décimo-quinta clase. respuesta al impulso....
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Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 1
Décimo-quinta clase. Respuesta al impulso. Implementación de sistemas
LTI. Ecuaciones de diferencia y diferenciales lineales con
coeficientes constantes.
De otro lado, cuando decimos que conociendo la respuesta al impulso de un sistema LTI conocemos
su respuesta a cualquier otra entrada gracias a la convolución, queremos decir que la respuesta al
impulso nos dice todo lo que necesitamos saber de un sistema LTI. En efecto, todas las propiedades
que vimos para los sistemas en general, dependen exclusivamente de la respuesta al impulso cuando
se trata de sistemas LTI, como se muestra a continuación.
Sistema estático o dinámico: Un sistema LTI en tiempo discreto es estático si y sólo si h[n]=0
n0, ó {h[n], nℤ} = h[0]{[n], nℤ} En efecto, en ese caso {y[n], nℤ} = h[0]{x[n], nℤ}, que
es la única manera en que un sistema LTI en tiempo discreto pueda exhibir falta de memoria pues,
si algún otro valor h[k] es diferente de cero para k diferente de cero, la salida en el instante n
dependerá de la entrada en el instante n-k mediante el término aditivo h[k]x[n-k]. En tiempo
continuo, la respuesta al impulso de un sistema LTI estático debe ser otro impulso en el mismo
instante, {h(t), tℝ} = h0{(t), tℝ}, pues ésta es la única manera de que la salida en el instante t
sólo dependa de la entrada en el mismo instante,
0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x h t d h x t d h x t
.
Sistema causal o no-causal: Si queremos que en la expresión [ ] [ ] [ ]k
y n h k x n k
no
participen valores futuros de x[], es necesario y suficiente con tener h[n]=0 n<0. En efecto, en
este caso la suma de convolución, 0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n
k k
y n h k x n k h n k x k
, sólo incluye valores
pasados y presentes de la señal de entrada. De la misma manera, para que un sistema LTI en tiempo
continuo sea causal es necesario y suficiente que h(t)=0 t<0, pues entonces
( ) ( ) ( )t
y t x h t d
.
Sistema BIBO-estable o BIBO-inestable: Si la entrada es acotada, [ ] ,xx n M n , la salida
acotada requiere [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]x
k k k k
y n x k h n k x k h n k M h k h k
, de
manera que si la respuesta al impulso es absolutamente sumable, se puede garantizar la estabilidad
BIBO del sistema LTI. Sin embargo, esta condición no sólo es suficiente sino también necesaria:
Sea x[n]=signo(h[-n]), acotada mediante |x[n]|1. Entonces y[0] = k|h(-k)|, lo cual hace que la
condición propuesta sea necesaria. De igual manera, un sistema LTI en tiempo continuo es BIBO-
estable si y sólo si ( )h t dt
.
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Sistema invertible o no-invertible: Un sistema LTI con respuesta al impulso h es invertible si
existe otro sistema h-1 tal que h*h-1
= . En este caso, de acuerdo con la asociatividad de la
convolución, si y=x*h, x=y*h-1. Evidentemente, la existencia de un h-1
tal que h*h-1 = es una
propiedad de la respuesta al impulso h.
Quiz: Considérese el siguiente sistema no lineal: 2 2[ ] [ ] [ 1]y n x n x n . ¿Cuál es la respuesta al
impulso? ¿Cómo responde a una señal de entrada que vale 2 cuando n=0, vale 1 cuando n=1 y vale
0 para cualquier otro instante n? ¿Cuál sería la correspondiente respuesta de un sistema LTI con la
misma respuesta al impulso? Concluya sobre cuánta información ofrece la respuesta al impulso para
sistemas lineales y no lineales.
Nótese que la respuesta al impulso de un sistema LTI causal en tiempo discreto puede durar un
tiempo finito o infinito. Si la respuesta al impulso es finita (FIR –Finite Impulse Response-), esto
es, si Mℕ: h[n]0 nM, la suma de convolución ofrece una forma directa de implementación
del sistema:
Figura 1. La suma de convolución es una manera directa de implementar un sistema FIR
En esta estructura, los términos de la respuesta al impulso se usan como coeficientes para ponderar
M muestras de la señal de entrada, por lo que a los sistemas así implementados se les denomina de
"promedios móviles" (MA –Moving Average-).
