07-metodos_numericos (1)

INGENIERIA DE SISTEMAS

ASIGNATURA: Mtodos numricos

CORPORACIN UNIVERSITARIA REMINGTON

DIRECCIN DE EDUCACIN A DISTANCIA

Este material es propiedad de la Corporacin Universitaria Remington (CUR), para los estudiantes de la CUR

en todo el pas.

2011

Corporacin Universitaria Remington Educacin a Distancia

Mtodos Numricos Pg. 3

Corporacin Universitaria Remington - Calle 51 51-27 Conmutador 5111000 Ext. 2701 Fax: 5137892. Edificio Remington

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CRDITOS

El mdulo de estudio de la asignatura Mtodos Numricos es propiedad de la Corporacin Universitaria Remington. Las

imgenes fueron tomadas de diferentes fuentes que se relacionan en los derechos de autor y las citas se relacionan en la

bibliografa. El contenido del mdulo est protegido por las leyes de derechos de autor que rigen al pas.

Este material tiene fines educativos y no puede usarse con propsitos econmicos o comerciales.

AUTOR

Elkin Ceballos Gmez. Ingeniero Electricista de la Universidad Nacional Diplomado en Diseo Curricular. Especialista en Matemticas Aplicadas

y Pensamiento Complejo

Docente de La Corporacin Universitaria de Ciencia y Desarrollo Docente de matemticas en educacin bsica y media

en la Institucin Educativa Kennedy Docente de la organizacin Rmington.

[email protected] Nota: el autor certific (de manera verbal o escrita) No haber incurrido en fraude cientfico, plagio o vicios de autora; en caso contrario eximi de toda responsabilidad a la Corporacin Universitaria Remington, y se declar como el nico responsable.

RESPONSABLES

Mauricio Seplveda

Director de la Escuela de Ciencias Bsicas e Ingeniera

Director Pedaggico Octavio Toro Chica

[email protected]

Coordinadora de la Unidad de Medios y Mediaciones Educativas

Anglica Ricaurte Avendao

[email protected]

GRUPO DE APOYO

Personal de la Unidad de Medios y Mediaciones

EDICIN Y MONTAJE

Unidad de Medios y Mediaciones

Primera versin. Febrero de 2011.

Derechos Reservados

Esta obra es publicada bajo la licencia CreativeCommons. Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual 2.5 Colombia.





TABLA DE CONTENIDO

1. MAPA DE LA ASIGNATURA ............................................................................................. 6

2. SOLUCIN NUMRICA DE ECUACIONES NO LINEALES ..................................................... 7

2.1. Prueba Inicial ........................................................................................................................... 8

2.2. Generalidades sobre los mtodos numricos. ........................................................................ 8

2.2.1. Definicin mtodos numricos ............................................................................................... 8

2.3. Continuidad de funciones ..................................................................................................... 11

2.3.1. Continuidad y discontinuidad ............................................................................................... 11

2.4. Mtodos numricos para solucionar ecuaciones no lineales. .............................................. 31

2.4.1. Mtodo Biseccin .................................................................................................................. 31

2.4.2. Mtodo de la posicin falsa o mtodo de la regla falsa (regula falsi)................................... 39

2.4.3. Mtodo de newton ............................................................................................................... 45

2.5. Prueba Final ........................................................................................................................... 62

3. REGRESIN E INTERPOLACIN ..................................................................................... 63

3.1. Prueba Inicial ......................................................................................................................... 63

3.2. Solucin de sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes .............................. 64

3.2.1. Solucin de sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes .............................. 64

3.3. Regresin polinmica. ........................................................................................................... 78

3.3.1. Regresin polinmica. ........................................................................................................... 78

3.4. Interpolacin polinomial. ...................................................................................................... 88

3.4.1. Interpolacin polinomial ....................................................................................................... 88

3.5. Prueba Final ......................................................................................................................... 109

4. CLCULO INFINITESIMAL Y MTODOS NUMRICOS .................................................... 110

4.1. Prueba Inicial ....................................................................................................................... 111

4.1.1. Diferenciacin numrica ..................................................................................................... 111

4.2. Integracin numrica. ......................................................................................................... 118

4.2.1. Integracin numrica. ......................................................................................................... 118





4.3. Solucin numrica de ecuaciones diferenciales. ................................................................ 125

2.3.3 Solucin numrica de ecuaciones diferenciales. ................................................................ 125

4.4. Prueba Final ......................................................................................................................... 130

5. PISTAS DE APRENDIZAJE ............................................................................................ 132

6. GLOSARIO ................................................................................................................. 133

7. BIBLIOGRAFA ............................................................................................................ 134





1. MAPA DE LA ASIGNATURA

MTODOS NUMRICOS

PROPSITO GENERAL DEL MDULO

El propsito de este mdulo es abordar algunos temas de matemticas y clculo utilizando el

anlisis numrico, ya que, los mtodos numricos proporcionan una serie de herramientas que

le brindan al estudiante y futuro profesional, elementos para solucionar, situaciones

OBJETIVO GENERAL

Aplicar los mtodos de manera eficiente en la solucin de problemas que involucran modelos

matemticos, procurando que la solucin obtenida mediante la aplicacin de los diferentes

algoritmos sea ptima, precisa y exacta.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Utilizar algunos mtodos para la solucin numrica de ecuaciones no lineales.

Conocer y aplicar mtodos para la interpolacin numrica de conjuntos de datos y para

la regresin polinmica.

Conocer y aplicar algunos mtodos numricos en el clculo infinitesimal (derivadas,

integrales y solucin del problema de valor inicia

UNIDAD 1

SOLUCIN NUMRICA DE

ECUACIONES NO LINEALES

Estudio de los siguientes

mtodos para solucionar

ecuaciones no lineales con

una incgnita: Biseccin,

regla falsa, Newton,

Secante y punto fijo.

Mediante trabajo

colaborativo.

UNIDAD 2

E INTERPOLACIN

Partiendo del conocimiento

de un conjunto de pares x, y

determinar polinomios de

interpolacin o de regresin

que permitan modelar

estos datos y

adicionalmente permita

hacer estimaciones de

valores no observados.

Mediante trabajo

colaborativo y participativo.

UNIDAD 3

CLCULO INFINITESIMAL

Y MTODOS NUMRICO

El clculo infinitesimal

abordado desde los

mtodos numricos, ya

que no se conoce la

funcin o modelo

matemtico, si no que se

conoce un conjunto de

pares x, y. Utilizando

principalmente el

trabajo colaborativo.





2. SOLUCIN NUMRICA DE ECUACIONES NO LINEALES

http://www.youtube.com/watch?v=5boNNInwkhk&feature=fvwrel

OBJETIVO GENERAL

Utilizar algunos mtodos para la solucin numrica de ecuaciones no lineales.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Conocer los conceptos necesarios para iniciar un curso de mtodos numricos.

Recordar la manera de determinar los puntos de discontinuidad de algunas funciones.





Conocer algunos mtodos para la solucin numrica de ecuaciones no lineales.

2.1. Prueba Inicial

1. Para la funcin 5734)( 23 xxxxfy , halle:

a. )3(f

b. )5(f

c. )4(f

d. )7(f

2. Para la funcin 216

47

x

xxfy

, halle:

a. )2(f

b. )4(f

c. )6(f

d. )4(f

3. Solucione las siguientes ecuaciones:

a. 4237 xx

b. 09102 xx

c. 0823 2 xx

d. 584 2 xx

2.2. Generalidades sobre los mtodos numricos.

2.2.1. Definicin mtodos numricos

Los mtodos numricos son tcnicas que permiten solucionar problemas utilizando operaciones

repetitivas de suma, resta, multiplicacin y divisin.

Todo mtodo numrico presenta dos caractersticas:

Muchas operaciones aritmticas.

Presenta un margen de error. El error deseado es inversamente proporcional al nmero de

clculos.





2.2.1.1 Manejo de decimales

Cuando se utilizan mtodos numricos, los clculos realizados, por lo general contienen decimales

infinitos, estos decimales se pueden tratar de la siguiente manera:

Truncamiento:

Consiste en cortar un nmero a las cifras significativas indicadas, sin hacer aproximaciones.

Redondeo: Consiste en aproximar un nmero a las cifras significativas indicadas. (

http://www.youtube.com/watch?v=dY9hUC22f2E)

Reglas para el redondeo

Si el digito siguiente a la ltima cifra significativa es 5 o mayor, la ltima cifra significativa se

aumenta en 1.

Si el dgito siguiente a la ltima cifra significativa es menor que 5, la ltima cifra significativa se

deja igual.

