03a_esfera-1
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Principios fundamentales
1.1 Coordenadas geográficas1.2 Contorno aparente
1.4 Situación de puntos en la superficie
Sección plana
Intersección recta-esfera
Sombras
2.1 Plano proyectante
2.2 Plano oblicuo
ESFERA
1
2
3
5
Sugerencias: [email protected] o buzón en el espacio Moodle de la asignatura.
1.3 Representación
5.1 Principios fundamentales5.2 Penumbra5.3 Posición del foco5.4 Sombra propia y arrojada de la esfera5.4 Cuenco esférico5.5 Foco a distancia finita Teorema de Dandelín5.6 Sombras de cúpulas
7
2.3 Cúpulas y bóvedas
Bibliografía orientativaGE
OM
ETR
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ES
CR
IPTI
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SC
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ID
Intersección de superficies66.1 Cono - Esfera6.2 Cilindro - Esfera6.3 Prisma - Pirámide - Esfera
4 Planos tangentes
O1
O2O3
xy
z
Hemisferio sur
La superficie esférica es el lugar geométrico de todos los puntos del espacio que equidistan de uno interior llamado centro.Se llama esfera al espacio generado por una superficie esférica y su interior. A veces se usa esfera y superficie esférica como sinónimos.
eje
Paralelos. Secciones por planos perpendiculares al eje.
Las proyecciones ortogonales de la esfera sobre los planos de proyección son circunferencias del mismo radio que la esfera
Meridianos. Secciones por planos que pasan por el eje
plano diametral
La distancia del centro a un punto de la superficie esférica es el radio, y las rectas o planos que pasan por el centro son el diámetro y plano diametral.Un plano diametral divide a la esfera en dos partes iguales llamadas hemisferios.
ESFERA. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
Hemisferio norte
1G
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Huso esférico
Sector esférico
Casquete esférico
Triángulo esférico
ESFERA. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
Huso esféricoSector esféricoCasquete esféricoTriángulo esférico
1G
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ESFERA.
DISTANCIA GEOGRÁFICA ENTRE DOS PUNTOS DE LA TIERRA.
Como la Tierra es, aproximadamente una esfera podemos aplicar los conceptos de la trigonometría esférica para calcular la distancia entre dos puntos.
Cada punto M de la Tierra está localizado por suscoordenadas geográficas: longitud y latitud
Se denomina longitud del punto M la graduación del arco AB (medido sobre el ecuador, siendo G el meridiano de Greenwich). Se determina la posición indicando si está al Este (+) o al Oeste (-).
El arco BM determina la latitud del punto M. Se determina la posición si está al Norte (+) o al Sur (-) del Ecuador.
AB
G
M
Ecuador
Zona o Sector esférico. Parte de la superficie esférica limitada por dos secciones paralelas.
Huso esférico. Parte de superficie esférica limitada por dos semicircunferencias máximas con diámetro común, llamadas lados del huso.
Casquete esférico, cada una de las dos partes en que un plano divide a la superficie esférica
h
c
c’
Or
c
ESFERA. COORDENADAS GEOGRÁFICAS 1.1G
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La representación más inmediata de cualquier figura es el dibujo de su contorno aparente sobre el plano de proyección. Esta operación depende del tipo de proyección y del ángulo de la dirección de proyección respecto al plano de proyección.
• Si el origen de los rayos proyectantes es un punto del infinito, o sea un punto impropio, todos los rayos serán paralelos entre sí, dando lugar a lo que se denominaproyección cilíndrica.
• Si dichos rayos son perpendiculares al plano de proyección estamos ante una proyección cilíndrica ortogonal; en el caso de resultar oblicuos respecto a dicho plano, estaremos ante una proyección cilíndrica oblicua.
• Si el origen de los rayos es un punto propio, la proyección es central o cónica.
Proyección cilíndrica ortogonal
Proyección cilíndrica oblicua
Proyección central o cónica
Plano de proyección
contorno
contornocontorno
dp. Dirección de proyecciónVp. Centro de proyección cónicaσ: Línea de tangencia
σ
σ
σ
dp dpVp
Proyección cilíndrica ortogonal
Proyección cilíndrica oblicua
Proyección central o cónica
contornocontornocontorno
σσ
σ
dp
Vp
dp
ESFERA. CONTORNO APARENTE 1.2G
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En proyección cónica, la representación de la esfera es en general una elipse consecuencia del corte por el plano del cuadro al cono tangente desde el punto de vista (V).