Sin embargo, en sistemas con respuesta infinita al impulso (IIR –Infinite Impulse Response-), la
suma de convolución no podría ser un algoritmo de implementación válido porque se necesitaría un
número infinito de términos en la "escalera" de la figura anterior. Por esta razón, no es posible
implementar cualquier respuesta IIR arbitraria, aunque muchas respuestas al impulso se pueden
implementar indirectamente mediante estructuras recursivas. En estas estructuras recursivas la
respuesta al impulso no está explícitamente definida, pero sí se representa de manera implícita a
través de los coeficientes de la recursión. Por ejemplo, el acumulador
0
[ ] [ ] [ ]n
k k
y n x k x n k
tiene una respuesta al impulso infinita, h[n]=u[n], lo cual imposibilita su implementación
directamente mediante la suma de convolución, esto es, mediante una estructura MA. Sin embargo,
no es necesario considerar una memoria infinita, pues el mismo sistema se puede expresar
recursivamente:
1
0
[ ] [ ] [ ]M
k
y n h k x n k
[ ]x n
Retardo
Retardo
Retardo
Retardo
+
+
+
[ 1]x n
[ 2]x n
[ 1]x n M
[0]h
[1]h
[2]h
[ 1]h M
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0 1 0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [( 1) ] [ ] [ 1]k k k
y n x n k x n x n k x n x n k x n y n
Figura 2. Algunos sistemas IIR, como el acumulador, se pueden implementar recursivamente
Generalizando el ejemplo anterior, un sistema recursivo puede ponderar de diferentes maneras cada
uno de los términos de la recursión, 1
0
[ ] [ ]N
k
k
a y n k x n
Bajo la suposición de que a0=1, con la cual no se pierde generalidad, dicho sistema recursivo se
puede implementar así:
Figura 3. Forma general de un sistema puramente recursivo
En este caso, como la salida se calcula a través de muestras anteriores de la misma salida que se
realimentan a la entrada, esta estructura se conoce como Auto-Regresiva (AR –autoregressive-).
Aunque la respuesta al impulso no está explícitamente descrita, como en el caso de los sistemas MA
donde la respuesta FIR está en los coeficientes, es fácil calcularla mediante la relación 1
0
[ ] [ ]N
k
k
a h n k n
La forma más general que toma un sistema LTI causal en tiempo discreto que se pueda implementar
es la de una Ecuación Lineal de Diferencias con Coeficientes Constantes: 1 1
0 0
[ ] [ ]N M
k k
k k
a y n k b x n k
Suponiendo, sin perder generalidad, que a0=1, la forma anterior sugiere una forma directa de
implementación:
[ ] [ ] [ 1]y n x n y n [ ]x n
Retardo
[ 1]y n
+
1
1
[ ] [ ] [ ]N
k
k
y n x n a y n k
[ ]x n
Retardo
Retardo
Retardo
Retardo
+
+
+
[ 1]y n
[ 2]y n
[ 1]y n M
1a
2a
1Na
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Figura 4. Forma general de un sistema IIR
En el sistema anterior simplemente pusimos en serie un sistema AR después de un sistema MA, por
lo que este tipo de sistemas se conoce como sistema ARMA (Auto-Regressive, Moving-Average).
En este caso, los coeficientes de la parte MA ya no son la respuesta al impulso, pues ahora se trata
de un sistema IIR.
Nótese que, en tiempo discreto, la suma de convolución es un algoritmo directo de implementación
de los sistemas FIR. Esto no ocurre con sistemas en tiempo continuo, pues en ellos la misma
respuesta al impulso casi nunca se describe de manera explícita. De hecho, generalmente se
expresan las tasas de cambio de algunas variables en términos de los valores actuales de las mismas
variables. Por ejemplo, recordemos el circuito RC y la masa sometida a fuerzas de empuje y de
fricción que se mostraron en la tercera clase, los cuales se modelaban mediante el mismo sistema
lineal de primer orden:
Figura 5. Dos sistemas diferentes que conducen a una misma forma de abstracción matemática
Figura 6. Abstracción matemática para los dos sistemas anteriores
1 1
0 1
[ ] [ ] [ ]M N
k k
k k
y n b x n k a y n k
[ ]x n
Retardo
Retardo
Retardo
Retardo
+
+
+
[ 1]x n
[ 2]x n
[ 1]x n M
0b
1b
2b
1Mb
Retardo
Retardo
Retardo
Retardo
+
+
+
[ 1]y n
[ 2]y n
[ 1]y n N
1a
2a
1Na
i(t)vi(t)
vo(t)
+
-
+
-
F(t)
v(t)
v(t)
M
0
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
i R
i
i o
v t v t v t
v t v t R i t
dv t v t RC v t
dt
( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( )
dF t v t M v t
dt
M dF t v t v t
dt
1/
x(t) y(t)+
_
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
dx t y t y t
dt
dx t y t y t
dt
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Ese tipo de expresiones son típicos al describir sistemas naturales en tiempo continuo. Por ejemplo,
si una población de individuos de alguna especie, y(t), crece según una tasa de natalidad por
individuo, a>0, y decrece según una tasa de mortalidad por individuo, b>0, podríamos escribir
( ) ( ) ( ) ( )a b
dy t ay t by t y t
dt
Si, además, hay un flujo neto de inmigración o emigración con respecto al ecosistema que se esté
considerando, x(t), el sistema se modificaría así:
( ) ( ) ( )d
y t y t x tdt
que es, fundamentalmente, el mismo sistema lineal de primer orden:
Figura 7. Modelo simple de crecimiento poblacional. Es un sistema LTI, pero la respuesta al impulso, h(t)=e
t, no
aparece explícitamente en la descripción del sistema
Nótese que otro diagrama de bloques para el mismo sistema, que implementa más directamente el
anterior modelo, incluiría la evaluación de la derivada, como se muestra en la siguiente figura. Sin
embargo, se suele preferir utilizar integradores para hacer los sistemas más inmunes al ruido, como
se muestra a continuación.