Enlaces para cifras significativas. (http://www.youtube.com/watch?v=BorTxcmKJ50),

(http://www.youtube.com/watch?v=nZLlbs44yaw&feature=related),

(http://www.youtube.com/watch?v=YDcud6J7jTE&feature=related)

Ejemplo1:

Redondee el nmero ...469823,3 con cuatro cifras decimales.

Solucin

La quinta cifra es 2, por lo tanto, la cuarta cifra, que es 8, se deja igual, entonces:

4698,3...469823,3

Ejemplo2:

Redondee el nmero ...324686,0 con cuatro cifras decimales.

Solucin

La quinta cifra decimal es ocho, por lo tanto, se debe sumar uno a la cuarta cifra, que es 6,

entonces:

3247,0...324686,0

Ejemplo3:

Redondee el nmero ...356342,2 con una cifra decimal. Solucin

La segunda cifra decimal es cinco, se debe sumar uno a la primera cifra decimal, que es 3,

entonces:





4,2...356342,2

Ejemplo4:

Trunque el nmero ...45678,63 con dos cifras decimales.

Solucin

Como el nmero se trunca, simplemente se escribe con las dos primeras cifras decimales:

45,63...45678,63

2.2.1.2 Convergencia

Se dice que un mtodo converge cuando se llega al valor buscado, esto se puede identificar por

qu se puede observar que cada clculo efectuado lleva a un valor cada vez ms parecido al

anterior.

2.2.1.3 Divergencia

Un mtodo diverge cuando no se llega al valor buscado, esto se identifica, porque cada clculo

efectuado lleva a un valor cada vez diferente.

2.2.1.4 Teora de errores.

Error es la cantidad de falla o de imprecisin que se est dispuestos a aceptar cuando se efecta

un clculo o cuando se hace alguna medicin.

El error se obtiene como la diferencia entre el valor verdadero y el valor calculado.

calculadoverdadero VVE

Error absoluto: Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor

calculado o medido. Posee las mismas unidades que la magnitud que se mide.

calculadoverdaderoa VVEE

Otra manera de calcular este error es restando los dos ltimos clculos.

1 nna xxEE

Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor absoluto del valor verdadero, es un

nmero a dimensional y en algunos casos se expresa en tanto por ciento.

verdadero

calculadoverdadero

rV

VVE

O tambin:





n

nn

rx

xxE

1

Enlace para error relativo y error ab soluto. (http://www.youtube.com/watch?v=dY9hUC22f2E).

Ejercicio 1.1

1. Redondee el nmero ....03456743,0 con tres cifras decimales.

2. Redondee el nmero ....5678342,12 con cinco cifras decimales.

3. Redondee el nmero ...45666666,304 con dos cifras decimales.

4. Redondee el nmero ..4455667767,3 con cuatro cifras decimales.

5. Trunque el nmero ...6780123,4 con tres cifras decimales.

6. Trunque el nmero ...6789675,103 con una cifra decimal.

7. Trunque el nmero ...245764,0 con tres cifras decimales.

8. Trunque el nmero ...4567349,20 con cinco cifras decimales.

2.3. Continuidad de funciones

Los mtodos numricos exigen que la funcin que se va a utilizar sea continua en algn intervalo.

(http://www.youtube.com/watch?v=wuAdn84VSoc). A continuacin se recordar la forma de

determinar cundo una funcin es continua o discontinua.

2.3.1. Continuidad y discontinuidad

(http://www.youtube.com/watch?v=RU4v-7u4blI&feature=related)

(http://www.youtube.com/watch?v=NmSH6LJbVs8&feature=related)

Se dice que una funcin es continua en todo su dominio, cuando se puede recorrer toda la

grfica sin tener que levantar la mano, cuando no hay huecos o espacios entre sus grficas, si algo

de esto se llega a presentar se dice que la funcin es discontinua.

La funcin xfy mostrada en la figura 1 es continua, porque se puede recorrer toda su grfica sin necesidad de levantar la mano.

La funcin xgy mostrada en la figura 2 es discontinua (no es continua), porque al recorrer su grfica hay que levantar la mano para continuar, o porque hay un espacio entre sus grficas.

Esta funcin es discontinua en el punto x1.

Para indicar puntos de discontinuidad se debe nombrar la x del punto.





Figura 1. Funcin Continua

(Autor Elkin Ceballos Gmez abril 10 de 2011)

Figura 2. Funcin discontinua.


2.3.1.1 Continuidad de algunas funciones

A continuacin se recordar la forma de determinar cundo una funcin es continua, para ello es

necesario conocer su dominio. (http://www.youtube.com/watch?v=qOCMPXoxJyg),

(http://www.youtube.com/watch?v=c4TeoNGlcM0&feature=related).

Funcin Polinmica.

El dominio de las funciones polinmicas es todos los nmeros reales, esto se escribe as:

lRxDom .





Las funciones polinmicas son siempre continuas.

Funcin racional.

Es una funcin de la forma:

0)(,)(

)()( xhcon

xh

xgxfy

Se identifica porque la funcin tiene x en el denominador.

La funcin racional es la funcin cociente de dos funciones polinmicas.

Su dominio est formado por todos los nmeros reales menos las asntotas verticales de la

funcin.(http://www.youtube.com/watch?v=7ZGpkp6F7_o),

(http://www.youtube.com/watch?v=gSDOXzMx_h8&feature=relmfu)

Una asntota vertical es un valor de x donde el denominador se hace cero.

Para determinar las asntotas verticales de una funcin racional (si tiene) se procede de la

siguiente manera.

1. Iguale el denominador a cero.

2. Solucione la ecuacin resultante. Si la ecuacin no tiene solucin, quiere decir que la

funcin racional no tiene asntotas verticales.

3. Los valores de x obtenidos son las asntotas verticales de la funcin.

DISCONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES RACIONALES

Una funcin racional es discontinua en las asntotas verticales.

Ejemplos: Determine el dominio y la continuidad de cada una de las siguientes funciones:

Ejemplo1:

72

5)(

x

xxwy

SOLUCIN

DOMINIO:

Iguale el denominador a cero.

2

772072 xxx





2

7x Es la asntota vertical; se debe excluir del dominio.

2

7. lRxDom . Otra forma de decir lo mismo es: Dom.

2

7x

CONTINUIDAD:

La funcin72

5)(

x

xxwy es discontinua en

2

7x

Ejemplo2: 62

74)(

2

xx

xxfy

SOLUCIN

DOMINIO

Igualando el denominador a cero

2

332032

202

032202

32)220

2

3242

02

6214062*

2

2062

222

xxx

xx

xxxxxx

xxxxxx

2,

2

3. lRxDom

CONTINUIDAD:

La funcin62

74)(

2

xx

xxfy es discontinua en 2

2

3 xx

Ejemplo3:

1

3)(

2 x

xfy

SOLUCIN

DOMINIO

Igualando el denominador a cero.





1,1,101

101

011012

lRxDom

xx

xx

xxx

CONTINUIDAD

La funcin 1

3)(

2 x

xfy es discontinua en x = - 1, x = 1.

Funcin irracional. Es una funcin de la forma:

n xgxfy )()( .

Se identifica porque tiene variable dentro de un radical.

DOMINIO:

Se presentan dos casos:

Caso #1:

Si la raz es impar el dominio corresponde a todos los nmeros reales: Dom. .lRx

Caso #2:

Si la raz es par, se debe garantizar que los valores que se le asignen a x hagan positivo todo

dentro de la raz.

Procedimiento para hallar el dominio de funciones irracionales de raz o ndice par:

1. Plantee la inecuacin 0)( xg . Dnde )(xg la expresin que se encuentra dentro del

radical.

2. Se soluciona la inecuacin.

3. La solucin de la inecuacin es el dominio de la funcin irracional.

4. Si la inecuacin planteada no tiene solucin o si toda dentro de la raz par es positivo,

quiere decir que el dominio de la funcin es todos los reales: .lRxDom

5. Enlaces para funcin irracional.

http://www.youtube.com/watch?v=BCjQrBEBGdU

http://www.youtube.com/watch?v=QUCCVAEu4TM

http://www.youtube.com/watch?v=GwkbhPJiHDk&feature=related





CONTINUIDAD DE FUNCIONES IRRACIONALES:

Una funcin irracional es continua en todo su dominio.

Para indicar la continuidad de una funcin irracional, se nombra los mismos intervalos del

dominio.

Ejemplo1: Determine el dominio y la continuidad de:

152)( 2 xxxfy

SOLUCIN

Se tiene una raz par.