En proyección cilíndrica, será la proyección de la línea de contacto del cilindro circunscrito a la esfera paralelo a la dirección de proyección.
ESFERA. REPRESENTACIÓN
e
e
V
V
σ
σ
σ
σ
dp
σ: Línea de tangencia
V
σ σ
1.3G
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Sistema Planos de proyección Sistema de proyección Contorno de la esfera
Diédrico Dos Proyección cilíndrica ortogonal
2 circunferencias de radio el de la esfera
1 circunferencia de radio el de la esfera
1 circunferencia de radio el de la esfera
1 elipse
1 circunferencia ó 1 elipse
Planos acotados Uno Proyección cilíndrica ortogonal
Perspectiva axonométrica Uno Proyección cilíndrica ortogonal
Perspectiva caballera/militar Uno Proyección cilíndrica oblicua
Perspectiva cónica Uno Proyección central o cónica
Esfera en diédrico: se representa por dos circunferencias de radio el de la esfera.
El contorno aparente horizontal c1 corresponde en alzado al diámetro c2.
El contorno aparente vertical m2 corresponde en planta al diámetro m1
O1
O2 c2
c1
m2
m1
ESFERA. REPRESENTACIÓN EN SISTEMA DIÉDRICO 1.3G
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Sistema Planos de proyección Sistema de proyección Contorno de la esfera
Diédrico Dos Proyección cilíndrica ortogonal
2 circunferencias de radio el de la esfera
1 circunferencia de radio el de la esfera
1 circunferencia de radio el de la esfera
1 elipse
1 circunferencia ó 1 elipse
Planos acotados Uno Proyección cilíndrica ortogonal
Perspectiva axonométrica Uno Proyección cilíndrica ortogonal
Perspectiva caballera/militar Uno Proyección cilíndrica oblicua
Perspectiva cónica Uno Proyección central o cónica
Esfera en el sistema de planos acotados. El contorno es una circunferencia máxima y la cota del centro.
O(5)
c(5)
ESFERA. REPRESENTACIÓN SISTEMA PLANOS ACOTADOS 1.3G
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O(5)
c(5)
Sistema Planos de proyección Sistema de proyección Contorno de la esfera
Diédrico Dos Proyección cilíndrica ortogonal
2 circunferencias de radio el de la esfera
1 circunferencia de radio el de la esfera
1 circunferencia de radio el de la esfera
1 elipse
1 circunferencia ó 1 elipse
Planos acotados Uno Proyección cilíndrica ortogonal
Perspectiva axonométrica Uno Proyección cilíndrica ortogonal
Perspectiva caballera/militar Uno Proyección cilíndrica oblicua
Perspectiva cónica Uno Proyección central o cónica
Esfera en axonometría ortogonal (dirección de proyección normal al plano de proyección). El contorno es una circunferencia de radio el de la esfera
X’
Y’
Z’
c’
c’ 1
c’ 2c’ 3
ESFERA. REPRESENTACIÓN AXONOMETRÍA ORTOGONAL 1.3G
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a
Esfera en perspectiva militar. El contorno aparente es una elipse con un eje perpendicular y otro paralelo al eje proyectado.
YY
XX
R
Z’
Z’
(dp)
R
O
O2
O1
O3
a = Rb = R √ 2
a=R
b=R√2
O
R
(dp)R
R=1
Sistema Planos de proyección Sistema de proyección Contorno de la esfera
Diédrico Dos Proyección cilíndrica ortogonal
2 circunferencias de radio el de la esfera
1 circunferencia de radio el de la esfera
1 circunferencia de radio el de la esfera
1 elipse
1 circunferencia ó 1 elipse
Planos acotados Uno Proyección cilíndrica ortogonal
Perspectiva axonométrica Uno Proyección cilíndrica ortogonal
Perspectiva caballera/militar Uno Proyección cilíndrica oblicua
Perspectiva cónica Uno Proyección central o cónica
ESFERA. REPRESENTACIÓN PERSPECTIVA MILITAR 1.3G
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Sistema Planos de proyección Sistema de proyección Contorno de la esfera
Perspectiva cónica Uno Proyección cónica 1 circunferencia ó 1 elipse *
A. Circunferencia. Esfera con el centro alineado con la dirección principal
B. Elipse. Esfera con el centro no alineado con la dirección principal
P
P
PCPC
PG
PG
PC
PG
V
circunferencia
PC
PG
V
elipse
ESFERA. REPRESENTACIÓN PERSPECTIVA CÓNICA
* La esfera no corta ni es tangente al plano de desvanecimiento. Si es tangente, la perspectiva seráparábola; si es secante, hipérbola.
