1 - aritmetica 3ro__iib

Colegio BRYCE - Camaná

B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

CONJUNTOS

FECHA _____/______/ 2009

INTRODUCCION A CONJUNTOS ACERTIJO

Curiosa PartidaTres jugadores convienen en que el que pierda una partida doblara el dinero que en ese momento tengan los otros dos. Después de haber perdido todos ellos una partida, cada jugador se retirara con 200 soles. ¿Cuánto dinero tenían al principio del juego?

RECONOCIENDO LOS CONJUNTOS MEDIANTE TUS HABILIDADES:

1. ¿Cuántos compañeros y compañeras de clase tiene usted? ………………………………………

2. En un partido de fútbol normal, ¿cuantos jugadores, como máximo, se encuentran en el campo de juego durante su desarrollo?..................................................

3. Hay dos jueces de línea y un árbitro. ¿cuantas personas en total intervienen en el ‘partido de fútbol?......................................................

4. ¿Cuántos números hay a aquí? : 1, 4, 5, 20 ………………...

5. ¿Cuántos números naturales hay aquí? 20, 21, 22, 23, 30 ………………………

6. ¿Cuántos números naturales hay aquí? 20, 21, 22,…30: ………………..

7. ¿Cuántos números naturales impares hay aquí? 1, 2, 3,…,121: ………………………..

8. ¿Cuántos números naturales pares hay aquí? 101,102.103,…204: …………….

9. ¿Cuántos números naturales hay aquí? 2, 4, 6 , 8,…,20: ………….

10. ¿Cuántos números naturales hay aquí? 3, 5, 7, 9,…51:………………

NOCION DE CONJUNTO

Es una colección o agrupación de objetos abstractos y concretos que pueden o no tener una característica común.Ejemplos:

1. los números impares menores que 72. ………………………………………………………3. ………………………………………………………4. ………………………………………………………5. ………………………………………………………

Para representar por símbolos los conjuntos, los elementos y el hecho de que un elemento

1

La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo. El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7

Colegio BRYCE – Pedregal

Aritmética

pertenezca a un conjunto tendremos en cuenta lo siguiente:

i. los conjuntos se designan con letras mayúsculas y los elementos que forman el conjunto se designan con letras minúsculas y se encierran entre llaves, separados por comas en todos los casos donde sea posible que esto ocurre cuando el conjunto esta expresado por extensión.

ii. Un conjunto esta expresado por comprensión si se da una propiedad característica de todos y cada uno de los elementos

RELACIÓN DE PERTENENCIA ( )

En todo conjunto existen elementos que pertenecen y elementos que no pertenecen así tenemos:Ejemplos:Dado el conjunto A = se observa:0 …A 5 … A1 … A …. A2 …. A 7 … A

…A 4 … A

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN CONJUNTO

Un conjunto también se puede representar mediante figura o esquemas. Esta representación se utiliza para representar dos o más conjuntos, poniendo de manifiesto la relación existente entre ellos.

Tenemos las siguientes representaciones:a) Diagramas lineales.- Es la representación de

dos o más conjuntos utilizando segmentos de recta. Este diagrama se utiliza principalmente para representar la inclusión entre conjuntos, que se exponen en el proceso:

Consideremos los conjuntos:A = {Limeños}B = {Peruanos}C = {Argentinos}D = {Bonaerenses} U = {Sudamericanos}

Su representación gráfica será:

b) Diagrama de Venn-Euler.- Se denomina así al uso de figuras geométricas simples y cerradas dentro de los cuales se ubican los elementos que pertenecen al conjunto y fuera los que no pertenecen:

Ejemplo:

1.-Representemos gráficamente a los conjuntos:A = y B =

c) Diagrama de Lewis Carrol.- Estos diagramas son similares a los de Venn , en este caso tienen como preferencia la formación de rectángulos divididos por segmentos que son apropiados para representar conjuntos disjuntos (que no tienen elementos en común) o conjuntos con sus respectivos complementos.

Está considerado dentro del siguiente diagrama

DETERMINACION DE UN CONJUNTO

Determinar un conjunto es indicar o señalar en forma precisa, los elementos que lo conforman. Un conjunto se puede determinar por extensión y por comprensión.

a) Determinación por extensión.- Un conjunto se determina por extensión o por el modo

2


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

explícito o enumerativo, nombrando individualmente sus elementos.Ejemplo:

Determinar por extensión el nombre de 5 provincias del departamento de Arequipa: A = …………………………………………………...…………………………………………………...

Determinar, ahora el conjunto de números primos dedos cifras.

B = ……………………………………………… …………………………………………………

b) Determinación por comprensión o forma constructiva.-

Un conjunto se determina por comprensión o por el medio implícito o descriptivo, enunciando la propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto considerado.

Ejemplos:Para el caso de: B = es por extensión:Ahora por comprensión:B =

PRACTICANDO EN CLASE

Determinar por extensión y luego por comprensión cada uno de los siguientes conjuntos

1. Los meses del año con 30 días2. Los meses del año con 31 días3. las estaciones del año4. Los continentes5. Los países tricampeones mundiales de fútbol6. Las notas musicales7. Las vocales fuertes8. Los 5 últimos presidentes del Perú9. Los nombres de 5 congresistas del Perú10. Los nombres de 5 Ministros del Perú

Determina por extensión los siguientes conjuntos:

11. P = {x/x es un planeta del sistema solar}12. Q = {x/x es un satélite natural de la tierra}13. R = {x/x es un país bolivariano}14. S = {x/x es un número natural menor que 10}15. Y = {x/x es un número natural menor que 20

par}

Determine por comprensión los siguientes conjuntos

16. A =

17. B=

18. C =

19. D=

20. E =

En cada uno de los siguientes ejercicios decir si el elemento dado pertenece o no al conjunto:

21. m……..A A={ x/x es letra de la palabra Hernando}22. k……..A A={x/x es una de las 10 primeras letras

de nuestro abecedario}23. ¾ ….. B B = {x/x es un numero natural}24. trébol …….P P= {x/x es palabra grave}25. 0,0125 …...R R={x/x es un numero entero}

AHORA RESUELVE EN TU HOGAR

1. Si:

Hallar:N(P(A))

A. 4B. 15C. 16D. 8E. 26

2. Dado el conjunto:M = {x/x es una letra de la palabra “matemática”} ¿Cuantos subconjuntos tiene M?A. 64B. 128C. 256D. 1024E. 2048

3. Sean los conjuntos

A = {2 ; 3; 4; 4; 5; 6}B = {2x/x Z; 2 < x <6}

Calcular: A. 5B. 7C. 8D. 9E. 6

4. Determinar por extensión el siguiente conjunto:

Dar como respuesta la suma de sus elementos

A. 42B. 15C. 7D. 35E. 41

5. Si:

3

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7


Aritmética

Hallar: AC

A. {2; 3; 7}B. {2}C. {3}D. {4}E. g

6. Si:

Hallar: n ( A x B )

A. 1B. 2C. 3D. 4E. 0

7. Si: Indica cual es verdadero

A.B.C.D.E.

8. Indicar cuantas expresiones son verdaderas si: A = {2; 3; 0}

Y las expresiones son:

I. A 2 II. 2 AIII. 3 A IV. {0} A

A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5

9. ¿Cuál de las siguientes relaciones es falsa?A. {2; 5; 3} = {3; 5: 2}B. {4} {5; {4}}C. {3} {2;3;4}D. g {3;4}E. {1;2} {1;2;3}

FECHA _____/______/ 2009

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

ACERTIJO

7 llenas, 7 medio llenas y 7 vacías

Tres hermanos recibieron 21 botellas iguales de una partida de vino, de las cuales 7 estaban llenas, otras 7 medio llenas y las restantes 7 vacías. ¿Como repartirse las 21 botellas de modo que cada uno reciba el mismo numero de botellas y la misma cantidad de vino sin destapar las botellas?

NUMERO CARDINAL DE UN CONJUNTO

El cardinal del conjunto A, denotado por n(A), indica el número de elementos que posee el conjunto A.

Ejemplo:

Indica el número de elementos de los siguientes conjuntos:

* A = {a;b;{b;c}} n(A) = 3

* B = {3;4;{5};{3;4}} n(B) = 4

* C = {p;a;r;a;d;a} n(C) = 4

* D = {x/x N 4 x 5} n(A) :

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. Inclusión

Se dice que el conjunto A esta incluido en otro conjunto B, si y solo si, todo elemento de A es también un elemento de B.

Notación matemática:

A Ì B « " x A x B

Significado de : A Ì B

“A es subconjunto de B”

“A esta incluido en B”

“A es parte de B”

“B es súper conjunto de A”

OBSERVACIÓN:

I. Todo conjunto esta incluido en si mismo.

4


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

A Ì A ; "A

II. Convencionalmente, el conjunto vacío se considera incluido en cualquier conjunto.

Ì A ; " A

III. Si el conjunto A esta incluido en B y es distinto de B, entonces el conjunto A es subconjunto propio de B.

Ejemplo: Dado el conjunto A = {3;4;5}

Determinar:a) Subconjuntos de Ab) Subconjuntos propios de A

Solución:

a) Hallamos los subconjuntos de A : {3};{4};{5} ; {3;4} ; {3;5} ; {4;5} ; {3;4;5}

Vació unitarios binarios ternarios

Son 8 subconjuntos. ( 8 = 23)

b) Hallamos los subconjuntos propios de A : {3};{4};{5} ; {3;4} ; {3;5} ; {4;5}

Vació unitarios binarios

Son 7 subconjuntos propios (23 – 1)En general:Si el conjunto A tiene “n” elementos, entonces tendrá “2” subconjuntos y “2” – 1” subconjuntos propios.