DOMINIO:

PASOS:

1. Todo lo que est dentro de la raz debe ser mayor o igual que cero, se debe plantear la

inecuacin: 01522 xx

2. Encuentre los nmeros ceros de la expresin resultante. Esto es, iguale a cero y resuelva

la ecuacin resultante, los valores obtenidos son los ceros de la expresin. Un cero es un

nmero donde posiblemente hay cambio de signo en la expresin.

Para el ejemplo:

3503053501522 xxxxxxxx

Estos son los ceros o nmeros crticos.

1. Ubique los ceros en la recta numrica. Vase figura 3. 2. Evale el signo de la expresin obtenida en el paso uno. Para ello se toma un nmero

que se encuentre a la izquierda del primer cero, se toma un nmero que se encuentre entre ambos ceros y se toma un nmero que se encuentre a la derecha del segundo cero. Estos nmeros se reemplazan en la expresin obtenida en el paso uno y el signo del resultado se escribe en la recta numrica. Vase la figura 3.

3. La respuesta o solucin de la inecuacin, se da tomando los intervalos que cumplan con el sentido de la desigualdad. Para ello observe el sentido de la desigualdad de la expresin obtenida en el paso dos.

S dice: 0 Se toman los ++++, sin incluir los nmeros crticos.

S dice: 0 Se toman los ++++, incluyendo los nmeros crticos.





Figura 3. Dominio de una funcin irracional.

(Autor Elkin Ceballos Gmez)

La solucin de la inecuacin es: ,35,x

Este es el mismo dominio de la funcin: Dom. ,35,x

CONTINUIDAD:

La funcin es continua en: ,35, Ejemplo2: Determine el dominio y la continuidad de:

53)( xxfy

SOLUCIN

Se debe solucionar la siguiente inecuacin:

3

553053053 xxxx

Ubicando en la recta numrica





Figura 4. Dominio de una funcin racional.


),3/5[: xDominio

Continuidad: La funcin es continua en ),3/5[ Funcin Exponencial.


1,0

)( )(

bbCon

generallExponenciabxfy xg

DOMINIO:

El dominio depende de g(x).

CONTINUIDAD:

Una funcin exponencial es continua en todo su dominio.

Ejemplos: Determine el dominio y la continuidad de las siguientes funciones:

Ejemplo1: xxfy 5)(

SOLUCIN

Es una funcin exponencial que tiene en el exponente un polinomio, su dominio corresponde a

todos los nmeros reales.

Dom. lRx La funcin es siempre continua.





Ejemplo2: 12)( xexfy

SOLUCIN

Como en el exponente hay una funcin lineal: Dom. lRx . La funcin es continua en todo su dominio.

Ejemplo3: 45

)( xx

exfy

SOLUCIN

Como en el exponente hay una funcin racional, el dominio ser todos los reales menos las

asntotas verticales.

404 xx

Dom. 4 lRx . Continuidad. La funcin es discontinua en x = 4. Enlaces para funciones exponenciales

http://www.youtube.com/watch?v=cXnw6kzqASI&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=pogo0SmmSbE

Funcin Logartmica.


)(log)( xgxfy b .

1,0 bbCon

DOMINIO: Para hallar el dominio se debe resolver la inecuacin: 0)( xg CONTINUIDAD:

Las funciones logartmicas son continuas en todo su dominio.

Ejemplos: Determine el dominio y la continuidad siguientes funciones:

Ejemplo1: )32(log)( 2 xxfy

SOLUCIN

DOMINIO:

2

332032032 xxxx





Ubicando en la recta numrica:

Figura 5. Dominio de una funcin logartmica.


El dominio es:

,

2

3x

CONTINUIDAD: La funcin es continua en

,

2

3

Ejemplo2: 4log)( 2 xxfy SOLUCIN

DOMINIO: 042 x

22

0202022042

xx

xxxxx

Ubicando en la recta numrica:





Figura 6. Dominio de una funcin logartmica.


,22,. xDom

Continuidad: La funcin es continua en ,22, ASPECTOS A TENER EN CUENTA PARA OPERAR CON LOGARITMOS:

La calculadora solo tiene dos teclas para trabajar logaritmos:

La tecla log que significa 10log

La tecla ln que significa elog

Extraer log o ln con estas calculadoras es sencillo.

En una calculadora Casio MSfx 82 o similar, que se identifican porque ellas operan igual que

como se escribe, el procedimiento es el siguiente:

Ejemplo1:

Obtenga: 20log

SOLUCIN

20log . Digite la tecla log , digite el nmero 20, digite la tecla igual y el resultado

obtenido es: 1.30109996 En la figura 7 se muestra la secuencia:

Figura 7. Clculo de un logaritmo con calculadora.






Ejemplo2:

Obtenga con la calculadora:

135ln . Digite la tecla ln , digite el nmero 135 , digite la tecla igual, el resultado obtenido

es: 905274778.4 Hay calculadoras que trabajan en orden diferente al que se escribe, para estas calculadoras el

procedimiento es:

135ln Digite el nmero 135 , digite la tecla ln , el resultado obtenido es: 905274778.4 Cuando la base del logaritmo es diferente a 10 o a e, se debe hacer cambio de base, para ello se

aplica la siguiente frmula:

A

B

A

BBA

log

log

ln

lnlog

Ejemplos:

Calcule los siguientes logaritmos:

584962501.42ln

24ln

2log

24log24log 2

859894083.53ln

625ln

3log

625log625log 3

Enlaces para funciones logartmicas.

http://www.youtube.com/watch?v=FGwxP3F5Qj0

http://www.youtube.com/watch?v=MMXOEhzSsYY

http://www.youtube.com/watch?v=h-6XK99tcVo

Funciones trigonomtricas.

Se analizar el dominio y la continuidad de las funciones trigonomtricas para el caso en que el

ngulo es x.

Funcin seno. (http://www.youtube.com/watch?v=XmAzV3ubl_U)

Es la funcin senxy

El dominio de esta funcin es todos los reales, por lo tanto, esta funcin es siempre continua.

Funcin coseno. (http://www.youtube.com/watch?v=neiQSmqWI8w)

Es la funcin que se representa como xy cos

El dominio de esta funcin es todos los reales, por lo tanto, esta funcin es siempre continua.





Funcin secante. (http://www.youtube.com/watch?v=SwEw11PeVB0&feature=related)

Es la funcin que simboliza como xy sec

La funcin secante se puede escribir como:

xxy

cos

1sec

DOMINIO DE LA FUNCIN SECANTE

Se puede ver que el coseno se encuentra en el denominador, por lo tanto se debe eliminar del

dominio aquellos valore donde el coseno de x se hace igual a cero. El coseno se hace cero en

...2

5,

2

3,

2

1,

2

1,

2

3,

2

5.... xxxxxx

El dominio de la funcin secante es:

...2

5,

2

3,

2

1,

2

1,

2

3,

2

5... lRx

La funcin secante es discontinua en:

...2

5,

2

3,

2

1,

2

1,

2

3,

2

5.... xxxxxx

Funcin cosecante. (http://www.youtube.com/watch?v=v3ifL5iy758&feature=related)

Es la funcin que simboliza como xy csc

La funcin cosecante se puede escribir como:

senxxy

1csc

DOMINIO DE LA FUNCIN COSECANTE

Se puede ver que el seno se encuentra en el denominador, por lo tanto se debe eliminar del

dominio aquellos valore donde el seno de x se hace igual a cero. El seno se hace cero en

...3,2,,0,,2,3.... xxxxxxx

El dominio de la funcin cosecante es:

...3,2,,0,,2,3... lRx


...3,2,,0,,2,3.... xxxxxxx





Funcin tangente. (http://www.youtube.com/watch?v=rtQdsHwjbyI), (http://www.youtube.com/watch?v=LfvOVGH4EIM&feature=related)

Es la funcin que simboliza como xy tan

La funcin tangente se puede escribir como:

x

senxxy

costan

DOMINIO DE LA FUNCIN TANGENTE

Se puede ver que el coseno se encuentra en el denominador, por lo tanto se debe eliminar del

dominio aquellos valore donde el coseno de x se hace igual a cero. El coseno se hace cero en

...2

5,

2

3,

2

1,

2

1,

2

3,

2

5.... xxxxxx

El dominio de la funcin tangente es:

...2

5,

2

3,

2

1,

2

1,

2

3,

2

5... lRx

La funcin tangente es discontinua en:

...2

5,

2

3,

2

1,

2

1,

2

3,

2

5.... xxxxxx

Funcin cotangente. (http://www.youtube.com/watch?v=v3ifL5iy758&feature=related)