1.3G
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LH P D
PL. Cuadro
D
P
O
V
LH
P
PC
ESFERA. REPRESENTACIÓN PERSPECTIVA CÓNICA
A. Circunferencia. Esfera con el centro alineado con la dirección principal
1.3G
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ESFERA. REPRESENTACIÓN PERSPECTIVA CÓNICA
A. Circunferencia. Esfera con el centro alineado con la dirección principal
PL. Cuadro
PL. Horizonte
V
(V)
O
(O)(1)
(2)
1
2
1.3G
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ESFERA. REPRESENTACIÓN PERSPECTIVA CÓNICA
V
La representación de la esfera es en este caso una elipse debida al corte por el plano del cuadro del cono tangente a la esfera con vértice en el punto de vista.
B. Elipse. Esfera con el centro no alineado con la dirección principal
1.3G
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Sea V el punto de vista del observador y la esfera de centro O situada exterior al plano de desvanecimiento de imágenes. Si desde el punto de vista trazamos los rayos visuales tangentes a la esfera, se forma el cono visual de la esfera. El cono visual de la esfera es de revolución de eje VO y la sección producida en él por plano del cuadro es la perspectiva de la esfera. En la posición del dibujo, la perspectiva de la esfera es una elipse contenida en el plano del cuadro de puntos AB y focos F’G’ .
Teorema de Dandelín: Todo plano no incidente con el vértice de un cono de revolución corta a éste según una cónica cuyos focos son los puntos de tangencia del plano con las esferas inscritas al cono y tangentes a dicho plano.
VP
PL. C
UAD
RO
0
01 PL. GEOMETRAL
PUNTO DE VISTA
V1
PL. HORIZONTE
PL. D
ESVA
NEC
IMIE
NTO
A
B
F’
G’
A’
B’
ESFERA. REPRESENTACIÓN PERSPECTIVA CÓNICA
F G
1.3G
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ESFERA. REPRESENTACIÓN PERSPECTIVA CÓNICA
F
G
R
V
R
G
F
Del teorema de Dandelín se deduce la obtención de los focos de la sección:
1. Obtención de los extremos del diámetro FG de la esfera, perpendicular al plano del cuadro
2. Proyección desde el punto de vista de los puntos FG que serán los focos de la elipse.
B. Elipse. Esfera con el centro no alineado con la dirección principal
1.3G
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F
G
R
V
(O)
(F)
(A)
(B)
(G)
O
(V)
P
FG
B
A
B. Elipse. Esfera con el centro no alineado con la dirección principal
ESFERA. REPRESENTACIÓN PERSPECTIVA CÓNICA
LH
LT
R
R
1.3G
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Para situar un punto en la superficie esférica, se traza una sección por un plano paralelo a uno de los planos de proyección.
La proyección sobre el plano paralelo es una circunferencia y sobre ella se sitúan las dos posiciones del punto.
P1
P2
P’2
O1
O2
P1
P’
P
P2
P’2
O2
O1
O3
O
ESFERA. SITUACIÓN DE PUNTOS EN LA SUPERFICIE 1.4G
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Según la posición del plano respecto a los planos de proyección, la proyección ortogonal de la sección es circunferencia o elipse:
Plano paralelo a uno de los planos de proyección:
La sección se proyecta como circunferencia.
Plano oblicuo respecto a los planos de proyección:
La sección se proyecta como elipse.
PLANO FRONTAL
CIRCUNFERENCIA
PLANO HORIZONTAL
CIRCUNFERENCIA
ESFERA. SECCIÓN PLANA 2G
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Un plano puede ser tangente a la esfera o seccionarle.Siempre la curva de la sección plana es una circunferencia.Y si el plano pasa por el centro de la esfera la sección es una circunferencia máxima de radio R
R
O
P
P1
R
O
r
O
I
A
B
El plano es tangente en P a la esfera El plano corta, con una sección de radio r El plano pasa por el centro de la esfera
R
B
AO
r
d
I
ESFERA. SECCIÓN PLANA 2G
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P2
P1 A1 B1
C1
D1
A2
B2
C2-D2
El plano es tangente en P a la esfera El plano corta a la esfera según circunferencia que se proyecta en horizontal como la elipse ABCD. Los puntos M y N son de contacto de la sección con el contorno aparente c1-c2
La sección por el centro de la esfera es una circunferencia de radio máximo y la obtención de los extremos de los ejes de la elipse, es inmediata.