Ejemplo:

Si el conjunto A tiene 1024 subconjuntos y tiene tres elementos más que B, determinar:a) El numero de subconjuntos de B.b) El numero de subconjuntos propios de B.

Solución:* Hallamos el número de elementos de A. A tiene 1024 = 210 subconjuntos n(A) = 10 Luego: n(B) = 10 – 3 = 7

a) Numero de subconjuntos de B:27= 128 subconjuntos

b) Numero de subconjuntos propios de B:27- 1 = 127 subconjuntos propios

OBSERVACIONES

a.

b. Todo conjunto está incluido en si mismo o es subconjunto de si mismo.

c. El conjunto vacío esta incluido en todo conjunto

d. Si un conjunto tiene “n” elementos entonces 2n subconjuntos

e. Si un conjunto tiene “n” elementos entonces 2n -1 subconjuntos propios.

2.- Igualdad de Conjuntos:Se dice que dos conjuntos son iguales, si estos

tienen los mismos elementos. Notación matemática:

(A = B) «( AÌB)(BÌA)

Ejemplo:Sean los conjuntos:A = {a;e;i;o;u}B = {x/x es una vocal}Los conjuntos A y B tienen los mismos elementos. A = B

3.- Conjuntos Disjuntos:Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen

elementos comunes.Ejemplo:Sean los conjuntos.A = { x/x es numero par };B = { x/x es un numero impar }Luego, los conjuntos A y B no tienen los mismos elementos por lo tanto son disjuntos.

4.- Conjunto PotenciaEl conjunto potencia de A, denotado por P(A)

o Pot(A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.Ejemplo:Dado el conjunto A = {a;b;c}

Los subconjuntos de A: ; {a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};{a;b;c}

Luego, el conjunto potencia de A, será: P(A) = {{};{a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};{a;b;c}

Observación:Del ejemplo anterior, podemos deducir:i) b es elemento de A :bAii) {b} esta incluido en A : {b} Ì Aiii) {b} es elemento de Pot(A): {b}P(A)iv) {{b}} esta incluido en la potencia de A:

{{b}} Ì P(A)

5.- Conjuntos Comparables Dos conjuntos A y B son comparables cuando solo uno de ellos esta incluido en el otro, es decir:

5

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7


Aritmética

6.- Conjuntos EquipotentesDos conjuntos A y B son equipolentes cuando el numero de elementos de los dos conjuntos son iguales.

Simbólicamente:

Ejemplo:

A y B son equipolentes.

C y D no son equipotentes.


1. Dados:A = {a2 + 9; b + 2}B = {-9; 10}Si se sabe que A= B Calcular: a + b

A. 9B. -9C. 10D. -10E. 11

2. Si los conjuntos C y D son igualesC = {2x + 1; 242}D = {3y – 1; 1025}Hallar la suma de elementos de:E = {n/n N y < n < x}

A. 23B. 24C. 30D. 22E. 31

3. Si: A = {2; 3; 3; 3}B = {3; x; x; x}A = BHallar: N = A B

A. {3; 2}B. {2}C. {3}D. {1}E. {8}

4. Sean: A = {( x + 1 )/x Z+ x < 30}B = {x es par / x A}C = {x – n2/x B}

Calcule el número de elemento de C

A. 1B. 2C. 4D. 16E. 3

5. Halle el numero de elementos de:, si

S = {0; 1; 2; 3}R = {2; 3; 4}T = {0; 4; 5; 6}

A. 1B. 2C. 3D. 5E. 7

6. De un grupo de 100 alumnos 49 no llevan el curso de matemática y 53 no llevan filosofía. Si 27 alumnos no llevan ambos cursos, ¿Cuántos llevan exactamente uno de tales cursos?

2636455248

7. Se dispone de 5 tipos de vinos los cuales se combinan para obtener sabores diferentes a los que ya se tienen.¿Cuantos nuevos sabores diferentes se podrían obtener?. Considerar que al combinar varios sabores distintos se usaron cantidades iguales de cada sabor

252632.18915

8. De 72 alumnos de un instituto, 36 estudian en la mañana, 35 en la tarde y 25 en la noche. ¿Cuántos alumnos estudian en solo dos turnos, si solo uno, estudia en los tres turnos?

2022242830

9. De 50 estudiantes de un salón; 30 tienen libro de aritmética, 42 tienen libro de álgebra. ¿Cuántos tienen ambos libros, si 6 de ellos no tienen ninguno de estos libros?

1015182812

10. Entre la información sobre 200 turistas se sabe que 64 eran norteamericanos, 86 eran europeos, 90 eran ingenieros, de estos últimos 30 eran norteamericanos y 36 europeos.

6


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

¿Cuántos turistas de los que no son europeos no eran norteamericanos ni ingenieros?

2526272829


1. De una grupo de 80 personas: 27 leían la revista A, pero no leían la revista B, 26 leían la revista B pero no la C; 19 leían la C pero no la A 2 de las tres revistas mencionadas ¿Cuántos preferían otras revistas?a). 9b). 8c). 3d). 4e). 6

2. De un total de 480 personas, 140 hablan ingles, 90 hablan francés y 280 hablan solo castellano ¿Cuántos hablan solo francés?a). 50b). 60.c). 70d). 80e). 140

3. En un salón de clase de 80 alumnos, se sabe que 53 estudian Algebra y 46 estudian Aritmética. ¿Cuántos estudian ambos cursos?a). 109b). 38c). 59d). 99e). N.A.

4. De un grupo de 400 postulantes se sabe que 180 no postulan a la UNI, 210 no postulantes a la Católica y 80 no postulan a ninguna de estas dos universidades ¿Cuántos postulan a estas dos universidades?a). 90b). 100c). 110d). 120e). 130

5. A una fiesta asisten 100 parejas; 50 hombres usan anteojos hay tantas personas con anteojos, como mujeres que no los usan. ¿Cuántas mujeres no usan anteojos?a). 58b). 63c). 75d). 82e). 96

6. En una fiesta habían 120 personas 30 hombres que no les gustaba “salsa”, 50 eran mujeres que gustaban de esa música. Si el número de hombres que gustan de “salsa” es la tercera

parte de las mujeres que no gustan de esta música ¿A cuantas les gusta la música salsa?a). 35b). 45c). 50d). 60e). 72

7. En una I.E. 19 gustan de matemática, 17 gustan de geografía, 11 gustan de historia, 12 de matemática y geografía, 7 de historia y matemática; 5 de geografía e historia y 2 ¿Cuántos llevan historia y no matemática?a). 1b). 3c). 4d). 2e). N.A.

8. En la edición de un libro han resultado 120 libros con fallas, tales como 68 libros con fallas de papel; 32 libros con fallas de impresión, 40 libros con fallas de compaginación; 5 tienen solo fallas de papel e impresión; 17 libros tienen fallas impresión y compaginación pero no de papel; 19 tienen fallas de compaginación y papel solamente; 4 libros tienen 3 fallas. ¿Cuántas tienen fallas de compaginación por lo menos?a). 39b). 20c). 58d). 32e). 69

9. En una Universidad se tienen 58 jugadores de los cuales: 38 juegan fútbol; 15 básquetbol; 20 béisbol y 3 juegan los tres deportes. ¿Cuántos jugadores juegan solo dos de los tres deportes?a). 3b). 8c). 9d). 5e). 10

10. En un colegio 100 alumnos han rendido 3 exámenes. De ellos 40 aprobaron el primero; 39 aprobaron el segundo y 48 el tercer examen. Aprobaron 10 los tres exámenes; 21 no aprobaron examen; 9 aprobaron los dos primeros pero no el tercero; 19 no aprobaron los 2 primeros exámenes, pero si el tercero. Calcular cuantos aprobaron por lo menos 2 exámenes.a). 29b). 18c). 32d). 18e). N.A.

7

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7


Aritmética

FECHA _____/______/ 2009

CLASES DE CONJUNTOS

ACERTIJO La Torre en el CuadradoForme una matriz cuadrada de 3 x 3, usando los números del 1 al 9 sin repetirlos, tal que una torre de ajedrez puede recorrer pasando de forma continua de cada digito a su siguiente, de 1 a 9, y en la que la tercera fila sea la suma de las otras dos. La solución es única.

CLASES DE CONJUNTOS

1. Conjunto Vacío O conjunto nulo, es el conjunto que no posee elementos y se denota por { } o . Ejemplo: M = { x/x es numero natural 3 x 4}

2. Conjunto UnitarioEs el conjunto que consta de un solo elemento, también se le denomina SIGLETONEjemplo: B = { x/x es un numero par 7 x 9}

3. Conjunto FinitoEs el conjunto con limitado número de elementos, es decir, se pueden contar sus elementos.Ejemplo: S = { x/x es un numero natural de dos cifras}

4. Conjunto InfinitoEs el conjunto con ilimitada cantidad de elementos. Por lo general se determinan por comprensión.Ejemplo: G = { x/x es una estrella del firmamento}

5. Conjunto UniversalEs un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular y se denota por U.Ejemplo:De los conjuntos numéricos, el conjunto de los números complejos representa al universo de los números.