Es la funcin que simboliza como xy cot

La funcin cosecante se puede escribir como:

senx

xxy

coscot

DOMINIO DE LA FUNCIN COTANGENTE

Se puede ver que el seno se encuentra en el denominador, por lo tanto se debe eliminar del

dominio aquellos valore donde el seno de x se hace igual a cero. El seno se hace cero en

...3,2,,0,,2,3.... xxxxxxx

El dominio de la funcin cotangente es:

...3,2,,0,,2,3... lRx

La funcin cotangente es discontinua en:





...3,2,,0,,2,3.... xxxxxxx

Enlaces para funciones trigonomtricas.

http://www.youtube.com/watch?v=v3ifL5iy758&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=VUavsrir7CY&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=Dkdxks2ifBs

http://www.youtube.com/watch?v=7r7a4BjeNsU&feature=related

2.3.1.2 Semilla

Es una estimacin inicial de la raz. Es el valor inicial con el cual se empieza a operar el mtodo

numrico que se va a aplicar. La estimacin de la semilla se puede hacer de dos formas diferentes:

Haciendo un bosquejo de la grfica y el (los) punto(s) donde la grfica corte el eje x es

(son) la(s) raz (o races) de la ecuacin, como el ojo no nos puede dar buena exactitud,

este valor slo sirve como semilla para iniciar los clculos.

Otra forma puede ser evaluando la funcin en diferentes valores de x, entre los puntos

donde se observe cambio de signo se encuentra una raz, por lo tanto se escoge como

semilla un valor de x que se encuentre entre dichos puntos.

Ejemplo1: La ecuacin:

02393 23 xxx

Se sabe que la funcin 2393)( 23 xxxxf es siempre continua por ser un polinomio, Su

grfica se observa en la figura 8. La ecuacin tiene races en los siguientes

intervalos: 3,21,0,0,1 , esto es cierto, ya que en estos intervalos la grfica de la funcin corta el eje x. Esto se puede confirmar, dando valores a x de la siguiente manera.

1323932131913)1(1 23 fx

220002030903)0(0 23 fx

123932131913)1(1 23 fx

42636242232923)2(2 23 fx

112981812333933)3(3 23 fx Ubicando estos puntos en la siguiente tabla de valores:





x -1 0 1 2 3 y -13 2 -1 -4 11

Se puede observar que entre -1 y 0 la y cambia de signo (de signo a signo +)

De 0 a 1 la y cambia de signo + a signo menos.

De 2 a 3 la y cambia de signo a signo +.

En resumen:

La ecuacin 02393 23 xxx tiene races en:

0,1 Porque 0)0()1( ff (o tienen signo diferente) y )(xf es continua en este intervalo. La semilla para la iniciar el clculo de la raz en este intervalo es:

5.02

011

x


5.02

011

x


5.22

5

2

321

x





Figura 8. Grfica de una funcin.


Generalizando se tiene que:

Si una funcin )(xf es continua en un intervalo ba, y adems, bfyaf tienen diferente signo (esto se simboliza como 0bfaf ) entonces, la ecuacin 0)( xf tiene una raz en ba, ; la semilla para determinar esta raz se calcula como:

21

bax

Ejemplo2:

Determine en que intervalos se encuentran las races de la ecuacin 0794 4 xx .

Determine la semilla para cada raz.

SOLUCIN

Por ser 794)( 4 xxxf una funcin polinmica, es contina para cualquier valor de x.





Dando diferentes valores x, obteniendo la respectiva y;

3447)3(9343 4 yyx

757)2(9242 4 yyx

67)1(9141 4 yyx

77)0(9040 4 yyx

127)1(9141 4 yyx

397)2(9242 4 yyx

2907)3(9343 4 yyx Se llena la siguiente tabla.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 344 75 6 -7 -12 39 290

Se observa cambio de signo entre -1 y cero, se pasa de + a - .

Se observa cambio de signo entre 1 y 2, pasa de a +.

Se concluye que:

La ecuacin 0794 4 xx tiene dos races reales.

Raz nmero 1 est en el intervalo 0,1 , la semilla es: 5,02

011

x

Raz nmero 2 est en el intervalo 2,1 , la semilla es: 5,12

3

2

211

x

Ejemplo3:

Determine en que intervalos se encuentran las races de la ecuacin 043ln5 xx . Determine la semilla para cada raz. SOLUCIN

El dominio de la funcin 43ln5)( xxxf es el dominio de xln . Un logaritmo no acepta ni

nmeros negativos, ni el cero, entonces el domino de la funcin 43ln5)( xxxf es:

,0. xDom






...0558,194)01,0(301,0ln501.0 yx

...9657,04)5,0(35,0ln55.0 yx

14)1(31ln51 yx

...4657,14)2(32ln52 yx

...4930,04)3(33ln53 yx

...0685,14)4(34ln54 yx Se llena la siguiente tabla.

x -0,01 0,5 1 2 3 4 y -19,0558 -0,9657 1 1,4657 0,4930 -1,0685

Se observa cambio de signo entre 0,01 y 0,5, se pasa de - a +.

Se observa cambio de signo entre 3 y 4, pasa de + a -.

Se concluye que:

La ecuacin 043ln5 xx tiene dos races reales.

Raz nmero 1 est en el intervalo 5.0,01.0 , la semilla es: 245.02

49,0

2

5,001,01

x

Raz nmero 2 est en el intervalo 4,3 , la semilla es: 5.32

7

2

431

x

Ejemplo4:

Determine semillas para dos races de la ecuacin 053sec xx . SOLUCIN

Siempre que se tenga funciones trigonomtricas, la calculadora debe estar en modo radian.

Lleve su calculadora a modo radian.

El dominio de la funcin 053sec xx es el dominio de xsec .

El dominio de la funcin secante es:

...2

5,

2

3,

2

1,

2

1,

2

3,

2

5... lRx






...2

5,

2

3,

2

1,

2

1,

2

3,

2

5.... xxxxxx

Se debe dar valores a x entre las asntotas verticales, o lo que es lo mismo, un intervalo para una

semilla, no puede incluir una asntota vertical.

Inicialmente se analizar entre las asntotas verticales:

...570.12

1...570,1

2

1 xx


...636,455,13)5,1cos(

15)5,1(3)5,1sec(5,1

yx

...149,6513

1cos

15)1(3)1sec(1

yx

...360,555,03

5,0cos

15)5,0(3)5,0sec(5,0

yx

4503

0cos

15)0(3)0sec(0 yx

...360,255,03

5,0cos

15)5,0(3)5,0sec(5,0 yx

...149,0513

1cos

15)1(3)1sec(1 yx

...638,1355,13

5,1cos

15)5,1(3)5,1sec(5,1 yx

Se llena la siguiente tabla.

x -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 y 4,636 -6,149 -5,360 -4 -2,360 -0,149 13,638

Se observa cambio de signo entre -1,5 y -1, se pasa de + a -.





Se observa cambio de signo entre 1 y 1,5, pasa de - a +.

Se concluye que:

La ecuacin 053sec xx tiene dos de sus infinitas races reales en:

Raz nmero 1 est en el intervalo 1,5.1 , la semilla es:

25.12

5.2

2

)1(5.11

x

Raz nmero 2 est en el intervalo 5.1,1 , la semilla es: 25.12

5.2

2

5.111

x

Ejercicio 1.2

Determine semillas para las races de cada una de las siguientes ecuaciones:

1. 038105 23 xxx

2. 0532 2 xx

3. 0632 xx

4. 0153 2 senxx Solo dos semillas.

5. 01tan3 x Solo dos semillas.

2.4. Mtodos numricos para solucionar ecuaciones no lineales.

En los cinco mtodos que se explica a continuacin, se parte del mismo problema:

Problema:

Solucionar la ecuacin:

0)( xf

Se sabe que hay una raz en el intervalo ba, porque:

)(xf es continua en el intervalo ba, Porque tambin se sabe que 0 bfaf

2.4.1. Mtodo Biseccin

Este un mtodo simple, confiable que siempre converge, pero requiere de muchos pasos para

lograr la exactitud deseada. (http://www.youtube.com/watch?v=5e1GUYfnc9I)





Para aplicar este mtodo tenga en cuenta el siguiente proceso.

PASO UNO: Lleve la ecuacin a la forma 0)( xf

PASO DOS: Para la primera raz halle su correspondiente semilla 2

111

bax

Cercirese que se cumpla que:

)(xf Sea continua en 11 , ba 011 bfaf

PASO TRES: Calcule 1xf . Pueden resultar tres posibilidades:

Que 01 xf . En este caso la raz es 1x y se termina el proceso. Que 0)( 11 afxf Esto quiere decir que la raz se encuentra en el intervalo 11 , xa .

