero el concepto de que el vector de salida es una transformación

lineal representada mediante el producto de una matriz por un vector de entrada permanece,

y T x . Como mencionamos en la sección 1.2, aún con señales de duración infinita (vectores de

infinitas dimensiones) se puede usar esta abstracción, en cuyo caso los espacios vectoriales

correspondientes no serán espacios Euclidianos sino espacios de Hilbert, ya sea que se trate de

señales en tiempo continuo o en tiempo discreto.


Como hemos mencionado, esta visión geométrica tendrá grandes ventajas conceptuales, prácticas e

intuitivas por la asociación con la geometría tridimensional en la que vivimos inmersos. Por

ejemplo, podemos hacer una cambio de coordenadas tal que la matriz que representa la

transformación lineal, y T x , se convierta en una matriz diagonal, Y D X , con lo cual se

facilita enormemente el cálculo de la transformación. Uno de dichos cambios de coordenadas se

conoce como Transformada de Fourier, por ejemplo. ¡Sí! ¡La transformada de Fourier es

simplemente un cambio de coordenadas como los que hacíamos en nuestro curso de álgebra lineal

de primer semestre! Más adelante veremos estos aspectos de la visión geométrica de las señales con

suficiente detalle para convertirlos en una poderosa abstracción conceptual y una poderosa

herramienta computacional.


Primera tarea

En esta tarea compararemos la validez de la aproximación entre los dos sistemas en tiempo

continuo y en tiempo discreto que vimos en esta primera clase.

[ ] [ ] 1 [ 1], donde d d dx n y n y nt

En esta aproximación, si xd[n] es la n-ésima muestra de x(t), xd[n]=x(nt), esperaríamos que yd[n] se

pareciera a la n-ésima muestra de y(t), yd[n]y(nt). Para verificar la validez de esta esperanza,

suponga que queremos representar el circuito RC con = RC = 10 ms y un incremento discreto de

tiempo t = 1 ms, de manera que el parámetro del sistema en tiempo discreto es = 10. Suponga

que la señal de entrada al sistema continuo es un paso de 1 V de amplitud y 30 ms de duración,

como se muestra a continuación:

(a) Encuentre analíticamente la salida del sistema en tiempo continuo, y(t), suponiendo que y(0-) =

0, y grafíquela para t entre 0 y 80 ms.

(b) Obtenga xd[n] tomando muestras de x(t) cada t = 1 ms, xd[n] = x(n/1000), calcule la salida del

sistema en tiempo discreto, yd[n], suponiendo que yd[-1]=0, y grafíquela para n entre 0 y 80.

Note que no se trata de muestrear la señal análoga de salida, como hicimos con xd[n] =

x(n/1000), sino de calcular yd[n] a partir de xd[n] evaluando el sistema en tiempo discreto.

(c) Calcule el error cuadrado promedio (MSE –Mean Square Error) en el rango [0, 0.08]

80

2

0

1( /1000) [ ]

81d

n

MSE y n y n

.

(d) Repita los puntos (b) y (c) con t = 0.2 ms (xd[n] = x(n/5000), = 50, n entre 0 y 400,

400

2

0

1( / 5000) [ ]

401d

n

MSE y n y n

.

Escriba un breve párrafo de conclusiones.

1/

x(t) y(t)+

_

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

dx t y t y t

dt

dx t y t y t

dt

xd[n] yd [n]

Retardoyd [n-1]

1

1

t

x(t)

0 30 ms

1 V

0 V

1. introducción. definición de señales y...

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