Indicar si los Siguientes conjuntos son vacíos, unitarios, finitos o infinitos:

1) A ={x:x es un numero natural comprendido entre 3 y 5}

2) B ={x:x es un numero natural comprendido entre 3 y 4}

3) C ={x:x es un triangulo}4) D ={x:x es un triangulo de 4 lados}5) E ={}

6) M ={2,4,6,8,10,...}7) F ={x:x es una arenilla del mar}8) G ={1,2,3,4,5,...,1111111}

Indicar un conjunto universal conveniente en cada caso:

9) M ={perro, caballo, vaca, gato, león, tigre, elefante}

10) N ={metro, centímetro, kilómetro, decámetro, hectómetro}

11) R ={Guajira, Atlántico, Bolívar, Cesar, Córdova, Sucre, Magdalena}

Representa mediante diagramas de Venn los siguientes conjuntos, donde U representa el conjunto universal:

12) U ={ O}13) U ={x:x es vocal}

14) U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}B ={x:x es divisible por 3}A ={o}A ={x:x es vocal débil}A ={x:x es par}

15) U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} A ={2,3,4,5,6,7} B ={3,4,5,6} C ={4,5}

16) Dados los conjuntos: A ={x,y,z,w,m} B ={y,w,m,p} c ={y,m}Llenar el espacio vació entre los conjuntos con el

símbolo Ì , según el caso.a) B ______A c) C______A e) B______Bb) C______B d) B______C f) ______C

17) Si M ={x :x es mes del año}, indicar cuales de las siguientes conjuntos están incluidos en M:

A ={x:x es mes de vacaciones escolares}

B ={x:x es día santo}C ={x:x es mes de 2005 días}D ={x:x es mes de 30 días}E ={7 de Agosto}

18) Dados los conjuntos: A = {A,E,I,O,U} B = {x:x es vocal de la palabra

LONGITUDINALES} y C ={x:x es vocal de la palabra

ESTERNOCLEIDOMASTOIDEO}Llenar el espacio vació entre los conjuntos

con los símbolos = o , según el caso:a) B ______A c) C______A e) B______Bb) C______B d) B______C f) ______C


1. En una encuesta acerca del consumo de bebidas se obtuvo la siguiente información:

8


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

Toman guaraná y pasteurina 1/3 de los que solo toman pasteuriza y ½ de los que toman guaraná

Toman otras bebidas diferentes tantos como los que toman sólo una bebida delas mencionadas

Si los encuestados fueron 495 personas, entonces los que solo toman una bebida (pasteuriza o guaraná) son:

125225450523488

2. De un grupo de 55personas 25 hablan castellano, 32 quechua 33 inglés y 5 los tres idiomas. Luego el numero de personas que sólohablan dos de estos tres idiomas es:

252632.1815

3. De un grupo de personas que tocan flauta, quena y tuba se sabe que la octava parte toca solo flauta, la séptima parte solo toca quena, la diferencia de los que tocan sólo flauta y los que tocan solo quena es igual a la cantidad de músicos que tocan sólo tuba. Si 80 tocan por lo menos 2 de los instrumentos mencionados. ¿Cuántos tocan solo quena?

2618161220

4. En un grupo de 55 personas; 25 hablan ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan solo dos de estos idiomas?

1015202530

5. En una universidad, se requiere que los estudiantes del primer ciclo de economía, cursen matemática o contabilidad o economía. En un grupo de 500 de estos, se conoce que 300 cursan matemática, 200 contabilidad y 250 economía. Si 140 cursan matemática y economía, 90 matemática y contabilidad, 50 contabilidad y economía. ¿Cuántos cursan las tres materias?

2030

405060

6. De un grupo de personas se sabe que el 71% no leen la revista A, el 67% no leen la revista B, el 24 % leen la revista A o la revista B pero no las dos a la vez ¿Qué porcentaje leen las dos revistas? ¿Qué porcentaje no leen las dos revistas?

19% ; 57%13% ; 80%20% ; 80%32% ; 78%NA.

7. En el 4to. Grado de una I.E. estudian 120 alumnos de los cuales: 45 aprobaron física, 46 química, 38 matemática, 7 física y química, 8 química y matemática, 10 matemática y física y 12 no aprobaron ningún curso ¿Cuántos alumnos aprobaron los tres cursos?A. 12B. 18C. 16D. 19E. 8

FECHA _____/______/ 2009

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1.-Unión o Reunión: AUB

El conjunto “A unión B” es el conjunto formado por los elementos de “A” o los elementos de “B”.

Notación matemática: A U B ={x/x A Ú x B}

AUB AUB AUB = A

2.- Intersección: A B

El conjunto “A intersección B”, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” y pertenecen a “B”.


A B ={={x/x A Ú x B}

9

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7


Aritmética

Gráficamente:

AB AB AB = A

3.-Diferencia o Complemento Relativo: A – B

El conjunto “A menos B”, es el conjunto formado por los elementos de “A” que no están en “B”.


A - B ={x/x A x Ï B}

Gráficamente:

A – B A – B A - B = A

4.-Complemento de A :A ; Ac ;A ;Ā; El conjunto “Complemento” de “A”, es el

conjunto formado por los elementos del universo que no están en A.


Gráficamente:

5.- Diferencia Simétrica: A BI. AB =(A – B) U (B – A)II. AB =(A B) - (B A)

Gráficamente:

6.-Conjunto Producto: A x B

El conjunto “A por B”, es el conjunto formado por los pares ordenados (a;b), donde la primera

componente “a” es elemento de A y la segunda componente “b” es elemento de B.Notación matemática:

AxB ={(a;b) / aAbB} Ejemplos:

Sean los conjuntos A x B.A ={4;5;6}B ={3;1}Hallar el conjunto A x B.

Solución:Hallamos los elementos de A x B.A ={4;5;5}B ={3;1}

Luego: AxB ={(4;3),(4;1),(5;3),(5;1),(6;3),(6;1)}

OBSERVACIONES:I. El número de elementos del conjunto

AxB, es igual al producto del número de elementos de A por el número de elementos de B.

N(A x B) = n(a) . n(B)

II.El conjunto A x B es diferente del conjunto B x A, a menos que A y B sean iguales.

A X B B X A

LEYES Y PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

1. IDEMPOTENCIA: A A = A A A = A

2. Conmutativa: A B = B A A B = B A A B = B A

3. Asociativa: (A U B) C = A (B C) (A B) C =A (B C) (A B) C = A (B C)

4. Distributiva: A (B C) = (A B) (A C) A (B A) = (A B) (A B)

5. Elemento Neutro: A U = U A U = A A = A A =

6. Complemento: A A’ = U U’ = = U (A’)’ = A

10


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

7. Leyes de Morgan: (A B)’ = A’ B’ (A B)’ = A’ B’

8. Diferencia de Conjuntos: A – B =A B’ A – B = B’ – A’

9. Absorción: A (A B) = A A (A B) = A

10. Numero Cardinal de la Unión de Conjuntos:Son dos resultados notables:I. Para dos conjuntos n(A B) = n(B) – n(A B)II. Para tres conjuntos: N(ABC) = n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-

n(BC)-(AC)-n(ABC)


1.-Dados los conjuntos A = {1,2,3,4}

B = {2,3,4,5} C = {4,5} y D = {1,5}

2.-Determinar cada uno de los siguientes conjuntos:

a) A B b) A B c) C D

d) B D e) B D f) (D C) B

g) (A B) (C D h) (A B) (C D)

i) (A B) (A C) j) A (C D)


1. Si hallar n(A)a). 1b). 2c). 3d). 4e). 5

2. Si hallar n(A)a). 3b). 8c). 6d). 5e). 4

3. Dados A = {4; 8; 10; 12}B = {3; 7; 9; 10}

Hallar a). 8b). 10c). 5d). 4

e). 11

4. Si

Indicar el conjunto por extensión a). {1; 2}b). {2; 3}c). {3; 4}d). {2; 4}e). N.A.

5. Si A = {2; 3; 4; 7; 8} B = {2; 4; 6; 7} Hallar A ∆ B a). {3; 6; 8 }b). {2; 6; 8}c). {2; 4; 6}d). {3; 4; 5}e). {3; 5; 8}

6. Sean A = {1; 5; 7; 8; 9} B = {1; 5; 8; 9}C = {1; 8} D = {1; 9; 7}

Hallar

a). {0}b). {ø}c). ød). 0e). -2

7. Sean:A = {x/x es nº natural divisor de 12}B = {x/x es nº natural divisor de 18}C = {x/x es nº natural divisor de 16}

Calcular:

a). 0b). 1c). 3d). øe). {1}

8. Si M = {6; {7}; {6; 7}; 8} ¿Cuántas proposiciones son verdaderas?6 Є M {7} Є M7 Є M 9 M{6} M {{7}} M

{6; 7} Є M {{7}; 8} M{8} M ø Є Ma). 7b). 5c). 6d). 8e). 9

9. Dado el conjunto A = {{2; 3}; {4}; 4; { ø}} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

11

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7


Aritmética

I. 3 Є A IV ø AII {4; 4} A V {2; 4} AIII ø Є Aa). 2b). 3c). 4d). 5e). 6

10.Dados los conjuntos

Calcule n(A) + n (B)a). 4b). 5c). 6d). 7e). 8

FECHA _____/______/ 2009

INICIANDO LA SOLUCION DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS

ACERTIJO

La Paloma y los TrenesDos trenes avanzan en direcciones contrarias por vías contiguas: uno a 70, y el otro, a 50 kilómetros por hora. Siempre sobrevolando las vías, una paloma vuela de la locomotora del primer tren al segundo, nada mas da media vuelta y regresa a la del primero, y así va volando de locomotora en locomotora. Sabiendo que vuela a 80 kilómetros por hora y que cuando inicio su vaivén la distancia entre ambas locomotoras era de 60 kilómetros ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido la paloma cuando los dos trenes se encuentran?Ayuda: ¿Cuánto tiempo ha estado volando la

paloma.