Para este caso haga 1212 xbaa

Que 0)( 11 bfxf Esto quiere decir que la raz se encuentra en el intervalo 11 , bx . Para este caso haga 1212 bbxa

PASO CUATRO: Calcule 2

222

bax

Regrese al paso 3. El proceso termina cuando el error sea

menos o igual al error deseado. Para ilustrar el mtodo de biseccin, observe los siguientes dos ejemplos.

Ejemplo 1

Encuentre una raz real de la ecuacin 046165)( 23 xxxxf con una precisin de 0.01,

es decir, entre dos clculos consecutivos se debe repetir dos decimales.

SOLUCIN

1343631635,3 23 yxSi

Dando valores a x entre 2 y 3 se llena la siguiente tabla:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -13 8 1 -4 23 112 293

Al observar la tabla se puede ver que la ecuacin tiene tres races, as:

Raz nmero 1

Est en el intervalo 2,3 esto se puede afirmar, ya que, 46165)( 23 xxxxf es continua en el intervalo 2,3 y porque 23 ff tiene signos contrarios o lo que es lo mismo 023 ff





Raz nmero 2

Est en el intervalo 0,1 esto se puede afirmar, ya que, 46165)( 23 xxxxf es continua en el intervalo 0,1 y porque 01 ff tiene signos contrarios o lo que es lo mismo 001 ff Raz nmero 3

Est en el intervalo 1,0 esto se puede afirmar, ya que, 46165)( 23 xxxxf es continua

en el intervalo

10, y porque 10 ff tiene signos contrarios o lo que es lo mismo

010 ff Procedimiento para hallar la raz nmero 3 con una precisin de 0,01 o 10-2.

Paso uno. La ecuacin ya est en la forma 0)( xf

Paso dos. Clculo de la semilla:

5,02

1

2

101

x

Paso tres. Se calcula )( 1xf

626,345,065,0165,055,0 23 f

Como 015,0 ff

La raz se encuentra en:

5.00,

Paso cuatro. Clculo de 2x

25,02

5,0

2

5,002

x

Comparando 25,02 x con 5,01 x , no se repite ninguna cifra decimal, por lo tanto, se debe

continuar el proceso en el paso tres:

Clculo de 2xf

..-1.421875.425.0625.01625.0525.0 23 f





Como 05,025,0 ff , la raz est en

5,0,25.0

Clculo de 3x

0.3752

75.0

2

5.025.03

x

Observando 23 xx no se repite decimal.

Se calcula 3xf

5...0.763671874375.06375.016375.05375.0 23 f

Como 0375.025,0 ff , la raz est en

375.025.0 ,

Clculo de 4x

0.31252

0.625

2

375.025.04

x

Observando 34 xx se repite un decimal (deben ser dos). Se contina el proceso.

Se calcula 4xf

093...-0.409912140.312560.3125160.312550.3125 23 f


375.03125.0 ,

Clculo de 5x

0.343752

0.6875

2

375.03125.05

x


Se calcula 5xf





24...0.1562194840.3437560.34375160.3437550.34375 23 f


34375.03125.0 ,

Clculo de 6x

0.3281252

0.65625

2

34375.03125.06

x


Se calcula 6xf

931..-0.131954140.32812560.328125160.32812550.328125 23 f


34375.0328125.0 ,

Clculo de 7x

0.33593752

0.671875

2

34375.0328125.07

x


Se calcula 7xf

218...0.0108485240.335937560.3359375160.335937550.3359375 23 f


3359375.0328125.0 ,

Clculo de 8x

0.332031252

0.6640625

2

3359375.0328125.08

x

Observando 78 xx se repiten dos decimales, por lo tanto el proceso ya termina.

La raz es 0.33203125x8





Queda como ejercicio hallar las otras dos races utilizando el mismo error. Ejemplo2:

Con una precisin de 10-3 encuentre una raz de real de la ecuacin 0cosln xx Solucin:

El dominio de la funcin xcos es todos los reales. lRxDom .

El dominio de la funcin xln es ,0: xDom El dominio de la funcin xxxf cosln se obtiene mediante la interseccin del dominio de cada funcin que la conforman, es decir, ,0. xDom Para determinar en qu intervalo hay una raz, se debe dar valore a x desde cero (sin incluirlo) hasta que se obtenga un cambio de signo.

La funcin xxxf cosln es continua en ,0

Antes de dar valores a x, no olvide que la calculadora debe estar en modo radianes.

86...-5.605120101.0cos01.0ln01.0 yx

42...-1.57072975.0cos5.0ln5.0 yx

058...-0.54030231cos1ln1 yx

64...0.334727905.1cos5.1ln5.1 yx

Se puede observar cambio de signo para 5.11 xx

Una raz est en el intervalo

5.11, esto es cierto, ya que, xf es continua en

5.11, y

adems se cumple que 05.11 ff o lo que es lo mismo, tienen signo contrario. Clculo de la semilla.

25.12

5.2

2

5.111

x

Clculo de 1xf 1108...-0.092178825,1cos25,1ln1 xf

Como 05,125.1 ff , la raz est en

5.125.1 ,

Clculo de 2x

1.3752

75,2

2

5,125,12

x





Comparando 375,12 x con 25,11 x , no se repite ninguna cifra decimal, por lo tanto, se debe

continuar el proceso:

Clculo de 2xf

31...0.123906021.375cos-1.375)ln(375,1 f

Como 0375,125,1 ff , la raz est en

375.1,25.1

Clculo de 3x

1.31252

2.625

2

375.125.13

x

Observando 23 xx se repite decimal (deben ser tres) se continua el proceso.

Se calcula 3xf

858...0.016499941.3125cos1.3125ln1.3125 f


3125.125.1 ,

Clculo de 4x

1.281252

2.5625

2

3125.125.14

x

Observando 34 xx no se repite ningn decimal (deben ser tres). Se contina el proceso.

Se calcula 4xf

0221...-0.03768131.28125cos1.28125ln1.28125 f

Como 03125.11.28125 ff , la raz est en

3125.128125.1 ,

Clculo de 5x

1.2968752

2.59375

2

3125.128125.15

x





Observando 45 xx se repite un decimal (deben ser tres). Se contina el proceso.

Se calcula 5xf

1247...-0.01055111.296875cos1.296875ln1.296875 f


3125.1296875.1 ,

Clculo de 6x

1.30468752

2.609375

2

3125.1296875.16

x

Observando 56 xx no se repite decimal (deben ser tres). Se contina el proceso.

Se calcula 6xf

1150...0.002984321.3046875cos1.3046875ln1.3046875 f


3046875.1296875.1 ,

Clculo de 7x

1.300781252

2.6015625

2

3046875.1296875.17

x

Observando 67 xx se repiten dos decimales (deben ser tres). Se contina el proceso.

Se calcula 7xf

21734...-0.00378091.30078125cos1.30078125ln1.30078125 f


3046875.130078125.1 ,

Clculo de 8x





51.302734372

2.60546875

2

3046875.130078125.18

x

Observando 78 xx se repiten dos decimales (deben ser tres), por lo tanto el proceso continua.

Se calcula 8xf

816062...-0.000397651.30273437cos51.30273437ln51.30273437 f

Como 03046875.1302734375.1 ff , la raz est en:

3046875.1302734375.1 ,

Clculo de 9x

71.303710932

52.60742187

2

3046875.1302734375.19

x

Observando 98 xx se repiten dos decimales (deben ser tres), por lo tanto el proceso continua.

Se calcula 9xf

3606...0.0012934771.30371093cos71.30371093ln71.30371093 f

Como 0303710937.1302734375.1 ff , la raz est en:

303710937.1302734375.1 ,

Clculo de 10x

51.303222652

12.60644531

2

303710937.1302734375.110

x

Observando 109 xx se repiten tres decimales, por lo tanto el proceso termino.

La raz es

51.3032226510 x

2.4.2. Mtodo de la posicin falsa o mtodo de la regla falsa (regula falsi)

(http://www.youtube.com/watch?v=pSyOwt7PkvQ&feature=related),

(http://www.youtube.com/watch?v=7qIPoyDgMM8&feature=related)





Si la funcin )(xf es continua en algn intervalo que contenga la raz buscada, este mtodo siempre converge.

Sea )(xf una funcin continua en el intervalo ba, con 0bfaf , sea r una raz de 0xf en el intervalo ba, . Vase la figura 9.