A1 B1
B2
A2
C1
D1
C2- D2
M2- N2
M1
N1
c2
c1
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO PROYECTANTE 2.1G
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O1
M1-N1-
V1
O2
1
2
(V)
(1)
(2)
r
r
M2
N2
V21 2
r
O
O1
O2
O3
V1
Proyección de la secciónVerdadera Magnitud de la sección
Puntos importantes:
Centro de la sección.
Ejes y extremos de la sección.
Puntos de contacto (si los hay) con los contornos aparentes.
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO PROYECTANTE 2.1G
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O2
O1
Hα
r
r
P1
P2
1
2
34
5
6
El plano proyectante a corta a la esfera según un círculo de diámetro 1-2.
La proyección vertical es una elipse de centro P2 y ejes los segmentos 3-4 y 5-6.
El eje mayor mide el diámetro del círculo obtenido en planta sobre la traza horizontal del plano a, en verdadera magnitud.
El eje menor 3-4 se obtiene al proyectar los puntos 1-2 contenidos en c1 (contorno aparente horizontal).
c1
c2
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL 2.1G
EO
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O1
Hα
M1- N1
O2
M2
N2
M-N: Puntos de contacto de la sección con el contorno aparente.
c1
c2
d1
d2
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL 2.1G
EO
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O1
Hα
M1-N1-
V1
O2
1
2
(V)
(1)
(2)
r
r
M2
N2
V21
2
r
Verdadera magnitud de la sección.
El abatimiento del plano a y de la sección.
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL 2.1G
EO
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O
O1
• PLANO HORIZONTAL
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO OBLICUO 2.2G
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OLI
TÉC
NIC
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AD
RID
O
O1
• PLANO VERTICAL
• PLANO HORIZONTAL
O2
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO OBLICUO 2.2G
EO
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O
O1
O2
• PLANO OBLICUO
• PLANO VERTICAL
• PLANO HORIZONTAL
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO OBLICUO 2.2G
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O
O1
O2
90º
• PLANO VERTICAL• PLANOAUXILIAR
• PLANO HORIZONTAL
• PLANO OBLICUO
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO OBLICUO 2.2G
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RID
O
O1
O2
90º
• PLANO HORIZONTAL
• PLANO OBLICUO
• PLANOAUXILIAR
O3
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO OBLICUO 2.2G
EO
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O3
M
• PLANO OBLICUO
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO OBLICUO 2.2G
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ES
CU
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A –
UN
IVE
RS
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OLI
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NIC
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AD
RID
O
O3
M
O2
O1
• PLANO OBLICUO
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO OBLICUO 2.2G
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SC
RIP
TIV
A -
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UN
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A D
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AD
RID
A2
B2
C2
A1
B1
C1
O2
O1
O3
B3
C3
A3
Tres puntos ABC determinan un plano. La sección plana a la esfera es en el espacio una circunferencia.
Situamos el plano como proyectante mediante un cambio de plano, obteniendo para ello una horizontal cualquiera del triángulo ABC.
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO DADO POR TRES PUNTOS ABC 2.2G
EO
ME
TRÍA
DE
SC
RIP
TIV
A -
ES
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ELA
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TUR
A –
UN
IVE
RS
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A D
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RID
4
B3
A3
A2
A1
B2
C2
B1
C1
O
O
1
3-41
23
5-6
5
6
En el alzado del cambio de plano, podemos observar los tres puntos ABC alineados y con ello el corte en verdadera magnitud con la esfera de centro O.
Los puntos 1-2, se encuentran sobre el contorno aparente correspondiente a la dirección del alzado en el cambio de plano.
La perpendicular trazada desde O3 a la recta nos determina los puntos 5-6, extremos de uno de los ejes en planta.
Los puntos 3-4 son los de contacto del contorno en planta con la sección. Puntos interesantes ya que nos van a determinar la zona oculta de la sección en planta.
ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO DADO POR TRES PUNTOS ABC 2.2
O
C3
GE
OM
ETR
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ES
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IPTI
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SC
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PO
LITÉ
CN
ICA
DE
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DR
ID
2
ESFERA. CÚPULAS Y BÓVEDAS
CÚPULA DE BOHEMIABÓVEDA VAÍDA SOBRE PECHINAS CON TAMBOR
2.3G
EO
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UN
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RID
Bóveda Vaída. Está formada por un hemisferio esférico cortado verticalmente por dos pares de planos paralelos entre sí y perpendiculares a los otros dos. Por su configuración final es muy apropiado para cubrir espacios cuadrados.