1. Para los conjuntos:

Los elementos de: son:A. {1; 3; 4}

B.

C.

D.

E. {1; 2; 3}

2. Dados los conjuntos:A = {1; {1;2}; 2}B = {{2}; 1; {1; 2}}

¿Cuántos subconjuntos tiene C?A. 2B. 4C. 8D. 16E. 32

3. Dados los conjuntos:U = {x/x Z - 4 < x < 6}A = {2x – 9/x N 3 < x < 8}B = {3x + 1/x Z -1 < x < 2}

Hallar el numero de elementos de A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5

4. Dados los conjuntos:U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}A = {1; 3; 5}B = {2; 4; 6}C = {1; 4}

Entonces: es igual al A. {1; 2; 4; 6}B. gC. UD. {2; 4; 6}E. N.A.

5. Se dan:

S = {r; s; t; u}Q = {r; s; x; y}P = {r; t; v; x}

Hallar:

A. {s; t}B. {r}C. {r; s; t}D. {r; t}E. {t}

6. Dados los conjuntos:

12


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

E = {x N; x < 10}A = {x E / x es par}

B = {x E / x = x 9}

La suma de elementos que integran (AC - B) es:A. 17B. 22C. 19D. 21E. 15

7. Si:A = {x N / x2 < 17}B = {x Z / x2 + x =0}C = {x N / x3 = 4x}

Hallar A. 5B. 9C. 7D. 6E. 8


1. Dado el conjunto unitario: A = { a + b ; a + 2b – 3 ; 12 } Calcular : a2 + b2

80741049039

2. Diana realiza un viaje mensual durante todo el año a Ica o Tacna. Si 8 viajes fueron a Ica y 11 viajes a Tacna. ¿Cuántos meses visitó a los dos lugares?

46785

3. Los conjuntos A y B son tales que: n(A )=30; y . Hallar

2238362537

4. Durante todas las noches del mes Octubre, Soledad escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches. ¿Cuántas noches escucha músicaylee un libro simultáneamente?

56

4310

5. De un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de Matemática y 53 no siguen el curso de Administración. Si 27 alumnos no siguen Matem+atica ni Administración. ¿Cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos?A. 47B. 43C. 42D. 48E. 45

FECHA _____/______/ 2009

RESOLVIENDO PROBLEMAS Y EJERCICIOS SOBRE CONJUNTOS

ACERTIJOA. EL MÁS PEQUEÑO

¿Cuál es el menor numero que, dividido por 2,3,4,5 y 6 da respectivamente los restos 1,2,3,4 y 5?

MANERAS PARA RESOLVER PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS

En este tipo de problemas lo primero que se debe de hacer es graficar los conjuntos mediante los diagramas de Venn, en el siguiente orden:

- Primero el conjunto universal- En seguida los conjuntos disjuntos- Luego los demás conjuntos que son

necesarios representarlos gráficamente- Por último se coloca el número de elemento

correspondiente a cada conjunto haciendo uso de los datos del problema


1. Dados los conjuntos A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 5; 6}Y la relación: El rango R es:A. {4; 5}B. {2; 5; 6}C. {5; 6}D. {2; 3; 4}E. {1; 2; 3; 4}

13

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7


Aritmética

2. Sean: A = {1; 2; 3; 4}B = {2; 4; 6}C = {2; 3; 4}

Hallar el número de elementos de:

A. 2B. 3C. 4D. 5E. 6

3. Si: ¿Cuál es el conjunto ; si

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}A-B = {4; 5; 6}C = {1; 3; 5}

A. {1; 2; 4}B. {1; 3}C. {5}D. {2; 4; 6}E. {1; 2; 3}

4. Del Grafico:

A BLo sombreado representa: A. (A - B)B. (B - A)C. (A B)D. (B AC )E. Hay dos correctas

5. La región sombreada:

Corresponde a:A. (A B) – CB. (A - C) (B - A)C. (B - C) AD. A B CE. (A - B)

6. A que operación de conjuntos corresponde el siguiente grafico:

A. (B C) – AB. (B A) – CC. (A C) – BD. (B C) – AE. (A C) – B


1. A y B son dos conjuntos tales que: n ( A B = 16 ; n ( A B) = 7 n(A) + 3 = n(B) ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A - B?a). 60b). 46c). 64d). 63e). 82

2. Hallar el numero de elementos de BSi A =

B =

a). 4b). 3c). 2d). 5e). 6

3. Si A B, Simplificar

a). (B)b).c). (A)d).e). N.A.

4. Si A B , ( A B ) C = ø simplificar [ A – ( B C)]’ [( A C ) – ( A B ) ]’a). Bb). B’c). Ad). A’e). C

5. Si U = {a, b, c, d, e} A B = {a, b, c, d} A – B = {b} ; hallar A y Ba). {a, b}b). {a, b, c}c). {a, b, c, d}d). {a, b, c, d, e}e). N.A.

14


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

6. Si A = {2; 4; 5; 6; 8} B = {1; 2; 4; 7; 9} Hallar (A B ) – ( A - B)

a). {1; 2; 3; 4}b). { 1; 2; 4; 5; 6}c). {1; 2; 4; 7; 9}d). {2; 3; 4; 5; 6}e). {1; 3; 5; 7; 8}

7. Dados

Hallar a). øb). 1c). 2d). 3e). 4

8. Si: y

Hallar P(A B )

a). 4b). 6c). 8d). 10e). 12

9. A y B son conjuntos tales que: n(A) +n(B) = 83 ;

n( A B ) = 74 Calcular n ( A B)a). 35b). 82c). 55d). 65e). 69

10.Dados los conjuntos

Indicar

a). 5b). 10c). 6d). 8e). 12

AUTOEVALUACION 1

1. Sean:A = {a N / a es impar}B = {b N / b es par} yR = {(a,b) A x B / a+b : primo menor que 10}Calcule n( R )a) 8b) 10c) 4 d) 7

e) 6

2. Si:A = {a Z / 1 a 6}B = {b N / 3 b 9}R = {(a,b) A x B / 3 a b 6}Halle los elementos del rango de R.a) 20b) 19 c) 18 d) 15e) 9

3. Sean A ={2,3,4,5} y B ={3,6,7,10}Halle n(R) Si:R = {(x,y) A x B / “x” divide a “y” exactamente}a) 6b) 5c) 7d) 4e) 3

4. Sea A = {3,4,5,6}, cual de las siguientes relaciones definidas en A es de equivalencia.

A) R1 = {(3,4) ; (5,6) ; (6,5) ; (4,3) ; (5,5)}B) R2 = {(x , y) / x y}C) R3 = {(3,5) ; (4,3 ; (5,3)}D) R4 = {(3,5) ; (4,3 ; (5,3) ; (5,5) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,6)}E) R5 = {{(x ,y) / x + y = par}

5. En una caja se tienen 10 esferas iguales numeradas del 1 al 10. Si se extraen una por una y al azar. ¿Cuántas habrá que extraer como mínimo para estar seguros de haber obtenido 3 esferas con números consecutivos?

a) 9b) 5c) 8d) 7e) 6

CLAVE DE RESPUESTAS01 02 03 04 05

AUTOEVALUACIÓN 2

1. Dado el conjunto universal: U = {x / x N, 0 x 20} A = {(2x) / - 2 x 8} B = {(3x) / 3 x + 1 5}

2 Halle: n(A x B) A) 75 B) 110 C) 190 D) 209 E) 60

2. Dados los conjuntos:

15

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7


Aritmética

C = {x Z / - 8 x + 10 14} V = {x Z / 10 x2 410} ¿Cuántos elementos tiene el conjunto C x V? A) 1054 B) 1020 C) 620 D) 400 E) 10563. Decir V o F según corresponda:

I. Dos conjuntos diferentes son siempre disjuntos.

II. Si A Ì B y B Ì A ; A y B son comparables.

III. Todo conjunto tiene sub-conjunto propio.IV. Dos conjuntos diferentes finitos con la

misma cantidad de elementos son coordinables.

A) FVFV B) FFVV C) FFFV D) VFVF E) VVVF

4. Para tres conjuntos A, B y C se conoce lo siguiente:

n(A B C) = 100 n(A) = 33 , n(B) = 37 ; n(C) = 44 ; n(ABC) =7n(A B Cc ) + n(B Ac C) + n(C Ac Bc)= 53

Calcule: n(A B Cc) + n(A Bc C) + n(Ac B C) a) 0 b) 20 c) 21 d) 60 e) 40

5.- Erika tomo avena y/o café en su desayuno cada mañana durante un mes de verano, que posee el menor numero de días en el año 2000; si tomo avena 23 mañanas y 17 mañanas tomo café ¿Cuantos días tomo avena y café?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

CLAVE DE RESPUESTAS

01 02 03 04 05

FECHA _____/______/ 2009

SEGUIMOS RESOLVIENDO PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS


1. De cierto número de figuras geométricas se sabe que 60 son cuadriláteros, 20 son rombos, 30 son rectángulos y 12 no son rombos ni rectángulos?A. 2B. 4C. 6D. 8E. 1

2. En una IE. El 50% de los alumnos aprobaron física y el 42% aprobaron química y el 56% de los alumnos aprobó uno y solo uno de los dos cursos. Además 432 aprobaron física y química ¿Cuántos alumnos hay en la institución Educativa? A. 1 510B. 1 800C. 2 000D. 2 400E. 2 600

3. En una peña criolla se tienen 32 artista de los cuales 16 son bailarinas, 18 cantantes, 12 bailan y cantan. ¿Cuantos artistas ni cantan ni bailan?A. 10B. 15C. 20D. 25E. 30

4. En un hospital se observa que una de las salas: todas menos el 40% tienen la enfermedad “A” todos menos el 50% tiene la enfermedad “B” el 10% no tiene ninguna de estas 2 enfermedades ¿Qué porcentaje tiene A y B?A. 25%B. 15%C. 20%D. 10%E. 32%

5. De 100 personas que leen por lo menos 2 de 3 revistas ( A; B y C ) se observa que 40 leen la revista A y B, 50 leen B y C, 60 leen A y C ¿Cuántos leen las tres revistas?A. 5B. 10C. 15D. 20E. 25

6. En un salón de 45 alumnos, el número de los que estudian aritmética es el doble del número de los que estudian aritmética y geometría y el número de los que estudian geometría es el séxtuple del número de los que estudian

16


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

aritmética y geometría. Si hay 10 que no estudian estos cursos ¿Cuántos estudian ambos cursos?A. 4B. 5C. 6D. 7E. 8


1. ¿A que es igual la parte sombreada?