Figura 9. Deduccin de la Regla falsa

(Autor Elkin Ceballos Gmez Abril 14 de 2011)

El mtodo consiste en encontrar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos:

bfbafa ,,

El punto 1x que es el punto donde la recta corta el eje x es la primera aproximacin para la raz r

en el intervalo ba, . DEDUCCIN DE LA FRMULA DE LA REGULA FALSI

PASO UNO: Haga bbaa 11

PASO DOS: Encuentre la ecuacin de la recta que une los puntos 1111 ,, bfbafa

La pendiente de esta recta es.

11

11

ab

afbfm

La ecuacin es:

111

111 ax

ab

afbfafy

Cuando: 0,1 yxx





La ecuacin queda:

1111

1110 ax

ab

afbfaf

Despejando 1x

11

11111

afbf

abafax

11

11111

afbf

afbbfax

PASO TRES: Halle 1xf . Puede suceder que. Si 01 xf , quiere decir que el proceso termin y la raz de la ecuacin es 1x Si 011 xfaf , quiere decir que la raz se encuentra en 11 , xa en este caso

haga:

1212 xbaa

De lo contrario tome 1212 bbxa

PASO CUATRO: Se aplica nuevamente el proceso anterior al intervalo 22 , ba , es decir, haga.

22

22222

afbf

afbbfax

PASO CINCO: Despus de varias iteraciones se tiene que:

nn

nnnn

nafbf

afbbfax

El proceso se termina cuando: deseadoErrorxx nn 1

Ejemplo1:

Utilizando el mtodo Regula Falsi con un error de 10-2 obtenga una de las races reales de la ecuacin:

0923 4 xx

SOLUCIN

La funcin 923 4 xxxf es continua para cualquier valor de x, por ser una funcin polinmica. Dando valores a x, reemplazando en la funcin para determinar la y, se obtiene los valores de la siguiente tabla:





x -2 -1 0 1 2 y 35 -8 -9 -4 43

Se observa cambio de signo entre x = -2 y x = - 1; y entre x = 1 y x = 2 NOTA:

La ecuacin no tiene ms races reales, ya que, es posible comprobar, dando ms valores a x, que a la izquierda de x = - 2 la funcin asignar a y solo valores positivos (no hay ms cambio de signos hacia la izquierda) y a la derecha de x = 2 tampoco habr ms cambio de signos. Esto se puede

asegurar, porque el signo que predomina en ambos costados es el de 43x que es positivo.

Las races reales de la ecuacin 0923 4 xx se encuentran en:

Raz nmero 1: Esta en

12 , ya que xfff 012 es continua en 1,2

Raz nmero 2: Esta en

21, ya que xfff 021 es continua en 2,1

CCULO DE LA RAZ NMERO 2

Calculo de 1x

9121392223

912132922231

12

122144

44

1

11

11111

ff

ffx

afbf

afbbfax

Es conveniente escribirlo de la siguiente manera para poder utilizar la calculadora correctamente.

9121392223/912132922231 44441 x

2...1.085106381 x

Clculo de )( 1xf

10...-2.670580392...1.0851063822...1.085106383 41 xf

La raz se encuentra en:

22...1.08510638 ,

Clculo de 2x





9...21.085106382...21.08510638392223/

9...21.085106382...21.085106383292223...21.08510638

44

44

2

x

9...1.138604642 x

Comparando 12 xx No se repiten decimales, el proceso continua.

Clculo de 2xf

00...-1.680672099...1.1386046429...1.138604643 42 xf

La raz est en:

29...1.13860464 ,

-

Clculo de 3x

9...91.138604642...91.13860464392223/

9...91.295463532...91.138604643292223...91.13860464

44

44

3

x

9...1.171006193 x

Comparando 23xx

Se repite un decimal, el proceso continua.

Clculo de 3xf

14...-1.016962599...1.1710061929...1.171006193 43 xf

La raz est en:

29...1.17100619 ,

-

Clculo de 4x

9...91.171006192...91.17100619392223/

9...91.171006192...91.171006193292223...91.17100619

44

44

4

x

0...1.190159174 x





Comparando 34 xx Se repiten un decimal, el proceso continua.

Clculo de 4xf

630...-0.600444690...1.1901591720...1.190159173 44 xf

La raz est en:

20...1.19015917 ,

-

Clculo de 5x

9...01.190159172...01.19015917392223/

9...01.190159172...01.190159173292223...01.19015917

44

44

5

x

4...1.201311915 x


Clculo de 5xf

4...1.2013119194...1.2013119124...1.201311913 45 xf

La raz est en:

24...1.20131191 ,

-

Clculo de 6x

9...41.201311912...41.20131191392223/

9...41.201311912...41.201311913292223...41.20131191

44

44

6

x

8..1.207748086 x

Comparando 56 xx Se repiten dos decimales, el proceso termin.

Con una precisin de 10-2, la raz de la ecuacin 0923 4 xx es 8..1.207748086 x

Queda como ejercicio encontrar la raz nmero 1 utilizando el mismo mtodo y la misma

precisin.





Ejemplo2:

Teorema del valor medio:

El teorema del valor medio establece que:

Si )(xf es una funcin continua en un intervalo ba, , existe un nmero x en ba, tal que:

ab

afbfxf

'

Utilizando el mtodo de la regla falsa, con una precisin de 10-5, encuentre el nmero

x garantizado por el teorema valor medio para la funcin:

6,34

352

enx

xxf

Solucin

4

2065',3,6

2

2

x

xxxfab

160/249)()(,32/27)(,5/12)( afbfbfaf

160

83

ab

afbf

Se debe plantear la ecuacin:

16083

4

206522

2

x

xx

Simplificando esta ecuacin queda:

01872960146483 24 xxx

Queda como ejercicio encontrar la raz de esta ecuacin en el intervalo 6,3 Respuesta: En el intervalo 3,6 , la solucin de esta ecuacin es: ...01957.4x

2.4.3. Mtodo de newton

Enlaces para el Mtodo de Newton

(http://www.youtube.com/watch?v=PrJsNAR-rhA)

(http://www.youtube.com/watch?v=73McLogMkoA&feature=related)





(http://www.youtube.com/watch?v=WCvFJG7ouXQ&feature=related)

(http://www.youtube.com/watch?v=_qNllgwlXwc&feature=related)

Se tiene que 1x es una aproximacin inicial para la raz r como se ve en la figura 10. Observe que

la lnea tangente a la curva en 11 , xfx corta el eje x en el punto 0,2x y que 2x es una mejor aproximacin a r que 1x .

La ecuacin de esta lnea tangente es: ))((')( 111 xxxfxfy

Se puede encontrar 2x utilizando la ecuacin de la lnea tangente.

Como 0,2x est en la lnea tangente, sus coordenadas deben satisfacer la ecuacin anterior, por lo tanto:

)('

)(

)('

)())((')(0

1

11212

1

11211

xf

xfxxxx

xf

xfxxxfxf

Una mejor aproximacin para r es el valor 2x .

Repitiendo lo hecho anteriormente se obtiene que:

)('

)(

2

223

xf

xfxx

Generalizando se puede decir que:

...3,2,1,)('

)(1 n

xf

xfxx

n

n

nn

El proceso se termina cuando se alcanza una exactitud deseada.





Figura 10. Determinacin del mtodo de Newton

(Autor Elkin Ceballos Gmez Abril 14 de 2011)

Ejemplo 1.

Utilizando el mtodo de Newton, con una precisin de 10-7 encuentre una raz real de la ecuacin:

0204 xsenx SOLUCIN

La funcin 204)( xsenxxf es continua en todo su dominio, ya senx tiene como dominio

todos los nmeros reales y la funcin 4x tiene como dominio todos los nmeros reales, es decir la funcin es continua. Para determinar intervalos para las races, se da valores a x. De esta manera se llena la siguiente tabla.

x 0 1 2 3 4 5 y 200 f 16.81 f 12.92 f 8.1)3( f 2.34 f -0.95 f

Se observa cambio de signo en el intervalo

54,





La ecuacin 0204 xsenx tiene una raz en el intervalo

54, ya que:

)(054 xfff es continua en

54,

Clculo de la derivad:

La funcin es: 204)( xsenxxf

La derivada es: 4cos)(' xxf

Clculo de la semilla:

5.42

9

2

541

x

Clculo de 2x

4)5.4cos(

20)5.4(4)5.4(5.4

' 1

112

sen

xf

xfxx

En la calculadora debe escribir:

...742821056.44)5.4cos(/20)5.4(4)5.4(5.42 senx

Comparando 12 xx No se repite decimal. El proceso continua.