Figura 8. El mismo modelo de crecimiento poblacional, pero usando un diferenciados. Esta implementación no es
común por su sensibilidad al ruido
Figura 9. Derivar es una operación mucho más sensible al ruido que integrar
x(t) y(t)
+
+
x(t) y(t)
d/dt
1/-
+
0 2 4 6-1
0
1
0 2 4 6-1
0
1
0 2 4 6-1
0
1
0 2 4 6-1
0
1
0 2 4 6-1
0
1
0 2 4 6
-0.5
0
0.5
1
0 2 4 6-1
0
1
0 2 4 6-5
0
5
d
dt
d
dt
-1
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En general, una forma típica en que se representan los sistemas en tiempo continuo es mediante
relaciones puramente autoregresivas, ( )1
( )0
( ) ( )kN
k kk
dx t a y t
dt
, que se pueden implementar mediante
diferenciadores así,
Figura 10. Sistema lineal, invariante en el tiempo y causal en tiempo continuo
aunque se prefiera el uso de integradores, así:
Figura 11. El mismo sistema lineal, invariante en el tiempo y causal en tiempo continuo de la figura anterior
Generalizando, una clase importante de sistemas LTI en tiempo continuo obedecen a una Ecuación
Lineal Diferencial con Coeficientes Constantes,
( ) ( )1 1
( ) ( )0 0
( ) ( )k kN M
k kk kk k
d da y t b x t
dt dt
Que se podría implementar, al menos teóricamente, como se muestra a continuación:
Figura 12. Forma general de un sistema lineal, invariante en el tiempo y causal en tiempo continuo descrito mediante
una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes
( )x t+
+
+
1 0/a a
2 0/a a
1 0/Na a
d/dt
d/dt
d/dt
d/dt
( )d
y tdt
2
2( )
dy t
dt
1
1( )
N
N
dy t
dt
( )y t01/ a
x(t) y(t)+
+
+++
11/ Na
0 1/ Na a 1 1/ Na a 3 1/N Na a 2 1/N Na a
1 1
0 1
( ) ( ) ( )k kM N
k kk kk k
d dy t b x t a y t
dt dt
( )x t
d/dt
d/dt
d/dt
d/dt
+
+
+
( )d
x tdt
0b
1b
2b
1Mb
+
+
+
1a
2a
1Na
2
2( )
dx t
dt
1
1( )
M
M
dx t
dt
d/dt
d/dt
d/dt
d/dt
( )d
y tdt
2
2( )
dy t
dt
1
1( )
N
N
dy t
dt
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Tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto, las ecuaciones lineales con coeficientes
constantes proporcionan una especificación completa del sistema sin especificar explícitamente su
respuesta al impulso, pues permiten determinar la señal de salida a partir de la señal de entrada,
dadas unas condiciones iniciales suficientes. Aunque la búsqueda de una expresión cerrada para la
señal de salida es un tema ya estudiado en cursos de ecuaciones diferenciales y matemáticas
especiales, en muchas ocasiones nos interesa es la solución numérica a través del computador o de
un circuito que implemente la ecuación misma. Para el análisis y diseño, utilizaremos técnicas
basadas en transformaciones que cambian la base de los impulsos unitarios a las exponenciales
complejas, en donde el problema de encontrar la solución cerrada se vuelve un problema algebraíco.
En consecuencia, es hora de empezar el estudio de ese tipo de transformaciones.