I. C – (A B)

II. (C - A) (C - B)

III. C ∆(A B)

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. Solo IIE. I, II y III

2. ¿Qué región corresponde al resultado de esta operación?

A. 1 y 7B. 3; 2 y 8C. 5 y 8D. 7E. 1

3. Según el diagrama, ¿Cuál puede ser el conjunto X en la igualdad

A – X = {1} ?

A. B. A BC. B - A D. B CE. N.A.

4. Indicar (V) o (F)I

II

III

A. VFVB. FFVC. VVFD. FVFE. FFF

5. La expresión es

equivalente a:A. A BB.C.D.E.

6. Sean A y B dos conjuntos tales que:

n(B) = 12

Hallar:

A. 48B. 16C. 18D. 24E. 8

7. Si A y B son dos conjuntos incluidos en el U tales que:n(A) = 12

17

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7


Aritmética

n(B) = 16

Hallar:

A. 18B. 20C. 23D. 17E. 16

FECHA _____/______/ 2009

SEGUIMOS RESOLVIENDO PROBLEMAS CON MUCHO ENTUSIASMO


1. En una asamblea de 60 integrantes de un club, 50 son estudiantes, 47 trabajan y 4 no trabajan ni estudian ¿Cuántos trabajan y estudian?a). 21b). 41c). 32d). 48e). 50

2. En un aeropuerto se dispone a viajar un grupo de personas de las cuales se observa que 40 mujeres viajan al extranjero, 37 hombres viajan a provincias, 28 casados viajan al extranjero, 45 solteros viajan a provincias, hay 42 hombres casados ¿Cuántas mujeres solteras viajan a provincias si 18 mujeres solteras viajan al extranjero?a). 50b). 32c). 44d). 65e). 49

3. De 80 personas encuestadas sobre el uso de cigarrillos se ha obtenido que 20 mujeres no fuman y de los encuestados 44 son varones ¿Cuántas de las encuestadas fuman cigarrillos?a). 16b). 18c). 20d). 22e). 24

4. De los 100 estudiantes de un salón 70 aprobaron matemáticas 80 aprobaron historia y 78 aprobaron comunicación. Si 90 aprobaron

exactamente 2 cursos, ¿Cuántos aprobaron 3 cursos?a). 9b). 11c). 13d). 15e). 19

5. Entre los habitantes de un distrito se ha realizado una encuesta sobre quienes poseen ciertos artefactos y se ha obtenido los siguientes datos: 80% tienen televisor, 90% tienen radio, 60% tienen cocinas a gas, 2% no tiene ninguno de los artefactos anteriores, 55% tienen los tres artefactos. ¿Qué porcentaje de los encuestados posee solo uno de estos artefactos?a). 12b). 15c). 21d). 32e). 16

6. Para los ingresantes a la facultad de ciencias de la Universidad de Ingeniería se ha implementado tres cursos complementarios de Ingles, Francés y Alemán. En ingles hay 24 inscritos, en francés 20 y en alemán 18. Trece se han inscrito en más de un curso y 34 en un solo curso. ¿Cuántos han decidido estudiar los tres idiomas?a). 10b). 2c). 5d). 8e). 6

7. En una gran empresa consultora trabajan 100 empleados, entre contadores, economistas e ingenieros. 45 de ellos tienen una y solo una de las profesiones. De los contadores, 25 son economistas y 27 son ingenieros. Treinta y tres son economistas e ingenieros. ¿Cuántos de los referidos empleados tienen tres profesiones?a). 20b). 5c). 10d). 15e). 30


1. Si = 57; = 29 ; = 17 Hallar n(B) - n(A)A. 3B. 4C. 5D. 6E. 8

18


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

2. A una fiesta han ingresado 512 personas todas están bailando menos28 caballeros y 10 damas. ¿Cuántas damas hay en la reunión?A. 247B. 147C. 233D. 474E. 265

3. De un grupo de personas se sabe que el 71% no leen la revista A, el 67% no leen la revista B, el 24% leen la revista A o la revista B pero no las dos a la vez. ¿Qué porcentaje no leen ninguna de las dos revistas?A. 19%B. 24%C. 57%D. 29%E. 33%

4. En un instituto de investigación trabajan 67 personas de estas 47 conocen el idioma ingles; 35% el alemán y 23 ambos idiomas. ¿Cuántas personas en el instituto no conocen el ingles ni el alemán?A. 5B. 6C. 7D. 8E. 9

5. De los 60 alumnos que componen un salón de clases 32 juegan fútbol y 25 juegan básquet. ¿Cuántos juegan exclusivamente un deporte si 10 no practican ninguno?A. 43B. 45C. 47D. 31E. 39

6. Una persona come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de abril. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y tocino?A. 1B. 11C. 13D. 12E. 5

7. De un conjunto de 44 alumnos se sabe que: Todos aquellos que prefieren matemática

prefieren también lenguaje. Los que prefieren historia no prefieren

matemática 8 prefieren dos cursos

¿Cuántos prefieren un solo curso si estos son el doble de los que no prefieren ninguno de estos cursos?

A. 18B. 24C. 25D. 20E. 28

8. Dado el siguiente grafico

Si: n(A B)´ = g n(A B) = 18 n(A B C) = 2 n(A) = 10 n(C) = 9 n(B) = 12Determinar el número de elementos del área sombreada.

A. 9B. 10C. 11D. 12E. 13

9. De 32 personas que practican básquet o voley se sabe que el numero de mujeres que practican solo básquet es menor en 8 que las personas que practican ambos deportes y además es la cuarta parte de los hombres que practican solo voley. Si los hombres que practican solo básquet son tantos como los que practican solo voley; hallar la máxima cantidad de personas que practican solo básquet.A. 6B. 8C. 10D. 12E. 14

FECHA _____/______/ 2009

CONTINUANDO CON LA RESOLUCION DE PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS


1. Expresar el conjunto A = por comprensión

19

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7


Aritmética

x/x = 9( 22 + n ); 0 ≤ x ≤ 4 ; n ε Zx/x = 9( 22 + n ); 0 ≥ x ≥ 4 ; n ε Zx/x = 9( 22 + n ); 0 ≤ x ≤ 2 ; n ε Zx/x = 9( 22 + n ); 3 ≤ x ≤ 5 ; n ε ZNA

2. En un avión viajan 120 personas, de las cuales:- Los 2/3 de ellas no beben - Los 4/5 de ellas no fuman - 72 no fuman ni beben ¿Cuántas personas fuman y beben o no fuman no beben?A. 81B. 80C. 88D. 86E. 87

3. De un grupo de 100 alumnos; 49 no llevan el curso de Psicología y 53 no siguen el curso de filosofía. Si 27 alumnos no siguen Filosofia ni Psicología ¿Cuántos alumnos llevan solo uno de tales cursos?A. 10B. 18C. 28D. 48E. 38

4. En una población: 50% toman leche, el 40% comen carne, además solo los que comen carne o solo los que toman leche son el 54% ¿Cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne?A. 15%B. 23%C. 28%D. 25%E. 32%

5. De los 300 integrantes de un club deportivo, 160 se inscribieron en natación y 135 se inscribieron en gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades ¿Cuántos se inscribieron en ambas disciplinas?A. 20B. 25C. 30D. 35E. 40

6. De un grupo de 64 alumnos que estudian idiomas se observo que los que estudian solo ingles es el triple de los que estudian ingles y francés. Los que estudian solo francés son la mitad de los que estudian ingles y 4 no estudian ingles ni francés. ¿Cuántos estudian solo ingles?A. 10B. 20C. 30D. 40E. 50


1. En un salón se encuentran 52 alumnos de los cuales 30 son hombres, 12 mujeres no tienen 18 años. Si 30 personas tienen 18 años. ¿Cuántos hombres tienen 18 años?A. 10B. 12C. 22D. 20E. 30

2. De 150 personas que fueron encuestados se obtuvo los siguientes resultados: 70 son mujeres 85 personas beben café 18 mujeres no beben café ¿Cuántos hombres no beben café?