Clculo de 3x

4...)742821056.4cos(/20...)742821056.4(4...)742821056.4(...742821056.43 senx

...75017167.43 x

Comparando 23 xx Se repite un decimal. El proceso continua.

Clculo de 4x

4......)75017167.4cos(/20......)75017167.4(4......)75017167.4(......75017167.44 senx

...7501784845.44 x

Comparando 34 xx Se repiten cinco decimales. El proceso continua.





Clculo de 5x

4...)7501784845.4cos(/20..)7501784845.4(4...)7501784845.4(...7501784845.45 senx

...750178485.45 x

Comparando 45 xx Se repiten todos los decimales. El proceso termin.

La raz es: ...750178485.45 x

Ejemplo 2

Utilizando el mtodo de Newton, con una precisin de 10-8 Encuentre una raz real de la ecuacin:

063 2 xex SOLUCIN

Por tener una combinacin de funcin polinmica y funcin exponencial (con polinomio en el

exponente) la funcin 63)( 2 xexxf es continua en todo su dominio.

Es fcil comprobar que la funcin tiene una raz en el intervalo 3,2 , ya que:

98-1.38905606232 22 ef

680.914463076333 32 ef Determinacin de la derivad:

La funcin es: 63)( 2 xexxf

Su derivada es: xexxf 6)('

Determinacin de la semilla:

5.22

5

2

321

x

NOTA:

Para escribir la expresin 5.2e en la calculadora, debe digitar las teclas: SHIFT ln 2.5

Calculo de 2x

5.2

5.22

1

112

5.26

65.23

' e

e

xf

xfxx





Con la calculadora debe escribir:

5.2ln5.26/65.2ln5.235.2 22 SHIFTSHIFTx

...29857859.22 x

Calculo de 3x

...29857859.2ln...29857859.26/

6...29857859.2ln...29857859.23...29857859.22

3

SHIFT

SHIFTx

...3271903.23 x

Calculo de 4x

...3271903.2ln...3271903.26/

6...3271903.2ln...3271903.23...3271903.22

4

SHIFT

SHIFTx

...327637268.24 x

Calculo de 5x

...327637268.2ln...327637268.26/

6...327637268.2ln...327637268.23...327637268.22

5

SHIFT

SHIFTx

Calculo de 6x

...3276373282.2ln...3276373282.26/

6...3276373282.2ln...3276373282.23...3276373282.22

6

SHIFT

SHIFTx

...327637382.26 x

Observando los dos ltimos clculos, se repiten todos los decimales.

La raz es: ...327637382.26 x

Ejemplo3:

Problemas de cajas:

...3276373282.25 x





Se desea construir una caja si tapa y de forma rectangular con una lmina de cartn de

cmcm 35*50 Para ello se cortarn cuadrados idnticos en las cuatro esquinas y se doblarn los

lados hacia arriba. Si la caja ser hecha para contener un volumen de 33500 cmc . Con una

precisin de 8 decimales determine.

a. Las dimensiones de la caja.

b. La cantidad de material utilizado.

Cada raz se debe aproximar con tres decimales.

SOLUCIN:

Sea x el lado del cuadrado a quitar.

:x Altura.

:250 x Largo de la caja

:235 x Ancho de la caja.

Se plantea la ecuacin:

xxx 2502353500

La ecuacin a resolver queda: 0350017501704 23 xxx

Las races se encuentra en 28,2712,11,3,2 Queda como ejercicio encontrar las races con el mtodo de Newton.

Las races son: ...9829.27...,8864.11...,63064.2 xxx

El valor de ...9829.27x queda descartado, ya que dara longitudes negativas para el largo y

para el ancho.

Con 631.2x

:x Altura. 631.2

:250 x Largo de la caja 738.442*631.250

:235 x Ancho de la caja. 738.292*631.235

La cantidad de material es: 2311.1722631.2*738.44*2378.29*631.22*2738.29*738.44 cm

Con 8864.11x

:x Altura. 886.11

:250 x Largo de la caja 228.26886.11*250

:235 x Ancho de la caja. 228.11886.11*235

Ejemplo 4:

Problemas de punto de equilibrio.





La funcin de ingreso en cierta empresa es: $2.0150 2qqqr y la funcin de costo total es:

$600803 qqqc donde q es el nmero de docenas de cierto artculo producidas y vendidas. Determine el punto de equilibrio con una precisin de 4 decimales.

El punto de equilibrio se presenta cuando:

qcqr

$2.0150 2qq $600803 qq

La ecuacin a resolver es:

06002302.0 23 qqq

Queda como ejercicio encontrar las races de esta ecuacin.

Respuesta; Las races estn en:

...4259.16.16,17 q Descartada. ...70068.2.3,2 q ...5252.13.14,13 q

NOTA:

Si su eleccin para la aproximacin inicial 1x , hace que la primera derivada sea igual a cero, escoja

un nmero diferente que sea cercano a la raz deseada.

2.4.3.1 Mtodo de la secante

http://www.youtube.com/watch?v=X6zixq7_SZQ&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=aRveHW4cLg4&feature=related Se sabe por definicin que

1

1

1

1

)()(lim)('

n

n

n

nxx

xfxf

xxxf

Haciendo nxx y evaluando el lmite, tenemos que:

1

1

1

)()()('

nn

nn

nxx

xfxfxf

Reemplazamos esta expresin en la frmula de Newton, queda:





)('

)(

1

1

12

n

n

nnxf

xfxx

1

1

112 )()(

)(

nn

nn

nnn

xx

xfxf

xfxx

)()(

)(

1

11

12

nn

nnn

nnxfxf

xxxfxx

Realizando operaciones y reduciendo trminos semejantes, la frmula para aplicar el mtodo de la secante queda:

)()(

)(

1

112

nn

nnnnn

xfxf

xfxxfxx

Para utilizar esta frmula se deben tener dos aproximaciones iniciales 10 xx

Ejemplo1:

Utilizando el mtodo de la secante, con una precisin de 610 encuentre una raz real de la ecuacin:

03353 22 xx SALUCIN

La funcin 3353 22 xxf x es continua en todo su dominio. Dando valores a x, y reemplazando en la funcin, se obtiene la siguiente tabla:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -311.9 -136.9 -31.8 4 -23 -56 417

Se puede observar cambio de signo entre x = -1 y x = 0, Entre x = 0 y x = 1 y entre x = 2 y x = 3.

Las races de la ecuacin estn en:

Raz nmero 1: Est en

0,1

Raz nmero 2: Est en 1,0





Raz nmero 3: Est en 3,2

CLCULO DE LA RAZ NMERO 3.

32 10 xx

Clculo de 2x

32

3223

)()(

)(

10

10012

ff

ff

xfxf

xfxxfxx

Debe escribir en la calculadora:

))32)^3(35)3*2(^3(32)^2(35)2*2(^3/(

))32)^3(35)3*2(^3(2)32)^2(35)2*2(^3(3(2

x

4...2.118393232 x

Clculo de 3x

)()(

)(

21

21123

xfxf

xfxxfxx

))32)^42.11839323(35)42.11839323*2(^3(32)^3(35)3*2(^3/(

))32)^42.11839323(35)42.11839323*2(^3(3)32)^3(35)3*2(^3(42.11839323(3

x

7...2.211094313 x

Comparando 23 xx se repiten tres decimales, el proceso continua.

Clculo de 4x

)()(

)(

32

32234

xfxf

xfxxfxx





))32)^7...2.21109431(35)7...2.21109431*2(^3(32)^42.11839323(35)42.11839323*2(^3/(

))32)^7...2.21109431(35)7...2.21109431*2(^3(42.11839323

)32)^42.11839323(35)42.11839323*2(^3(72.21109431(4

x

..2.5872366.4 x


Clculo de 5x

)()(

)(

43

43345

xfxf

xfxxfxx

...2.355538295 x


Clculo de 6x

)()(

)(

54

54456

xfxf

xfxxfxx

...2.398340856 x


Clculo de 7x

)()(

)(

65

65567

xfxf

xfxxfxx

...2.414779927 x

Comparando 67 xx No se repiten ningn decimal, el proceso continua.

Clculo de 8x

)()(

)(

76

76678

xfxf

xfxxfxx

...2.413224898 x





Comparando 78 xx Se repiten dos decimales, el proceso continua.

Clculo de 9x

)()(

)(

87

87789

xfxf

xfxxfxx

...2.413262629 x

Comparando 89 xx Se repiten cuatro decimales, el proceso continua.

Clculo de 10x

)()(

)(

98

988910

xfxf

xfxxfxx

...2.4132627210 x

Comparando 910 xx Se repiten seis decimales, el proceso finaliza.