Bóveda vaída Hemisferio esférico y planos verticales Abatimiento de los cuatro planos verticales
Secciones esféricas que se retiran para conformar la bóveda
ESFERA. BÓVEDA VAÍDA 2.3G
EO
ME
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Planta
Alzado
Bóveda Vaída. Proyecciones ORTOGONALES
O2
O1
O2
O
R
r
O1R
rd
ESFERA. BÓVEDA VAÍDA 2.3G
EO
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DE
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Bóveda Vaída. Proyección en perspectiva oblicua: Perspectiva Caballera
ESFERA. BÓVEDA VAÍDA 2.3G
EO
ME
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DE
SC
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RID
R=1
x
y
Z’R=1Z’
x
y
O O
U’=U
U=radio
(dp)
D
Proyección en perspectiva oblicua: Caballera
A
B
C
O R
r
Dado que en esta representación la planta está en verdadera magnitud, podemos obtener los radios de diez secciones y trazar las circunferencias a las alturas correspondientes para obtener puntos en perspectiva directamente.
El contorno aparente se puede dibujar como envolvente de las circunferencias trazadas.
R
R
A
B
R
O
C
ESFERA. BÓVEDA VAÍDA 2.3G
EO
ME
TRÍA
DE
SC
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RID
Proyección en perspectiva ortogonal: Axonometría
A
B
C
La perspectiva axonométrica de la semiesfera es una circunferencia del radio de la esfera. La sección por el plano XOY es una circunferencia máxima que se proyecta en perspectiva como elipse.
El TRIÁNGULO DE TRAZAS ABC nos determina las reducciones de los ejes.
Y’
X’
Z’
A’B’
C’
ESFERA. BÓVEDA VAÍDA 2.3G
EO
ME
TRÍA
DE
SC
RIP
TIV
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UN
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O R
r
ESFERA. BÓVEDA SOBRE PECHINAS 2.3G
EO
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TRÍA
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RID
iglesia de Santa Irene,en Constantinopla.
ESFERA. CÚPULAS 2.3G
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RID
13
2
V
V
3
1
2
V
1-2 3
O
OO
O
Cuando una recta intersecciona a una esfera se hace un cambio de proyección para llevar la recta a una posición frontal, se traza el plano proyectante vertical que contiene a la recta para obtener la circunferencia de sección; el corte de ésta con la recta son los puntos M-Nbuscados.
r1
r2
O1
O2
r1
r2
O1
O2
M1
N1
M2
N2
O1
O2
c1
c’1
N’
M’
M1
N1
M
N
M
La esfera es una superficie de segundo grado de ecuación: x² + y² + z² = r²Una recta le corta en dos puntos, en uno o en ninguno.
r r r
DATOS: Esfera O y recta r
ESFERA. INTERSECCIÓN CON RECTA
M
N
r
r1
M1N1
3G
EO
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A –
UN
IVE
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IDA
D P
OLI
TÉC
NIC
A D
E M
AD
RID
La intersección de recta con esfera puede resolverse considerando la esfera como una superficie de revolución de eje vertical. Los giros que se efectúen en la esfera y la recta hasta situarla en posición de recta frontal, no afectan al contorno aparente de la esfera.
DATOS: Esfera O y recta r
r1
r2
O1
O2
r2
O2
M2
N2
r1
O1
M1
N1
eje
r2
O2
r1
O1
r1
r2
eje
ESFERA. INTERSECCIÓN CON RECTA 3G
EO
ME
TRÍA
DE
SC
RIP
TIV
A -
ES
CU
ELA
TÉ
CN
ICA
SU
PE
RIO
R D
E A
RQ
UIT
EC
TUR
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UN
IVE
RS
IDA
D P
OLI
TÉC
NIC
A D
E M
AD
RID
ESFERA. PLANOS TANGENTES 4G
EO
ME
TRÍA
DE
SC
RIP
TIV
A -
ES
CU
ELA
TÉ
CN
ICA
SU
PE
RIO
R D
E A
RQ
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EC
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IVE
RS
IDA
D P
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TÉC
NIC
A D
E M
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RID
O
O
L
PO
O
2
1P
L
R
R
t 2
t 1
PO
O
R
1
2
Plano tangente desde un punto P de la superficie
Planos tangentes paralelos a la dirección exterior L