A. 35B. 33C. 47D. 51E. 29

3. En un barrio donde hay 29 personas, 16 compran en el mercado, 15 en la bodega 18 en el supermercado; 5 en los dos últimos sitios únicamente, 6 en los dos primeros, 6 en los dos primeros y 7 en el primero y ultimo únicamente. ¿Cuál es el número de personas que compran solamente en el mercado?A. 2B. 3C. 4D. 5E. 6

4. 180 personas fueron encuestados sobre el consumo de tres productos A, B y C obteniéndose esta información:110 prefieren A; 120 prefieren B; 130 prefieren C; 66 prefieren A y C; 78 prefieren A y B; 90 prefieren B y C; 52 prefieren los tres productos.¿Cuántos no prefieren ninguno de estos productos?A. 2B. 22C. 13D. 14E. 8

5. En una batalla se sabe que 45 soldados fueron heridos en la cabeza; 42 en el brazo, 40 en la pierna, 7 en la cabeza y en el brazo y 15 en la cabeza y la pierna. Si 120 fueron soldados y ninguno queda ileso. ¿Cuántos fueron heridos en la tres partes? A. 22B. 23

20


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

C. 24D. 26E. 27

6. En una muestra recogida a 200 turistas se determino la siguiente: 64 eran norteamericanos 86 eran europeos y 90 eran ingenieros; de estos últimos 30 eran norteamericanos y 36 europeos. ¿Cuántos de los que no son europeos, no eran norteamericanos ni ingenieros?A. 22B. 24C. 26D. 25E. 23

7. De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fabrica A, 33 trabajan en la fabrica B, 40 laboran en la fabrica C y 7 trabajadores están contratados en las tres fabricas ¿Cuántas personas trabajan en dos de estas fabricas solamente?A. 20B. 22C. 24D. 26E. 28

8. En una reunión de lógico-matemáticos asistieron 380 lógicos y 300 matemáticos, Si 120 personas fueron lógico – matemáticos ¿Cuántas personas asistieron?A. 500B. 680C. 480D. 560E. N.A.

9. Carlos come huevos y/o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de marzo, si comió 17 mañanas huevos y 22 mañanas tocinos ¿Cuántas mañanas comió huevos y tocinos?A. 5B. 6C. 7D. 8E. 9

10. En una empresa laboran 60 choferes de los cuales 36 tienen tarjetas de crédito, 28 Libreta Militar y 19 brevette solamente. Los choferes que poseen solamente al menos dos documentos son:A. 23B. 32C. 25D. 28E. 30

FECHA _____/______/ 2009

DIFERENTES TECNICAS EN LA SOLUCION DE CONJUNTOS

ACERTIJO

B. Ud. es Taxista Imagine que Ud. taxista. Su taxi es amarillo y negro, y ya tiene siete años. Una de las escobillas del parabrisas esta rota; el carburador necesita una puesta a punto. Aunque en el deposito de combustible caben cincuenta litros, solo esta a unos tres cuartos de su capacidad. ¿Qué tiene el taxista?


1. Los organizadores de un concurso de belleza han creído conveniente exigir a las aspirantes del evento 3 cualidades indispensables; ser altas, bonitas y delgadas. Se presentaron 300 aspirantes, de las cuales 200 son bonitas, 200 son altas y 200 son delgadas. A lo más ¿Cuántas de ellas tienen la posibilidad de coronarse como reinas de belleza?A. 110B. 140C. 130D. 120E. 150

2. Dado el siguiente conjunto:A = { 1; 2; { 2; a} ; { 2; 1; b}}Señale cual de las siguientes proposiciones es verdaderaA. 2 { 2; a}B. 1 { 2; 1; b} C. {2} AD. { 2; a } AE. {2; a} { 2; 1; b}

3. Si A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y (A B) tiene 32 subconjuntos. ¿Cuántos subconjuntos tiene ( A B )?A. No se puede conocerB. 1C. 2D. 4E. 8

4. Una persona toma yogurt y/o leche en desayuno cada semana durante el mes de enero. Si toma

21

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7


Aritmética

leche 25 mañanas y yogurt 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas tomo yogurt y leche? A. 32B. 43C. 15D. 12E. 20

5. En una peña criolla trabajan 32 artistas. De estos, 16 bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. El número de artistas que no cantan ni bailan es:A. 4B. 5C. 2D. 1E. 3

6. En una encuesta a 60 personas se recogió la siguiente información: 7 personas consumen el producto A y B pero no C; 6 personas consumen el producto B y C pero no A; 3 personas consumen el producto A y C pero no B; 50 personas consumen al menos uno de estos productos y 11 personas consumen el producto A y B. ¿Cuántas personas consumen solamente un producto?A. 34B. 39C. 23D. 30E. 10


1. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fútbol, 55 básquetbol y 75 natación. Si 20 alumnos practican los tres deportes y 10 no practican ninguno. ¿Cuántos alumnos practican un deporte y solo uno?A. 50B. 55C. 60D. 70E. 65

2. Hay tres estaciones de radio, A, B, y C que pueden ser recibidas en una ciudad de 3000 familias. Se obtuvo la siguiente información:* 1800 familias escuchan la estación

A* 1700 familias escuchan la estación

B* 1200 familias escuchan la estación

C* 1250 familias escuchan las

estaciones A y B* 700 familias escuchan las

estaciones A y C* 600 familias escuchan las

estaciones B y C* 200 familias escuchan las

estaciones A, B y C

¿Cuál es el número de familias que no escuchan a A pero escuchan B ó C?A. 1200B. 600C. 650D. 400E. 550

3. En una ciudad de 10 000 habitantes adultos, el 70% de los adultos escuchan radio, el 40% lee los periódicos y el 10% ve la televisión. Entre los que escuchan la radio, el 30% lee los periódicos y el 4% ve televisión. El 90% de los que ven televisión lee los periódicos. Y solo el 2% de la población total adulta lee periódicos, ve televisión y escucha radio.Se pide: * ¿Cuántos habitantes no escuchan radio, no

leen periódico ni ven la televisión?* ¿Cuántos habitantes leen periódicos

solamente?

A. 1080;1200B. 10 000; 18C. 8920; 15D. 500; 40E. 1000; 100

4. De 55 alumnos que estudian en una universidad se obtuvo la siguiente información:32 alumnos estudian el curso A 22 alumnsos estudian el curso B 45 alumnos estudian el curso C 10 alumnos estudian los tres curso ¿Cuántos alumnos estudian simultanemente dos curos?

A 22 B 21 C 25 D 23 E 24

5. De los 504 primeros números naturales ¿Cuántos no son múltiplos de 3 ni de 7?

A 115 B 288 C 280 D 320 E 244

6. Para dos conjuntos comparables donde uno de ellos tiene 3 elementos mas que el otro, se cumple que la suma de los cardinales de sus conjuntos potencia es 576. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene la unión de ellos?

A 512 B 520 C 450 D 280 E 400

22


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

7. El conjunto A tiene 3 elementos menos que el conjunto B, que por cierto posee 7168 subconjuntos mas que A. ¿Cuál es el máximo numero de elementos de (A B)

A 5 B 21 C 20 D 23 E 12

8. Se tiene 3 conjuntos A, B y C cuyos números cardinales son consecutivos, además :

nP(A) + nP(B) + nP(C) = 48

Halla el numero de elementos que pueda tener como máximo el conjunto potencial de (A B C)

A 5 B 221

C 514

D 812

E 10

FECHA _____/______/ 2009

COMPLEMENTANDO LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON LA DIFERENTES TECNICAS

ACERTIJO Midiendo con VarasLa vara es una medida de longitud, ya en desuso, equivalente a 835,9 mm. ¿Qué palabra mide más que una vara?

PRACTICANDO EN CLASE DIVIERTETE RESOLVIENDO

1. Cierto número de medallas de Oro, Plata y Bronce es distribuidos entre 100 atletas en un festival deportivo. Se sabe que 45 atletas reciben medallas de Oro, 45 reciben medallas de Plata, 60 reciben de Bronce, 15 reciben medallas de Oro como Plata, 25 atletas reciben medallas de Plata y Bronce, 20 reciben medallas de Oro y Bronce. 5 reciben de Oro, Plata y Bronce. ¿Cuántos atletas no reciben medallas?A. 3B. 4C. 6D. 5E. 17

2. Para dos conjuntos comparables donde uno de ellos tiene tres elementos más que el otro, se cumple que la suma de los cardinales de sus conjuntos potencias es 576. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene la unión de ellos? A. 511B. 15C. 31D. 107E. 255

3. Dados los conjuntos A ; B ; C y los siguientes datos: ; y

Calcular el número de subconjuntos propios de BA. 1º23B. 127C. 511D. 31E. 63

4. De 50 personas se sabe: 5 mujeres tienen ojos negros, 16 mujeres no tienen ojos negros, 14 mujeres no tienen ojos azules, 10 hombres no tienen ojos azules o negros. ¿Cuántos hombres tienen ojos negros o azules?A. 10B. 13C. 19D. 21E. 15

5. En un salón de clases de 70 alumnos (todos ellos con 25 años cumplidos o más): 10 varones tienen 25 años, 25 varones no tienen 26 años, 16 varones no tienen 25 años y 14 mujeres no tienen 25 años no 26 años. ¿Cuántas mujeres tienen 25 ó 26 años?A. 10B. 12C. 16D. 15E. 20


1. De una muestra recogida de 200 transeúntes se determino lo siguiente: 60 eran mudos, 70 eran cantantes callejeros y 90 eran ciegos; de estos últimos, 20 eran mudos y 30 eran cantantes callejeros. ¿Cuántos de los que no son cantantes callejeros no eran mudos ni ciegos?A. 30B. 35C. 40D. 45E. 60

2. De un grupo de 95 deportistas se observo que:

23

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7


Aritmética

* 15 son atletas, que practican el fútbol y natación.