La raz es:

...2.4132627210 x

Ejemplo2:

Ejemplo tomado de (Burden & Faires, 2003). Utilice el mtodo de la secante para encontrar una solucin de xx cos Aplique el mtodo hasta que cinco cifras decimales se repitan consecutivamente, es decir, el error debe ser menor de 0.00001.

SOLUCIN

Llevando la ecuacin a la forma de una funcin queda:

xxxf cos)(

Al hacer dar valores a x, se tiene que hay cambio se signo en x = 0.5 y x= 0.9, se puede tomar

785398163.04/5.0 10 xx

Para n = 0 tenemos:

785398163.0cos785398163.05.0cos5.0

785398163.0cos785398163.05.05.0cos5.0785398163.0

)()(

)(

10

10012

xfxf

xfxxfxx





73638414.02 x

n nx

0 0x 0,5

1 1x 0,78539816

2 2x 0,73638414

3 3x 0,73905814

4 4x 0,73908515

5 5x 0,73908513

6 6x 0,73908513

7 7x 0,73908513

Se puede observar que despus de la quinta iteracin se obtiene la respuesta con la exactitud

deseada, por lo tanto la raz de esta ecuacin es: 73908513.05 x .

2.4.3.2 Mtodo de iteracin de punto fijo

http://www.youtube.com/watch?v=mQogK-O4-o4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=LlRWk0WXPfo&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=SeqMmyCUKDQ&feature=related

Un punto fijo de una funcin es un nmero en el cual se cumple que yx

Por ejemplo la funcin

43 xxfy

Tiene un punto fijo en 2x , ya que 2462232 f .

Segn Purcell & Varberg (1993), Supngase que una ecuacin 0)( xf que nos interesa resolver

puede escribirse de la forma )(xgx . Resolver una ecuacin de la forma )(xgx consiste en

encontrar una raz r que no cambie mediante la funcin g. Al nmero r se le llama punto fijo. Procedimiento para aplicar el mtodo PUNTO FIJO:

1. Determine intervalos para cada raz de la ecuacin 0)( xf

Recuerde que se sabe que hay una raz en un intervalo ba, porque: )(xf Es continua en el intervalo ba,

0)( afbf

2. Halle la semilla para la primera raz como: 2

1

bax





3. Lleve la ecuacin 0)( xf a la forma )(xgx , es decir, despeje x. Tenga en cuenta que

pueden existir muchas formas de obtener )(xgx .

4. Luego obtenga 12 xgx , 23 xgx y en general nn xgx 1 , es posible que

nx converja hacia la raz r cuando n .

5. La ilustracin del mtodo se puede observar en los siguientes ejemplos, es de aclarar que

el mtodo puede fallar, esto depende de la eleccin de )(xgx .

Ejemplo 1

Ejemplo propuesto por Purcell & Varberg (1993), Resuelva la ecuacin 0 xex de tal manera que los 4 primeros dgitos coincidan dos veces consecutivas. Utilice el mtodo del punto fijo.

SOLUCIN

Primero se lleva la ecuacin a la forma )(xgx , queda: xex con xexg )(

Dando valores a x en la ecuacin original, es decir, en xexxf )( , se puede observar que esta

ecuacin tiene una raz en el intervalo 1,0 , ya que: xexxf )( Es continua en todos los reales y 10632.01 ff

Clculo de la semilla:

5.02

1

2

011

x

Aplicando el algoritmo resulta:

606530659.05.0)( 5.0212 egxxgx

545239211.0606530659.0)( 606530659.0323 egxxgx

579703094.0545239211.0)( 545239211.0434 egxxgx

560064627.0579703094.0)( 579703094.0545 egxxgx

571172149.0560064627.0)( 560064627.0656 egxxgx

564862947.0571172149.0)( 571172149.0767 egxxgx

568438047.0564862947.0)( 564862947.0878 egxxgx

566409452.0568438047.0)( 568438047.0989 egxxgx

567559634.0566409452.0)( 566409452.010910 egxxgx

566907212.0567559634.0)( 567559634.0111011 egxxgx

567277196.0566907212.0)( 566907212.0121112 egxxgx

56706735.0567277196.0)( 567277196.0131213 egxxgx

56718636.056706735.0)( 56706735.0141314 egxxgx





567118864.056718636.0)( 56718636.0151415 egxxgx

5671.0567118864.015 xraz

Ejemplo 2:

Ejemplo propuesto por Purcell & Varberg (1993), Resuelva xx cos2 con una precisin de cuatro cifras decimales. Solucin

La ecuacin tiene una raz en el intervalo 5.1,5.0 La semilla para esta raz es:

12

2

2

5.05.11

x

Luego se lleva la ecuacin a la forma )(xgx

Una posible forma es xx cos2 , pero al calcular los siguientes valores de x se observa una

oscilacin, lo que indica que no hay convergencia, por lo tanto con esta forma

de xxgx cos2 , no se obtiene una solucin a la ecuacin 0cos2 xx .

Se debe escribir la ecuacin de otra forma:

Puede ser 2

cos2)(

xxxgx

De esta manera se obtiene:

040302306.12

1cos211)( 212

gxxgx

026110677.1

2

040302306.1cos2040302306.1)( 323

xxgx

031204594.12

026110677.1cos2026110677.1026110677.1)( 434

gxxgx

029388072.12

031204594.1cos2031204594.1031204594.1)( 545

gxxgx

03003739.1

2

029388072.1cos2029388072.1)( 656

xxgx

029805485.1

2

03003739.1cos203003739.1)( 767

xxgx

029888335.1

2

029805485.1cos2029805485.1)( 878

xxgx





...029888335.18 xraz

CONVERGENCIA DEL MTODO

Prueba de convergencia.

La )(xg que usted encontr se puede utilizar si y slo si 1)(' xg para todo nmero en ba,

Queda como ejercicio comprobar la convergencia en los dos ejemplos anteriores.

Ejemplo 3

Ejemplo tomado de Purcell & Varberg (1993). Use el mtodo de punto fijo para encontrar la raz

de 2,10133 enxx con una precisin de tres cifras decimales.

Una forma puede ser escribiendo 0133 xx como )(3

13xg

xx

Antes de aplicar el mtodo obtengamos )(' xg

2,11)(' 2 xparaxxg

Otra forma sera escribiendo 0133 xx como )(3

12

xgx

x

Entonces

22 32

)('

x

xxg

Puede ser mayor que uno en el intervalo 2,1 , por ejemplo ...33.5)5.1(' g

Otra forma sera escribiendo 0133 xx como )(132

xgxx

x

3

23)('

x

xxg

Es menor que uno si nos alejamos de uno.

Con el algoritmo 21

13

nn

nxx

x obtenemos 5321234.122 x





Ejercicio 1.3

1. Utilizando al menos dos mtodos diferentes, con una precisin de 10-4, encuentre

todas las races de las siguientes ecuaciones:

a. 047cos5 2 xx

b. 01595104 234 xxxx

c. 045)3ln( 2 xx

2. ANUALIDADES

Al comprar a crdito, en muchos casos el pago se efecta mediante anualidades; Las

ANUALIDADES, son cuotas de dinero peridicas e iguales que se entregan o se reciben al

comienzo o al final de cada perodo de tiempo. Para calcular el valor presente de las

anualidades se utiliza la frmula:

n

n

ii

iAp

1

11

Done:

.A El valor de la cuota fija peridica o ANUALIDAD.

:p El valor presente, es el dinero que se tendra que pagar de contado, es decir, sin

financiacin.

:n Es el periodo, es decir el nmero de anualidades a pagar.

:i Es la tasa de inters.

NOTA: i y n deben tener las mismas unidades de tiempo.

Ejemplo: Con una precisin de 10-4 y utilizando el mtodo que desee solucione:

Un automvil de contado cuesta $ 25000 000, pero se puede pagar de la siguiente manera: Una cuota inicial de $5000 000 y el saldo mediante cuotas mensuales de $ 450.000 durante 5 aos. Cul es la tasa de inters mensual pagada?





2.5. Prueba Final

Utilizando el mtodo que desee, con una precisin de 10-5 solucione:

1. Encuentre el nmero x garantizado por el teorema del valor medio para la funcin:

1,0,14

enx

xxf

2. En una fbrica la funcin de ingreso para cierto producto es:

dinerodeUnidadesqqqr 22.05000

La funcin de costo para el mismo producto es:

dinerodeUnidadesqqqc 423

Donde q esta en millones de unidades.

Encuentre el

07-metodos_numericos (1)

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