* 52 son atletas* 55 son nadadores.* Todos los futbolistas son atletas y 12 son

deportistas que sólo practican el atletismo* 15 deportistas no practican ninguno de los

deportes mencionados.

¿Cuántos deportistas son atletas y nadadores, pero no futbolistas?.

A. 10B. 12C. 22D. 32E. 42

3. En un Congreso Internacional de Medicina, se debatió el problema de la Eutanasia planteándose una moción. 115 europeos votaron a favor de la moción, 75 cardiólogos votaron el contra, 60 europeos votaron en contra, 80 cardiólogos votaron a favor. Si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos de otras especialidades y no hubo abstenciones. ¿Cuántos médicos participaron en el congreso?A. 210B. 330C. 270D. 240E. 300

4. A un matrimonio asistieron 150 personas, el número de hombres es el doble del número de mujeres. De los hombres 23 no usan reloj pero si tiene terno y 42 tienen reloj. De las mujeres; las que no usan minifalda son tantas como los hombres que no usan terno ni reloj y 8 tienen mini y reloj. ¿Cuántas mujeres usan minifalda pero no reloj?A. 6B. 7C. 8D. 5E. 9

5. En un centro de idiomas hay 70 alumnos, 38 estudian ingles, 38 francés, 34 alemán y 34 ruso. 25 ingles y francés, 17 alemán e ingles y ruso, 22 francés y alemán, 21 francés y ruso. 10 ingles, alemán y ruso. 13 francés, alemán y ruso y 18 hablan los cuatro idiomas. ¿Cuántos no estudian ninguno de los cuatro idiomas mencionados?A. 5

B. 6C. 7D. 4E. 8

FECHA _____/______/ 2009

CULMINANDO TALLER SOBRE PROBLEMAS DE CONJUNTOS

ACERTIJOS

EL JUEGO DE LOS APLAUSOS En un juego infantil se nombran todos los números de 1 al 100 y se aplaude cuando se nombra un múltiplo de 9 o un número terminado en 9. ¿Cuantas veces se aplaude durante el juego?


1. 60 alumnos rinden un examen que consta de tres partes yse sabe que: 10 aprobaron sólo la primera parte 20 aprobaron la primera parte 25 aprobaron la segunda parte 21 aprobaron la tercera parte 6 aprobaron la segunda parte y la tercera

parte pero no la primera 7 aprobaron las dos primera parte 3 aprobaron las tres partes¿Cuántos desaprobaron las tres partes.A. 11B. 10C. 14D. 12E. 13

2. Una reunión social se observa que hay tantos varones que bailan pero no estudian ingles como mujeres que ni bailan ni estudian ingles, siendo esta cantidad tres unidades mayor que la cantidad de mujeres que no estudian ingles pero si bailan, que coincide con la cantidad de mujeres que no bailan pero si estudian ingles. Además, se sabe que hay tantas mujeres que bailan como estudiantes de inglés. Si 45 varones no estudian ingles, 37 mujeres tampoco estudian dicho idioma y 53 varones estudian inglés o bailan, ¿Cuántas personas asistieron?A. 200B. 100

24


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

C. 150D. 140E. N.A.

3. Los conjuntos A, B, C y D, tales que:*

*

*

Calcule A. 13B. 19C. 18D. 14E. 47

4. La empresa de transporte urbano dispone de cierto número de combis, de las cuales 5 están en reparación. Se sabe lo siguiente:* 42 circulan en las mañanas* 38 en las tardes* 30 en las noches* 20 en las mañanas y en las tardes* 14 en las tardes y en las noches * 16 en las mañanas y en las nochesDetermine cuantas son el total, si además se conoce que son 5 los que trabajan todo el día.

A. 74B. 72C. 70D. 60E. 82

5. De 35 personas, 10 son ingenieros o industriales, pero no comerciantes; 15 son industriales o comerciantes pero no ingenieros; 11 son ingenieros y comerciantes pero no industriales; 4 son ingeniero, comerciantes e industriales; 2 son solo comerciantes; 3 son ingenieros e industriales, pero no comerciantes. Si no hay ninguno que solo sea ingeniero, ¿Cuántos no desempeñan ninguna de las tres ocupaciones?A. 2B. 3C. 4D. 5E. 1


1. En un departamento de control de calidad de un producto se consideran tres defectos, A, B y C, como los más importantes. Se analizan 200 productos con el siguiente resultado:* 58 productos presentan el defecto A* 72 productos presentan el defecto B* 100 productos poseen exactamente un

defecto

* 10 productos presentan exactamente tres defectos

¿Cuántas tienen solo dos defectos?A. 40B. 50C. 60D. 30E. 45

2. De 32 personas que practican básquet o voley, se sabe que el numero de mujeres que practican solo básquet es menor en 8 que el numero de personas que practican ambos deportes, y es la cuarta parte de numero de hombres que practican solo voley. Calcule la máxima cantidad de personas que practican solo básquet.A. 19B. 20C. 21D. 17E. 25

3. Un total de 90 alumnos dio 3 exámenes para aprobar un curso y se observa que los que aprobaron solo un examen representan el quíntuplo de los que aprobaron los 3 exámenes y los que aprobaron solo 2 exámenes resultan el triple de los que desaprobaron los 3 exámenes. Si el número de los que desaprobaron los 3 exámenes es igual al número de los que aprobaron los 3 exámenes, ¿Cuántos aprobaron el curso? Considere que para aprobarlo es necesario que aprueben por los menos 2 exámenes.A. 36B. 12C. 16D. 20E. 18

4. En la facultad de Ingeniería económica y estadística de cierta universidad, las cantidades de estudiantes de Ingeniería económica E1 e Ingeniería estadística E2 son iguales. De las 450 mujeres, ninguna practica solo fútbol y 250 estudian E2. De los 550 varones, ninguno practica solo voley; 75 estudian E1 y practican fútbol; además 40 estudian E2 practican fútbol y voley. La quinta parte de los varones que estudian E2 , practica solo fútbol y esta cantidad es la tercera parte de las mujeres que practican voley. Halle a + b , si a: Cantidad de mujeres que no practica voley.b: Cantidad de varones, que estudian E1 y no

practican fútbol o estudian E2 y practican solo fútbol.

A. 435B. 465

25

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7


Aritmética

C. 480D. 540E. 575

5. A una conferencia asistieron 60 piuranos, 90 apurimeños y 70 tacneños. Se observó que entre los tacneños y piuranos había 100 personas que usaban lentes y 12 corbata, pero no tenían lentes y 48 apurimeños usaban lentes o corbata. Halle la cantidad de personas que no usaban lentes ni corbata y cuya procedencia era piurana o apurimeña, si 9 tacneños no usaban lentes mi corbata.A. 48B. 51C. 56D. 62E. 67

AUTOEVALUACION I

1. Si U = {a,b,c,d,e,f,g,h,i} es el universal yP = {x : x es vocal}Q = {x : x es vocal fuerte}

Representa mediante un diagrama de Venn, al conjunto P Q.

2. Representar mediante un diagrama Venn, al conjunto P Q, donde P y Q son los conjuntos dados en el numeral 11.

3 Determinar A B y A B si: A = {x : x es natural y 10 x 20} B = {x : x es natural y x 1}

4 Determinar A B y A B A = {x : x es natural y 5 < x < 10} y B = {x : x es natural y 1 x 10}

5 Determinar A B si: A = {x : x es natural y x 50} y B = {x : x es natural y x 49}. Son A y B disjuntos ?

AUTOEVALUACION II

1. Durante todas las noches del mes de Octubre, Soledad escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches ¿Cuántas noches escucha música y lee un libro simultáneamente.

A 15 B 10 C 5 D 7 E 6

2. De un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de matemáticas y 53 no siguen el curso de administración. Si 27 alumnos no siguen

matemática ni administración. ¿Cuántos estudiantes llevan exactamente un solo curso?

A 50 B 60 C 40 D 30 E 48

3. En una población el 50% toma leche y el 40% como carne, además solo los que comen carne o solo los que toman leche son el 54% ¿Cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne?

A 54% B 60% C 20% D 12% E 28%

4. De 30 personas que viajan rumbo a Europa: 16 visitan Francia. 16 visitan Inglaterra. 11 visitan Suiza. 5 visitan Francia y Suiza y 3 de ellos visitan

también Inglaterra. 5 solo visitan Suiza. 8 solo visitan Inglaterra. ¿Cuántos solo visitan Francia? A 7 B 12 C 16 D 8 E 10

5. En un salón de clases de 47 alumnos se sabe que a 30 les gusta Matemáticas, a 20 les gusta Lenguaje, y a 25 les gusta Ingles. A 14 les gusta Matemáticas e Ingles y a 15 les gusta Lenguaje e Ingles. Si a 12 alumnos les gustan los tres cursos ¿A cuantos alumnos no les gusta ninguno de los cursos mencionados?

A 3 B 4 C 5 D 2 E 8

CLAVE DE RESPUESTAS

01 02 03 04 05

LECTURA Nº 1

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA SOBRE CONJUNTOS

26


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

En el primer período de su existencia, la teoría de conjuntos es debida enteramente a Georg Cantor (1845 – 1918). El inicio del desarrollo abstracto de la teoría de conjuntos hizo que esta nueva rama de la matemática. El concepto de infinito fue tratado por Zenón de Elea y sus célebres paradojas. Bolzano defendió el concepto de conjunto infinito y pudo dar ejemplos de cómo los elementos de un conjunto infinito se colocaban en correspondencia uno a uno con elementos de su propios subconjuntos. Cantor publicó varios artículos entre 1867 y 1871 sobre teoría de números de gran calidad. No obstante nada indicaba que su autor cambiaria el curso de la matemática.Al empezar Cantor a trabajar con series trigonométricas, aparecen las primeras ideas sobre teoría de conjuntos. En 1874 publicó un artículo en la revista de Crelle que marca el nacimiento de la teoría de conjuntos. En este artículo, Cantor consideraba dos clases diferentes de infinitos (hasta entonces se consideraba que todos los infinitos compartían el mismo tamaño) los que se podían poner en correspondencia uno a uno con los números naturales los que si se podían numerar o por lo contrario no.Suficiente por el momento luego continuaremos viendo la historia de la teoría de conjuntos, espero que esté a gusto y hayas incrementado tu aprendizaje.En 1903, B. Russell demostraría que la teoría de conjuntos era inconsciente y cuestionaría la definición de conjunto de la teoría de cantor. Pero, pronto la teoría axiomática de Sérmelo (1908) y refinamientos de esta por Fraenkel (1922), Skolem (1923), Von Newman (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual.Es indiscutibles el hecho de que la teoría de conjuntos no es solo una parte de las matemáticas, es, además, la teoría matemática donde fundamenta la aritmética y el resto de teorías matemáticas.Asimismo, es una parte de la lógica y en particular una parte de la lógica de predicados.En esta historia cruzada de las matemáticas, al lógica y los fundamentos de ambas, la teoría de conjuntos permitiría por un lado la función logística de las matemáticas, pero por otro lado la teoría de conjuntos mirada como parte de las matemáticas, pero por otro lado la teoría de conjuntos mirada como parte de las matemáticas proporciona el metalenguaje, el contexto o sustrato de las teorías lógicas. Finalmente puede ser completamente expresada en un lenguaje de primer orden, sus axiomas y teoremas constituyen una teoría de primer orden a la que pueden aplicarse los resultados generales que se aplican a cualquier teoría de primer orden a la que pueden aplicarse los resultados generales que se aplican a cualquier teoría de primer orden.En el presente capitulo, ubicado en el marco de los estudios preliminares planteados en los prospectos

universitarios, presentaremos y desarrollaremos una teoría intuitiva de conjuntos, dejando para publicaciones posteriores los múltiples aspectos que recorre nuestro análisis.

LECTURA Nº 2

EL VECTORCITO ROJO Y LA MATRIZ FEROZ

Erase una vez un vectorcito que vivía con su familia generadora en su casita, V. Era un vectorcito muy joven, pues apenas acababa de cumplir un módulo. Tenía el sobrenombre de Vectorcito Rojo por ser una ferviente admiradora de Lindeloff, famoso comunista de la época.Cierto día, su mamá la llamó:-"¡Eh, Vectorcito Rojo, ven aquí!. Quiero que lleves estas coordenadas a la casa W de tu abuelita, pues la pobre está muy sola desde que se ha restringido a un espacio de dimensión 1, pero ten cuidado cuando vayas por el bosque Hom(V,W), pues hace tiempo que acecha una matriz muy, muy feroz."-"Sí, mamá.", dijo Vectorcito Rojo.Entonces su mamá cogió un 2-cubo abierto de "papé arbá", puso las coordenadas y estiró y retorció (pero sin romper ni pegar) el 2-cubo hasta convertirlo en una esfera menos un punto. Después se la dió a Vectorcito.-"¡Ah!, y sobre todo no te entretengas cogiendo grafos por el camino, ya sabes que hay que cuidar el entorno." -"No te preocupes, mamá.", y dicho esto, se orientó hacia la casa de su abuelita.Vectorcito Rojo se movía alegremente a través del bosque Hom(V,W), pues pensaba que la matriz debía de rondar muy lejos, por lo menos en el quinto isomorfismo, cuando de repente, algo saltó detrás de una función y se plantó delante de Vectorcito Rojo. Vectorcito le reconoció: era la matriz de la que la había hablado su mamá. Parecía muy, muy fuerte (coloquialmente hablando, la matriz estaba cuadrada) y la miraba con maldad.-"¿Donde vas, Vectorcito Rojo?." -"Voy a llevarle estas coordenadas a mi abuelita.", dijo ella muerta de miedo.-"¿Me dejas probar alguna? Hace tiempo que no como nada desde que me echaron de GL(n,k) por degenerado."-"No," dijo Vectorcito, "son para, y solo para, mi abuelita." -"Hagamos una cosa." dijo la matriz, "Te echo una carrera hasta la casa de tu abuelita, y si llego antes que tú tendrás que darme al menos una."Vectorcito Rojo vaciló: su familia vivía en un espacio de clase media (más concretamente C¹) y además de dimensión finita, así que no podía ir por ahí tirando una coordenada como si estuviera en un espacio proyectivo.-"No," dijo Vectorcito Rojo, "tengo como norma no entretenerme y coger siempre el camino más corto" (esta norma, de uso tan extendido, es tambien conocida como norma euclídea).

27

BR

YCE

PED

REGA

L - C

alle

: Yan

ahua

ra J7

- J8

(al c

osta

do d

e Ra

dio

la U

nión

) Tel

éfon

o: 5

8621

7


Aritmética

-"Te doy ventaja: contaré hasta omega antes de empezar a correr.", dijo la matriz. Vectorcito Rojo pareció cambiar de opinión: la matriz parecía sincera, al menos en casi todo. Vectorcito Rojo asintió, y empezó a correr.Pero he aquí que la matriz, al ser degenerada, era muy tramposa, y como tal contó hasta omega, pero usando el axioma de elección, con lo que tardó muy poco. Entonces empezó a correr a través del bosque adquiriendo una velocidad extraordinaria (no en vano era una matriz 4x4) y llegando a casa de la abuelita un tiempo t antes que Vectorcito Rojo.

Continuara…

DESAFIO BRYCE

1. Se ha realizado una encuesta entre los estudiantes de los tres últimos años de la escuela de matemática sobre los que se especializaran en Geometría. Han sido encuestados 40 estudiantes del tercer año, 30 del cuarto año y 28 del quinto año de estos últimos la tercera parte de los hombres y la cuarta parte de la mujeres se especializaran en geometría y tantos hombres como mujeres que prefieren esta especialidad. De los encuestados del cuarto año 18 no simpatizan con dicha especialidad. Diez hombres y 13 mujeres del tercer año prefieren otras especialidades ¿Cuántos de los encuestados se especializaran en geometría?A. 20B. 15C. 82D. 43E. 33

2. De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de las cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones, 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian. ¿Cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan?A. 19B. 28C. 30D. 35E. 32

3. En una fábrica de confecciones trabajan 42 mujeres, de las cuales 15 no son casadas. De los varones, 36 son obreros y 12 empleados son casados. Si 58 trabajadores son casados (Entre hombres y mujeres además 35 varones no son casados) ¿Cuántos empleados varones tiene la fabrica?A. 20B. 30C. 10D. 40

E. 50

4. De 50 personas se sabe: 5 mujeres tienen ojos negros, 16 mujeres no tienen ojos negros, 14 mujeres no tienen ojos azules, 10 hombres no tienen ojos azules o negros. ¿Cuántos hombres tienen ojos negros o azules?A. 10B. 13C. 19D. 21E. 15

5. En un salón de clases de 70 alumnos (todos ellos con 25 años cumplidos o más): 10 varones tienen 25 años, 25 varones no tienen 26 años, 16 varones no tienen 25 años y 14 mujeres no tienen 25 años no 26 años. ¿Cuántas mujeres tienen 25 ó 26 años?A. 10B. 12C. 16D. 15E. 20

6. Un grupo de personas decide viajar y resulta que 40 mujeres van al extranjero, 37 hombres van a provincias, 28 casados van al extranjero y 45 solteros van a provincias. Si se sabe que hay 42 hombres casados viajan al extranjero, entonces el numero de mujeres solteras son:A. 60B. 62C. 64D. 66E. 68

7. En una encuesta sobre preferencias de jugos de fruta de fresas, papaya y naranja se encontró que: El numero de personas que gustan de jugo surtido de fruta es:* 1/4 de los que gustan solamente jugo de

fresas.* 1/2 de los que gustan solamente jugo de

papaya* 1/5 de los que gustan solamente jugo de

naranja* 1/2 de los que gustan solamente jugo de

fresas y naranja.* 1/3 de los que gustan solamente jugo de

papaya y naranja.Igual al número de personas que gustan solamente de jugo de fresas y papaya es igual a 1/3 de los que no gustan de ninguno de los tres jugos señalados. Si se sabe que el numero de encuestados fue de 420. Hallar el número de personas que gustan del jugo de fresa a menos que no gusten del jugo de naranja. A. 380B. 210

28


B

ryce

CAM

ANÁ

Jirón

Com

ercio

262

– 26

4 – (

a un

a cu

adra

y m

edia

de

la P

laza

de

Arm

as) T

elf.

5720

82Aritmética

C. 80D. 120E. 260

8. Sea A,B y C números enteros tales que:k = a + b + c, si : { a2 + 9 ; b – c 5Ç} = { -1 ;- 6a; a2 + b2 – 7}. Hallar la suma de todos los valores de K

A. -015B. -014C. -07D. 1E. 8

9. Los conjuntos A y B están incluidos en un conjunto universal de 12 elementos, cumpliéndose que: n[ P (A)’] = 128 y n[ P(B – A )] = 16 ¿Cuántos sub conjuntos tiene el conjunto A?A. 32B. 8C. 4D. 64E. 16

29

1 - aritmetica 3ro__iib

Documents